中考数学培优 易错 难题(含解析)之相似附答案解析
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．
（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF•AD；
（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．
【答案】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90°
∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ;
②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，
∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，
由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ
∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，
(本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP)
（2）证明：由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°，
∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90°
∴tan∠CPQ= ,
由①得AP=CQ,
又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ= ，
由②得∠CBQ=∠CPQ，
∴tan∠CBQ=tan∠CPQ= .
【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；②利用正方形的性质可证得∠CBQ=∠CPQ，再由△ABP≌△CBQ可证得∠APF=∠ABP，从而证出△APF∽△ABP，由相似三角形的性质得证；
（2）由△ABP≌△CBQ可得∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=45°+45°=90°，再由三角函数可得tan∠CPQ=，由AP:PC=1:3，AP=CQ，可得tan∠CPQ=，再由∠CBQ=∠CPQ可求出答案.
2．如图①，已知直线l1∥l2 ， 线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2 ， l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE．
（2）连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②．
①当 时，求证：AP⊥BD；
②当 (n＞1)时，设△PAD的面积为S1 ， △PCE的面积为S2 ， 求 的值．
【答案】（1）证明：BC⊥直线l1 ，
∴∠ABP＝∠CBE．
在△ABP和△CBE中，
（2）①证明：如图，延长AP交CE于点H．
∵△ABP≌△CBE，
∴∠PAB＝∠ECB，
∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴AP⊥CE．
∵ ，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2 ，
∴△CPD∽△BPE， ∴ ，
∴DP＝EP．
∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD．
∵AP⊥CE，∴AP⊥BD．
②解：∵ ，∴BC＝nBP，
∴CP＝(n－1)BP．
∵CD∥BE，
∴△CPD∽△BPE，
∴ ．
令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S，
S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S．
∵ ，
∴S1＝(n＋1)(n－1)S，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ABP≌△CBE；
（2）①、延长AP交CE于点H，由（1）知△ABP≌△CBE，所以可得∠PAB＝∠ECB，而∠∠ECB+∠BEC=，所以可得∠PAB+∠BEC=，即∠AHE=，所以AP⊥CE；已知=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE∥BD，再根据平行线的性质即可求得AP⊥BD；
②方法与①类似，由已知条件易证得△CPD∽△BPE，则可得对应线段的比相等，然后可将△PAD的面积和△PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。
3．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于 轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】（1）解：由抛物线 过点A（－3，0），B（1，0），
则
解得
∴二次函数的关系解析式
（2）解：连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
设点P坐标为（m，n），则 ．
PM = ， ，AO=3．
当 时， ＝2．
∴OC=2．
＝ ＝ ＝ ．
∵ ＝－1＜0，∴当 时，函数 有最大值．
此时 ＝ ．
∴存在点 ，使△ACP的面积最大．
（3）解：存在点Q，坐标为： ， ．
分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出
【解析】【分析】（1）由题意知抛物线过点A（－3，0），B（1，0），所以用待定系数法即可求解；
（2）因为三角形ACP是任意三角形，所以可做辅助线，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．则三角形ACP的面积=三角形APM的面积+矩形PMON的面积-三角形AOC的面积-三角形PCN的面积。于是可设点P的 横坐标为m，则纵坐标可用含m的代数式表示出来，即M（m,−−m + 2）,
则三角形ACP的面积可用含m的代数式表示，整理可得是一个二次函数，利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据对应顶点的不同分三种情况（△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC）讨论即可求解。
4．如图，Rt△AOB在平面直角坐标系中，已知：B（0， ），点A在x轴的正半轴上，OA=3，∠BAD=30°，将△AOB沿AB翻折，点O到点C的位置，连接CB并延长交x轴于点D.
（1）求点D的坐标；
（2）动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动，当△PAB为直角三角形时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，当△PAB为以∠PBA为直角的直角三角形时，在y轴上是否存在一点Q使△PBQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】 （1）解：∵B（0， ），
∴OB= .
∵OA= OB，
∴OA=3，
∴AC=3.
∵∠BAD=30°，
∴∠OAC=60°.
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=30°，
∴ = ，
∴OD=3，
∴D（﹣3，0）；
（2）解：∵OA=3，OD=3，∴A（3，0），AD=6，
∴AB=2 ，当∠PBA=90°时.
∵PD=2t，
∴OP=3﹣2t.
∵△OBA∽△OPB，
∴OB2=OP•OA，
∴3﹣2t= =1，解得t=1，当∠APB=90°时，则P与O重合，
∴t= ；
（3）解：存在.
①当BP为腰的等腰三角形. ∵OP=1，∴BP= =2，
∴Q1（0， +2），Q3（0. ﹣2）；
②当PQ2=Q2B时，设PQ2=Q2B=a，
在Rt△OPQ2中，12+（ ﹣x）2=x2 ， 解得x= ，
∴Q2（0， ）；
③当PB=PQ4时，Q4（0，﹣ ）
综上所述：满足条件的点Q的坐标为Q1（0， +2），Q2（0， ），Q3（0. ﹣2），Q4（0，﹣ ）.
【解析】【分析】（1）根据已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度数，进而求得∠ADC，即可求得D的坐标；（2）根据直角三角形的判定，分两种情况讨论求得；（3）求得PB的长，分四种情形讨论即可解决问题.
5．如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm2）
（1）当PQ⊥AB时，x=________；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．
【答案】（1）
（2）解：①如图1中，当0＜x≤ 时，重叠部分是四边形PQMN．
y=2x× x=2 x2 ．
②如图②中，当 ＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．
y= （2﹣x+2tx× x= x2+ x
③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．
y= （2﹣x+2）×[ x﹣2 （x﹣1）]= x2﹣3 x+4 ；
综上所述，y=
（3）解：①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．
则有：tan∠EAB=tan∠QPB，
∴ = ，
解得x= ．
②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．
此时tan∠DEA=tan∠QPB，
∴ = ，
解得x= ，
综上所述，当x= s或 时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分
【解析】【解答】解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，
∴2x=2（2﹣2x），
∴x= s．
故答案为 s．
【分析】（1）由题意 BQ=2x,PB=2-2x，当PQ⊥AB时，根据含30°直角三角形的边之间的关系得：BQ=2PB，从而列出方程，求解即可；
中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及详细答案
中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及详细答案
一、平行四边形
1．问题发现：
（1）如图①，点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使其同时平分平行四边形ABCD的面积和周长．
问题探究：
（2）如图②，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P为矩形外一点，请过点P画一条同时平分矩形OABC面积和周长的直线l，说明理由并求出直线l，说明理由并求出直线l被矩形ABCD截得线段的长度．
问题解决：
（3）如图③，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABCD的边OA、OD分别在x轴、y轴正半轴上，DCx∥轴，ABy∥轴，且8OAOD，2ABCD，点(1052,1052)P为五边形内一点．请问：是否存在过点P的直线l，分别与边OA与BC交于点E、F，且同时平分五边形OABCD的面积和周长?若存在，请求出点E和点F的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析；（2）25yx，35；（3）(0,0)E，(5,5)F．
【解析】
试题分析：（1）连接AC、BD交于点O，作直线PO，直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．
（2）连接AC，BD交于点O，过O、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分．
（3）存在，直线yx平分五边形OABCD面积、周长．
试题解析：（1）作图如下：
（2）∵(6,7)P，(4,3)O，
∴设:6POykx，
67{43kbkb，2{5kb，
∴25yx，
交x轴于5,02N，
交BC于11,62M，
2211563522MN．
（3）存在，直线yx平分五边形OABCD面积、周长．
∵(1052,1052)P在直线yx上，
∴连OP交OA、BC于点E、F，
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）5；（2）180
【解析】
【分析】
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．
【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：
x+1+（x+1）x＝36，
解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；
（2）根据题意得：5×36＝180（个），
答：第三轮将又有180人被传染．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.
2．已知关于x的一元二次方程220xmxm（m为常数）
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】(1)见解析；
(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0.
【解析】
【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=21m ,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.
【详解】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，
∵无论m为何值时m2≥0， ∴m2+4≥4＞0，
即△＞0，
所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t，
220xmxm
根据题意得2+t=21m ,2t=m，
解得t=0，
所以m=0，
即m的值为0，方程的另一个根为0.
中考数学培优 易错 难题(含解析)之一元二次方程含答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1yx，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1yx的零点．
己知函数222(3)yxmxm(mm为常数)．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x和2x，且121114xx，此时函数图象与x轴的交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线10yx上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【答案】（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．
（2）见解析,
（3）AM的解析式为112yx．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式
【详解】
（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．
（2）令y=0，得△=
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由解得． ∴函数的解析式为．
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B关于直线10yx的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线10yx的交点就是满足条件的M点．
易求得直线10yx与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（106，）
设直线AB’的解析式为ykxb，则
人教中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇附详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案
中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米
【解析】
解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．
∴DC=BC•cos30°=36392米，
∵CF=1米，
∴DC=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGF中，
BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高
2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．
（1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【解析】
试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶一元二次方程组及答案解析
中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶一元二次方程组及答案解析
一、一元二次方程
1．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
【答案】（1）12k；（2）3k
【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240bac，代入可解出k的取值范围；
（2）由韦达定理可知，2121221,xxkxxk，列出等式，可得出k的值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤12；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤12，∴k＝－3.
2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm的两段；
（2）两正方形面积之和为48时，，，∵， ∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．
人教备战中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．解下列方程：
（1）x2﹣3x=1．
（2）12（y+2）2﹣6=0．
【答案】(1)12313313,22xx ;(2)12223,223yy
【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，
∵b2﹣4ac=13＞0
∴．
∴12313313,22xx．
（2）（y+2）2=12，
∴或，
∴12223,223yy
2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【答案】（1）k＞34；（2）15.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22mn，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞34； (2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为：222215mnmnmn.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
备战中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)及答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
【答案】（1）12k；（2）3k
【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240bac，代入可解出k的取值范围；
（2）由韦达定理可知，2121221,xxkxxk，列出等式，可得出k的值．
试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤12；
(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤12，∴k＝－3.
2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1yx，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1yx的零点．
己知函数222(3)yxmxm(mm为常数)．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x和2x，且121114xx，此时函数图象与x轴的交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线10yx上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【答案】（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．
（2）见解析,
（3）AM的解析式为112yx．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式
【详解】
（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及详细答案
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．
【答案】553 4
【解析】
【分析】
如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【详解】
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝12∠COD＝30°，
∴QM＝OP＝OC•cos30°＝53（分米），
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝12OA＝5（分米），
∴AM＝AQ＋MQ＝5＋53．
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），
在Rt△PKE中，EK＝22EFFK＝26（分米），
∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），
在Rt△FJE′中，E′J＝2263（2）＝26，
∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，
∴B′E′−BE＝4．
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案解析
中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案解析
一、直角三角形的边角关系
1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．
（1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【解析】
试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，