4-3 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
a
0
j
0
t
( s a )2 2
e at sin t
2 ( s a) te at sin t [( s a) 2 2 ]2
ⅵ) pi，pj共轭右半平面（一阶）
pi，pj共轭右半平面（二阶）
j
j
j
h(t )
j
j
h(t )
0
a 0
1 te at u (t ) ( s a)2
起始增加，最终收敛
ⅲ) pi>0（实一阶）
pi>0（实二阶）
j
h(t )
j
h(t )
a
0 0
a
t
0
0
t
1 eat u(t ) sa
1 teat u(t ) 2 (s a)
ⅳ) pi, pj共轭虚轴（一阶）
pi，pj共轭虚轴（二阶）
[例4]： 取何值时系统稳定、临界稳定？ K
+
V1 ( s )
-
G( s)
1 ( s 2)( s 1)
V2 ( s )
K
解： 2 ( s) [V1 ( s) KV2 ( s)]G( s) V 1 V2 ( s ) G( s) ( s 1)( s 2) 1 K V1 ( s ) 1 KG( s ) ( s 1)( s 2) K 1 ( s 1)( s 2)
解： ② 极点： s = -1 （二阶） s = ∞ （一阶） 零点： s = 0 （一阶） 3 s = -2（一阶） s = -3（一阶）
2
j
1
0
2．H(s) 极点与 h(t) 波形特征关系
p1 p2 pn ① H ( s) , 设 m n ( s pi )
充 分 性
r (t )
h( ) e(t ) d
h( ) e(t ) d
h( ) M e d M e M M r
由BIBO可知系统稳定
系统稳定
h(t ) dt有界
必 要 性
j 1 n i 1
K (s z j )
m
n n ki i H h(t ) hi (t ) ki e Pt 则： ( s ) i 1 i 1 i 1 s pi
n
故： pi e
pi t
若 pi为k阶极点，则
pi K i1t k 1 K i 2t k 2 K i ( k 1)t K ik e pit
②典型情况 ⅰ) pi =0（一阶）
j
h(t )
pi =0 （二阶）
j
h(t )
0
0
t
0
0
t
1 h (t ) u (t ) s
1 h(t ) tu(t ) 2 s
ⅱ) pi<0（实一阶）
pi<0（实二阶）
j
a 0
h(t )
j
a
t
h(t )
0
t
0
0
1 e at u(t ) sa
j
j
j
Pi
j
j
h(t )
h(t )
0
0
Pj
0
t
0
j
t
sin t 2 2 s
2 s t sin t 2 2 2 (s )
ⅴ) pi，pj共轭左半平面（一阶）
pi，pj共轭左半平面（二阶）
j
j
h(t )
j
j
h(t )
a
0
j
0
t
5 2t 故：rh (t ) 3e e 2 5 2t 1 t r (t ) (3e e )u (t ]：v1 (t ) 10cos 4tu (t ), H ( s) 解： V2 ( s) V1 ( s) H ( s)
1 , V2 ( s) V1 ( s) H ( s), 求v2 (t ) s 1
7．BIBO稳定性把H(s)稳定性中的临界稳定性判为不稳定 h(t)=A或等幅振荡代表不满足绝对可积条件 [例3]：
sin(0t )u (t )
H ( s) s s2 2
r (t )
0 s R( s) 2 2 2 2 s 0 s 0 1 r (t ) t sin(0t )u (t ) 2
10 40 10 t 10 t 10 v2 (t ) [ cos 4t sin 4t e ]u (t ) [ e cos(4t 76 )]u(t ) 17 17 17 17 17
•虚轴上二阶或二阶以上极点→h(t)波形增幅振荡
3．H(s)零点对h(t)波形影响
sa [例2]： e at cos t ( s a)2 2
s a a 2 at e at (cos t sin t ) 1 2 e cos(t ) ( s a)2 2
( s p1 ) K H ( s ) |s p1直到 K = n 时才为有限值：n 阶极点
④∞处： 分母次数 > 分子次数则为零点，阶次为分母次数减分子次数 分母次数 < 分子次数则为极点，阶次为分子次数减分母次数
注意：零、极点个数相同
⑤零极点图中：×表示极点；○表示零点
s[( s 1) 2 1] [例1]： ① H ( s ) ( s 1) 2 ( s 2 4) 解：
r (t ) e(t ) h(t ) h( )e(t )d
r (0) h( )e( )d
h( ) d
若
h(t ) dt无界,则r (0)也无界 对某种有界e(t )
h ( t ) h ( t )u ( t ) 6. 因果稳定系统充要条件： 0 h(t ) dt M
t
j
a 0 0
t
( s a )2 2
eat sin t
2 ( s a) teat sin t [( s a)2 2 ]2
总结：
•极点左半平面→h(t)波形衰减
•极点右半平面→h(t)波形增长
H ( s)
•虚轴上一阶极点→h(t)波形等幅振荡或阶跃
极点：s = -1 （二阶） s = j2 （一阶） s = -j2（一阶） 零点：s = 0 （一阶） s = 1+j1（一阶） s = 1-j1 （一阶） s = ∞ （一阶）
1
j 2
j1
j
0
1
j1
复数极点 和零点成 对出现
j 2
s( s 2)( s 3) [例1]： ② H ( s ) ( s 1) 2
H(s)包含了零状态响应
包含全部自 由响应形式
提供的全部信息，但它 不包含零输入响应的全 部信息
d 2 r (t ) dr(t ) de(t ) [例5]： 3 2r (t ) e( t ) 2 dt dt dt
r (0 ) 1 r (0 ) 1 e(t ) u (t ) ， ，
极点分为两部分
1．假设所有pi，pk均不相等，且没被零点抵消，则 n v Ki Kk R( s) i 1 s pi k 1 s pk
r (t )
Ki e pit
i 1
n
K k e pk t
k 1
v
自由响应 强迫响应 (系统函数极点形成) (激励函数极点形成)
并非自由响应的全部：只对应零状态部分的自由响应， 缺少零输入所对应的自由响应
自由响应 齐次解 零输入响应 齐次解的一部分 强迫响应 特解 零状态响应 齐次解的一部分+特解
2．Ki , Kk 均由 pi , pk共同作用，即
自由响应：形式只由H(s)决定，幅度相位由H(s), E(s)共同决定
强迫响应：形式只由E(s)决定，幅度相位由H(s), E(s)共同决定
1 2 s s2 K
p1,2
1 9 K 2 4
K 9 时，有共轭复根在左半平面，系统稳定 K 2 4 系统稳定 9 1 9 9 K ，即2 K 时，系统稳定 0 K 且 4 2 4 4
K 2 时，系统临界稳定 K 2 时，系统不稳定
§4.3 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
一、系统函数H(s)零极点与h(t)波形关系
f(t)与 F(s) 之间存在一定对应关系，可从F(s)的典 型形式透视出f(t)内在性质 1．系统函数零极点概念 ①极点：分母多项式之根
②零点：分子多项式之根 ③极点阶次：
s p1
lim H ( s ) , ( s p1 ) H ( s ) |s p1 有限值：一阶极点
只影响幅度、相位、不改变波形形式
二、H(s)极点与系统稳定性关系
1．稳定性：系统本身特性，与激励无关 时域和S域两方面出发：h(t)或H(s)集中表征了系统的本性， 当然它们也反映了系统是否稳定 2．h(t) 与系统稳定性关系
lim h (t ) 0 系统稳定 t 因果系统 lim h (t ) A或等幅振荡 系统临界稳定 h(t)=0 t (t<0) 系统不稳定 lim h (t ) 不存在 t
e( t ) M e r ( t ) M r
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由系统函数的零极点决定时域特性
(3): 由因果关系决定：
完全解= z.i.r +z.s.r z.i.r: 没有外加的激励信号，只由起 始状态（起始时刻系统储能）所产生 的响应。 z.s.r: 不考虑起始时刻系统的储能（起 始状态为零），由系统外加激励信号产 生的响应。
*自由响应与强迫响应
R( s ) E ( s ).H ( s )
h ( t ) 2e
t t 3t
rzi (t ) c1e c2 e
例：求下列各系统函数的z-p点分布及h(t)的 波形。
s 1 1. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 s 2. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 3. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2
2.极-零图(见p209所示图) 二.零极点与时域波形的对应关系 1.左半开平面的极点(在负实轴上，一，二，m阶)； 不在负实轴上（复数共 轭成对。)
极 零图
a0 e t
a0 s
( 2)
a1 s a0 t [(a0 a1 )t a1 ]e ...... t 0 2 (s )
z-p点都受约束。 i1
4个转移函数：
u1
System
i2
u2
I 2 ( s) u 2 ( s) YT ( s) , Z T ( s) u1 ( s) I 1 ( s) u 2 ( s) I 2 ( s) k u ( s) , k i ( s) u1 ( s) I1 ( s)
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋势 • 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣势 • 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点 • 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案
） 。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
） 。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
） 。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、 已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换 为（ B ） 。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ） 。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s
系统函数与系统特性
冲响应h[k]和系统频率响应H(ejΩ) 。
系统频率响应：
H (ej )
ej
ej
1
(1 cos )
j sin
幅度响应
H (ej )
1
(ej)| 1
()
1 2 2 cos 1
相位响应
1
1
( )统特性
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源 于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处，特 此说明并表示感谢！
z z
( (
/ 4) / 3)
极点： p 3
离散因果LTI系统稳定的条件是H(z)的极点位于单位圆内，
因此，β的取值范围： 3
例：描述因果离散LTI系统的差分方程为y[k] y[k1]=x[k], 试分析使得系统稳定的参数 取值范围，并求解系统单位脉
冲响应h[k]和系统频率响应H(ejΩ) 。
1. 系统函数与系统时域特性
H(z)零极点分布与系统时域特性
k
k
1
k
k Im(z)
k
j
1
Re( z )
j k
k
k
k
2. 系统函数与系统频率响应
离散LTI系统的频率响应H(ej) 对于稳定系统，令系统函数H(z)中z=ej 得到系统频率响应
H (ej ) H (z) zejΩ
H (ej ) | H (ej ) | ej ( )
( )
H(ej )
Im(z)
单位圆
D1
1
p1
D2
p2
ej
1
N1z1 N2
Re(z)
2
z2
3. 系统函数与系统的稳定性
系统频率响应：
H (ej )
ej
ej
1
(1 cos )
j sin
幅度响应
H (ej )
1
(ej)| 1
()
1 2 2 cos 1
相位响应
1
1
( )统特性
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源 于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处，特 此说明并表示感谢！
z z
( (
/ 4) / 3)
极点： p 3
离散因果LTI系统稳定的条件是H(z)的极点位于单位圆内，
因此，β的取值范围： 3
例：描述因果离散LTI系统的差分方程为y[k] y[k1]=x[k], 试分析使得系统稳定的参数 取值范围，并求解系统单位脉
冲响应h[k]和系统频率响应H(ejΩ) 。
1. 系统函数与系统时域特性
H(z)零极点分布与系统时域特性
k
k
1
k
k Im(z)
k
j
1
Re( z )
j k
k
k
k
2. 系统函数与系统频率响应
离散LTI系统的频率响应H(ej) 对于稳定系统，令系统函数H(z)中z=ej 得到系统频率响应
H (ej ) H (z) zejΩ
H (ej ) | H (ej ) | ej ( )
( )
H(ej )
Im(z)
单位圆
D1
1
p1
D2
p2
ej
1
N1z1 N2
Re(z)
2
z2
3. 系统函数与系统的稳定性
系统的零极点分布决定时域特性
目录一、引言 (1)二、Matlab入门 (2)2.1 Matlab7.0介绍 (2)2.2利用Matlab7.0编程完成习题设计 (2)三、利用Matlab7.0实现系统函数的零极点分布决定时域特性的设计 (4)3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (4)3.2编程设计及实现 (5)3.3运行结果及其分析 (6)四、结论 (11)五、参考文献 (12)一、引言《信号与系统》课程是一门实用性较强、涉及面较广的专业基础课，该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程,对后续专业课起着承上启下的作用. 该课的基本方法和理论大量应用于计算机信息处理的各个领域,特别是通信、数字语音处理、数字图像处理、数字信号分析等领域,应用更为广泛。
我们选择Matlab语言作为辅助教学工具，借助Matlab强大的计算能力和图形表现能力，将《信号与系统》中的概念、方法和相应的结果，以图形的形式直观地展现给我们，大大的方便我们迅速掌握和理解老师上课教的有关信号与系统的知识。
Matlab是当前最优秀的科学计算软件之一，也是许多科学领域中分析、应用和开发的基本工具。
Matlab全称是Matrix Laboratory,是由美国Mathworks公司于20世纪80年代推出的数学软件，最初它是一种专门用于矩阵运算的软件，经过多年的发展，Matlab 已经发展成为一种功能全面的软件，几乎可以解决科学计算中的所有问题。
而且MATLAB 编写简单、代码效率高等优点使得Matlab在通信、信号处理、金融计算等领域都已经被广泛应用。
它具有强大的矩阵计算能力和良好的图形可视化功能，为用户提供了非常直观和简洁的程序开发环境，因此被称为第四代计算机语言。
Matlab 强大的图形处理功能及符号运算功能，为我们实现信号的可视化及系统分析提供了强有力的工具。
Matlab强大的工具箱函数可以分析连续信号、连续系统，同样也可以分析离散信号、离散系统，并可以对信号进行各种分析域计算，如相加、相乘、移位、反折、傅里叶变换、拉氏变换、z变换等等多种计算。
信号与系统第六章 系统函数与零极点分析PPT课件
信号与线性系统
三、通过系统函数表达式作出系统模拟图
H s Y Fs s b 1 n a b n n 1 1 s s 1 1 a b 1 1 s s n n 1 1 a b 0 0 s s n n
令m=n并不失一般性！
YsHsFsNsD Fss
设一个中间变量
X
s
p2
j
p4 j0
Tel:22896276
返回
广东医学院生物医学工程教研室
信号与线性系统
三、零点、极点与频域特性的关系 如果系统函数在s平面右半面没有极点，那么，系统的频 率特性就可以由下式确定：
HjHssj
m
m
szi
jzi
HsH0
i1 n
HjH0
i1 n
spj
jpj
j1
j1
E-mail:lynwindsent@
L-1
httet tsin0ttet sin0tt
系统函数极点为 p 1 0
p2
p 3 j 0
p 4 j 0
返回
E-mail:lynwindsent@
Tel:22896276
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j
信号与线性系统
j
p1 0
j
p3 j0
E-mail:lynwindsent@
系统函数也是系统冲击响应的象函数：
Hs htestdt
0
E-mail:lynwindsent@
Tel:22896276
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信号与线性系统
如果激励信号是指数信号est，则系统响应为：
yt h e st d e sth e s d H se st
极点与系统稳定性
极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。
连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。
传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。
如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。
下面对连续系统与离散系统分别进行分析：⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开：1n a s -+++系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。
每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为……由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。
只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。
因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。
如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。
系统函数零极点分布决时域特性课件
总结词
零点位置影响系统瞬态响应的速度和幅 度，极点位置影响系统阻尼和振荡特性 。
VS
详细描述
零点位置影响系统输出的初始状态。如果 存在接近虚轴的零点，系统的输出会迅速 达到稳定值。极点位置影响系统的阻尼特 性和振荡频率，靠近虚轴的极点会导致系 统阻尼慢，振荡时间长。
零极点分布与系统稳态误差的关系
总结词
零点位置对系统稳态误差的影响
总结词
零点位置影响系统稳态误差，靠近虚轴的零点导致稳态误差 增大。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的稳态误差。如果零点靠 近虚轴，系统的稳态误差会增大。这是因为这些零点使得系 统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的稳态误差增大。
04
极点分布对时域特性的影响
极点位置远离虚轴
系统瞬态响应较慢，因为远离虚轴的 极点会导致系统具有较小的时间常数 ，从而减缓瞬态响应。
极点位置对系统稳态误差的影响
极点位置靠近虚轴
系统稳态误差较小，因为虚轴附近的极点会导致系统具有较大的增益，从而减 小稳态误差。
极点位置远离虚轴
系统稳态误差较大，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的增益，从而增 大稳态误差。
零点位置对系统瞬态响应的影响
总结词
零点位置影响系统瞬态响应，靠近虚轴的零点导致瞬态响应速度变慢。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的瞬态响应特性。如果零点靠近虚轴，系统的瞬态响应速度 会变慢。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的动态响应速度变慢。
稳态误差
系统在输入信号的作用下，实际 输出与理想输出之间的偏差。
误差类型
包括静态误差和动态误差，静态误 差是指系统在稳态下的误差，动态 误差是指系统在过渡过程中产生的 误差。
系统函数零极点时域特性和稳定性
1 h(t) 0 设：e(t) sgn[h(t)] 0 h(t) 0
1 h(t) 0
则 e(t) 1有界，e(t)h(t) h(t)
r(t) e(t) h(t) h( )e(t )d
r(0) h( )e( )d h( ) d
若 h(t) dt无界,则r(0)也无界 对某种有界e(t )
6.
因果稳定系统充要条件：
h(t) h(t)u(t)
0
h(t)
dt
M
7．BIBO稳定性把H(s)稳定性中的临界稳定性判为不稳定
h(t)=A或等幅振荡代表不满足绝对可积条件
[例3]：
H (s)
sin(0t )u (t )
s
s2 2
R(s)
s2
s
02
0 s2 02
r (t )
1 2
t
sin(0t )u (t )
n i 1
ki s pi
h(t)
n
hi (t)
i 1
n
ki e Pi t
i 1
故： pi e pit
若 pi为k阶极点，则 pi Ki1tk1 Ki2tk2
Ki(k1)t Kik e pit
②典型情况
ⅰ) pi =0（一阶）
j
h(t)
0
0t
1 h(t) u(t) s
pi =0 （二阶）
r (t )
[例4]：K 取何值时系统稳定、临界稳定？
+
V1 ( s) -
G(s)
1
(s 2)(s 1)
V2 (s)
K
解：V2 (s) [V1(s) KV2 (s)]G(s) 1
V2 (s) G(s) (s 1)( s 2)
数字信号处理MATLAB实验报告
MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz，调用freqz的格式主要有两种。一种形式为
[H,w]=freqz(B,A,N)
其中，B与A分别表示 的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，默认值为512；返回值w包含 范围内的N个频率等分点；返回值H则是离散时间系统频率响应 在 范围内N个频率处的值。另一种形式为
[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)
与第一种方式不同之处在于角频率的范围由 扩展到 。
上机练习：
试用MATLAB的residuez函数，求出 的部分分式展开和。
b=[2 16 44 56 32];
a=[3 3 -15 18 -12];
[R,P,K]=residuez(b,a)
R =
+
zplane(B,A)
其中，B与A分别表示 的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。
与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数 与z域函数 之间的对应关系。因此，z变换的函数 从形式可以反映 的部分内在性质。我们仍旧通过讨论 的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。
[R,P,K]=residuez(B,A)
其中，B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量；R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。
离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即
（4-4）
如果系统函数 的有理函数表示式为
x=iztrans(z)
上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表示，可通过sym函数来定义。
如果信号的z域表示式 是有理函数，进行z反变换的另一个方法是对 进行部分分式展开，然后求各简单分式的z反变换。设 的有理分式表示为
[H,w]=freqz(B,A,N)
其中，B与A分别表示 的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，默认值为512；返回值w包含 范围内的N个频率等分点；返回值H则是离散时间系统频率响应 在 范围内N个频率处的值。另一种形式为
[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)
与第一种方式不同之处在于角频率的范围由 扩展到 。
上机练习：
试用MATLAB的residuez函数，求出 的部分分式展开和。
b=[2 16 44 56 32];
a=[3 3 -15 18 -12];
[R,P,K]=residuez(b,a)
R =
+
zplane(B,A)
其中，B与A分别表示 的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。
与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数 与z域函数 之间的对应关系。因此，z变换的函数 从形式可以反映 的部分内在性质。我们仍旧通过讨论 的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。
[R,P,K]=residuez(B,A)
其中，B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量；R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。
离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即
（4-4）
如果系统函数 的有理函数表示式为
x=iztrans(z)
上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表示，可通过sym函数来定义。
如果信号的z域表示式 是有理函数，进行z反变换的另一个方法是对 进行部分分式展开，然后求各简单分式的z反变换。设 的有理分式表示为
系统函数零极点分布决定时域特性
（自由／强迫，瞬态／稳态）；
3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
X
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应第页2
1．系统函数的零、极点
H (s) A(s) K (s z1 )(s z2 ) (s z j ) (s zm ) B(s) (s p1 )(s p2 ) (s pk ) (s pn )
一．序言
第 1
页
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。
在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。
主要优点：
1．可以预言系统的时域特性；
2．便于划分系统的各个分量
m
(s zj )
j 1
K n (s pk ) k 1
z1 , z2 zn 系统函数的零点
p1 , p2 pn 系统函数的极点
在s平面上，画出H(s)的零极点图： 极点：用×表示，零点：用○表示
X
2．H(s)极点分布与原函数的对应关系
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几种典型情况
j
jω0 s2 2
α
1 sa
p211
1 s2
O
1 s
jω0
α
X
第
一阶极点
4
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H(s) 1 , s
p1 0在原点， h(t) L1[H(s)] u(t)
H(s) 1 , sa
p1 a
a 0, 在左实轴上 , h(t) eat u(t), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h(t) eat u(t),a 0, 指数增加