乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性
微分算式乘积的自伴域的实参数解描述
微分算式乘积的自伴域的实参数解描述
葛素琴;王万义;索建青
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2013(26)3
【摘要】考虑[a,b)上n阶复值系数对称微分算式ly=∑nj=0aj(t)y(j)(t),设其最小算子的实正则型域为Ⅱ(T0(l))∩R=(-1,1)及l2在L2[a,b)中是部分分离的条件下,利用微分方程ly=±λ0y(λ0∈Ⅱ(T0(l))∩R,λ0≠0)的实参数解给出l2的自共轭域的完全解析描述.
【总页数】7页(P580-586)
【关键词】微分算式乘积;正则型域;实参数解;部分分离;自共轭域
【作者】葛素琴;王万义;索建青
【作者单位】内蒙古大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.3
【相关文献】
1.边界条件中含有特征参数的常型二阶微分算子乘积的自伴性 [J], 李委;王万义;王永乐
2.m个微分算式乘积的自伴边界条件 [J], 杨传富; 杨孝平; 黄振友
3.两端奇异微分算子自共轭域的实参数解描述 [J], 高鹏飞
4.两端奇异微分算式乘积自伴域的实参数解描述 [J], 葛素琴;王万义
5.具有内部奇异点的微分算子自共轭域的实参数解描述 [J], 葛素琴;王万义
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《2024年乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性》范文
《乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性》篇一一、引言在数学物理领域，乘积微分算子扮演着重要的角色，特别是在量子力学、偏微分方程和谱理论的研究中。
乘积微分算子的自伴性及其特征值对边界条件的依赖性是该类算子研究的核心问题。
本文旨在探讨乘积微分算子的自伴性，并分析其特征值如何依赖于边界条件。
二、乘积微分算子的定义乘积微分算子通常定义为作用于函数空间的一类线性算子，其形式为D = A ×B，其中A和B是两个标量或向量函数，并且通常为已知的函数。
这样的乘积微分算子通常用于描述两个或多个物理量之间的相互作用或依赖关系。
三、乘积微分算子的自伴性自伴性是线性算子具有的重要性质，意味着该算子的转置与原算子相等。
对于乘积微分算子，其自伴性主要取决于所涉及的函数空间及其边界条件。
一般来说，如果函数空间满足一定的对称性条件，且边界条件使得乘积微分算子的转置与其本身一致，则该乘积微分算子是自伴的。
然而，这一结论的具体形式取决于函数空间和所采用的边界条件。
四、特征值对边界的依赖性特征值是描述线性算子特性的重要参数，对于乘积微分算子而言，其特征值往往依赖于边界条件。
不同的边界条件可能导致特征值的变化，甚至可能使某些特征值消失或产生新的特征值。
这种依赖性主要表现在以下几个方面：1. 分离边界条件：当在某个方向上施加了分离的边界条件时，乘积微分算子的特征值可能会发生变化。
例如，在有限域内，如果施加了一定的限制条件使得某些函数无法取到某些值，那么特征值将受到影响。
2. 周期性边界条件：当考虑具有周期性结构的系统时，周期性边界条件将影响乘积微分算子的特征值。
周期性边界条件可能导致特征值的周期性变化或产生新的特征值。
3. 混合边界条件：在实际问题中，混合边界条件（即多种不同类型的边界条件组合）也可能对乘积微分算子的特征值产生影响。
这种影响往往比较复杂，需要进行详细的数值分析和实验验证。
五、数值分析方法与实验验证为了分析乘积微分算子的自伴性和特征值对边界的依赖性，需要采用适当的数值分析方法。
《几类内部具有不连续性的微分算子耗散性及特征值关于问题依赖性的研究》范文
《几类内部具有不连续性的微分算子耗散性及特征值关于问题依赖性的研究》篇一摘要：本文旨在研究几类内部具有不连续性的微分算子的耗散性及其特征值对问题的依赖性。
首先，我们将介绍微分算子的基本概念和耗散性的定义。
然后，我们将探讨不连续性对微分算子耗散性和特征值的影响，并分析这些影响在具体问题中的应用。
最后，我们将通过实例分析来验证我们的理论结果。
一、引言微分算子在物理学、工程学和数学等领域有着广泛的应用。
然而，当微分算子在内部具有不连续性时，其性质会发生显著变化。
这类不连续性可能导致算子的耗散性发生变化，进而影响其特征值。
因此，研究具有不连续性的微分算子的耗散性及特征值对问题的依赖性具有重要意义。
二、微分算子的基本概念及耗散性的定义微分算子是一种线性算子，用于描述函数的空间变化。
在许多物理和工程问题中，微分算子被用来描述系统的动态行为。
耗散性是描述系统能量随时间变化的一个概念，对于微分算子而言，耗散性表现为系统在某种扰动下的能量衰减。
三、不连续性对微分算子耗散性的影响当微分算子内部存在不连续性时，其耗散性将发生变化。
这种变化可能表现为系统在受到扰动后的能量衰减速度发生变化，或者系统出现新的稳定状态。
我们将通过理论分析和实例验证来探讨这种变化的具体形式和影响因素。
四、不连续性对微分算子特征值的影响特征值是描述微分算子性质的重要参数。
当微分算子内部存在不连续性时，其特征值也将发生变化。
我们将分析这种变化的具体形式和影响因素，并探讨特征值变化对问题解的影响。
此外，我们还将研究如何通过调整不连续性的程度来控制特征值的变化，以实现问题的有效求解。
五、实例分析为了验证我们的理论结果，我们将通过具体实例进行分析。
这些实例将涉及具有不连续性的微分算子在不同领域的应用，如物理学中的波动方程、工程学中的结构振动问题等。
我们将通过数值模拟和实验结果来验证我们的理论结果，并探讨如何将理论应用于实际问题中。
六、结论本文研究了几类内部具有不连续性的微分算子的耗散性及特征值对问题的依赖性。
《2024年乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性》范文
《乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性》篇一一、引言在数学物理领域，乘积微分算子扮演着重要的角色，特别是在量子力学、偏微分方程和算子理论等领域。
乘积微分算子的自伴性及其特征值对边界的依赖性是研究这一类算子时的重要问题。
本文旨在探讨乘积微分算子的自伴性，并进一步研究其特征值如何依赖于边界条件。
二、乘积微分算子的定义及自伴性乘积微分算子通常定义为对一定区域内函数进行微分运算后，再乘以另一函数形成的算子。
其自伴性指的是该算子的伴随算子与其本身相等。
对于乘积微分算子，其自伴性主要取决于所乘函数的性质以及微分算子的定义域和边界条件。
在一定的条件下，乘积微分算子可以是自伴的。
这些条件包括所乘函数的特性（如为实函数、满足特定对称性等）、微分算子的定义域及边界条件等。
在自伴的情况下，乘积微分算子具有许多良好的性质，如谱的实性、正交基的存在等。
三、特征值对边界的依赖性乘积微分算子的特征值对其边界条件具有显著的依赖性。
不同的边界条件可能导致特征值的变化，甚至可能改变特征值的分布和数量。
这种依赖性主要源于边界条件对算子定义域和自伴性的影响。
具体而言，当改变边界条件时，乘积微分算子的特征值可能会发生以下变化：1. 增加或减少：不同的边界条件可能使得某些特征值变得允许或禁止，从而增加或减少特征值的数量。
2. 位置变化：边界条件的改变可能影响特征值在复平面上的位置，使其向某个方向移动或形成新的排列。
3. 简并和解除简并：在某些情况下，不同的边界条件可能导致原本简并的特征值解除简并，或者形成新的简并。
四、研究方法与实例分析为了研究乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性，可以采用的方法包括理论分析、数值计算和实例分析等。
理论分析主要依据算子理论、偏微分方程等相关数学知识；数值计算则通过计算机程序求解特定问题的特征值和特征函数；实例分析则针对具体的物理或工程问题，通过实验或观测数据来验证理论分析的正确性。
以一维量子谐振子为例，其乘积微分算子的自伴性和特征值对边界的依赖性可以通过数值计算和实例分析来研究。
《两区间微分算子自伴域的实参数解刻画及谱的离散性》范文
《两区间微分算子自伴域的实参数解刻画及谱的离散性》篇一摘要：本文旨在研究两区间微分算子的自伴域，并对其在实参数下的解进行刻画。
此外，我们还将探讨该算子谱的离散性，以揭示其数学特性和物理应用。
一、引言微分算子在数学物理、量子力学等领域有着广泛的应用。
对于两区间微分算子的研究，尤其是其自伴域及谱的分析，有助于更深入地理解这些领域中的基本问题。
自伴域是算子理论中的核心概念，它涉及到微分方程的解以及相关算子的物理性质。
因此，本文将主要研究两区间微分算子的自伴域，以及实参数下解的刻画和谱的离散性。
二、问题陈述考虑两区间微分算子D，其形式为：D = d/dx 在 [a, b] 和 [b, a] 两个区间上交替作用。
我们关注其自伴域的实参数解以及谱的离散性。
三、自伴域的实参数解刻画对于两区间微分算子的自伴域，我们首先需要确定其边界条件。
在实参数下，通过分析微分方程的解，我们可以得到自伴域的边界条件。
这些条件将决定解的存在性和唯一性。
在此基础上，我们可以进一步刻画实参数解的结构和性质。
四、谱的离散性分析谱的离散性是微分算子的重要特性之一。
对于两区间微分算子，我们通过分析其特征值问题来研究谱的离散性。
我们将利用自伴域的边界条件和实参数解的结构，推导出特征值的性质和分布情况。
此外，我们还将探讨谱离散性与算子物理性质之间的关系。
五、数值模拟与结果分析通过数值模拟，我们可以验证理论分析的正确性。
我们选择一系列实参数值，计算微分算子的特征值和特征函数，并分析其离散性。
结果表明，自伴域的实参数解与理论预测一致，谱的离散性也符合预期。
这进一步证实了我们的分析方法和结论的正确性。
六、结论与展望本文研究了两区间微分算子的自伴域及其实参数解的刻画，以及谱的离散性。
通过分析自伴域的边界条件和实参数解的结构，我们得到了微分算子的解的存在性和唯一性。
此外，我们还探讨了谱的离散性与算子物理性质之间的关系。
数值模拟结果验证了我们的分析方法和结论的正确性。
《几类内部具有不连续性的微分算子耗散性及特征值关于问题依赖性的研究》范文
《几类内部具有不连续性的微分算子耗散性及特征值关于问题依赖性的研究》篇一一、引言在数学物理中，微分算子及其耗散性是理解复杂系统动态行为的关键工具。
本文着重研究几类内部具有不连续性的微分算子，尤其是其耗散性及特征值与问题依赖性的关系。
不连续性在物理系统中广泛存在，如相变、材料界面等，因此，对这类微分算子的研究具有重要的理论和实践意义。
二、不连续性微分算子的基本概念不连续性微分算子指的是在定义域内存在不连续点的微分算子。
这类算子在描述某些物理现象时尤为关键，如量子力学中的波函数、流体力学中的边界层等。
其特点在于其导数在某一点或某一片区域内可能不存在或突然改变。
三、几类具有不连续性的微分算子（一）具有跳跃不连续性的微分算子这类算子的导数在某一点发生跳跃，如Dirac delta函数。
这类算子在描述冲击波等物理现象时有着广泛应用。
（二）具有振荡不连续性的微分算子此类算子在不连续点处呈现振荡特性，常见于某些波传播过程中，如波动方程中的周期性波包。
（三）其他类型的微分算子包括含有不规则几何边界或介质属性的不连续性微分算子等，如流体通过不同介质的界面时所形成的复杂流动模型。
四、耗散性的研究耗散性是描述系统能量随时间逐渐减少的性质。
对于具有不连续性的微分算子，其耗散性更为复杂。
一方面，不连续性可能使能量在某些点上突然释放或累积；另一方面，它也可能导致能量传递路径的改变。
本文通过理论推导和数值模拟两种方法，研究了这几类微分算子的耗散性，揭示了其与系统稳定性及能量转移的关系。
五、特征值与问题依赖性的研究特征值是描述微分算子性质的重要参数，与系统的稳定性、响应速度等密切相关。
对于具有不连续性的微分算子，其特征值与问题的具体形式密切相关。
本文通过分析不同问题背景下的特征值变化规律，探讨了其与问题依赖性的关系，为解决实际问题提供了理论依据。
六、结论与展望本文研究了几类内部具有不连续性的微分算子的耗散性和特征值与问题依赖性的关系。
复合算子与微分算子乘积的有界性和紧性
复合算子与微分算子乘积的有界性和紧性
复合算子与微分算子乘积将大大简化复杂的数学问题，并引入新的有趣特性，这是函数分
析中的一个比较重要的课题。
这种乘积产生的复杂结构在克莱姆空间的概念中得到了良好
的诠释，重要的是它的有界性与紧性。
通俗地讲，有界性和紧性指的是复合算子与微分算子乘积的特性，即能够在有限的范围内满足数学要求，也就是说，它不会溢出指定的范围。
也就是说，有界性和紧性允许它们在有效的范围内满足数学要求，从而使操作尽可能容易地进行。
在函数分析中，紧性一般指
算子是通过一次应用其用户定义函数，并以可靠的方式执行期望的操作，而这恰恰是复合
算子与微分算子乘积想要实现的目标。
有界性和紧性不就是复合算子与微分算子乘积的优点，它也使复合算子可以以不同的方式
操作，从而获得一些新的特性，这些特性可以被用来帮助解决一些复杂的数学问题。
此外，紧性还可以降低更复杂的操作的难度，因为它消除了某些比较困难的步骤，这些步骤可以在许多有趣的数学问题中被利用。
总之，复合算子与微分算子乘积是一种独特的乘积结构，它有着许多有趣的特性，最重要的是它们具有有界性与紧性。
随着这些特性被更好地理解和应用，可以看到很多新的用处，这将有助于解决更复杂的数学问题，并带来新的发现和应用。
三个极限点型Hamilton算子乘积的自伴性
第３ 期
２ １ 年 ７月 ０１
曲 阜 师 范 大 学 学 报 Ｊｕｎｌ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｉ ｏ ｒａ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ ｎｖ ｓｙ ｅ ｔ
Ｖｏ ． ７ Ｎ ． １３ ｏ ３
Ｊ ｌ ０ １ ｕｙ２ １
三 个 极 限 点 型 Ｈａ ｌ ｎ算 子 乘 积 的 自伴 性 ｍｉｏ ｔ
自伴 扩 张 的一般 构造 理 论 ， 到 了三 个极 限点 型 Ｈａ ｌ ｎ算子 乘积 自伴 的充 要条 件 ． 得 ｍｉｏ ｔ
２ 预 备知 识
在本 文 中 ， 我们 考虑 下 面 的线性 Ｈ ｍｉｏ ａ ｌ ｎ系统 ｔ （） ＝ （ Ｗ（）＋Ｈ（） Ｙ ￡ ， ｔ Ａ ｔ ） （） ｔ∈ ［ ， ） ａ ｂ，
特别 地 ， Ａ∈ 且 Ｙ 当 （・， ，（・， Ａ）ｚ Ａ）是 系统 （ ． ） ２ １ 的两个 解 ， 有 则
（ （ ， ） ・Ａ ） ｔ Ｙ ・Ａ ， ， ） （）＝（ （ ， ） ・Ａ ） 口 ， ∈ ［ ，） （ Ｙ ・Ａ ，（ ， ） （ ） ｔ ０ ６ ． 定义 ２１ 令 ｄ ． 为 的 正负 亏 指 数 ， 特别 地 ， ｄ 若 ＝ｄ 一＝ｎ则称 Ｈ ｍ ｔ ａ ｉｏ 子 ｌ ｎ算
（ （） （ ）＝（ （ ） （ ） 利 用 （ ． ） 可知 ） ｔｙ ｔ ｔ ｔ）， ２２ 式
６
Ｊ ８
（．） ２２
对任意 ｂ ∈［ ，） ａ ｂ 均成立 ， 又因为对 于任意ｆｇ∈Ｄ （ ） ， Ｍ Ｔ 则存在 ， ∈ ［ ， ） 使得 ＝ ， ＝ ， ， 口 ｂ， ， ， ， 对于任
，０ 一，
（． ） ２ １
其 中 ａ点是正则端点 ， 点是奇异端点 （ ｂ ｂ 即 ＝＋ 或者 Ｗ（）Ｈ ｔ至少有一个函数在 ｂ ∞； ｔ ， （） 点附近不可积 ） ．
边界条件中含有特征参数的常型二阶微分算子乘积的自伴性
作者简介 ： 李委 （ １ ９ ８ ８ － ） 女，蒙古族， 内蒙古 师范大学数 学科学学院在读研 究生 。研 究方向：微分算子谱理论
．
１ ０４ ．
（ ｆ ） ＝ （ 厂 『 ＾ （ ｒ ） ） …， ０ ＜ ｊ ， ｋ ≤ Ｎ 一 １ ，
第２ １ 毒知４ 期
三 ｏ ＿ １ 年 ８月
呼伦 贝尔学院学报
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｈｕ ｌ ｕ ｎ ｂ ｅ ｉ ｅ ｒ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｅ ｅ
ＮＯ． ４
Ｖ ０ １ ． ２１
．
Ｐ ｕ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｉ
ｔ ． ２ ０ｌ ３
边界 条件 中含有特征 参数 的 常型二 阶微 分算子乘积 的 自伴性
对称算 ｆ未必对应一个可观察量 但一个微分算 子 只有 限制在 适 当定 义域 （ 即满 足适 当边 条件 的
函数空 间 ），才能 成 为 自伴 微 分算 子 。关 于微 分
算 子 的乘积 或幂 方 面 已有 了大 量 的研 究 ，尤 其在
设【 ・ ， ・ 】 ． Ⅳ 表 示， （ Ｊ ， ） ￣ Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ 双 线 性型 ， 有
１ ． 引言 和 预备 知识 微 分算 子 理论 在 量 子 力 学 中起 着 十 分 重要 的
正则． 以， 表示 珀勺 伴随算式 ，即
Ⅳ
作 用 ，一个 自伴 算 子 对 虚一 个 可 观察 量 ，而一 个
Ｉ ；∑ （ 一 １ ） Ｄ
若Ｚ （ ） 誊Ｚ ，称 ， （ ） 是对称微分算式．
的内积空间 ，并在此空间内定义一个与特征参数
相 关 的线 性算 子 ，利 用 微分 算 子 的一 般 构造 理
三个高阶极限点型微分算子积的自伴性
令
Ｄ 一
， ∈ 一 ［， ） ∞ ．
（） １
这里 ｎ 是定 义在 Ｅ ，。 ａ 。 ）上具 有足够 可 微性 的复 值 函数 ， 共轭 算式 为 其
Ｎ
一
（ １ ｋ ｋｋ 一 ）Ｄ ． ￣
ｋ‘ 。
＝ 一
０
以 瓦表 示复 数 ａ的共 轭 复数 ， ０和 ０ 。 分别 表示零 矩 阵和 ２ ×２ｚ 矩 阵． ， 零 将 阶方 阵 Ａ 写作 （ ≤ ， 。 ）≤
Ｉ （）出一ＩＹ （）ｔ Ｅ ， 。） Ｎ口 ｒＰ ∞ ｒ ｄ — ｙｚ （ 一［ ， （） Ｐ ∞ ］ 。 ］
．
（） ２
Ｊ ｄ
√
令 Ｑｗ 表 示 双线性 型 ［ （） 应 的矩 阵 ， （） ，］ 对 即
［ ］ （）一 — （） ｇ （）ａ ） ， ， Ｎ Ｏｚ ｔ） ＱＮ （ｙ（） Ⅳ — 其中 丽 一 （ ， （） … ， （） ， ’ ） ａ ） ： （） Ｙ （） … ， Ｎ （） （） ，（ｙ（） Ｎ＝ ＝（ ， ， （ ） ． ＿ （） ３
Ｖｏ ． ７ ＮＯ ５ １３ ．
Ｓｅ ｔ ２ ０８ ｐ． ０
Ｐ
三 个 高 阶极 限点 型 微 分 算 子 积 的 自伴 性
∑一
Ｄ
一
张新 艳 ，王 万义。 。
（ ． 蒙 古 财 经 学 院 统 计 与 数 学 学院 ， １内 内蒙 古 呼 和 浩 特 ０ ０ ５ ； １０ １ ２ 内蒙 古 大 学 数 学 科 学 学 院 ， ． 内蒙 古 呼 和 浩 特 ０ ０ ２ ） １０ ０
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乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性本文主要围绕乘积微分算子的白伴性及特征值对边界的依赖性展开研究.微分算子从本质来说是无界可闭的线性算子,无界闭的线性算子的定义域一定不能是全空间,因此定义域的选择始终是微分算子研究中的一个十分重要而困难的问题.在微分算式给定的前提下,对所研究的算子提出的具体要求最终体现在对定义域的限制上.定义域不同的微分算子,其谱分解,特别是离散谱会有很大不同.在这些定义域的选择中,自伴域的选择就是其中重要之一.自伴微分算子因其有重要的应用背景,不仅使得它的谱与反谱问题成为数学家研究的热门课题,同时白伴性的识别与描述问题也被提到了重要位置.本文首先研究了微分算式乘积的自伴域的实参数解描述问题,在适当条件的假设下,利用互为相反数的一对值所对应的解刻画了微分算式乘积的自伴域,使得自伴边界条件中矩阵的确定只与这些解在正则点的初始值有关.其次,对于四阶奇型对称微分算式而言,会出现中间亏指数情形.本文接着研究了由具有任意亏指数的对称常微分算式生成的两个四阶及高阶奇型微分算子的积的自伴性问题.通过在半直线上使用实参数解对自伴域的刻画定理及分析技巧,以矩阵形式给出了,具任意亏指数的奇型对称微分算式产生的两个微分算子的积自伴的充要条件,并获得了与积算子自伴性有关的一些结果.再次,人们在工程实践中发现：一根材料均匀的,横截面积与长度相比可忽略不计的,有弹性的杆,两端以一定的有意义的方式固定住,然后去弹奏它,会发现杆发出的音会随其长度的缩短而逐渐变强,即杆的固有频率在逐渐增高,这一现象更为力学家所熟知.用数学的语言将这一问题翻译出来就是四阶边值问题的特征值对边界的依赖性问题.结合Dauge, Q. Kong ([38],[51],[87])等人的工作,借助微分算子的谱理论这一有利工具我们研究了两类四阶及高阶边值问题
的特征值对边界的依赖性.给出了第n个特征值关于其中一端点的一阶微分表达式,并证明了当区间长度趋于零时,在本文所考虑的边界条件情形下,所有的特征值会趋于无穷.并给出了具体的例子.最后本文研究了具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示,并考虑了它的逆过程即矩阵特征值问题的四阶边值问题表示.全文共分六个部分：一、介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果；二、文中所涉及相关符号、概念以及性质；三、微分算式乘积的自伴域的实参数解刻画；四、两个奇型微分算子乘积的自伴性；五、微分方程边值问题的特征值对边界的依赖性；六、具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示.。