《数学分析》课程教学大纲

《数学分析》课程教学大纲

一、课程名称：《数学分析》

二、课程编号：Z03002B Z03003B Z03004B

三、学时：320

四、学分：20

五、预修课程：《初等数学》

六、修读说明：必修

七、课程说明：讲授

八、课程设置目的与要求

通过本课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的分析知识和抽象、严格的数学方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习其它课程打下基础。

九、学习教材与主要参考书

教材：华东师范大学，《数学分析》（第三版），高等教育出版社，2001年

参考资料：

1、数学分析学习指导书，吴良森等，高等教育出版社，（2004）

2、数学分析，陈传章等，高等教育出版社（1983）

3、数学分析，欧阳光中等，复旦大学出版社（1991）

4、数学分析中的典型问题与方法，裴礼文，高等教育出版社（1993）

十、教学进度及学时分配

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word （教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）

十一、课程教学内容纲要及重难点

第一章实数集与函数

一、主要内容：

1．实数；

2．数集与确界原理；

3．函数概念；

4．具有某些特性的函数。

二、基本要求：

1．掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界概念；

2．深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。

三、重点、难点：

本章的重点要深刻理解实数的确界、函数、反函数和复合函数等四个基本概念。

第二章数列极限

一、主要内容

1．数列，数列极限定义；

2．收敛数列的性质：唯一性，保号性，夹带性，有界性，四则运算的性质；

3．收敛数列存在的条件。

二、基本要求：

1．深刻理解数列极限的概念，对于ε－N不仅要领会思想方法，而且要用定义来证明有关极限问题；

2．熟悉收敛数列的性质，正确理解数列收敛性的判别法。掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；

3．掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。

三、重点、难点：

本章的重点是数列极限的概念，难点是数列极限的ε－N定义及其应用。在讲解定义时要注意学

生从有限到无限的认识过程。

第三章函数极限

一、主要内容：

1．函数极限的概念

2．函数极限的性质；

3．函数极限存在的条件；

4．两个重要的极限；

5．无穷小量与无穷大量。

二、基本要求：

1．准确建立函数(包括单侧极限)概念，深刻理解函数极限的ε－δ，ε－M定义，明了其几何意义，并能给出函数不以某定义为极限的相应陈述，能运用函数的极限定义证明与函数极限有关的某些命题；

2．掌握函数的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等；

3．掌握Heine定理与Cauchy准则，领会其实质以及啄木鸟感的基本思路；

4．掌握两个重要极限并牢记结论，了解证明的基本思路和方法并能灵活地加以运用；

5．作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

三、重点、难点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算，难点是cauchy准则和Heine定理的运用。

第四章函数的连续性

一、主要内容：

1．连续性概念；

2．连续函数的性质；

3．初等函数的连续性。

二、基本要求：

1．深刻理解函数在一点连续（含单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；

2．应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解，并能熟练准确地识别不同类别的间断点；

3．明确函数在一区间上连续是函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分函数连续与连续函数的不同内涵；

4．掌握连续函数的局部性质，连续函数的有理运算性质并能加以证明，熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性；

5．深刻理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的，并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限；

6．掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。

三、重点、难点：

本章的重点是连续性的概念和闭区间上连续函数的性质，难点是一致连续性概念。

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第五章导数与微分

一、主要内容：

1．导数及其几何、物理意义；

2．导数的基本运算：四则运算，复合函数求导法，反函数求导法，隐函数求导法；

3．常见函数的导函数；

4．可导性与连续性的关系；可导性的局部性；不可导函数的例子；

5．微分的概念及其应用；

6．高阶导数与高阶微分。

二、基本要求：

1．了解导数产生的客观基础，并由此掌握用导数解决具体问题的思想方法；

2．掌握求导的基本方法，熟记基本公式，熟练地解决一般的求导问题；

3．了解连续性、可导性、可微性之间的关系；

4．理解微分的意义。

三、重点、难点：

本章的重点是复合函数求导法则。

第六章微分中值基本定理及应用

一、主要内容：

1．Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理；

2．Taylor公式及其应用，近似值的计算；

3．函数的单调性，凸性及极值；不等式、极值点的判定；最大值与最小值；函数略图的作法；

4．不定式极限；

二、基本要求：

1．深刻理解并掌握中值定理的几何意义。

2．掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。

3．能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。

4．掌握利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。

5．掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等。

三、重点、难点：

本章的重点是微分中值定理的理解、函数图象的讨论；难点是微分中值定理的运用。

第七章实数的完备性

一、主要内容：

1．关于实数集完备性性的基本定理；

2．闭区间上连续函数性质的证明；

3．上极限和下极限。

二、基本要求：

1．深刻理解刻划实数完备性的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、Cauchy收敛原理等几个等价命题，并且会用确界定理证明一些问题；

2．会用“闭区间套定理”的二分法证明；“致密性定理”的抽子列法证明，并能证明其它的一些定word

理；

3．会用单调有界定理与数列极限的Cauchy收敛原理来证明一些极限存在与不存在；

4．掌握运用基本定理证明闭区间上连续函数的性质，理解其证明的思想方法；

5．了解数列的上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系。

三、重点、难点：

本章的重点，也是难点是实数完备性的几个等价命题。

第八章不定积分

一、主要内容：

1．原函数与不定积分的概念；

2．基本积分公式；

3．换元积分法，分部积分法；

4．有理函数积分法；

5．某些可化为有理函数的积分。

二、基本要求：

1．掌握原函数与不定积分的概念；

2．熟练掌握并能灵活应用基本积分公式；

3．熟练掌握凑微分法；

4．掌握抑元积分法，特别能较熟练地使用三角代换、根式代换；

5．掌握分部积分公式，会熟练处理形如

，，

，

之类的积分；

6．掌握用分部积分法化不定积分成代数方程，从而求解不定积分的方法；

7．掌握部分分式法解有理函数的不定积分的方法；

8．能灵活地处理三角函数的不定积分。

三、重点、难点：

本章的重点是不定积分

，

，

，

的不定积

分。

第九章定积分

一、主要内容：

1．定积分的概念；

2．可积条件与可积函数类；

3．定积分的性质；

4．定积分的计算：牛顿－莱布尼兹公式；换元积分法；分部积分法；

5．微积分学基本定理。

二、基本要求：

1．理解定积分的定义及其几何意义和物理意义；

2．了解达布上、下和的性质；

3．掌握可积的充要条件，并能用以证明三类函数的可积性；

4．掌握定积分的性质，并能进行简单的推理论证和计算；

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5．掌握积分上限函数的性质，并能在解题中应用这个性质；

6．掌握牛顿－莱布尼兹公式，能熟练地进行积分计算；

7．能综合运用换元法、分部积分法和定积分的性质进行定积分的计算。

三、重点、难点：

本章的重点是定积分的定义、性质、微积分学基本定理，难点是可积的条件判别。

第十章定积分的应用

一、主要内容：

1．平面图形的面积；

2．平面曲线的弧长；

3．已知截面面积的立体体积；

4．旋转体体积和侧面积；

5．物理量的计算：功、重心、转动惯量；

二、基本要求：

1．掌握用定积分计算面积、弧长，能算出截面面积的立体体积、旋转体体积和侧面积；

2．掌握某些物理量：质量、功的计算；

3．掌握用“分割、求和、求极限”的方法，或“微元法”来建立某些几何量和物理量的计算公式。

三、重点、难点：

重点介绍“微元法”的基本思想，以加深积分定义的理解。

第十一章反常积分

一、主要内容：

1．反常积分的概念；

2．无穷积分的性质与收敛判别

3．瑕积分的性质与收敛判别

二、基本要求：

1．正确理解两种类型广义积分的定义、性质；

2．会用定义与性质计算两种广义积分值；

3．掌握两种广义积分收敛的判断法：比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法和Dirichlet判别法来判别积分收敛；

4．能用比较判别法、Cauchy判别法、Cauchy收敛原理判别判别广义积分的发散；

5．掌握两类积分绝对收敛和条件收敛概念，能判别不太复杂的广义积分的绝对收敛和条件收敛。

三、重点、难点：

本章重点是两种广义积分的收敛性概念。

第十二章数项级数`

一、主要内容：

1．级数收敛与和的概念，绝对收敛与条件收敛的概念;

2．收敛级数的基本性质：线性性、结合律、Cauchy收敛原理、收敛必要条件；

3．正项级数的比较原则、根式、比值判别法和它们的极限形式，Cauchy积分判别法；

4．任意项级数的Leibniz判别法，Abel和Dirichlet判别法；

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5．绝对收敛级数的可交换性，级数乘积－Cauchy定理。

二、基本要求：

1．理解数项级数和数列极限的关系，会用“ -N”语言表述级数收敛或发散。

2．牢固掌握Cauchy收敛原理，能用Cauchy原理证明级数收敛与发散，熟练掌握级数的必要条件。项的位置（能举反例说明）。

3．熟练掌握正项级数敛散的比较原则，Cauchy判别法，达朗贝尔判别法，Cauchy积分判别法。

4．正确掌握Leibniz判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法，判断级数的条件收敛。

5．正确理解级数收敛、绝对收敛、条件收敛之间的关系，了解绝对收敛和条件收敛级数的主要性质，会对含有一个参数的级数确定其绝对收敛域和条件收敛域。

三、重点、难点：

本章的重点是级数收敛性概念，直观对照数列级数的不同叙述方式。

第十三章函数列与函数项级数

一、主要内容：

1．函数项级数与函数列收敛与一致收敛的概念，Cauchy收敛原理；

2．极限函数与和函数的三大性质：连续性、可微性、可积性；

3．Weierstrass判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法、Dini定理；

二、基本要求：

1．能用数项级数收敛判别法讨论函数项级数的收敛性，研究函数项级数与函数列收敛域；

2．透彻理解一致收敛概念，能从定义出发证明函数列或函数项级数的一致收敛和非一致收敛；

3．掌握Cauchy收敛原理，并能应用于判别一致收敛与非一致收敛；

4．掌握各种判别法，研究函数列或函数项级数的一致收敛性；

5．利用一致收敛性证明极限函数和函数的连续性、可微性与可积性。反过来，从和函数或极限函数的分析性质研究函数级或函数列的一致收敛性（Dini定理）。

三、重点、难点：

本章的重点是函数项级数是数项级数的推广，讲课中应复习巩固有关数项级数的基本知识。

第十四章幂级数

一、主要内容：

1．幂级数的收敛半径和收敛区间、内闭一致收敛；

2．Abel定理（幂级数），幂级数和函数的分析性质；

3．函数的幂级数展开。

二、基本要求：

1．熟练掌握幂级数的收敛半径或方法，确定收敛区间端点的敛散性；

2．掌握幂级数在收敛区间内的内闭一致收敛性，幂级数和函数的分析性质；

3．用等比数列求和公式，或通过利用幂级数逐项求导逐项求积的性质，可化为等比数列求和求出某些幂级数的和函数的初等形式。

三、重点、难点：

本章的重点是幂级数的结构，幂级数的一致收敛性，函数的幂级展开式。

第十五章Fourier级数

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一、基本内容：

1．三角系的正交性；

2．Fourier级数；

3．黎曼－勒贝格引理及其应用；

4．收敛定理；

5．函数在一般区间上的Fourier级数展开。

二、基本要求：

1．了解三角级数的正交性，并能在某些积分计算中加以应用；

2．会计算可积函数的Fourier系数；

3．掌握收敛定理的条件与结论，会用收敛定理将以2 为周期的函数展成Fourier级数；

4．掌握奇、偶函数的Fourier级数展开的特点，会将定义在某区间上的函数按要求展成正弦级数或余弦级数；

5．能利用Fourier展开求一些简单级数的和；

6．了解黎曼－勒贝格引理的内容及它的一些简单应用。

三、重点、难点：

本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数，难点是Fourier级数的收敛性判别；

第十六章多元函数的极限与连续

一、主要内容：

1．平面点集；

2．点列的极限，二元函数的二重极限与二次极限；

3．二元函数的连续性；有界闭域上二元连续函数的整体性质。

二、基本要求：

1．掌握平面点集、邻域、中心邻域的表示法；

2．会判别一般平面点集是开集还是闭集，有界还是无界，是否是区域、开区域、闭区域，会写出其边界；

3．了解平面点集的矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理，理解它们与直线上有关定理相互关系，掌握有关的不太复杂的命题的证明的思想方法；

4．掌握平面点列收敛的ε-N定义及柯西收敛原理；

5．深刻理解二元函数的概念及几何意义，并能推广到多元函数；会确定一般二元函数的定义域及连续范围；

6．深刻理解二元函数极限ε-N定义，会依定义证明不太复杂的二重极限；掌握反映二元函数极限与平面点列极限之间关系的归结原则，会通过取特殊路径证明极限不存在；

7．掌握累次极限概念，能通过具体反例? 分析二次极限与累次极限的关系；

8．深刻理解二元函数连续性及一致连续性的定义，会依定义讨论连续性及有关的简单命题，理解有界闭域上连续函数的性质。

三、重点、难点：

本章的重点是一元与多元概念的根本差异，理解二元函数极限ε-N定义。难点是二元函数连续性及一致连续性的定义。

第十七章多元函数微分学

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一、主要内容：

1．偏导数、全微分及其几何意义；

2．复合函数求偏导数的法则；

3．二阶及高阶偏导数与全微分；

4．隐函数的存在性与可导性；

5．方向导数和梯度；

6．二元函数的极值，最小二乘法。

二、基本要求：

1．使学生对偏导数及全微分有基本的认识，掌握求简单函数偏导数的基本技巧；

2．掌握二元函数的偏导数存在性、可微性，以及偏导数连续性之间的关系；掌握二阶混合偏导数与求导顺序无关的条件；

3．了解隐函数存在定理，掌握隐函数求导方法；

4．理解并会应用Lagrange乘数法；

5．理解并会使用最小二乘法。

三、重点、难点：

本章的重点是复合函数求偏导数的链式法。

第十八章隐函数及其存在定理

一、主要内容：

1．隐函数概念；

2．隐函数组；

3．几何应用；

4．条件极值。

二、基本要求：

1．理解隐函数定理的有关概念，及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；

2．了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；

3．掌握隐函数的微分法在几何方面的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。

三、重点、难点：

本章重点是含有隐函数的的复合函数的求导、条件极值。难点是隐函数组的理解和含有隐函数的的复合函数的求导的运算。

第十九章含参变量积分

一、主要内容：

1．参变量常见积分概念；

2．含参变量常见积分的分析性质：连续性、可微性、可积性；

3．含参变量反常积分概念，一致收敛性；

4．一致收敛判别法；

5．含参变量广义积分的分析性质：连续性、可微性和可积性；

6．Euler函数、Г函数和В函数。

二、基本要求：

1．深刻理解含能变量常见积分作为参量的函数，掌握它的连续性、可微性和可积性的条件，并能应用这些条件讨论一些含参量常见积分的有关性质；

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2．深刻理解含参量广义积分及一致收敛概念，会从定义或Cauchy收敛原理出发证明积分的一致收敛性或非一致收敛性；

3．熟练掌握和利用M－判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性；

4．掌握含参量广义积分的分析性质：连续性、可微性、可积性；

5．掌握Euler孙数的定义、性质、递推公式及它们之间的关系，并用于计算积分。

三、重点、难点：

本章的重点是含参量常义积分概念的理解，含参量广义积分及一致收敛概念，利用M－判别法、Dirichlet判别法、Abel判别法，判别一些常见积分的一致收敛性。

第二十章曲线积分

一、主要内容：

1．几何体上的积分定义及其几何、物理意义；

2．第一型第二型曲线积分的定义；

二、基本要求：

1．理解建立积分的几何模型及物理模型，从而加深对积分思想方法的理解；

2．掌握积分的基本性质并能证明一些简单的命题。

三、重点、难点：

本章的重点是积分思想的建立。

第二十一章重积分

一、主要内容：

1．二重、三重积分的计算；

2．重积分的应用；

3．广义重积分；

4．格林公式、曲线积分与路线的无关性。

二、基本要求：

1．熟练掌握将重积分化为累次积分的计算方法，并会交换积分顺序；

2．熟练掌握二重积分的极坐标变换，三重积分的柱坐标、球坐标、广义球坐标变换，掌握一些简单的一般变换，以达到简化重积分计算的目的；

3．能正确地使用对称性；正确地处理被积函数中含有绝对值符号及一般分段函数的重积分计算；

4．能用重积分计算平面图形的面积，空间立体的体积、物体的质量、重心、转动惯量等。

三、重点、难点：

本章的重点培养学生熟练而准确的积分计算能力。

第二十二章曲面积分

一、主要内容：

1．曲面面积的概念及计算；

2．第一类曲面积分的计算；

3．第二类曲面积分的概念及计算；

4．两类曲面积分之间的联系；

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5．两类曲面积分的联系。

二、基本要求：

1．理解各类曲面积分的概念、背景；

2．理解两类曲面积分之间性质上的异同；

3．会选择和建立积分曲面的适当的参数方程，正确地使用相应的计算公式，以计算两类曲面积分。在计算中能注意利用曲面方程化简被积函数及利用对称性简化运算。

三、重点、难点：

本章重点是曲面面积及第一类曲面积分计算，难点是掌握积曲面面积及第一类曲面积分计算是曲面面积元素的计算。

十二、教学方法与教学手段

课堂授课主要用讲授法，采用由浅入深、循序渐进学习步骤，提高学生的学习兴趣。从而使学生学会分析问题、解决问题的思路，为学习数学专业的后继课程打下坚实的基础。

十三、课程考核

1．考试采用闭卷笔试方式，时间为120分钟。

2．本大纲各考核要求中所知识点内细目均为考试内容。试题覆盖到章，适当突出重点章节。

3．该课程的成绩由两部分组成：

理论考试：闭卷笔试，占总成绩的70％

平时成绩：(含作业、课堂讨论、出勤率等)，占30％

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