《数学分析》课程教学大纲

《数学分析》课程教学大纲

一、课程名称：《数学分析》

二、课程编号：Z03002B Z03003B Z03004B

三、学时：320

四、学分：20

五、预修课程：《初等数学》

六、修读说明：必修

七、课程说明：讲授

八、课程设置目的与要求

通过本课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的分析知识和抽象、严格的数学方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习其它课程打下基础。

九、学习教材与主要参考书

教材：华东师范大学，《数学分析》（第三版），高等教育出版社，2001年

参考资料：

1、数学分析学习指导书，吴良森等，高等教育出版社，（2004）

2、数学分析，陈传章等，高等教育出版社（1983）

3、数学分析，欧阳光中等，复旦大学出版社（1991）

4、数学分析中的典型问题与方法，裴礼文，高等教育出版社（1993）

十、教学进度及学时分配

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word （教学要求：A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）

十一、课程教学内容纲要及重难点

第一章实数集与函数

一、主要内容：

1．实数；

2．数集与确界原理；

3．函数概念；

4．具有某些特性的函数。

二、基本要求：

1．掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界概念；

2．深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。

三、重点、难点：

本章的重点要深刻理解实数的确界、函数、反函数和复合函数等四个基本概念。

第二章数列极限

一、主要内容

1．数列，数列极限定义；

2．收敛数列的性质：唯一性，保号性，夹带性，有界性，四则运算的性质；

3．收敛数列存在的条件。

二、基本要求：

1．深刻理解数列极限的概念，对于ε－N不仅要领会思想方法，而且要用定义来证明有关极限问题；

2．熟悉收敛数列的性质，正确理解数列收敛性的判别法。掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；

3．掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。

三、重点、难点：

本章的重点是数列极限的概念，难点是数列极限的ε－N定义及其应用。在讲解定义时要注意学

生从有限到无限的认识过程。

第三章函数极限

一、主要内容：

1．函数极限的概念

2．函数极限的性质；

3．函数极限存在的条件；

4．两个重要的极限；

5．无穷小量与无穷大量。

二、基本要求：

1．准确建立函数(包括单侧极限)概念，深刻理解函数极限的ε－δ，ε－M定义，明了其几何意义，并能给出函数不以某定义为极限的相应陈述，能运用函数的极限定义证明与函数极限有关的某些命题；

2．掌握函数的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等；

3．掌握Heine定理与Cauchy准则，领会其实质以及啄木鸟感的基本思路；

4．掌握两个重要极限并牢记结论，了解证明的基本思路和方法并能灵活地加以运用；

5．作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

三、重点、难点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算，难点是cauchy准则和Heine定理的运用。

第四章函数的连续性

一、主要内容：

1．连续性概念；

2．连续函数的性质；

3．初等函数的连续性。

二、基本要求：

1．深刻理解函数在一点连续（含单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；

2．应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解，并能熟练准确地识别不同类别的间断点；

3．明确函数在一区间上连续是函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分函数连续与连续函数的不同内涵；

4．掌握连续函数的局部性质，连续函数的有理运算性质并能加以证明，熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性；

5．深刻理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的，并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限；

6．掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。

三、重点、难点：

本章的重点是连续性的概念和闭区间上连续函数的性质，难点是一致连续性概念。

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第五章导数与微分

一、主要内容：

1．导数及其几何、物理意义；

2．导数的基本运算：四则运算，复合函数求导法，反函数求导法，隐函数求导法；

3．常见函数的导函数；

4．可导性与连续性的关系；可导性的局部性；不可导函数的例子；

5．微分的概念及其应用；

6．高阶导数与高阶微分。

二、基本要求：

1．了解导数产生的客观基础，并由此掌握用导数解决具体问题的思想方法；

2．掌握求导的基本方法，熟记基本公式，熟练地解决一般的求导问题；

3．了解连续性、可导性、可微性之间的关系；

4．理解微分的意义。

三、重点、难点：

本章的重点是复合函数求导法则。

第六章微分中值基本定理及应用

一、主要内容：

1．Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理；

2．Taylor公式及其应用，近似值的计算；

3．函数的单调性，凸性及极值；不等式、极值点的判定；最大值与最小值；函数略图的作法；

4．不定式极限；

二、基本要求：

1．深刻理解并掌握中值定理的几何意义。

2．掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。

3．能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。

4．掌握利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。

5．掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等。

三、重点、难点：

本章的重点是微分中值定理的理解、函数图象的讨论；难点是微分中值定理的运用。

第七章实数的完备性

一、主要内容：

1．关于实数集完备性性的基本定理；

2．闭区间上连续函数性质的证明；

3．上极限和下极限。

二、基本要求：

1．深刻理解刻划实数完备性的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、Cauchy收敛原理等几个等价命题，并且会用确界定理证明一些问题；

2．会用“闭区间套定理”的二分法证明；“致密性定理”的抽子列法证明，并能证明其它的一些定word