新人教A版必修四3.2《二倍角的三角函数》word教案1

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新人教版高中数学 3.2 二倍角的三角函数(第1课时)教案必修四

高中数学 3.2 二倍角的三角函数（第1课时）教案新人教版必修4教学目标：1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；了解化归思想在推导中的作用；2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力；4.结合三角函数值域求函数值域问题．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．教学难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）．教学方法：建构主义认为：教学应当用情节、背景真实的问题引导出所学的内容，通过营造解决问题的环境，启发学生积极思考和自主探究．基于本节课的特点：二倍角三角函数公式是和角公式的特例，着重采用的教学方法是引导发现法．即：通过创设生动逼真和符合数学教学内容的问题情境，激发学生对数学问题的兴趣，帮助他们形成学习动机；提示新旧数学知识之间的联系线索，帮助学生建构当前所学数学知识的意义．教学过程：一、问题情境1．这里，三角函数值为特殊值，可以先求出角再求解．若不是特殊值呢？ 2． π5(,π),sin ,sin 2212ααα∈=设求．π1(,π),sin ,sin 2?22ααα∈=设如何来求呢3．那么如何由一些已知的条件来求sin 2α 呢？通过观察，我们可以发现2ααα=+ ，因此可以在前面所学的基础上来研究这个问题（板书课题）．二、复习巩固，建构数学sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=++=-因此，在这些公式中，我们只要令后，就可以得到角2α的三角函数值了．即 22sin 22sin cos cos 2cossin αααααα==- (R)α∈22tan tan 21tan αα=-在三角里面还有一个非常重要的等式，用这个等式进行代换的话，二倍角的余弦公式又可以得到这样两个形式：2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα=-以上这些公式都叫做倍角公式，从上面的推导过程来看，倍角公式是和角公式的特例．注意点：①对“二倍角”的认识，如2α是α的二倍，4α是2α的二倍，α是2α 的二倍，030是015的二倍，015的二倍是030等等．理解二倍角是相对的．②余弦二倍角公式有三种形式，要恰当地选择以便简化运算过程． ③对二倍角公式要学会灵活应用（顺用、逆用、变用）．其次，在对二倍角公式理解、掌握的基础上讲解例题. 三、数学运用 1.例题．例15(,)sin ,sin 2,cos 2,tan 2.213παπαααα∈=设求的值说明在没有具体的知道角2α的终边所在的象限时，一般并不能惟一确定角2α的三角函数值，需要讨论．tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅π(,,π,)2k k Z αβαβ+≠+∈βα=(,)224k k k Z ππαπαπ≠+≠+∈且22sin cos 1αα+=例2 求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++．消除角的差异,把不同的角化为相同的角，在化简的过程中注意选取合适的公式．例3 ππ1πsin()sin(),(,π),sin 44462αααα-+=∈已知求的值. 这里，要求sin 4α的值，先得求出2α的三角函数值来．可以逆用公式来求或直接展开来求．因此，对于“二倍角”，应有广义的理解，如4α是2α的二倍角，3α是32α的二倍角．2．练习．（1）利用倍角公式求下列各式的值． ① sincos 88ππ ②22cos sin 88ππ- ③ 1－15sin 22④15tan 115tan 22-（2）已知08,0,,sin 2,cos 22πsin .αααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭求的值．（3）已知的值．求αα2tan ,21tan = （4）证明：①2sin()cos()sin 2ππααα+-= ②22cos cos 212=-+θθ ③αααsin 2sin 2cos 1=- ④A AA2tan 2cos 12cos 1=+-四、小结1．本节课主要学习了二倍角的几组公式：（1）αααcos sin 22sin = （2）ααα22sin cos2cos -==1－α2sin 2 =1cos 22-α．（3）22tan tan 21tan αα=-．2. 我们一起推导了二倍角的公式，明白了从一般到特殊的思想，并运用二倍角公式解题．在解题的时候要注意分析三角函数名称、角的关系，选择最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程的目的．仅此学习交流之用谢谢。

《3.2二倍角的三角函数(二)》教学案

《3.2二倍角的三角函数（二）》教学案第2课时二倍角的三角函数的应用●三维目标 1．知识与技能(1)能用倍角公式推导出半角公式．(2)能运用三角函数的公式进行简单的恒等变换． (3)会用三角函数解决一些简单的实际问题． 2．过程与方法让学生由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法，通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识的能力、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力．●重点难点重点：角的和、差、倍公式的综合应用．难点：运用所学公式解决简单的实际问题．教学方案设计●教学建议关于半角公式的教学教学时，建议教师从让学生回忆二倍角的三个余弦公式出发，提出问题“如何用角θ的三角函数值，表示角θ2的三角函数值”．在此基础上，让学生自主归纳探究，并总结出半角公式，然后结合半角公式的特点，师生共同总结出公式记忆方法，最后通过典型例题及题组训练熟悉并掌握半角公式．整个教学立足于体现一种“以思导学”的知识生成过程．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出降幂公式与半角公式，并总结公式的特点及作用.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用降幂公式进行三角函数式的化简与证明的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用和、差、倍角公式研究函数的性质的解题方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握解决三角函数实际应用问题的思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学已知cos α的值，如何求sin α2的值？【提示】由cos α＝1－2sin 2α2得sin 2α2＝1－cos α2， ∴sin α2＝± 1－cos α2. (1)降幂公式①sin 2α2＝1－cos α2； ②cos 2α2＝1＋cos α2； ③tan 2α2＝sin 2α2cos 2α2＝1－cos α1＋cos α.(2)半角公式 ①sin α2＝± 1－cos α2； ②cos α2＝± 1＋cos α2； ③tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.课堂互动探究例1 【思路探究】此式中出现了θ＋15°，θ－15°与2θ，要达到角的统一，需将角θ＋15°，θ－15°向角2θ进行转化，因此，可考虑降幂公式．【自主解答】 cos 2(θ＋15°)＋cos 2(θ－15°)－32cos 2θ ＝1＋θ＋2＋1＋θ－2－32cos 2θ＝1＋12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－32cos 2θ ＝1＋12(cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°＋cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)－32cos 2θ ＝1＋12×2cos 2θcos 30°－32cos 2θ ＝1＋32cos 2θ－32cos 2θ＝1. 规律方法1．应用降幂公式可将“二次式”转化为“一次式”．2．三角函数式的化简，一般从减少角的种类、减少函数的种类、改变函数运算的结构入手，常采用化弦法、化切法、异角化同角、异次化同次、异名化同名等方法，达到化简的目的．互动探究如将本例改为“sin 2(θ＋15°)＋sin 2(θ－15°)＋32cos 2θ”，如何化简？【解】原式＝1－θ＋2＋1－θ－2＋32cos 2θ＝1－12[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋32cos 2θ ＝1－12()2cos 2θ·cos 30°＋32cos 2θ ＝1－32cos 2θ＋32cos 2θ＝1.例2 求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈[π4，7π24]的最小值，并求其单调减区间．【思路探究】化简f x 的解析式→f x＝Aωx ＋φ＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4(32cos 2x －12sin 2x ) ＝33＋4(sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ) ＝33＋4sin(π3－2x ) ＝33－4sin(2x －π3)， ∵π4≤x ≤7π24， ∴π6≤2x －π3≤π4.∴sin(2x －π3)∈[12，22]． ∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时， f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin(2x －π3)在[π4，7π24]上单调递增， ∴f (x )在[π4，7π24]上单调递减．规律方法1．研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质． 2．对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba )，化同名函数．变式训练(2013·济宁高一检测)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在(0，π3]上的最小值与最大值．【解】 (1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋3＝cos 2x ＋3sin 2x ＋4＝2sin(2x ＋π6)＋4. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)∵0＜x ≤π3，∴π6＜2x ＋π6≤5π6，当x ＝π3时，2x ＋π6＝5π6，函数f (x )取得最小值为5. 当x ＝π6时，2x ＋π6＝π2，函数f (x )取得最大值为6.例3 ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？【思路探究】首先根据题意画出图形，然后根据圆的几何性质和四边形面积的求法，将四边形的面积表示为三角函数的形式，最后利用三角函数的性质解决．【自主解答】如图，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°， P A ＝cos α，PB ＝sin α. 又PT 切圆于P 点， ∴∠TPB ＝∠P AB ＝α，∴S 四边形ABTP ＝S △P AB ＋S △TPB ＝12P A ·PB ＋12PT ·PB sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋1－cos 2α4＝14(sin 2α－cos 2α)＋14＝24sin(2α－π4)＋14.∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4.∴当2α－π4＝π2，即当α＝3π8时，四边形ABTP 的面积最大，最大为1＋24. 规律方法解决实际问题时，应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数的关系式，再利用三角变换、三角函数的性质等进行求解．一般地，求最值的问题需利用三角函数的有界性来解决．变式训练某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积为________．【解析】如图，连结OC ，设∠COB ＝θ，则0°＜θ＜45°，OC ＝1， ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－BC ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－π4)－12，当2θ－π4＝0，即θ＝π8时， S max ＝2－12(m 2)，∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2. 【答案】2－12 m2易错易误辨析三角函数式化简时忽视角的范围致误典例已知3π2＜α＜2π，化简12＋1212＋12cos α. 【错解】12＋1212＋12cos α＝12＋121＋cos α2＝12＋12cos 2α2＝ 12＋12cos α2＝ 1＋cos α22＝cos 2α4＝cos α4.【错因分析】上述错解在于运用倍角公式从里到外去根号时，没有顾及角的范围而选择正、负号，只是机械地套用公式．【防范措施】应根据三角函数式的值的符号去掉绝对值，因此在去掉三角函数式的绝对值符号时，要注意角的范围问题．【正解】12＋1212＋12cos α＝12＋12 1＋cos α2 ＝ 12＋12cos 2α2＝12＋12|cos α2|.因为3π2＜α＜2π，所以3π4＜α2＜π，所以cos α2＜0，所以原式＝12－12cos α2＝1－cos α22＝sin 2α4＝|sin α4|.因为3π2＜α＜2π，所以3π8＜α4＜π2，所以sin α4＞0，所以原式＝sin α4.(1)二倍角余弦公式变形用来升幂降幂，应灵活掌握：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2. (2)解决有关的化简、求值、证明时注意二倍角公式的综合运用．(3)对于三角函数在实际问题中的应用，其求解策略为引入恰当的辅助角，建立有关辅助角的三角函数表达式，并利用和、差、倍角公式进行化简整理．由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量，故求解时多注意分析题设，恰当引入．当堂双基达标1．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则sin α2的值为________．【解析】 ∵α∈(0，π)，∴α2∈(0，π2)， ∴sin α2＝1－cos α2＝13＝33.【答案】 332．已知cos α＝－35，且π＜α＜3π2，则cos α2＝________. 【解析】 ∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1－352＝－55.【答案】－553．已知tan α2＝3，则cos α＝________. 【解析】由tan α2＝1－cos α1＋cos α＝3可得：1－cos α1＋cos α＝9，则cos α＝－45. 【答案】－454．化简：＋sin θ＋cos θθ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．【解】原式＝θ2cos θ2＋2cos 2θ2θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ22θ2－cos 2θ2|cos θ2|＝－cos θ2cos θ|cos θ2|. ∵0＜θ＜π，∴0＜θ2＜π2. ∴cos θ2＞0. ∴原式＝－cos θ. 课后知能检测一、填空题 1．sin π8＝________. 【解析】 sin π8＝ 1－cos π42＝1－222＝2－22. 【答案】2－222.－23＋43cos 2 15°＝________. 【解析】原式＝－23＋43×1＋cos 30°2 ＝－23＋23＋23cos 30°＝33. 【答案】 333．5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4＝________. 【解析】 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4<0. sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a 2.【答案】－1－a 24．函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )的最小正周期为________．【解析】 f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )＝2cos x sin x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin(2x＋π4)＋1.故最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π5.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．【解析】原式＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|. ∵54π＜4，∴cos 4＜0，sin 4＜cos 4. ∴原式＝－2cos 4＋2cos 4－2sin 4＝－2sin 4. 【答案】－2sin 46．在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，则角B 的度数为________．【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋C 2－cos 2B ＝72，得4·1－A ＋C 2－2cos 2B ＋1＝72，∴4cos 2B －4cos B ＋1＝0.∴cos B ＝12，B ＝60°. 【答案】 60°7．(2013·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan 2α的值是________．【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈(π2，π)，sin α≠0， ∴cos α＝－12.又∵α∈(π2，π)，∴α＝23π，∴tan 2α＝tan 43π＝tan(π＋π3)＝tan π3＝ 3. 【答案】38．设f (x )＝1＋cos 2x π2－x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 【解析】 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4) ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin(x ＋π4)＝2sin(x ＋π4)＋a 2sin(x ＋π4)＝(2＋a 2)sin(x ＋π4)．依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝±3.【答案】 ±3二、解答题9．设π＜θ＜2π，cos θ2＝a ，求(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin 2θ4的值．【解】 (1)∵π＜θ＜2π，∴π2＜θ2＜π，又cos θ2＝a ，∴sin θ2＝1－cos 2θ2＝1－a 2， ∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2a 1－a 2. (2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2a 2－1. (3)sin 2θ4＝1－cos θ22＝1－a2. 10．若π＜α＜3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α. 【解】 ∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0. ∴原式＝sin α2＋cos α222|cos α2|－2|sin α2|＋sin α2－cos α222|cos α2|＋2|sin α2|＝sin α2＋cos α22－2sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α222sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 11．(2013·山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin(2ωx －π3)．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin(2x －π3)．当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin(2x －π3)≤1.因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.教师备课资源备选例题已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2β＝sin θcos θ，求证：2cos 2α＝cos 2β.【思路探究】观察问题的条件和结论，发现被证的等式中不含角θ，因此从已知条件中消去角θ，问题即得证．【自主解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＝sin θ＋cos θ， ①sin 2β＝sin θcos θ. ②①2－②×2，得4sin 2α－2sin 2β＝1.变形为1－2sin 2β＝2－4sin 2α，则有cos 2β＝2cos 2α.规律方法对于给定条件的三角恒等式的证明，常用的方法有直推法和代入法．将条件角转化为结论角后，由条件等式直接推到结论等式，就是直推法；有时从条件等式中解出关于某个角的某个三角函数值，代入结论等式便消去某个角，从而将问题转化为三角恒等式的证明问题，这就是代入法的基本思想方法．备选变式已知cos θ＝cos α＋cos β1＋cos αcos β，求证：tan 2θ2＝tan 2α2tan 2β2.【证明】 ∵1－cos θ1＋cos θ＝2sin 2θ22cos 2θ2＝tan 2θ2，同理有1－cos α1＋cos α＝tan 2α2，1－cos β1＋cos β＝tan 2β2，∴tan 2θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－cos α＋cos β1＋cos αcos β1＋cos α＋cos β1＋cos αcos β＝1＋cos αcos β－cos α－cos β1＋cos αcos β＋cos α＋cos β ＝－cos α－cos β＋cos α＋cos β ＝tan 2α2tan 2β2.。

[教案精品]新课标高中数学人教a版必修四全册教案313二倍角的正弦、余弦、正切公式.doc

3. 1. 3 二倍角的正弦、余弦和正切公式•一、教学目标•以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用..二、教学重、难点教学重点：以两角和的正眩、余眩和正切公式为基础，推导二倍角正眩、余弦和正切公式;教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.•三、教学设想：（-）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式, . sin(a - 0) = sin a cos 0 - cos a sin 0sin(a + 0) = sin a cos 0 + cos a sin 0cos(a - 0) = cos a cos 0 + sin a sin 0cos(a + 0) = cos a cos 0 - sin a sin 0/ c、 tan a — tan 0 / 门、tan a + tan 0 tan(6r -/?) = ---------------- -- tan(<7 + #)= ----------------------------------- —•I + tan• tan p 1 - tan 6if • tan 0.练习：(1)在AABC 中，sin A sin B < cos A cos B ,则AABC 为( )A. 直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形(2) V3cos—-sin兰的值为（）12 12A. 0B. 2 C- V2 D. -V2jr19 3思考：已知3<0<°<百，cos(o-0)=乜，sin(6r + /3)=,求sin2a我们由此能否得到sin2%cos26Man2o的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中0看成a即可），（二）公式推导:sin 2a = sin (a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin acosa；cos 2a = cos (a + a) = cosa cos a-sina sin a - cos2 cif-sin2a；思考：把上述关于cos2a 的式子能否变成只含有sina 或cos©形式的式子呢?cos 2a = cos 2 <7-sin 2 cr = 1-sin 2 6r-sin 2(7 = l-2sin 2 a ；cos 2a = cos 2 a-sin 2 a =cos 2(7-(1-cos 2 a) =2cos 2 a-l.tan 2cr = tan (6Z + 6Z )= 9 1 一 tan a tan a 1-tan" a2Q 丰—F k 兀3a H —F k 兀(kw z)2 2 、丿tan cr + tan or 2 tan a 注意: （三）例题讲解己知<a< —，求sin4a,cos4o,tan 4G 的值. 13 4 27T 兀兀解：由「X 亍得空＜205.于是 sin46r = 2sin 2a cos 2cr = 2x —x 13 4 例 2.在厶ABC 中,cos A =— , tan B = 2,求 tan(2A + 2B)的值。

数学《二倍角的三角函数》教案

数学《二倍角的三角函数》教案【教学目标】1. 了解二倍角的定义及常用公式；2. 能够用二倍角公式化简三角函数表达式；3. 掌握二倍角公式的应用及解题方法。

【教学重点】1. 二倍角公式的掌握；2. 用二倍角公式化简三角函数表达式。

【教学难点】1. 二倍角公式的应用；2. 解题方法的掌握。

【教学过程】一、导入新知识教师出示一个直角三角形，以及较短的直角边a和斜边c，问同学们能否利用已知数据求出三角函数的值。

引导同学们思考，指导同学们简化计算公式，然后利用正弦函数和余弦函数进行计算。

让同学们探究计算公式的规律，引出二倍角的定义及常用公式。

二、讲解二倍角公式1. 二倍角的定义：正弦函数和余弦函数的二倍角定义如下：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θ2. 二倍角的常用公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos2θ - sin2θtan2θ =2tanθ / (1 - tan2θ)三、练习1. 让同学们观察黑板上的三角函数式子，然后使用二倍角公式化简，答案给出后再验证是否正确；2. 让同学们根据已知三角函数值，计算出未知的三角函数值，使用二倍角公式化简和三角函数表达式的正负性基本思路进行计算；3. 介绍一些常见的二倍角法则练习。

四、解题方法1. 让同学们提高使用二倍角公式化简三角函数表达式的能力；2. 强化运用三角函数表达式的正负性，通过根据三角函数所在的象限，对三角函数进行分类，从而使化简后的结果更加准确；3. 展示一些实例，教导同学们如何利用二倍角公式进行解题。

【课堂总结】1. 总结二倍角公式的应用；2. 确认同学们是否掌握了二倍角公式的应用及解题方法；3. 布置作业并提醒同学认真完成。

《3.2二倍角的三角函数(一)》教学案

《3.2二倍角的三角函数（一）》教学案第1课时二倍角的三角函数●三维目标1．知识与技能能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换．2．过程与方法通过公式的推导过程，使学生认识整个公式体系的形成过程，领会体现出的数学基本思想和方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养学生辩证唯物主义观点．●重点难点重点：二倍角公式的推导及运用．难点：二倍角公式的灵活运用．教学方案设计●教学建议1．关于二倍角公式推导的教学教学时，建议教师先复习和角公式T(α＋β)，S(α＋β)，C(α＋β)，然后令α＝β，利用特殊化的推理方式，让学生自主推导出二倍角公式；在此基础上借助同角三角函数关系，引导学生得出C2α的其他两种形式．通过公式推导，让学生进一步体会公式间的密切联系，提高学生熟练应用公式解题的能力．2．关于二倍角公式应用的教学教学时，建议教师处理好以下两点：(1)强调“倍角”的相对性，打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系．(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用，特别是余弦公式的变式较多，教学中应适当通过题目强化训练．●教学流程创设问题情境，引出问题，如何用α的三角函数表示出sin 2α，cos 2α与tan 2α？⇒引导学生结合公式Sα＋β、Cα＋β及Tα＋β推导出倍角公式，并探究二倍角余弦公式的变形.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握灵活运用倍角公式进行求值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用倍角公式解决给值求值问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数式的化简方法及要求.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学课标解读1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2.会借助同角三角函数的关系导出C2α的另两种表示形式．(难点)3.能利用二倍角公式进行简单的化简、求值和证明．(重点)倍角公式1．如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α，cos 2α？【提示】sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos(α＋α)＝cos2α－sin2α，即cos 2α＝cos2α－sin2α.2．如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α？【提示】tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan2α，即tan 2α＝2tan α1－tan2α.(1)sin 2α＝2sin_αcos_α(S2α)；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α(C2α)；(3)tan 2α＝2tan α1－tanα(T2α).二倍角的余弦公式的变形你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗？【提示】利用sin2α＋cos2α＝1，公式C2α可变形为cos 2α＝2cos2α－1或cos 2α＝1－2sin 2α.cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α. 课堂互动探究例1 (1)cos π8cos 3π8； (2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12；(4)cos 20°cos 40°cos 80°.【思路探究】 (1)中两角互余，故可以转化为同角正余弦的积的形式．(2)中的角的倍角为特殊角，故可以用降幂公式解决．(3)式可化为正切倍角公式的形式．(4)中可用公式的变形：cos α＝sin 2α2sin α来解决．【自主解答】 (1)cos π8cos 3π8＝cos π8sin π8 ＝12sin π4＝24.(2)12－cos 2 π8＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24.(3)tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3.(4)cos 20°cos 40°cos 80°＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·sin 160°2sin 80°＝18. 规律方法1．解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征，观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征，从而找到解题的切入点．2．对于倍角公式应做到灵活运用，即根据所给式子的特点构造出倍角形式，正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值．变式训练求下列各式的值：(1)2tan 15°1－tan 215°；(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)∵sin 10°sin 50°sin 70° ＝sin 20°sin 50°sin 70°2cos 10° ＝sin 20°cos 20°sin 50°2cos 10° ＝sin 40°sin 50°4cos 10°＝sin 40°cos 40°4cos 10° ＝sin 80°8cos 10°＝18，∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.给值求值例2 (1)已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α的值；(2)已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值．【思路探究】 (1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系求解；(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值，利用诱导公式可求出tan β的值，然后利用倍角公式求出t an 2β的值，结合两角差的正切公式求解．【自主解答】 (1)sin α＋cos α＝13两边同时平方，得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，因为sin 2α＋cos 2＝1，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－89.(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－－452＝35，tan α＝sin αcos α＝－34，由tan β＝－tan(π－β)＝－12得tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－11－14＝－43，所以tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β ＝－34－－431＋－34×－43＝724.规律方法对于给值求值问题，注意寻找已知式与未知式的联系，有以下两种解题方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．变式训练已知sin(π4－x )＝513，0＜x ＜π4，求cos 2xcos π4＋x 的值．【解】原式＝sin π2＋2xcos π4＋x＝2sin π4＋x ·cos π4＋x cos π4＋x ＝2sin(π4＋x )． ∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0＜x ＜π4， ∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos2π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.三角函数式的化简例3 化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α.【思路探究】本题主要考查二倍角公式的应用．基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分，解法有两种：一是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 4α＝2cos 22α－1，cos 4α＝1－2sin 22α代入进行化简；二是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，1＋cos 4α＝2cos 22α，1－cos 4α＝2sin 22α代入进行化简．【自主解答】法一原式＝1＋2sin 2αcos 2α－1＋2sin 22α1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－1 ＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α.法二原式＝1－cos 4α＋sin 4α1＋cos 4α＋sin 4α＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α＋sin 2α2cos 2αcos 2α＋sin 2α＝tan 2α. 规律方法1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．对三角函数式化简结果的一般要求： (1)函数种类最少； (2)项数最少； (3)函数次数最低； (4)能求值的求出值； (5)尽量使分母不含三角函数； (6)尽量使分母不含根式．变式训练化简：(1)11＋tan θ－11－tan θ； (2)2cos 2α－12tan π4－αsin 2π4＋α. 【解】 (1)原式＝1－tan θ－1＋tan θ1＋tan θ1－tan θ＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ. (2)原式＝cos 2α2tan π4－αcos 2π2－π4－α ＝cos 2α2tan π4－αcos 2π4－α＝cos 2α2sinπ4－αcos π4－α＝cos 2αsin 2×π4－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 易错易误辨析选择公式不恰当致误典例已知cos α＋sin α＝33(0＜α＜π)，求cos 2α的值．【错解】 ∵(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝13，∴sin 2α＝－23，∴cos 2α＝±1－sin 22α＝±53.【错因分析】利用二倍角公式的变形形式cos 2α＝±1－sin 22α时，忽略了α角的取值范围，导致错解．【防范措施】在三角恒等变换中，运用不同的公式有不同的解题过程，若在解题过程中选择恰当的公式，则能使解题过程更严密，不容易出错．【正解】 ∵(cos α＋sin α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(cos α－sin α)2＝2－13＝53，∴cos α－sin α＝±153. ∵cos α＋sin α＝33，∴(cos α＋sin α)2＝13，sin αcos α＝－13.∵0＜α＜π且sin αcos α＝－13＜0， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴cos α－sin α＝－153.∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－153×33＝－53.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；……又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…. (2)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(3)公式逆用异向转移，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝c os 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.当堂双基达标1．计算1－2sin 2 22.5°的结果等于________．【解析】 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.【答案】 222．(2012·济宁高一检测)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________. 【解析】 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 【答案】－2473．计算：(1)2sin 37.5°·cos 37.5°＝________； (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________； (3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝________.【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝6＋24. (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos 135°＝22.(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15° ＝2－32. 【答案】 (1)6＋24 (2)22 (3)2－32 4．已知sin x 2－2cos x2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos π4＋x ·sin x的值．【解】 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x222cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x cos x －sin x sin x ＝cos x ＋sin xsin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14. 课后知能检测一、填空题1．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】原式＝cos(2×π12)＝cos π6＝32. 【答案】 322．计算sin 105°cos 75°的值为________．【解析】 sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14.【答案】 143．若sin α＝13，则cos 2α＝________. 【解析】 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝79. 【答案】 794．若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________.【解析】由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22， ∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 【答案】 225．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为________．【解析】由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22，解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2.又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22. 【答案】－22 6．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.【解析】 ∵tan θ2＝3，∴原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tan θ21＋tan θ2＝tanθ2＝3.【答案】 37．θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ＝________. 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59， ∴sin 22θ＝89，又θ为第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ＝2sin θcos θ>0，∴sin 2θ＝223.【答案】 2238．若sin 2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________.【解析】 tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14sin 22α ＝1－12×45214×452＝174. 【答案】 174二、解答题9．(2013·巢湖市质检)已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan(2x ＋π4)的值．【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得，tan x ＝sin x cos x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43， ∴tan(2x ＋π4)＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝－7.10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值．【解】由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α，∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12.∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33.11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，∴－32≤sin 2x ≤1，∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.教师备课资源备选例题求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【思路探究】从左边入手，从角的构成看，化4A 为2A ，再化为A ，从函数名称构成看，化弦为切．从左、右两边的结构看，将左边分式化简为右边的整式形式．【自主解答】 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .规律方法证明恒等式问题的两个原则：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．变式训练求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 【证明】要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ，只需证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.上式：左边＝1－cos 4θ＋sin 4θ1＋cos 4θ＋sin 4θ＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ＝2sin 2θsin 2θ＋cos 2θ2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝右边．∴原等式成立．。

【数学】2020秋人教A版数学必修四321二倍角的三角函数word导学案1

【关键字】数学3.2.1 二倍角的三角函数（1）【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。

【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2.二倍角公式的简单应用。

难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

【学习过程】（一）预习指导：1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(α+β)= (S)cos(α+β)= (C)tan(α+β)= (T)(α,β, α+β≠κπ+ ,)(二)基本概念2.二倍角公式的推导在公式（S），（C），（T）中，当α=β时，得到相应的一组公式：sin2α= (S)cos2α= (C)tan2α= (T)注意：1°在（T）中2α≠ +,α≠ +()2°在因为sin2α+cos2α=1，所以公式（C）可以变形为cos2α=或cos2α= (C′)公式（S），（C），（C′），（T）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角公式。

（二）典型例题选讲：一、倍角公式的简单运用例1不查表，求下列各式的值(1)( ) (2)(3)(4)1+2例2求tan=3，求sin2-cos2的值例3已知sin (0＜＜ ),求cos2,cos( +)的值。

2、sinα,cosα,sinα±cosα,sinα·cosα之间的关系例4已知sin+cos= , ,求cos,cos·cos,sin2,cos2,sin,cos 的值。

三、倍角公式的进一步运用例5求证：例6求的值。

【课堂练习】1.若270°＜α＜360°，则等于2.求值：（1）sin22°cos22°=（2）2 =（3） =（4） =3.求值（1）cos20°cos40°cos60°cos80°（2）sin10°sin30°sin50°sin70°4.已知sin , ，求sin2α,cos2α,tan2α的值。

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计教学目的：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简略的求值、化简、恒等证明;引导学生发现数学规律，让学生领会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简略应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课习题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以相互化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回顾和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ当α=β时，sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα即：sin2α=2sinαcosα(Ｓ2α)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ当α=β时cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α即：cos2α=cos2α-sin2α(Ｃ2α)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ当α=β时，tan2α=2tanα1-tan2αⅡ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果雷同呢?其中由于sin2α+cos2α=1，公式Ｃ2α还可以变形为：cos2α=2cos2α-1或：cos2α=1-2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式Ｓ2α、Ｃ2α中，角α可以是任意角;但公式Ｔ2α只有当α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (k∈Ｚ)时才成立，否则不成立(因为当α=π2 +kπ，k∈Ｚ时，tanα的值不存在;当α=π4 +kπ2 ，k∈Ｚ时tan2α的值不存在).当α=π2 +kπ(k∈Ｚ)时,尽管tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα例如：sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情况下，才有可能成立[当且仅当α=kπ(k∈Ｚ)时，sin2α=2sinα=0成立].同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为α2 的2倍，将α2 作为α4 的2倍，将3α作为3α2 的2倍等等.。

高中高二数学二倍角的三角函数教案设计

高中高二数学二倍角的三角函数教案设计教案设计：高中高二数学二倍角的三角函数一、教学目标：1. 理解二倍角的概念，并掌握二倍角的性质。

2. 掌握二倍角的三角函数公式。

3. 能够运用二倍角的三角函数公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 二倍角的概念和性质。

2. 二倍角的三角函数公式。

三、教学过程：步骤一：导入新知识1. 谈论平时的学习和应用中是否有用到过二倍角的概念和公式。

2. 引出本节课的学习内容：二倍角的三角函数。

步骤二：概念讲解和性质说明1. 给出二倍角的定义：在原角的基础上，角度扩大一倍后得到的角即为二倍角。

2. 分析二倍角的正弦、余弦、正切的性质，带入图像和具体数值进行说明。

步骤三：三角函数公式的推导与运用1. 讲解二倍角的三角函数公式的推导过程，并给出公式的表达形式。

2. 讲解公式中的特殊情况，如角度为0°、90°、180°等情况下的三角函数值。

3. 运用二倍角的三角函数公式解决一些实际问题，如角度为30°、45°、60°等情况下的三角函数值的计算。

步骤四：练习与巩固1. 设计一些针对二倍角的三角函数公式的练习题，让学生进行练习并互相交流解题方法。

2. 布置相关的课后习题，供学生进行巩固和拓展。

四、教学手段：1. 板书：绘制二倍角的三角函数公式推导过程和相关例题。

2. 多媒体：播放相关的视频和动画，引导学生更好地理解和掌握知识。

五、教学评价：1. 教师针对学生在课堂上的表现进行口头评价，并及时纠正和解答学生的问题。

2. 布置课后作业，检验学生对二倍角和三角函数公式的掌握情况。

六、教学延伸：可以设计更多的实际问题和练习题，帮助学生进一步巩固和应用二倍角的三角函数知识。

也可以引导学生研究更多二倍角的性质和相关公式。

高中数学必修4《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

课题: 二倍角的正弦、余弦、正切公式教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时一、教学目标1.知识目标：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。

2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。

二、教学重点与难点重点：掌握二倍角公式，灵活运用二倍角公式解决有关问题。

难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。

三、教学方法与手段教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学并通过多媒体辅助教学。

四、教学过程二倍角的正弦、余弦、正切公式教案说明在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学，逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”。

整个教学过程的设计主要体现以下五点：第一、提出问题，纠正学生常犯直觉性错误,激发学生新的求知欲。

引导学生自主探究二倍角公式，让学生亲身经历公式的“发现”过程。

这样设计突出学生的主体地位，能够让学生明白知识的来龙去脉，加深对知识的理解，培养学生的探究意识和丰富的联想能力。

第二、在学生推导出二倍角公式后，立即让学生做些简单练习，目的是为了使学生更好的理解、运用和记忆二倍角公式，以及让学生感到找出C公式变形的必要性。

2第三、在解题教学过程中，启发学生先分析条件与求解目标之间的差异，然后选择适当的公式，明确解题思路，最后严格规范解答过程，培养逻辑思维能力。

通过一题多解训练学生发散性思维，培养学生创新意识，提高学生的数学素养。

第四、为巩固所学知识，本设计通过设置多重练习，让学生能更深刻的认识公式特点，感受公式的各种形式运用，提高灵活运用公式的能力。

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计

高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计教学目标：1. 理解二倍角的概念和性质；2. 掌握二倍角的正弦、余弦和正切的性质；3. 能够运用二倍角的性质解决相关的数学问题。

教学重点：1. 二倍角的概念和性质；2. 二倍角的三角函数；教学难点：1. 运用二倍角的性质解决数学问题；2. 综合运用二倍角的三角函数。

教学过程：Step 1: 引入问题教师出示一个直角三角形ABC，其中∠B是直角，让学生找出有关B的正弦、余弦和正切的等式。

通过观察和推理，学生将发现sinB = BC/AB, cosB = AC/AB, tanB = BC/AC 等等。

Step 2: 介绍二倍角的概念教师向学生介绍二倍角的概念，即将角度倍增后的角，如2B。

Step 3: 二倍角的性质教师讲解二倍角的性质，包括：1. sin(2B) = 2·sinB·cosB；2. cos(2B) = cos^2B - sin^2B = 2·cos^2B - 1 = 1 - 2·sin^2B；3. tan(2B) = (2·tanB)/(1 - tan^2B)。

Step 4: 二倍角的正弦、余弦和正切教师向学生介绍二倍角的正弦、余弦和正切的公式，即1. sin(2B) = 2·sin(B)·cos(B)；2. cos(2B) = cos^2(B) - sin^2(B)；3. tan(2B) = (2·tan(B))/(1 - tan^2(B))。

Step 5: 示例演练教师通过示例演练，让学生掌握运用二倍角的三角函数进行计算的方法。

Step 6: 练习巩固教师布置一些习题，让学生运用二倍角的三角函数解决相关的数学问题。

Step 7: 拓展延伸教师拓展延伸二倍角的应用，例如在解三角方程、证明恒等式以及应用于几何问题等。

Step 8: 总结归纳教师与学生一起总结归纳二倍角的概念、性质和应用。

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3.2 二倍角的三角函数
第1课时
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1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.
2.二倍角公式不只限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍，2α是4
α的两倍，α3是23α的两倍，3α是6
α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当2=β
α时，α就是β的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式.尤其是“倍角”的意义是相对的.
3.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式.
4.公式)(2αT 成立的条件是
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明.
重点难点
重点：1.二倍角公式的推导；
2.二倍角公式的简单应用.
难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
【自学评价】
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin()αβ+= )(βα+S
cos()αβ+= )(βα+C
tan()αβ+= )(βα+T
(,,,)2k k Z π
αβαβπ+≠+∈
2.二倍角公式的推导
在公式)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 中，当βα=时，得到相应的一组公式：
sin 2α= ；)(2αS
cos 2α= ；)(2αC
tan 2___________α=；)(2αT
注意： 1°在)(2αT 中2,22k k ππαπαπ≠
+≠+()k z ∈ 2°在因为1cos sin 22=+αα，
所以公式)(2αC 可以变形为 cos 2__________α=
或 cos 2__________α=)(2
αC ' 公式)(2αS ，)(2αC ，)(2
αC '，)(2αT 统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式. 【精典范例】
一、倍角公式的简单运用
例1不查表．求下列各式的值（１）)12
5cos 125)(sin 125cos 125(sin
ππππ-+ （２）2sin 2cos 44αα- （３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212
-+
【解】
例2若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值
【解】
例3用ααcos ,sin 表示αα3cos ,3sin
【解】
点评：
1、加深对“二倍角”的理解，即角的变换；
2、进一步体会“化归思想”（三倍角化归为两角和与二倍角）。

例4已知)40(135)4sin(πθθπ
<<=-，求)4
cos(,2cos θπθ+的值。

【解】
点评：进一步体会角的变换的妙处。

二、ααααααcos sin ,cos sin ,cos ,sin ⋅±
之间的关系
例5已知51cos sin =+θθ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈43,2ππθ，求θθc o s s i n ⋅，θ2sin ，θ2cos ，θθcos ,sin 的值。

【解】
三、倍角公式的进一步运用
例6求证：
)2sin 2
11(2cos sin cos 288A A A A -=- 【解】
例7求94cos 92cos 9cos
πππ的值。

【解】
进一步探讨1322cos 2cos 2cos 2cos
cos -⋅⋅⋅n ααααα的值。

思维点拔：
要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
【追踪训练】：
1.求值：
(1)sin22︒30’cos22︒30’= (2)=-π18
cos 22
(3)=π-π8cos 8sin 22 (4)=ππππ12
cos 24cos 48cos 48sin 8 2.求值
(1)sin10°sin30°sin50°sin70°
(2) cos200cos400cos600cos800
3.已知),2(,135sin ππ∈α=
α，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
5.已知912cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-βα，3
22sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，且
20,2πβπαπ<<<<，求)cos(
βα+的值。