量纲分析和相似原理

，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
i x x x xi
x y z 1 2 3
i 1,2,n m
(4)确定量纲一π参数：由量纲和谐原理解联立指数
方程，求出各π项的指数x，y，z，从而定出各量纲一
π参数。
(5)写出描述现象的关系式φ(π1,π2,……,πn-m)=0 ,
解π参数。
设变量共5个，其中x1、x2、x3为三个基本量(m=3), 则x1、x2、x3可与余下的x4，x5组合成2个(n-m=2) 量纲一π1、π2。
三 物理方程量纲的一致性
量纲和谐原理(theory of dimensional omogeneity)： 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。 物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律性： 1．物理方程中各项的量纲应相同。 2．任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组 成的方程而不会改变物理过程的规律性。 3．物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各 量纲之间的规律性，不会因所选择的基本量纲不同而 发生改变。
应该指出：量纲分析并没有也不可能给出流 动问题的最终解，它只提供了这个解的基本 结构，函数的数值关系还有待于实验研究。
§4-3 流动相似性原理
采用模型试验和理论分析相结合的方式是解决问题 的有效途径之一，在把模型中的实测资料引用到原型中 产生下述问题： (1) 如何设计模型才能使模型和原型中的流动相似？ (2) 如何把模型中观测的流动现象和数据换算到原型 中去？ 相似原理提供了解决这两个问题的理论基础。
代入上式，关于指数有如下关系
1 x 2 y 3 z 0 1 x 2 y 3 z 0 x y z 0 2 3 1
1 2 3 由线性代数知，当 D 1 2 3 0 ，有非零解，则可 1 2 3
1 1

1
3 1
2
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
L : 1 1 3 1 2 0 解得： 1 T : 1 1 0 M: 1 0
L : 2 2 3 2 1 0 2 T : 2 2 0 M: 2 1 0
代入前面π公式得：
1 V 1d 1 0

Vd

2 V 2 d 0 1p
l 3 d l k 4 d d
p V 2
1 Re
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 Re , V 2 , d , d 改写为 p l k F , , Re 2 V d d
组成量纲一的量，不独立，不可作为基本量。
1 2 3 当 D 1 2 3 0 ，无非零解，则不能组成量纲一的 1 2 3
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0 1 2 3
一、几何相似
几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺 寸相似，也就是原型和模型的任何一个相应线性长度 保持一定的比例关系。
l
式中 l 为长度比尺。
面积比尺 体积比尺
A
Ap Am
lp lm
2 2
lp lm
l
3 3
2
V Vp Vm源自lp lm l
3
二、运动相似 运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质 点的迹线是几何相似的，而且任何对应质点流过相应 线段所需的时间又是具有同一比例的。或者说两个流 动的速度场(或加速度场)是几何相似的。 设时间比尺： t p t 则速度比尺 加速度比尺
√ 如理想流体的伯努利方程：
p1 V p2 V Z1 Z2 g 2 g g 2 g
各项量纲均为L，上式可改写为无量纲的方程：
2 1
2 2
p1 p2 V V 1 0 g z1 z2 2 g z1 z2
2 1 2 2
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
dim d L dimV LT
1 , 2 , 3 , 4，即 无量纲数：
1
dim ML
3
余下的4个量 , p, l , k ,分别与V , d , 相乘组成4个
1 V d 2 V d p 3 V d l 4 V d k
第4章
量纲分析和相似原理
解决流体力学问题时仅靠三大基本方程是远远不够的， 还需要借助其它科学试验手段。在研究某些流体运动规律 过程中量纲分析常常可给予很大的帮助。
§4-1 量纲分析的概念和原理
一、量纲(dimension) 量纲是指物理量的属性(类别)，也叫因次。 物理量的量纲可分为基本量纲(fundamental dimension) 和导出量纲(derived dimension)两类。长度[L]、时间[T]、 质量[M]这三个量纲属于基本量纲；可用基本量纲推导出 来的量纲属于导出量纲。如：流速的量纲[L/T]。
由实验测得k 2300 , Vc d

2300 , Re c 2300
二、π定理
布金汉π定理：对于某个物理现象，如果存在n个变 量互为函数关系：F(q1,q2,q3,……,qn)=0 而在这些变量中含有m个基本量，则可组合这些变量成 (n-m)个量纲一的量的函数关系：
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
或
p l k F , , Re 2 V d d k 2 l p V F , , Re d d
由实验知压差与管长成正比，因此：
k l V p , Re d d 2
2
量纲分析法的优点：适用未知物理方程的流动。 缺点：选准物理量较难，物理意 义不明确。
tm
lp / tp
l u um lm / tm t
up
a
ap am

lp / tp lm / t m
2 2
2 l u 2 l t
三、动力相似 原型和模型流动中任何对应点上作用着同名的 力，各同名力相互平行且具有同一比值。
基本量的判别
设三个物理量A、B、C，能够作为基本量的条件是 AxByCz不是量纲一的量，即
(dim A) (dim B) (dim C) L T M 的非零解不存在
x y z 0 0 0
设dimA L1 T 1 M1 , dimB L2 T 2 M 2 , dimC L3 T 3 M 3
1 x1 x2 x3 x4
2 2 2
1
1
2
2 x1 x2 x3 x5
所求的物理方程为
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k ,, ,V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
某个物理量A的量纲表示为dimA，如速度量纲表
示为dimu=LT-1 ，加速度量纲dima=LT-2，密度量 纲dimρ=ML-3，力的量纲dimF=dim(ma)=MLT-2 ， 压强的量纲dim p=dim (F/A)= MLT-2 /L2=ML-1 T-2 对于任何物理量的量纲
dim q L T M
3 1 1
LT M L L
0 x
1
3 y
M L T M
y
z
z
z
LT 1 M 0 Lx 3 y z T z M y z x 3y z 1 z 1 x 1 y 1
yz 0 z 1 k 1 1 Vc kd d Vc d Vc d 改写为 k k Re c k
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
将各量的量纲代入，写出各公式：
1 LT
对每一个π写出量纲和谐方程式组：
L ML L T 1 1 3 L ML ML1T 2 1 2 LT 1 3 L ML L 1 3 LT 1 3 L ML L 1 4 LT