2024届黑龙江省哈尔滨三十二中高三学业水平考试试题数学试题

2024届黑龙江省哈尔滨三十二中高三学业水平考试试题数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<2．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 3．已知关于x 的方程3sin sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,14．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则AB =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞ 5．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．6．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13±B ．223±C ．±1D ． 3±7．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝8．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．1089．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．10．已知函数()2()2ln (0)f x a e x x a =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点(,())s f t ，(,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ）A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 11．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．2±B ．2-C ．22D ．22±12．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．14．已知()1nx +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =__________.15．若22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________．16．已知函数()122,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f =______.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，//BE AF ，//AD BC ，1BC =，5CD =，2AB AF AD ===，M 是棱FD 上的点，且满足12FM MD =.（1）求证：直线//BF 平面MAC ； （2）求二面角A MC D --的正弦值.18．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) （2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.19．（12分）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过C 上一点(1,)P t （0t >）作两条倾斜角互补的直线分别与C 交于M ，N 两点，（1）证明：直线MN 的斜率是－1；（2）若8||MF ，||MN ，||NF 成等比数列，求直线MN 的方程. 20．（12分）在ABC ∆3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+a 的值．21．（12分）2020年，山东省高考将全面实行“[36+选]3”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人.（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X ，求X 的分布列及期望()E X .()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥0.25 0.10 0.05 k1.3232.7063.84122．（10分）如图，三棱台111.ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面12AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥，且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =，2AE EB =，证明：∥平面11BCC B ；（Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值. 参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2、C 【解析】依题意可得(3)()f x f x -=，即函数图像关于32x =对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性； 【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln ()f x x x x x f x -=-+--=-+=，(3)()f x f x ∴-=，所以函数图像关于32x =对称， 又1123()3(3)x f x x x x x -'=-=--，()f x 在()0,3上不单调. 故正确的只有C ， 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 3、C 【解析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.4、C 【解析】分别求解不等式得到集合,A B ,再利用集合的交集定义求解即可. 【详解】2{|20}{|02}A x x x x x =-≤=≤≤,{|220}{|1}B x x x x =-=≤≤， ∴{|01}AB x x =≤≤．故选C ． 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易. 5、C 【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 6、B 【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2px my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得4m =±， 因此，直线l的斜率为13m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 7、B 【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ． 8、B 【解析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为1,22，则小正方形的边长为122-，小正方形的面积211222S ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为125001500(10.866)5000.1345006711⎛⨯=⨯≈-⨯=⨯= ⨯⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.9、C 【解析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】 由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数.所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 10、D 【解析】依题意，可得()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，于是可得()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦，继而可得()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，解之即可.【详解】解：()2222()a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >， 所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2(2),a e e a ⎡⎤+⎣⎦， 因为所有点(,())s f t (,)s t D ∈所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 解得2ea e =-，故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到221(2)(1)1a e e e e---=-是关键，考查运算能力，属于中档题．11、D 【解析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,22)A ．则直线AF 的斜率21k ±==±- 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 12、A 【解析】,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭⇒max ()16f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而可得6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再解不等式222()262k x k k z πππππ-≤+≤+∈即可.【详解】由已知，max ()sin 163f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 1,0,32ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+=±∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222()262k x k k z πππππ-≤+≤+∈，解得，()36k x k k z ππππ-≤≤+∈.故选：A. 【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。