江西省贵溪市实验中学2020-2021学高二上学期期中考试数学(三校生)试题
江西省贵溪市实验中学2020-2021学高二上学期期中考试数学（三校生）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．本题共10小题，对每小题的命题作出判断，对的选A ，错的选B ．（1）{}{}00,1,2∈____________（AB ）（2）lg 4lg7lg11+=____________（AB ）（3）0a =是()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件.____________（AB ） （4）已知集合{}3M x x =<，{}2log 1N x x =>，则{}23M N x x ⋂=<<.____________（AB ）（5）若函数()23x f x a-=+（0a >且1a ≠）则()f x 一定过点()24，.____________（AB ）（6）若a b >，则22ac bc >____________（AB ）（7）设函数243y x x =-+，[]1,4x ∈，则()f x 的最大值是3____________（AB ）（8）幂函数()y f x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1f x x -=.____________（AB ） （9）21log 325+=____________（AB ）（10）若()f x 在R 上是奇函数，且()35f =-，则()35f -=.____________（AB ） 21225lg 5lg 20++=______；3．函数y ______．4．已知集合{}2,3,44A m =--，集合{}23,B m =.若B A ⊆，则实数m =______. 5．已知函数()35y a x =-+在R 上单调递减，则a 的范围是______；6．设 2.10.4a =， 3.20.4b =，2log 0.4c =，则这三个数按从大到小排列顺序为______； 7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是________．8．设01a <<，解关于x 的不等式22232223xx x x a a -++->．二、单选题 9．二次函数()2254y x =++的顶点坐标为（ ） A ．()54， B ．()54-， C ．()5,4- D ．()5,4--10．函数()()2log 1f x x =+的定义域是（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．()(),13,-∞-+∞D ．()1,+∞ 11．函数()2f x x=-，则函数()f x （ ） A ．在R 上是增函数 B ．在R 上是减函数C ．在(),0-∞是增函数D ．在()0,∞+是减函数 12．()f x 定义域{}03A x x =∈≤≤Z ，则()226f x x x =-+的值域为（ ） A ．90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦ C ．9,2⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦ D ．{}0,413．计算()2531433434a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得（ ）A ．232b -B ．232bC ．23bD ．23b -14．已知函数2y x bx c =++在[1)+∞，上是单调函数，则（ ） A ．1b ≥- B ．1b ≤-C ．2b ≥-D ．2b ≤- 15．关于x 的方程||12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭在实数范围有两个解，则实数a 的取值范围（ ） A ．()0,1 B ．[]0,1 C ．[)0,1 D ．(]0,116．()f x 是定义在R 上的偶函数，在(),0-∞上是增函数，且()30f =，则使()0f x <的x 的范围是（ ）A ．()3,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()3,+∞D ．(),3-∞-三、解答题17．已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{}15B x x x =<->或.（1）若2a =-，求R A C B ⋂；（2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围.18．已知函数()2121x x f x -=+ （1）判断函数的奇偶性；（2）求函数的值域.19．已知二次函数()f x 满足()03f =，()()310f f =-=.（1）求函数()f x 的解析式，求()f x 的单调递增区间；（2）若[)2,5x ∈-，求函数的值域.20．已知函数()y f x =在R 是奇函数，当0x >时，()3log 1f x x =+，求： （1）()3f（2）()3f -（3）()0f 的值21．函数()4426x x f x +=--，其中[]0,3x ∈（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若存在[]00,3x ∈使()00f x a -≤成立，求实数a 的范围.参考答案1．B B A A A B A A B A【分析】根据相关概念、运算直接作出判断.【详解】（1）集合间的关系不是属于，{}{}00,1,2∈错误，故答案为：B（2）根据对数运算知lg 4lg7lg 28lg11+=≠，故错误，故答案为：B（3）0a =是()2f x x ax =+是偶函数”的充要条件正确， 故答案为：A（4）由{}{}2log 12N x x N x x =>==>， 知{}23M N x x ⋂=<<正确，故答案为：A（5）函数()23x f x a-=+（0a >且1a ≠）一定过点()24，正确， 故答案为：A（6）a b >，0c时得不到22ac bc >，故错误， 故答案为：B（7）函数243y x x =-+，[]1,4x ∈，对称轴为2x =，所以当4x =时有最大值3正确，故答案为：A （8）幂函数()y f x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1122-=，故()1f x x -=正确， 故答案为：A（9）221log 3log 62265+==≠，故错误故答案为：B（10）()f x 在R 上是奇函数，且()35f =-，则()35f -=正确，故答案为：A2．9【分析】根据指数、对数的运算法则以及对数恒等式lg 2lg51+=完成计算.【详解】()()1122225lg5lg 205+lg5+lg 45++=⨯252lg5lg 47+2lg52lg 2=+++=+()72lg2lg59=++=，故答案为：9.3．[0，+∞）【分析】根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域．【详解】解：由题意可得210x -，解不等式可得0x所以函数的定义域是[)0,+∞，故答案为：[)0,+∞【点睛】本题考查了求函数的定义域的最基本的类型：偶次根式型：被开方数大于（等于）0，还考查了指数不等式的解法．属于基础题．4．2【分析】根据子集的定义，列出等式，即可求出．【详解】由B A ⊆知，244m m =-，即()220m -=，所以2m =.【点睛】本题主要考查子集的定义应用．5．3a <【分析】根据一次函数的单调性与()0y kx b k =+≠中的k 的关系，列出关于a 的不等式，求解出a 的范围即可.【详解】因为()35y a x =-+在R 上单调递减，所以30a -<，所以3a <，故答案为：3a <.6．a b c >>【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.【详解】0.4x y =为减函数，1 3.22.00.440.∴>>，即0a b >>2log y x =为增函数，22log 0.4log 10<=∴，即0c <.所以a b c >>.故答案为：a b c >>7．[1,2]【分析】画出二次函数的图象，结合图象可得所求的范围．【详解】由题意得()()222413f x x x x =-+＝－＋，故函数()f x 图象的对称轴为1x =．令()2244f x x x =＝－＋，解得0x =或2x =． 画出函数的图象如下图所示．由图象可得当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3．【点睛】本题考查二次函数的图象及其应用，考查数形结合在解题中的应用，其中根据()4f x ＝求得相应的x 的值是解题的关键．8．1x >【解析】试题分析：根据指数函数的单调性，将指数不等式化为二次不等式，解之即可． 试题解析：∵01a <<,∴ x y a =在(),-∞+∞上为减函数，∵ 22232223x x x x a a -++->, ∴222322231x x x x x -++-⇒9．B【分析】由函数的解析式直接可得顶点坐标.【详解】因为二次函数()2254y x =++， 所以函数的顶点坐标为()54-，, 故选：B10．B【分析】由对数的真数大于0直接求解.【详解】因为函数()()2log 1f x x =+，所以10x +>，解得1x >-，所以函数的定义域为()1,-+∞，故选：B11．C【分析】根据基本函数的单调性直接求解.【详解】因为()2f x x=-， 所以函数在(),0-∞是增函数，故选：C12．D【分析】根据函数的定义域及解析式，求出的值域.【详解】 因为{}{}030,1,2,3A x x =∈≤≤=Z ，()226f x x x =-+， 所以(0)0,(1)4,(2)4,(3)0f f f f ====，故值域为{}0,4，故选：D13．D【分析】利用指数幂的运算法则直接计算求值.【详解】原式()25131423333a b b ⎛⎫-+-- ⎪----⎝⎭=-=-故选：D14．C【分析】由二次函数的性质，得到函数2y x bx c =++在[,)2b-+∞单调递增，根据题意，列出不等式12b -≤，即可求解. 【详解】 由二次函数的性质，可得函数2y x bxc =++在[,)2b-+∞单调递增，要使得函数2y x bx c =++在[1)+∞，上是单调函数，则满足12b -≤，解得2b ≥-. 故选C.【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，准确的函数的单调区间，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15．A【分析】 首先画出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，再转化为直线y a =与函数图象有两个交点，求实数a 的取值范围.【详解】 首先画出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，有图象可知当直线y a =与函数图象有2个交点时，()0,1a ∈.故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解16．B【分析】由偶函数的对称性及在(,0)-∞上的增减性即可求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(),0-∞上是增函数，且()30f =，所以()f x 在()0,∞+上是减函数，且(3)0f -=，所以当3x <-或3x >时，()0f x <，故选：B17．（1）[]1,1R A C ⋂=-；（2）4a或5a >. 【分析】（1）2a =-时，得到集合A ，直接由补集、交集运算即可；（2）由A B B ⋃=可知A B ⊆，建立不等式，求解即可.【详解】（1）2a =-时，{}21A x x =-≤≤，{}15B x x x =<->或， [1,5]R C B ∴=-，[]1,1R A C B ∴⋂=-（2）A B B =，A B ∴⊆，31a ∴+<-或5a >，即4a 或5a >.18．（1）奇函数；（2）()1,1-.【分析】（1）由奇偶性的定义判定即可；（2）化简解析式，直接求解即可.【详解】（1）因为()2121x x f x -=+， 所以x ∈R ，关于原点对称， 又2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， 所以函数为奇函数.（2）()21212121x x x f x -==-++， 而211x +>，20221x ∴<<+， 211121x ∴-<-<+， 即函数的值域为()1,1-19．（1）()223f x x x =-++；增区间为(],1-∞；（2）(]12,4-. 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，由解析式直接写出单调增区间； （2）根据函数的对称轴及开口方向求解.【详解】（1）依题意设()2f x ax bx c =++()0a ≠ 因为()03f =，()()310f f =-=所以3c =，()3930f a b =+=，()130f a b -=-+=解得1a =-，2b =，3c =所以函数解析式为()223f x x x =-++，函数增区间为(],1-∞ （2）由（1）得函数()223f x x x =-++图象关于直线1x =对称所以若[)2,5x ∈-，函数的值域为(]12,4- 20．（1）()32f =；（2）()32f -=-；（3）()00f =.【分析】根据函数的解析式及奇函数的性质可求解.【详解】（1）因为当0x >时，()3log 1f x x =+， 所以3(3)log 312f =+=.（2）因为函数()y f x =在R 是奇函数， 所以()(33)2f f -=-=-.(3) 因为函数()y f x =在R 是奇函数， 所以(0)(0)f f -=-，即(0)0f =.21．（1）()max 21f x =-，()min 70f x =-；（2）70a ≥-.【分析】（1）令2x t =，再利用二次函数配方即可求最值. （2）将不等式转化为()min a f x ≥即可求解.【详解】（1）()4426x x f x +=--，[]0,3x ∈， 令[]21,8xt =∈， 则()()22166870f t t t t =--=--， 所以函数在区间[]1,8上单调递减， 所以()()max 021f x f ==-， ()()min 370f f x =-=，max min （2）若存在[]00,3x ∈使()00f x a -≤成立， 只需()min a f x ≥， 由（1）可得70a ≥-.。
2020-2021学年江西省南昌市实验中学、南昌市第十七中学等六校高二上期中联考数学(解析版)
2020-2021学年江西省南昌市实验中学、南昌市第十七中学等六校高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．过点()1,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ） A ．210x y +-= B ．250x y +-=C ．250x y +-=D ．270x y -+=【答案】A【分析】由题，可先得到所求直线的斜率，然后利用点斜式，即可得到本题答案. 【详解】因为所求直线垂直于直线230x y -+=，又直线230x y -+=的斜率为12， 所以所求直线的斜率2k =-，所以直线方程为32(1)y x -=-+，即210x y +-=. 故选：A【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属基础题.2．若直线l 1：y =k （x –2）与直线l 2关于点（1，2）对称，则直线l 2恒过点（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（0，4） D ．（4，0）【答案】C【分析】先求出直线l 1恒过点P （2，0），求出点P 关于点（1，2）的对称点Q ，从而得到直线l 2恒过的点，得到答案.【详解】直线l 1：y =k （x –2）恒过点P （2，0）． 设点P 关于点（1，2）的对称点为Q （a ，b ），则212022ab +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，∴直线l 2恒过点（0，4）． 故选C ．【点睛】本题考查直线过定点，求点关于点的对称点，属于简单题. 3．圆222x y +=与圆22220x y x y ++-=的位置关系是（ ） A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离【答案】A【分析】计算两个圆的圆心距以及1212,r r r r +-，比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为()()120,0,1,1O O -，圆心距12d OO ===，，故1212r r d r r -<<+，所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题.4．已知直线l 过点()4,0M ，且与圆22:4C x y +=相切，则直线l 的方程为（ ）A ．)4y x =-B ．)4y x =-C ．()4y x =±-D ．()42y x =±- 【答案】A【分析】对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，直接验证即可；在直线l 的斜率存在时，设切线方程为()4y k x =-，利用点到直线的距离公式求出k ，即可得出答案.【详解】当直线的斜率不存在时，直线为4x =与圆不相切，所以直线的斜率存在， 故设切线方程为()4y k x =-，即40kx y k --=.23k =⇒=±，因此，切线方程为)43y x =±-. 故选：A.【点睛】思路点睛：已知直线过点，利用直线与圆的位置关系求斜率或斜率的取值范围，思路如下：（1）考虑直线斜率不存在时，利用圆心到直线的距离验证即可；（2）在直线斜率存在时，利用点斜式设出直线方程，利用圆心到直线的距离建立（不）等式，进而可求得直线斜率的值或取值范围.5．已知点P (2,2)，点M 是圆()2211:14O x y +-=上的动点，点N 是圆()222124O x y -+=：上的动点，则PN PM -的最大值是()A 1B 2C ．2-D ．3【答案】D【分析】将点P 到圆上动点的距离转到到圆心的距离，再加减半径即可得到最值. 【详解】如图，圆心O 1(0，1)，半径12r =，圆心O 2(2，0)，半径12R =，则PN 的最大值为212+， PM 的最小值为21121522+-=-， 则PN PM -的最大值为11253522⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭， 故选D .【点睛】本题考查了点到圆上动点的距离问题，考查了点点距公式，考查了数形结合思想，属于基础题. 6．若抛物线C ：2y x 上一点M 到焦点的距离是174，则点M 到直线1y =-的距离是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由题意得到抛物线C ：2yx 的准线方程为14y =-，根据M 到焦点的距离是174，从而求解. 【详解】抛物线2yx 的准线方程为14y =-，∵点M 到焦点的距离是174， ∴点M 到准线的距离为174，∴点M 到直线1y =-的距离为171(1)544⎡⎤+---=⎢⎥⎣⎦， 故选：C7．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且12F F ＝|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．221129x y +=B ．221129x y +=或221912x y +=C ．221912x y +=D ．2214845x y +=或2214548x y +=【答案】B【分析】由题意，求得c =a =，进而得到29b =，即可得到椭圆的方程.【详解】由已知122c FF ＝＝∴c∵12122a PF PF 2FF ＝＋＝＝∴a ＝∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是22x y 1129+=或22x y 1912+=.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的定义和椭圆的标准方程的形式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．16【答案】B【分析】由已知条件，结合抛物线的性质，先求出直线AB 的方程，再把AB 的方程与抛物线联立，整理后得到一个一元二次方程，利用抛物线弦长公式能求出线段AB 的长. 【详解】解：∵抛物线24y x =的焦点()1,0F ，斜率是1的直线AB 经过抛物线24y x =的焦点，∴直线AB 的方程：1y x =-，联立方程组214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=，∴12628AB x x p =++=+=. ∴线段AB 的长是8. 故选：B.【点睛】思路点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．9．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线过点)2，且双曲线的一个焦点在抛物线2x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128y x -=B ．2212821y x -=C ．22143y x -=D ．22134y x -=【答案】C【分析】首先由渐近线经过)2，得到a ，b 的方程，然后求出抛物线的准线，得到c ，由此求得双曲线方程.【详解】解：由双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线过点)2，可得渐近线的斜率a kb ==①.由双曲线的一个焦点在抛物线2x =的准线y =可得c =227a b +=②.由①②，可得2a =，b =22143y x -=.故选C .【点睛】本题考查双曲线的渐近线，抛物线的准线，双曲线中的基本量参数的关系，属双曲线标准方程中的,,a b c 的关系是222c a b =+,要与椭圆中的,,a b c 关系222a b c =+区分清楚；双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为a y x b =±;双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±; 抛物线22x py =的准线方程为2p y =-；抛物线22y px =的准线方程为2p x =-. 10．如图，椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆与双曲线的一个交点，则12AF AF ⋅=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由椭圆和双曲线的定义可列出1AF ，2AF 的方程组，解出即可得解.【详解】因为A 是椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的一个公共点，所以由椭圆的定义可得1226AF AF += 由双曲线的定义可得2123AF AF -= 解得163AF =263AF = 所以123AF AF ⋅=， 故选：A11．已知椭圆：22142x y +=，过点()1,1M 的直线与椭圆相交于,A B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-=B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-∴+=则()()121212122142x x y y x x y y -+-==--+ 即直线AB 的斜率为12-则直线AB 的方程为()1112y x -=-- 即230x y +-= 故选B12．已知双曲线C 的离心率为32，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线C 上，若122F A F A =，则12sin F AF ∠=（ ） A ．1116BCD ．12【答案】C【分析】由双曲线的定义可得14F A a =，22F A a =，在21AF F 中，由余弦定理，再由同角三角函数的关系求出12sin F AF ∠.【详解】因为双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线C 上，所以由双曲线的定义可知，122F A F A a -=， 又122F A F A =，所以14F A a =，22F A a =.因为双曲线C 的离心率为32，所以32c a =，则23c a =.在21AF F 中，由余弦定理可得()()()222124411cos 224162a a F AFa aa +-∠==⋅⋅，所以()21212315sin 1cos F AF F AF ∠=-∠=， 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用双曲线的定义以及离心率将12AF F △各边边长利用a 表示，然后利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求解.二、填空题13．已知圆C ：()()22314x y -++=与直线l ：20x y +-=交于M ､N 两点，则MN =________.【答案】4【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分析可得圆心C 在直线l 上，则2MN r =，即可得答案.【详解】根据题意，圆C ：()()22314x y -++=， 所以圆心为()3,1-，半径2r，因为直线l 的方程为20x y +-=， 所以圆心C 在直线l 上，则24MN r ==. 故答案为：4.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交时弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 14．已椭圆221x my +=m =__________． 【答案】4或14【解析】分析：将椭圆化成标准方程得2211y x m+=，可得2211,a b m==或221,1a b m ==．由椭圆的离心率为2，可得22222234c a b e a a -===，化简可得224a b =．进而得14m=或41m =，可求得4m =或14．详解：椭圆化成标准方程得2211y x m+=， ∵∴22222234c a b e a a -===，224a b =， ∴14m=或41m =，故4m =或14．点睛：解决与椭圆离心率有关的问题，注意公式222222c a b e a a-==的运用．解题过程注意,,a b c 的关系．（1）直接根据题意建立,a c 的等式求解； （2）借助平面几何关系建立,a c 的等式求解； （3）利用圆锥曲线的相关细则建立,a c 的等式求解；15．如果12F F 、分别是双曲线221169x y -=的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是____ 【答案】28【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知218AF AF -=①，218BF BF -=②，两式相加再结合已知||6AB =即可求解. 【详解】解：由题意知：4,3a b ==，故5c =.由双曲线的定义知218AF AF -=①，218BF BF -=②， ①＋②得：22||16AF F AB B +-=，所以2222AF BF +=， 所以2ABF 的周长是22||28AF F AB B ++=. 故答案为：28.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理.16．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 作倾斜角为30的直线交抛物线于A 、B 两点，点A 、B 在抛物线准线上的射影分别是A '、B '，若四边形AA B B ''的面积为48，则该抛物线的方程为__________. 【答案】223y x =【分析】写出直线AB 的方程，代入22y px =，整理并写出韦达定理，四边形AA B B ''是直角梯形，利用面积公式可得()12121482x x p y y ++-=，将12y y -最后用韦达定理表示出来，建立关于p 的方程，解方程即可.【详解】因为抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为332p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 代入22y px =，整理得22704p x px -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则由方程的根与系数的关系，得127x x p +=，2124p x x =.又)1212y y x x -=-，且四边形AA B B ''是直角梯形，其面积为48， 所以()12121482x x p y y ++-=， 即())1212121482x x p x x x x p ++-=++=，748p p +=，解得23p =，又0p >，所以p =2y=.故答案为：2y =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.三、解答题17．求符合下列要求的曲线的标准方程：（1）已知椭圆的焦点在x 轴，且长轴长为12，离心率为12； （2）焦点在x 轴，过点()1,1，且ba=. 【答案】（1）2213627x y +=；（2）22112x y -=. 【分析】（1）根据题意设出椭圆方程，求出a 和b 的值，即可求出结果； （2）根据焦点在x 轴上，设出双曲线方程，即可求出结果.【详解】（1）由题意知：可设所求的椭圆标准方程为22221x y a b+=（其中0a b >>），则212a =， ∴6a =，又12c e a ==， ∴3c =，∴222226327b a c =-=-=，故所求的椭圆的标准方程为2213627x y +=；（2）由题意知：焦点在x 轴上，可设所求的双曲线的标准方程为22221x y a b-=（其中0,0a b >>），则22111a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴212a =，21b =， ∴双曲线的标准方程为22112x y -=.18．已知直线l 经过直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点，且()2,3M ，()4,5N -到l 的距离相等，求直线l 的方程.【答案】3270x y +-=或460x y +-=.【分析】根据题意求出交点坐标，由M ，N 到l 的距离相等，可判断直线有两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ，分别求解两种情况下的直线方程即可.【详解】联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=与直线240x y +-=的交点为()1,2P ，由M ，N 到l 的距离相等，知直线l 经过线段MN 的中点，或者直线//l MN ， 线段MN 的中点为()3,1Q -，35424MN k +==--， ∴过点P ，Q 的直线l 的方程为3270x y +-=，∴过点P 与直线MN 平行的直线l 的方程为460x y +-=， 综上，直线l 的方程为3270x y +-=或460x y +-=.【点睛】本题考查直线方程的求法，考查两直线交点等基础知识，两个点到直线的距离相等，可以分为两种情况：①直线l 经过线段MN 的中点；②直线//l MN ；当MN 的中点()3,1Q -在直线l 上时，计算出斜率PQ k ，利用点斜式即可得出直线l 的方程；当//MN l 时，计算出斜率MN k ，再根据斜率相等，利用点斜式即可得出直线l 的方程.19．已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2﹣6x +m =0． （1）若圆C 1与圆C 2外切，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若直线x +2y +n =0与圆C 2的相交弦长为n 的值．【答案】（1）5；（2）n =﹣3n =﹣3【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，根据两圆相外切，列出方程，即可求解；（2）由（1）得圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，圆心2(3,0)C ，半径为2R =,在结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，圆221:1C x y +=的圆心坐标为1(0,0)C ，半径为1r =，圆222:60C x y x m +-+=的圆心坐标为2(3,0)C ，半径为R =，因为圆1C 与2C 相外切，所以12C C r R =+，即31=5m =.（2）由（1）得5m =，圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，可得圆心2(3,0)C ，半径为2R =,由题意可得圆心2C 到直线20x y n ++=的距离d =1==，即3n +=解得3n =-+3n =--【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆与圆的位置关系，以及合理利用直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．已知动圆过定点()1,0且与直线1x =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）过原点O 的直线l 交轨迹C 于M 点，与直线1x =-交于H 点，过点H 作y 轴的垂线交轨迹C 于N 点，求证：直线MN 过定点.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义进行求解即可；（2）根据点M 在抛物线上，设出其坐标，然后再求出,H N 两点，最后根据直线点斜式方程求出直线MN 的方程即可证明出直线MN 过定点. 【详解】（1）∵动圆过定点1,0A ，且与直线1x =-相切，∴曲线C 是以点1,0A 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，其方程为：24y x =.（2）设()2000(,04)y M y y ≠，则直线OM 的方程为：04y x y =. ∴2000444(1,),(,)H N y y y --∴-， ∴直线MN 的斜率00022002044444MNy y y k y y y +==--， ∴直线MN 的方程为2000204()44y y y y x y -=--，整理可得：0204(1)4y y x y =--， ∴直线MN 过定点()1,0.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2PF 斜率为(0)k k ≠，且2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ，使得||||?TP TQ =若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2)见解析【分析】（1）由题可得当P 为C 的短轴顶点时，12PF F ∆的面积有最大值，根据椭圆的性质得到a 、b 、c 的方程，解方程即可得到椭圆C 的方程；（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立消去y ，得到关于x 的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到PQ 的中点坐标，要使||||?TP TQ =，则直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到t 关于k 的式子，再利用基本不等式即可求出t 的取值范围．【详解】解（1）当P 为C 的短轴顶点时，12PF F ∆所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入22143x y +=，得()22223484120k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，()212120002243,1234234x x y y k kx y k x kk++-====-=++， 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为||TPTQ =，所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则1TN PQk k =-，即2223431443kt k k k k --+⋅=-+， 所以213434k t k k k==++， 当0k >时，因为34k k +≥，所以0,12t ⎛∈ ⎝⎦， 当0k <时，因为34k k +≤-t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭. 综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t的取值范围为30,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性．22．如图，设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 1交抛物线C 于A ，B 两点，且 ||8AB =，线段AB 的中点到y 轴的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）若直线2l 与圆 2212x y +=切于点P ，与抛物线C 切于点Q ，求FPQ ∆的面积． 【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）32S =. 【解析】试题分析：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切转化为方程联立可得0∆=、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第一问，利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出；第二问，设2l ：y=kx+m ，由2l 与⊙O 相切可得2221m k =+，直线与抛物线方程联立可得222(24)0k x km x m +-+=，利用直线2l 与抛物线相切，可得0∆=可得1km =，联立解出k ，m ．得出Q 坐标，PQ ，直线2l 方程，利用点到直线2l 的距离公式可得(1,0)F 到的距离．试题解析：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点坐标为1212(,)22x x y y ++， 由题意知1232x x +=，∴126x x +=，又128AB x x p =++=，∴2p =， 故抛物线C 的方程为24y x =；（Ⅱ）设2l ：y kx m =+，由2l 与⊙O 相切得22222121m k k =⇒=++①， 由2{4y kx m y x=+=，（）∵直线2l 与抛物线相切，∴222(24)401km k m km ∆=--=⇒=② 由 ①，②得11k π==±，∴方程（）为2210x x -+=，解得1x =， ∴(1,2)Q ±，∴2PQ ===； 此时直线2l 方程为1y x =+或1y x =--，∴令(1,0)F 到2l 的距离为d =∴113222PQF S PQ d ∆===． 【解析】 抛物线的简单性质．。
专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。
江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学(三校生)试题(wd无答案)
江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 若集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（）A．B．C．D．(★) 3. 经过点，斜率为的直线方程为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★★) 5. 在中，若，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 设为单位向量，且，则（）A．B．C．D．(★) 7. 若 x＞2，则函数的最小值为（）A．3B．4C．5D．6(★★) 8. 已知，且，则函数与的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 9. 函数的定义域是 ________ ．(★) 10. 已知向量，．若向量与平行，则_______.(★) 11. 求值：__________(★★) 12. 函数是幂函数且为奇函数，则的值为________．(★★) 13. 在的展开式中常数项为________(用数字作答).(★★) 14. 已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为_____________ ．三、解答题(★) 15. 在等差数列中，已知，，求.(★★) 16. 已知，，函数．求函数的最大值以及取最大值时的取值集合.(★★) 17. 为增强市民的环保意识，某市组织了一批年龄在岁的志愿者为市民开展宣传活动．先从这批志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，各组人数的频率分布直方图如图所示．现从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加宣传活动．（1）应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？（2）在这6名志愿者中随机抽取2名担任宣传活动负责人，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．(★★★) 18. 已知二次函数的最小值为3，且.（1）求的解析式；（2）若的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.(★★) 19. 如图，长方体中，，，点为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.(★★) 20. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、.设是椭圆上一点，满足⊥ 轴，.（1）求椭圆的标准方程；（2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积.。
2020-2021学年江西省鹰潭市贵溪实验中学高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年江西省鹰潭市贵溪实验中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值等于()A. 2或18B. 4或18C. 2或16D. 4或162.已知双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±2x D. y=±12x3.直线l的方向向量s⃗=(1,1,2)，平面α的法向量n⃗=(1,−3,0)，则直线l与平面α的夹角的余弦为()A. −√1515B. √1515C. −√21015D. √210154.已知p：−1≤x<2，q：2a≤x≤a2+1，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是()A. a≤−1B. −1<a≤−12C. −12<a≤1 D. −12≤a<15.已知椭圆C：x24+y23=1，直线l：x+my−m=√3(m∈R)，l与C的公共点个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 0或1或26.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件7.已知平面α内的三点A(0,0，1)、B(0,1，0)、C(1,0，0)，平面β的一个法向量为(−1,−1,−1)，且β与α不重合()A. α//βB. α⊥βC. α与β相交但不垂直D. 以上都不对8.若P=√a+√a+7，Q=√a+3+√a+4(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A. P>QB. P=QC. P<QD. 由a的取值确定9.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙西、丙戌、…、癸巳、…共得到60个组合，周而复始，循环记录已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的( )A. 庚子年B. 辛丑年C. 乙亥年D. 戊成年10. 已知f(x)=e x +2xf′(1)，则f′(0)等于( )A. 1+2eB. 1−2eC. −2eD. 2e11. 设曲线y =sinx 上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y =x 2g(x)的部分图象可以为( )A.B.C.D.12. 下列说法正确的是( )A. 已知命题P ：∀x ∈R ，ax 2+4x +a ≥−2x 2+1为真命题则a ≤−3或a ≥2B. 设x ∈R ，则“|x −12|<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件 C. 函数y =2x −√x +1的值域是[1,+∞)D. 函数f(x)=x 2−|x|的单调递减区间是(−∞,−12)∪(0,12)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“∃x 0>0，x 02+x 0−2020>0”的否定是______ ．14. 函数f(x)=x 3−3x 在区间[−1,3]上的最小值为______ ．15. 若抛物线y 2=2px(p >0)上的点A(x 0,−3)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的2倍，则p 等于______ ． 16. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，|F 1F 2|=4，点Q(2,√2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列函数的导数：(1)y=√1−2x2；(2)y=e x．sinx18.已知函数f(x)=x3−2x2+x．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(−1,−4)处的切线方程；(Ⅱ)求曲线y=f(x)过点(1,0)的切线方程．19.已知点F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且F到准线l的距离为2．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若点P在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为4，过点F作直线PF的垂线交准线l于点Q.证明：直线PQ与抛物线C只有一个交点．20.用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+n(n+1)(n+2)=14n(n+1)(n+2)(n+3)．21.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1，E，F分别是AC和AB上动点，且AE=BF．(Ⅰ)求证：B1E⊥C1F；(Ⅱ)若AE=2EC，求二面角A1−EF−A的平面角的余弦值．22.已知点F1为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，P(−1,√22)在椭圆上，PF1⊥x轴．(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，O 到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据题意，设P(x0,y0)，若点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，则有x0+p2=10，y0=6，又由y2=2px，即36=2p(10−p2)，解可得：p=2或18，故选：A．根据题意，设P(x0,y0)，由抛物线的几何性质分析可得x0+p2=10，y0=6，结合抛物线的方程可得36=2p(10−p2)，解可得p的值，即可得答案．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，注意由抛物线的定义分析x0与p的关系．2.【答案】A【解析】解：∵双曲线C方程为：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±abx又∵双曲线离心率为√3，∴c=√3a，可得b=√2a因此，双曲线的渐近线方程为y=±√22x故选：A．根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±abx.再由双曲线离心率为√3，得到c=√3a，由定义知b=√2a，代入即得此双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设直线l 与平面α的夹角为θ， 则sinθ=|cos <s ⃗ ,n ⃗ >|=|s ⃗ ⋅n ⃗⃗ ||s ⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√6×√10=√1515， 而θ∈[0,π2]，所以cosθ=√1−sin 2θ=√1−(√1515)2=√21015．故选：D ．利用直线的方向向量和平面的法向量，结合直线与平面所成的角的计算公式求解即可． 本题考查了空间角的求解，主要考查的是线面角的求解，涉及了空间向量的应用，解题的关键是掌握空间角的计算公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：p ：−1≤x <2，对应的集合为A ， q ：2a ≤x ≤a 2+1，对应的集合为B ， 若p 是q 的必要条件， 则B ⊆A ， 则{−1≤2a a 2+1<2， 解之得：−12≤a <1， 故选：D ．根据题中给的充要性，判断集合的包含关系，解出参数． 本题考查充要性，以及集合的包含关系，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：直线l ：x +my −m =√3(m ∈R)，恒过定点(√3,1)， 定点(√3,1)在椭圆C ：x 24+y 23=1的外面，所以直线l ：x +my −m =√3(m ∈R)与C 的公共点个数可能为0或1或2． 故选：D ．判断直线系经过的定点与椭圆的位置关系，然后判断公共点的个数． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查，基础题．6.【答案】A【解析】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件， 如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切， 故选：A ．根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可． 本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题．7.【答案】A【解析】解：∵点A(0,0，1)，B(0,1，0)，C(1,0，0)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)， 设平面α(ABC)的一个法向量为μ⃗ =(x,y ，z)， 则μ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且μ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； 即{y −z =0x −z =0， 令z =1，则x =y =z =1， ∴μ⃗ =(1,1，1)；它与β的一个法向量共线，且α、β不重合， ∴α//β． 故选：A ．求出平面α的一个法向量μ⃗ ，根据μ⃗ 与β的一个法向量共线，且α、β不重合，得出α//β． 本题考查了平面法向量的求法与应用问题，构造关于法向量坐标的方程组是解题的关键，是基础题目．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查代数式比较大小的方法，属于基础题．平方作差即可求解．【解答】解：依题意，P>0,Q>0,P2−Q2=a+a+7+2√a(a+7)−a−3−a−4−2√(a+3)(a+4)=2√a(a+7)−2√(a+3)(a+4)，又因为a(a+7)−(a+3)(a+4)=−12<0，所以P2<Q2,P<Q，故选C．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，弄清题意，找出模型是求解问题的关键，属于基础题．根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式即可求解．【解答】解：根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1894年到2021年经过127年，且1894年为“甲午”年，以1894年的天干和地支分别为首项，则127=12×10+7，则1949年的天干为辛，127=12×10+7，则2021年的地支为丑，所以2021年为辛丑年．故选：B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数运算，属于简单题．把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′(1)的值，继而求出f′(0)的值．【解答】解：由f(x)=e x+2xf′(1)，得：f′(x)=e x+2f′(1)，取x=1得：f′(1)=e+2f′(1)，所以，f′(1)=−e．故f′(0)=1+2f′(1)=1−2e，故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了导数的运算，以及考查学生识别函数图像的能力，属于基础题先根据导数几何意义得到曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线斜率，再研究函数的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．【解答】解：曲线y=sinx上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，∴g(x)=cosx，则函数y=x2g(x)=x2⋅cosx，设f(x)=x2⋅cosx，则f(−x)=f(x)，cos(−x)=cosx，∴y=f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B．令x=0，得f(0)=0.排除D．故选：C．12.【答案】B【解析】解：对于A ：命题P ：∀x ∈R ，ax 2+4x +a ≥−2x 2+1整理得：(a +2)x 2+4x +a −1≥0，故{a +2>016−4(a +2)(a −1)≤0，整理得a ≥2，故A 错误；对于B ：|x −12|<12，整理得0<x <1；x 3<1整理得：(x −1)(x 2+x +1)<0，即x <1，故0<x <1是x <1的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：函数y =2x −√x +1(x ≥−1)，设√x +1=t(t ≥0)，所以x =t 2−1， 故f(t)=2t 2−2−t =2(t −14)2−178，由于t =14为函数的对称轴，故f(t)min =−178，故函数的值域为[−178,+∞)，故C 错误；对于D ：函数f(x)=x 2−|x|为偶函数，故函数的单调递减区间为：(−∞,−12)和(0,12)，函数的增区间为(−12,0)和(12,+∞)，故D 错误； 故选：B ．直接利用二次函数性质的应用，函数的单调性和对称性的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：二次函数性质的应用，函数的单调性和对称性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】∀x >0，x 2+x −2020≤0【解析】解：命题是特称命题，则否定是全称命题， 即∀x >0，x 2+x −2020≤0， 故答案为：∀x >0，x 2+x −2020≤0 根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】−2【解析】解：f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，x ∈[−1,3]， 令f′(x)>0，可得1<x <3，令f′(x)<0，可得−1<x <1， 所以f(x)在区间[−1,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(1)=−2． 故答案为：−2．利用导数求出函数的单调性，从而求得最小值．本题主要考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：由题意，抛物线y 2=2px(p >0)上的点A(x 0,−3)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的2倍，可得2x 0=x 0+p2，∴x 0=p2， ∴2p ×p2=9， ∵p >0， ∴p =3， 故答案为：3．根据抛物线的定义及题意可知2x 0=x 0+p2，得出x 0求得p ，可得答案．本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．16.【答案】92【解析】解：由题意可得c =2，F 1(−2,0)，F 2(2,0)，2a =|QF 1|+|QF 2|=√(2+2)2+(√2−0)2+√(2−2)2+(√2−0)2=4√2， ∴椭圆方程为：x 28+y 24=1．设P(x,y)，则x 2=8−2y 2，(−2≤y ≤2)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,√2−y)⋅(−2−x,−y)=x 2−4+y 2−√2y =−y 2−√2y +4=−(y +√22)+92≤92．∴则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为92． 故答案为：92．由题意可得椭圆方程为：x 28+y 24=1.，设P(x,y)，则x 2=8−2y 2，(−2≤y ≤2)，PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,√2−y)⋅(−2−x,−y)=x 2−4+y 2−√2y =−y 2−√2y +4，利用二次函数性质即可求解．本题考查了椭圆的方程、性质，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)令t =1−2x 2，则y =t 12，所以y′=(t 12)′=12t −12⋅t′=12⋅√1−2x 2⋅(−4x)=√1−2x 2； (2)y′=(e x )′sinx−e x (sinx)′sin 2x=e x sinx−e x cosxsin 2x=e x (sinx−cosx)sin 2x．【解析】直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意得f′(x)=3x 2−4x +1，∴f′(−1)=8，∴曲线y =f(x)在点(−1,−4)处的切线方程为y +4=8(x +1)， 即8x −y +4=0； (Ⅱ)设切点为(x 0,y 0)，∵切点在函数图象上，∴y 0=x 03−2x 02+x 0，故曲线在该点处的切线为y −(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(x −x 0)，∵切线过点(1,0)，∴0−(x 03−2x 02+x 0)=(3x 02−4x 0+1)(1−x 0)即(x 0−1)2(2x 0−1)=0， 解得x 0=1或x 0=12， 当x 0=1时，切点为(1,0)， ∵f′(1)=0，∴切线方程为y =0； 当x 0=12时，切点为(12,18)，∵f′(12)=−14，∴切线方程为x +4y −1=0． 综上可得：切线方程为y =0或x +4y −1=0．【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，得到函数在x =−1处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；(Ⅱ)设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，代入已知点的坐标，求得切点坐标，进一步求解过点(1,0)的切线方程．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，明确“在点处”与“过点处”的区别是关键，是中档题．19.【答案】(1)解：由题意F 到准线l 的距离为2．可得p =2，∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)证明：由题意，P(4,4)，F(1,0)，∴k PF =43，∴k QF =−34， ∴直线QF 的方程为y =−34(x −1)，令x =−1，则y =32，∴直线PQ 的方程为y −4=4−324+1(x −4)，即x =2y −4，代入y 2=4x ，可得y 2−8y +16=0，∴y =4， ∴直线PQ 与抛物线C 只有一个交点P ．【解析】(1)利用抛物线的性质求解p ，得到抛物线方程．(2)求出P 的坐标，求解PF 的斜率，QF 的斜率，得到QF 的方程，求出PQ 的方程，与抛物线方程联立，判断交点个数即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．20.【答案】解：当n =1时，1×2×3=14×1×2×3×4=6，等式成立．假设当n =k 时等式成立，即1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+k(k +1)(k +2)=14k(k +1)(k +2)(k +3)，则当n =k +1时，1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋯+k(k +1)(k +2)+(k +1)(k +2)(k +3)=14k(k +1)(k +2)(k +3)+(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)(k +2)(k +3)(14k +1)=14(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2][(k +1)+3]， 所以当n =k +1时等式也成立．综上所述，等式成立．【解析】利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可．本题考查数学归纳法的证明方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：以点A 为原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，不妨设AB =3， 则A(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,3，0)，A 1(0,0，3)，B 1(3,0，3)，C 1(0,3，3)．(Ⅰ)设AE =n ，则E(0,n ，0)，F(3−n,0，0)，∴B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,n,−3)，C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−n,−3,−3)，∵B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,n,−3)⋅(3−n,−3,−3)=0，∴B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即B 1E ⊥C 1F .(Ⅱ)由AE =2EC ，得E(0,2，0)，F(1,0，0)， ∴A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−3)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 设平面AEF 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−3)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)， 由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{2y −3z =0x −2y =0，令y =3，得x =6，z =2，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(6,3,2)， ∵A 1A ⊥平面EAF ，∴平面EAF 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， ∴cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=27．所以二面角A 1−EF −A 的余弦值为27．【解析】以点A 为原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，不妨设AB =3，求出相关点的坐标，(Ⅰ)设AE =n ，通过证明B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，推出B 1E ⊥C 1F .(Ⅱ)求出平面A 1EF 的法向量，平面EAF 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A 1−EF −A 的余弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与直线垂直的判定方法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)依题意可得F 1(−1,0)，右焦点F 2(1,0)，|PF 1|+|PF 2|=√22+3√22=2√2=2a ，所以a =√2,c =1,b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆方程为x 22+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +m x 22+y 2=1整理可得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， x 1+x 2=−4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2−22k 2+1．所以 y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=k 2⋅2m 2−21+2k 2+km ⋅−4km 1+2k2+m 2=m 2−2k 21+2k 2，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=2m 2−22k 2+1+m 2−2k 22k 2+1=3m 2−2k 2−22k 2+1=0， 得3m 2=2(k 2+1)，所以原点O 到直线l 的距离为√1+k2=√32m 2=√63，为定值．【解析】(1)由PF 1⊥x 轴可得c =−1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求出a 的值，由a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)将直线l 与椭圆的方程联立求出两根之积，由OA ⊥OB ，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得k ，m 的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值． 本题可得求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．。
2020-2021学年江西省南昌市实验中学、南昌市第十七中学等六校高二上学期期中联考数学试题
江西省南昌市实验中学、南昌市第十七中学等六校2020-2021学年高二上学期期中联考数学试卷命题人:一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.过点且垂直于直线的直线方程为A. B. C. D.2.若直线：与直线关于点对称，则直线恒过点A. B. C. D.3.圆与圆的位置关系是A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离4.已知直线l过点，且与圆C：相切，则直线l的方程为A. B. C. D.5.已知点，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值是A. B. C. D.6.若抛物线上一点M到焦点的距离是，则点M到直线的距离是A. 3B. 4C. 5D. 67.已知P为椭圆C上一点，，为椭圆的焦点，且，若与的等差中项为，则椭圆C的标准方程为A. B. 或C. D. 或8.已知直线与抛物线交于两点，则线段AB的长为A. 4B. 8C. 10D. 169.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B.B.C. D.10.如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，，A是椭圆与双曲线的一个交点，则A. 3B. 4C. 5D. 611.已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为A. B. C. D.12.已知双曲线C的离心率为，左、右焦点分别为，，点A在双曲线C上，若，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆C：与直线l：交于M、N两点，则______．14.若椭圆的离心率为，则．15.如果，分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是______ ．16.抛物线的焦点为F，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为48，则该抛物线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求符合下列要求的曲线的标准方程：已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为；焦点在x轴，过点，且的双曲线的标准方程．18.已知直线l经过直线与直线的交点，且，到l的距离相等，求直线l的方程．19.已知圆：与圆：．若圆与圆外切，求实数m的值；在的条件下，若直线与圆的相交弦长为，求实数n的值．20.已知动圆过定点且与直线相切．求动圆圆心的轨迹C的方程；过原点O的直线l交轨迹C于M点，与直线交于H点，过点H作y 轴的垂线交轨迹C于N点，求证：直线MN过定点21. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．求椭圆C的方程；设直线斜率为，且与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点，使得若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由．22. 如图，设抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，且，线段AB的中点到y轴的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线与圆切于点P，与抛物线C切于点Q，求的面积．实验中学2020-2021学年上学期期中高二数学试卷【答案】1. A2. C3. A4. A5. D6. C7. B8. B9. C10. A11. A12. C13. 414.或415. 2816.17. 解：由已知条件，可设所求的椭圆标准方程为其中，则，，且离心率为，，，故所求的椭圆的标准方程为；由题意，焦点在x轴上时，则，，，双曲线的标准方程为，同理，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为．18. 解：联立得所以直线与直线的交点，由M，N到l的距离经过相等，知直线l经过线段MN的中点，或者直线，线段MN的中点为，，过点P，Q的直线l的方程为，过点P与直线MN平行的直线l的方程为，综上，直线l的方程为或．19. 解：，，的标准方程为，，，，圆与圆外切，，即，；由得，圆的方程为，，，由题意可得圆心到直线的距离，得，即或．20. 解：动圆过定点，且与直线相切曲线C是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：．设，，则直线OM的方程为：．，，直线MN的斜率，直线MN的方程为，整理可得：，直线MN过定点．21. 解：当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值，所以，解得故椭圆C的方程为：．设直线PQ的方程为，将代入，得；设，线段PQ的中点为，，即因为，所以直线TN为线段PQ的垂直平分线，所以，则，即，所以，当时，因为，所以当时，因为，所以．综上，存在点T，使得，且t的取值范围为．22. 解：Ⅰ设，，则AB中点坐标为，由题意知，，又，，故抛物线C的方程为；Ⅱ由题可知直线的斜率存在，可设：，由与相切得，由直线与抛物线相切，，由，得，，方程为，解得，或，；此时直线方程为或，令到的距离为，．【解析】1. 【分析】本题考查了利用点斜式求直线方程，考查了两条直线的垂直关系，属于基础题．由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线方程为，化为一般式可得结果．【解答】解：由题意可得直线的斜率为，则过点且垂直于直线的直线方程为，化为一般式为．故选A．2. 【分析】本题主要考查了直线关于点对称的直线方程的性质与运用，考查了基本的转化能力，属于基础题．根据直线：经过定点，而点M关于点的对称点为，则点在直线上，由此得到答案．【解答】解：直线经过定点，易知点M关于点对称点为，又直线与直线关于点对称，直线恒过定点，故选C．3. 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．直接求出两圆的圆心距，然后判断与两圆半径和与差之间的关系，得出结论．【解答】解：两个圆的圆心分别为，，圆心距，两个圆的半径，均为，故，所以两个圆相交．故选A．4. 【分析】本题主要考查直线方程的相关问题，属于基础题．由题意，可知直线的斜率存在，故设切线方程为，利用点到直线的距离公式求出k，即可得出答案．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线为与圆不相切，所以直线的斜率存在，故设切线方程为，即；由题意可得，切线方程为．故答案选A．5. 【分析】本题考查圆的标准方程，圆有关的最值问题，体现了转化及数形结合的数学思想．先根据两圆的方程求出圆心和半径，结合图形，把求的最大值转化为求，即可得解．【解答】解：如图：圆的圆心，圆的圆心，这两个圆的半径都是．要使最大，需最大，且最小，由图可得，最大值为，的最小值为，故最大值是，故的最大值为，故选D．6. 【分析】本题考查了抛物线的定义与标准方程，抛物线的简单几何性质等知识，属于基础题．由题意得到抛物线的准线方程为，根据M到焦点的距离是，从而求解．【解答】解：易知抛物线的准线方程为，点M到焦点的距离是，点M到准线的距离为，点M到直线的距离为，故选C．7. 【分析】本题考查椭圆的定义及其标准方程，考查椭圆的简单几何性质，为基础题．根据椭圆的定义可得，结合已知条件与的等差中项为，所以，再根据椭圆的几何性质，可求得要注意，本题中椭圆的焦点分在x轴上或在y轴上两种情况，从而得出椭圆C的标准方程有两种结果．【解答】解：由已知，所以．因为，所以，所以．故椭圆C的标准方程是或．8. 【分析】本题考查直线与抛物线相交的弦长的求法，是基础题解题时要注意直线方程、弦长公式等知识点的合理运用．由已知条件，结合抛物线的性质，先求出直线AB的方程，再把AB的方程与抛物线联立方程组，整理后得到一个一元二次方程，利用抛物线弦长公式能求出线段AB的长．【解答】解：抛物线的焦点，斜率是1的直线AB经过抛物线的焦点，直线AB的方程：，联立方程组，得，设，，则，．线段AB的长是8．故选B．9. 【分析】本题考查双曲线的标准方程的求法以及抛物线的简单性质应用，属于中档题．首先由渐近线经过，得到a，b的方程，然后求出抛物线的准线，得到c，由此求得双曲线方程．【解答】解：由双曲线的一条渐近线过点，可得渐近线的斜率．由双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，可得，即．由，可得，，则双曲线的方程为．故选C．10. 【分析】本题考查了椭圆和双曲线的性质及几何意义，属于基础题．由椭圆和双曲线的性质及几何意义可列出，的方程组，解出即可得解．【解答】解：因为A是椭圆和双曲线的一个公共点，所以由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，所以，故选A．11. 【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，中点弦问题，直线的点斜式方程和一般式方程，同时考查中点坐标公式，属于中档题．首先设出，，可得，然后将，分别代入椭圆方程，整理并求得直线斜率为，问题得解．【解答】解：设、，则，，，，得．．又为AB中点，，．直线AB的斜率为．直线AB的方程为，即．故选：A．12. 【分析】本题考查了双曲线的性质以及余弦定理，属于基础题．由双曲线的定义可得，，在中，由余弦定理，再由同角三角函数的关系求出正弦值．【解答】解：因为双曲线C的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C上，所以由双曲线的定义可知，，又，所以，．因为双曲线C的离心率为，所以，．在中，由余弦定理可得，所以，故选C．13. 解：根据题意，圆C：，圆心为，半径，直线l的方程为，圆心C在直线l上，则；故答案为：4．根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分析可得圆心C在直线l上，则，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交时弦长的计算，属于基础题．14. 【分析】本题考查椭圆的标准方程和离心率．利用椭圆方程表示出a，b，c，再由离心率求得a，b，c，得到椭圆方程，进而得到m的值【解答】解：当时，椭圆的焦点在x轴上，所以，，，此时，解得当时，椭圆的焦点在y轴上，所以，，，此时，解得．15. 【分析】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，属于中档题．由定义知，，两式相加再结合已知即可求解．【解答】解：由题意知：，，故．由双曲线的定义知，，得：，所以，，所以的周长是．故答案为28．16. 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，属于较难题．写出直线AB的方程，代入，整理并写出韦达定理，四边形是直角梯形，利用面积公式可得，将最后用韦达定理表示出来，建立关于p的方程，解方程即可．【解答】解：因为抛物线的焦点为，所以直线AB的方程为，代入，整理得．设，，则由方程的根与系数的关系，得，．又，且四边形是直角梯形，其面积为48，所以，即．，所以，解得，又，所以，故抛物线的方程为17. 本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、椭圆的性质及几何意义，属于基础题．根据题意求出a和b的值，即可求出结果；分焦点在x轴上和y轴上两种情况，即可求出结果．18. 本题考查直线方程的求法，考查两直线交点、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．当时，利用点斜式即可得出直线l的方程；当MN的中点在直线l 时，利用点斜式即可得出直线l的方程．19. 本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，结合圆外切以及直线和圆相交时的弦长公式建立方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力，难度中等．求出圆心坐标和半径，结合圆与圆外切的等价条件建立方程进行求解即可．根据相交弦的弦长公式建立方程进行求解即可．20. 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的关系，难度适中．由抛物线的几何意义，解得标准方程．利用直线与抛物线的关系，得，可得直线过定点．21. 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．利用椭圆的离心率，三角形的面积的最值列出方程，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．设直线PQ的方程为联立，得设，，利用韦达定理求出PQ的中点，由，可得直线TN是线段PQ的垂直平分线，由，建立t 的函数即可．22. 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与圆及其抛物线相切等，考查点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．Ⅰ利用中点坐标公式、焦点弦长公式即可得出；Ⅱ设：，由与相切可得，直线与抛物线方程联立可得，利用直线与抛物线相切，可得可得，联立解出k，得出Q坐标，，直线方程，利用点到直线的距离公式可得到的距离．。
江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高二三校生下学期第一次月考计算机试题(word有答案)
贵溪市实验中学高中部2020-2021学年第二学期第一次月考高二计算机试卷考试时间:120分钟分值:150分命题人:第Ⅰ卷（选择题，共85分）一、是非选择题：本大题共15小题，每小题1分，共15分,对每小题的命题作出选择，对的选A，错的选B.1．在描述计算机存储容量时，1KB是指1024个二进制位。
2．键盘上的Ctrl键具有独立的控制程序运行的作用。
3．汉字的内码是指计算机内部进行存储、加工处理、传递和运算所使用的汉字编码。
4．在Word文档中，项目符号、编号可由用户自定义。
5．计算机能够直接执行的程序是机器语言程序，在机器内是以ASCII码编码形式表示的。
6．裸机是指不含外部设备的主机。
7．目前使用的CD-ROM光盘存储器是只写一次型。
8．在Word中设置表格和文字环绕后，将表格拖放到文字当中，表格就会浮于文字上方。
9．文件夹中没有存放文件或文件夹时在磁盘上占用空间为0KB。
10．Word的打印功能只能打印编辑的文档，不能打印批注、样式、自动图文集。
11．在Internet中，若要及时地查找想获得的信息，可以利用IE提供的搜索引擎实现。
12．国际互联网上的每台计算机都有一个唯一的IP地址。
13．客户使用SMTP协议既能发送电子邮件又能接收邮件。
14．在Windows操作系统中文件的命名不能同名。
15．屏幕保护程序的主要作用是保护用户的眼睛。
二、单项选择题：本大题共20题，每小题2分，共40分。
16．汉字国标码GB2312-80将汉字分成________。
A．简化字和繁体字两种 B．现代字和古代字两种C．一级汉字和二级汉字两级 D．一级汉字、二级汉字、三级汉字17．在Windows中，下列正确的文件名是________。
A．My ProgramGroup.txt B．file|Jfile2C．A<>B.C D．A?B.DOC18. 下列四个不同数制表示的数中，数值最大的是_________。
江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷(含答案-)
贵溪市实验中学2020-2021学年第二学期3月第一次月考高二数学试题（文科）考试用时:120分钟满分:150分命题人：第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“sinα＝cosα”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过()A ．2.5%B ．0.5%C ．1%D ．5%3.掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”．若表示B 的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（）A ．B ．C ．D ．4.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO ．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：RO ＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上RO 数据计算．若甲得这种传染病，则6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．1092B．248C．363D．2435．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）A 02=-y x B 042=-+y x C 082=-+y x D 01232=-+y x6.设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C:(P>0)交于D 、E 两点，若OD垂直于OE,则C 的焦点坐标为（）A.B. C.(1,0)D(2,0)7.设12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（） A.312- B.512- C.22 D.328.设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥+≤-≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是（）A.3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.[1,6]- D.36,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.已知变量y 关于x 的回归方程为y ＝e bx ﹣0.5，其一组数据如表所示：若x ＝5，则预测y 值可能为（）x 1234ye e 3e 4e6A ．e 5B ．C ．e 7D ．10.设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '=（）A.-4 B.0 C.-2D .211.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)12．定义在R 上的函数()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（）A ．(),0-∞B ．1(,)e+∞C ．1(,)e-∞D ．()0,∞+第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知12,F F 是椭圆:C 22221(0)y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆C 上的一点,12120,F PF ︒∠=且12F PF △的面积为43,则b =____.14.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．15．曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________．16．已知，，，（m ，t ∈N *且m ≥2），若不等式λm ﹣t ﹣3＜0恒成立，则实数λ的取值范围为．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分）（1）已知nn n n ：n -+<+-+≥112,0试用分析法证明（2）已知R x ∈，12-=x a ，22+=x b 。
2020-2021学年高二上册数学期中数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. 命题p：“∃n∈N，则n2>2n”的否定是（）A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∀n∈N，n2<2n2. 双曲线x24−y25=1的渐近线方程为( )A.y=±√52x B.y=±2√55x C.y=±54x D.y=±32x3. 不等式ax2−5x+c<0的解集为{x|2<x<3}，则a，c的值为（）A.a＝6，c＝1B.a＝−6，c＝−1C.a＝1，c＝6D.a＝−1，c＝−64. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466−485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同．已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺．A.4 7B.1629C.815D.455. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（）A.+＝1B.+＝1C.+x2＝1D.+y2＝16. 不等式x2+3x+2>0成立的一个必要不充分条件是（）A.(−1, +∞)B.[−1, +∞)C.(−∞, −2]∪[−1, +∞)D.(−1, +∞)∪(−∞, −2)7. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆方程为（）A.x2+y2＝9B.x2+y2＝7C.x2+y2＝5D.x2+y2＝48. 已知数列{a n}的首项a1=21，且满足(2n−5)a n+1=(2n−3)a n+4n2−16n+15，则{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高一数学第一学期期中试题【含答案】
江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高一数学第一学期期中试题
考试用时120分钟，满分为150分 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{|124}xAx，{|ln(1)}Bxyx，则AB（ ） A．{|12}xx B．{|12}xx C．{|02}xx D．{|02}xx 2．若(21)65fxx，则()fx的解析式是（ ） A．()fx32x B．()fx31x C．()fx31x D．()fx34x 3．设1.53131log,,log4aebec，则（ ） A．bac B．cab C．cba D．acb 4．已知函数()yfx的定义域是R，值域为[1,2]，则值域也为[1,2]的函数是（ ） A．2()1yfx B．(21)yfx C．()yfx D．|()|yfx 5．已知,,abcR，若2()fxaxbxc，满足(4)2(0)fff，则（ ） A．0,0aab B．0,0aab C．0,20aab D．0,20aab
6．设函数211log(2),1,()2,1,xxxfxx,2(2)(log12)ff（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．若)(xf为R上的奇函数，给出下列结论： ①0)()(xfxf②)(2)()(xfxfxf③0)()(xfxf④1)()(xfxf⑤0)0(f其中不正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．将抛物线cbxxy2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的函数解析式为322xxy，则c、b的值为（ ） A．2,2cb B．1,2cb C．0,2cb D．2,3cb 9．若函数2212fxaxax在区间,4上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．105a B．105a C．105a D．15a 10．已知函数log,01()(41)2,1axxfxaxax满足对任意12xx，都有12120fxfxxx成立，则实数a的取值范围是( ) A．106， B．106， C．104， D．1， 11．已知2)(35bxaxxxf且17)5(f，则)5(f的值为（ ） A．13 B．-19 C．-13 D．19 12．已知函数2221fxxaxa，22212gxxaxa，记12fxgxfxgxHx，22
2020-2021高二数学上期中试题及答案
2020-2021高二数学上期中试题及答案一、选择题1．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（）A．25B．1225C．1625D．453．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．164．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.5．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A．20B．25C．30D．356．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．48．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，89．某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>10．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．51811．设点(a,b)为区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内任意一点，则使函数f(x)=2ax 2bx 3-+在区间[12，+∞）上是增函数的概率为 A ．13B ．2 3C ．1 2D ．1 412．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ）A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．14．如图所示，正六边形ABCDEF 中，线段AD 与线段BE 交于点G ，圆O 1，O 2分别是△ABG 与△DEG 的内切圆，圆O 3，O 4分别是四边形BCDG 与四边形AGEF 的内切圆，则往六边形ABCDEF 中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为_________．15．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________16．已知01a ≤≤，11b -≤≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______．17．以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.18．若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是__________。