2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2不等关系及简单不等式的解法课件文新人教A版
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第三节 不等关系与一元二次不等式课件
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2．两个重要不等式 若 a＞b＞0，m＞0，则 (1)ba＜ba＋ ＋mm；ba＞ba－ －mm(b－m＞0)． (2)ab＞ab＋ ＋mm；ab＜ab－ －mm(b－m＞0)．
B．[－2,2]
(C )
C．(－2,2]
D．(－∞，－2)
[解析] 当 a－2＝0，即 a＝2 时，不等式为－4＜0 对一
切 x∈R 恒成立．当 a≠2 时，则aΔ－＝24＜a－0，22＋16a－2＜0，
即aa－2＜24＜，0， 解得－2＜a＜2.
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∴实数 a 的取值范围是(－2,2]．
故原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1 或 2＜x≤3}．
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2．求不等式 12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a＞0 时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a＜0 时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.
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考法(二) 在给定区间上的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.若对于 x∈[1,3]，f(x)＜
－m＋5 恒成立，求实数 m 的取值范围．
[解] 要使 f(x)＜－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立， 即 mx2－mx＋m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：
2019版高考数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课后
1．2 命题及其关系、充分条件与必要条件[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．下列命题中是真命题的是( )①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题；③“若x －3 12是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案 B解析 对于①，其否命题是“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”，这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题；对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③.故选B.2．(2018·河南八市联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．故选A.3．(2018·曲阜模拟)已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a >1，所以綈p 成立⇔a >1，则綈p 是q 的充要条件．故选C.4．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a >0，b >0”是“b a ＋ab≥2”的充分必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0 答案 D解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错误；若a >0，b >0，则b a ＋ab ≥2，又当a <0，b <0时，也有b a ＋a b≥2，所以“a >0，b >0”是“b a ＋a b≥2”的充分不必要条件，故B 错误；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错误，由此可知D 正确．故选D.5．(2018·广东广州质检)已知p ：∃x >0，e x－ax <1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若∃x >0，e x－ax <1成立，则∃x >0，使得e x<ax ＋1.由于直线y ＝ax ＋1恒过点(0,1)，且y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为y ＝x ＋1，因此p ：a >1；若函数f (x )＝－(a －1)x是减函数，则a －1>1，则a >2，则q ：a >2.故由q 可以推出p ，由p 推不出q ，故p 是q 的必要不充分条件．故选B.6．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题， 即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.7．(2017·衡水联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数； 反之，当f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0，所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件．故选C.8．(2018·天津模拟)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)，则a ，b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b2D ．a >b2答案 A解析 ∵f (x )＝2x ＋3，且|f (x )－1|<a ， ∴|2x ＋2|<a .∴－a <2x ＋2<a ， ∴－2－a 2<x <－2＋a2. ∵|x ＋1|<b ，∴－b <x ＋1<b ， ∴－b －1<x <b －1.∵|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|<b (a ，b >0)， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－2－a 2，－2＋a 2⊆(－b －1，b －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1≤－2－a2，b －1≥－2＋a2，解得b ≥a2.故选A.9．(2018·江西一联)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >0”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 复数z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2－2a i ＋i ＝a ＋2＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．若a >0，则a ＋2>0，但1－2a 的正负不确定，所以点M 是否在第四象限也是不确定的；若点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，1－2a <0，解得a >12，此时可推出a >0.所以“a >0”是“点M 在第四象限”的必要不充分条件．故选B.10．(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r <3，故p 是q 的充分必要条件．故选C.二、填空题11．(2017·上海模拟)已知集合A ＝{x| log 12x ＋}，集合B ＝{x |(x －a )(x －b )<0}，若“a ＝－3”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞) 解析 A ＝{x| log 12x ＋}＝{x |x >－1}，B ＝{x |(x －a )(x －b )<0}＝(－3，b )或(b ，－3)，由“A ∩B ≠∅”，得b >－1，故b 的取值范围为(－1，＋∞)．12．已知条件p ：x ∈A ，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，条件q ：x ∈B ，且B ＝{x |y ＝x 2－3x ＋2}．若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)解析 易得B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，由p 是q 的充分条件，可知A ⊆B ，故a ＋1≤1或a －1≥2，即a ≤0或a ≥3.即所求实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．13．(2018·泰安模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 ∵p 是q 的必要不充分条件， ∴q ⇒p ，且p ⇒/ q .设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A . 又B ＝{x |2<x ≤3}，当a >0时，A ＝{x |a <x <3a }； 当a <0时，A ＝{x |3a <x <a }．故当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不符合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．14．(2017·长沙模拟)r (x )：已知r (x )＝sin x ＋cos x >m ；s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[－2，2)解析 由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得sin x ＋cos x 的最小值为－ 2.若∀x ∈R 时，命题r (x )为真命题，则m <－ 2.若命题s (x )为真命题，即∀x ∈R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.若命题r (x )为真命题，命题s (x )为假命题，则m ≤－2；若命题r (x )为假命题，命题s (x )为真命题，则－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)． 三、解答题15．(2017·沂水模拟)已知f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.是真命题． (用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ， 若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.是真命题． 原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )． ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．∴原命题为真命题，∴其逆否命题也为真命题．16．(2017·江苏兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－14≤m <2.(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 3等式性质与不等式性质课件
2
0时，
= 0,D错误.故选
【点拨】已知 < < ， < < ，求 , （如 + ，3
2
− 4，， ，
等） 的取值范围时，通常利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求解.
变式3（1） 若1 < < 3，−4 < < 2，则 − 的取值范围是(
通分、分母（分子）有理化等.③判断符号（判断商和“1”的大小关系）. ④给出结论.
变式2（1） 已知 = + 1 + + 4, = + 2 + + 3，则与的大小关系是
(
)
A. >
解：2 = 2 + 5 + 2
B. >
√
C. =
+ 1 + 4 ， 2 = 2 + 5 + 2
性质1：如果 = ，那么 = ；
性质2：如果 = , = ，那么 = ；
性质3：如果 = ,那么 ± = ± ；
性质4：如果 = ,那么 = ;
性质5：如果 = , ≠
0,那么
=
.
3.不等式的基本性质
序号
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
性质
，
2
所以3 < 2 − 3 < 8，即2 − 3 ∈ 3,8 .
+
=
,
= + ,
2
（方法二）令ቊ
则൞
−
= − ,
=
,
2
高考数学一轮复习第1章《集合与简易逻辑》：含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法.doc
课时作业2 含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为 ( ) A ．{x |0<x <1}∪{x |x >1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0}解析：解法1(特值法)：显然x ＝－1是不等式的解，故选D.解法2：不等式等价于|x ＋1|<|x －1|，即(x ＋1)2<(x －1)2，解得x <0.故选D.答案：D2．设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝Ø解析：由mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，得Δ＝16m 2＋16m <0且m <0或m ＝0，所以－1<m <0或m ＝0.所以Q ＝{m |－1<m ≤0}，所以P Q .答案：A3．不等式(|x |＋2)(1－x 2)≤0的解集是 ( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－1,1)D ．[－1,1]解析：(|x |＋2)(x ＋1)(x －1)≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0(x ＋2)(x ＋1)(x －1)≥0 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0(x －2)(x ＋1)(x －1)<0，解得x ≤－1或x ≥1.故选B. 答案：B4．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集为{x |0<x <2}，则实数m 的值为 ( ) A ．1 B ．－2C ．－3D ．3解析：x 2－4x ＋2mx <0，即x 2＋(2m －4)x <0，∴0,2为x 2＋(2m －4)x ＝0的两根，∴4－2m ＝2，∴m ＝1.故选A.答案：A5．(·青岛模拟)若关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|>a 2＋a ＋1(x ∈R )恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：由绝对值的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1，∴a 2＋a ＋1<1恒成立，即a 2＋a <0，∴－1<a <0.答案：D6．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：原不等式转化为：[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.(1)a ≤1，结合不等式解集形式知不符合题意．(2)a >1.此时－b a －1<x <b a ＋1，由题意0<b a ＋1<1，要使原不等式解集中的整数解恰有3个． 知－3≤－b a －1<－2.整理得：2a －2<b ≤3a －3. 结合题意b <1＋a ，有2a －2<1＋a .∴a <3，从而有1<a <3.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共7．不等式|2x －1|－|x －2|＜0的解集为________．解析：|2x －1|－|x －2|<0⇔|2x －1|<|x －2|⇔(2x －1)2<(x －2)2⇔4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4⇔3x 2<3⇔－1<x <1. 答案：(－1,1)8．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________． 解析：|x ＋1||x ＋2|≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ＋2≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1＋x ＋2)(x ＋1－x －2)≥0，x ≠－2， 解得x ≤－32且x ≠－2. 答案：(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤－2，－32 9．(·合肥质检二)若不等式|2x －3|>4与不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则p ＋q ＝__________.解析：解|2x －3|>4得x >72或x <－12，由它与x 2＋px ＋q >0同解，可知方程x 2＋px ＋q ＝0的根是x 1＝72，x 2＝－12，由根与系数的关系可知p ＝－3，q ＝－74，∴p ＋q ＝－194. 答案：－19410．已知关于x 的不等式3ax ＋b >0的解集为{x |x >1}，则不等式(a ＋b )x ＋(2a －b )<0的解集为__________．解析：由题意得不等式3ax ＋b >0的解为x >－b 3a且3a >0， －b 3a＝1，所以b ＝－3a (a >0)， 所以不等式(a ＋b )x ＋(2a －b )<0可化为－2ax ＋5a <0，即2ax >5a ，因为a >0，所以x >52， 即不等式(a ＋b )x ＋(2a －b )<0的解集为{x |x >52}． 答案：{x |x >52} 三、解答题(共50分)11．(15分)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解：(1)当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1<0，∴原不等式的解集为{x |x >1}．(2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)(x －1a)<0. 当a <0时，有(x －1)(x －1a)>0， ∵1a <1，∴原不等式的解集为{x |x <1a或x >1}． 当a >0时，原不等式可化为(x －1)(x －1a)<0. ①当1a<1即a >1时， 不等式的解集为{x |1a<x <1}． ②当1a＝1，即a ＝1时， 不等式即为(x －1)2<0，解集为Ø.③当1a>1，即0<a <1时， 不等式的解集为{x |1<x <1a}． 综上所述，原不等式的解集为当a <0时，{x |x <1a或x >1}； 当a ＝0时，{x |x >1}；当0<a <1时，{x |1<x <1a}； 当a ＝1时，解集为Ø；当a >1时，{x |1a<x <1}． 12．(15分)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果任意x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32. ②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤1，f (x )≥3的解集为Ø. ③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件．若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a <x <1，2x －(a ＋1)， x ≥1.f (x )的最小值为1－a .若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1<x <a ，2x －(a ＋1)， x ≥a .f (x )的最小值为a －1.所以任意x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．13．((·大庆模拟)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图象的对称轴为直线x ＝32， 所以g (x )在[－1,1]上单调递减．因此只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1.故实数m 的范围为(－∞，－1)．。
高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑与不等式
3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有 元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集，记作 A∩B，即 A∩ B＝{x|x∈A，且 x∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的 元素组成的集合，称为 A 与 B 的并集，记作 A∪B，即 A∪ B＝{x|x∈A，或 x∈B}． (3)补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集， 简称为集合 A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A)．
题组一 小题自测 1．已知集合 A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实 数 x 的值为________． 解析：因为－4∈A，所以 x2－5x＝－4，解得 x＝1 或 x＝4. 答案：4 或 1
2．设全集 U＝R，集合 A＝{－2，－1，0，1，2}， B＝{x|x≥1}，则 A∩(∁UB)＝____________．
算
4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两 个简单集合的并集与交集．
核
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义， 会求给定子集的补集．
心 数学抽象、数 素 学运算
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会 养
直观图示对理解抽象概念的作用.
1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 提示：元素互异性，即集合中不能出现相同的元素， 此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于， 记为∉．
(3)集合相等：如果 A⊆B，并且 B⊆A，则 A＝B. 两集合相等：A＝B⇔AA⊆⊇BB，. A 中任意一个元素都符 合 B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合 A 中元素 的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集，记作∅. 提示：0，{0}，∅，{∅}之间的关系：∅≠{∅}，∅∈{∅}， ∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅}，0∈{0}，∅⊆{0}．
2019版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合课件理
规律总结
与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,要注意检 验集合是否满足元素的互异性.
1-1 已知A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是( C )
∁UA= {x|x∈U,且x∉A}
意义
4.集合的运算性质
并集的性质: A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔ 交集的性质: A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔ 补集的性质: A∪(∁UA)= U ;A∩(∁UA)= ⌀ ;∁U(∁UA)= A . A⊆B . B⊆A .
5.设集合A={x|x>1},集合B={a+2},若A∩B=⌀,则实数a的取值范围是
(A) A.(-∞,-1] B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
答案 A 由题意得a+2≤1,∴a≤-1,故选A.
6.若全集U={0,1,2,3},且∁UA={2},则集合A的真子集的个数为 7 .
b 2 2 017 2 017 ,1 a, ={ (2)已知a,b∈R,若 a , a + b ,0}, 则 a + b 为( a
A.1
B.0
C.-1
D.±1
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4,a=1,2,3时,x =5,6,7. 当b=5,a=1,2,3时,x=6,7,8. 由集合中元素的互异性,可知x=5,6,7,8. 即M={5,6,7,8},共有4个元素. (2)由已知得a≠0,则 =0, 所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1, 又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去. 因此a=-1,故a2 017+b2 017=(-1)2 017+02 017=-1.
2019版高考数学一轮复习 第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系配套课件 理
会求两个简单集合的并集与交集.
并集运算；
化为基础问题的
(2)理解在给定集合中一个子集的补集 2017年新课标Ⅱ第1题考查并集运算； 技巧与方法，就
的含义，会求给定子集的补集.
2017年新课标Ⅲ第1题考查交集运算及 会使看似复杂的
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系 元素个数的判断
问题变得简单
{1,3,4,5,6,7}，M∪N＝{2,3,5,6}，∁U(M∪N)＝{1,4,7}，(∁UM)∩N
＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}.故选C.
答案：C
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(3)(2017年新课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，
则( )
A.A∩B＝{x|x<0}
B.A∪B＝R
C.A∪B＝{x|x>1}
答案：D
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考向 3 集合与集合之间的关系 例 3：(1)已知集合 A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若 A∩B ＝B，则实数 a 的取值集合为( ) A.{－1,0,1} B.{－1,1} C.{－1,0} D.{0,1} 解析：若 A∩B＝B，则有 B⊆A，A＝{1，－1}.当 a＝0 时， B＝∅，适合题意；当 a≠0 时，B＝1a⊆A，则1a＝1 或1a＝－1， 解得 a＝1 或 a＝－1.所以实数 a 的取值集合为{－1,0,1}.
答案：{0,1，－1}
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【规律方法】(1)含n个元素的集合有2n个子集；(2)注意∅的 特殊性.空集是任何集合的子集.当B⊆A时，需考虑B＝∅的情形； 当A∩B＝∅时，也需考虑B(或A)＝∅的情形；当集合B不是空集 时，可以利用数轴，既直观又简洁.
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考点 2 集合的基本运算
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 1集合课件
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1）任何一个集合都至少有两个子集.
( ×)
（2）{ = 2 + 1} = { = 2 + 1} = { , | = 2 + 1}. ( × )
∈
∉
不属于
______;如果不是集合中的元素，就说________集合，记作______.
列举法
描述法
图示法
（3）集合的表示方法：________、________、________.
（4）常用数集及其记法：
数集 非负整数集（或自然数集）
符号
___
正整数集 整数集 有理数集 实数集
∗ 或( )
_________
+
___
___
___
复数
集
___
2.集合间的基本关系
分类
子集
真子集
文字语言
任意一个
不属于
记法
⊆
_______（或
⊇
_______）
⫋
_______（或
Ý
_______）
=
_______
相等
空集
符号语言
不含任何元素的集合
⌀
___
3.集合的基本运算
（2）（2023年全国乙卷）设集合 = ，集合 = {| < 1}， = {| − 1 < < 2}，
则{| ≥ 2} =(
A.∁
√
∪
)
B. ∪ ∁
高考数学全程一轮复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第一节集合课件
解析：A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，则A∩ B＝{(1，1)，(－1，
－1)}，真子集个数为22－1＝3.
(2)已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，则a2
024＝(
)
A．－1 B．0 C．1 D．2
023＋b2
答案：A
2 =1
2 =b
a
巩固训练4 [2024·九省联考]已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x
－3|≤m}，若A∩ B＝A，则m的最小值为________．
答案：5
解析：由A∩ B＝A，故A⊆B，
由 x − 3 ≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
4≤m+3
m≥1
故有ቊ
，解得ቊ
，即m≥5，
−2 ≥ −m + 3
m≥5
≥2
2
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪ 1， + ∞ ．
题后师说
判断集合间关系的常用方法
巩固训练 2
(1)若集合 A 满足{1，2}⊆A {1，2，3，4，5}，则集合 A 所有可能
)
的情形有(
D．9 种
C．7 种
B．5 种
A．3 种
答案：C
解析：由{1，2}⊆A {1，2，3，4，5}，可知集合 A 必有元素 1，2，即至少有两
a
解析：由题意A＝B可知，两集合元素全部相等，得到ቊ
或ቊ
，又根
ab = b
ab = 1
a = −1
a=1
据集合元素的互异性，可知a≠1，解得a＝1(舍)，ቊ
和ቊ
(舍)，所以a
b=0
b=1
＝－1，b＝0，则a2 023＋b2 024＝(－1)2 023＋02 024＝－1.
高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合的运算教案(含解析)
§1.2集合的运算考情考向分析集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型主要为填空题，低档难度．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图由所有属于集合A且属于集合BA∩B＝{x|x∈A且x∈B}交集的元素组成的集合由所有属于集合A或属于集合BA∪B＝{x|x∈A或x∈B}并集的元素组成的集合设A⊆U，由全集U中不属于集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}补集A的所有元素组成的集合由运算A∩B＝A可以得到集合A，B具有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意非空集合A，B，都有(A∩B)(A∪B)．( ×)(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)(3)对于任意集合A，都有∅A.( ×)(4)对于任意集合A，B，∁S(A∪B)＝(∁S A)∩(∁S B)．( √)题组二教材改编2．[P14习题T11]若全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)＝________.答案{1,4,5}3．[P10习题T4]已知集合A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1,1，－3,3}，∁U B＝{－1,0,2}，则集合B＝________.答案{1,4,6，－3,3}解析 ∵∁U A ＝{－1,1，－3,3}，∴U ＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}． 又∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝{1,4,6，－3,3}．4．[P14习题T10]设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个． 答案 3解析 ∵全集U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}， ∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，∴共有3个元素． 题组三 易错自纠5．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 1解析 显然a 2＋4≠3，由a ＋2＝3得a ＝1，符合题意．6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．7．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素. 题型一 集合的运算1．已知集合A ＝{1,4}，B ＝{x |1≤x ≤3}，则A ∩B ＝________. 答案 {1}解析 依题意，根据集合交集的定义与运算， 可得A ∩B ＝{1}．2．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 {x |－3<x ≤－1}解析 由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}． 因为B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．3．已知M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1]解析 由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y ≤1，即N ＝[－1,1]，则M ∩N ＝[0,1]．4.已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是________． 答案 {x |0≤x <6}解析 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6， 所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}． 又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．思维升华在进行集合的运算时，若集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；若集合中的元素是连续的，可用数轴表示集合，要特别注意端点的取舍． 题型二 利用集合的运算求参数例1 (1)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(2)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图． 可知a ≥2.(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1} 解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华利用集合的运算求参数值或范围，要根据集合中元素的关系，灵活使用数轴工具，找出参数适合的条件，求参数的值要检验元素的互异性，求参数的取值范围要对端点的情况单独考虑．跟踪训练1(1)集合A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，若A ∪B ＝{1,2,3}，则实数a 的值为________． 答案 0解析 ∵A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，且A ∪B ＝{1,2,3}， ∴a 2＋2＝2，a 2＝0，a ＝0，即实数a 的值为0.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________． 答案 [－1，＋∞)解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型三 集合的新定义问题例2(1)(2018·江苏洪泽中学月考)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练2(1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为________． 答案 21解析 由x 2－2x －3≤0，x ∈N ，得(x ＋1)(x －3)≤0，x ∈N ，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B中的所有元素数字之和为21.(2)用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{2,3,4}，A ∩B ＝{3}，则A ∪B ＝________. 答案 {1,2,3,4}解析 由集合A ＝{1，a }，B ＝{2,3,4}，A ∩B ＝{3}，则a ＝3，故A ∪B ＝{1,2,3,4}． 2．已知全集为R ，集合A ＝{x |2x≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 [2,3)解析 A ＝{x |2x≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)， 则A ∩(∁R B )＝[2,3)．3．设全集U ＝{x |x ∈N *，x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 答案 {5,6,7,8,9}解析 因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}， 所以A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}．4．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 (－2,2]解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．5．(2018·苏州调研)已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{－1,1,4}，且A ⊆B ，则正整数a ＝________. 答案 2解析 ∵A ＝{1,2a}，B ＝{－1,1,4}，且A ⊆B ， ∴2a ＝4＝22，a ＝2.6．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 答案 {1,3}解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．7．已知全集U ＝{x ∈N |x 2－5x －6<0}，集合A ＝{x ∈N |－2<x ≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A )∩B ＝________. 答案 {3,5}解析 由题意知，U ＝{0,1,2,3,4,5}，A ＝{0,1,2}，则(∁U A )∩B ＝{3,5}．8．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．9．已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ，所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}，∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x}，则A ×B ＝________. 答案 (－∞，3)解析 集合A 即为函数y ＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x ≥0⇒x ≤0或x ≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数y ＝3x的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A ×B ＝(－∞，3)．12．设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪(∁R B )＝∁R B ，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,2]解析 由补集的定义知∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∵A ∪(∁R B )＝∁R B ，∴A ⊆∁R B .由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＝－1，则B ＝{x |－1<x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)， 当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意．当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－xx －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a的取值范围是______． 答案 [5，＋∞)解析 由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5.∴实数a 的取值范围是[5，＋∞)．。