高中物理解题技巧：极值法
高中物理解题技巧：极值法
数学的极值问题，主要是解决数学函数关系及其定义域的问题，这是由数学条件所制约的。但是物理极值与数学极值有明显的区别。物理极值，实质是针对某一物理现象的动态范围、发展变化趋势及其极限，这是由物理条件所制约的。物理极值，经常表现为物理约束条件下的最大或最小值，这与数学极值有本质的区别。就思维表现看，求极值过程是归纳和演绎综合运用过程。在错综复杂的变化条件中，要归纳出一般的状态表现，又要在此基础上，经演绎推理，寻求特殊的极端模型。这也是建立理想化模型，也要理想化。显然，解极值过程是综合运用几种常规的思维方法的高层次的思维过程。另一方面，解极值过程，需要借助一些初等数学手段，靠扎实的数学基础。从所应用的数学手段来看，求极值可与为下列几种方法：
（一）利用分式的性质求极值
[例5] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30?角，如图示。使A作匀速直线运动。试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?
解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：
Fcosα=f
Fcos30?=μ（G+Fsin30?），
得F=
由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时
sin30?－μcos30?=0时得μ=tg30?=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值
有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。它的根就可能是要求的极值。这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值
[例6] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m>M时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力
如图（a）。由牛顿第二定律，得
所mgcosθ+N=
由机械能守恒定律，得
mgR（1－cosθ）=
由此二式得
N=2mg－3mgcosθ （1）
上式中，N>0，即
cosθ<
以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有
T+2N’cosθ—Mg=Ma
当环恰好能上升时，a=0，可得 2N’cosθ=Mg （3）
将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。有
2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg
即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）
（4）式是关于cosθ的一元二次方程。cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M
当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取
m>M为升起条件。
小结：从上面例题中可看出，应用判别式解题时，要注意研究所建立的一元二次方程的特点，表现为两个未知数，把二次方的未知数做为自变量，另一个量就靠判别式而定了。
（四）利用y=ax2+bx+c的极值条件和物理量的边界条件求极值
这里是两种方法的综合应用。一种是利用未知量确定的二次三项式中系数求极大（或极小）值，其条件是x=－b／2a；另一种是由题意中给出的物理量的具体取值范围，取其边界值，确定极小（或极大）值。把两方面结果综合起来，就是所求的取值范围了。
（五）利用三角函数求极值
（六）利用数学归纳法求极值
这种方法在数学中常用，在物理中，也可应用。应孀它所解的问题的已知条件常常表现为连续地无限地变化。应用这种方法本身就是一种典型的归纳思维过程。
（七）其他求极值方法
（1）利用排列组合求极值； （2）利用图像求极值；
（3）利用临界条件求极值；
（4）利用几何法求极值；
（5）求原子能级跃迁辐射光线最多条数[C=n]等。
上述方法中可看出灵活应用数学手段是解题的保证。但题中关键条件要靠物理分析得出，其结果也必是物理解。物理极值问题要求有很强的思维能力，应当有针对性地训练，有意识地掌握几种求极值的方法，是很必要的。
人教版高中物理讲义245高考冲刺：知识讲解 物理学中的极值问题与极端法
1 物理学中的极值问题与极端法
编稿： 审稿：
【高考展望】
物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。
【知识升华】
物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
【方法点拨】
求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。
多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。
【典型例题】
类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值
高三物理一轮复习 必考 第7章 恒电流章末高效整合教师用书
峙对市爱惜阳光实验学校第7章 恒电流
数学技巧|函数极值在物理中的用
1．物理中求极值的常用数学公式
(1)y＝ax2＋bx＋c
当a>0时，函数有极小值：ymin＝4ac－b24a
当a<0时，函数有极大值：ymax＝4ac－b24a
(2)y＝ax＋xb
当ab＝x2时，有最小值：ymin＝2ab
(3)y＝asin θ＋bcos θ＝a2＋b2sin(φ＋θ)
当φ＋θ＝90°时，函数有最大值：ymax＝a2＋b2
此时，θ＝90°－arctanba
(4)y＝a sin θcos θ＝12asin 2θ
当θ＝45°时，有最大值：ymax＝12a
2．处理方法
(1)物理型方法： 就是根据对物理现象的分析与判断，找出物理过程中出现极值的条件， 这个分析过程，既可以用物理规律的动态分析方法，也可以用物理图象方法(st图或vt图)进而求出极值的大小．该方法过程简单，思路清晰，分析物理过程是处理问题的关键．
(2)数学型方法：
就是根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式，写出需求量与自变量间的数学函数关系，再利用函数式讨论出现极值的条件和极值的大小．
如图71所示的电路中．电源的电动势E＝12 V，内阻r＝0.5 Ω，外电阻R1＝2 Ω，R2＝3 Ω，滑动变阻器R3＝5 Ω.求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中电压表的示数有最大值？最大值是多少？
图71
【标准解答】 设aP间电阻为x，外电路总电阻为R.那么：
R＝R1＋xR2＋R3－xR1＋R2＋R3
＝2＋x3＋5－x2＋3＋5
＝2＋x8－x10
先求出外电阻的最大值Rmax再求出电压表示数的最大值Umax.此题的关键是求Rmax，下面用两种方法求解Rmax. 方法一：用顶点坐标法求解
抛物线方程可表示为y＝ax2＋bx＋c.
考虑R＝2＋x8－x10＝－x2＋6x＋1610，
设y＝－x2＋6x＋16，
当x＝－b2a＝－62－1＝3时，
高中物理临界极值问题的处理方法
２０１２年 和田师范专科学校学报 Ｊｕ１．２０１２第３１卷第五期 总第７９期
高中物理临界极值问题的处理方法
胡俊梅
（和田地区第二中学新疆和田８４８０００）
［摘要］临界极值问题在物理学中极为常见，总结中学物理知识，物理临界极值问题主要有静摩擦力的范围引出的临界极值问题， 运动学中追及、相遇类极值问题，物体在竖直面内做圆周运动的临界问题，传送带上的临界速度问题，临界出射点问题，某物理量取极
值求解临界问题六种，本文重点探究后四种问题的处理办法。
［关键词］中学物理；临界；极值；处理方法
一、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题 例１如图，质量为３ｍ竖直圆环Ａ的半径为ｒ，固定在质量
为２ｍ木板Ｂ上，木板Ｂ放在水平地面上，不能左右运动。在环 的最低点静止放置一质量为ｍ小球Ｃ，给小球一水平向右的瞬时 速度ｖ ，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最
高点，且不会使环在竖直方向上跳起，瞬时速度必满足（）：
Ａ．最小￣／４ｇｒ Ｂ．最大值３，ｆｇｒ Ｃ．最小｛ｌ￣］５ｇｒ Ｏ．最大值 ｌＯｇｒ
解析：为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行
、，２ 受力分析，临界条件下是小球只受重力，由ｍｇ＝ｍ：－知小球在最高 Ｉ 点时的速度至少为ｖ＝ｑｇｒ，从小球开始运动到最高点过程由机械
１ １ 一 能守恒定律得 ｖ． ｖ ＋２ｍｇｒ，小球在最低点时Ｖｌ ５ｇｒ，所以
小球在最低点时的瞬时速度至少为Ｖｌｍｉｎ ５ｇｒ，Ｃ正确。 如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对Ａ 的弹力最多为Ｆ ＝Ｓｍｇ，Ａ对小球的竖直向下的弹力最多为 、，ｆ ２ Ｆ、＝Ｒ ＝５ｍｇ，对小球在最高点进行受力分析可知Ｆ ＋ｍｇ＝ｍ二＿一， ｒ 解得小球在最高点时的速度ｖ ＝、，６ｇｒ，对小球由机械能守恒定
１ １ 一 律得 ｖ ＝去ｍｖ～＋２ｍｇｒ，解得小球在最低点时ｖ ＝￣／１０ｇｒ，
所以小球在最低点时的瞬时速度最大为Ｖｌｍａｘ＿－ｑｌＯｇｒ，Ｏ正确。答
高考物理解题方法指导之极值问题
高考物理解题方法指导之极值问题
综述求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值．数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值．一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高．
多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节．
互动探究例1、如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F的最小值和方向角θ．
例1
例2、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20，前进了50m，求这过程中汽车达到的最大速度．
例3、已知直角三角形底边长恒为b，当斜边与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜边由静止从顶端滑到底端所用时间最短
例4、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度v0=10m/沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h为多大时，小物块飞行的水平距离最大？这个距离是多少？（g取10m/2）
例4
例5、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放，从小球开始运动直到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？
-1-
Er例6、如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最
大阻值为R（R>R1+r），当滑动变阻器连入电路的电阻R某多大时，在变阻器上消耗的功率最大？R1R
谈高中物理极值问题解法
谈高中物理极值问题解法
发表时间：2020-12-03T09:28:31.556Z 来源：《素质教育》2020年12月总第363期 作者： 刘福春[导读] 求解极值的常见解法可概括为物理法、代数法和几何法。下面我就此举例进行说明。
广东省兴宁市叶塘中学 514500
求解极值问题是中学物理的一种常见题型，它对考查学生的知识掌握情况、数学知识的迁移能力、分析推理和应用能力有较大的帮助，也是历年高考的一大热点题型。通过对大量这类题目解法的分析，不难发现，求解极值的常见解法可概括为物理法、代数法和几何法。下面我就此举例进行说明。
一、几何法
在初中几何中我们曾经学过“点到直线的距离以垂线为最短。”此结论对于求极小值问题，是一条捷径。
例1：如图1-3所示，重为G的物体与水平地面的动摩擦因数为μ，欲以一个拉力F使物体沿地面匀速前进。问F与水平地面的夹角θ为何值时最省力？这个最小拉力是多大？
分析与解：画出物体的受力分析图，如图1-4所示。物体受到四个力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面对物体的滑动摩擦力f，其中f=Nμ。这四个力为共点力，合力为零。可将N与f合成为一个力N′，N与f的作用将被N′等效，N与N、f的关系满足平行四边形法则。再画出物体受N、G、F的力的矢量三角形，如图1-5所示。N′的方向如图，应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过B点作N′的垂线交N于C点，则BC的长度即表示最小作用力Fmin，由于Fmin与水平面夹角为θ,
∴∠CAB=∠θ·Fmin=Gsinθ 由图1-6可知： θ=arctanμ
几何法一般用于求极小值问题，其特点是简单、直观，把物体运动的较为复杂的极值问题，转化为简单的几何问题去解，便于学生掌握。
二、代数法
例2：
如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径。分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2 所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为 R，速率为υ。
高中物理：动态平衡问题的几种解法
在有关物体平衡的问题中，有一类涉及动态平衡。这类问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”。下面就介绍几种动态平衡问题的解题方法。
方法一：三角形法则。
原理：当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。
例1. 如图1所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？
图1
解析：取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力F1、挡板支持力F2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形。挡板逆时针转动时，F2的方向也逆时针转动，F1的方向不变，作出如图2所示的动态矢量三角形。由图可知，F2先减小后增大，F1随增大而始终减小。
图2
说明：三角形法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其它力），另一个力的大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程进行定性的分析。
方法二：解析法。
原理：物体处于动态平衡状态时，对研究对象的任一状态进行受力分析，根据具体情况引入参量，建立平衡方程，求出应变参量与自变参量的一般函数关系，然后根据自变量的变化确定应变量的变化。
例2. 如图3所示，小船用绳索拉向岸边，设船在水中运动时所受水的阻力不变，那么小船在匀速靠岸过程中，下面说法哪些是正确的（ ） 图3
A. 绳子的拉力F不断增大
B. 绳子的拉力F不变
C. 船所受的浮力不断减小
D. 船所受的浮力不断增大
谈高中物理求极值的思路与技巧
科技信息 高校理科研究
谈离巾物理求榴值昀思路与技巧
商丘技师学院 于雪芹
［摘要］本文从矢量分析、三角函数、物理基本原理等几个方面探讨了高中物理中求极值的几种思路与技巧。
［关键词】物理极值 矢量分析三角函数物理基本原理
高中物理习题中的求极值问题，是教学中的重点，同时也是考试中
的焦点和热点。它不仅考察学生对物理知识的理解和掌握’也考察学生
对数学知识的理解应用能力。笔者此前曾探讨过用代数方法解决物理
习题中的求极值问题。在此就利用另外几种方法解决此类问题再做一
些探讨。
１、数形结合求极值
对某些有关矢量的问题，列方程计算固然能够算出，但计算繁杂且
不直观。我们可以根据题中给定的条件，通过简单的计算或作图，即可求
出极值。不仅简便而且直观易理解。
例ｌ：有三个共面的共点力，大小分别是２Ｎ、７Ｎ、８Ｎ求其合力的最
大值、最小值。
解：三个共点力极值是两个共点力极值的拓展。三个力只要能构成
一个三角形（即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）
即可。只要共面力能构成三角形，其合力最小值一定为０。
所以，Ｆｍｉｎ＝０ Ｆｍａｘ＝Ｆｌ＋Ｒ＋Ｆ３＝２Ｎ＋８Ｎ＋７Ｎ＝１７Ｎ 例２：如图１所示，一均匀球放在倾角为ａ光滑的斜面上，不计厚
度的木板挡住球使之处于静止状态，现使木版与斜面的夹角ｐ缓慢增
大，在此过程中，球对斜面的压力Ｆ．会如何变化，球对板的压力Ｆ：极值
如何。
图ｌ 解：以小球为研究对象，受三个共点力处于平衡状态。球对斜面的
压力Ｆ 与斜面对小球的支持力Ｎ。是一对作用力与反作用力；球对挡板
的压力 与挡板对小球的压力Ｎ 是一对作用与反作用力。
Ｎ。Ｎ 的合力始终与Ｇ等大反向即合力恒定。
Ｎ。的方向始终不变，由图中可以看出随着Ｎ。逐渐增大，Ｎｚ先减小
后增大，Ｎ 的极值为Ｎ ｜１＝Ｇ ｓｉｎＯｔ
故：球对斜面的压力Ｆ．、球对挡板的压力Ｆ 的变化情况和极值与
Ｎ，Ｎ 相同。
小结：矢量三角形法则分析矢量的极值，实质是一种数形结合求极
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结
（一）利用分式的性质求极值
[例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30º角，如图示。使A作匀速直线运动。试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动?
解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30º=μ（G+Fsin30º），得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30º－μcos30º=0时得μ=tg30º=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。
（二）利用一元二次方程求根公式求极值
有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。它的根就可能是要求的极值。这种方法应用是很普遍的。
（三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值
[例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m>M时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ （1）
上式中，N>0，即cosθ
将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。有 2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）
（4）式是关于cosθ的一元二次方程。cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。
小结：从上面例题中可看出，应用判别式解题时，要注意研究所建立的一元二次方程的特点，表现为两个未知数，把二次方的未知数做为自变量，另一个量就靠判别式而定了。
（四）利用y=ax2+bx+c的极值条件和物理量的边界条件求极值
知识讲解 物理学中的极值问题与极端法 - 副本
第 1 页 共 7 页 物理学中的极值问题与极端法
编稿：小志
【高考展望】
物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。
【知识升华】
物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
【方法点拨】
求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。
多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。
【典型例题】
类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值
高中物理极值问题的求解与分析
＿－＿ －＿＿＿ Ｃｊ 同 中 文 ／ 梅 县 南 口 巾 学 吴 宣 跃 高中物理知识点多、解题方法 多样．有一类是极值问题的求解， 这类问题是高中物理教学中经常遇 到的一类问题，是核心知识点，高 考压轴题中经常出现，是学生感到 难解的题型之一．求解极值问题的 方法一般可以分为两类，一类是物 理方法，另一类是数学方法，下面 就运用这两类方法对求极值的问题 加以解析． 一、用物理方法求解极值 １．分析物理过程，寻求极值 条件求解 例如：如图１所示，质量为 １ｇ的小环带４ｘ１０－４Ｃ的正电，套在 口 × × Ｘ × １９８ × × × × 图１ 教堂遮ｉｊ＝ 长直的绝缘杆上，两者间的动摩擦 因数 ＝Ｏ．２．将杆放人都是水平的互 相垂直的匀强电场和匀强磁场中， 杆所在平面与磁场垂直，与电场的 夹角为３７。．若Ｅ＝ＩＯＮ／Ｃ，Ｂ＝０．５Ｔ， 小环从静止启动．求：（１）当小环 加速度最大时，环的速度和加速 度； （２）当小环的速度最大时， 环的速度和加速度． 解析：（１）小环从静止启动 后，受力情况如图２，随着速度的 增大，洛仑兹力便增大，于是正压 力减小，摩擦力减小，加速度增 大．当环的速度为 时，正压力为 零，摩擦力消失，此时环有最大加 速度‰．（２）在上述状态之后， 环的速度继续增大导致洛仑兹力继 续增大，致使小环下侧与杆之间 出现挤压力Ｎ，如图３．于是摩擦力 ｆＹ．产生，杆的加速度口减小， ｆ 勘ｑｆ Ｎ Ｔ ｔ昔ｏ ，当口减 小到零时，环有最大速度 一． 图２ 围３ 解： （１）在平行于杆的方向 上有：ｍｇｓｉｎ３７。一Ｅｑｃｏｓ３７。＝ｍ‰ 解得：口＝２．８ ｍ／ｓ 在垂直于杆的方向上有：Ｂｖｑ ：ｍｇｃｏｓ３７。＋Ｅｑｓｉｎ３７。 解得：ｖ＝５２ ｍ／ｓ （２）在平行于杆方向有： ｍｇｓｉｎ３７。＝Ｅｑｃｏｓ３７。＋ｌ厂 在垂直于杆方向有： ，， ＝ ｍｇｃｏｓ３７。＋Ｅｑｓｉｎ３７。＋Ｎ 又ｆ： 解得： ～：１２２ｎｄｓ 求解这类极值问题，关键要细 致地分析物理过程，理顺物理量的 关系，找出变化点和转折点，寻找 到极值的条件．这就要求教师平时 要引导学生养成重视分析物理过程 求解习题的习惯，这也是学好物理 的根本方法之一． ２．利用物理图像求解极值 例如：物体Ａ、曰同时从同一 地点，沿同一方向运动，Ａ以 １０ｍ／ｓ的速度匀速前进， 以２ｎｄｓ 的加速度从静止开始做匀加速直线 运动，求Ａ、 再次相遇前两物体 间的最大距离． 解析：根据题意作出Ａ、Ｂ的 ｖ—ｔ图像，如图４所示可知，Ａ、Ｂ 再次相遇前它们之间距离有最大值 的临界条件是 ，得ｔ＝５ｓ．Ａ、Ｂ 间距离的最大值数值上等于ｚｌＯｖ Ｐ 的面积，即△ ＿：｝×５×１ｏｍ＝２５ｍ ／ 一 图４ 这类问题要求学生具有将物理 现象转化为图像问题的能力．这就 要求老师在平常的教学中加强对这 方面知识的教学引导．要求学生能 全面系统地看懂图中的“轴”、 “线”、“点”、“斜率”、“面积”、 “截距”等所表示的物理意义，形 成利用图像解题的习惯． 二、用数学方法求解极值 数学方法是研究物理学的一种 基本方法，其内容就是把数学的思 想、方法，以至结果应用于物理过 程的描述和分析之中，以求得问题 的答案． １．用二次函数求极值 例如：如图５，一半径为Ｒ的 光滑绝缘半球面开口向下，固定在 水平面上．整个空间存在匀强磁场， 师道・教研２０１３年第４期 物理极值问题的求解与分析