2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第六节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件理
2018版高考数学大一轮温习 第四章节 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义 理 新
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝cos(3x＋π3)，其中 x∈[π6，m]，若 f(x)的值
域是[－1，－ 23]，则 m 的取值范围是_[_2_9π_，__51_π8_]__.
答案 解析
答题模板系列4 三角函数图象与性质的综合问题
典例 (12 分)已知函数 f(x)＝2 3sin(x2＋π4)·cos(x2＋π4)－sin(x＋π). (1)求f(x)的最小正周期； (2)若将f(x)的图象向右平移π个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数
___
初相
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示： 几何画板展示
0－φ
π2－φ
π－φ
32π－φ
2π－φ
x
__ω___ __ω___ __ω___ __ω___ __ω___
ωx＋φ
π
3π
__0__ __2__ __π__ __2__ __2π__
y＝Asin(ωx 0 A 0 －A 0
跟踪训练1 把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一
半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移 π个单位，得到的函 4
数图象的解析式是 答案 解析 几何画板展示
A.y＝cos 2x C.y＝sin(2x－π)
4
B.y＝－sin 2x D.y＝sin(2x＋π )
4
由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，
引申探究
在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g(x)的图
象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心.
解答
由(1)知 f(x)＝5sin(2x－π6)， 因此 g(x)＝5sin[2(x＋π6)－π6]＝5sin(2x＋π6).
2018高考一轮复习三角函数：第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
3． 由函数 y＝s i n x 的 图 象 变 换 得y到 ＝As i nωx ( ＋φ)(A>0， ω>0) 的图象的两种方法
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
π 2x－6. i n
点
二
课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
π (2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平移6个单位长度，得到 y＝ g(x)的 图 象 ， 求 y＝g(x)的 图 象 离 原 O 点最 近 的 对 称 中 心 ； π 2x－6， [解] 由( 1 知 ) f(x)＝5 s i n
破
点
二
课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
结
束
突破点(一)
基础联通
函数 y＝As i nωx ( ＋φ)的图象
抓 主 干 知 识“ 的 源” 与“ 流”
1．y＝As i nωx ( ＋φ)的 有 关 概 念
y＝As i nωx ( ＋φ) (A>0，ω>0)， 振幅 A 周期 频率 相位 初相 φ
2π 1 ω ωx ＋φ ______ f＝T＝ ω 2π T＝____
突
破
点
一
突
破
点
二
课时达标检测
函数 y ＝ A sin(ω x ＋ φ ) 的图象及三角函数模型的简单应用
高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
解析:由题图可知 T=
所以
||
- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,
=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).
点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,
则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .
t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,
由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,
即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.
因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√
D.0,,,,
解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.
3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 理
第4讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 解析 由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，故选A. 答案 A 2.要得到函数cos(21)y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移12 个单位 D.向右平移 12个单位 解析 因为1cos(21)cos(2()2y x x =+=+,所以将cos 2y x =向左平移12个单位,故选C.答案 C3. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D.答案 D4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )． A.π6B.π3 C.π4D.π12解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4.答案 C5． 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析 由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． 又∵点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴10＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6. 当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案 A 二、填空题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T2＝22－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2.答案 π28．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎪⎨⎪⎧π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案π410．在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析 首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1. (2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． 12．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 13．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 14．设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解 (1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x2＝12－12sin 2x ， 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x . ②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用学案
学习资料4.4函数y=A sin（ωx+φ)的图象及应用必备知识预案自诊知识梳理1。
y=A sin（ωx+φ）的有关概念2.用五点法画y=A sin（ωx+φ)在一个周期内的简图时，要找出的五个特征点如下表所示3。
由y=sin x的图象得y=A sin（ωx+φ)（A〉0,ω>0)的图象的两种方法y=A sin （ωx+φ）(A>0，ω>0）的图象的作法：（1）五点法:用“五点法”作y=A sin(ωx+φ）的简图，主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z 取0，π2，π，3π2,2π来求出相应的x ，通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。
（2）图象变换法:由函数y=sin x 的图象通过变换得到y=A sin （ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”（即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”）.考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”.(1)把y=sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y=sin 12x 。
（ )（2)将y=sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y=sin (2x -π3)的图象。
（ ) (3）函数f (x )=A sin(ωx+φ)（A ≠0)的最大值为A ，最小值为-A.( )（4)如果y=A cos （ωx+φ）的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ）（5）若函数y=A sin （ωx+φ)为偶函数，则φ=2k π+π2（k ∈Z ).( ）2。
若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ）A 。
x=kπ2−π6（k ∈Z ) B 。
x=kπ2+π6（k ∈Z )C 。
x=kπ2−π12(k ∈Z ） D.x=kπ2+π12(k ∈Z )3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=√2(sin 2x+cos 2x )的图象，只需把函数y=2sin 2x 图象上所有的点( )A 。
【配套K12】2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用教师用书1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2016·杭州模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x ＝――――――――――→右移10π10个单位y ＝sin(x －π10)――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)．3．(2016·宁波高三第二次适应性考试)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.答案 2π6解析 根据图象知T ＝π，∴ω＝2，又f (x )图象过点(0,1)，且点(0,1)位于函数图象的递增部分， ∴由2sin φ＝1得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )． 当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z . 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2017·金华十校高三上学期调研)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin(2x －π6)，则φ＝________(0<φ<π2)，再将函数y ＝sin(2x －π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________． 答案π12 y ＝sin(x －π6) 解析 将y ＝sin 2x 中的x 替换为x －π12后得到y ＝sin(2x －π6)，故向右平移π12个单位长度；将y ＝sin(2x －π6)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，则将x 替换为x 2得到y ＝sin(x －π6)．题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵11π12是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例 3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m 2的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．(2016·杭州市学军中学高三5月模拟考试)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案 D解析 由f (x )的周期为π得ω＝2，f (x )＝cos(2x ＋π4)向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝cos 2x 的图象．3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，6∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·绍兴模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，2∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2016·杭州模拟)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10．(2016·邢台模拟)先把函数f (x )＝sin(x －π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈(π4，3π4)时，函数g (x )的值域为________． 答案 (－32，1] 解析 依题意得g (x )＝sin[2(x －π3)－π6]＝sin(2x －5π6)，当x ∈(π4，3π4)时，2x －5π6∈(－π3，2π3)，此时sin(2x －5π6)∈(－32，1]，故g (x )的值域是(－32，1]． 11．(2016·余姚模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为 [k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．(2016·浙江联考)已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13. (2016·余姚模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。
2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件理
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振
动时，几个相关的概念如下表：
简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0)， A x∈[0，＋∞)
2π f＝1 φ ωx ＋ φ T T＝ ω —— —— —
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
解析
从图中可以看出，
从 6～14 时是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期， 1 2π π 又 × ω ＝14－6，所以 ω＝ . 2 8 1 1 由图可得 A＝2(30－10)＝10，b＝2(30＋10)＝20. π 3π 又8×10＋φ＝2π，解得 φ＝ 4 ，
π 3π ∴y＝10sin8x＋ 4 ＋20，x∈[6，14].
答案 (1)× (2)×
(3)√ (4)√
π 2.y＝2sin2x－4的振幅、频率和初相分别为(
)
1 π A.2， ，－ π 4 1 π C.2，π，－8
1 π B.2， ，－ 2π 4 1 π D.2，2π，－8
答案 A
3.(2016· 全国Ⅰ卷)若将函数
π 1 y＝ 2sin2x＋6的图象向右平移 个 4
5π 6 2π 0 0
π (2)法一 把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位，得 3 π π 到 y＝sinx＋3的图象； 再把 y＝sinx＋3的图象上的点的横坐 π 1 标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋3的图象； π 最后把 y＝sin2x＋3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 π 坐标不变)，即可得到 y＝2sin2x＋3的图象.
2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第四章第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应
第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点(一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：1.“五点法”画图本节主要包括2个知识点： 1.函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象； 2.三角函数模型的简单应用.(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，图象如图①所示．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，图象如图②所示．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心；(3)说明函数f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． [解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：则函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎭2x －π6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ， 其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. (3)把y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y ＝5sin2x －π6的图象．[易错提醒](1)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式象变换相结合．由图象(或性质)求三角函数解析式的方法：(1)A ，k 由最值确定，在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点)，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2.特别地，当k ＝0时，A ＝M ＝－m .(2)ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出．常用的确定T 值的方法如下： ①曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为T2；②最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标之间的距离为T2；③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T ； ④有时还可以从图中读出T 4或者3T4的长度来确定ω.(3)φ值的确定有三种途径：[例2] (1)(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( ) A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1(2)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( ) A ．－23B ．－12C.23D.12[解析] (1)由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，且|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1. (2)由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，∴T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，取k ＝1，则φ＝－π4，∴f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 则A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，解得A ＝223， ∴f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. [答案] (1)D (2)A [易错提醒](1)一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减2πω的整数倍达到目的．(2)正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期，而是半个周期，在解题中要考虑到这一点．[例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，ω、A >0,0<φ<π2的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间． [解] (1)由题意，得A ＝2，ω＝2ππ＝2，又直线x ＝π6是f (x )的图象的一条对称轴，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， 所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝k π＋π6(k ∈Z)，又0<φ<π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z. 所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. [方法技巧]三角函数图象与性质的综合问题的求解思路先将y ＝f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017·西安模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，－4π3≤2x －π3≤－π3，在此区间上函数不会出现最高点，排除C ，故选A. 2.[考点一](2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度解析：选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 3.[考点二]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：选A 由图可得，3T 4＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4，∴T ＝π，则ω＝2，∵图象过点B ⎝⎛⎭⎫5π12，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2，∴2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3. 4.[考点二、三](2016·银川二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的一个交点⎝⎛⎭⎫－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若f ⎝⎛⎭⎫π12＝32，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.12B ．－ 3C ．－32 D ．－12解析：选C 由题意得，函数f (x )的最小正周期T ＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2.因为点⎝⎛⎭⎫－π12，0在函数f (x )的图象上，所以A sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＝0，解得φ＝k π＋π6，k ∈Z ，由0<φ<π，可得φ＝π6.因为f ⎝⎛⎭⎫π12＝32，所以A sin2×π12＋π6＝32，解得A ＝3，所以f (x )＝3sin2x ＋π6.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，sin2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，且当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，函数f (x )取得最小值，最小值为－32，故选C. 5.[考点二](2017·江西百校联盟联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( )A ．1 B.22 C.12 D.32解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R)，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选C. 6.[考点三]已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z ，又－π2≤φ<π2，所以φ＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.突破点(二) 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解] (1)因为f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． [方法技巧]解决三角函数实际应用题的四个注意点(1)活用辅助角公式准确化简； (2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋BA >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sinπ6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元． 答案：6 0003．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案：20.54.如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)，赛道的后一部分为折线段MNP ，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x ，x ∈[0,4]，所以当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3， 所以M (4,3)，又P (8,0)，所以MP ＝(8－4)2＋(0－3)2＝42＋32＝5(km)，即M ，P 两点间的距离为5 km.5．(2017·青岛调研)某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道(单位：米)曲线段是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，x ∈[－4,0]的图象且最高点为B (－1,4)，在y 轴右侧的观光道曲线段是以CO 为直径的半圆弧．(1)试确定A ，ω和φ的值；(2)现要在y 轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO ，点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段(造价为2万元/米)．点D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)．设∠DCO ＝θ(弧度)，试用θ来表示修建步行道CDO 的造价预算，并求该造价预算的最大值？(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)解：(1)因为最高点为B (－1,4)，所以A ＝4. 由图可得T4＝－1－(－4)＝3，所以T ＝12，因为T ＝2πω＝12，所以ω＝π6，所以4＝4sin ⎣⎡⎦⎤π6×(－1)＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝1， 又0<φ<π，所以φ＝2π3.(2)由(1)知y ＝4sin⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3，x ∈[－4,0]，得点C (0，23)，即CO ＝23，取CO 的中点F ，连接DF ，DO ，因为弧CD 为半圆弧，所以∠DFO ＝2θ，∠CDO ＝90°，即DO ＝2θ×3＝23θ，则圆弧段DO 的造价预算为23θ万元，在Rt △CDO 中，CD ＝23cos θ，则直线段CD 的造价预算为43cos θ万元， 所以步行道CDO 的造价预算g (θ)＝43cos θ＋23θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 由g ′(θ)＝43(－sin θ)＋23＝23(1－2sin θ)，得当θ＝π6时，g ′(θ)＝0，当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，g ′(θ)>0， 即g (θ)在⎝⎛⎭⎫0，π6上单调递增；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，g ′(θ)<0， 即g (θ)在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减．所以g (θ)在θ＝π6时取得极大值也是最大值6＋33π，即修建步行道CDO 的造价预算的最大值为⎝⎛⎭⎫6＋33π万元．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选D 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D.2．(2016·全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)解析：选B 将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：选D 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 4．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象． 答案：2π35．(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 解析：将y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图象，化简得y ＝－cos(2x ＋φ)，又可变形为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.答案：5π6[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B.2．(2017·渭南模拟)由y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6的图象，则f (x )为( ) A ．2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π6 B ．2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6 C ．2sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π3 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋π3 解析：选B y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6错误!y ＝2sin 错误!错误! y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫6x －π6＝f (x )． 3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：选D 由图可知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，故ω＝2ππ＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3. 4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z 解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，选C.5.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________． 解析：根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值． 答案： ⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·汕头调研)已知函数周期为π，其图象的一条对称轴是x ＝π3，则此函数的解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6解析：选A 由函数周期为π，排除D ；又其图象的一条对称轴是x ＝π3，所以x ＝π3时，函数取得最值，而f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1，所以A 正确． 2.(2017·洛阳统考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：选D 由图象可知A ＝1，T 4＝5π12－π6，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A ，C ，把x＝π6代入检验知，选项D 符合题意． 3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6解析：选C 把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2017·郑州模拟)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：选B 由题意得，g (x )＝－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos2x －π2＝－sin 2x .A.最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；B.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，g (x )单调递减，显然g (x )是奇函数，故B 正确；C.当x ∈⎝⎛⎭⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－3π4，π4，此时不满足g (x )单调递增，也不满足g (x )是偶函数，故C 错误；D.周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫3π8＝－22，故图象不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称．故选B.5．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：选B ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象，又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A ，C 错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误． 6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选D 由已知得g (x )＝sin (2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D. 二、填空题7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________. 解析：观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， 即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)， ∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. 答案：328．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．解析：由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝(x 0＋1－x 0)2＋(－1－1)2＝ 5.答案： 59．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.解析：把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：2210．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.答案：143三、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32，因为0<φ<π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故7π6<πx 0＋π6<13π6，由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，故x 0＝53.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6 －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx .当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx ≤1，故当π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32.12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60，又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3， 从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋φ＋60. 由题设知t ＝0时y ＝10，将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2， 因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)． (2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85， 即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2， 所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。
高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师用书
（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用教师用书1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )(4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2016·杭州模拟)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 y ＝sin x ＝――――――――――→右移10π10个单位y ＝sin(x －π10)――――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)．3．(2016·宁波高三第二次适应性考试)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.答案 2π6解析 根据图象知T ＝π，∴ω＝2，又f (x )图象过点(0,1)，且点(0,1)位于函数图象的递增部分， ∴由2sin φ＝1得φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )． 当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) 请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心． 解 由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z . 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2017·金华十校高三上学期调研)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin(2x －π6)，则φ＝________(0<φ<π2)，再将函数y ＝sin(2x －π6)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________． 答案π12 y ＝sin(x －π6) 解析 将y ＝sin 2x 中的x 替换为x －π12后得到y ＝sin(2x －π6)，故向右平移π12个单位长度；将y ＝sin(2x －π6)图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，则将x 替换为x 2得到y ＝sin(x －π6)．题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，又∵11π12是函数的一个零点且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．思维升华 求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为( )A ．{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝k π－π3，k ∈Z }C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z }答案 B解析 根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值．题型三 三角函数图象性质的应用 命题点1 三角函数模型的应用例 3 (2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m 2的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)， 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． 答案 [2π9，5π18]解析 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b2＋cos x ·b a 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )答案 D解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.2．(2016·杭州市学军中学高三5月模拟考试)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋π4)(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案 D解析 由f (x )的周期为π得ω＝2，f (x )＝cos(2x ＋π4)向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝cos 2x 的图象．3．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (x ∈R ，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A.12B.32C.22D ．1答案 B解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin(2x ＋π3)．函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，6∴f (x 1＋x 2)＝sin(2×π6＋π3)＝32.故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．(2016·绍兴模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 B解析 由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，2∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴A、C 错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．7．(2016·全国丙卷)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案2π3解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到．8.(2016·杭州模拟)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f (16)＝12cos π6＝34.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.10．(2016·邢台模拟)先把函数f (x )＝sin(x －π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈(π4，3π4)时，函数g (x )的值域为________． 答案 (－32，1] 解析 依题意得g (x )＝sin[2(x －π3)－π6]＝sin(2x －5π6)，当x ∈(π4，3π4)时，2x －5π6∈(－π3，2π3)，此时sin(2x －5π6)∈(－32，1]，故g (x )的值域是(－32，1]． 11．(2016·余姚模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象过点P (π12，0)，图象上与点P 最近的一个最高点是Q (π3，5)．(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P (π12，0)，∴5sin(π6＋φ)＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin(2x －π6)．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为 [k π－π6，k π＋π3] (k ∈Z )．12．(2016·浙江联考)已知函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x ·cos x －32. (1)求函数f (x )的最小正周期T 和函数f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )的对称中心为(x,0)，求x ∈[0,2π)的所有x 的和． 解 (1)由题意得f (x )＝sin(2x ＋π3)，∴T ＝2π2＝π，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z .可得函数f (x )的单调递增区间为[－5π12＋k π，π12＋k π]，k ∈Z .(2)令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，可得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z .∵x ∈[0,2π)，∴k 可取1,2,3,4. ∴所有满足条件的x 的和为2π6＋5π6＋8π6＋11π6＝13π3. *13. (2016·余姚模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－x ＋π42＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。
2018版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及
第4讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 解析 由已知，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，所以函数图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，故选A. 答案 A 2.要得到函数cos(21)y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移12 个单位 D.向右平移 12个单位 解析 因为1cos(21)cos(2()2y x x =+=+,所以将cos 2y x =向左平移12个单位,故选C.答案 C3. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )．A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选D.答案 D4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为( )． A.π6B.π3 C.π4D.π12解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4.答案 C5． 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析 由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又∵点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴10＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案 A 二、填空题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.解析 由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T2＝22－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2.答案 π28．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎪⎨⎪⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案π410．在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析 首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1. (2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．12．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]． 13．已知函数f (x )＝23sin x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin[⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 14．设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．解 (1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2 ＝12－12sin 2x ， 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x . ②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.。