函数y=Asin(ωx+φ)的图象基础训练(附答案)
2020高考数学复习 函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用特训(含解析)文新人教A版
课下层级训练(十九)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[A 级 基础强化训练]1．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度B [将y ＝3sin x 的图象上的所有点的横坐标缩短12倍得到y ＝3sin 2x 的图象，再将y＝3sin 2x 的图象再向上平移1个单位长度即得y ＝3sin 2x ＋1的图象．]2．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3D [由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3.] 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )A ．－ 3B ．33C ．1D ． 3D [由已知得T ＝π2，∴ω＝2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.] 4．(2019·四川攀枝花月考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式是()A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D [由图象可知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A 、C ；把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．]5．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位长度后得到g (x )的图象，若函数g (x ) 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上为增函数，则ω的最大值为( )A ．3B ．2C ． 32D ． 54C [由题意知，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx ，由对称性，得π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤12×2πω，即0<ω≤32，则ω的最大值为32.] 6．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________.6，π6 [由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6.而此函数的最小正周期T ＝2ππ3＝6.]7.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝__________.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 [由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6(经检验满足题意)．]8．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是__________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3.]9．(2019·江西景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．解 (1) f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．[B 级 能力提升训练]11．函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是( ) A ．32 B ．2 C ．1D ．12C [依题意得，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(ω＞0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1 .]12．(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24A [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.]13.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象解析式为__________.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6[由34T ＝11π12－π6，得T ＝π，于是ω＝2.由图象知A ＝1.根据五点作图法有ω·π6＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.]14．设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是__________.5 [由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－12＝ 5.]15．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.16．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，讨论函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解 (1)由题图可知A ＝1，12×2πω＝2π3－π6，故ω＝2，所以f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π.当x ＝π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令z ＝2x －π6，函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减．。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象考点及例题讲解突破
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用考纲解读 1.以y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)为主要内容，考查三角函数图象的变换；2.根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象求解析式，研究性质，待定参数；3.以y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)为模型，考查三角函数的实际应用．[基础梳理]1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)列表：(2)描点：⎝⎛⎭⎫－φω，0，⎝⎛⎭⎫π2ω－φω，A ，⎝⎛⎭⎫πω－φω，0，⎝⎛⎭⎫3π2ω－φω，－A ，⎝⎛⎭⎫2πω－φω，0. (3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤12个小环节构成6条路线： (以③⑨⑫线路为例)③把y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象； ⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(ωx＋φ)；⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的A (A >0)倍，横坐标不变，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义[三基自测]1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案：B2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案：A3．电流i (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系是i ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流i 变化的初相、周期分别是( )A.π3，150 B.π6，1100 C.π3，1100 D.π6，150 答案：π3，1504．(必修4·习题1.5例题改编)由y ＝sin x ______得到y ＝sin 13x ______得到y ＝2sin13x ______得到y ＝2sin(13x －π6)．答案：横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 向右平移π2个单位5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)由曲线C 1：y ＝cos x ，向左平移__________个单位，再将横坐标缩小到原来的__________倍，得到曲线C 2：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 答案：23π 12[考点例题]考点一 图象与变换|模型突破[例1] 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3)由y ＝sin x 经过怎样的变换得到f (x )＝cos(ωx ＋φ)的图象(x ∈R )． [解析] (1)最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ ＝－sin φ＝32， ∴sin φ＝－32. ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表：(3)f (x )＝cos(2x －π3)＝sin[ π2＋(2x －π3)]＝sin(2x ＋π6)，所以由y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，即f (x )＝cos(2x －π3)的图象．[模型解法][高考类题](2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 答案：D考点二 由图象求解析式及三角函数模型应用|方法突破[例2] (1)(2018·黄山模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到点A 的距离与点P 的高度之和为( )A ．5米B ．(4＋7)米C ．(4＋17)米D ．(4＋19)米(2) 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是__________．[解析] (1)以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一圈，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )．又T ＝12，所以θ＝π6t ，所以f (t )＝3－2cos π6t ，t ≥0；风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，θ＝6π＋23π，P (3，1)，所以点P 的高度为3－2×⎝⎛⎭⎫－12＝4， 因为A (0，－3)，所以AP ＝3＋16＝19，所以点P 到点A 的距离与点P 的高度之和为(4＋19)米． (2)由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2， 得sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f (0)＝2sin π3＝2×32＝62. 答案：(1)D (2)62[方法提升][母题变式]1．若本例(2)中的图象改为如图所示图象，则函数的一个解析式为__________．解析：设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，易得A ＝2. 由34T ＝5π12＋π3＝3π4得T ＝π， 所以2πω＝π，即ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2， 所以2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .可取φ＝－π3.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(不唯一) 2．若本例(1)条件不变，在大风车转第一周内，求风车圆周上的点到地面的距离大于4的时间．解析：由题意得，圆周上的点到地面的距离为f (t )＝3－2cos π6t ，t ∈[0,12]，令3－2cos π6t >4，∴cos π6t <－12，∴23π<π6t <43π.∴4<t <8，∴8－4＝4(秒)，即圆周上的点到地面的距离大于4 m 的时间有4秒．考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象性质的综合应用|思维突破命题点1 三角函数图象变换与性质综合问题[例3] 将函数f (x )＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得到的图象与原图象关于x 轴对称，则ω的最小值为( )A.13 B ．3 C ．6D ．9[解析] 将函数f (x )＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3的图象，因为该图象与f (x )＝cos ωx (ω>0)的图象关于x 轴对称，所以cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＝－cos ωx 恒成立，则ωπ3＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，即ω＝3(2k ＋1)，k ∈Z ，当k ＝0时，ω的最小正值为3.故选B.[答案] B [思维升华]1．若函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π6个单位后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的值可能是( )A.12 B ．1 C ．3D ．4解析：依题意得，函数y ＝cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2的图象向右平移π6个单位后得到的曲线对应的解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －πω6＋π2＝sin ωx ，因此有－πω6＋π2＝－2k π，k ∈Z ，即ω＝12k ＋3，其中k ∈Z ，于是结合各选项知ω的值可能是3.答案：C2．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：向右平移φ个单位长度后，得到g (x )＝sin(2x －2φ)，又因为|f (x 1)－g (x 2)|＝2， 所以不妨令2x 1＝π2＋2k π，2x 2－2φ＝－π2＋2m π，所以x 1－x 2＝π2－φ＋(k －m )π，又因为|x 1－x 2|min ＝π3，所以π2－φ＝π3⇒φ＝π6.答案：D命题点2 与三角函数有关的方程、不等式问题[例4] (1)(2018·揭阳模拟)已知函数f (x )＝sin πx 和函数g (x )＝cos πx 在区间[－1,2]上的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积是( )A.22B.324C. 2D.524(2)设f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )＋2cos 2x . ①求函数f (x )的最大值与最小正周期；②求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值集合．[解析] (1)由sin πx ＝cos πx ⇒tan πx ＝1， 又x ∈[－1,2]得x ＝－34或x ＝14或x ＝54，即三点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－34，－22，⎝⎛⎭⎫14，22，⎝⎛⎭⎫54，－22，故S △ABC ＝12×⎣⎡⎦⎤54－⎝⎛⎭⎫－34×⎣⎡⎦⎤22－⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋2cos 2x ＝32＋12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)＋32， ①当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )max ＝32＋22.T ＝2π2＝π.②令22sin(2x ＋π4)＋32≥32，∴sin(2x ＋π4)≥0.由正弦图象可知2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π－π8≤x ≤k π＋38π，∴x 的取值集合为{x |k π－π8≤x ≤k π＋38π，k ∈Z }．[答案] (1)C [思维升华][跟踪训练]3．(2018·河北三市联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤π2)，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1对∀x ∈(－π12，π3)恒成立，则φ的取值范围是( ) A ．[π12，π2]B ．[π6，π3]C ．[π12，π3]D ．[π6，π2]解析：由已知得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2.当x ∈(－π12，π3)时，2x ＋φ∈(－π6＋φ，2π3＋φ)，∵f (x )>1，|φ|≤π2，∴⎩⎨⎧－π6＋φ≥02π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3.答案：B[真题感悟]1.[考点三](2017·高考天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A. 答案：A2.[考点二](2015·高考陕西卷) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 解析：设水深的最大值为M ，由题意结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ①，k －3＝2 ②，解得M ＝8. 答案：C3.[考点二、三](2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 解析：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题16函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(题型专练)含解析
1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sinx的图象上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度【解析】由图象平移的规律“左加右减”，可知选A。
【答案】A2．若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()A.π8B.π4C.3π8D.3π4【答案】C3．为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝2cos3x的图象()A．向右平移π12个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π12个单位D．向左平移π4个单位【解析】因为y＝sin3x＋cos3x＝2cos3x－π4，所以将y＝2cos3x的图象向右平移π12个单位后可得到y＝2cos3x－π4的图象。
【答案】A4．将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间π12，7π12上单调递减B．在区间π12，7π12上单调递增C．在区间－π6，π3上单调递减D ．在区间－π6，π3上单调递增【解析】由题可得平移后的函数为y ＝3sin 2x －π2＋π3＝3sin 2x －2π3，令2k π－π2≤２x －2π3≤２k π＋π2，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，故该函数在k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)上单调递增，当k ＝0时，选项B满足条件，故选B 。
【答案】B5．将函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是()A ．y ＝cos2x ＋s in2xB ．y ＝cos2x －sin2xC ．y ＝sin2x －cos2xD ．y ＝sin xcosx【答案】B6．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图象，则只需将f(x)的图象()A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π3个长度单位C ．向右平移π6个长度单位D ．向左平移π3个长度单位【解析】由函数f(x)＝Asin(ωｘ＋φ)的图象可得A ＝1，根据T 4＝14·2πω＝7π12－π3，求得ω＝2，再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝π，求得φ＝π3，∴f(x)＝sin 2x ＋π3＝sin2x ＋π6，故把f(x)的图象向右平移π6个长度单位，可得g(x)＝sin2x 的图象。
知识讲解_函数y=Asin(ωx+φ)的图象_基础
类型一：三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象 例1. 画出函数y=sin(x+3π)，x ∈R 的简图.例2. 画出函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 的简图.【变式1】已知函数2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）作出函数的简图；（2）指出其振幅、周期、初相、值域．类型二：三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式例3．已知函数()sin()f x A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<），在同一周期内的最高点是(2,2)，最低点为(8,4)-，求f (x )的解析式．【变式1】如下图为正弦函数sin()y A x ωϕ=+||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个周期的图象，写出函数的解析式．类型三：函数sin()y A x ωϕ=+的性质的综合运用例4．已知函数sin(),,(0,0,0)2y A x x R A πωϕωϕ=+∈>><<其中的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上的一个最低点为2(,2)3M π-. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【变式1】已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象过点(,0)12P π，图象上与点P 最近的一个最高点是(,5)3Q π．（1）求函数的解析式； （2）求函数()f x 的递增区间．【变式2】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ≠0，ω＞0，||2πϕ<）的图象关于直线23x π=对称，它的周期是π，则（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的最大值是A。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
7 2
5
13 2
x
1.已 知 函 数 y 3 sin( x )的 图 象 为 C. 5
(1)为了得到函数y 3 sin(x )的图象, 只要把C上所有的点 5
( A )向右平行移动 个单位长度. 5 (B )向左平行移动 个单位长度. 5 2 (C)向右平行移动 个单位长度. 5 2 ( D)向左平行移动 个单位长度. 5
1.已 知 函 数 y 3 sin( x )的 图 象 为 C. 5
( 2)为了得到函数y 3 sin(2x )的图象, 只要把C上所有的点 5 ( A )横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 (B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C)纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2
最高点： ( 2 ,1)
3 ( ,1) 最低点： 2 与x轴的交点： (0,0) ( ,0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
-
(2 ,0)
在物理学的简谐运动中交流电的电流y与时间x的关系、弹簧振 子对平衡位置的位移y与时间x的关系等都是形如y=Asin(x+) 的函数（其中A>0, ω>0, 是常数）. 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y 6
作 业 1
利 用 “ 五 点 法 ” 在 同坐 一标 系 里 作 函 数 y sinx与
函数y sinx与函数 y sinx 0的图象之间的关系 ? 思考2：
答： y si n ( x )(其 中 0)的 图 象 ,可 以 看 作 是 把 正 弦
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质韩忠刚考试目标1．考查正弦函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换． 2．考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用． 考点梳理1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点．即令ωx ＋φ分别等于0，π2，π，3π2，2π，得对应的五点为－φω，π2－φω，π－φω，3π2－φω，2π－φω.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：1、将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象．2、定区间的“五点法”作图。
2．三角函数图象的变换3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 注意点：1、（1）列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．（2）定区间的“五点法”作图要注意范围内的特殊角的取值和端点值2、图象变换有两条路径，在解题中，一般采用先平移后伸缩的方法．3、(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|. 考点自测1．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )． A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π 2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )． A ．T ＝6π，φ＝π6 B ．T ＝6π，φ＝π3 C ．T ＝6，φ＝π6 D ．T ＝6，φ＝π33．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )． A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位4．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，0 5．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 典例剖析一、作图 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0) 的图象及其变换 【例1】已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；如果做出它在[0, π]的图象呢？ (3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．[审题视点] (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．(2)五点法作图，关键是找出与x 相对应的五个点．定区间找特殊角，要确定整体角的范围，在其范围内的特殊角列出来，再列上端点角，实际是六点作图。
(2021年整理)必修四函数y=Asin(ωx+φ)的图像(二)(附答案)
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函数y＝A sin(ωx＋φ）的图像(二）[学习目标］1。
会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象.2。
能根据y＝A sin(ωx＋φ）的部分图象，确定其解析式。
3.了解y＝A sin（ωx＋φ）的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一“五点法"作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A〉0,ω〉0）的图象．利用“五点法”作出函数y＝A sin（ωx＋φ）（A〉0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.ωx＋φ0错误!π错误!π2πx－错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－φω＋错误!－错误!＋错误!y0A0－A0所以,描点时的五个关键点的坐标依次是（－错误!，0)，(－错误!＋错误!，A）,(－错误!＋错误!,0），（－错误!＋错误!，－A)，（－错误!＋错误!，0）．若设T＝错误!，则这五个关键点的横坐标依次为－错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!，－错误!＋错误!T，－错误!＋T。
思考利用“五点法”作出函数y＝2sin（2x＋错误!）一个周期上的图象，通常选取的五个点依次为．答案(－错误!,0)，(错误!，2）,（错误!，0)，(错误!π，－2），(错误!π，0）．知识点二由函数y＝A sin（ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式(1）在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1，0）．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝错误!π，ωx 5＋φ＝2π. （2）由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x 1（第一个零点的横坐标)或第二，第三（或第四，第五）点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标,通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ。
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
5.7 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质-(必修第一册) (教师版)
函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质1 性质(1) 简谐运动可用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，A是振幅，周期T=2πω，频率f=1T=ω2π，相位ωx+φ ，初相φ.(2) A,ω,φ对f(x)=Asin(ωx+φ)的影响A影响函数y=f(x)的最值，ω影响周期，φ影响函数水平位置.2 函数的变换(1) 平移变换①y=f(x)⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；② y=f(x)⟶y=f(x)± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).PS f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)，而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].(2) 伸缩变换①y=f(x)⟶ y=A f(x)(A>0)将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A<1缩短).②y=f(x)⟶ y=f(ω x)(ω>0)将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；问题怎么理解呢？例：若将f(x)=3sin(x+π3)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那得到的函数是f(x)=3sin(2x+π3)还是f(x)=3sin(12x+π3)呢？解析我们把f(x)=3sin(x+π3)的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的12倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T=2πω,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是f(x)=3sin(2x+π3).【题型一】函数图象的变换【典题1】将函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)＝2cos(2x+φ)的图象，则下列说法正确的是() A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3，2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【解析】函数f(x)＝Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到ℎ(x)＝Asin[2ω(x−π3)+π6]＝Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)＝2cos(2x+φ)＝2sin(2x+φ+π2)比较(利用诱导公式转化同函数名)又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．所以f(x)=2sin(x+π6)，故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，则f(2π3)取不到最值，∴x=2π3不是对称轴，∵f(2π3)≠0，∴(2π3,0)不是对称中心，即C，D错误．故选：B．巩固练习1(★)将函数y=cosx的图象先左移π4，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为()A．y=sin(2x+π4)B．y=sin(12x+3π4)C．y=sin(12x+π4)D．y=sin(2x+3π4)【答案】D【解析】函数y =cosx =sin(x +π2)，其图象先左移π4个单位，得y =sin(x +3π4)的图象；再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，得函数y =sin(2x +3π4)的图象； 所以函数y 的解析式为y =sin(2x +3π4)．故选：D ． 2(★) 将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|<π2 )的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(π3)=32，则φ=( ) A ．−π4B ．−π3C ．π6D ．π3【答案】 C【解析】将函数f(x)=3sin(12x −φ)(|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位长度，可得g(x)=3sin[12(x +π3)−φ]=3sin(12x +π6−φ) 的图象， 因为g(π3)=32，所以3sin(π3−φ)=32，即sin(π3−φ)=12， 所以π3−φ=2kπ+π6(k ∈Z)或π3−φ=2kπ+5π6(k ∈Z)．因为|φ|＜π2，所以，φ=π6，故选：C ． 3(★★) 为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x 的图象( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位【答案】 D【解析】为了得到函数f(x)=sin(2x +3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x =sin(2x +π2)的图象向左平移π8个单位,sin(2(x +π8)+π2)=sin(2x +3π4)．故选：D ． 4(★★) 已知函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将y =sin(ωx +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个偶函数，则φ的一个可能取值为( ) A ．3π4 B ．π4C ．0D ．−π4【答案】B【解析】函数y =sin(ωx +φ)的两条相邻的对称轴的间距为π2，所以π2=πω，解得ω=2，现将y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后得到一个g(x)=sin(2x +π4+φ)为偶函数， 则φ+π4=kπ+π2(k ∈Z)，整理得φ=kπ+π4(k ∈Z)， 当k =0时，φ=π4．故选：B ．5(★★) 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，且图象向右平移π12个单位后得到的函数为偶函数，则f(x)的图象( ) A ．关于点(5π12,0)对称 B ．关于直线x =π6对称C ．在[−π12，5π12]单调递增 D ．在[π12,7π12]单调递减【答案】 C【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴T =2πω=π，得ω=2， 此时f(x)=sin(2x +φ)， 图象向右平移π12个单位后得到y =sin[2(x −π12)+φ]=sin(2x +φ−π6)，若函数为偶函数，则φ−π6=kπ+π2，k ∈Z ，得φ=kπ+5π6， ∵|φ|＜π2，∴当k =－1时，φ=−π6， 则f(x)=sin(2x −π3)，则f(5π12)=sin(2×5π12−π3)=sin π2≠0，故f(x)关于点(5π12,0)不对称，故A 错误， f(π6)=sin(2×π6−π3)=sin0≠1，故关于直线x =π6不对称，故B 错误， 当−π12≤x ≤5π12时，−π6≤2x ≤5π6，−π2≤2x −π3≤π2， 此时函数f(x)为增函数，故C 正确，当−π12≤x ≤7π12时，−π6≤2x ≤7π6，−π2≤2x −π3≤5π6， 此时函数f(x)不单调，故D 错误，故选：C ．6(★★★) 将函数f(x)=Asin(ωx +π6)(A >0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到函数g(x)=2cos(2x +φ)的图象，则下列说法正确的是( )A．函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)的单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)C．函数f(x)的图象有一条对称轴为x=2π3D．函数f(x)的图象有一个对称中心为(2π3,0)【答案】 B【解析】函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的图象上的点的横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移π3个单位得到：g(x)=Asin(2ωx+π6−2πω3)的图象．与g(x)=2cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π2)比较，又由于A>0,ω>0，所以A=2,ω=1．故sin(2x−π2)=cos(2x－π)=cos(2x+φ)，得到φ=2kπ－π,k∈Z，所以：f(x)=2sin(x+π6),g(x)=－2cos2x．故函数f(x)的周期为2π，A错误；令2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3](k∈Z)，故B正确；由于f(2π3)=2sin5π6=1，可得C,D错误．故选：B．【题型二】由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式【典题1】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π2)的部分图象如图所示，下述四个结论：①ω=2；②φ=−π3；③f(x+π12)是奇函数；④f(x−π12)是偶函数中，其中所有正确结论的编号是.【解析】由函数图象的最值可得A=1，由34T=π6−(−7π12)=3π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，此时f(x)=sin (2x+φ)代入(−7π12,1)得f(−7π12)=sin(−7π6+φ)=1，∴−7π6+φ=π2+2kπ⇒φ=5π3+2kπ，又∵0<|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，∴①、②正确；∵f(x+π12)=sin[2(x+π12)−π3]=sin(2x−π6)不是奇函数，∴③错误；∵f(x−π12)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cos2x，∴f(x−π12)为偶函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．【点拨】由函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的部分图象求解析式的方法(1) 求A,B：通过函数最值求解，由{f max=A+Bf min=−A+B得A=f max−f min2， B=f max+f min2；(2) 求ω：根据图象求出周期T，再利用T=2πω求出ω；(3) 求φ：求出A,ω后代入函数图象一最值点，求出φ.【典题2】已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，f(0)=f(29π)=−f(π3)，且f(x)在(π6,4π9)上单调，则函数y=f(x)的解析式是.【解析】对于函数f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)，由f(0)=f(2π9)，可得函数的图象关于直线x=12(0+2π9)=π9对称；又f(2π9)=−f(π3)，可得函数的图象关于点(2π9+π32，0)对称，即(5π18,0)；∴T4+kT=5π18−π9=π6，k∈Z, 解得T=2π3(4k+1)，∴ω=2πT=3(4k+1)；∵f(x)在(π6,4π9)上单调∴T 2≥4π9−π6，解得T >5π9，(由单调区间得到周期范围)∴0<ω≤185，又ω=2πT=3(4k +1)， ∴ω=3，∵(5π18，0)是对称中心，∴f (5π18)=0， 即sin (3×5π18+φ)=0，又∵0<φ<π ∴φ=π6，∴f(x)=sin (3x +π6). 【点拨】① 对于函数y =Asin( ωx +φ)， 若f (a )=f(b)，则x =a+b 2是其对称轴；若f (a )=−f(b)，则(a+b 2,0)是其对称中心；② 处理三角函数f(x)=Asin( ωx +φ)，多注意其对称性，结合图象进行分析.巩固练习1(★) 函数f(x)=Asin( ωx +φ) (其中A >0,ω>0，|φ|<π2 )的图象如图，则此函数表达式为 .【答案】 f(x)=3sin(12x +π4)【解析】如图所示，A =3，T4=π，可得T =4π，2πω=4π，解得ω=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)， 因为函数过(3π2,0)，代入f(x)， 得3sin(12x +φ)=0，即12×3π2+φ=kπ，φ=kπ−3π4(k ∈z)，当k =1时，φ=π4．所以f(x)=3sin(12x +π4)，故选：B ．2(★★) 如图，函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P(1,0)，∠PQR =π4，M 为QR 的中点，PM =√342，则A 的值为 .【答案】 5√2【解析】由∠PQR =π4，所以OQ =OR ，设Q(m,0)，则R(0,－m)， 又M 为QR 的中点，所以M(m 2,−m2)； 又|PM|=√342，即√(1−m 2)2+(0+m2)2=√342； 整理得m 2－2m －15=0，解得m =5或m =－3(不合题意，舍去)； 所以R(0,－5)，Q(5,0)； 所以12T =4，解得T =8，所以2πω=8，解得ω=π4；把P(1,0)代入f(x)=Asin(π4x +φ)，即Asin(π4+φ)=0， 由|φ|≤π2，得φ=−π4；把R(0,－5)代入f(x)=Asin(π4x −π4)， 得Asin(−π4)=－5，解得A =5√2．3 (★★) 已知函数f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，点A(0,√3)，B(π3,0)，则下列说法中错误的是( )A ．直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴B ．f(x)的图象可由g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位而得到 C ．f(x)的最小正周期为πD ．f(x)在区间(−π3，π12)上单调递增 【答案】 B【解析】由函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0＜φ＜π)部分图象，点A(0,√3)，B(π3,0)， ∴2sinφ=√3，∴sinφ=√32，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(ωx +π3)．再根据五点法作图可得ω•π3+π3=π，求得ω=2，故 f(x)=2sin(2x +π3)． 令x =π12，求得f(x)=2，为最大值，故直线x =π12是f(x)图象的一条对称轴，故A 正确； 把g(x)=2sin2x 向左平移π3个单位，可得y =2sin(2x +2π3)的图象，故B 不正确； f(x)=2sin(2x +π3)的最小正周期为 2π2=π，故C 正确；在区间(−π3,π12)上，2x +π3∈(−π3,π2)，故f(x)=2sin(2x +π3)单调递增，故选：B ． 4 (★★★) 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间和对称中心坐标；(3)将f(x)的图象向左平移π6个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数y =g(x)在x ∈[0,7π6]上的最大值和最小值．【答案】 (1)f (x )=2sin (2x +π3)−1(2) 单调递增区间[kπ−5π12,kπ+π12],k ∈Z ，对称中心坐标 (kπ2−π6,−1),k ∈Z (3)最小值−2 ,最大值√3.【解析】(1)由图象可知{A +B =1−A +B =−3，可得：A =2，B =－1，又由于T2=7π12−π12，可得：T =π，所以ω=2πT =2， 由图象及五点法作图可知：2×π12+φ=π2，所以φ=π3， 所以f(x)=2sin(2x +π3)－1． (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x +π3)－1，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12],k∈Z，令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=kπ2−π6，k∈Z，所以f(x)的对称中心的坐标为(kπ2−π6,－1),k∈Z．(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+2π3)，因为0≤x≤7π6，所以2π3≤x+2π3≤11π6，所以当x+2π3=3π2，得x=5π6时，g(x)取得最小值g(5π6)=－2，当x+2π3=2π3，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=√3．5 (★★★) 如图是函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为π4，点F(0,1)是线段DM的中点．(1)求函数f(x)的解析式及[π,2π]上的单调增区间；(2)若x∈[−π12,5π12]时，函数ℎ(x)=f2(x)−af(x)+1的最小值为12,求实数a的值．【答案】(1) f(x)=2sin(x+π4),[5π4,2π]，(2) 32【解析】(1)取MN的中点为H，则DH⊥MN，因为F为DM的中点，且F在y轴上，则OF//DH且OF=12DH，则OM=OH，所以D(π4,2)，M(−π4,0)，则A=2，T=2πω=4[π4−(−π4)]=2π，所以ω=1所以f(x)=2sin(x+φ)，由f(π4)=2，解得φ=2kπ+π4,k ∈z ， 由0<φ<π2，所以φ=π4， 即f(x)=2sin(x +π4)， 令−π2+2kπ≤x +π4≤π2+2kπ,解得−3π4+2kπ≤x ≤π4+2kπ， 又x ∈[π,2π]，所以函数f(x)在[π,2π]上的单调增区间为:[5π4,2π]； (2)因为−π12≤x ≤5π12，所以π6≤x +π4≤2π3，所以12≤sin(x +π4)≤1，所以1≤f(x)≤2，令t =f(x)，则t ∈[1,2]，则g(t)=t 2－at +1=(t −a 2)2+1−a 24，①当a2≤1，即a ≤2时，g (t )min =g(1)=12，解得:a =32，②当1<a 2<2，即2<a <4时，g (t )min =g(a 2)=1−a 24=12，解得:a =±√2(舍)， ③当a 2≥2即a ≥4时，g (t )min =g(2)=12，解得a =94(舍)， 综合①②③得实数a 的值为32．【题型三】三角函数模型的简单应用一【典题1】已知函数f(x)=sin 2x −2√3sinxcosx +sin(x +π4)sin(x −π4)． (1)求f(x)的最小值并写出此时x 的取值集合； (2)若x ∈[0 ,π]，求出f(x)的单调减区间.【解析】(1)由于f (x )=sin 2x −2√3sinxcosx +sin (x +π4)sin (x −π4)=1−cos2x2−√3sin2x +√22(sinx +cosx)√22(sinx −cosx)（二倍角公式、两角和差公式） =1−cos2x 2−√3sin2x −cos2x 2 =12−(√3sin2x +cos2x) (辅助角公式)=12−2sin(2x+π6)令2x+π6=2kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ+π6，k∈Z，可得f(x)的最小值为−32，此时x的取值集合为{x|x=π6+kπ ,k∈Z}；(2)由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，可得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，所以f(x)的单调减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z，因为x∈[0 ,π]，当k=0时，减区间为[0 ,π6 ]；当k=1时，减区间为[2π3,π]．综上，x∈[0 ,π]时的单调减区间为[0 ,π6]和[2π3 ,π]．【点拨】①解析式的化简中用积化和差公式sin(x+π4)sin(x−π4)=12[cosπ2−cos2x]=−12cos2x更简洁些；②本题通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为f(x)= Asin(ωx+φ)+B或f(x)=Acos(ωx+φ)+B的形式求解函数的各性质(单调性、对称性、周期、最值等).【典题2】已知函数f(x)=4sin2(π4+x2)sinx+(cosx+sinx)(cosx−sinx)−1．(1)求f(x)的对称中心；(2)设常数ω>0，若函数y=f(ωx)在区间[−π2 ,2π3]上是增函数，求ω的取值范围；(3)若函数g(x)=12[f(2x)+af(x)−af(π2−x)−a]−1在区间[−π4 ,π2]上的最大值为2，求a的值．【解析】(1) (函数解析式转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B形式)f(x)=2[1−cos(π2+x)]⋅sinx+cos2x−sin2x−1=sinx(2+2sinx)+1−2sin2x−1=2sinx．所以对称中心(kπ ,0),k∈Z，(2)∵f(ωx)=2sinωx，由−π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，解得−π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，∴f(ωx)的增区间为[−π2ω+2kπω ,π2ω+2kπω] ,k ∈Z ， ∵f(ωx)在[−π2 ,2π3]上是增函数， ([−π2 ,2π3]是函数f(ωx)增区间的子集，而0∈[−π2 ,2π3]，故k =0) ∴当k =0时，有[−π2 ,2π3]⊆[−π2ω ,π2ω]， ∴{ω>0−π2ω≤−π2π2ω≥2π3，解得0<ω≤34， ∴ω的取值范围是(0 ,34]．(3)g(x)=2sinxcosx +a(sinx −cosx)−12a −1，(注意(sinx −cosx )2=1−sin2x ，(sinx +cosx )2=1+sin2x ) 令sinx −cosx =t ，则t =sinx −cosx =√2sin(x −π4)，∵x ∈[−π4 ,π2] ，∴x −π4∈[−π2 ,π4]，∴−√2≤t ≤1 而sin2x =1−t 2，则y =1−t 2+at −12a −1=−(t −a 2)2+a 24−12a ， (问题转化为动轴定区间最值问题，分对称轴t =a2在区间[−√2,1]左中右) ①当a2<−√2时，即a <−2√2时，y max=−(−√2−a 2)2+a 24−a 2=−√2a −a2−2，令−√2a −a 2−2=2，解得a =82√2+1(舍)． ②当−√2≤a 2≤1时，即−2√2≤a ≤2时，y max =a 24−a2，令a 24−a 2=2，解得a =−2或a =4(舍)，③当a2>1时，即a >2时，在t =1处，y max =a2−1，由a2−1=2，解得a =6，综上所述a =－2或6．【典题3】已知函数f(x)=sin 4x +cos 4x +asinxcosx(a ∈R)． (1)当a =0时，求函数y =f(x)的单调减区间；(2)设方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，求实数a 的取值范围及x 1+x 2的值； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1) f (x )=sin 4x +cos 4x +asinxcosx =(sin 2x +cos 2x )2－2sin 2x cos 2x +asinxcosx =1−12sin 22x +12asin2x ．当a =0时，f(x)=1−12sin 22x =1−1−cos4x 4=14cos4x +34， (函数化为f (x )=Acos (ωx +φ)+B ) 由2kπ≤4x ≤π+2kπ，得kπ2≤x ≤π4+kπ2，k ∈Z ．∴当a =0时，函数y =f(x)的单调减区间为[kπ2 ,kπ2+π4]，k ∈Z ； (2) (将问题逐步等价转化，化成“最简问题”)方程f (x )−asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2，即1−12sin 22x +12asin2x −asin2x −1=0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 也就是sin 22x +asin2x =0在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， 当x ∈(0 ,π2)时，sin2x ≠0，即a =−sin2x 在(0 ,π2)内有两个相异的实数根x 1、x 2， (数形结合，y =a 与y =−sin2x 在(0 ,π2)内相交于两点) 易得y =−sin2x 在(0 ,π2)内的值域是(−1,0)， 即－1<a <0，此时x 1+x 2=π2； (3)若对任意实数x ，f(x)≥0恒成立， 则1−12sin 22x +12asin2x ≥0恒成立，即sin 22x −asin2x −2≤0恒成立，(换元法化为二次函数恒成立问题) 令t =sin2x(−1≤t ≤1)，则t 2−at −2≤0恒成立．可得{(−1)2+a −2≤012−a −2≤0，即−1≤a ≤1．∴实数a 的取值范围是[−1 ,1]．巩固练习1(★★) 已知函数f (x )=√3sinxcosx −sin 2x ． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调增区间；(3)求函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值．【答案】(1) π (2) [−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z ) (3) 12【解析】f(x)=√3sinxcosx －sin 2x =√32sin2x −1−cos2x2=√32sin2x +12cos2x −12 =sin(2x +π6)−12， (1)最小正周期T =2π2=π； (2)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，则−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 故单调增区间为：[−π3+kπ ,π6+kπ]，(k ∈Z)，(3)当x ∈[0 ,π2]时，2x +π6∈[π6 ,7π6]，则f(x)=sin(2x +π6)−12∈[－1 ,12]， 所以函数f(x)在区间[0 ,π2]上的最大值为12．2(★★) 已知函数f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π． (1)求f(x)图象的对称轴方程；(2)将f(x)图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)，求函数g(x)在[0 ,π2]上的值域． 【答案】 (1)x =kπ2+π4(k ∈Z)．(2)[−√32−12 ,12]． 【解析】(1)f(x)=sin(π−ωx)cosωx −cos 2(ωx +π4)=sin(2ωx)2−1−sin2ωx 2=sinωx −12， 由于函数的最小正周期为π，故ω=2，所以f(x)=sin2x −12；令2x =kπ+π2，整理得x =kπ2+π4(k ∈Z)， 故函数的对称轴方程为x =kπ2+π4(k ∈Z)． (2)由于g(x)=sin(2x −π3)−12， 由于x ∈[0,π2]，所以2x −π3∈[−π3,2π3]， 故g(x)∈[−√32−12,12]．3(★★★) 已知函数f(x)=12cos2x +sinxcosx ，其中x ∈R ． (1)求使f(x)≥12的x 的取值范围； (2)若函数g(x)=√22sin(2x +3π4)，且对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f (x 1)－f (x 2)<g (x 1)−g(x 2)成立，求实数t 的最大值．【答案】 (1) [kπ ,kπ+π4]，k ∈Z (2)π4【解析】(1)f(x)=12cos2x +sinxcosx =12cos2x +12sin2x =√22sin(2x +π4)，f(x)≥12，即sin(2x +π4)≥√22， 所以2kπ+π4≤2x +π4≤2kπ+3π4，k ∈Z ，解得kπ≤x ≤kπ+π4，k ∈Z ， 即使f(x)≥12的x 的取值范围是[kπ ,kπ+π4]，k ∈Z ． (2)令F(x)=f(x)－g(x)=√22sin (2x +π4)−√22sin (2x +3π4) =√22sin(2x +π4)−√22cos(2x +π4)=sin2x ，因为对任意的0≤x 1<x 2≤t ，恒有f(x 1)－f(x 2)<g(x 1 )－g(x 2)成立， 所以当x ∈[0 ,t]时，F(x)=sin2x 为增函数，所以2t ≤π2，解得t ≤π4， 所以实数t 的最大值为π4．4(★★★★) 已知函数f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1(ω>0，−π2<φ<π2 )，函数f(x)的图象经过点(−π12,1)且f(x)的最小正周期为π2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数y =f(x)图象上所有的点向下平移1个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2√33倍，得到函数y =ℎ(x)图象，令函数g(x)=ℎ(x)+1，区间[a ,b](a ,b ∈R 且a <b )满足：y =g(x)在[a ,b]上至少有30个零点，在所有满足上述条件的[a ,b]中，求b −a 的最小值． (3)若m[1+√3(f(x 8−π12)－1)]+12+32cosx ≤0对任意x ∈[0 ,2π]恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】 (1) f(x)=√3sin(4x +π3)+1 (2) 43π3(3) (−∞ ,−2]【解析】(1)∵f(x)=√3sin(2ωx +φ)+1， 又函数f(x)的最小正周期为π2，∴2π2ω=π2，∴ω=2． ∴f(x)=√3sin(4x +φ)+1．又函数f(x)经过点(−π12 ,1)，所以f(−π12)=√3sin(−π3+φ)+1=1， 于是 (4×(−π12)+φ)=kπ ,k ∈Z 因为−π2<ϕ<π2，所以ϕ=π3． 故f(x)=√3sin(4x +π3)+1．(2)由题意，ℎ(x)=2sin(2x +π3)g(x)=2sin(2x +π3)+1． 令g(x)=0得：sin(2x +π3)=−12， ∴2x +π3=2kπ+7π6或2x +π3=2kπ+11π6，k ∈Z 解得：x =kπ+5π12或x =kπ+3π4 ,k ∈Z ∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3．若b －a 最小，则a ,b 均为g(x)的零点，此时在区间[a ,π+a] ,[a ,2π+a] ,… ,[a ,mπ+a](m ∈N ∗)分别恰有3，5，…，2m +1个零点． ∴在区间[a ,14π+a]恰有2×14+1=29个零点． ∴(14π+a ,b]至少有一个零点．∴b −(14π+a)≥π3，即b −a ≥14π+π3=43π3．检验可知，在[5π12 ,5π12+43π4]恰有30个零点，满足题意(可有可无) ∴b －a 的最小值为43π3．(3)由题意得m(3sin x2+1)≤3sin2x2−2．∵x∈[0 ,2π]，∴x2∈[0 ,π]，∴sin x2∈[0 ,1] ,m≤3sin2x2−2 3sin x2+1．设t=3sin x2+1，t∈[1 ,4]．则sin x2=t−13．设y=3sin2x2−2 3sin x2+1．则y=3⋅19(t−1)2−2t=t2−2t−53t=13(t−5t−2)在t∈[1 ,4]上是增函数．∴当t=1时，y min=－2，∴m≤－2．故实数m的取值范围是(－∞ ,－2]．【题型四】三角函数模型的简单应用二【典题1】如图，一个水轮的半径为6m，水轮轴心O距离水面的高度为3m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时，记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数，则下列结论正确的是()A．f(3)=9B．f(1)=f(7)C．若f(t)≥6，则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D．不论t为何值，f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值【解析】方法一几何法图中PB⊥水面，OA⊥PB，(由图f(t)=PA=PA+3，则需了解PA与t的关系，从几何角度求解)∵每分钟转动5圈∴OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6，(角速度)则t秒转过的角度π6t，即∠P0OP=π6t如上图依题意可知∠P0OA=π6，即α=π6t−π6在Rt∆POA中，PA=OPsinα=6sin (π6t−π6)∴f(t)=PB=PA+AB=6sin(π6t−π6)+3对于A，f(3)=6sin(π6×3−π6)+3=3√3+3，即A错误；对于B，f(1)=6sin(π6×1−π6)+3=3，f(7)=6sin(π6×7−π6)+3=3，即B正确；(或确定x=1+72=4是函数对称轴也行)对于C，因为f(t)≥6，所以6sin(π6t−π6)+3≥6，即sin(π6t−π6)≥12，所以π6t−π6∈[π6+2kπ,5π6+2kπ]，解得t∈[2+12k,6+12k],k∈N，即C错误；对于D，f(t)+f(t+4)+f(t+8)=6sin(π6t−π6)+3+6sin[π6(t+4)−π6]+3+6sin[π6(t+8)−π6]+3=6sin(π6t−π6)+6sin(π6t+π2)+6sin(π6t+7π6)+9=6[sin(π6t−π6)+cosπ6t−sin(π6t+π6)]+9因为sin(π6t−π6)+cosπ6t－sin(π6t+π6)=0，所以f(t)+f(t+4)+f(t+8)=9，即D正确．故选：BD．方法二待定系数法可知f(x)符合三角函数模型，设f(t)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)，依题意可知f(t)的最大值为9，最小为−3，∴A+B=9，且−A+B=−3，可得A=6，B=3；∵每分钟转动5圈，∴1圈要12秒，即T=12s，则ω=2πT =π6，得f(t)=6sin(π6t+φ)+3，(也可由OP每秒钟内所转过的角度为5×2π60=π6得ω=π6)依题意可知f(0)=0，得sinφ=−12，取φ=−π6，(得到φ的一个值便可)故所求的函数解析式为f(t)=6sin(π6t −π6)+3， 接下来如同方法一. 【点拨】① 方法一利用几何性质求出f(t)(即图中的PB )与t 之间的关系；② 方法二是根据题意确定符合三角函数模型，则用待定系数法设函数f(t)=Asin(ωx +φ)+B ，根据题意由最大值和最小值求出A,B 的值，根据周期性由T =2πω求出ω，注意一个特殊情况代入一个点求出φ.【典题2】 某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点(异于B,C )，点H 在线段AB 上，且满足CH ⊥AB ．已知∠ACB =90°，AB =1dm ，设∠ABC =θ．(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC =∠PCB ，且CA +CP 达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA =60°，且CH +CP 达到最大．当θ为何值时，CH +CP 取得最大值，并求该最大值．【解析】依题意∠ABC =∠PCB =θ， 则在直角△ABC 中，AC =sinθ,BC =cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ∙cosθ=cos 2θ，PB =BC ∙sinθ=sinθcosθ； (用变量θ表示CA +CP ，利用函数最值方法求解) (1)AC +CP =sinθ+cos 2θ=sinθ+1−sin 2θ =−sin 2θ+sinθ+1，θ∈(0,π2)，所以当sinθ=12，即θ=π6，AC +CP 的最大值为54；(2)在直角△ABC 中，由S △ABC =12CA ⋅CB =12AB ⋅CH ，(等积法)可得CH =sinθ⋅cosθ1=sinθ⋅cosθ；在直角△PBC 中，PC =BC ⋅sin (π3−θ)=cosθ⋅(sin π3cosθ−cos π3sinθ)=√32cos 2θ−12cosθsinθ，所以CH +CP =√32cos 2θ+12cosθsinθ =14sin2θ+√34cos2θ+√34=12sin(2θ+π3)+√34，θ∈(0,π2)，(函数化为f (x )=Asin(ωx +φ)+B 求最值) 所以当θ=π12，CH +CP 达到最大，最大值为12+√34． 【点拨】① 利用直角三角形等几何性质用θ表示各线段长度；② 题目中体现了函数思想，在求解实际问题中，特别要注意自变量θ的取值范围.巩固练习1(★★) 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3√3,−3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y =f(t)=Rsin(ωt +φ)(t ≥0,ω＞0,|φ|<π2)．则下列叙述错误的是( ) A ．R =6,ω=π30,φ=−π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y =f(t)单调递减D ．当t =20时，|PA|=6√3【答案】C【解析】由题意，R =√27+9=6，T =60=2πω，∴ω=π30，点A(3√3,－3)代入可得－3=6sinφ，∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故A 正确；f(t)=6sin(π30t −π6)，当t ∈[35,55]时，π30t −π6∈[π,53π]，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确； 当t ∈[10,25]时，π30t −π6∈[16π,2π3]，函数y =f(t)单调递减，不正确；当t =20时，π30t −π6=π2，P 的纵坐标为6，|PA|=√27+81=6√3，D 正确，故选：C ．2(★★) 某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针(固定从一侧观察)匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度y (米)随时间t (秒)变化的关系式为 .【答案】 y =30sin(π150t −π2)+35 【解析】设y =Asin(ωt +φ)+B ，由题意可得A =30，ω=2π300=π150，B =30×2+5－30=35，(0,5)为最低点， 代入可得5=30sinφ+35，sinφ=－1， φ=−π2+2kπ，k =0时，φ=−π2， ∴y =30sin(π150t −π2)+35，故选：B ．3(★★) 如图，已知扇形AOB 的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，P 为AB ̂上一动点，问：点P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大？并求出这个最大值．【答案】当P 为AB̂中点时，矩形PQRS 的面积取到最大值√36【解析】如图，在Rt △OPS 中，设∠POS =α，则OS =cosα，PS =sinα，在Rt△ORQ中，QROR =tan60°=√3，所以OR=√33QR=√33sinα．∴RS=OS－OR=cosα−√33sinα．设矩形ABCD的面积为S，则S=(cosα−√33sinα)sinα=sinαcosα−√33sin2α=12sin2α+√36cos2α−√36=√33(√32sin2α+12cos2α)−√36=√33sin(2α+π6)−√36．由于0<α<π3，所以当2α+π6=π2，即α=π6时，S max=√33−√36=√36．因此，当α=π6时，矩形PQRS的面积最大，最大面积为√36．4(★★★) 如图，某正方形公园ABCD，在ABD区域内准备修建三角形花园BMN，满足MN与AB平行(点N在BD上)，且AB=AD=BM=2(单位：百米)．设∠ABM=θ，△BMN的面积为S(单位：百米平方)．(1)求S关于θ的函数解析式(2)求S(θ)的最大值，并求出取到最大值时θ的值．【答案】(1) S(θ)=2sinθ(cosθ−sinθ)，θ∈(0,π4)(2) S(θ)的最大值为√2−1百米平方，此时θ=π8．5(★★★) 某农场有一块扇形农田，如图所示．已知扇形OAB的圆心角为π4，半径为80米，点P在AB̂上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．现要在△OPC和△OPD区域中分别种植甲、乙两种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜单位面积年产值之比为1：√3．设∠AOP=θ，0<θ<π4．(1)用θ分别表示△OPC和△OPD的面积；(2)当θ为何值时，读农场种植甲、乙两种蔬菜的年总产值最大？【答案】(1) △OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2) 当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大.【解析】(1)直角三角形OPC中，PC=OPsinθ=80sinθ，OC=OPcosθ=80cosθ，所以△OPC的面积为12×PC×OC=3200sinθcosθ=1600sin2θ，同理△OPD的面积为1600sin2(π4−θ)=1600cos2θ．(2)设农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值为y，甲，乙两种蔬菜每平方米年产值分别为t，√3t(t＞0)，则y=1600sin2θ•t+1600cos2θ•√3t=3200tsin(2θ+π3)，∵0<θ<π4∴π3<2θ+π3<5π6．∴当2θ+π3=π2，即θ=π12时，y取得最大值．答：(1)△OPC和△OPD的面积分别为1600sin2θ平方米，1600cos2θ平方米；(2)当θ=π12时，该农场种植甲，乙两种蔬菜的年总产值量大．6(★★★★) 如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C，D为半圆上的点．(1)请你为C点确定位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；(2)已知AD=DC，设∠ABD=θ，当θ为何值时，①四边形ABCD的周长最大，最大值是多少？②四边形ABCD的面积最大，最大值是多少？【答案】(1) 2√2+2,此时点C是半圆的中点(2)① θ=π6时，最大值是5．② θ=π6时，最大值是3√34.【解析】(Ⅰ)点C在半圆中点位置时，△ABC周长最大；理由如下：因为点C在半圆上，且AB是圆的直径，所以∠ACB=π2，即△ABC是直角三角形；设BC=a，AC=b，AB=c，显然a，b，c均为正数，则a2+b2=c2；因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2，所以a+b≤√2(a2+b2)=√2c，所以△ABC周长为L=a+b+c≤(√2+1)c=2√2+2，当且仅当a=b时等号成立；即△ABC为等腰直角三角形时，周长取得最大值为2√2+2；此时点C是半圆的中点．(Ⅰ)(Ⅰ)因为AD=DC，所以∠ABD=∠DBC=θ；所以AD=DC=AB•sinθ，CB=AB•cos2θ；设四边形ABCD的周长为p，则p=AD+DC+CB+AB=2ABsinθ+ABcos2θ+2=4sinθ+2(1−2sin2θ)+2=5−4(sinθ−12)2；显然θ∈(0,π4)，所以当θ=π6时，p取得最大值5．(Ⅰ)过O作OE⊥BC于E，设四边形ABCD的面积为s，四边形AOCD的面积为s1，△BOC的面积为s2，则s=s1+s2=12AC⋅OD+12BC⋅OE=12ABsin2θ⋅1+12ABcos2θ⋅sin2θ=sin2θ+cos2θ•sin2θ=sin2θ(1+cos2θ)；所以s2=sin22θ(1+cos2θ)2=(1－cos22θ)(1+cos2θ)2=(1－cos2θ)(1+cos2θ)3=33(1−cos2θ)(1+cos2θ)3≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2]2(1+cos2θ)2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2(1+cos2θ)]2≤13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)2+(1+cos2θ)2]2×2=13[3(1−cos2θ)+(1+cos2θ)+2(1+cos2θ)4]4=13(32)4=2716．当且仅当3(1－cos2θ)=1+cos2θ，即cos2θ=12时，等号成立；显然θ∈(0,π4)，所以2θ∈(0,π2)，所以此时θ=π6；所以当θ=π6时，s=3√34，即四边形ABCD的最大面积是3√34．。
专题60 高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换(解析版)
专题60 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响4．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)：(1)A 越大，函数的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数y ＝A sin ωx 的图象向左平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，φ小于0时，函数y ＝A sin ωx 的图象向右平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，即“加左减右”．5．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤6．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象， 其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． 题型一 用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象1．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，2，⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫712π，－2，⎝⎛⎭⎫5π6，0，则ω＝________.[解析]因为周期T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2. 2．用“五点法”作出函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的简图． [解析]函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的周期T ＝2π13＝6π，先用“五点法”作它在长度为一个周期上的图象． 列表如下：利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展，从而得到函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3的简图(图略)．3．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)求f (x )的最大值和此时相应的x 的值．[解析] (1)列表：x 2＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －2π3π3 4π3 7π3 10π3 f (x )2－2作图：(2)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2，得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z. (3)当x 2＋π3＝π2＋2k π，即x ＝π3＋4k π(k ∈Z)时，f (x )max ＝2.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )[解析]当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0，排除B ，D.当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin0＝0，排除C ，故选A. 5．函数y ＝2sin πx －11－x(－2≤x ≤4)的所有零点之和为________． [解析]函数y ＝2sin πx －11－x (－2≤x ≤4)的零点即方程2sin πx ＝11－x的根， 作函数y ＝2sin πx 与y ＝11－x的图象如下：由图可知共有8个公共点所以原函数有8个零点．y ＝2sin πx －11－x ＝2sin π(1－x )－11－x ，令t ＝1－x ，则y ＝2sin πt －1t ，t ∈[－3,3]，该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.题型二 三角函数图象之间的变换1．已知函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54，该函数的图象可由y ＝sin x ，x ∈R 的图象经过怎样的变换得到？ [解析]解法一：步骤：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象； ②把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象；③把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin(2x ＋π6)的图象；④再把得到的函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 解法二：步骤：①把函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，而纵坐标不变，得到函数y ＝sin2x 的图象；②把函数y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； ③把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点的纵坐标缩短到原来的12，而横坐标不变，可以得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象； ④再把得到的函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向上平移54个单位长度，就能得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54的图象． 2．将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin(2x ＋π4)＋1的图象？[解析]法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位，得y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象； ④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． 法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象． 3．有下列四种变换方式：①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度；④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)．其中能将正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和③D ．②和④[解析] ①向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则正弦函数 y ＝sin x 的图象变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；②横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象；③横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象；④向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，正弦函数 y ＝sin x 的图象变为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8的图象，因此①和②符合题意，故选 A.4．把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin x －π3B ．y ＝sin x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 [解析]根据图象变换的方法，y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． 5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，可得到函数图象是( ) A ．y ＝sin2x B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3[解析] 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6向左平移π6个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故选C. 6．将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝1＋cos2xC ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos2x －1[解析]将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x .[答案] B7．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．[解析]函数y ＝cos x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .所以ω＝12.8．把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R [解析]把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．[答案] C 9．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20 [解析] 函数y ＝sin x 的图象上的点向右平移π10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10的图象，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10.[答案] C 10．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( ) A ．奇函数 B.偶函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数． 11．将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．[解析]y ＝－2cos 2x －3 [y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3 ＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ，再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．12．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．[解析]y ＝3sin x ―――――→向左平移π3个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3， y ＝3sin x ――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ――――――――→向左平移2π3个单位y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3.] 13．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍(纵坐标不变)，则所得的函数解析式是________．[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8 [y ＝sin3x ＋π4――――――――――→向右平移π8个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －π8 ―――――――――――――――→各点的横坐标扩大到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8，故所得的函数解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π8. 14．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y ＝sin x ，则( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π3[解析]将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得解析式为y ＝sin2x 的图象，再向右平移π6个单位长度，得解析式为y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以ω＝2，φ＝－π3.故选B.15．要得到函数y ＝sin 12x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向右平移________个单位． [解析]由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2，故要得到y ＝sin 12x 的图象，只要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的图象向右平移π2个单位． 16．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位[解析] 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可，故选B. 17．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位[解析]因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， 所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象． 18．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)[解析]先将y ＝2sin x ，x ∈R 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈R 的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象．[答案] C 19．为了得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，x ∈R 的图象，只需将函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[解析]函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象．20．把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3cos x B ．f (x )＝3sin x C ．f (x )＝3cos x ＋3D ．f (x )＝sin 3x[解析]y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x ． 21．为了得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5(x ∈R)的图象，只需把函数y ＝3sin(x ＋π5)(x ∈R)的图象上所有的点的( ) A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变[解析]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5， 故选B.22．要得到函数 y ＝3sin 2x 的图象，可将函数 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象( ) A ．沿 x 轴向左平移π8个单位长度 B ．沿 x 轴向右平移π8个单位长度C ．沿 x 轴向左平移π4个单位长度D ．沿 x 轴向右平移π4个单位长度[解析]由于函数 y ＝3sin 2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 所以将函数 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象沿 x 轴向右平移π8个单位长度，即可得到函数 y ＝3sin 2x 的图象．23．把函数 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象适当变换就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变换可以是( ) A ．向右平移π4个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度[解析]因为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 所以将 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12的图象向左平移π12个单位长度能得到 y ＝sin (－3x )的图象． 24．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的相邻两个零点的距离为π2，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos ωx 的图象( )A ．向右平移π12个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位[解析]由已知得2πω＝2×π2，故ω＝2.y ＝cos 2x 向右平移π12个单位可得y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 25．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ＞0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．[解析]函数y ＝s i n 2x 的图象向右平移后得到y ＝s i n [2(x －φ)]的图象，而x ＝π6是对称轴，即2⎝⎛⎭⎫π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝－k π2－π12(k ∈Z)．又φ＞0当k ＝－1时，φ取得最小值5π12. 26．为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的图象，可以将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[解析]y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x 2－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2，故选A. 27．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. [解析] y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象即为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，f ⎝⎛⎭⎫π6＝22.28．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 [解析]将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3，所得图象与原图象重合， 所以cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，则－π3ω＝2k π(k ∈Z)，得ω＝－6k (k ∈Z)．又因为ω>0，所以ω的最小值为6，故选C.29．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12[解析]解法一：逐项代入检验，对B 选项，f (x )＝sin(6x ＋φ)图象向左平移π2个单位得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤6⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin(6x ＋φ＋π)＝－sin(6x ＋φ)的图象． 解法二：y ＝f (x )的图象向左平移π2后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2ω＋φ，其图象与原图象重合，有π2ω＝2k π，即ω＝4k ，k ∈Z ，故选B. 30．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．[解析]y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6的图象向右平移π3个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＋5π6，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6－ωπ3，故5π6－ωπ3＋2k π＝π4(k ∈Z)，即ωπ3＝7π12＋2k π，解得ω＝74＋6k (k ∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为74. 31．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．[解析]函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω＞0)， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z )，解得ω＝2k (k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 32．为得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移 m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π3[解析]由题意可知，m ＝π3＋2k 1π，k 1为非负整数，n ＝－π3＋2k 2π，k 2为正整数，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪2π3＋2(k 1－k 2)π，∴当k 1＝k 2时，|m －n |min ＝2π3. 33．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)利用“五点法”画出函数f (x )在一个周期⎣⎡⎦⎤π2，9π2上的简图．(2)先把f (x )的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f 1(x )的图象；然后把f 1(x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f 2(x )的图象；再把f 2(x )的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式．[解析] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．(2)将f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f 1(x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4＝3sin 12x 的图象． 把 f 1(x )＝3sin 12x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f 2(x )＝3sin 14x 的图象，把f 2(x )＝3sin 14x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍(横坐标不变)得到g (x )＝sin 14x 的图象．所以g (x )的解析式g (x )＝sin 14x .34．已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，其图象向左平移π6个单位长度后，关于y 轴对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)说明其图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的．[解析] (1)将函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)图象上的所有点向左平移π6个单位长度后，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ. 因为图象平移后关于y 轴对称，所以2×0＋π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)将函数y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 35．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值． [解析]将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后， 所得图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2. 因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.36．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．[解析] (1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0＜ω≤34.所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，34. (2)由f (x )＝2sin 2x 可得，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
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函数y=Asin(ωx+φ) 的图象基础训练
一、选择题
1．（1990年全国高考题）已知右图是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|<2的图象，那么（ ）
A. ω=1110 φ=6 B.ω=1011 φ=-6
C. ω=2 φ=6 D. ω=2 φ=-6
2．（2000年全国高考题）函数y=-xcosx的部分图像是（ ）
A B C D
3．（1992年高考题）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A.y=sin2x B.y=cos2x C .sin2x+cos2x D. y=xx22tan1tan1
4.(1991年全国高考题)函数y=sin(2x+25)的图像的一条对轴方程是（ ）
A． x=-2 B. x=-4 C .x=8 D.x=45
5.（1991年湖南、海南、云南高考题）满足sin(x-4)≥21的x的集合是（ ）
A．Zkkxkx,121321252|
B．Zkkxkx,1272122|
C．Zkkxkx,65262|
D．Zkkxkx,622|∪Zkkxkx,)1(2652|
1
12
11
6．要得到函数y=cos(42x)的图象，只需将y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移2个单位 B.同右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D.向右平移4个单位
7．若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个
图象沿x轴向左平移2个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y=21sinx的图象则y=f(x)
是（ ）
A．y=1)22sin(21x B.y=1)22sin(21x
C.y=1)42sin(21x D. 1)42sin(21x
二填空题
8．把函数y=cos(x+34)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y对称，则φ的最
小正值为
9．)32sin(3xy的振幅为 初相为
三解答题
10． 已知曲线上最高点为（2，2），由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一
点（6，0），求函数解析式，并求函数取最小值x的值及单调区间
11． 画出y=|cos|21cos21xx图象的示意图
12． 试判断方程sinx=100x实数解的个数
函数y=Asin(ωx+φ) 的图象基础训练
参考答案：
1-7CDDAAAB (8).3 (9) 3 32
(10) T=2×8=16=2,=8,A=2
设曲线与x轴交点中离原点较近的一个点的横坐标是0x,则2-0x=6-2即0x=-2
∴=–0x=428，y=2sin(48x)
当48x=2kл+2,即x=16k+2时，y最大=2
当48x=2kл+23,即x=16k+10时，y最小=–2
由图可知：增区间为[16k-6,16k+2],减区间为[16k+2,16k+10](k∈Z)
(11).y= 0,cosx ]232,22[]22,22[kkxkkx(k∈Z)
(12)方程sinx=100x实数解的个数等于函数y=sinx与y=100x的图象交点个数
∵|sinx|≤1∴|100x|≤1, |x|≤100л
当x≥0时，
如图：
此时两线共有100个交点，因y=sinx与y=100x都是
奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点
100л