椭圆基本知识点总结
椭圆知识点
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之与等于常数
)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两
焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意：假设2121F F PF PF =+，那么动点P 的轨迹为线段21F F ； 假设2121F F PF PF <+，那么动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质
椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122
22=+b
x a y )0(>>b a 的简单几何性质
标准方程
122
22=+b y a x )0(>>b a 122
22=+b
x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F
),0(1c F -，),0(2c F
焦距 c F F 221= c F F 221= 范围
a x ≤，
b y ≤
b x ≤，a y ≤
对称性 关于x 轴、y 轴与原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ±
),0(a ±，)0,(b ±
轴长
长轴长=a 2，短轴长=b 2
离心率
)10(<<=
e a
c
e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；
(p 是椭圆上一点)
1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 2
22c b a +=
2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a
b 2
2
3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。
4.焦点三角形的面积2
tan 2
21
θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ
5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：
①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22
22a
y b x +=1)0(>>b a
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠
n )．
(3)找关系，根据条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 椭圆的位置关系:
2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，22
22b
y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系
设直线方程y ＝kx ＋m ，假设直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．
(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式：
假设直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （那么弦长
221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=
9.点差法：
就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线与圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。 步骤:①设直线与圆锥曲线交点为 ， ，其中点坐标为 ，那么得到关系式
②把
，
分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式
对结果进展因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m ③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程
为
.
(完整版)椭圆基本知识点总结
椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质 标准方程 12 2 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ± 轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2 离心率 )10(<<= e a c e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)
1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。 4.焦点三角形的面积2 tan 2 21θ b S F PF =?，其中21PF F ∠=θ 5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤． (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程： ①依据上述判断设方程为22 22b y a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，22 22b y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系 设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． (1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式： 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长 221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k -++= 9.点差法： 就是在求解圆锥曲线题目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。 步骤:①设直线和圆锥曲线交点为 ， ，其中点坐标为 ，则得到关系式 ， ．. ②把 ， 分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进 行因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m ③利用 求出直线斜率,代入点斜式得直线方程为 .
数学椭圆涉及知识点总结
数学椭圆涉及知识点总结 一、椭圆的定义 1.1、直角坐标系下的定义 在直角坐标系中，椭圆的定义如下：给定两个固定点F1和F2（称为焦点）以及一个正实 数a，且a>0。椭圆是到两个焦点的距离之和等于常数2a的点的集合，即对于任意点 P(x,y)，PF1+PF2=2a。 1.2、参数方程的定义 椭圆也可以用参数方程来表示。假设椭圆的焦点在原点，半长轴为a，半短轴为b （a>b>0）。椭圆上的点可以表示为(x,y)=(a*cosθ, b*sinθ)，其中θ是参数。 1.3、其他等价定义 除了以上直角坐标系和参数方程的定义之外，椭圆还有许多其他等价的定义，例如：轴对称、封闭曲线等等。 二、椭圆的性质 2.1、焦点、顶点和长轴、短轴 椭圆有两个焦点和两条主轴。焦点是椭圆上的两个固定点，两个焦点之间的距离等于2a。椭圆的两个主轴分别是椭圆的长轴和短轴，其长度分别为2a和2b。 2.2、离心率 椭圆的离心率e是一个表示椭圆形状的重要参数，它是焦距与长轴的比值，即e=c/a，其 中c是焦点到原点的距离。离心率是一个小于1的实数，并且与椭圆的形状密切相关。 2.3、焦点、半焦距和半通径 椭圆的焦点F1和F2之间的距离是2c，称为焦距。椭圆的半焦距用c表示，半焦距与长 短轴关系为c=sqrt(a^2-b^2)。半通径是椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和的一半。 2.4、椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中(a>b>0)。根据标准方程，椭圆的长轴平 行于x轴，短轴平行于y轴。 2.5、对称性质 椭圆是关于x轴和y轴对称的，且有中心对称性质。 2.6、切线与法线
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结 椭圆是一种特殊的圆形，也是平面上一条固定的点（称为焦点）与该点到一个固定长度（称为焦距）的距离之和等于该点到另一个固定点（称为另一个焦点）的距离的所有点的集合。 首先，椭圆具有对称性。如果点A位于椭圆上，那么以椭圆 中心为中心的线段也必然位于椭圆上。这意味着椭圆在它的主轴（连接两个焦点的线段）上具有镜像对称性。 其次，椭圆有两个焦点。椭圆的焦点是椭圆内几何图形的重要特征，它们定义了椭圆的形状。焦点的距离越大，椭圆越拉长，而焦距的长度决定了椭圆的大小。 椭圆还有一个重要的特征是它的长轴和短轴。长轴是连接两个焦点，并通过椭圆的中心的线段，而短轴是与长轴垂直的线段，通过椭圆的中心。 椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要指标。离心率表示为e，它是焦点之间的距离与长轴长度的比值。当离心率为0时，椭圆变成圆形，当离心率接近1时，椭圆越拉长。 椭圆还有一个重要的特性是它的焦点与椭圆上任意一点之间的距离之和等于常数。这个常数称为椭圆的焦距，记为2a。根 据焦点和焦距的定义，可以得到椭圆的标准方程： (x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1
其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a是椭圆长轴的一半的长度，b 是椭圆短轴的一半的长度。 椭圆还可以通过参数方程来表示： x = a cosθ + h y = b sinθ + k 其中θ是参数，代表了椭圆上的不同点。 椭圆还有很多应用。在天文学中，行星和彗星的轨道通常是椭圆。在工程学中，椭圆经常用于描述抛物面天线的形状。此外，椭圆也在设计中使用，例如设计艺术中的画布形状或建筑物中的弧线。 总结起来，椭圆是一个有趣而重要的几何形状，具有对称性，有两个焦点，有长轴和短轴，有离心率的概念，可以通过标准方程或参数方程来描述。椭圆在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
椭圆知识点详细总结
椭圆知识点详细总结 椭圆的定义 椭圆可以由一个平面上到两个定点的距离之和等于定值的所有点构成。这两个定点称为焦点，这个定值称为椭圆的长轴长度。椭圆的中心为长轴的中点，长轴的两端点为椭圆长度最长的地方，称为顶点；长轴两端点与椭圆中心连线的长度称为椭圆的半长轴长。椭圆的长轴、短轴的长度之比称为离心率。 椭圆的性质 1. 椭圆内任意两点的距离之和等于椭圆的长轴长。 2. 椭圆内所有点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长。 3. 椭圆的对称轴是长轴和短轴所在直线。 4. 椭圆与两个焦点的连线的中垂线平分椭圆内的所有弦。 5. 椭圆的两条焦轴的交点是椭圆的中心。 6. 椭圆的长轴与短轴之间的角度变化是连续的，角度越大离心率越小。 椭圆的参数方程 通常表达一个椭圆方程的一个参数方程的形式如下： x=a*cos(t) y=b*sin(t) 其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度，t为参数，x和y分别为点在椭圆上的坐标。 椭圆的焦点和直径 椭圆上到焦点距离之和等于常数2a，常数2a叫做椭圆的长度，而2b为宽。椭圆上长度为2a，宽度为2b的直径垂直于椭圆上的长度分割直径一比一集中的两点。 椭圆的离心率 椭圆的离心率是一个与椭圆形状有关的参数。它用来描述椭圆的瘦胖程度，是长轴长度与短轴长度的比值。离心率越接近0，椭圆越接近一个圆；离心率越接近1，椭圆越接近一个长条形。 椭圆的方程
椭圆的标准方程一般形式为： (x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度。 常见的椭圆曲线 椭圆曲线是一种特殊的代数曲线，其方程为y^2 = x^3 + ax + b （模n）。椭圆曲线与椭圆 的名字相似，但它们是不同的数学概念。椭圆曲线在密码学和数论中有重要应用，例如椭 圆曲线加密算法和椭圆曲线数字签名算法。 椭圆的应用 椭圆在很多领域具有重要的应用价值。在天文学中，椭圆轨道描述了行星和卫星的运动规律；在椭圆几何中，椭圆是平面上到两个焦点的距离之和等于常数的曲线，在计算机图形 学中，椭圆是一种基本的几何图形，可以用来绘制圆形、椭圆形的图形；在电子通信领域，椭圆曲线密码学是一种重要的密码学方法，被广泛应用于数字签名、密钥交换等领域。 椭圆与其他几何图形的关系 椭圆与其他几何图形有着密切的联系。与圆的关系：圆是一个离心率等于0的椭圆。与抛 物线的关系：椭圆和抛物线是两种不同的曲线，它们的形状和性质有很大的不同。与双曲 线的关系：椭圆和双曲线都是二次曲线，但它们的形状和性质又有着显著的不同。 总结 椭圆是一种重要的几何图形，具有丰富的性质和应用。在这篇文章中，我们介绍了椭圆的 定义、性质、参数方程、焦点和直径、离心率、椭圆的方程、常见的椭圆曲线、椭圆在现 实生活中的应用以及与其他几何图形的关系。椭圆的研究不仅具有理论意义，还有着广泛 的应用价值，它在数学、天文学、计算机图形学、密码学等领域都发挥着重要的作用。希 望本文能够帮助读者更深入地理解椭圆的性质和应用。
有关椭圆的相关知识点总结
有关椭圆的相关知识点总结 椭圆的定义 椭圆是平面上一点到两个定点的距离之和等于常数的轨迹。这两个定点称为焦点，距离之 和为常数。常数可以称为椭圆的长轴长度，还可以称为半长轴的两倍。椭圆也可以由平面 上的一个固定点到一条直线上的一点的距离等于它到另一定点到同一直线上的点的距离的 轨迹，这条直线称为直径。每个椭圆都有两个轴：一个长轴和一个短轴，且两轴的长度和 常数相关。 椭圆曲线方程 椭圆曲线的通用方程是： x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 其中a和b是椭圆的两个半轴的长度。a是长半轴，b是短半轴。椭圆在x轴上有两个焦 点F1和F2，坐标分别为(-c, 0)和(c, 0)，其中c^2=a^2-b^2。 椭圆的性质 1. 根据定义，椭圆上每一点到两个焦点的距离之和是常数，也就是椭圆上的每一点到两个 焦点的距离之和是常数。 2. 椭圆的重要性质有：椭圆是中心对称的，对一个椭圆做中心对称后得到的还是一个椭圆；椭圆上所有点的轨迹都位于长轴和短轴之间。 3. 椭圆的长度是无限的，其周长C可以用积分来表示。根据椭圆的参数方程，可以得到椭圆的周长C=4aE(e)，其中E(e)是第一类椭圆积分，e是离心率。 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为： x=a*cos(t) y=b*sin(t) 其中t是参数，a和b是椭圆的长短半轴。当椭圆上的点(x, y)按照参数t变化时，便得到 了椭圆曲线。 椭圆的焦点 椭圆的焦点是椭圆上的两个特殊点，它们是椭圆的形成过程的关键，也是椭圆曲线的重要 特征点。椭圆焦点的重要性在于，它可以通过焦距和离心率来定义。焦距的一般定义是： 椭圆上一个点到两个焦点的距离之差的一半就是焦距。而离心率是椭圆形状的度量，它是
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结 1. 椭圆的定义 椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。 这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。椭圆的形状由焦点之 间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。 2. 椭圆的基本性质 - 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。 - 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。 - 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。 - 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两 个焦点的距离之和。 - 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。 3. 椭圆的方程 普通椭圆的方程为： (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的 一半。
4. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为： x = h + a * cos(t) y = k + b * sin(t) 其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。 5. 椭圆的焦点与直径 - 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。 - 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。 6. 椭圆与其他几何图形关系 - 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。 - 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。 - 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用 椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如： - 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。 - 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。 - 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。 以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
椭圆知识点总结表
椭圆知识点总结表 一、基本概念 1. 椭圆的定义 椭圆的定义是指平面上到两个固定点（焦点）的距离之和是常数，这个常数称为椭圆的长轴，而两个焦点到椭圆中心的距离之和称为短轴。椭圆中心到端点的距离称为半长轴和半 短轴。 2. 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程为：$\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1$ 其中，$(h,k)$为椭圆中心的坐标，$2a$为椭圆的长轴长度，$2b$为椭圆的短轴长度。 3. 椭圆的离心率 椭圆的离心率定义为：$e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ 离心率是一个描述椭圆形状的重要参数，它越接近于0，椭圆的形状越趋近于圆形，离心 率越接近于1，椭圆的形状越接近于长条形。 二、性质 1. 椭圆的焦点 椭圆有两个焦点，它们到椭圆上任意一点的距离之和是常数。焦点的坐标可以用椭圆的长 轴长度和离心率来确定。 2. 椭圆的直径 椭圆的长轴和短轴是椭圆的直径，长轴的两个端点称为椭圆的顶点，短轴的两个端点称为 椭圆的边缘点。 3. 椭圆的参数方程 椭圆的参数方程为：$x=h+a\cos t$，$y=k+b\sin t$ 参数$t$在$[0,2\pi]$范围内变化，当$t=0$时，$(x,y)$恰好为椭圆的右顶点，当$t=\pi$时，$(x,y)$恰好为椭圆的左顶点。 4. 椭圆的焦准线 椭圆的焦准线是椭圆上任一点到两个焦点的连线，这个连线的长度是椭圆长轴的长度。 5. 椭圆的切线
椭圆的切线与椭圆的长轴和短轴有一定的关系，具体的切线方程可以用椭圆的参数方程来 推导得到。 6. 椭圆的曲率 椭圆上的每一点都有一个曲率，曲率描述了椭圆在该点处的弯曲程度。曲率与椭圆的离心 率有关，离心率越大，椭圆的曲率越小。 7. 椭圆的对称性 椭圆具有许多对称性，包括关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于椭圆轴的对称等。 三、应用 1. 天体运动 椭圆在天体运动中有广泛的应用，例如行星的轨道就是椭圆。根据开普勒定律，行星绕太 阳运动的轨道是一个椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。 2. 工程设计 椭圆在工程设计中有许多应用，例如电子椭圆变换器就是利用椭圆的形状来实现对电子束 的聚焦和集束。 3. 通信技术 椭圆在通信技术中也有应用，例如地球上的卫星轨道可以近似看作是一个椭圆，而通信卫 星可以利用椭圆轨道来实现对地面通信信号的覆盖。 四、总结 椭圆作为平面几何中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。通过对椭圆的基本概念、 性质和应用的总结，我们可以更好地理解椭圆，从而在实际问题中更好地应用椭圆的知识。希望读者通过本文的阅读，对椭圆有一个更加全面和深入的了解，进而对椭圆的应用有更 多的思考和探索。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结 椭圆学问点总结1 学问点一椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 依据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满意集合，，且都为常数。 当即时，集合P为椭圆。 当即时，集合P为线段。 当即时，集合P为空集。 学问点二椭圆的标准方程 (1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 (2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 学问点三椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较便利，在此供应出来，作为参考： (其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。 当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。 一般式，通常也设为，应特殊留意均大于0，标准方程为。 学问点四椭圆标准方程的求法 1.定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的
方法之一,当问题是以实际问题给出时，肯定要留意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1,0)C(1,0)，求满意，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。 变式练习1.在△ABC中，点B(-6,0)、C(0,8)，且成等差数列。 (1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。 (2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2.待定系数法 首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满意的等式，求得的值，再代入所设方程，即肯定性，二定量，最终写方程。 例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。 变式练习2.求适合以下条件的椭圆的方程; (1)两个焦点分别是(-3,0)，(3,0)且经过点(5,0). (2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12. 3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。 4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结 第一篇：椭圆的定义及基本性质 一、椭圆的定义 椭圆是指平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。两点F1和F2称为椭圆的焦点，中间的线段称为椭圆的长轴，垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。 二、椭圆的基本性质 1. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。 2. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的短轴长度2b。 3. 椭圆上与长轴平行的直线称为椭圆的次中心轴，垂直于长轴的直线称为椭圆的主中心轴。 4. 椭圆的离心率e等于焦点距离除以长轴长度，即 e=√(a²-b²)/a。 5. 椭圆的面积为πab。 6. 椭圆的周长无解析式，但可以通过积分求解。 7. 椭圆对称性：关于长轴、短轴、次中心轴和主中心轴都有对称轴。 三、椭圆的求解 椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a和b 分别为半长轴和半短轴的长度。椭圆的一般方程为
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F为常数。常用的求解方法有以下几种： 1. 椭圆的标准方程变形法。通过移项、变形等方法将一般方程转化为标准方程。 2. 半坐标轴法。通过平移和旋转椭圆，使其长轴与坐标轴平行或垂直。 3. 矩阵法。通过矩阵运算，将一般方程转化为标准方程。 四、椭圆的应用 椭圆在生活和工程中有广泛的应用。例如，在太阳系中行星的运动轨迹、卫星的轨道以及天体的椭球形等都具有椭圆的特征。此外，在建筑设计中，椭圆形的建筑物也十分常见，如伦敦的温布利球场和巴黎的凯旋门等。椭圆也广泛应用于牙轮、机械手、调速器等机械制造中。
椭圆知识点总结
圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义:平面内与两定点F １,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M ＝{P| |ＰF 1｜+|PF 2｜=２a,2a ＞|F 1Ｆ2|=2c}; 这里两个定点F 1,Ｆ2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2ｃ。 (212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。 2．标准方程:2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a>ｂ＞0); 焦点F(±c,0) ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a>b>0); 焦点Ｆ（0, ±ｃ) 注意：①在两种标准方程中,总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 ｍx 2+ｎｙ2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 (1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0) 横坐标-a ≤x ≤ａ ,纵坐标-ｂ≤x ≤b (2)椭圆122 22=+b x a y (ａ＞b>0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴ｙ轴都是对称的,这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3．顶点 (1)椭圆的顶点：A 1（-a,0），A 2（ａ，0),Ｂ1(0，－b)，B 2(０,b) (2)线段A １Ａ2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ,即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10<
初中的椭圆知识点总结
初中的椭圆知识点总结 椭圆的定义： 设A，B为平面上的两个定点，F1，F2为两个定点，在平面上任取一点P，满足 AP+BP=2a，则称P为椭圆的轨迹，椭圆的轨迹方程为(x-x1)^2/a^2+(y- y1)^2/b^2=1(x1,y1)为椭圆的中心点，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，长轴上的两个定点为焦点 椭圆的性质： 1. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于常数2a。 2. 椭圆的长轴和短轴的长度之和等于椭圆的焦点之间的距离2a。 3. 椭圆上的点到两个焦点的距离之差等于常数2c。 4. 焦点到椭圆上的任意一点的两条切线的夹角相等。 5. 焦点到椭圆上的任意一点的法线与椭圆的焦点之间的连线垂直。 6. 椭圆的内切角是锐角。 椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。 椭圆的参数方程： 椭圆的参数方程为x=x1+a*cosθ，y=y1+b*sinθ，其中θ为参数，a和b为椭圆的半长轴和半短轴，(x1,y1)为椭圆的中心点。 椭圆的离心率： 椭圆的离心率e定义为焦距2c与长轴2a的比值，即e=c/a，其中c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴的一半。 椭圆的方程转换： 若椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，则经过平移和旋转可以得到一般方程为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。 椭圆与坐标轴的交点： 椭圆与x轴的交点为(-a,0)和(a,0)，与y轴的交点为(0,-b)和(0,b)。 椭圆的面积：
椭圆的面积公式为S=πab，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。 椭圆的焦点坐标： 椭圆的两个焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c为椭圆的焦距。 椭圆的直径： 椭圆的直径即为长轴，直径的两端点即为椭圆的两个顶点。 椭圆的对称轴： 椭圆的对称轴为横轴和纵轴。 椭圆的几何意义： 椭圆可以用来描述行星的轨道、悬链线、反射天线、人类耳朵的形状等。在工程领域，椭 圆的成型设备、航天器轨道、椭圆形圆柱体等也有广泛的应用。 椭圆的运动方程： 椭圆的运动方程由牛顿引力定律导出，描述了天体在引力场中的运动轨迹。 综上所述，椭圆是平面上一个点到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹，其性质、方程、参数方程、离心率、焦点坐标、面积等都有相应的公式和定理，应用范围广泛，是初中数 学中重要的概念之一。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结 （实用版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的实用范文，如学习资料、英语资料、学生作文、教学资源、求职资料、创业资料、工作范文、条据文书、合同协议、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides various types of practical sample essays, such as learning materials, English materials, student essays, teaching resources, job search materials, entrepreneurial materials, work examples, documents, contracts, agreements, other essays, etc. Please pay attention to the different formats and writing methods of the model essay! 数学椭圆知识点总结 数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。下面是本店铺整理的数学椭圆知识点总结，仅供参考希望能够帮助到大家。 数学椭圆知识点总结 椭圆基础知识梳理
椭圆高中知识点总结
椭圆 1. 椭圆的定义与性质 1.1 定义 椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。 1.2 基本性质 •F1F2的距离为2c，c > a。 •椭圆的离心率e满足e = c/a，0 < e < 1。 •长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 •椭圆的焦点到直径的距离之和等于该直径的长度。 1.3 方程 •椭圆的标准方程：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。 •椭圆的参数方程：x = a cosθ, y = b sinθ。 2. 椭圆的图形特点 2.1 图形形状 •椭圆是一个闭合曲线，没有端点。 •椭圆关于x轴和y轴对称。 2.2 焦点与准线 •椭圆的焦点F1和F2在长轴上，离心率e = c/a决定了焦点的位置。 •椭圆的准线是与长轴平行且与焦点F1F2的距离为2a的直线。 2.3 长轴与短轴 •长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。 •长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 2.4 离心率 •离心率e = c/a，离心率决定了椭圆的扁平程度。 •当e=0时，椭圆退化为一个点；当e=1时，椭圆退化为一个线段。
3. 椭圆的方程 3.1 标准方程 •椭圆的标准方程为x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。 •标准方程的参数a和b决定了椭圆的形状和大小。 3.2 参数方程 •椭圆的参数方程为x = a cosθ, y = b sinθ。 •参数θ的取值范围为[0, 2π]，通过改变θ的取值可以得到椭圆的不同部分。 3.3 圆的特殊情况 •当a=b时，椭圆退化为一个圆。 •圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。 4. 椭圆的性质 4.1 焦点与准线的性质 •椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。 •椭圆上的任意一点到准线的距离之差等于常数2a。 4.2 离心率的性质 •离心率e = c/a，离心率决定了椭圆的扁平程度。 •离心率e越接近于0，椭圆越接近于一个圆；离心率e越接近于1，椭圆越扁平。 4.3 长轴、短轴和焦距的关系 •长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 •焦距c满足c^2 = a^2 - b^2。 4.4 面积和周长 •椭圆的面积为πab。 •椭圆的周长没有解析式，需要使用数值积分等方法计算。 5. 椭圆的应用 5.1 天体运动 •行星和卫星的轨道可以近似为椭圆。 •开普勒定律描述了天体运动的规律。 5.2 光学 •椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个点上，常用于光学设备中。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结 椭圆在数学中是一个十分重要且有趣的概念，它既是几何图形的一种，也是代数方程的一种。在高中数学中，我们学习了很多关于椭圆 的知识，下面将对一些重要的椭圆知识点进行总结。 1. 椭圆的定义与特点 椭圆是平面上一点到两个给定点F1和F2的距离之和等于常数2a 的轨迹。其中F1和F2被称为椭圆的焦点，两个焦点的连线称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心。椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，长 轴和短轴的中点连线为准线。椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为两 个焦点之间的距离。 2. 椭圆的方程 椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。当椭圆的长轴和短轴与坐标轴平行时，可以根据给定的参数求解 椭圆的具体方程。 3. 椭圆的焦点坐标 对于给定的椭圆方程，可以通过求解a和b来计算焦点的坐标。由 焦点的定义可知，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于2a。可通过 使用平面几何中距离公式进行计算，得出焦点的坐标。 4. 椭圆的离心率
椭圆的离心率描述了椭圆形状的独特性质。离心率小于1的椭圆被 称为压缩椭圆，离心率等于1的椭圆是一个特殊的情况，称为圆，离 心率大于1的椭圆被称为扁椭圆。通过计算椭圆的离心率，可以判断 其形状的特性。 5. 椭圆的参数方程 除了使用标准方程表示椭圆外，还可以使用参数方程来表示椭圆。 参数方程的形式为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数，范围为[0,2π]。该参数方程描述了椭圆上每个点的坐标。 6. 椭圆的焦半径 椭圆上每个点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。通过 该等式，可以根据给定的点坐标求解焦半径。 7. 椭圆的直径与焦径 椭圆上的两个对称点与两个焦点之间的线段被称为焦径。椭圆的长 轴是通过两个焦点的直线，同时也是椭圆上的最大直径。椭圆的短轴 与长轴垂直，同时也是椭圆上的最小直径。 以上是高中数学中关于椭圆的一些重要知识点的总结。通过了解椭 圆的定义、方程、焦点坐标、离心率、参数方程以及直径与焦径等基 本概念，我们可以更好地理解和分析椭圆的性质和特点。同时，这些 知识也为我们进一步学习和应用椭圆提供了坚实的基础。希望这篇总 结对你有所帮助。
椭圆知识点总结
知识点总结 圆知识点一、椭圆及其标准方程 1、椭圆的定义：平面内与两定点Fl, F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PFl| + |PF2|=2a, 2a> |FlF2h2c)；这里两个定点Fl, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。(时为线段，无轨迹)。 2、标准方程： ①焦点在x轴上：(a>b>0)；焦点F (c, 0)②焦点在y 轴上： (a>b>0)；焦点F (0, c)注意：①在两种标准方程中，总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：或者mx2+ny2=l二、椭圆的简单几何性质： 1、范围(1)椭圆(a>b>0)横坐标-aWxWa ,纵坐标- bWxWb (2)椭圆(a>b>0)横坐标-bWxWb,纵坐标- aWxWei 2、对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3、顶点(1)椭圆的顶点：Al (-a, 0) , A2 (a, 0) , Bl (0, -b) , B2 (0, b) (2)线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e （）,是圆；e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆；e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 （2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e, （0
完整版)椭圆基本知识点总结
完整版)椭圆基本知识点总结 椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和 等于常数(即PF1+PF2=2a>F1F2)时，动点P的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若 PF1+PF2
可设mx^2+ny^2=1(m>0，n>0且m≠n)，接着根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组，最后解方程组，代入所设方程即可得到所求的椭圆标准方程。 点与椭圆的位置关系为，若点在椭圆内，则 x^2/a^2+y^2/b^21. 最后，直线与椭圆的位置关系需要根据直线的斜率和截距来判断。若直线与椭圆相交，则有两个交点；若直线与椭圆相切，则有一个交点；若直线与椭圆不相交也不相切，则没有交点。 本文介绍了在解决圆锥曲线问题时常用的两个公式：关于直线和椭圆的一元二次方程和弦长公式，以及点差法的步骤。 首先，我们可以通过联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程。根据判别式Δ的大小，可以判断直线与椭圆的交点情况：Δ＞0时，有两个交点；Δ＝0时，有一个交点；Δ＜0时，没有交点。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结 【椭圆】一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； （2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、两种标准方程可用一般形式表示： 或者 mx2+ny2=1 三、椭圆的性质（以为例） 1、对称性： 对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形； 并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。 3、顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，。 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率： ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。 ② 因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁； 反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。 ③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。 注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）： 5、椭圆的第二定义：
平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。 即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有。 ①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程： ②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程： 6、椭圆的内外部（1）点在椭圆的内部（2）点在椭圆的外部四、椭圆的两个标准方程的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程焦半径，， 五、其他结论 1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是 2、若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为 4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , ) 5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。
椭圆知识点总结及经典习题
圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1，F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|=2c}； 这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b （2）椭圆122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ） （2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率