人教版九年级上册数学课件：二次函数y=ax+bx+c图像与性质
人教版 九年级数学讲义 二次函数的图像与性质(含解析)
第5讲 二次函数的图象与性质
知识定位
讲解用时：2分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。
知识梳理
讲解用时：25分钟
二次函数的图象
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；
①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；
①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；
①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。
x … -2 23 -1 12 0 12 1 23 2 …
2yx … 4 49 1 14 0 14 1 49 4 …
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442|个单位得到的。
1 2 3 4
1 2 3 4
x y
x y
O O 1 2 1 2 ----图1 图2
向上（）或向下（）平移个单位
向上（）或向下（）平移个单位 向左（）或向右（） 平移个单位 向左（）或向右（） 平移个单位
二次函数图象与系数的关系
针对二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0）
二次函数y= ax2+bx+c的图像和性质
教学设计
课题 人教版九年级上册第二十二章 二次函数y= ax2+bx+c的图像和性质
作者及工作单位 胡兴明 浏阳市中和中学
教材分析
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本部分内容的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应使学生二次函数图象画法，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本部分内容的难点是函数图象的特征和变换和性质的理解。
学情分析
学生已学习y= ax2+bx+c的图像画法和性质研究，在二次函数的图像与性质中，学生对于a、b、c与二次函数的图像的关系是他们的难点，在教学中要侧重抛物线的对称性，加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式y = a(x–h )2 + k，判断抛物线的对称轴及顶点、借助图像分析函数的增减性的训练，特别是对于a、h、k的变化与图像的张开大小程度、对称轴、顶点坐标和最大（小）值的变化等应帮助他们理解
教学目标
1、探索发现二次函数的系数a,h，k与图像之间的关系，进一步理解二次函数的图像和性质
2、能力目标：使学生经历观察、实验、归纳、总结等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的分析归纳能力。
3、情感目标：通过利用几何画板教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
教学重点和难点
1、重点：二次函数的图像和性质
2、难点：结合图像理解二次函数图像与a,h，k的关系的过程，通过使用几何画板探究，形成规律，用于解题。
教学过程
一、组织学生复习二次函数的性质。抽同学回答，其余同学在学案上填写
活动目标：二次函数一般式的图像性质是这节课的基础，有效的复习可以为本节课打下基础。
师生共同归纳：
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1 / 11 二次函数cbxaxy2的图象和性质
要点链接
★二次函数y=ax²+bx+c可配方为：224()24bacbyaxaa，其顶点坐标为（ ， ），对称轴直线是 .
★求抛物线顶点和对称轴的方法：
（1）直接代入顶点公式24(,)24bacbaa，对称轴公式2bxa
（2）将函数y=ax²+bx+c配方成y=a（x-h）²+k的形式得到顶点坐标和对称轴.
★a、b、c与图象的关系：
1.a正负决定抛物线的 ：a＞0时， ；a＜0时， .|a|决定抛物线的开口大小：|a|越大，则 ，|a|越小，则 .
2.a、b同时决定 ：①当b=0时，对称轴是 ；②左同右异，即当a、b同号时，对称轴在 ；当a、b异号时，对称轴在 .
3.c决定抛物线与y轴 ：①当c＞0时，抛物线与y轴交点在 ；②当c＜0时，抛物线与y轴交点在 ；③当c=0时，抛物线经过 .
题型一 直接利用cbxaxy2获取图象信息
例1 下列对于二次函数xxy2的图象描述正确的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
【变式训练1】对于二次函数12842xxy下列说法正确的是（ ）
A.图象开口向下 B.顶点坐标是（-1,3）
C.当0x时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线1x 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
2 / 11 题型二 确定抛物线cbxaxy2的解析式
人教版2019年初中九年级上册数学 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学设计
- 1 - 人教版2019年初中九年级上册数学 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学设计
学生姓名： 年 级： 老 师：
上课日期： 时 间： 课 次：
22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
课 题 课
型 新授课 执笔人 周老师
审核人 倪飞 级部审核 王秀峰 讲学时间 第 周第 讲学稿
教师寄语 今日事，今日毕。不要把今天的事拖到明天。
学习目标
教学重点 cbxaxy2的顶点坐标公式
教学难点 cbxaxy2的顶点坐标公式
教学方法 导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.抛物线2231yx的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当x= 时y有最 值是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。
2. 二次函数解析式2()+yaxhk中，很容易确定抛物线的顶点坐标为
，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、围标群学：
（一）、问题：（1）你能说出函数222xxy 的图像的对称轴和顶点坐标吗？
- 2 - （2）你有办法解决问题（1）吗？
解：222xxy的顶点坐标是 ，对称轴是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为
人教版九年级数学上《二次函数的图像和性质》知识全解
《二次函数的图像和性质》知识全解
课标要求
理解二次函数的概念，会根据函数的解析式画出函数的图像，熟练掌握二次函数的图像及性质。
知识结构
知识点1：二次函数概念
一般地，形如y=ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.函数的名称反映了函数表达式与自变量的关系.
知识点2：2()yaxhk及2yaxbxc的图像及性质
（1）抛物线2()yaxhk有如下特点：
①当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
②对称轴是直线x=h；
③顶点坐标是（h，k）.
（2）抛物线2yaxbxc的对称轴和顶点.
一般地，二次函数2yaxbxc的图像叫做抛物线2yaxbxc，我们可以用配方求抛物线2yaxbxc=224()24bacbaxaa的顶点与对称轴.因此，抛物线2yaxbxc的对称轴是2bxa、顶点坐标是24(,)24bacbaa.
内容解析
在本节中，教材首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义.关于二次函数的图像和性质的讨论分为以下几部分.（1）从最简单的二次函数函数2yx出发，通过描点画出它的图像，从而引出抛物线的有关概念.（2）讲述二次函数2yax的图像的画法，并归纳出这类抛物线的特征.（3）讨论形如2yaxk和2()yaxh的函数的图像，然后讨论形如2()yaxhk的函数的图像.（4）讨论函数2yaxbxc的图像.
上述讨论过程如图26-1所示：
重点难点 本节的重点是二次函数的概念，结合具体情境体会二次函数的概念.本节的难点是二次函数图像及其性质.通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律.让学生在自主学习中，通过对多个实例的讨论分析，逐步学会独立分析问题解决问题的能力.在学习过程中要注意联系实际生活的实例，注意二次函数与生活、技术、社会的联系，特别是联系学生身边的生活、现代科技，以激发学生学习的兴趣和提高实践能力.
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计
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《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计
教材依据
人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．
设计思路
一、指导思想
新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。
二、设计理念
本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设2
计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。从而提高课堂教学的效率。
三、教材分析
本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。
四、学情分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 3
人教版九年级数学上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(教师版)
初中数学试卷
灿若寒星整理制作
22-6 y=ax2+bx+c的图象和性质 人教九上
一、学习目标 1．描点法画出y=ax²+bx+c的图像；
2．探索抛物线y=ax²+bx+c的性质．
二、知识回顾 1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 形状 相同， 位置 不同.抛物线 y=ax2向 右 平移 h 个单位，向 上 平移 k 个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.
2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：
（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
（2）对称轴是直线x=h.
（3）顶点坐标是（h,k）.
3. 填表
三、新知讲解 1．函数y=ax2+bx+c图象和性质
四、典例探究
扫一扫，有惊喜哦！
1．二次函数y=ax²+bx+c化的图象和性质
【例1】（2014秋•江都市期末）画出二次函数y=﹣x2+4x+5的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）对称轴为直线______，顶点坐标为_________，最____值是_______；
（2）与x轴、y轴的交点坐标分别为___________；
（3）当x取______时，y随x的增大而增大；当x取_______时，y随x的增大而减小；
（4）当0≤x＜3时，函数y的值为_______；
（5）当0＜y＜5时，自变量x的取值范围为_____________．
总结：
1. 二次函数y=ax2+bx+c图象的画法：
（1）“化”：化成顶点式；
（2）“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）“画”：列表、描点、连线.
2. 利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式后，可求出二次函数的顶点坐标和最值，顶点坐标是（﹣，），并在顶点处取到最值. 当a＜0时，最大值是；当a＞0时，最小值是．
3. 在二次函数y=ax2+bx+c中，
（1） 当a>0时，在对称轴x=-2ba的左侧，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；
人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
满招损，谦受益。《尚书》
怀辰学校 陈海峰组长
二次函数及其图象
二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。其图象是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；
顶点式
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图象的开口方向与函数ｙ＝ax２的图象相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；
重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图象，
可以看出，二次函数的图象是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图象
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
顶点
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
开口
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
人教版九年级上数学教案 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1 第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
一、基本目标
【知识与技能】
1．能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k的形式．
2．能正确求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标．
3．掌握利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)解决函数增减性问题的方法；会利用对称性画出二次函数的图象．
【过程与方法】
经历由y＝a(x－h)2＋k的图象与性质求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质的探究过程，渗透类比法、配方法和数形结合的思想方法．
【情感态度与价值观】
通过解决实际问题，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质．
【教学难点】
用配方法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标和对称轴．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P37～P39的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是__(h，k)__，对称轴是__x＝h__，当a__>0__时，开口向上，此时二次函数有最 __小__ 值，当x__＞h__ 时，y随x的增大而增大，当x__
2．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，即y＝__ax＋b2a2＋4ac－b24a__.因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线__x＝－b2a__，
1 顶点坐标是__－b2a，4ac－b24a__.
3．从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看出：如果a>0，当x<－b2a，y随x的增大而__减小__，当x>－b2a，y随x的增大而__增大__；如果a<0，当x<－b2a，y随x的增大而__增大__，当x>－b2a，y随x的增大而__减小__.
人教版初三数学上册二次函数y=ax2+bx+c=0的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
讷河市进化中心学校：辛春宇
教学目标：
1、使学生能利用描点法正确做出函数y＝ax2＋b的图像。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图像，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：
一、营造氛围
1．二次函数y＝2x2的图像是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图像与二次函数y＝2x2的图像开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?
(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图像，并加以比较)
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图像吗?
教学要点
1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图像。
2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图像．
3．教师写出解题过程，同学生所画图像进行比较。
解：(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
y＝x2＋1 … 19 9 3 l 3 9 19 …
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。