上海市2020年中考数学一模试卷解析版
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2020年上海市中考数学一模试卷及解析
2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2020年上海市中考数学一模试卷附答案解析
2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。
2020年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)
2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是米．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为cm．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为．（用含三角比的代数式表示）18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．2020年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP 是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，即AP2＝AB•BP，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上．【解答】解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），∴抛物线的顶点为（k，﹣k），∵k为任意实数，∴顶点在y＝﹣x直线上，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性质是解题的关键．4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．【解答】解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大．6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用对称轴的位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对②进行判断；利用自变量为﹣1对应的函数值为负数可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以③正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【分析】根据比例中项的定义得到a：b＝b：c，然后利用比例性质计算即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝4【分析】根据锐角三角函数的定义得出sin A＝＝，代入求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，SB＝10，∴BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键．10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝40，故答案为：40．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝﹣6．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵为单位向量，与的方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是50米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】解：∵坡度为i＝1：，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．∵x2+（x）2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．【分析】由正方形ABCD中四个内角为直角，四条边相等，求出BC与DC的长，利用勾股定理求出BD的长，由旋转的性质可求BE的长，即可求解．【解答】解；如图，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△BCD中，DC＝BC＝2，根据勾股定理得：BD＝＝＝2，∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，∴tan∠BAE＝＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S＝AC•BC＝AB•r，△ABC∴r＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式y＝﹣x2+1．【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为2或4cm．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°．（用含三角比的代数式表示）【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形即可得解【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE 的长为1．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．【分析】根据二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），可以求得该函数的解析式，然后令y＝0，求出相应的x的值，即可得到点C和点D的坐标，从而可以求得△BCD的面积．【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把B（0，3）代入得3＝a（0﹣1）2+4解得：a＝﹣1，令y＝0，那么﹣（x﹣1）2+4＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（3，0），∴CD＝4，∵点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，∴△BCD的面积是：＝6．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝﹣；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，于是得到结论；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，∴（千米），答：台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时25千米；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，∴∠SHZ＝90°，∵∠NZD＝30°，∠CZN＝7°，∴∠CZD＝∠CZN+∠NZD＝7°+30°＝37°，在Rt△SHZ中，sin∠CZD＝．∵∠CZD＝37°，SZ＝250千米，∴SH＝SZ•sin∠CZD＝250×sin37°≈250×0.60≈150（千米），∵150千米＜170千米，∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响到F处影响结束．即SE＝SF＝170（千米）．∵在Rt△SEH中，∠SHE＝90°，SE2＝SH2+HE2，∴，∴EF＝2EH≈160（千米），∴上海遭受这次台风影响的时间为（小时），答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．【分析】（1）由已知得出，证明Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD＝∠OCD，证出∠OEB＝90°，即可得出结论；（2）证明△ADB∽△AEC，得出，即，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，∴△ADB∽△AEC，∴，即，在△DAE和△BAC中∵∠DAE＝∠BAC，．∴△DAE∽△BAC，∵AF是∠BAC的平分线，∴，即AF•DE＝AG•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E坐标时需注意可在x轴的正半轴，也可在负半轴．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH＝AD，那么AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，即CG＝2，点G为△ABC的重心，∴，∴AB＝2CF＝6，∴，∴；综上所述，AD＝1或．【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．。
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷(完美解析版)
2020年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 符号sinA表示（）A. ∠A的正弦B. ∠A的余弦C. ∠A的正切D. ∠A的余切【答案]A【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【详解】符号sinA表示∠A的正弦．故选：A【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在RtABC中，∠C=90°.(1) 正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.(2) 余弦：锐角A的邻边忙亏斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA.(3) 正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.(4) 三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2. 如果2a =-3b ，那么ab=（）2 3B. -32C. 5D. —1A. -【答案]B【详解】此题应该有一个前提条件是A、 B均不为0,即使有这个条件，当2a =-3b 时，所以此题选B3. 二次函数y = 1- 2x2的图像的开口方向（）A. 向左B. 向右C. 向上D. 向下【答案]D【分析】分析题目，本题可以根据二次函数的性质来解答；由抛物线解析式可知，二次项系数a=-2<0, 可知抛物线开口向下4. 直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A. 俯角 67°方向B. 俯角 23°方向C. 仰角 67°方向D. 仰角 23°方向【答案】D.【解析】∠B == 90°，∠BCA == 67°，得∠BAG==23°从低处A处看高处C处，点C在点A的仰角23°方向故选：D.【点睛］此题考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上春的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角5. 已知 a⃗，b⃗⃗为非零向量，如 b⃗⃗=-5a⃗，那么向量 a⃗与b⃗⃗的方向关系是（）A. a⃗ // b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向一致B. a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反C. a⃗和b⃗⃗方向互相垂直D. a⃗和b⃗⃗之间夹角的正切值为 5【答案】B【解析】由 b⃗⃗=-5a⃗，-5<0，得 b⃗⃗//-5a⃗且方向相反，所以a⃗// b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反故选：B6. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，如果AB=2，那么此莱洛三角形（即阴影部分）的面积（）A. π + √3B. π -√3C. 2π -2√D. 2π-√【答案】D【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，。
2020学年上海市浦东新区中考一模数学及答案解析
2020年上海市浦东新区中考一模数学一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A 的余切值( ) A.扩大为原来的两倍B.缩小为原来的12C.不变D.不能确定解析：因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角A 的大小没改变，所以锐角A 的余切值也不变. 答案：C2.下列函数中，二次函数是( ) A.y=﹣4x+5 B.y=x(2x ﹣3)C.y=(x+4)2﹣x 2D.21y x = 解析：A 、y=﹣4x+5为一次函数；B 、y=x(2x ﹣3)=2x 2﹣3x 为二次函数；C 、y=(x+4)2﹣x 2=8x+16为一次函数；D 、21y x =不是二次函数. 答案：B3.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是( )A.sinA=57B.cosA=57C.tanA=57D.cotA=57解析：12AC ===， A 、5sin 7BC A AB ==.故本选项正确； B 、7cos 12AC A AB ==，故本选项错误； C 、5tan 12BC A AC ==，故本选项错误； D 、12cot 5AC A BC ==，故本选项错误.答案：A4.已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能判定向量a 与向量b 平行的是( )A.a c b c ，B.=3a bC.==2a c b c ，D.0a b +=解析：A 、由a c b c ，推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则a b ，故本选项错误； B 、由=3a b|不能确定非零向量a b 、的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确. C 、由==2a c b c ，推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则a b ，故本选项错误； D 、由0a b +=推知非零向量a 、b 的方向相同，则a b ，故本选项错误.答案：B5.如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象全部在x 轴的下方，那么下列判断中正确的是( ) A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，c ＞0 D.a ＜0，c ＜0解析：∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象全部在x 轴的下方，∴a ＜0，2404ac b a -＜，∴a ＜0，c ＜0.答案：D6.如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ，要使得EF ∥CD ，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A.EF ADCDAB ＝B.AE ADACAB ＝ C.AF ADADAB ＝ D.AF AD AD DB ＝解析：∵DE ∥BC ，∴AE ADACAB ＝， ∴当AF AD ADAB ＝时，AE AFAC AD ＝， ∴EF ∥CD ，故C 选项符合题意；而A ，B ，D 选项不能得出EF ∥CD. 答案：C二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7.已知32x y =，则x y x y -+ =_____.解析：设x=3a 时，y=2a ，则3213255x y a a a x y a a a --=++＝＝. 答案：158.已知线段MN 的长是4cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长是_____cm. 解析：∵P 是线段MN 的黄金分割点，∴MP=MN ，而MN=4cm ，∴MP=4×2)cm. 答案：﹣2)9.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，BE 、B 1E 1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B 1E 1=_____.解析：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，∴1132BE B E =，即11632B E =，解得B 1E 1=4. 答案：410.计算：()1 322 a a b+-=_____.解析：()1323252a ab a a b a b+-=+-=-.答案：5a b-11.计算：3tan30°+sin45°=_____.解析：原式=32332⨯+=23+.答案：232+12.抛物线y=3x2﹣4的最低点坐标是_____.解析：y=3x2﹣4∴顶点(0，﹣4)，即最低点坐标是(0，﹣4).答案：(0，﹣4)13.将抛物线y=2x2向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____.解析：∵抛物线y=2x2向下平移3个单位，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣3.答案：y=2x2﹣314.如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则DE=_____.解析：∵l1∥l2∥l3，AB=5，AC=8，DF=12，∴AB DEAC DF＝，即469DE＝，可得；DE=6.答案：615.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是_____(不写定义域).解析：设平行于墙的一边为(10﹣2x)米，则垂直于墙的一边为x米，根据题意得：S=x(10﹣2x)=﹣2x2+10x.答案：S=﹣2x2+10x16.如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B 在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是_____米(结果保留根号形式).解析：如图，过点C⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AC=100m，∴AD=100·sin∠ACD=100×0.5=50(m)，CD=100·cos∠ACD=3100503=，在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=503m，则AB=AD+BD=3，即A、B之间的距离约为(3米.答案：(50317.已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y=ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a_____0(用“＞”或“＜”连接).解析：∵二次函数的解析式为y=ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x=1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0.答案：＞18.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=45，BC=8，点D在边BC上，将△ABC沿着过点D 的一条直线翻折，使点B 落在AB 边上的点E 处，联结CE 、DE ，当∠BDE=∠AEC 时，则BE 的长是_____.解析：如图作CH ⊥AB 于H.在Rt △ACB 中，∵BC=8，cosB=45，∴AB=10，AC=8，243255AC BC CH BH AB ⋅===，， 由题意EF=BF ，设EF=BF=a ，则BD=54a ，∵∠BDE=∠AEC ，∴∠CED+∠ECB=∠ECB+∠B ， ∴∠CED=∠B ，∵∠ECD=∠BCE ， ∴△ECD ∽△BCE ，∴EC 2=CD·CB，∴()()()2224325288554a a +-=-⨯，解得a=3910或0(舍弃)，∴BE=2a=395.答案：395三、解答题：(本大题共7题，满分78分)19.将抛物线y=x 2﹣4x+5向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴.解析：先将抛物线y=x 2﹣4x+5化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可.答案：∵y=x 2﹣4x+4﹣4+5=(x ﹣2)2+1，∴平移后的函数解析式是y=(x+2)2+1.顶点坐标是(﹣2，1).对称轴是直线x=﹣2.20.如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE ∥BC ，且DE 经过△ABC 的重心，设BC a =.(1)DE =_____(用向量a 表示)；(2)设AB b =，在图中求作12b a+.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量.)解析：(1)由DE∥BC推出AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3，推出DE=23BC，由BC a=，推出23DE a=；(2)作△ABC的中线AF，结论：AF就是所要求作的向量；答案：(1)如图设G是重心，作中线AF.∵DE∥BC，∴AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3，∴DE=23BC，∵BC a=，∴23DE a=.答案：23a(2)作△ABC的中线AF，结论：AF就是所要求作的向量.21.如图，已知G、H分别是▱ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F.(1)当18CFHCDGHSS=四边形时，求CHDG的值；(2)联结BD交EF于点M，求证：MG·ME=MF·MH.解析：(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；(2)根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可.答案(1)∵18CFHCDGHSS =四边形，∴19CFHDFGS S ＝. ∵□ABCD 中，AD ∥BC ，∴△CFH ∽△DFG.∴()219CFHDFGS CH S DG ＝＝. ∴13CH DG =.(2)∵□ABCD 中，AD ∥BC ，∴MB MH MD MG ＝.∵□ABCD 中，AB ∥CD ，∴ME MB MF MD ＝. ∴ME MHMFMG ＝. ∴MG·ME=MF·MH.22.如图，为测量学校旗杆AB 的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C 出发，沿坡度为i=1：3的斜坡CD 前进23米到达点D ，在点D 处放置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5米.A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直. (1)求点D 的铅垂高度(结果保留根号)； (2)求旗杆AB 的高度(精确到0.1).(参考数据：sin 37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73.)解析：(1)延长ED 交BC 延长线于点H ，则∠CHD=90°，Rt △CDH 中求得CH=CDcos ∠DCH=3233=、132DH CD ==(2)作EF ⊥AB ，可得3EF=BH=BC+CH=6，根据AF=EFtan ∠AEF ≈4.5、AB=AF+BF可得答案.答案：(1)延长ED 交射线BC 于点H.由题意得DH⊥BC.在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠DCH=i=1：3.∴∠DCH=30°.∴CD=2DH.∵CD=23，∴DH=3，CH=3.答：点D的铅垂高度是3米.(2)过点E作EF⊥AB于F.由题意得，∠AEF即为点E观察点A时的仰角，∴∠AEF=37°.∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，∴∠BFE=∠B=∠BHE=90°.∴四边形FBHE为矩形.∴EF=BH=BC+CH=6.FB=EH=ED+DH=1.5+3.在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5.∴AB=AF+FB=6+3≈6+1.73≈7.7.答：旗杆AB的高度约为7.7米.23.如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，联结BD交CE于点F，且EF·FC=FB·DF.(1)求证：BD⊥AC；(2)联结AF，求证：AF·BE=BC·EF.解析：(1)根据相似三角形的判定得出△EFB∽△DFC，再根据相似三角形的性质解答即可；(2)由△EFB∽△DFC得出∠ABD=∠ACE，进而判断△AEC∽△FEB，再利用相似三角形的性质解答即可.答案：(1)∵EF·FC=FB·DF，∴EF FB DF FC＝.∵∠EFB=∠DFC，∴△EFB∽△DFC.∴∠FEB=∠FDC.∵CE⊥AB，∴∠FEB=90°.∴∠FDC=90°.∴BD⊥AC.(2)∵△EFB∽△DFC，∴∠ABD=∠ACE.∵CE⊥AB，∴∠FEB=∠AEC=90°.∴△AEC∽△FEB.∴AE EC FE EB＝.∴AE FE EC EB＝.∵∠AEC=∠FEB=90°，∴△AEF∽△CEB.∴AF EF CB EB＝，∴AF·BE=BC·EF.24.已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M.点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan ∠CPA的值；(3)在(2)的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)将点(1，0)，B(5，0)代入抛物线的解析式可得到a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；(2)先求得AC和BC的长，然后依据比例中项的定义可求得CP的长，接下来，再证明△CPA ∽△CBP，依据相似三角形的性质可得到∠CPA=∠CBP，然后过P作PH⊥x轴于H，接下来，由△PCH为等腰直角三角形可得到CH和PH的长，从而可得到点P的坐标，然后由tan∠CPA=tan∠CBP=PHBH求解即可；(3)过点A作AN⊥PM于点N，则N(1，﹣4).当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME.然后证明△AEM ∽△BMA，依据相似三角形的性质可求得ME的长，从而可得到点E的坐标；当点E在M右侧时，记为点E′，然后由点E′与E 关于直线AN 对称求解即可.答案：(1)∵抛物线y=ax 2+bx+5与x 轴交于点A(1，0)，B(5，0)，∴5025550a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得16a b ⎧⎨-⎩＝＝. ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣6x+5.(2)∵A(1，0)，B(5，0)，∴OA=1，AB=4.∵AC=AB 且点C 在点A 的左侧，∴AC=4.∴CB=CA+AB=8.∵线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项， ∴CA CPCP CB =.∴CP=42.又∵∠PCB 是公共角，∴△CPA ∽△CBP.∴∠CPA=∠CBP.过P 作PH ⊥x 轴于H.∵OC=OD=3，∠DOC=90°，∴∠DCO=45°.∴∠PCH=45° ∴PH=CH=2CP=4，∴H(﹣7，0)，BH=12.∴P(﹣7，﹣4).∴tan ∠CBP=13PH BH =，tan ∠CPA=13.(3)∵抛物线的顶点是M(3，﹣4)，又∵P(﹣7，﹣4)，∴PM ∥x 轴.当点E 在M 左侧，则∠BAM=∠AME.过点A 作AN ⊥PM 于点N ，则N(1，﹣4).∵∠AEM=∠AMB ，∴△AEM ∽△BMA. ∴ME AMAM AB =. ∴25425ME =.∴ME=5，∴E(﹣2，﹣4). 当点E 在M 右侧时，记为点E′，∵∠AE′N =∠AEN ，∴点E′与E 关于直线AN 对称，则E′(4，﹣4).综上所述，E 的坐标为(﹣2，﹣4)或(4，﹣4).25.如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D 在射线BC 上，以点D 为圆心，BD 为半径画弧交边AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交边AC 于点F ，射线ED 交射线AC 于点G.(1)求证：△EFG ∽△AEG ；(2)设FG=x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；(3)联结DF ，当△EFD 是等腰三角形时，请直接写出FG 的长度.解析：(1)先证明∠A=∠2，然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；(2)作EH ⊥AF 于点H ，如图1，利用勾股定理计算出AB=25EFG ∽△AEG 得到EF FG EG AE EG AG ==，再证明Rt △AEF ∽Rt △ACB 得到2425EF AE AF ==，所以12EF x EG AE EG AG ===，则EG=2x ，AG=4x ，AF=3x ，35EF x =，65AE x =，接着·利用相似比表示出EH=65x ，AH=125x ，然后根据三角形面积公式表示出y 与x 的关系，最后利用CF=4﹣3x 可确定x 的范围；(3)先表示CG=4x ﹣4，GH=85x ，讨论：当ED=EF=35x 时，如图1，则BD=DE=35x ，所以DC=2﹣355x ；当DE=DF 时，如图2，作DM ⊥EF 于M ，则135210EM EF x ==，证明△DEM ∽△BAC ，利用相似比表示DE=34x ，则BD=DE=34x ，所以CD=2﹣34x ；当FE=FD 时，如图3，作FN ⊥EG 于N ，则EN=DN ，证明△NEF ∽△CAB ，利用相似比表示出EN=65x ，则DE=2EN=125x ，所以BD=DE=125x ，CD=2﹣125x ，然后利用△GCD ∽△GHE ，根据相似比得到关于x 的方程，再分别解方程求出定义的x 的值即可.答案：(1)证明：∵ED=BD ，∴∠B=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°.∵EF ⊥AB ，∴∠BEF=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，∵∠EGF=∠AGE ，∴△EFG ∽△AEG ；(2)解：作EH ⊥AF 于点H ，如图1，在Rt △ABC 中，222425AB =+=，∵△EFG ∽△AEG ， ∴EF FG EGAE EG AG ==，∵∠EAF=∠CAB ，∴Rt △AEF ∽Rt △ACB ，∴EF AE AF BC ACAB ==，即2425EF AE AF ==，∴12EF x EG AE EG AG===，∴EG=2x，AG=4x，∴AF=AG﹣FG=3x，∴EF=35x，AE=65x，∵EH∥BC，∴EH AE AHBC AB AC==，即6552425xEH AH==，∴EH=65x，AH=125x，∴()21163422553y FG EH x x x x=⋅=⋅⋅=＜＜，(3)解：CG=AG﹣AC=4x﹣4，GH=AG﹣AH=128455x x x-=，当ED=EF=355x时，如图1，则BD=DE=355x，∴DC=2﹣355x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴CD GCEH GH=，即(2﹣355x)：65x=(4x﹣4)：85x，解得255512x-=；当DE=DF时，如图2，作DM⊥EF于M，则1352EM EF x==，∵∠DEM=∠A，∴△DEM∽△BAC，∴DE EMAB AC=3510425xDE=，解得DE=34x，∴BD=DE=34x，∴CD=2﹣34x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴CD GCEH GH=，即()()368244455x x x x-=-：：，解得x=43；当FE=FD时，如图3，作FN⊥EG于N，则EN=DN，∵∠NEF=∠A，∴△NEF∽△CAB，∴EN EFAC AB=，即355425xEN=，解得EN=65x，∴DE=2EN=125x，∴BD=DE=125x，∴CD=2﹣125x，∵CD∥EH，∴△GCD∽△GHE，∴CD GCEH GH=，即()()1268244555x x x x-=-：：，解得x=2527；综上所述，FG的长为43或2527或2555-.。
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷及答案解析
2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y =22B ．y ＝（x +3）2﹣x 2C ．y =√x 2+2x −1D ．y ＝x （x ﹣1） 2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴y的夹角α的余切值是（ ）A ．32B ．23C ．3√1313D ．2√13133．（4分）将抛物线y ＝（x +1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝（x +3）2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣1D ．y ＝（x +1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（ ）A ．如果|a →|＝|b →|，那么a →=b →B ．如果a →、b →都是单位向量，那么a →=b →C ．如果a →=k b →（k ≠0），那么a →∥b →D ．如果m ＝0或a →=0→，那么m a →=0 5．（4分）已知在矩形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝13．⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（ ）A ．⊙C 与直线AB 相交B ．⊙C 与直线AD 相切 C ．点A 在⊙C 上 D ．点D 在⊙C 内6．（4分）如果点D 、E ，F 分别在△ABC 的边AB 、BC ，AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（ ）A ．如果EF ∥AB ，那么AF ：AC ＝BD ：ABB ．如果AD ：AB ＝CF ：AC ，那么EF ∥ABC ．如果△EFC ∽△ABC ，那么 EF ∥ABD ．如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE 二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（a →−2b →）+3（a →+b →）＝ ．8．（4分）如果x x−y =32，那么x y的值等于 ． 9．（4分）已知点P 在线段AB 上，且满足BP 2＝AB •AP ，则BP AB 的值等于 ．10．（4分）已知抛物线y ＝（1+a ）x 2的开口向上，则a 的取值范围是 ．11．（4分）抛物线y ＝2x 2﹣1在y 轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线 ．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i ＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB 为 米．14．（4分）如图，AC 与BE 交于点D ，∠A ＝∠E ＝90°，若点D 是线段AC 的中点，且AB ＝AC ＝10．则BE 的长等于 ．15．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 是重心，AC ＝4，tan ∠ABG =13，则BG 的长是 ．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 ．。
2020年上海市金山区中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知a：b=2：3，那么下列等式中成立的是()A. 3a=2bB. 2a=3bC. a+bb =52D. a−bb=132.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sin B的值等于()A. 43B. 34C. 45D. 353.把抛物线y=x2的图象平移后得到y=(x+2)2−3的图象，则下列平移过程正确的是()A. 向左移2个单位，下移3个单位B. 向右移2个单位，上移3个单位C. 向右移2个单位，下移3个单位D. 向左移2个单位，上移3个单位4.如图，在下列给出的条件下，不能判定AB//DF的是()A. ∠A+∠2=180°B. ∠A=∠3C. ∠1=∠4D. ∠1=∠A5.现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的ab的值为()A. 32B. 23C. 35D. 536.已知△ABC，AC=3，CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是()A. r>3B. r≥4C. 3<r≤4D. 3≤r≤4二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=______．7.化简：3(a⃗+128.计算：3tan30°+sin45°=______．9.如果两个相似三角形的面积比为9：16，那么这两个三角形对应边上的高之比为______．=______ ．10.已知：tanx=2，则sinx+2cosx2sinx−cosx11.某坡面的坡度为i=1：√3，则坡角为____．12.如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP//DF，且与AD相交于点P，CD=10，AD=8，PD=2，则BE=______ ．13.抛物线y=x2–6x+5的顶点坐标为__________．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为(2,4)，若点(−2,m)，(3,n)在抛物线上，则m______n(填“>”、“=”或“<”)．15.如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB的长为10，sin∠BOD=4，则AB的长为______．516.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于_______°．17.已知两个圆相切，圆心距为8cm，其中一个圆的半径为12cm，则另一个圆的半径为______ ．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5.E为CD边上一点，将矩形沿直线BE折叠，使点C落在BD边上C′处．则DE的长______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：2sin45°+tan60°+2cos30°−√12．20. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上的两点，且BE =DF ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用向量a ⃗ 、b ⃗ 、c⃗ 表示下列向量：向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______； (2)求作：b ⃗ +c ⃗ ．21. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为D ，OD =4，AD =1.求BC 和AB 的长．22.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在点A处测得∠BAD=37°，沿AD方向前进150米到达点C，测得∠BCD=45°.求小岛B到河边公路AD的距离．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)23.如图，已知CD为△ABC的高，AC·CD=BC·AD.求证：∠ACB=90°．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．(1)如图，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)在(1)的条件下，当BC=CE时，求BC的长；(3)当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．【答案与解析】1.答案：A解析：本题主要考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．是比较基础的题目．根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积解答即可．解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，∴3a=2b；A.3a=2b；故本选项正确；B.2a=3b；故本选项错误；C.由a+bb =52得，2a+2b=5b，即2a=3b；故本选项错误；D.由a−bb =13得，3a−3b=b，即3a=4b；故本选项错误；故选：A．2.答案：C解析：解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5．sinB=ACAB =45，故选：C．根据勾股定理，可得AB的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.答案：A解析：主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．用平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可．解：把抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到y=(x+2)2−3的图象，故选A．4.答案：D解析：本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．解：A、∵∠A+∠2=180°，∴AB//DF，故本选项不符合题意；B、∵∠A=∠3，∴AB//DF，故本选项不符合题意；C、∵∠1=∠4，∴AB//DF，故本选项不符合题意；D、∵∠1=∠A，∴AC//DE，故本选项符合题意．故选：D．5.答案：D解析：解：∵ED//BC∴△ABC∽△AED，∴ab =ADAC=53．故选D．根据题意画出图形，易得△ABC∽△AED，利用相似三角形的对应边成比例，解答即可．本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．6.答案：C解析：解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即：r>3；点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；即3<r≤4．故选：C．由于AC=3，CB=4，当以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内时，那么点A在圆内，而点B不在圆内．当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的取值范围．本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．7.答案：a⃗+72b⃗解析：解：3(a⃗+12b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=3a⃗+32b⃗ −2a⃗+2b⃗ =(3−2)a⃗+(32+2)b⃗ =a⃗+72b⃗ ．故答案是：a⃗+72b⃗ ．平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．8.答案：√3+√22解析：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接将已知三角函数值代入求出答案．解：原式=3×√33+√22=√3+√22．故答案为√3+√22．9.答案：3：4解析：本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方、相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，∴两个相似三角形的相似比为3：4，∴这两个三角形对应边上的高之比为3：4，故答案为：3：4．10.答案：43解析：解：分子分母同时除以cos x，原分式可化为：tanx+22tanx−1，当tanx=2时，原式=2+22×2−1=43．故答案为：43．分式中分子分母同时除以cos x，可得出关于tan x的分式，代入tan x的值即可得出答案．此题考查了同角三角函数的知识，解答本题的关键是掌握tanx=sinxcosx这一变换，有一定的技巧性．11.答案：30°解析：解：∵坡面的坡度为i=1：√3，设坡角为α，则tanα=√3=√33，∴坡角为：30°．故答案为：30°．直接利用坡角的定义进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形，正确把握坡角的定义是解题关键．12.答案：103解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，AD//BC，∵BP//DF，∴四边形BFDP是平行四边形，∴BF=PD=2，∴CF=6，∵BE//CD，∴△CDF∽△BEF，∴CDBE =CFBF，即10BE=62，∴BE=103，故答案为：103．根据平行四边形的性质定理和相似三角形判定和性质即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．13.答案：(3,−4)解析：[分析]利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标．[详解]∵y=x2−6x+5=(x−3)2−4，∴抛物线顶点坐标为(3,−4)．故答案为：(3,−4)．[点睛]此题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可以先配方化为顶点式，也可以利用顶点坐标公式(−b2a ,4ac−b24a)来找抛物线的顶点坐标．14.答案：>解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为(2,4)，∴该抛物线的开口向上，当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大，∵点(−2,m)，(3,n)在抛物线上，2−(−2)=4，由对称性可知点(6,m)在抛物线上，6>3>2，∴m>n，故答案为：>．根据二次函数的性质和二次函数的图象具有对称性可以判断m、n的大小，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.答案：16解析：解：如图，连接OB，∵sin∠BOD=45，∴BDOB =45，∵BO=10，∴BD=8，∴AB=2DB=16，故答案是：16．首先根据三角函数sin∠BOD=45算出BD的长，再根据平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦可得到AB的长．此题主要考查了垂径定理的应用，关键是利用锐角三角函数的定义求得BD的长度．16.答案：72解析：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°，外角和等于360°.首先设此正多边形为n边形，根据题意得：(n−2)⋅180°=540°，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．解：设此正多边形为n边形，根据题意得：(n−2)⋅180°=540°，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷5=72°．故答案为72．17.答案：4cm或20cm解析：解：两圆相切时，有两种情况：内切和外切，但12>8，故不可能外切，内切时，当12是大圆的半径，另一圆的半径=12−8=4cm，当12是小圆的半径，另一圆的半径为12+8=20cm．故答案为4cm或20cm．两圆相切，有两种可能：外切，内切；根据外切和内切时，两圆半径与圆心距的数量关系，分别求解．本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆相切，可能内切，也可能外切．18.答案：34−5√343解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=5，∴BD=√BC2+CD2=√32+52=√34，∵△BEC′是由△BEC翻折，∴BC=BC′=5，EC=EC′，设DE=x，则EC=EC′=3−x，在Rt△EDC′中，∵DE2=EC′2+DC′2，∴(√34−5)2+(3−x)2=x2，∴x=34−5√343．故答案为34−5√343．先利用勾股定理求出线段BD，设DE=x，则EC=EC′=3−x，在Rt△EDC′中，由DE2=EC′2+DC′2列出方程即可解决．本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是利用翻折不变性，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，是由中考常考题型．19.答案：解：原式=2×√22+√3+2×√32−2√3=√2．解析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20.答案：(1)−c ⃗ a ⃗ −b ⃗ a⃗ −c ⃗ (2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；解析：解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ， ∴∠ADF =∠CBE ， ∵DF =BE ， ∴△ADF≌△CBE ，∴∠AFD =∠CEB ，AF =CE ， ∴∠AFB =∠CED ， ∴AF//CE ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ， 故答案为−c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ ，a ⃗ −c ⃗ ．(2)见答案．(1)根据平面向量的加法法则计算即可；(2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求； 本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.答案：解：连接OB ，∵OD=4，AD=1，∴OB=OA=5，∵OA⊥BC，∴∠BDO=90°，BD=12BC，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即52=42+BD2，解得BD=3，则BC=2BD=6在Rt△ABD中，AB=√BD2+AD2=√32+12=√10．解析：【试题解析】本题主要考查了垂径定理，连接OB，先根据垂径定理可得∠BDO=90°和BD=12BC，再根据勾股定理求出BD的长，则可得BC= 2BD=6，再在Rt△ABD中求出AB的长．22.答案：解：过B作BE⊥CD垂足为E，设BE=x米，在Rt△ABE中，tanA=BEAE，AE=BEtanA =BEtan37∘=43x，在Rt△ABE中，tan∠BCD=BECE，CE=BEtan∠BCD =xtan45∘=x，AC=AE−CE，43x−x=150，x =450．答：小岛B 到河边公路AD 的距离为450米．解析：过B 作BE ⊥CD 垂足为E ，设BE =x 米，再利用锐角三角函数关系得出AE =43x ，CE =x ，根据AC =AE −CE ，得到关于x 的方程，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23.答案：解：∵AC ·CD =BC ·AD ，∴ACBC =ADCD ， ∵CD 为△ABC 的高， ∴∠ADC =∠CDB =90°， ∴Rt △ACD∽Rt △CBD ， ∴∠ACD =∠B ， 又∵∠DCB +∠B =90°， ∴∠DCB +∠ACD =90°， 即∠ACB =90°．解析：本题考查相似三角形的判定和性质.先由AC ·CD =BC ·AD ，得出ACBC =ADCD ，得出Rt △ACD∽Rt △CBD ，进而即可证出结论．24.答案：解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中，得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)， ∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ， 设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ， 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．解析：本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．(1)将点A，B坐标代入抛物线y=−x2+bx+c即可；(2)如图1，过点A作AH⊥BC于H，分别证△OBC和△AHB是等腰直角三角形，可求出CH，AH的长，可在Rt△AHC中，直接求出∠ACB的正切值；(3)此问需分类讨论，当∠PAB=∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，设P(a,−a2+2a+3)，由同角的三角函数值相等可求出a的值，由对称性可求出第二种情况．25.答案：解：(1)过O作OF⊥BD于F，如图(1)则BF=CF=BC2=x2∴DF=y+x2在Rt△BFO中，∵tan∠OBM=2∴OFBF=2即OF=x∵OF⊥BD，AB⊥BM∴OF//AB ∴△OFD∽△ABD∴OFAB=DFDB,即x5=y+x2x+y∴y=2x2−5x(5<x<5)(2)在Rt△BFO中，OB=√x2+(x2)2=√52x∵BC=CE，OB=OC=OE，∴△BOC和△OCD为全等的等腰三角形，∴∠OCB=∠OEC，∴∠OCD=∠CED，∵∠CED=∠ODC，∴△DEC∽△DCO，∴CEOC=CDOD,即√5x2=yOD∴OD=√52y，在Rt△OFD中，∵OF2+FD2=OD2∴x2+(y+12x)2=(√52y)2解得y=5x或y=−x(舍去)，∴2x2−5x10−2x=5x，解得x1=0(舍去)，x2=5512∴BC的长为5512．(3)当OA=OB时，点A在圆O上，如图(2)，则AC为直径，点D与点C重合，OF=12AB即x=52∴tan∠ADB=552=2当AO=AB=5，如图(3)，作OH⊥AB于H，则四边形OFBH为矩形，∴OH=BF=12x，BH=OF=x在Rt△OHA中，∵AH2+OH2=OA2∴(x−5)2+(12x)2=52，解得x1=0(舍)，x2=8∴tan∠AOH=AH=8−5=3∵OH//BD，∴∠ADB=∠AOH ∴tan∠ADB=34．解析：本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，正切的定义，三角形的勾股定理．(1)利用垂径定理得到BF=CF=BC2=x2，再利用正切的定义得到OF=x，然后得△OFD∽△ABD利用相似比即可求得．(2)利用勾股定理计算出OB，再证明△DEC∽△DCO，利用相似比可得OD=√52y，根据勾股定理列方程即可求得．(3)分类讨论，当OA=OB时利用圆周角的AC为直径，即可求得；当AO=AB=5，得矩形利用勾股定理列方程即可求得．。
2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试卷解析版
中考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各数中，无理数是（ ）A.- B. 9 C. D.2.不等式-2x ＞3的解集是（ ）A.B. C. D.3.下列方程中，有实数根的是（ ）A.=-x B.+=0C.D. x 2+2020x -1=04.已知反比例函数y =，当x ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y =2kx 2-x -k 图象的选项是（ ）A. B.C. D.5.要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（ ）A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量对角线是否互相垂直D. 测量其中三个角是否是直角6.如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：a 2•a 3=______．8.在实数范围内分解因式：x 2-2x -2=______．9.已知f （x ）=2x 2-1，且f （a ）=3，那么a =______．10.如图．函数y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图，则关于x 的不等式kx +b ＞0的解集为______．11.某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表．中码CHN220225230…250255260…美码USA 4.55 5.5…7.588.5…如果美码（y）与中码（x）之间满足一次函数关系，那么y关于x的函数关系式为______．12.一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球，其中有3个红球与5个黄球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：______．13.如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是______ ．（请写成1：m的形式）14.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量=，=，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为______．15.已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为______．16.如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线y=x2-4x+m上，那么a和b的大小关系为：a______b．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．17.平移抛物线y=2x2-4x，可以得到抛物线y=2x2+4x，请写出一种平移方法______．18.如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β=90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4（如图所示），点D在AC边上，联结BD．如果△ABD为“准互余三角形”，那么线段AD的长为______（写出一个答案即可）．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：|-1|-×+-820.解方程组：21.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在边AC上，且∠DBC=45°，求sin∠ABD的值．22.某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？23.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．（1）当∠ACD=∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；（2）当∠BCD=∠A时，求证：．24.如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．25.在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA=，且tan∠OAB=．（1）求弦CD的长；（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果S△CEF=4S△BOF，求线段AF的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.，是整数，属于有理数；B.，是整数，属于有理数；C.是无理数；D.是分数，属于有理数．故选：C．根据无理数的概念及其三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项解答即可．本题主要考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2.【答案】D【解析】解：不等式的两边同时除以-2得，x＜-．故选D．直接把x的系数化为1即可．本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵≥0，x-1≥0，∴x≥1，∴-x＜0，∴≠-x，∴A不正确；∵≥0，≥0，当x=1时+有最小值1，∴+≥1，∴B不正确；=两边同时乘以x2-1，得x=1，经检验x=1是方程的增根，∴方程无解；∴C不正确；x2+2020x-1=0，∵△=20202+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴D正确；故选：D．A选项中，≥0，-x＜0，则方程无实数根；B选项中，当x=1时+有最小值1，则方程无实数根；C选项中，解得x=1是方程的增根，则方程无实数根；D选项中，△＞0，则方程有两个不相等的实数根．本题考查分式方程、无理方程、二元一次方程；熟练掌握分式方程解法、一元二次方程根的判别式、掌握二次根式成立的条件是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵反比例函数y=，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，∴k＜0，∴二次函数y=2kx2-x-k中，2k＜0，则图象开口向下，-k＞0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b=-1＜0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，符合题意的只有选项D．故选：D．直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案．此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．由矩形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定；熟记三个角是直角的四边形为矩形是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，∴R-r＜4-1，R+r＞5即：R-r＜3，∵圆心距为3，∴两圆不可能外切，故选：C．首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据两圆的半径的大小或取值范围求得两圆的半径之差，然后根据圆心距与半径的关系确定本题的答案．7.【答案】a5【解析】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．8.【答案】【解析】解：原式=（x-1）2-3=故填：．先组完全平方，再利用平方差公式而得．本题考查实数范围内分解因式，从完全平方，再平方差公式很容易而得．9.【答案】±【解析】解：∵f（x）=2x2-1，f（a）=3，∴f（a）=2a2-1=3，∴2a2-1=3时，a=±，故答案为±．由已知可得f（a）=2a2-1=3，解出a即可．本题考查函数值；理解题意，能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键．10.【答案】x＜2【解析】【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：函数y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．故答案为x＜2．11.【答案】y=0.1x-17.5【解析】解：设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，由题意可得：解得：∴y关于x的函数关系式为y=0.1x-17.5，故答案为：y=0.1x-17.5．设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，利用待定系数法求解析式．本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，理解题意是本题的关键．12.【答案】【解析】解：在口袋中放有3个红球与5个黄球，共8个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：．故答案为：．让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13.【答案】1：【解析】解：i=tanα=tan30°==1：，故答案是：1：．坡比等于坡角的正切值，据此即可求解．本题主要考查了坡比与坡角的关系，注意坡比一般表示成1：a的形式．14.【答案】+【解析】解：如图，延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，CE．∵AD=DE，BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴==，∵=+=+，∴==+．故答案为+．如图，延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题．本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】【解析】解：如图所示：连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∵OD⊥BC，∴∠ODB=90°，BD=CD=BC=1，∴OD=BD•tan30°=1×=，∴OB=2OD=，∴该三角形的半径长为，故答案为：．根据题意作出图形，构造直角三角形求得外接圆的半径即可求得本题的答案．本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．16.【答案】≤【解析】解：∵抛物线y=x2-4x+m的对称轴为x=2，∴当x=2时函数有最小值，∴b≥a，故答案为≤．由已知可得当x=2时函数有最小值，则可求b≥a．本题考查二次函数图象上点的特征；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．17.【答案】向左平移2个单位【解析】解：∵y=2x2-4x=2（x-1）2-2，y=2x2+4x=2（x+1）2-2，∴两抛物线的顶点坐标分别为（1，-2）和（-1，-2），∴将抛物线y=2x2-4x先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y=2x2+4x．故答案为：向左平移2个单位．把y=2x2-4x和y=2x2+4x改写成顶点式，进而解答即可．本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．18.【答案】或【解析】解：过点D作DM⊥AB于M．设∠ABD=α，∠A=β．①当2α+β=90°时，∵α+β+∠DBC=90°，∴∠DBC=∠DBA，∵DM⊥AB，DC⊥BC，∴DM=DC，∵∠DMB=∠C=90°，DM=DC，BD=BD，∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），∴BM=BC=3，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∴AM=5-3=2，设AD=x，则CD=DM=4-x，在Rt△ADM中，则有x2=（4-x）2+22，解得x=．∴AD=．②当α+2β=90°时，∵α+β+∠DBC=90°，∴∠DBC=β=∠A，∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴BC2=CD•CA，∴CD=，∴AD=AC-CD=4-=．故答案为或．作DM⊥AB于M．设∠ABD=α，∠A=β．分两种情形：①当2α+β=90°时．②当α+2β=90°时，分别求解即可．本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．19.【答案】解：|-1|-×+-=-1-2+2+-4=-3【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】解：，由②得：x+6y=0，x-y=0，原方程组可化为或，故原方程组的解为，．【解析】先将第2个方程变形为x+6y=0，x-y=0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．21.【答案】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH=DH，连接DH．设DM=a．∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵∠DBC=45°，∴∠ABD=60°-45°=15°，∵HB=HD，∴∠HBD=∠HDB=15°，∴∠DHM=∠HBD+∠HDB=30°，∴DH=BH=2a，MH=a，BM=2a+a，∴BD===（+）a，∴sin∠ABD===．【解析】如图，作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH=DH，连接DH．设DM=a ．解直角三角形求出BD即可解决问题．本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据题意可得：800÷40%（1+x）2=2880，解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意舍去），则800÷40%×（1+20%）=2400（万元），答：2020年预计经营总收入为2400万元．【解析】设从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据等量关系：2019年经营总收入×（1+增长率）2=2021年经营总收入，列出方程求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．23.【答案】证明：（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，又∵∠ECF=90°，∴四边形DECF为矩形．∵∠ACD=∠BCD，∴CD平分∠ACB，∴DE=DF，∴四边形DECF是正方形．（2）∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∠BCD=∠A，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=180°-90°=90°．∵∠DCF=∠A，∠DFC=∠ADC=90°，∴△CDF∽△ACD，∴=．【解析】（1）由垂直的定义可得出∠DEC=∠DFC，结合∠ECF=90°可得出四边形DECF 为矩形，由∠ACD=∠BCD可得出CD平分∠ACB，利用角平分线的性质可得出DE=DF，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF是正方形；（2）由∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∠BCD=∠A可得出∠A+∠ACD=90°，利用三角形内角和定理可求出∠ADC=90°，由∠DCF=∠A，∠DFC=∠ADC=90°可证出△CDF∽△ACD，再利用相似三角形的性质可证出=．本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：（1）利用“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形DECF是正方形；（2）利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF∽△ACD．24.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．由题意可得：解得：∴抛物线的解析式为：y=x2+x+1，∵y=x2+x+1=（x+）2+，∴顶点D的坐标（-，）；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，∴BF=3，∵A（0，1），C（-1，1），∴AC∥x轴，∴CD⊥BF，∴CD=BD=2，AD=1，CA=1，∴BC=2，∠BCD=∠CBD=45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC=∠MCA=45°，∴CM=AM，∴CM=AM==，∴BM=BC-CM=，∴tan∠ABC==；（3）∵A（0，1），B（1，3），C（-1，1），∴直线AC解析式为：y=1，直线AB解析式为：y=2x+1，直线BC解析式为：y=x+2，若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，∴点E（-，3）；若CE∥AB，则CE的解析式为；y=2x+3，∵点E在对称轴上，∴x=-，∴y=2，即点E（-，2）；若AE∥BC，则AE解析式为：y=x+1，∵点E在对称轴上，∴x=-，∴y=，即点E（-，），综上所述：点E的坐标为（-，3）或（-，2）或（-，）．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（0，1）、B（1，3）、C（-1，1）代入，求a、b、c的值，可得结果；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM和BM的长，即可求解；（3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，梯形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB==，∴设OH=a，AH=2a，∵AO2=OH2+AH2=5，∴a=1，∴OH=1，AH=2，∵OH⊥AB，∴AB=2AH=4，∵弧AC=弧BD∴=，∴AB=CD=4；（2）∵OA=OB，∴∠OAF=∠OBA，∴∠OAF=∠ECF，①当∠AFO=90°时，∵OA=，tan∠OBA=，∴OC=OA=，OF=1，AB=4，∴EF=CF•tan∠ECF=CF•tan∠OBA=；②当∠AOF=90°时，∵OA=OB，∴∠OAF=∠OBA，∴tan∠OAF=tan∠OBA=，∵OA=，∴OF=OA•tan∠OAF=，∴AF=，∵∠OAF=∠OBA=∠ECF，∠OFA=∠EFC，∴△OFA∽△EFC，∴==，∴EF=OF=，即：EF=或；（3）如图，连接OE，∵∠ECB=∠EBC，∴CE=EB，∵OE=OE，OB=OC，∴△OEC≌△OEB，∴S△OEC=S△OEB，∵S△CEF=4S△BOF，∴S△CEO+S△EOF=4（S△BOE-S△EOF），∴=，∴=，∴FO=CO=，∵△OFA∽△EFC，∴===，∴BF=BE-EF=CE-EF=EF，∴AF=AB-BF=4-EF，∵△OAF∽△EFC，∴=，∴=，∴EF=3-，∴AF=4-EF=2+．【解析】（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，由锐角三角函数可求OH=1，AH=2，由垂径定理可得AB=4，即可求CD=4（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）先利用面积关系得出=，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出===是解本题的关键．。
上海市奉贤区2020年中考数学一模试卷解析版
2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分）1．（4分）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A．B．C．D．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值是，那么下列各式正确的是（）A．AB＝4BC B．AB＝4AC C．AC＝4BC D．BC＝4AC3．（4分）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果＝，那么用表示正确的是（）A．B．﹣C．D．﹣4．（4分）下列命题中，真命题是（）A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B．邻边之比相等的两个矩形一定相似C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D．对角线之比相等的两个矩形一定相似5．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x⋅⋅⋅01345⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣5﹣﹣﹣5﹣⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线x＝1C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的6．（4分）在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．（4分）若与单位向量方向相反，且长度为3，则＝（用单位向量表示向量）．9．（4分）若一条抛物线的顶点在y轴上，则这条抛物线的表达式可以是（只需写一个）．10．（4分）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是．11．（4分）抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是．12．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，那么AB的长是．13．（4分）已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是时，DE∥BC．14．（4分）小明从山脚A出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B点，那么他所在的位置比原来的位置升高了米．15．（4分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是．16．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是．17．（4分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD＝3EC，那么AD：AB的值是．18．（4分）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）已知函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．x⋅⋅⋅⋅⋅⋅y⋅⋅⋅⋅⋅⋅20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，DC＝2，AB＝6，AE⊥BD，垂足为点F．（1）求∠DAE的余弦值；（2）设＝，＝，用向量、表示．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，E是的中点，OE与弦BC交于点F．（1）如果C是的中点，求AD：DB的值；（2）如果⊙O的直径AB＝6，FO：EF＝1：2，求CD的长．22．（10分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．25．（14分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分）1．（4分）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】直接利用已知进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，∴＝＝．故选：C．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值是，那么下列各式正确的是（）A．AB＝4BC B．AB＝4AC C．AC＝4BC D．BC＝4AC【分析】根据正弦函数的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴AB＝4BC，故选：A．3．（4分）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果＝，那么用表示正确的是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由AC＝3BC，推出AB＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：如图，∵AC＝3BC，∴AB＝AC，∴＝﹣，故选：D．4．（4分）下列命题中，真命题是（）A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B．邻边之比相等的两个矩形一定相似C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D．对角线之比相等的两个矩形一定相似【分析】根据各选项的条件和相似形的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；B、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确；C、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以C选项错误；D、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，所以D选项错误；故选：B．5．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x⋅⋅⋅01345⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣5﹣﹣﹣5﹣⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线x＝1C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的【分析】由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5）可求对称轴x＝2，再任意取两点可确定函数的解析式即可．【解答】解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），可知函数的对称轴为x＝2，设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，得到a＝﹣，c＝﹣3，∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；故选：C．6．（4分）在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】分别计算⊙D和以CE为半径的⊙E的半径，并计算DE的长，根据外切的定义可解答．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴，∵BC＝12，AD＝2BD，∴，DE＝8，∵⊙D的半径为AD＝6，⊙E的半径CE＝2，∴AD+CE＝6+2＝8＝DE，∴以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是外切，故选：B．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果tanα＝，那么锐角α的度数是60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．（4分）若与单位向量方向相反，且长度为3，则＝﹣3（用单位向量表示向量）．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵与单位向量方向相反，且长度为3，∴＝﹣3，故答案为﹣3．9．（4分）若一条抛物线的顶点在y轴上，则这条抛物线的表达式可以是y＝2x2（答案不唯一）（只需写一个）．【分析】抛物线的顶点在y轴上，可得出b＝0，从而得出抛物线的解析式（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线的顶点在y轴上，∴b＝0，∴抛物线的解析式为y＝2x2，故答案为y＝2x2（答案不唯一）．10．（4分）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为正数，∴a＞0，故答案为a＞0．11．（4分）抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是﹣2．【分析】先确定A点坐标为（0，2），再利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据对称轴方程可求出b的值．【解答】解：当x＝0时，抛物线y＝x2+bx+2＝2，则A点坐标为（0，2），∵点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，∴b＝﹣2．故答案为﹣2．12．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，那么AB的长是8．【分析】根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到AC和AB的关系，从而可以求得AB的长，本题得以解决．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，∴cos A＝＝，即＝，解得，AB＝8，故答案为：8．13．（4分）已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是时，DE∥BC．【分析】根据平行线分线段成比例分析即可．【解答】解：∵要使DE∥BC，则需，∴故答案为：14．（4分）小明从山脚A出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B点，那么他所在的位置比原来的位置升高了50米．【分析】小明所在的位置比原来的位置升高了x米，根据坡度的概念用x表示出小明前进的水平宽度，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了x米，∵坡度为1：2.4，∴小明前进的水平宽度为2.4米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即小明所在的位置比原来的位置升高了50米，故答案为：50．15．（4分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是．【分析】由重心的性质可得A'D＝AD，由相似三角形的性质可得△A′MN面积与△ABC 的面积之比＝（）2＝．【解答】解：∵点A′恰好是△ABC的重心，∴A'D＝AD，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，∴△ABC∽△A'MN，∴△A′MN面积与△ABC的面积之比＝（）2＝，故答案为：．16．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是3．【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD＝OA＝，求出△AOB的面积＝OB×AD＝，即可得出答案．【解答】解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠AOB＝＝30°，∵AD⊥OB，∴AD＝OA＝，∴△AOB的面积＝OB×AD＝×1×＝∴正十二边形的面积＝12×＝3，∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，故答案为：3．17．（4分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD＝3EC，那么AD：AB的值是．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠D＝∠C＝90°，∵∠AEB＝90°，∴∠DAE+∠DEA＝90°，∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DAE＝∠CEB，∴△ADE∽△ECB，∴，∵AD＝BC，CD＝3EC，∴DE＝2EC，∴，∴，∴AD：AB＝，故答案为：18．（4分）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是1．【分析】连接BD，BF，EG．利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可．【解答】解：连接BD，BF，EG．由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，∴∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）已知函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．x⋅⋅⋅01234⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣3010﹣3⋅⋅⋅【分析】（1）把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）分别计算出自变量为0、1、2、3、4对应的函数值，然后利用描点法画出二次函数图象．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为（2，1），当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小；（2）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝﹣3，如图，故答案为0，﹣3；1，0；2，1；3，0；4，﹣3．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，DC＝2，AB＝6，AE⊥BD，垂足为点F．（1）求∠DAE的余弦值；（2）设＝，＝，用向量、表示．【分析】（1）作DM⊥AB于M，则四边形BCDM是矩形，得出BM＝CD＝2，BC＝DM，证出△ADM是等腰直角三角形，得出BC＝DM＝AM＝4，AD＝AM＝4，由勾股定理得出BD＝＝2，证明△ABF∽△BDC，得出＝，得出AF＝，由三角函数定义即可得出答案；（2）同（1）得△ABE∽△BCD，得出＝，求出BE＝3，得出＝＝，求出＝3＝3，即可得出＝+＝3+．【解答】解：（1）作DM⊥AB于M，如图所示：则四边形BCDM是矩形，∴BM＝CD＝2，BC＝DM，∴AM＝AB﹣BM＝4，∵∠BAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴BC＝DM＝AM＝4，AD＝AM＝4，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABF，∠C＝90°，∴BD＝＝＝2，∵AE⊥BD，∴∠AFB＝90°＝∠C，∴△ABF∽△BDC，∴＝，即＝，解得：AF＝，∴cos∠DAE＝＝＝；（2）同（1）得：△ABE∽△BCD，∴＝，即＝，解得：BE＝3，∴BE＝BC，∴＝＝，∵AB∥CD，DC＝2，AB＝6，∴AB＝3DC，∴＝3＝3，∴＝+＝3+．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，E是的中点，OE与弦BC交于点F．（1）如果C是的中点，求AD：DB的值；（2）如果⊙O的直径AB＝6，FO：EF＝1：2，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据垂径定理的推论得到OE⊥BC，＝＝，根据含30°的直角三角形的性质计算；（2）根据勾股定理求出BF，得到BC的长，证明△BFO∽△BDC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：（1）连接OC，∵E是的中点，∴＝，OE⊥BC，∵C是的中点，∴＝，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝60°，∴∠OCD＝30°，在Rt△COD中，∠OCD＝30°，∴OD＝OC，∴AD：DB＝1：3；（2）∵AB＝6，FO：EF＝1：2，∴OF＝1，在Rt△BOF中，BF＝＝＝2，∴BC＝4，∵CD⊥AB，OE⊥BC，∴∠BDC＝∠BFO＝90°，又∠B＝∠B，∴△BFO∽△BDC，∴＝，即＝，解得，CD＝．22．（10分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【分析】（1）如图1中，连接MN交CD于H．解直角三角形求出CH，PC即可解决问题．（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．利用相似三角形的性质求出CH，HD，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接MN交CD于H．∵CM＝MP＝NC＝NP＝50cm，∴四边形PMCN是菱形，∴CP⊥NM，CH＝PH，∴PH＝PN•cos53°≈30（cm），∴PC＝2PH＝60cm，∴PB＝PC﹣BC＝40cm．（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．∵四边形CMBN是菱形，∴CJ＝JB＝10cm，∵MJ∥EH，∴△CMJ∽△CEH，∴＝，∴＝，∴CH＝24，∴HD＝CD﹣CH＝220﹣24＝196cm，∴当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离＝HD＝196cm．23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．【分析】（1）根据CE2＝DE•CF且∠DEC＝∠ECF可证明△CDE∽△CEF，即可得结论；（2）根据AC平分∠ECF，AD∥BC，可得∠EAC＝∠ECA，进而得E＝EC，再证明△CGE∽△CAB，对应边成比例即可．【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即＝∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF，∴△CDE∽△CEF，∴∠D＝∠CEF．（2）如图所示：∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA，∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，∴∠CEF＝∠B，∴△CGE∽△CAB，∴＝，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠ECA＝∠DAC，∴AE＝CE，∴＝，即AC•AE＝CB•CG．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．【分析】（1）用待定系数法可求解析式，配方后即可求顶点C坐标；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据两点的距离求线段的长，根据三角函数定义可得结论；（3）利用平移的性质表示E和F的坐标，根据两点的距离公式和BE＝BF列方程可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴顶点C坐标为（3，﹣4）；（2）∵点A关于抛物线对称轴x＝3的对应点为点D，∴点D的坐标（4，﹣3），∴OD＝5，如图1，过O作OG⊥BD于G，∵点B（5，0），∴OB＝OD，∴DG＝BG＝BD＝＝，∴OG＝＝＝，∴tan∠ODB＝＝＝3；（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，∴E（3，﹣4+t），F（5，t），∵BE＝BF，B（5，0），∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，t＝．25．（14分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF，再用勾股定理表示出AF，再判断出△AEF ∽△BGF，得出比例式表示出CG，即可得出结论；②先表示出FG，再用S△DCE＝4S△BFG建立方程求出m，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△AEF∽△CGF时，得出∠AFE＝∠CFG，进而得出BG＝BC ＝，FG＝BG tan∠CBF＝，再根据勾股定理得，BF＝＝，进而得出AF＝AB+BF＝5+＝，最后判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF∽△CGF时，先判断出∠AFC＝90°，进而得出CF＝2BF，再根据勾股定理得，求出BF＝1，得出AF＝AB+BF＝6，同理：BG＝，再判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵EF⊥AD，∴∠AEF＝90°，在Rt△AEF中，tan A＝2，AE＝m，∴EF＝AE tan A＝2m，根据勾股定理得，AF＝＝m，∵AB＝5，∴BF＝5﹣m，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝，AD∥BC，∴∠G＝∠AEF＝90°，∴△AEF∽△BGF，∴，∴，∴BG＝﹣m，∴CG＝BC+BG＝+﹣m＝2﹣m，∴S△CEF＝EF•CG＝•2m•（2﹣m）＝2m﹣m2；②由①知，△AEF∽△BGF，∴，∴FG＝•EF＝•2m＝2（﹣m），∴EG＝EF+FG＝2m+2（﹣m）＝2，∴S△CDE＝DE•EG＝（﹣m）•2＝5﹣m，S△BFG＝BG•FG＝（﹣m）•2（﹣m）＝（﹣m）2，S△DCE＝4S△BFG时，∴5﹣m＝4（﹣m）2，∴m＝（舍）或m＝，∴DE＝AD﹣AE＝﹣＝，∴AE：ED＝：＝3，即：AE：ED的值为3；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝，AD∥BC，∵EF⊥AD，∴EF⊥BC，∴∠AEF＝∠CGF＝90°，∵△AEF与△CFG相似，∴①当△AEF∽△CGF时，如图1，∴∠AFE＝∠CFG，∵EF⊥BC，∴BG＝BC＝，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∵tan A＝2，∴tan∠CBF＝2，在Rt△BGF中，FG＝BG tan∠CBF＝，根据勾股定理得，BF＝＝，∴AF＝AB+BF＝5+＝，∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴，∴，∴m＝；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC，∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°，∴∠AFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tan A＝2，在R△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2＝（）2，∴BF＝1，∴AF＝AB+BF＝6，在Rt△BGF中，同理：BG＝，∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴，∴，∴m＝．即：如果△AEF与△CFG相似，m的值为或．。
2020年上海市松江区中考一模数学试卷(含有答案解析)
2020年上海市松江区中考一模数学试卷1.（2020·上海松江区·模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是( )A．a>0，b>0，c>0B．a<0，b<0，c<0C．a<0，b>0，c>0D．a<0，b<0，c>02.（2020·上海松江区·模拟）如果点A(1,3)，B(m,3)是抛物线y=a(x−2)2+ℎ上两个不同的点，那么m的值为( )A．2B．3C．4D．53.（2020·上海松江区·模拟）在以O为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A(3,4)，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为( )A．35B．43C．45D．344.（2020·上海松江区·模拟）下列两个三角形不一定相似的是( )A．两条直角边比都是2:3的两个直角三角形B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形C．有一个内角为50∘的两个直角三角形D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形5.（2020·上海松江区·模拟）如果a⃗+b⃗⃗=c⃗，a⃗−b⃗⃗=3c⃗，且c⃗≠0⃗⃗，下列结论正确的是( )A．∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣B．a⃗+2b⃗⃗=0C．a⃗与b⃗⃗方向相同D．a⃗与b⃗⃗方向相反6.（2020·上海松江区·模拟）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么sinα的值为( )A ． 34B ． 12C ． 23D ． 327. （2020·上海松江区·模拟）已知：xy =23，那么 2x−y x+y= ．8. （2020·上海松江区·模拟）已知线段 a 是线段 b ，c 的比例中项，如果 a =2，b =3，那么 c = ．9. （2020·上海松江区·模拟）若两个相似三角形的面积比为 3:4，则它们的相似比为 ．10. （2020·上海松江区·模拟）已知点 P 是线段 AB 上黄金分割点，AP >PB ，且 AP =2，那么PB = ．11. （2020·上海松江区·模拟）已知 Rt △ABC 中，若 ∠C =90∘，AC =3，BC =2，则 ∠A 的余切值为 ．12. （2020·上海松江区·模拟）已知二次函数 f (x )=12x 2+bx +c 图象的对称轴为直线 x =4，则f (1) f (3)．（填“>”或“<”）13. （2020·上海松江区·模拟）在直角坐标平面中，将抛物线 y =2(x +1)2 先向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．14. （2020·上海松江区·模拟）如图，已知 D 是 △ABC 的边 AC 上一点，且 AD =2DC ．如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，那么向量 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于 a ⃗，b⃗⃗ 的分解式是 ．15.（2020·上海松江区·模拟）如图，在正方形网格中，点A，B，C是小正方形的顶点，那么tan∠BAC的值为．16.（2020·上海松江区·模拟）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米．那么斜面AB的坡度为．17.（2020·上海松江区·模拟）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”．如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距” ．18.（2020·上海松江区·模拟）如图，矩形ABCD中，AD=1，AB=k．将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90∘得到矩形AʹBCʹDʹ．连接ADʹ，分别交边CD，AʹB于E，F．如果AE=√2DʹF，那么k=．．19.（2020·上海松江区·模拟）计算：3−(2cos45∘)2+3tan30∘2sin260∘−cos60∘−cot30∘20.（2020·上海松江区·模拟）已知二次函数y=x2−4x−1．(1) 将函数y=x2−4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B坐标；(2) 在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线y=x2−4x−1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A．求四边形OABC的面积．21.（2020·上海松江区·模拟）如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90∘，AD=AB=13，BD=24．求边DC的长．22.（2020·上海松江区·模拟）如图，小岛A在港口P的南偏西45∘方向上，一艘船从港口P，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B处，在B处测得小岛A 在它的南偏西60∘的方向上．小岛A离港口P有多少海里？23.（2020·上海松江区·模拟）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2=CF⋅CA．(1) 求证：EF∥BD；(2) 如果AC⋅CF=BC⋅CE，求证：BD2=DE⋅BA．24.（2020·上海松江区·模拟）如图，已知抛物线y=−x2+bx+c过点A(3,0)、点B(0,3)．点M(m,0)在线段OA上（与点A，O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，连接BQ．(1) 求抛物线表达式；(2) 连接OP，当∠BOP=∠PBQ时，求PQ的长度；(3) 当△PBQ为等腰三角形时，求m的值．25.（2020·上海松江区·模拟）已知tan∠MON=2，矩形ABCD的边AB在射线OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点F．(1) 如图（1），作AE⊥ON，垂足为点E．当m=2时，求线段EF的长度；(2) 如图（2），连接OC，当m=2，且CD平分∠FCO时，求∠COF的正弦值；(3) 如图（3），当△AFD与△CDF相似时，求m的值．答案1. 【答案】C【解析】抛物线开口向下a<0；对称轴在y轴右侧，b>0（与a异号）；图象交y正半轴，c>0．2. 【答案】B【解析】∵点A(1,3)，B(m,3)是抛物线y=a(x−2)2+ℎ上两个不同的点，∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴由顶点式可知对称轴是x=2，对称轴位于A点的右侧，∴2<m，=2，解之得：m=3．∴1+m23. 【答案】A【解析】∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A(3,4)，∴OA=√32+42=5，．∴cosα=354. 【答案】D【解析】A．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C．有一个内角为50∘的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形，内角是50∘的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似．5. 【答案】D【解析】将a⃗+b⃗⃗=c⃗代入a⃗−b⃗⃗=3c⃗，计算得：a⃗=−2b⃗⃗（方向相反）．6. 【答案】C【解析】如图示：作BC⊥CD交CD于C点，AD⊥CD交CD于D点，由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有AB=AE，AD=1，，∴AB=AE=1sinα∴S阴影=AB⋅AD=1sinα×1=1.5，解之得：sinα=23．7. 【答案】15【解析】∵xy =23，∴设x=2k，则y=3k，代入2x−yx+y 得：2×2k−3k2k+3k=k5k=15．8. 【答案】43【解析】∵线段a是线段b，c的比例中项，∴a2=bc，即22=3×c，∴c=43．9. 【答案】√32【解析】∵两个相似三角形面积的比为3:4，∴它们的相似比=√34=√32．10. 【答案】√5−1【解析】由于P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=AB×√5−12=2，∴PB =AB −PA =√5+1−2=√5−1．11. 【答案】 32【解析】如图．∵∠C =90∘，AC =3，BC =2，cot∠A =AC BC=32．12. 【答案】 >【解析】 ∵ 二次函数 f (x )=12x 2+bx +c 的图象开口向上，对称轴为直线 x =4， ∴ 当 x 的取值越靠近 4 函数值就越小，反之越大， ∴f (1)>f (3)．13. 【答案】 y =2x 2+1【解析】根据二次函数图象平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”则抛物线 y =2(x +1)2 平移后为：y =2[(x −1)+1]2+1=2x 2+1．14. 【答案】 23b ⃗⃗−a ⃗【解析】 ∵AD =2DC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 根据题意，可得：DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−23b⃗⃗． ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23b ⃗⃗−a ⃗．15. 【答案】 2【解析】如图示： 连接 BC ， 根据题意可得： AC 2=32+12=10， AB 2=12+12=2， BC 2=22+22=8， ∴AB 2+BC 2=AC 2，∴在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB =√8√2=2．16. 【答案】23【解析】斜面AB的坡度为：2030=23．17. 【答案】3√2+√63【解析】如图示：等腰直角三角形的腰长为2，即AB=AC=2，∵△DBA和△EAC是等边三角形，△ABC等腰直角三角形∴BC=2√2，DM=EN=√3．延长DF交边BC于点F．∵G1，G2分别是等边△ABD和等边△ACE的重心，∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC，G1M=G2N=√33，又∵∠BAC=90∘，∴AC∥DF．∴点F是BC的中点．同理可得EN的延长线也交BC于点F．∴MF=12AC=1，FN=12AB=1，MN=12BC=√2．∵FNNG2=√33，FMMG1=√33，∴FNNG2=FMMG1．∴MN∥G1G2．∴MNG1G2=FMFG1，即√2G1G2=1+√33，解得G1G2=√2+√63．18. 【答案】√2+1【解析】∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90∘得到矩形AʹBCʹDʹ，∴AD=AʹDʹ=1，AB=AʹB=k，∠Aʹ=∠DAB=90∘=∠DCB=∠ABC，∴AʹDʹ∥BA∥CD，∴∠AʹDʹF=∠FEC=∠DEA，且∠D=∠Aʹ=90∘，∴△ADE∽△FAʹDʹ，∴ADAʹF =DEAʹDʹ=AEDʹF，且AE=√2DʹF，∴DE=√2AʹDʹ=√2，AʹF=√2=√22，∵∠Aʹ=∠DCF=90∘，∠AʹFDʹ=∠EFC，∴△AʹDʹF∽△CEF，∴ECAʹDʹ=FCAʹF，∴k−√21=k−1−√22√22，∴k=√2+1．19. 【答案】原式=3−(2×√22)2+3×√332×(√32)2−12−√3=−2−√3.20. 【答案】(1) y=x2−4x−1=(x−2)2−5，该函数图象顶点B坐标为(2,−5)．(2) 如图．令y=0，x=−1，∴C(0,−1)．∵B(2,−5)，∴A(2,0)．∴四边形OABC的面积=12×(AB+OC)×OA=12×6×2=6．21. 【答案】如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠ABD=∠DBC，∵AE⊥BD，AB=AD，∴∠AEB=∠C=90∘，BE=DE=12，∴AE=√AB2−BE2=√169−144=5，∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90∘，∴△ABE∽△DCB，∴ABBD =AECD，即：1324=5CD，∴CD=12013．22. 【答案】过点A作AD⊥PB于点D，根据题意得：PB=12×1.5=18（海里）．设BD=x，则AD=√3x，∴x+18=√3x，解得：x=9+9√3，∴AD=27+9√3，∵∠APD=45∘，∴ADAP =27+9√3AP=√22．解得：AP=27√2+9√6．23. 【答案】(1) ∵DE ∥AB ，∴CD CA =CE CB ，∵CD 2=CF ⋅CA∴CD CA =CF CD ，∴CE CB =CF CD ，∴EF ∥BD ．(2) ∵AC ⋅CF =BC ⋅CE ，∴AC CE =BC CF ，又 ∠C =∠C ，∴△CEF ∽△CAB ，∴∠CEF =∠A ，∵EF ∥BD ，∴∠CEF =∠EBD ，∴∠EBD =∠A ，∵ED ∥AB ，∴∠EDB =∠DBA ，且 ∠EBD =∠A ，∴△ABD ∽△BDE ，∴BD DE =AB BD ，∴BD 2=BA ⋅DE ．24. 【答案】(1) ∵ 将点 A (3,0) 、点 B (0,3) 分别代入抛物线解析式y =−x 2+bx +c得 {−9+3b +c =0,c =3.解之得：{c =3,b =2,∴ 抛物线的解析式为 y =−x 2+2x +3．(2) ∵∠BOP =∠PBQ 且 MQ ∥OB ，∴∠OBP =∠BPQ ，∴△OBP ∽△BPQ ，设 Q (x,−x 2+2x +3)，∵P 点在直线 AB 上，并 A (3,0)．B (0,3)，则直线 AB 的解析式为：y =−x +3，∴P (x,3−x )，∴BP =√2x ，OB =3，PQ =−x 2+3x ，∴OBBP =BPBQ，即√2x=√2x−x2+3x，∴x=0或95（0舍去），∴PQ=5425．(3) ∵M(m,0)，P(m,3−m)，Q(m,−m2+2m+3)，∴BP=√2m，PQ=−m2+3m且∠BPQ=45∘，∴当△BPQ为等腰三角形时，存在如下情况：①如图1，当BQ=PQ时，即∠PBQ=∠BPQ=45∘，∴△BPQ为等腰直角三角形，∴−m2+2m+3=3，∴m=2．②当BP=PQ时，即√2m=−m2+3m，即m=3−√2或0（0舍去）．③如图2，当BP=BQ时，∠BQP=∠BPQ=45∘，根据PM=3−m，OM=m，可得PQ=2m，则有−m2+2m+3=3+m，∴m=1．综上所述，m的值为2，3−√2或1．25. 【答案】(1) 如图1，延长FC交OM于点G．∵∠BCG+∠CGB=90∘，∠MON+∠CGB=90∘，∴∠BCG=∠MON，则tan∠BCG=tan∠MON=2．∴BG=2BC=4，CG=√5BC=2√5，在Rt△AOE中，设OE=a，由tan∠MON=2，可得OA=√5a，则OG=√5a+6，OF=√5=a+6√55，∴EF=OF−OE=6√55．(2) 如图2，延长FC交OM于点G．由（1）得CG=2√5．∵CD平分∠FCO，∴∠FCD=∠DCO，∵CD∥OM，∴∠FCD=∠CGO，∠DCO=∠COG，∴∠CGO=∠COG，∴CO=CG=2√5．在Rt△COB中，由BC2+BO2=OC2，得22+(√5a+2)2=(2√5)2，解得 a 1=−6√55（舍去），a 2=2√55． ∴OF =a +6√55=8√55，cos∠COF =OF OC =45． ∴sin∠COF =35．(3) 当 D 在 ∠MON 内部时，①如图 3−1，△FDA ∽△FDC 时，此时 CD =AD =2，∴m =2；②当 △FDA ∽△CDF 时，如图 3−2，延长 CD 交 ON 于点 Q ，过 F 作 FP ⊥CQ 于 P ，则 ∠FDC =∠FDA =135∘，∴∠FDP =45∘，∵PC =FP ⋅tan∠PFC =FP ⋅tan∠MON =2FP =2DP =CD +DP ，∴FP =PD =CD =m ，∴FD =√2m ，∵△FDA ∽△CDF ，∴FD DA =CD FD ，∴FD =√AD ⋅CD =√2m ，∴√2m =√2m ，∴m =1；当 D 在 ∠MON 外部时，∠ADF >90∘，∠DFC >90∘，∴∠ADF =∠DFC ，∴∠DFI =∠FDI ，ID =IF ，如图 3−3，△FDA ∽△DFC 时，此时 △FDA ≌△DFC ，∴CF =AD =2，∵∠DAF =∠FCD =∠FHD ，∴A ，O 重合，延长 BC 交 ON 于 R ，∴FR =2CF =4，CR =2√5，BR =2+2√5，∴m =CD =AB =12BR =1+√5； 如图 3−4，△FDA ∽△CFD 时，设 CF =2√5t (t >0)，延长 BC 交 ON 于 R ，过 F 作 FS ⊥CD 于 S ，∵△DFC ≌△FDH ，∴DH =FC ，∴ID =IF =12CF =√5t ，∴IS =t ，FS =2t ，CS =4t ，DS =(√5+1)t ，DH =FC =2√5t ，∵△FDA ∽△CFD ，∴ADDF =DFFC，∴DF2=AD⋅FC=2DH=4√5t，∵DF2=DS2+FS2，∴4√5t=4t2+(√5+1)2t2，解得t1=√5−12，t2=0（舍去）∴DH=2√5t=5−√5>2=AD，矛盾．综上所述：m=1或m=2或m=1+√5．。