2020-2021常州市第二十四中学九年级数学上期中模拟试卷(及答案)

2020-2021常州市第二十四中学九年级数学上期中模拟试卷(及答案) 一、选择题 1．﹣3的绝对值是（）

A．﹣3 B．3 C．-13 D．

3 2．如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（）

A．43 B．45 C．35 D．

4 3．用配方法解方程2410xx，配方后的方程是 ( ) A．2(2)3x B．2(2)3x C．2(2)5x D．

2(2)5x

4．如图是二次函数2yaxbxc图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直

线x=﹣1，给出四个结论： ①c＞0；

②若点B（32，1y）、C（52，2y）为函数图象上的两点，则12yy；

③2a﹣b=0； ④244acba＜0，其中，正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4 5．如果关于x的方程240xxm有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m可以取的是（） A．3 B．5 C．6 D．

6．已知关于x的方程211230mmxx是一元二次方程，则m的值为（） A．1 B．-1 C． D．

7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A． B． C． D．

8．如图，△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（）

A．DE=3 B．AE=4 C．∠ACB是旋转角 D．∠CAE是旋转角

9．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（）

A．13 B．14 C．15 D．

6 10．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概

率是（）

A．120 B．19100 C．14 D．以上都不对

11．一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根

D．没有实数根

12．如果反比例函数2ayx（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．

a>2

二、填空题

13．已知x1，x2是一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两实数根，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，实数m的值为________．

14．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y轴上______________ 15．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．

16．如图，AD为ABCV的外接圆Oe的直径，如果50BAD，那么ACB∠__________． 17．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ . 18．若关于 x 的一元二次方程2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________． 19．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CDAB于H，30,23ACD，则⊙O的半径是_______．

20．如图，Oe是ABCV的外接圆，30Co，2ABcm，则Oe的半径为________cm．

三、解答题 21．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求: (1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元? (2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由. 22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．（1）用列表法（或画树状图）求甲获胜的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？请简要说明理由．

24．如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．（3）求图中△ABC的面积．

25．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此方程的根．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案. 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数. 2．D 解析：D 【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C， ∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，

Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，

由勾股定理，得：OE=3， ∴tan∠MBA=OEBE=34，

因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．

3．B 解析：B 【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】 x2−4x＋1＝0

，

（x−2）2−4＋1＝0

，

（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法． 4．B 解析：B 【解析】【分析】【详解】 ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0，①正确；

∵对称轴为直线x=﹣1，

∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，

∴y1＞y2②错误； ∵对称轴为直线x=﹣1，

∴﹣2ba=﹣1，则2a﹣b=0，③正确；

∵抛物线的顶点在x轴的上方，

∴244acba＞0，④错误；故选B. 5．A 解析：A 【解析】【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 6．B 解析：B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可．【详解】 ∵关于x的方程211230mmxx是一元二次方程， ∴m2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0． 7．C 解析：C 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】 A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 8．D 解析：D 【解析】【分析】根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．【详解】 ∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC=4，AC=3. ∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角. 故答案选D. 【点睛】本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质. 9．A 解析：A 【解析】【分析】【详解】

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23-24上学期期中参考答案(九年级数学)

2023—2024学年度第一学期期中学习质量抽测参考答案及评分标准九年级数学（仅供参考）一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分.）1-10 B C A B D B A C D A二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）11. x1=0,x2=212. 013.-2 14.3000=5000(1−x)215.1000S16.60°17.5√218. 36三．解答题(共7小题，共76分)19．（1）6分x2−2x=4, 1分x2−2x+1=5,2分∴(x−1)2=5 . 3分∴x−1=±√5 . 5分∴x1=1+√5, x2=1−√5. 6分（2）6分a=3,b=−2,c=−3,1分∆=b2−4ac=4−4×3×(−3)=40>0,2分∴方程有两个不相等的实数根3分∴x=−b±√b2−4ac2a =2±√406=1±√103. 5分∴x1=1+√103, x2=1−√103. 6分20．8分(1) 图3分结论1分（2）图3分，结论1分（1）①根据题意得，FL=1600×0.5=8001分∴F关于L的函数解析式为F=800L. 2分②400 3分（2）当F=12×400=200时，由200=800L，4分得L=4(m)，5分对于函数F=800L，∵800>0，L>0, F随L的增大而减小，6分∴当F≤200时，N应大于4．4-2≥27分答：动力臂至少增加2m. 8分22. 10分（1）设AB长度为x米1分根据题意得，x(80−2x)=800, 3分解得x1=x2=204分当AB=20时，BC=40<50，符合题意5分答：当AB长度是20米时，养鸡场的面积为800平方米6分（2）设AB边所用栅栏的长度为x米，则AB长度为(x+1)米1分根据题意得，S=(x+1)(82−2x) 2分=−2(x−20)2+882因为可围成矩形的最大面积为882，3分所以不能达到900平米4分法二：设AB边所用栅栏的长度为x米，则AB长度为(x+1)米1分根据题意得，(x+1)(82−2x)=900 2分整理得x2−40x+409=0∵∆=b2−4ac=1600−4×1×409<0，∴方程无解 3分所以不能达到900平米4分（1）设抛物线的解析式为y=ax21分根据题意得A（-10，-4），B（0,-4），抛物线过A，B 2分可得，-4=100a, 3分4分∴a=−125解析式为y=−1x2.25（2）∵水面上涨1m至CD，∴C（-x,-3）,D (x,-3) 5分x2，6分抛物线过C，D，可得−3=−125解得x=±5√3, ∴CD=10√37分∴水面宽度减少(20−10√3)m. 8分（3）水面又上涨0.5m时，矩形顶端至EF，∴y E=y F=−(4−1.5−2)=−0.5.9分x2，10分抛物线过E，F，可得−0.5=−125, 11分解得x=±5√22∴EF=5√2>6此船可以安全通过12分24. 12分解：（1）∵抛物线y＝-x2+b x+3的图象经过点A和点B（3，0），∴0=-9+3b+3=-6+3b，1分∴b=2,2分∴二次函数的解析式为y＝-x2+2x+3 3分（2）又与y轴交于点C，令x=0, 可得y=3, ∴C（0,3）4分设直线BC的解析式为y=kx+b, 代入B，C两点坐标，可得k=-1,b=3,∴直线BC的解析式为y=-x+3, 5分∵点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，∴设P（x，-x2+2x+3）又PE⊥x轴于点E，交BC于点G，∴x E=x G=x, y G=−x+3,∴PG=-x2+2x+3−（−x+3）=-x2+3x6分过C作CH⊥GP于H，交GP的延长线于H，又BE⊥GP，∴S∆PCB=S∆PCG+ S∆PGB=12PG(CH+BE)=32(−x2+3x)=3, 7分解得x1=1 , x2=2. 8分∴P（1, 4）或（2, 3）10分（3）(32，154). 12分25. 14分数学思考①画图2分②∵∆BPA是∆BDC以点B为旋转中心，逆时针旋转60°得到的∴∆BPA≌∆BDC∴BP=BD=1，AP=CD=2，∠PBD= 60°，∠APB =∠BDC4分连接PD，则∆BPD是等边三角形，5分∴∠DPB= 60°，PD=BD=1 6分在∆A PD中，PD2+AP2=1+4=5，而AD2=(√5)2=5，∴PD2+AP2=AD2∴∆A PD是直角三角形，∴∠APD= 90°，7分∴∠APB=∠APD+∠BPD= 90°+ 60°= 150°∴∠BDC=∠APB= 150°8分深入探究①BD2+CD2=AD2. 10分②4√3120°14分CB。

24-25学年九年级数学上学期期中模拟卷(人教九上第21~23章：一元二次方程+二次函数+旋转)解析

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（海南专用）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教版九上第21~23章（一元二次方程+二次函数+旋转）。

5．难度系数：0.65。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列是人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．既是轴对称图形也是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意；C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；D．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项符合题意；故选：D2．一元二次方程2x x-=的一次项系数是（）254A．2B．4-C．5D．4【答案】B【解析】方程整理为2--=，2450x x所以，一次项系数为4-，故选：B3．点()2,3-关于原点对称的点的坐标为（）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()3,2-【答案】A【解析】点()2,3-关于原点对称的点的坐标为()2,3-．故选：A ．4．二次函数22y x x =+的对称轴是（）A ．直线1x =B ．直线=1x -C ．直线2x =-D ．直线2x =【答案】B【解析】222(1)1y x x x =+=+-Q ，\抛物线的对称轴为直线=1x -，故选：B ．5．如图，将ABC V 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度再绕原点O 旋转180°，得到A B C ¢¢¢V ，则点 A 的对应点A ¢的坐标是（）A ．(0,4)B ．()0,4-C ．()1,1D ．()1,1--【答案】B 【解析】由题意得，点A 的坐标为()23-，，∴将ABC V 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度后点A 对应点坐标为(0,4)，∴再绕原点O 旋转180°，点 A 的对应点A ¢的坐标是()0,4-，故选B ．6．方程2220x x --=的根的情况是（）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．无法确定【答案】A 【解析】∵()()224248120D =--´-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．7．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线2244y x x =+-的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：老师甲乙丙丁2244y x x =+-→222y x x -=-→2213y x x =-+-→2(1)3y x =--→顶点坐标(1,3)--接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A ．甲和丁B ．乙和丙C ．乙和丁D ．只有丁【答案】A【解析】2244y x x =+-()2222x x =+-∴甲出现错误，222y x x =--2213x x =-+-，故乙正确，()213x =--，故丙正确，∴顶点坐标为()1,3-，故丁错误；综上所述，错误的是甲、丁，故选：A ．8．若关于x 的一元二次方程()10x ax a ++=有两个相等的实数根，则a 的值为( )A ．13B ．12± C ．13-D ．14±【答案】B【解析】原方程可化为：20ax x a ++=，由题意得21400a a ì-=í¹î，解得：12a =±，故选：B ．9．二次函数的图象如图所示，则其解析式是（）A ． 223y x x =-++B ． 2=23y x x --C ． 223y x x =--+D ． 223y x x -=--【答案】A 【解析】由图象可得抛物线过()03，、()30，、()10-，三点，∴设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，把()03，代入得()133a ×´-=，解得1a =-，所以抛物线解析式为()()2323y x x x x =-+-=-++，故选：A ．10．如果5x =是关于x 的一元二次方程()()4x m x m n --+=的一个根，那么关于x 的一元二次方程()()13x m x m n +-+-=的解为（）A ．124,2=-=x x B ．12=2,=4x x -C ．121,3x x =-=D ．123,1x x =-=【答案】A【解析】∵5x =是关于x 的方程()(4)x m x m n --+=的根，∴(5)(54)m m n --+=，得(5)(1)(5)(1)m m m m n -+=-+--=，(1)(3)x m x m n +-+-=Q ，35x \+=或15x -=-或31x +=-或11x -=，解得2x =或4x =-．故选：A ．11．把一副三角板如图①放置，其中90ACB DEC Ð=Ð=°，45A Ð=°，30D Ð=°，斜边4AB =，5CD =，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到11D CE V （如图②），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为（）A B C ．D ．4【答案】A 【解析】由图①可得：30ACD ACB DCE Ð=Ð-Ð=°因为旋转角度为15°301545ACO \Ð=°+°=°45A Ð=°Q 18090AOC A ACO \Ð=°-Ð-Ð=°4,AB ACB =Q V 为等腰直角三角形AC \==2AO CO \==15CD CD ==Q 1523OD \=-=在1Rt AOD △中：1A D ==故选：A12．如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴为直线1x =，且与x 轴交于点()3,0A 和点B ，下列说法错误的是（）A ．a<0，0b >，0c >B ．函数的最大值为4y =C ．当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．点B 的坐标为()1,0-【答案】C【解析】A ．抛物线的开口向下，则0a <，对称轴在y 轴右侧，0ab <，则0b >，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，则0c >，故A 正确，不符合题意；B ．由图象可知函数的最大值为4y =，故B 正确，不符合题意；C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大，故C 错误，符合题意；D ．由对称轴为直线1x =，且与x 轴交于点(3,0)A 和点B 知，点B 的坐标为(1,0)-，故D 正确，不符合题意．故选：C ．二、填空题（本大题共43分，满分12分）13．一元二次方程 210x -=的根是．【答案】11x =，21x =-【解析】210x -=21x =11x =，21x =-，故答案为：11x =，21x =-．14．将抛物线21y x =+先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，平移后的抛物线的解析式为．【答案】()267y x =--【解析】将抛物线21y x =+先向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度后，所得的抛物线的解析式为()2681y x =-+-，即()267y x =--，故答案为：()267y x =--．15．将一元二次方程2650x x ++=化成()2x a b -=的形式，则ab = ．【答案】12-【解析】∵2650x x ++=，∴2694x x ++=，即()234x +=，∴3a =-，4b =，∴3412ab =-´=-．故答案为：12-．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线26y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于B ，C 两点，则BC 的长为．【答案】【解析】∵抛物线26y ax =+与y 轴交于点A ，A \点坐标为()0,6．当6y =时，2163x =，解得x =±B \点坐标为()-，C 点坐标为()．(BC \=-=．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）按要求解下列方程(1)用配方法解方程：22740x x +-=；(2)用公式法解方程：2314x x -=．【解析】（1）解：22740x x +-=移项，得2274x x +=，二次项系数化为1，得2722x x +=，配方，得274981241616x æö+=+=ç÷èø，开方，得7944x +=±，解得：112x =，24x =-；······（6分）（2）解：2314x x-=化成一般式，得23410x x --=，∵3a =，4b =-，1c =-，∴()()2244431280b ac -=--´´-=>，解得：1x ==2x =．······（12分）18．（12分）已知二次函数24y x =-+．(1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．(2)由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当0x >时，y 随x 的增大而______．(3)利用图象写出当21x -<£时，y 的取值范围是______．【解析】（1）解：如下表所示：x...2-1-012...y (03)430…函数图象如图所示：······（7分）（2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y 轴；顶点坐标为()0,4；当0x >时，y 随x 的增大而减小；故答案为：向下；y 轴；()0,4；减小；······（11分）（3）有函数图象可得：当21x -<£时，y 的取值范围是04y <£，故答案为：04y <£．······（12分）19．（10分）如图，D 为等边ABC V 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°，得到线段AE ，连接BD CE ，．(1)求证：ABD ACE ≌△△；(2)连接DE ，若115ADB Ð=°，直接写出CED Ð的度数．【解析】（1）证明：∵ABC V 是等边三角形，∴AB AC =，60BAC Ð=°，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，∴AD AE =，60DAE Ð=°，∴60BAD DAC Ð+Ð=°，60EAC DAC Ð+Ð=°，∴BAD CAE Ð=Ð，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABD ACE V V ≌；······（6分）（2）解：∵ABD ACE ≌△△，∴115AEC ADB Ð=Ð=°，∵AD AE =，60DAE Ð=°，∴ADE V 为等边三角形，∴60AED Ð=°，∴1156055CED AEC AED Ð=Ð-Ð=°-°=°．······（10分）20．（12分）已知关于x 的一元二次方程22x x m +=．(1)当5m =时，求这个方程的解；(2)当m 为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m 为何值时，此方程没有实数根？【解析】（1）解：当5m =时，方程为225x x +=，22115x x ++-=()216x +=，解得，11x =，21x =；······（4分）（2）22x x m +=，即220x x m +-=，∵2444b ac m -=+，∴440m +=时，方程有两个相等的实数根，解得：1m =-，即1m =-时，方程有两个相等的实数根．∴440m +<时，方程没有实数根解得：1m <-，即1m <-时，方程没有实数根．······（10分）21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC V 的顶点坐标分别为(1,2)A ，(4,1)B ，(5,4)C ．(1)将ABC V 进行平移得到111A B C △，其中点A 的对应点为()15,1A -，点B ，C 的对应点分别为11,B C ，请在图中画出111A B C △并直接写出点1B 和1C 的坐标；(2)将ABC V 绕原点顺时针旋转90°得到222A B C △，其中点A ，B ，C 的对应点分别为222A B C △，请在图中画出222A B C △，并直接写出点2A 和2B 的坐标；(3)连接2121,A C B B ，求证：四边形2112A C B B 是平行四边形．【解析】（1）解：如图，111A B C △为所求，且1(2,0)B -，1(1,3)C -；·····（4分）（2）解：如图，则△222A B C 为所求，且22(21)(1,4)A B --，·····（8分）（3）解：如图，1122B C A B ==Q ，且12125C A B B ==，\四边形2112A C B B 为平行四边形．·····（12分）22．（14分）二次函数2y x mx n =-++的图象经过点()1,4A -，()1,0B ，12y x b =-+经过点B ，且与二次函数2y x mx n =-++交于点D ．过点D 作DC x ^轴，垂足为点C ．(1)求二次函数的表达式；(2)点N 是二次函数图象上一点（点N 在BD 上方），过N 作NP x ^轴，垂足为点P ，交BD 于点M ，求MN 的最大值．【解析】（1）解：∵二次函数2y x mx n =-++的图象经过点()1,4A -，()1,0B ，∴4101m n m n =--+ìí=-++î，解得2m =-， n ＝3，∴二次函数的表达式为223y x x =--+．·····（6分）（2）解：12y x b =-+经过点B ，∴1102b -´+=，·····（7分）∴解得12b =·····（8分）∴1122y x =-+·····（9分）设11,22M m m æö-+ç÷èø，则()2,23N m m m --+，·····（10分）∴2221135349232222416m MN m m m m m æöæö=--+--+=--+=-++ç÷ç÷èøèø，·····（12分）∴MN 的最大值为4916．·····（14分）。

2023-2024学年江苏省常州二十四中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)

2023-2024学年江苏省常州二十四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是一元二次方程的是( )A. x−1x−1=0B. 7x 2+1x 2−1=0C. x 2=0D. (x +1)(x−2)=x (x +1)2.若方程(m +2)x m2−2+2x +1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A. −2 B. 0 C. −2或2 D. 23.若关于x 的一元二次方程kx 2−6x +9=0有实数根，则k 的取值范围是( )A. k <1B. k ≤1C. k <1且k ≠0D. k ≤1且k ≠04.如图，在△ABC 中，DE //BC ，AD AB =23，若EC =0.9，则AE 长为( )A. 1.8B. 2.7C. 3.6D. 4.55.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是( )A. ∠C =∠EB. ∠B =∠ADEC. AB AD =AC AED. AB AD =BC DE6.一次聚会，每个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x ，根据题意可列方程为( )A. x (x +1)=56B. x (x−1)=56C. 2x (x +1)=56D. x (x−1)=56×27.若α，β是方程x 2+2x−2024=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为( )A. 2015B. 2022C. −2015D. 40108.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且ACCE =BCBF=n，下列说法中①△ADC∽△CDB；②CE·DF=DE·BF；③当n=2时，EF=CD；④∠EDF=90°，正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.关于x的方程(k−1)x|k|+1−x+5=0是一元二次方程，则k=______．10.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0没有实数根，则k的取值范围是．11.如图，点P把线段AB的黄金分割点，且AP<BP.如果AB=2，那么BP=(结果保留小数)．12.如图，点D、E分别在AB与AC上，DE//BC，且S△A D E：S四边形D B C E=1：8，DE=3，则BC=______ ．13.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为______．14.请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了______人.15.如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m ，宽15m ，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m 2，则图中x 的值为______ ．16.在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换.如图，BD 为▱ABCD 的对角线，M 、N 分别在AD 、AB 上，且AM AD =AN AB =23，若S △D M C =3，则S △B N C +S △A M N = ______ ．三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。

常州市第二十四中学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 2．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图等边ABC 的边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm/s 的速度向点C 运动，点P 沿A B C --以2cm/s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停止运动，若APQ 的面积为()2cmS ，点Q 的运动时间为()s t ，则下列最能反映S 与t 之间大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．4．若整数a 使得关于x 的分式方程12322ax x x x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．12 B ．15 C ．17 D ．205．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，对称轴是直线1x =，王刚同学观察得出了下面四条信息：①1c >；②若()12,y ，()24,y 是抛物线上两点，则12y y >；③420a b c -+<；④方程20ax bx c ++=的两根是11x =-，23x =．其中说法正确的有（）A ．①②③④B ．②④C ．①②④D ．①③④ 6．点()13,P y 、Q ()24,y 是二次函数245y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为（）A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定 7．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)8．已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点（A 在原点O 左侧，B 在原点O 右侧)，与y 轴交于C 点，且OC=OB,令CO AO=m ，则下列m 与b 的关系式正确的是( )A ．m=2bB ．m=b+1C ．m=6bD ． m=2b +1 9．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤ 10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论正确的是（）A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c ++=D ．240b ac -< 12．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 53+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（）A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（5，0），顶点B 在y 轴正半轴上，顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y ＝－x 2－13x +c 经过点B 、C ，则菱形ABCD 的面积为________．14．已知函数y ＝ax 2﹣（a ﹣1）x +1，当0<x <2时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是_____．15．已知二次函数246y x x =--，若16x -≤≤，则y 的取值范围为____．16．二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程28x bx c ++=-的根是____________．17．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．18．如图，将抛物线y=−12x 2平移得到抛物线m ．抛物线m 经过点A （6，0）和原点O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y=−12x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为______．19．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．22．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，顶点B 在x 轴的正半轴上，点D 在y 轴的正半轴上．抛物线2y x bx c =-++经过点B 与点D ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）将正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，若点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，求m 的值．23．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小．（3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．24．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．25．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上一动点，连接PB ，PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）①如图1，当点P 在直线BC 上方时，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．若2PE ED =，求PBC 的面积；②抛物线上是否存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案26．对于抛物线243y x x =-+．（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）求抛物线的顶点坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．B解析：B【分析】根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题；【详解】∵ ()()22356y x x x x =--=-+， ∴ △=24b ac -=25-24=1＞0∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键； 3．D解析：D【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解．【详解】解：当点P 在AB 边运动时， 21133sin 22222S AQ AP A t t t =⨯=⨯⨯⨯=，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．4．B解析：B【分析】由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和．【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数，∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤解得3a ≥解分式方程12322ax xx x-+=--解得：62xa=-由x≠2得，a≠5，由于a、x是整数，所以a=3，x=6，a=4，x=3，a=8，x=1，同理符合a≥3的a值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a的值之和=3+4+8=15，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．5．A解析：A【分析】由OC与OA的大小对①进行判断；利用二次函数的性质对②进行判断；利用x=-2时，y ＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．【详解】∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，且OC＞1，∴c＞1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（2，y1）到直线x=1的距离小于点（4，y2）到直线x=1的距离相等，∴y1＞y2，所以②正确；∵x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，所以④正确．故选：A．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是熟记二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．B解析：B【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y=x 2-4x+5的图象的对称轴是x=2，在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，∵点P （3，y 1）、Q （4，y 2）是二次函数y=x 2-4x+5的图象上两点，2＜3＜4，∴y 1＜y 2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键7．A解析：A【分析】根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1），∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b把A 1（−1，1）代入得1=-1+b解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），∴A 3（−2，4），∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，∴A 4（3，9），∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36） …，∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．8．B解析：B【分析】利用数形结合得思想，先表示出A 、B 的横坐标，再代入到解析式建立方程，进而分别求解即可．【详解】由题意：OC c =，则OB c =，即B 的横坐标为c ，代入解析式有：20c bc c -++=，则可解得：1c b =+，根据CO m AO =，可得c OA m =，即A 的横坐标为c m-，代入解析式有：20c c b c m m ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：210c b m m --+=，将1c b =+代入可得；2110b b m m +--+=，即2210m b bm m---=， 210m b bm ∴---=，整理得：()210m bm b --+=，对其因式分解可得：()()110m b m -++=⎡⎤⎣⎦，解得：1m b =+，或1m =-（舍去），故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，能够利用数形结合的思想，准确将图中的信息转化为解方程是解决问题的关键．9．C解析：C【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2b a-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确；抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则0a < 故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y 轴左边，故02b a-< 即得：0b < 故一次函数交y 轴的负半轴．则一次函数y ax b =+图象便为C 选项故本题选择C ．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．11．C解析：C【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0x >，以及二次函数与y 的交点在x 轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．【详解】A 、观察图象，二次函数的开口向下，∴0a <，与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，又∵对称轴为2b x a =-，在x 轴的正半轴上，故02b x a=->，即0b >． ∴0abc <，故选项A 不正确；B 、观察图象，抛物线对称轴为直线12122x -+== ∴在对称轴右侧，当1x =时，函数值0y a b c =++>，故选项B 不正确； C 、观察图象，当2x =时，函数值420y a b c =++=，故选项C 正确；D 、∵二次函数与x 轴有两个交点，∴240b ac =->，故D 不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关键． 12．C解析：C【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：当y =0时，即y 112=-x 223+x 53+=0，解得：x =﹣2（舍去），x =10．∴该生此次实心球训练的成绩为10米．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．二、填空题13．156【分析】由题意可得：结合已知条件求解再求解的坐标再代入抛物线的解析式求解即可得到答案【详解】解：在抛物线上菱形ABCD ＞故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的性质菱形的性质勾股定理的应用掌握以解析：156【分析】由题意可得：()0B c ，，结合已知条件求解AB = 再求解C 的坐标，再代入抛物线的解析式求解c 即可得到答案．【详解】解：B 在抛物线上，()0B c ∴，()5,0A ，AB ∴=菱形ABCD ，BC AB ∴==()C c ∴()(2225+1325,c c c c ∴=-+++225c ∴+=2250,c +≠13,=2144,c ∴=c ＞0，12,c ∴=1312=156.ABCD S ∴=⨯菱形故答案为：156.【点睛】本题考查的是抛物线的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．14．【分析】分a ＜0a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时利用二次函数的性质可得出﹣≥2解之可得出a 的取值范围；当a=0时原函数为一次函数y=x+1由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大进而可得出a=解析：113a -≤≤ 【分析】分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时，利用二次函数的性质可得出﹣()12a a --≥2，解之可得出a 的取值范围；当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，进而可得出a=0符合题意；当a ＞0时，利用二次函数的性质可得出，﹣()12a a --≤0，解之可得出a 的取值范围．综上此题得解．【详解】解：根据题意得：当a ＜0时，﹣()12a a --≥2，解得：﹣13≤a ＜0；当a ＝0时，原函数为一次函数y ＝x +1，∵1＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴a ＝0符合题意；当a ＞0时，﹣()12a a --≤0，解得：a ≤1．综上所述：a 的取值范围是﹣13≤a ≤1，故答案为﹣13≤a ≤1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况，找出a 的取值范围是解题的关键． 15．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y 的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y 有最小值最小值为-10∵∴当x=解析：106y -≤≤【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x 2-4x-6=x 2-4x+4-10=（x-2）2-10．∴当x=2时，y 有最小值，最小值为-10．∵16x -≤≤，∴当x=6时，y 有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．∴y 的取值范围为106y -≤≤．故答案为：106y -≤≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．【分析】根据题目中的函数解析式可知当时从而可得到一元二次方程的根本题得以解决【详解】由图象可知当时即时∴一元二次方程的根是故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系解答本题的关键是明确解析：122x x ==-【分析】根据题目中的函数解析式可知，当8y =-时，2x =-，从而可得到一元二次方程28x bx c ++=-的根，本题得以解决．【详解】由图象可知，当8y =-时，2x =-，即2x =-时，28x bx c ++=-，∴一元二次方程28x bx c ++=-的根是122x x ==-，故答案为：122x x ==-．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（1），或（，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得122x x =P 点坐标为（，1），或（，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（1），或（，1）故答案为：(2，-1)或（，1），或（，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．18．324【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴然后求出点P 的坐标过点P 作PM ⊥y 轴于点M 过点P 作PN ⊥x 轴于点N 根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积然后求解即可解析：324．【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可．【详解】解：过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=3，∴平移后的二次函数解析式为： ()2123y x h =--+，将（6，0）代入得出：()201263h =-⨯-+，解得：108h =，∴点P 的坐标是（3，108）．根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S= 3108⨯=324故答案为：324【点睛】本题主要考查二次函数的有关知识，涉及到二次函数的性质及二次函数图象平移的规律，解题的关键是熟练所学知识并学会做辅助线．19．①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x解析：①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）∵对称轴为x=−2b a＝1，从而可知：2a+b=0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）∴△=b 2-4ac ＞0，而②b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，所以，结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：2211()24y x x x =-=--，所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6；（2）矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2，9000元．【分析】（1）根据矩形的面积公式和已知条件列出S 与x 之间的函数关系式并确定自变量x 的取值范围即可；（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法求出函数的最大值即可．【详解】解：（1）∵矩形的一边长为x 米，∴另一边长为1222x -米，即（6﹣x ）米， ∴S ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ，即S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6；（2）根据（1）得：S ＝x （6﹣x ）＝﹣（x ﹣3）2+9，则矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2．则此时最大费用为9×1000＝9000（元）．【点睛】本题考查了二次函数在几何图形中的应用，根据题意确定S 与x 之间的函数关系式成为解答本题的关键．22．（1）22y x x =-++；（2）52-+ 【分析】（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；（2）先分别表示出点P 、Q 的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可知点B 、D 的坐标分别为（2，0），（0，2），将（2，0），（0，2）代入2y x bx c =-++，得 4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的表达式为22y x x =-++；（2）∵正方形ABCD 向左平移m 个单位（0m >），边AD 与BC 分别与（1）中的二次函数图像交于P 、Q ，∴点P 的横坐标为-m ，点Q 的横坐标为2-m ，当x=-m 时，22y m m =--+，当x=2-m 时，2(2)22y m m +=---+23m m =-∵点Q 纵坐标是点P 纵坐标的2倍，∴2232(2)m m m m -=--+解得152m -=，252m -=（舍去）∴m 的值为52-+．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数关系式，正方形的性质等相关知识，熟练掌握待定系数法求二次函数关系式是解决本题的关键．23．（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a 求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可；（3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可．【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--，对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =．（2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大．21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >，当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >．．②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤，若1x =-时，y 取最大-2， 12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍）若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤，当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918， 2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =，不符合32m <-，故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．24．（1）()214y x =--或223y x x =--；（2）1x <-或3x >【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得 ()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）①32PBC S =△；②1113113,22P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，2113113P --⎝⎭．【分析】（1）将A （-1,0），B （3，0）代入y=-x 2+bx+c ，可求出答案；（2）①先求出点C 的坐标，进而可求得直线BC 的函数关系式，再设()2,23P m m m -++，进而可表示出点E 的坐标为(,3)E m m -+，再根据PD=3ED 列出方程求解即可；②设点P 的坐标为()2,23P m m m -++，根据PB=PC 可得PB 2=PC 2，进而可列出方程求解即可．【详解】（1）抛物线2y x bx c =-++经过点()1,0A -，()3,0B ， 22(1)0330b c b c ⎧---+=∴⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为2y x 2x 3=-++．（2）①在2y x 2x 3=-++中，当0x =时，3y =，()0,3C ∴设直线BC 的解析式为y kx b =+，则330b k b =⎧⎨+=⎩， 31b k =⎧∴⎨=-⎩∴直线BC 的解析式为3y x =-+，若2PE ED =，则3PD ED =，设()2,23P m m m -++，则(,3)E m m -+， 2233(3)m m m ∴-++=-+，即2560m m -+=，解得12m =，23m =（舍）当2m =时，()2,3P ，()2,1E ，则1PE =，131322PBC S ∴=⨯⨯=△， ②假设存在点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，设点P 的坐标为()2,23P m m m -++， ∵PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，∴PB=PC ，∴PB 2=PC 2， ∵()2,23P m m m -++，B （3，0），C （0，3），∴（m-3）2+（-m 2+2m+3）2=m 2+(-m 2+2m+3-3)2整理得m 2-m-3=0，解得m 1m 2，当时，-m 2∴点P当-m 2∴点P 的坐标为（12-，12），综上所述：抛物线上存在一点P ，使PBC 是以BC 为底边的等腰三角形，此时点P 的坐标为1113113,P ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，2113113,P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法解题的关键．26．（1）该抛物线与x 轴交点的坐标为()1,0， ()3,0，与y 轴交点的坐标为()0,3；（2）抛物线的顶点坐标是()2,1-．【分析】（1）运用二次函数与x 轴相交时，0y =，与y 轴相交时， 0x =，计算即可；（2）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后得到顶点坐标即可．【详解】（1）令y ＝0，则2430x x -+=，解得x 1＝1，x 2＝3，所以该抛物线与x 轴交点的坐标为：()1,0，()3,0，令x ＝0，则y ＝3，所以该抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3．（2）由抛物线()224321y x x x =-+=--知，该抛物线的顶点坐标是()2,1-．【点睛】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种不同形式间的转化．。

2021年江苏省常州市第二十四中学教育集团九年级中考二模数学二试卷

2020年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团中考数学二模试卷一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）1．4的平方根是（）A．2B．C．±2D．±2．抛物线y＝2x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（0，3）D．（0，﹣3）3．已知线段a＝4，b＝2，则线段a，b的比例中项为（）A．±8B．8C．±2D．24．下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（）年龄13141516频数5713■A．中位数是14B．中位数可能是14.5C．中位数是15或15.5D．中位数可能是165．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（）A．25%B．50%C．75%D．33.3%6．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（）A．2B．2C．D．37．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝2，AD＝BC＝4，则的值应该（）A．等于B．大于C．小于D．不能确定8．从下列4个函数：①y＝3x﹣2；②y＝﹣；③y＝（x＞0）；④y＝﹣x2中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的是（）A．①B．①②C．③D．①③9．若不等式组的解为x＞2，则函数图象与x轴的交点是（）A．相交于两点B．没有交点C．相交于一点D．没有交点或相交于一点10．如图1，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕（图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①x＝时，EF+GH＝AC；②六边形AEFCHG面积的最大值是 3.5；③六边形AEFCHG周长的值为定值．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）68°42′24″的余角是．12．（4分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则ab＝．13．（4分）圆内接正六边形的边长为3，则该圆内接正三角形的边长为．14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是．15．（4分）已知二次函数，当x＝1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形．16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．（1）当AC＝2时，求⊙O的半径；（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式是．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）17．（1）已知＝≠0，求代数式的值；（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．18．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了名学生，两幅统计图中的m＝，n＝．（2）已知该校共有1000名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）如图，扇形统计图中，喜欢D类型图书的学生所占的圆心角是多少度？19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点P为直线y＝x+1与y＝﹣x+t的交点．（1）当t＝3时，则b＝，c＝；（2）用含t的代数式来表示顶点P的坐标；（3）当x≤﹣1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c与y＝x+1的值均随x的增大而增大，求t的取值范围．20．（1）先求解下列两题：①如图，点B，D在射线AF上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，已知∠FEN＝65°，求∠A的度数；②已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为3：4，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为5：6，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯160个，则乙桶内的果汁最多可装满大纸杯多少个？（写出解题过程）（2）我们在解决问题时，有很多的数学思想方法，如数形结合，特殊数值法，转化思想，方程思想，函数思想，分类思想等等，解此两题后，你发现它们有什么共同点？请简单地写出．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）求弦AB的长；（2）当∠D等于28°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度等于多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．22．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝a，PB＝b．（1）求证：△APD≌△AEB；（2）探究EB与ED的位置关系，并说明理由；（3）求正方形ABCD的面积．（用a，b表示）23．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“如意三组数”．（1）实数3，4，5可以构成“如意三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+2，y2），R（t+4，y3）三点均在函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“如意三组数”，求实数t的值；（3）若直线y＝5bx+5c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于B （x2，0），C（x3，0）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“如意三组数”；②若a＞b＞c，x2＝1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．2020年浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）1．4的平方根是（）A．2B．C．±2D．±【分析】原式利用平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故选：C．2．抛物线y＝2x2﹣4x+3与y轴的交点坐标是（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（0，3）D．（0，﹣3）【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝2x2﹣4x+3与y轴的交点坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝3，∴抛物线y＝2x2﹣4x+3与y轴的交点坐标为（0，3），故选：C．3．已知线段a＝4，b＝2，则线段a，b的比例中项为（）A．±8B．8C．±2D．2【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【解答】解：设线段a、b的比例中项为x，则x2＝ab，即x2＝4×2，解得x＝2或x＝﹣2＜0（舍去），故选：D．4．下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（）年龄13141516频数5713■A．中位数是14B．中位数可能是14.5C．中位数是15或15.5D．中位数可能是16【分析】根据列表，由中位数的概念计算即可．【解答】解：5+7+13＝25，由列表可知，人数大于25人，则中位数是15或（15+16）÷2＝15.5或16．故选：D．5．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（）A．25%B．50%C．75%D．33.3%【分析】抛掷两枚均匀的硬币，可能会出现四种情况，而出现出现一个正面朝上一个反面朝上的机会为二分之一，据此可估计抛掷次数足够大时，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值．【解答】解：抛掷2枚硬币时，所有可能情况列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）由表知所有等可能的情况有4种，其中一个正面朝上，一个反面朝上的情况有2种，所以两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的概率为＝，当抛掷次数足够大时，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在＝50%，故选：B．6．如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为（）A．2B．2C．D．3【分析】先根据△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线可知∠EBP＝∠QBF＝30°，再根据BF＝2，FQ⊥BP可得出BQ的长，再由BP＝2BQ可求出BP的长，在Rt△BEF中，根据∠EBP＝30°即可求出PE的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，∵BF＝2，QF为线段BP的垂直平分线，∴∠FQB＝90°，∴BQ＝BF•cos30°＝2×＝，∴BP＝2BQ＝2，在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，∴PE＝BP＝．故选：C．7．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB＝2，AD＝BC＝4，则的值应该（）A．等于B．大于C．小于D．不能确定【分析】作AH∥n分别交b、c于G、H，如图，易得HF＝GE＝AD＝4，利用平行线分线段成比例得到＝＝，所以＝＝+，于是可判断＞．【解答】解：作AH∥n分别交b、c于G、H，如图，易得四边形AGED、四边形AHFD为平行四边形，∴HF＝GE＝AD＝4，∵直线a∥b∥c，∴＝，即＝＝，∴＝＝＝＝+，∴＞．故选：B．8．从下列4个函数：①y＝3x﹣2；②y＝﹣；③y＝（x＞0）；④y＝﹣x2中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的是（）A．①B．①②C．③D．①③【分析】利用一次、二次函数，以及反比例函数的性质判断即可．【解答】解：①y＝3x﹣2，y随着x的增大而增大；②y＝﹣，在每一象限内，y随着x的增大而增大；③y＝（x＞0），y随着x的增大而减小；④y＝﹣x2，当x＜0时，y随着x的增大而增大，则函数值y随自变量x的增大而增大的是①，故选：A．9．若不等式组的解为x＞2，则函数图象与x轴的交点是（）A．相交于两点B．没有交点C．相交于一点D．没有交点或相交于一点【分析】根据不等式组的解集求得a的取值范围，并令＝0，通过解该方程的根的判别式的符号即可判断二次函数与x轴的交点的个数．【解答】解：解不等式组，得；∵不等式组的解为x＞2，∴a≤2，∴a﹣2≤0；令＝0，则△＝1﹣4×（6﹣2a）×＝a﹣2≤0；∴二次函数图象与x轴没有交点或相交于一点．故选：D．10．如图1，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕（图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①x＝时，EF+GH＝AC；②六边形AEFCHG面积的最大值是 3.5；③六边形AEFCHG周长的值为定值．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由△BEF∽△BAC，得出EF＝AC，同理得GH＝AC，得结论①，由六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积，得出函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可判断②，根据六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+FG+AG＝（AE+CH）+（FC+AC）+（EF+GH）得出定值即可得证结论③．【解答】解：由题知，正方形纸片ABCD边长为2，折叠∠B和∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上的一点P，EF、GH分别是折痕，∴△BEF∽△BAC，∵x＝，∴BE＝2﹣＝，∴＝＝＝，∴EF＝AC，同理，GH＝AC，∴EF+GH＝AC，故①正确；六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积，∵AE＝x，∴六边形AEFCHG面积＝22﹣BE•BF﹣GD•DH＝4﹣＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG面积最大值为3，故②不正确；∵EF+GH＝AC，∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+FG+AG＝（AE+CH）+（FC+AC）+（EF+GH）＝2+2+2＝4，故③正确；故选：B．二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）68°42′24″的余角是21°17′36″．【分析】根据互为余角的两个角的和为90°作答．【解答】解：根据余角的定义可知，68°42′24″的余角是：90°﹣68°42′24″＝21°17′36″．故答案为：21°17′36″．12．（4分）若a+b＝3，a﹣b＝7，则ab＝﹣10．【分析】由两方程组成方程组，求出a、b的值，再代入求出即可．【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝7，∴∴2a＝10，解得：a＝5，把a＝5代入a+b＝3得：b＝﹣2，∴ab＝5×（﹣2）＝﹣10，故答案为：﹣10．13．（4分）圆内接正六边形的边长为3，则该圆内接正三角形的边长为3．【分析】根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．【解答】解：如图（一），∵圆内接正六边形边长为3，∴AB＝3，可得△OAB是等边三角形，圆的半径为3，如图（二）连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC＝30°，BD＝OB•cos30°＝×3＝，故BC＝2BD＝3．故选答案为3．14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长是2．【分析】过D作DH⊥AB于H，由tan∠DBA＝，设DH＝m，则BH＝5m，AB＝6m，根据三角形ABC 是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，可得AB＝6，从而可得6m＝6，解得m，即可得到答案．【解答】解：过D作DH⊥AB于H，如图：Rt△BDH中，tan∠DBA＝，∴＝，设DH＝m，则BH＝5m，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，∴∠A＝45°，AB＝AC＝6，∴△AHD是等腰直角三角形，∴AH＝m，AD＝m，∴AB＝AH+BH＝6m，∴6m＝6，解得m＝，∴AD＝m＝2．故答案为：2．15．（4分）已知二次函数，当x＝1时有最小值，其中a，b，c分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C的对边，请判断△ABC是什么特殊三角形直角三角形．【分析】根据顶点横坐标公式，得b+c＝2a①，由x＝1，y＝，得c＝②，①与②联立，得出用含b的代数式分别表示a、c的式子，从而根据三边关系判断△ABC的形状．【解答】解：∵当x＝1时有最小值，∴∴，解得，，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角三角形．16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．（1）当AC＝2时，求⊙O的半径；（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式是y＝﹣x2+x（0＜x＜16）．【分析】（1）连接OE，OD，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形OECD是正方形，进而得到DC＝OD，证明△ADO∽△ACB，根据相似三角形的性质列式计算即可；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，把含x、y的式子代入，化简即可．【解答】解：（1）连接OE，OD，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，∵AC＝2，∴BC＝14，∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形OECD是正方形，∴DC＝OD，∵OD∥BC，∴△ADO∽△ACB，∴＝，即＝，解得，OD＝，即⊙O的半径为；（2）∵AC+BC＝16，AC＝x，∴BC＝16﹣x，由（1）可知，＝，即＝，整理得，y＝﹣x2+x（0＜x＜16），故答案为：y＝﹣x2+x（0＜x＜16）．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）17．（1）已知＝≠0，求代数式的值；（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．【分析】（1）设＝＝k，利用比例性质得a＝2k，b＝3k，然后把a＝2k，b＝3k代入所求的代数式计算分式的运算即可．（2）根据黄金比值是，求出AD、BC的长，根据CD＝AD+BC﹣AB代入计算得到答案．【解答】解：（1）设＝＝k，可得：a＝2k，b＝3k，把a＝2k，b＝3k代入．（2）∵C、D是AB上的两个黄金分割点，∴AD＝BC＝AB＝5﹣5，∴CD＝AD+BC﹣AB＝10﹣20cm．18．为了培养学生的阅读习惯，某校开展了“读好书，助成长”系列活动，并准备购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，根据统计图所提供的信息，回答下列问题：（1）本次调查共抽查了120名学生，两幅统计图中的m＝48，n＝15．（2）已知该校共有1000名学生，请估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）如图，扇形统计图中，喜欢D类型图书的学生所占的圆心角是多少度？【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数，用总数减去A，C，D类的人数，即可求出m 的值，用C类的人数除以总人数，即可得出n的值；（2）用该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数＝学生总人数×A类的百分比求解即可；（3）求得喜欢D类型图书的学生所占的百分比，进一步求得圆心角的度数即可．【解答】解：（1）这次调查的学生人数为42÷35%＝120（人），m＝120﹣42﹣18﹣12＝48，18÷120＝15%；所以n＝15，故答案为：120，48，15；（2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为：1000×35%＝350（人），答：该校喜欢阅读“A”类图书的学生人数为350人；（3）360×＝36°，答：喜欢D类型图书的学生所占的圆心角是36度．19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点P为直线y＝x+1与y＝﹣x+t的交点．（1）当t＝3时，则b＝2，c＝3；（2）用含t的代数式来表示顶点P的坐标；（3）当x≤﹣1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c与y＝x+1的值均随x的增大而增大，求t的取值范围．【分析】（1）求出两直线的交点坐标，然后利用二次函数的顶点坐标公式列方程组求解；（2）联立方程组求出两直线的交点坐标；（3）利用二次函数的增减性及一次函数的性质求解．【解答】解：（1）当t＝3时，直线y＝﹣x+3，联立方程组，解得：，∴P点坐标为（1，2），在y＝﹣x2+bx+c中，其顶点坐标为（，），∴，解得，故答案为：2；3，（2）联立方程组，解得，∴P点坐标为（，）（3）在y＝﹣x2+bx+c中，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜时，y随x的增大而增大，在y＝x+1中，∵k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，∴由题意可得当≥﹣1时，二次函数y＝﹣x2+bx+c与y＝x+1的值均随x的增大而增大，解得t≥﹣1．20．（1）先求解下列两题：①如图，点B，D在射线AF上，点C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，已知∠FEN＝65°，求∠A的度数；②已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为3：4，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为5：6，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯160个，则乙桶内的果汁最多可装满大纸杯多少个？（写出解题过程）（2）我们在解决问题时，有很多的数学思想方法，如数形结合，特殊数值法，转化思想，方程思想，函数思想，分类思想等等，解此两题后，你发现它们有什么共同点？请简单地写出．【分析】（1）根据等边对等角可得∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；（2）根据等量关系“甲桶内果汁装满小纸杯的个数×3＝乙桶内果汁装满大纸杯的个数×4”，“甲桶内果汁装满大纸杯的个数：乙桶内果汁装满大纸杯的个数＝5：6”可解出此题．（3）根据所提供的数学思想方法写出共同点可求解．【解答】解：（1）∵AB＝BC＝CD＝DE＝DF，∴∠A＝∠BCA，∠CBD＝∠BDC，∠ECD＝∠CED，∠EDF＝∠EFD，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA＝∠CBD，∠A+∠CDB＝∠ECD，∠A+∠CED＝∠EDM，∠FEN＝∠A+∠EFD，又∵∠FEN＝65°，∴∠A+4∠A＝65°，解得，∠A＝13°；（2）解：设乙桶内的果汁最多可装满x个大杯，则甲桶内的果汁最多可装满x个大杯．由题意得：160×3＝x×4，解得：x＝144．∴乙桶内的果汁最多可装满144个大杯；（3）共同点：都运用方程思想解决问题．21．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．（1）求弦AB的长；（2）当∠D等于28°时，求∠BOD的度数；（3）当AC的长度等于多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA＝OB，OA＝OD，可得∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；（3）由∠BCO＝∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB，∠OEB＝90°，∵OB＝4，∠B＝30°，∴BE＝OB•cos∠B＝4×＝2，∴AB＝4，∴弦AB的长为：4；（2）连接OA，∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，∴∠DAB＝∠BAO+∠DAO＝∠B+∠D，又∵∠B＝30°，∠D＝28°，∴∠DAB＝58°，∴∠BOD＝2∠DAB＝116°；（3）∵∠BCO＝∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC，∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝2．∴当AC的长度为2时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似．22．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝a，PB＝b．（1）求证：△APD≌△AEB；（2）探究EB与ED的位置关系，并说明理由；（3）求正方形ABCD的面积．（用a，b表示）【分析】（1）利用正方形的性质以及题目中提供的相等的线段和相等的角，利用SAS判定两三角形全等；（2）利用上一道题证得的全等得到的对应角相等，证明∠BEP＝∠P AE即可；（3）先根据勾股定理用a、b的代数式表示出BE2，正方形的面积是边长AB的平方，利用勾股定理得AB2＝AF2+BF2从而得解.【解答】解：（1）∵AE⊥AP，∴∠EAP＝90°，∵正方形ABCD，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠P AD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝P AD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∴△APD≌△AEB．（2）EB⊥ED，理由如下：∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，又∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠P AE，∴∠BEP＝∠P AE＝90°，∴EB⊥ED．（3）如图，过点B作BF⊥AF，交AE延长线于点F．∵AE⊥AP，AE＝AP＝a，∴∠AEP＝45°，EP＝，∵∠DEB＝90°，∴∠FEB＝45°，BE＝＝，又∵∠EFB＝90°，∴△EFB为等腰直角三角形，设EF＝FB＝x，在直角三角形EFB中，根据勾股定理得：x2+x2＝b2﹣2a2，解得：x＝，所以EF＝BF＝，∴AF＝AE+EF＝a+，在Rt△ABF中，AB2＝AF2+BF2＝a2++a+＝b2﹣a2+a，∴S正方形ABCD＝b2﹣a2+a．23．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“如意三组数”．（1）实数3，4，5可以构成“如意三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+2，y2），R（t+4，y3）三点均在函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“如意三组数”，求实数t的值；（3）若直线y＝5bx+5c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于B （x2，0），C（x3，0）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“如意三组数”；②若a＞b＞c，x2＝1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．【分析】（1）当x＞y＞z时，＜＜，则如意三组数可理解为：+＝，代入数值计算即可判断；（2）由于函数关系可得t＝，t+2＝，t+4＝，且t+4＞t+2＞t再代入（1）所得关系式即可得到答案；（3）联立函数解析式与x轴求出x1＝﹣，x2x3＝，x2+x3＝﹣；又由于＝+＝﹣，原命题得证；距离op＝，x2＝1＝可得a＝c﹣b，则op＝，由于c﹣b＞b可得c＞2b而条件中b＞c显然b、c都小于零推出bc＞0，则1﹣小于1则op的最小值为1，没有最大值．【解答】解：（1）当x＞y＞z时，＜＜，则如意三组数可理解为：+＝，代入3，4，5，发现不满足；（2）∵M（t，y1），N（t+2，y2），R（t+4，y3）三点均在函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，∴t＝，t+2＝，t+4＝，且t+4＞t+2＞t，∴t+2+t+4＝t，解得t＝6；（3）联立函数解析式与x轴，即0＝ax2+bx+c，x2x3＝，x2+x3＝﹣；又∵＝+＝﹣，∴原命题得证；距离OP＝，x2＝1＝，∴a＝c﹣b，则OP＝＝，由于c﹣b＞b，得c＞2b，而条件中b＞c，显然b、c都小于零，bc＞0，则1﹣＜1，则OP的最小值为1，没有最大值．。

2024年江苏省常州市钟楼区二十四中学九上数学开学监测试题【含答案】

2024年江苏省常州市钟楼区二十四中学九上数学开学监测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AD=4，点P 是AB 边上的一个动点，点E 、F 分别是DP 、BP 的中点，则线段EF 的长为()A ．2B ．4C ．D ．2、（4分）为了解某小区居民的日用电情况，居住在该小区的一名同学随机抽查了15户居民的日用电量，结果如下表：日用电量（单位：度）45678户数25431则关于这15户家庭的日用电量，下列说法错误的是（）A ．众数是5度B ．平均数6度C ．极差（最大值-最小值）是4度D ．中位数是6度3、（4分）如图，一次函数y 1=x-1与反比例函数y 2=2x 的图象交于点A （2，1）、B （－1，－2），则使y 1 y 2的x 的取值范围是（）．A ．x >2B ．x >2或-1<x <0C ．-1<x <0D ．x >2或x <-14、（4分）若将点A （1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，则点B 的坐标为（）A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，﹣1）C ．（﹣2，0）D ．（﹣2，﹣1）5、（4分）已知点(2,3)-在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，则下列点也在该函数图象上的是（）A ．(1,5)B ．(1,5)-C ．(3,2)D ．(2,3)-6、（4分）如图，在正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线交正方形ABCD 的一边CD 于点P ，∠FPC 的度数是（）A ．135°B ．120°C ．1．5°D ．2．5°7、（4分）下列事件属于必然事件的是（）A ．抛掷两枚硬币，结果一正一反B ．取一个实数0,x x 的值为1C ．取一个实数,0a a >D ．角平分线上的点到角的两边的距离相等8、（4分）下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G 的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G 的面积之和是（）A ．18cm 2B ．36cm 2C ．72cm 2D ．108cm 2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）不等式2x +8≥3(x +2)的解集为_____．10、（4分）比较大小：32_____23.11、（4分）已知点P （a ﹣1，5）和Q （2，b ﹣1）关于x 轴对称，则（a +b ）2014＝_____．12、（4分）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A(32，3)，则不等式2x ＞ax+4的解集为___.13、（4分）有意义的条件是__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．15、（8分）在一个边长为（2cm 的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm ，宽为（cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．16、（8分）如图，在▱ABCD 中，∠ABC 、∠ADC 的平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ，求证：四边形BEDF 是平行四边形．17、（10分）如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于N ，若AC =，2MB MC =，求AB 的长．18、（10分）如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m 长的篱笆围成一个面积为50m 2矩形场地，求矩形的宽BC ．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD=________度．20、（4分）将直线43y x =-的图象向上平移3个单位长度，得到直线______．21、（4分）关于x 的不等式2x ﹣a ≤﹣1的解集如图所示，则a 的取值范围是___．22、（4分）如图，D 为△ABC 的AC 边上的一点，∠A ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝72°，则图中共有等腰三角形____个.23、（4分）如图，点A 是反比例函数y=2x (x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y=k x (k ≠0)的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，点C ，点D 在x 轴上．若S ▱ABCD ＝5，则k ＝____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，将矩形沿折叠，使点恰好落在边的中点上，点落在处，交于点.若，，求线段的长.25、（10分）如图，双曲线y ＝k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足23AO AB =，与BC交于点D ，S △BOD ＝21，求：（1）S △BOC （2）k 的值．26、（12分）解分式方程：1x x -﹣1=233x x -．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】【分析】连接BD ，利用菱形性质和三角形中位线性质可解得.【详解】连接BD ，因为,四边形ABCD 是菱形，所以，AB=AD=4,又因为∠A=60°，所以，三角形ABD 是等边三角形.所以，BD=AB=AD=4因为，E,F 是DP 、BP 的中点，所以，EF 是三角形ABD 的中位线，所以，EF=12BD=2故选A 【点睛】本题考核知识点：菱形，三角形中位线.解题关键点：理解菱形，三角形中位线性质.2、B【解析】根据众数的定义，在一组数据中出现次数最多就是众数，以及根据加权平均数的求法，可以得出平均数，极差是最大值与最小值的差，中位数是按大小排列后最中间一个或两个的平均数，求出即可．【详解】解：∵由图表得：15户家庭日用电量分别为：4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，7，7，7，8∴此组数据的众数是：5度，故本选项A 正确；此组数据的平均数是：（4×2+5×5+6×4+7×3+8）÷15≈5.73度，故本选项B 错误；极差是：8-4=4度，故本选项C 正确；中位数是：6度，故本选项D 正确．故选：B ．本题主要考查了众数，中位数，极差以及加权平均数的求法，正确的区分它们的定义是解决问题的关键．3、B 【解析】根据交点坐标及图象的高低即可判断取值范围．【详解】要使12y y >，则一次函数的图象要高于反比例函数的图象，∵两图象交于点A （2，1）、B （－1，－2），∴由图象可得：当2x >或10x -<<时，一次函数的图象高于反比例函数的图象，∴使12y y >的x 的取值范围是：2x >或10x -<<．故选：B ．本题考查一次函数与反比例函数的图象，要掌握由图象解不等式的方法．4、B 【解析】已知点A （1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得，点B 的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，所以B 的坐标为（﹣1，﹣1）．故答案选C.考点：坐标与图形变化﹣平移.5、D【解析】先把点（2，3）代入反比例函数(0)k y k x =≠，求出k 的值，再根据k ＝xy 为定值对各选项进行逐一检验即可．【详解】∵点（2，−3）在反比例函数(0)k y k x =≠的图象上，∴k ＝2×（−3）＝-1．A 、∵1×5＝5≠−1，∴此点不在函数图象上；B 、∵-1×5＝-5＝−1，∴此点不在函数图象上；C 、∵3×2＝1≠−1，∴此点不在函数图象上；D 、∵（−2）×3＝-1，∴此点在函数图象上．故选：D ．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6、C 【解析】因为正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交于P ，所以∠DBC=∠BDC=45°，∠DBF=∠FBE=6．5°，所以∠BPD=∠PBC+∠BCP=90°+6．5°=4．5°．所以∠FPC=∠BPD=4．5°．故选C 考点：4．正方形的性质；5．菱形的性质；6．三角形外角的性质．7、D 【解析】必然事件就是一定发生的事件，据此判断即可解答．【详解】A 、可能会出现两正，两反或一正一反或一反一正等4种情况，故错误，不合题意；B 、x 应取不等于0的数，故错误，不合题意；C 、取一个实数,0a a ≥，故错误，不合题意；D 、正确，属于必然事件，符合题意；本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．8、D【解析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的3倍．【详解】根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F的面积之和为3个G的面积．∵M的面积是61=36cm1，∴A、B、C、D、E、F的面积之和为36×3=108cm1．故选D．考查了勾股定理，注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论：6个小正方形的面积和等于最大正方形的面积的1倍．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、x≤2【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去括号，得：2x+8≥3x+6，移项，得：2x-3x≥6-8，合并同类项，得：-x≥-2，系数化为1，得：x≤2，故答案为x≤2本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．10、＞【解析】先计算乘方，再根据有理数的大小比较的方法进行比较即可.【详解】∵32=9，23=8，9＞8，∴32>23.故答案为＞.本题考查了有理数大小比较，同号有理数比较大小的方法：都是正有理数：绝对值大的数大．如果是代数式或者不直观的式子要用以下方法，（1）作差，差大于0，前者大，差小于0，后者大；（2）作商，商大于1，前者大，商小于1，后者大．都是负有理数：绝对值的大的反而小．如果是复杂的式子，则可用作差法或作商法比较．异号有理数比较大小的方法：就只要判断哪个是正哪个是负就行，都是字母：就要分情况讨论11、1【解析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可求出a,b，得到答案．【详解】解：点P（a﹣1，5）和Q（2，b﹣1）关于x轴对称，得a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，解得a＝3，b＝﹣4，（a+b）2014＝（﹣1）2014＝1，故答案为：1．本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12、x＞3 2【解析】由于函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A （332），观察函数图象得到当x ＞32时，函数y =2x 的图象都在y =ax +4的图象上方，所以不等式2x ＞ax +4的解集为x ＞32．【详解】解：∵函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A （332，），∴当x ＞32时，2x ＞ax +4，即不等式2x ＞ax +4的解集为x ＞32．故答案为：x ＞32．本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =ax +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．13、3x >【解析】根据被开方式大于零列式求解即可.【详解】由题意得x-3>0，∴x>3.故答案为：x>3.本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）22133k k k k ++.【解析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG ，△ABC 都是等边三角形，∴AG ＝AD ，AB ＝AC ，∴∠GAD ＝∠BAC ＝60°，∴△GAB ≌△DAC ，∴BG ＝CD ，∠ABG ＝∠C ，∵CD ＝AE ，∠C ＝∠BAE ，∴BG ＝AE ，∠ABG ＝∠BAE ，∴BG ∥AE ，∴四边形AGBE 是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH ⊥BC 于H ．∵BH ＝CH ＝1(1)2k∴1111(1),(1)2222DH k k AH k =-+=-==+∴AD ==∴四边形BGAE 的周长＝2k +△ABC 的周长＝3（k +1），∴四边形AGBE 与△ABC 的周长比＝22133k k ++本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15、【解析】试题分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．试题解析：剩余部分的面积为：（2﹣（））=（）﹣（﹣﹣）=（）（cm 2）．考点：二次根式的应用16、见解析【解析】根据平行四边形的性质得出∠ABC=∠ADC ，AD ∥BC ，求出DE ∥BF ，∠EBC=∠AEB ，根据角平分线的定义求出∠ADF=∠EBC ，求出∠AEB=∠ADF ，根据平行线的判定得出BE ∥DF ，根据平行四边形的判定得出即可．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，AD ∥BC ，∴DE ∥BF ，∠EBC=∠AEB ，∵∠ABC 、∠ADC 的平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ，∴∠ADF=12∠ADC ，∠EBC=12∠ABC ，∴∠ADF=∠EBC ，∴∠AEB=∠ADF ，∴BE ∥DF ，∵DE ∥BF ，∴四边形BEDF 是平行四边形．本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．17、【解析】连接MA ，可求得MA=2MC ，在Rt △AMC 中可求得MC ，则可求BC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理可求得AB.【详解】解：如图连接MA ，M 在线段AB 的垂直平分线上，2MA MB MC ∴==，90C ∠=︒，222AC CM MA ∴+=，即2234MC MC +=，解得1MC =，22MB MC ∴==，3BC ∴=，在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得AB ===，即AB 的长为本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质.18、5m 【解析】设矩形的宽BC=x m.根据面积列出方程求解可得.【详解】解：设矩形的宽BC=x m.则AB=(20-2x)m ，根据题意得：x (20-2x )=50，解得：125x x ==，答：矩形的宽为5m.此题考查了一元二次方程的应用,列方程时要找到题目中的等量关系，所求得的解要符合实际情况.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、22.5【解析】如图，在Rt △ADF 和Rt △AEF 中，AD=AE ，AF=AF ，∴ADF ∆≌AEF ∆（HL ），故12FAD FAE DAE ∠=∠=∠，因为AC 是正方形的对角线，故45DAE ∠=，故∠FAD=22.5°，故答案为22.5.20、4y x=【解析】上下平移时只需让b 的值加减即可.【详解】原直线的4k =，3b =-，向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的4k =，330b =-+=，所以新直线的解析式为：4y x =.故答案为：4y x =.考查了一次函数图象与几何变换，要注意求直线平移后的解析式时k 的值不变，只有b 发生变化.21、1．【解析】首先计算出不等式的解集x≤12a -，再结合数轴可得不等式的解集为x≤1，进而得到方程12a -=1，解方程可得答案．【详解】2x ﹣a ≤﹣1，x ≤12a -，∵解集是x ≤1，∴12a -＝1，解得：a ＝1，故答案为1．此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是正确解不等式．22、1【解析】由∠C =72゜，∠A =∠DBC =16゜，根据三角形内角和定理与三角形外角的性质，可求得∠ABD =∠A =16°，∠ABC =∠BCD =∠BDC =72°，继而求得答案．【详解】解：∵∠C =72゜，∠A =∠DBC =16゜，∴∠BDC =180°-∠DBC -∠C =72°=∠C ，∴BC =BD ，即△BCD 是等腰三角形；∴∠ABD =∠BDC -∠A =16°=∠A ，∴AD =BD ，即△ABD 是等腰三角形；∴∠ABC =∠ABD +∠DBC =72°=∠C ，∴AB =AC ，即△ABC 是等腰三角形．故答案为：1．此题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23、-1【解析】设点A （x ，2x ），表示点B 的坐标，然后求出AB 的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．【详解】设点A （x ，2x ），则B （2kx ，2x ），∴AB=x-2kx ，则（x-2kx ）•2x =5，k=-1．故答案为：-1．本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A ，B 的横坐标之差表示出AB 的长度是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、.【解析】先根据勾股定理求出BF ，再根据△AMC′∽△BC′F 求出AM 即可．【详解】解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，设BF=x ，则FC=FC′=9-x ，∵BF 2+BC′2=FC′2，∴x 2+32=（9-x ）2，解得：x=4，即BF=4，∵∠FC′M=90°，∴∠AC′M+∠BC′F=90°，又∵∠BFC′+BC′F=90°，∴∠AC′M=∠BFC′，∵∠A=∠B=90°，∴△AMC′∽△BC′F ，，∵BC′=AC′=3，∴AM=．本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，能够发现△AMC′∽△BC′F 是解决问题的关键．25、（1）S △BOC ＝25；（2）k ＝8【解析】（1）过点A 作AE ⊥OC 于点E ，交OD 于点F ,由平行线分线段成比例可得OA OB =AE BC =OE OC =25,利用面积比是相似比的平方得AOE BOC S S =22OA OB =425,根据反比例函数图象性质得S △AOE ＝S △ODC ，所以OCD BOC S S =BOC BOD BOC S S S -=425,进而△BOC 的面积.(2)设A （a ，b ）,由（1）可得S △OCD ＝4，进而可得ab ＝8，从而求出k 的值.【详解】解：过点A 作AE ⊥OC 于点E ，交OD 于点F ，∵AE ∥BC ,23AO AB =,∴OA OB =AE BC =OE OC =25,∴AOEBOC S S =22OA OB =425,∵S △AOE ＝S △ODC ，∴OCD BOC S S =BOC BOD BOC S S S =425,∴S △BOC ＝25，（2）设A （a ，b ）,∵点A 在第一象限，∴k ＝ab ＞0，∵S △BOC ＝25，S △BOD ＝21，∴S △OCD ＝4即12ab ＝4，∴ab ＝8，∴k ＝8.本题考查了反比例函数的图象和性质及相似三角形的性质.灵活运用反比例函数图象的几何意义是解题关键.26、分式方程的解为x=1.1．【解析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．【详解】两边都乘以3（x ﹣1），得：3x ﹣3（x ﹣1）=2x ，解得：x=1.1，检验：x=1.1时，3（x ﹣1）=1.1≠0，所以分式方程的解为x=1.1．本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.。

常州市第二十四中学九年级数学上册第五单元《概率初步》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；②AB BC ⊥；③AD BC =；④AC BD ⊥，⑤AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．452．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1（1，0），A 2（2，0），B 1（0，1），B 2（0，2），分别以A 1，A 2，B 1，B 2中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A ．34B ．13C ．23D ．123．做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1 000次，经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为( ) A ．0.50B ．0.21C ．0.42D ．0.584．某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是（） A ．12B ．13C ．23 D ．16 5．从2，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（） A ．15B ．25C ．35D ．456．如图，在4×4的正方形网格中，黑色部分的图形构成了一个轴对称图形，现在任意取一个白色小正方形涂黑，使黑色部分仍然是一个轴对称图形的概率是（）A ．613B ．513C ．413D ．3137．甲、乙两人玩游戏：从1，2，3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a 和c ，若关于x 的一元二次方程230ax x c ++=有实数根，则甲获胜，否则乙获胜，则甲获胜的概率为（） A ．14B ．13C ．12D ．168．某校食堂每天中午为学生提供A 、B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．239．现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （,x y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为（） A ．118B ．112C ．19D ．1610．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A ．抛一枚硬币，出现正面朝上B ．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数C ．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D ．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 11．数字“”中，数字“”出现的频率是（） A ．38B ．12C ．13D ．4912．掷一枚普通的正六面体骰子，出现的点数中，以下结果机会最大的是（） A ．点数为3的倍数 B ．点数为奇数 C ．点数不小于3D ．点数不大于3二、填空题13．在一个不透明的袋子中，装有4个红球和白球若干个，若抽到红球的概率为13，则袋中白球有___________．14．在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，则口袋中蓝色球的个数很可能是_____．15．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．16．一个不透明的口袋中装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外，其他都相同，往口袋中再放入x个红球和y个黄球，若从口袋中随机摸出一个红球的概率是14，则y与x之间的函数表达式是_______．17．在一个不透明的盒子里装有3个分别写有数字﹣2，0，1的小球，它们除了数字不同以外其余完全相同，先从盒子里随机抽取1个小球，再从剩下的小球中抽取1个，将这两个小球上的数字依次记为a，b，则满足关于x的方程x2+ax+b＝0有实数根的概率为_____．18．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数100400800100020004000发芽的频数8530065279316043204发芽的频率0.8500.7500.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）．19．完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m，n，以m，n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，定义点(),m n在反比例函数kyx=上为事件kQ（44,k k-≤≤为整数），当kQ的概率最大时，则k的所有可能的值为__________．20．如图，现分别旋转两个标准的转盘，两个转盘分别被两等分和三等分，则转盘所转到的两个数字之积为为奇数的概率是__________.三、解答题21．如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时意转）．（1）小王转动一次转盘指针指向3的概率是______．（2）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（3）每次游戏结束得到的一组数恰好是方程2320x x -+=的解的概率是______． 22．2020年国庆小长假，小华一家计划利用假期的时间出去旅游，他们收集了很多旅游景点的信息，最终决定从以下五个景点中选两个自驾游：这五个景点分别是晋中市的乔家大院和平遥古城，临汾市的壶口瀑布，运城市的七彩盐湖和鹳雀楼．分别用,,,,A B C D E 五张卡片（除编号外其余完全相同）代表五个景点，并将五张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，求抽到的两个景点恰好在同一个市的概率．23．为了解某校九年级全体女生“仰卧起坐”项目的成绩，随机抽取了部分女生进行测试，并将测试成缋分为A 、B 、C 、D 四个等级，绘制成如图不完整的统计图、表．成绩等级人数分布表成绩等级人数 A a B 24 C 4 D 2 合计b（1）a ＝，b ＝，表示A 等级扇形的圆心角的度数为度；（2）甲、乙2名学生的成绩都是C 等级，如果要从C 等级学生中随机选取2名加强“仰卧起坐”训练，试求同时选中甲、乙2人的概率，并画出树状图或列出表格．24．某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整）．请根据统计图解答下列问题：（1）将两幅不完整的统计图补充完整；（2）若居民区有 8000人，请估计爱吃D 粽的人数；（3）若有外形完全相同的 A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C 粽的概率．25．在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出x,y一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标()()1画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；()2求点()M x,y在函数y x1=+的图象上的概率．26．某校期末评选出四名“三好学生”，其中有2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为“三好学生”代表发言，请用画树状图(或列表)的方法，求恰好选中1男1女的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据菱形的判定方法求解即可．【详解】=；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定ABCD是菱解：：①AB BC形；⊥；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定ABCD是矩形；②AB BC=；是ABCD本身具有的性质，无法判定ABCD是菱形；③AD BC⊥，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定ABCD是菱形；④AC BD=．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD是矩形⑤AC BD∴共有5种等可能结果，其中符合题意的有2种∴能判定ABCD是菱形的概率为25故选：B．【点睛】本题考查概率的计算及菱形的判定，掌握菱形的判定方法正确分析推理是解题关键．2．D解析：D【分析】根据题意画出树状图，进而得出以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形是等腰三角形的情况，求出概率即可．【详解】解：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，∴画树状图得：共可以组成4个三角形，所作三角形是等腰三角形只有：△OA1B1，△OA2B2，所作三角形是等腰三角形的概率是：21 =42．故选：D．【点睛】此题主要考查了利用树状图求概率以及等腰三角形的判定等知识，利用树状图表示出所有可能是解题关键．3．C解析：C【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为4201000=0.42，故选：C．【点睛】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，大量重复试验事件发生的频率约等于概率．4．C解析：C【解析】解：∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，∴抽到内容描述正确的纸条的概率是46=23；故选C．5．C解析：C【解析】∵在2?0?3.14?6π、、、、这5个数中只有0、3.14和6为有理数，∴从2?0?3.14?6π、、、、这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是35．故选C．6．B解析：B【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有16种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵由题意，共16-3=13种等可能情况，其中构成轴对称图形的有如下5个图所示的5种情况，∴概率为：513P=；故选：B．【点睛】本题考查了求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=mn．7．B解析：B【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出满足△=9-4ac≥0的有a=1，c=2或a=2，c=1，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中满足△=9-4ac≥0的结果数有2种，即a=1，c=2或a=2，c=1；∴甲获胜的概率=21=63．故选：B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了根的判别式．8．A解析：A【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可．【详解】根据题意画图如下：所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2种，则甲乙两人选择同款套餐的概率为：21 42 ；故选：A．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．B解析：B【分析】因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．解：列表法：∴点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线24y x x=-+上的点共有：（1，3）、（2，4）、（3，3），这3种可能，∴其概率为：313612=．故选：B．【点睛】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=mn．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．10．C解析：C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是12＝0.5，故本选项错误；B、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数频率约为：36＝12＝0.5，故本选项错误；C、从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率是39＝13≈0.33，故本选项正确；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是1352＝0.25，故本选项错误；故选：C．本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．11．A解析：A【分析】首先计算数字的总数，以及2出现的频数，根据频率公式：频率=频数÷总数即可求解．【详解】数字的总数是8，有3个数字“”，因而“”出现的频率是：38．故选：A．【点睛】本题考查了频数的计算公式，理解公式是关键．12．C解析：C【分析】总共有六种情况，分别计算出所求情况的个数，比较即可得出可能性最大的．【详解】解：掷一枚普通的正六面体骰子共6种情况，A.掷一枚骰子，点数为3的倍数有2种，概率1 3 ;B.点数为奇数有3种，概率1 2 ;C.点数不小于3有四种，概率2 3 ;D.点数不大于3有3种，概率12，故可能性最大的是点数不小于3，选C．【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．二、填空题13．8个【分析】设袋中白球有x个根据简单事件的概率公式建立方程然后解方程即可得【详解】设袋中白球有x个由题意得：解得经检验是所列分式方程的解则袋中白球有8个故答案为：8个【点睛】本题考查了简单事件的概率解析：8个【分析】设袋中白球有x个，根据简单事件的概率公式建立方程，然后解方程即可得．【详解】设袋中白球有x个，由题意得：41 43x=+，解得8x=，经检验，8x=是所列分式方程的解，则袋中白球有8个，故答案为：8个．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、分式方程，熟练掌握简单事件的概率计算公式是解题关键．14．【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数【详解】解：∵摸到黑色白色球的频率分别稳定在10和35∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10-35=55∴蓝色球的个数为：20×55=11个故答解析：11【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数．【详解】解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%，∴蓝色球的个数为：20×55%=11个，故答案为：11．【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘部分所占总体的比值．15．【分析】根据题意使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目根据概率的计算方法计算可得答案【详解】根据题意从有4根细木棒中任取3根有234；345；235；24解析：3 4【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=3 4 .故其概率为：34．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．【分析】根据题意直接利用概率公式求解可得：继而求得答案【详解】根据题意得：整理得：则y 与x 之间的函数关系式为：故答案为：【点睛】此题考查了根据概率公式求概率用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数解析：34y x =+ 【分析】根据题意，直接利用概率公式求解可得：31354x x y +=+++，继而求得答案．【详解】根据题意得：31354x x y +=+++，整理得：34y x =+，则y 与x 之间的函数关系式为： 34y x =+．故答案为：34y x =+．【点睛】此题考查了根据概率公式求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．【分析】根据题意列表得出所有等可能的结果数再找出满足△＝a2﹣4b≥0的结果数然后根据概率公式求解即可【详解】解：列表如下 ﹣2 0 1 ﹣2 （0﹣2）（1﹣2） 0 （﹣20）（10解析：56【分析】根据题意列表得出所有等可能的结果数，再找出满足△＝a 2﹣4b≥0的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：列表如下由表知共有6种等可能结果，其中满足△＝a2﹣4b≥0的有（﹣2，0）、（﹣2，1）、（0，﹣2）、（1，﹣2）、（1，0）这5种结果，∴满足关于x的方程x2+ax+b＝0有实数根的概率为56，故答案为：56．【点睛】本题考查了概率的计算，列出所有可能的情况是解题关键．18．08【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0801附近据此可估计出这种玉米种子发芽的概率【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0801附近则这种玉米种子发芽的概率是08故答案为：解析：0.8【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率．【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，0.8010.8，则这种玉米种子发芽的概率是0.8，故答案为：0.8．【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率．19．±2【分析】首先根据题意列出表格然后根据表格求得k取不同值时的概率比较大小即可确定k的所有可能的值【详解】列表得：（1−2）（−1−2）（2−2）（−2−2）（12）（−12）（22）解析：±2．【分析】首先根据题意列出表格，然后根据表格求得k取不同值时的概率，比较大小即可确定k的所有可能的值．【详解】列表得：∵若点（m ，n ）在反比例函数ky x=上，则k ＝mn ， ∵P （k ＝−4）＝21168=，P （k ＝−1）＝21168=，P （k ＝−2）＝41164=，P （k ＝1）＝21168=，P （k ＝2）＝41164=，P （k ＝4）＝21168=，∴当Q k 的概率最大时，k ＝±2．故答案为：±2．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率与反比例函数的性质．此题难度适中，解题时注意列表法与树状图法可以不重不漏的列出所有等可能的情况，然后根据概率公式求得概率．20．【分析】首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为奇数的情况再利用概率公式求解即可求得答案【详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果转盘所转到的两个数字之积为解析：13【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与转盘所转到的两个数字之积为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，转盘所转到的两个数字之积为奇数的有2种情况， ∴转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是：26=13．故答案为：13．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题属于放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题21．（1）13；（2）见解析；（3）29【分析】（1）利用概率公式直接求解即可；（2）列表得出所有等可能的情况数即可；（3）找出恰好是方程x 2-3x+2=0的解的情况数，求出所求的概率即可．【详解】（1）小王转动一次转盘指针指向3的概率是13；故答案为：13；（2）列表如下：（3）所有等可能的情况数为9种，其中是320x x -+=的解的为（1，2），（2，1）共2种，则P 是方程解29=．故答案为：29．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，以及一元二次方程的解，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．15【分析】根据题意，列出所有的情况即可得答案，【详解】解：列表如下：B(),A B(),C B(),D B (),E B C(),A C (),B C(),D C(),E CD(),A D (),B D (),C D(),E DE(),A E(),B E(),C E(),D E景点在同一个市的结果有4种． ∴P （两个景点恰好在同一个市）41205== 【点睛】本题考查列表的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．（1）10，40，90；（2）概率为16，图表见解析【分析】（1）先由C 等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据各等级人数之和等于总人数求出a 的值，最后用360度乘以所占比例，即可得出结论；（2）根据题意画出树状图，即可得到结论．【详解】解：（1）∵被调查的人数b ＝4÷10%＝40（人）， ∴a ＝40﹣（24+4+2）＝10，则表示A 等级扇形的圆心角的度数为360°×1040＝90°，故答案为：10、40、90；（2）设C 等级中的4名同学分别为甲、乙、丙、丁，画树状图如图所示，∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况， ∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为＝212＝16．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（1）见解析；（2）3200人；（3）1 4【分析】（1）条形图补C，扇形图补A、C，由A知180人，只要知总数，用D来求总数，总人数=D类人数÷D类占的百分比即可，（2）用部分估计总体，用D类在样本中百分比×8000即可，（3）外形完全相同的A、B、C、D粽各一个，小韦吃了一个，有四种可能选取，剩下三个时再吃一个，有三种可能，把各种情况用树状图表示，共12种情况，第二个吃到的恰好是C粽，只有第一次吃A、B、D三种情况，用概率公式计算即可．【详解】解：（1）总人数=240÷40%=600（人），A类百分比：180÷600×100%=30%，C类百分比1-40%-10%-30%=20%，C类人数=600×20%=120（人），补全统计图如下：（2）爱吃D粽的人数有：800040%3200⨯=（人），（3）根据题意，画树状图为：由图可知，一共有12种等可能的结果，其中第二个吃到的恰好是C粽的有3种结果，P∴（第二个吃到C粽）31 124 ==．【点睛】本题考查补全图形，爱吃人数，概率等知识，掌握公式：各类中人数=总人数×各部分占的比例，用样本估计总体，概率公式是关键．25．()1见解析；()124．【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； (2)找出点(x ，y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．【详解】()1画树状图得：共有12种等可能的结果()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3；()2在所有12种等可能结果中，在函数y x 1=+的图象上的有()1,2、()2,3、()3,4这3种结果，∴点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率为31124=．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．26．23【分析】首先根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可. 【详解】画树状图如下：∴P (选中1男1女)82123==【点睛】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握相关方法是解题关键.。

24秋人教版九年级上学期数学期中模拟试卷 (测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆)

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷01满分：120分测试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆一、选择题。

（共10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25九年级上·贵州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023秋•天心区期中）二次函数y =(x -2)2+3的最小值是()A ．2B ．3C ．-2D ．-33．（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于x 的方程(a -1)x 2+x -2=0是一元二次方程，则a 满足（）A ．a ≠1B ．a ≠-1C ．a ≠±1D ．为任意实数4．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中）定义运算m ☆n =mn 2-mn -1，例如4☆2=4⨯22-4⨯2-1=7，则方程2☆x =0的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根5．（22-23九年级上·重庆沙坪坝·期中）对于二次函数y =3x 2-6x 的性质描述正确的是（）A.该函数图象开口朝下B ．该函数图象的对称轴在y 轴右侧C ．当x >1时，y 随x 的增大而减小D ．该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴6．（23-24九年级上·四川广安·期中）下列说法中，正确的个数是（）（1）三点确定一个圆；（2）优弧大于劣弧；（3）圆中90°的角所对的弦是直径；（4）相等的圆心角所对的弦相等；（5）等弧所对的弦相等；（6）平分弦的直径平分弦所对的弧．A.1个B ．2个C ．3个D ．4个7．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（）A ．x (x +1)=28C ．x (x -1)=28B ．1x (x -1)=282D ．1x (x +1)=2828．（22-23九年级上·ft东济宁·期中）小明以二次函数y =2x 2-4x +6的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB =6，DE =3，则杯子的高CE 为（）A ．21B ．22C ．23D ．249．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，V ABC 与CDE 都是等边三角形，连接AD ，BE ，CD =8，BC =4，若将CDE 绕点C 顺时针旋转，当点A 、C 、E 在同一条直线上时，线段BE 的长为（）A.4B.4C.23或D.43或410．（22-23九年级上·广西贺州·期中）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①abc >0；②a +c >b ；③2a +b =0；④2a +c <0；⑤当x =1时，y 有最大值；⑥一元二次方程ax 2+bx +c =0的解是x 1=-1，x 2=3，其中正确的结论有（）A ．①②③B ．③④⑤C ．③⑤⑥D ．③④⑥二、填空题。

24-25学年九年级数学期中测试卷(北师大版)(解析版)【测试范围：第一章~第四章】A4版

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（北师大版）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：第一章~第四章（北师大版）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（）A．(x―14)2=34B．(x―14)2=32C．(x―12)2=34D．(x―12)2=32【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，整理得：x2﹣x=1 2，配方得：x2﹣x+14=34，即（x―12）2=34．故选：C．2．（3分）如图，AB∥CD∥EF，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（）A ．DG BG =12B ．CD EF =12C ．DG BE =13D ．CG CF =13【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴DG BG =CG AG ，∵AC ＝CG ，∴DG BG =CG AG =12，故A 正确，不符合题意；∵CD ∥EF ，∴CD EF =CG FG ，∵AC ＝CG ，AG ＝FG ，∴FG ＝2CG ，∴EG ＝2DG ，∴CD EF =CG FG =12，故B 正确，不符合题意；∵AB ∥CD ∥EF ，∴BG EG =AG FG ，∵AG ＝FG ，∴BG ＝EG ，∴BE ＝2BG ，∵DG BG =CG AG =12，∴BG ＝2DG ，∵BE ＝4DG ，∴DGBE=14，故C错误，符合题意；∵CD∥EF，∴CGCF=DGDE∵BG＝2DG，BE＝4DG，∴DE＝3DG，∴CGCF=DGDE=13，故D正确，不符合题意；故选：C．3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD =12AC•BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=12AC＝4.5，故选：B．4．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A ．m ≥23B ．m ＜23C ．m ＞23且m ≠1D ．m ≥23且m ≠1【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m 的不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x ﹣3＝0有实数根，∴Δ=22―4(m ―1)×(―3)≥0m ―1≠0，解得：m ≥23且m ≠1．故选：D ．5．（3分）下列说法正确的是（）A ．邻边相等的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线互相平分C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】由菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A 、邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A 不符合题意；B 、矩形的对角线互相平分，故选项B 符合题意；C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C 不符合题意；D 、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项D 不符合题意；故选：B ．6．（3分）在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x 人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（）A ．12x （x ﹣1）＝15B ．12x （x +1）＝15C ．x （x ﹣1）＝15D ．x （x +1）＝15【分析】设一共邀请了x 支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x ﹣1）场比赛，则共有x(x―1)2场比赛，可以列出一元二次方程．【解答】解：由题意得，x(x―1)2=15．故选：A ．7．（3分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p 1，抛两枚硬币，正面均朝上的概率为p 2，则（）A ．p 1＜p 2B ．p 1＞p 2C ．p 1＝p 2D ．不能确定【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．【解答】解：大于2小于5的数有2个数，∴p1=26=13；投掷一次正面朝上的概率为12，两次正面朝上的概率为p2=12×12=14，∵13＞14，∴p1＞p2．故选：B．8．（3分）顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（）A B C D【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据角平分线的性质得到∠ABD＝∠DBC，证明△CBD∽△CAB，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠DBC＝∠A，∠ABD＝∠A，∠BDC＝36°+36°＝72°＝∠C，∴AD＝BD＝BC，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴BCAC=CDBC，即AD1+AD=1AD，整理得：AD2﹣AD﹣1＝0，解得：AD1=AD2=则AC＝AD+CD=+1=故选：D ．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，且A （0，2），C （4，0）．点E 为OC 上一点，连接AE ，射线AF ⊥AE ．以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AE ，AF 于点N ，M ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交BC 于点G ．若OE ＝1，则点G 的坐标为（）A ．（4，23）B ．（4，1）C ．（4D ．（4【分析】延长CB 交射线AF 于点Q ，过点G 作GH ⊥AF 于点H ，求出CG ，可得结论．【解答】解：延长CB 交射线AF 于点Q ，过点G 作GH ⊥AF 于点H ，如解图所示．∵AE ⊥AF ，四边形ABCO 是矩形，∴∠EAF ＝∠OAB ＝90°，∴∠OAE ＝∠BAF ，∵GH ⊥AF ，∴∠GHF ＝∠ABQ ＝∠AOE ＝90°，∵∠AQB ＝∠CQH ，∴△GHQ ∽△ABQ ∽△AOE ，∴GH HQ =AB BQ =AO OE =21，∴GH ＝2HQ ，BQ =12AB =2．∴AQ ==AP 平分∠EAF ，∴∠HAG ＝45°．又∵GH⊥AF，∴AH＝HG．设HQ＝x，则AH＝HG＝2x．∴AQ＝AH+HQ＝3x，即3x=∴x=∴HG=∴GQ===10 3．∴CG=BC+BQ―GQ=2+2―103=23．∴点G的坐标为(4，23 )，故选：A．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF＝DE，连结AE，AF，EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH＝HC；②HD＝CD；③∠FAB＝∠DHE；④AK•HD=2．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①证明△EAF是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得AH=12EF＝CH，可得①正确；②证明∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，可知②不正确；③证明△ADH≌△CDH（SSS），则∠ADH＝∠CDH＝45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；④证明△AKF∽△HED，列比例式可得结论正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝∠ABF＝90°，∵DE＝BF，∴△ADE≌△ABF（SAS），∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，∵∠DAE+∠EAB＝90°，∴∠BAF+∠EAB＝90°，即∠EAF＝90°，∵AG⊥EF，∴EH＝FH，∴AH=12 EF，Rt△ECF中，∵EH＝FH，∴CH=12 EF，∴AH＝CH；故①正确；③∵AH＝CH，AD＝CD，DH＝DH，∴△ADH≌△CDH（SSS），∴∠ADH＝∠CDH＝45°，∵△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∴∠AFK＝∠EDH＝45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，∴∠BKF＝∠CEH，∴∠AKF＝∠DEH，∴∠FAB＝∠DHE，故③正确；②∵∠ADH＝∠AEF，∴∠DAE＝∠DHE，∵∠BAD＝∠AHE＝90°，∴∠BAE＝∠AHD，∵∠DAE与∠BAG不一定相等，∴∠DAH与∠AHD不一定相等，则AD与DH不一定相等，即DH与CD不一定相等，故②不正确；④∵∠FAB＝∠DHE，∠AFK＝∠EDH，∴△AKF∽△HED，∴AKEH=AFDH，∴AK•DH＝AF•EH，在等腰直角三角形AFH中，AF==，∴AK•HD=2．故④正确；∴本题正确的结论有①③④，共3个．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若xy=23，则代数式x―yx+2y的值是．【分析】利用x与y的比可x＝2t，y＝3t，然后把它们代入代数式中进行分式的运算．【解答】解：∵xy=23，∴设x＝2t，y＝3t，∴x―yx+2y=2t―3t2t+6t=―t8t=―18．故答案为―1 8．12．（3分）在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为．【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到白球的概率，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数．【解答】解：由题意可得：摸到白球的频率之和为：1﹣0.4＝0.6，∴总的球数为：6÷0.6＝10，∴红球有：10﹣6＝4（个），故答案为：4．13．（3分）设α，β是x2+x﹣18＝0的两个实数根，则α2+3α+2β的值是．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到α2+α＝18，则α2+3α+2β化为（α2+α）+2（α+β），再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α，β是x2+x﹣18＝0的两个实数根，∴α2+α﹣18＝0，α+β＝﹣1，∴α2+α＝18，∴α2+3α+2β＝（α2+α）+2（α+β）＝18﹣2＝16．故答案为：16．14．（3分）菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为．【分析】由菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD＝120°，BD＝BAC的度数，利用菱形的性质可求出∠ABO的度数，进而得到AO的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半则可求得答案．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∴∠BAC=12∠BAD＝60°，AC⊥BD，∴∠ABO＝30°，∵BD＝∴BO＝设AO＝x，则AB＝2x，故x2+（2＝（2x）2，解得：x＝3，∴AO＝3，∴AC＝6，∴菱形的面积＝×6÷2＝故答案为：15．（3分）如图，在△ABC中，E是BC上一点，EC＝2BE，点F是AC的中点，若S△ABC＝12，求S△ADF ﹣S△BED＝．【分析】过F 作FH ∥AE 交BC 于H ，由EC ＝2BE ，得到S △AEC =23S △ABC =23×12＝8，根据点F 是AC 的中点，得到S △BCF ＝S △ABF =12S △ABC =12×12＝6，根据平行线等分线段定理得到CH ＝EH ，求得BD ＝DF ，得到S △BFH =23S △BCF =23×6＝4，S △ADF =12S △ABF ＝3，根据相似三角形的性质得到S △BDE =14×4＝1，于是得到结论．【解答】解：过F 作FH ∥AE 交BC 于H ，∵EC ＝2BE ，∴S △AEC =23S △ABC =23×12＝8，∵点F 是AC 的中点，∴S △BCF ＝S △ABF =12S △ABC =12×12＝6，∵FH ∥AE ，点F 是AC 的中点，∴CH ＝EH ，∵EC ＝2BE ，∴BE ＝EH ，∵DE ∥FH ，∴BD ＝DF ，∴S △BFH =23S △BCF =23×6＝4，S △ADF =12S △ABF ＝3，∵DE ∥FH ，∴△BDE ∽△BFH ，∴S △BDE S △BFH =14，∴S △BDE =14×4＝1，∴S △ADF +S △BED 的值为1+3＝4，故答案为：4．16．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将△ADC 沿射线AC 的方向平移得到△A 'D 'C '，分别连接A 'B ，D ′B ，则A 'B +D ′B 的最小值为．【分析】根据菱形的性质得到AB ＝4，∠ABC ＝120°，得出∠BAC ＝30°，根据平移的性质得到A ′D ′＝AD ＝4，A ′D ′∥AD ，推出四边形A ′BCD ′是平行四边形，得到A ′B ＝D ′C ，于是得到A 'B +BD '的最小值＝CD ′+BD ′的最小值，根据平移的性质得到点D ′在过点D 且平行于AC 的定直线上，作点C 关于定直线的对称点E ，连接BE 交定直线于D ′，则BE 的长度即为BA '+BD '的最小值，求得CE ＝CB ，得到∠E ＝∠CBE ＝30°，于是得到结论．【解答】解：∵在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，∴AB ＝CD ＝4，∠BAC ＝∠DAC ＝30°，∵将△ADC 沿射线AC 的方向平移得到△A 'D 'C '，∴A ′D ′＝AD ＝4，A ′D ′∥AD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠ADC＝120°，∴A′D′＝CB，A′D′∥CB，∴四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B＝D′C，∴A'B+BD'的最小值＝BD′+CD′的最小值，∵点D′在过点D且平行于AC的定直线上，∴作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，则BE的长度即为BD'+BA'的最小值，在Rt△CHD中，∵∠D′DC＝∠ACD＝30°，AD＝4，∴CH＝EH=12AD＝2，∴CE＝4，∴CE＝CB，∵∠ECB＝∠ECA′+∠ACB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠BCE＝30°，∴BE＝2×＝故答案为：三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x＝﹣2，∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，∴x―2=±∴x1=2+x2=2―（2）3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，（x﹣5）[3（x﹣5）+2]＝0，x﹣5＝0或3x﹣13＝0，∴x1＝5，x2=13 3．18．（6分）小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC＝1.5米，EF＝2.4米，CF＝1.8米，FA＝71.2米，点C、F、A在一条直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB．【分析】过D作DP⊥AB于P，交EF于N，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：过D作DP⊥AB于P，交EF于N，则DN＝CF＝1.8米，AP＝DC＝1.5米，DP＝AC＝CF+AF＝1.8+71.2＝73（米），EN＝EF﹣CD＝2.4﹣1.5＝0.9（米），由题意得，∠EDN＝∠BDP，∠BPD＝∠END＝90°，∴△DEN∽△DBP，∴BPEN=DPDN，∴AB―1.50.9=731.8，∴AB＝38（米），答：树AB的高度为38米．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，（1）将△ABC向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1；（点A、B、C分别对应A1、B1、C1）（2）以原点O为位似中心，在第二象限将△ABC放大得到△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为12，并直接写出C2的坐标．【分析】（1）先根据平移的性质在坐标系中描点，再顺次连接即可得；（2）先根据位似图形的性质在坐标系中描点并顺次连接即可得．【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所作．；（2）如图2，△A2B2C2即为所作．C2（﹣6，6）．20．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的边长．【分析】（1）先证四边形BEDF是平行四边形，再证BE＝DE，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于H，由含30°角的直角三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵DE∥BC DF∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠A＝90o，∠C＝30o，∴∠ABC＝60°，由（1）得：四边形BEDF是菱形，∴BE＝DE＝BF＝DF，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BD＝12，∴DH=12BD＝6，∵∠FDH＝90°﹣∠DFC＝30°，∴FH=＝∴DF＝2DH＝即菱形BEDF的边长为21．（10分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）①此次调查一共随机抽取了名学生；②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；③扇形统计图中圆心角α＝度；（2）若该校有1600名学生，估计该校参加D 组（阅读）的学生人数；（3）学校计划从E 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．【分析】（1）①由B 组的人数除以所占百分比即可；②求出A 组、C 组的人数，补全条形统计图即可；③由360°乘以C 组所占的比例即可；（2）由该校共有学生人数乘以参加D 组（阅读）的学生人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】（1）①此次调查一共随机抽取学生人数为：100÷25%＝400（名），故答案为：400；②A 组的人数：400×15%＝60（名），C 组的人数：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名），补全条形统计图如下：③扇形统计图中圆心角α＝360°×60400=54°，故答案为：54；（2）1600×140400=560（名），答：参加D 组（阅读）的学生人数为560名；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，∴恰好抽中甲、乙两人的概率为212=16．22．（10分）根据以下销售情况，解决销售任务．任务2：，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可；任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：任务1，甲店每天的销售量为（20+2a）件，乙店每天的销售量为（32+2b）件，故答案为：（20+2a）件，（32+2b）件；任务2，当a＝5时，甲店每天的盈利为（40﹣5）×（20+2×5）＝1050（元）；当b＝4时，乙店每天的盈利为（30﹣4）×（32+2×4）＝1040（元）；任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元，由题意得：（40﹣m）（20+2m）+（30﹣m）（32+2m）＝2244，整理得：m2﹣22m+121＝0，解得：m1＝m2＝11，即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元．23．（12分）阅读下面材料：小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF ＝45°，连结EF，设DE＝a，EF＝b，FB＝c，则把关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0叫做正方形ABCD的关联方程，正方形ABCD叫做方程ax2﹣bx+c＝0的关联四边形．探究方程ax2﹣bx+c＝0是否存在常数根t．小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．请回答：t＝．参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图1，若AD＝10，DE＝4，则正方形ABCD的关联方程为；（2）正方形ABCD的关联方程是2x2﹣bx+3＝0，则正方形ABCD的面积＝．【分析】阅读下面材料：由四边形ABCD是正方形，把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，可证明△GAF≌△EAF （SAS），从而GF＝EF，即BG+BF＝EF，有a+c＝b，即a﹣b+c＝0，故关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有一个根是x＝1，即t＝1；（1）在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，可得（10﹣c）2+62＝（c+4）2，从而可解得正方形ABCD的关联方程为4x2―587x+307=0；（2）由阅读材料知，正方形ABCD的关联方程2x2﹣bx+3＝0存在常数根x＝1，可得b＝5，即得DE＝2，BF＝3，EF＝5，设正方形ABCD的边长为m，有（m﹣2）2+（m﹣3）2＝52，解得正方形ABCD的边长为6，正方形ABCD的面积为36．【解答】解：阅读下面材料：如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠BAD＝90°，∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴AE＝AG，∠ABG＝∠D＝90°，∠GAB＝∠EAD，DE＝BG＝a，∴∠AGB+∠ABC＝180°，∠EAD+∠BAE＝90°＝∠GAB+∠BAE，∴G，B，F共线，∠GAE＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠EAF＝45°，在△GAF和△EAF中，AG=AE∠GAF=∠EAF AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴GF＝EF，即BG+BF＝EF，∵BG＝a，EF＝b，FB＝c，∴a+c＝b，即a﹣b+c＝0，∴关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c＝0有一个根是x＝1，∴t＝1，故答案为：1；（1）如图：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD＝10，∵DE＝4＝a，∴CE＝CD﹣DE＝6，由阅读材料知DE+BF＝EF＝b，FB＝c，∴EF＝4+c，CF＝BC﹣BF＝10﹣c，在Rt△CEF中，CF2+CE2＝EF2，∴（10﹣c）2+62＝（c+4）2，解得c=30 7，∴b＝EF＝4+c=58 7，而a＝4，∴正方形ABCD的关联方程为4x2―587x+307=0，化简整理得14x2﹣29x+15＝0，故答案为：14x2﹣29x+15＝0；（2）如图：由阅读材料知，正方形ABCD的关联方程2x2﹣bx+3＝0存在常数根x＝1，∴2×12﹣b+3＝0，解得b＝5，∴正方形ABCD的关联方程是2x2﹣5x+3＝0，∴DE＝2，BF＝3，EF＝5，设正方形ABCD 的边长为m ，在Rt △CEF 中，CF 2+CE 2＝EF 2，∴（m ﹣2）2+（m ﹣3）2＝52，解得m ＝6，∴正方形ABCD 的边长为6，∴正方形ABCD 的面积为36，故答案为：36．24．（12分）教材再现：（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，则PE +PF 的值为 125　．知识应用：（2）如图2，在矩形ABCD 中，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，将矩形ABCD 沿直线MN 折叠，使点D 恰好与点B 重合，点C 落在点C 1处，点P 为线段MN 上一动点（不与点M ，N 重合），过点P 分别作直线BM ，BC 的垂线，垂足分别为E 和F ，以PE ，PF 为邻边作平行四边形PEQF ，若DM ＝13，CN ＝5，▱PEQF 的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF 的周长；若不是，请说明理由．（3）如图3，当点P 是等边△ABC 外一点时，过点P 分别作直线AB 、AC 、BC 的垂线、垂足分别为点E 、D 、F ．若PE +PF ﹣PD ＝3，请直接写出△ABC 的面积．【分析】（1）由矩形的性质得出S 矩形ABCD ＝12，OA ＝OC ＝OB ＝OD ，S △ABD ＝S △BCD ，∠ABC ＝90°，BC ＝AD ＝4，再由勾股定理得AC ＝5，则S △AOD ＝3，OA ＝OD =52，然后由三角形面积即可得出结论；（2）先求DM ＝BM ＝BN ＝13，则AD ＝BC ＝18，再由勾股定理得AB ＝12，然后由三角形面积求出PE +PF ＝12，即可解决问题；（3）由S △ABC ＝S △ABP +S △BCP ﹣S △ACP ，可求AB 的长，从而求出S △ABC ．【解答】解：（1）如图1，设AC 与BD 的交点为O ，连接PO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴S 矩形ABCD ＝AB •BC ＝3×4＝12，OA ＝OC ＝OB ＝OD ，S △ABD ＝S △BCD ，∠ABC ＝90°，BC ＝AD ＝4，∴AC ==5，S △AOD ＝S △ABO ＝S △BOC ＝S △COD ，∴S △AOD =14S 矩形ABCD =14×12＝3，OA ＝OD =12AC =52，∴S △AOD ＝S △AOP +S △DOP =12OA •PE +12OD •PF =12OA （PE +PF ）=12×52×（PE +PF ）＝3，解得：PE +PF =125，故答案为：125；（2）▱PEQF 的周长是定值，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，∴∠DMN ＝∠BNM ，连接BP ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，如图2所示：则四边形ABHM 是矩形，∴MH ＝AB ，由折叠的性质得：DM ＝BM ，∠DMN ＝∠BMN ，∴∠BNM ＝∠BMN ，∴DM ＝BM ＝BN ＝13，∴AD ＝BC ＝BN +CN ＝13+5＝18，∴AM ＝AD ﹣DM ＝18﹣13＝5，在Rt △ABM 中，由勾股定理得：AB ===12，∴MH ＝12，∵S △BMN ＝S △PBM +S △PBN ，PE ⊥BM ，PF ⊥BN ，∴12BN •MH =12BM •PE +12BN •PF ，∵BM ＝BN ，∴PE +PF ＝MH ＝12，∴▱PEGF 的周长＝2（PE +PF ）＝2×12＝24；（3）如图3，连接AP ，BP ，CP ，∵S △ABC ＝S △ABP +S △BCP ﹣S △ACP ，2=12AB •PE +12BC •PF ―12AC •PD＝PE +PF ﹣PD ，∵PE +PF ﹣PD ＝3，∴AB ＝∴S △ABC =2＝。

常州市第二十四中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．下列图形一定不是中心对称图形的是（）A ．正六边形B ．线段()213y x x =-+≤≤C ．圆D ．抛物线2y x x =+ 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．51- 3．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（）A ．78B ．1C ．45D ．235．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（）A ．4B ．5C ．6D ．86．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0），（0，1），()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称：第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点6P 与点4P 关于点B 成中心对称；…，照此规律重复下去，则点2013P 的坐标为（）A ．（2，2）B ．()2,2-C ．()0,2-D ．()2,0- 7．如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△EFC ，使点E 恰巧落在AB 上，连接BF ，则BF 的长度为（）A 3B ．2C ．1D 28．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣2﹣3）B．（﹣4，﹣2+3） C．（﹣2，﹣2+3）D．（﹣2，﹣2﹣3）9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）．A．60 °B．75°C．85°D．90°10．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转90 得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）11．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种12．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．二、填空题13．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，将ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，且点A 的对应点A '落在BC 的延长线上，连接AA '，则AA '的长为________．14．如图，线段BC 为一个通信公司，该公司与两个通信点,A D 恰好围成一个正方形的,ABCD 公司BC 长度为100米，公司准备在正方形ABCD 内要建设一个通信中转站点P ，在通信公司的BC 边上架设一个通讯中心点Q ，在通信中转站点P 到两个通信点,A D 和通讯中心点Q 之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为________米．15．已知点(,2)A m m 在直线3y x 上，则点A 关于原点对称点B 的坐标为______． 16．如图，在Rt ABC △中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，将OA 绕点O 逆时针旋转()0180θθ︒<<︒至OP ，当BCP 恰为以BC 为腰的等腰三角形时，θ的值为______．17．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转一周，当BC 边的对应边与AC 平行时，旋转角为______度．18．如图，已知ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE ．PF 分别交AB ．AC 于点E ．F ，给出下列四个结论：①AE CF =；②EPF ∆是等腰直角三角形；③EF AB =；④四边形AEPF 的面积随着点E ．F 的位置不同发生变化，当EPF ∠在ABC ∆内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ．B 重合），上述结论中始终正确的有________（把你认为正确的结论的序号都填上）．19．如图，在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，点P 是ABC 内一点，将ABP △绕点A 逆时针旋转后能与ACP '△重合，如果5AP =，则PP '的长为______．20．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________．三、解答题21．如图1，等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若8AD =，20AB =，请直接写出PMN面积的最大值．22．如图，△ABC中A（2-，3），B（3-，1），C（1-，2）．（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转180°，在坐标系中画出旋转后的△A1B1C1；（2）写出的△A1B1C1的顶点B1的坐标．23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）．（1）延长ED交CH于点F，求证：FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明．24．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于点（1，0）成中心对称的图形△A2B2C2；（3）若△A1B1C1绕点M旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标；（4）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△DOC 是等边三角形；（2）当AO ＝5，BO ＝4，α＝150°时，求CO 的长；（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形．26．如图，已知ABC 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()2,3A -、()3,2B -、()1,1C -．（1）作出ABC 关于原点O 的中心对称图形111A B C △，写出点1A 的坐标；（2）将ABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒后得到222A B C △，画出222A B C △，并写出点2A 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义即可得．【详解】A 、正六边形是中心对称图形，此项不符题意；B 、线段()213y x x =-+≤≤是中心对称图形，对称中心是点(2,0)，此项不符题意；C 、圆是中心对称图形，此项不符题意；D 、抛物线2y x x =+是关于直线12x =-轴对称的，不是中心对称图形，此项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形、抛物线的图象等知识点，熟练掌握概念是解题关键． 2．B解析：B【分析】分析题易可知点E 的运动轨迹是以DC 为半径以C 为圆心的圆，当A ，E ，C 三点共线且E 在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小．【详解】解：如图所示，连接AC∵正方形边长为1∴AC=2当A ，E ，C 三点共线且E 在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小∴AE=AC-CE=2-1故选：B3．B解析：B【分析】连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．【详解】解：如图连接PC ．在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，∴CM=BM=1，PC=12A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．故选：B ．【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．4．A解析：A【分析】由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABC ∆≌EDB ∆，∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，∴O 为DE 中点，∴OB=OE ，∴∠OBE=∠E ，∴∠OBE=∠A ，∴AF=BF ，设AF=BF=x ，则CF=4-x ，∵222BC CF BF +=，∴2223(4)x x +-=， ∴258x =， ∴258BF =， ∴257488EF BE BF =-=-=．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．5．C解析：C【分析】由于将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，当点D 恰好落在BC 上时，易得：△ODP 是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP ≌△CDO ，由此可以求出AP 的长．【详解】解：当点D 恰好落在BC 上时，OP=OD ，∠A=∠C=60°，如图．∵∠POD=60°∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，∴∠AOP=∠CDO ，∴△AOP ≌△CDO ，∴AP=CO=6．故选：C ．【点睛】此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．6．C解析：C【分析】计算出前几次跳跃后，点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7的坐标，可得出规律，继而可求出点P 2013的坐标．【详解】解：∵点1P 与点O 关于点A 成中心对称，∴P 1(2，0)，过P 2作P 2D ⊥OB 于点D ，∵2P 与点1P 关于点B 成中心对称，∴P 1B=P 2B ，在△P 1BO 和△P 2BD 中121212PBO P BD POB P DB PB P B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△P 1BO ≌△P 2BD ，∴P 2D=P 1O=2，BD=BO=1，∴OD=2，∴P 2(-2，2)，同理可求：P 3(0，-2)，P 4(2，2)，P 5(-2，0)，P 6(0，0)，P 7(2，0)，从而可得出6次一个循环， ∵20136=335…3， ∴点P 2013的坐标为(0，-2)．故选C ．【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．7．A解析：A【解析】试题分析：由题意可知：∠A=60°，AC=EC ，所以△ACE 是等边三角形，所以∠CEA=∠ECA=60°，由旋转可知，∠CEF=∠A=60°，所以∠FEB=60°，因为∠ECF=∠ACB=90°，所以∠BCF=∠ACE=60°，因为CB=CF ，所以△CBF 是等边三角形，所以∠CBF=60°， ∠FBE=60°+30°=90°， △BEF 是30度角直角三角形，因为AE=AC=1，AB=2AC=2，所以BE=1，EF=2，21213-=A ．考点：1．旋转性质；2．直角三角形性质．8．D解析：D【解析】解：作AD ⊥BC ，并作出把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°后所得△A 1BC 1，如图所示．∵AC =2，∠ABC =30°，∴BC =4，∴AB 3∴AD =AB AC BC ⋅232⨯3∴BD =2AB BC =2234（）=3．∵点B 坐标为（1，0），∴A 点的坐标为（4，3）．∵BD =3，∴BD 1=3，∴D 1坐标为（﹣2，0），∴A 1坐标为（﹣2，﹣3）．∵再向下平移2个单位，∴A ′的坐标为（﹣2，﹣3﹣2）．故选D ．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．9．C解析：C【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD ⊥BC 于点F ．则∠AFB=90°，∴在Rt △ABF 中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC 的度数为85°．故选C ．考点: 旋转的性质.10．B解析：B【详解】解：连接A′B ，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，可知A′B ⊥AB ，且A′B=AB ，由A （-2，0）、B （2，0）得AB=4，于是可得A′的坐标为（2，4）．故选B ．11．C解析：C【分析】根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．【详解】如图所示：，共5种，故选C．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．12．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别二、填空题13．【分析】根据勾股定理可求得AB=5根据旋转的性质得=5则=1再根据勾股定理即可求得的长【详解】解：∵∴由勾股定理得∵绕着点B旋转得到∴=5∴=﹣BC=5﹣4=1在Rt△中由勾股定理得：故答案为：【点10【分析】根据勾股定理可求得AB =5，根据旋转的性质得A B AB '==5，则A C '=1，再根据勾股定理即可求得AA '的长．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，3AC =，4BC =，∴由勾股定理得2222AB AC BC 345=+=+=，∵ABC 绕着点B 旋转得到A BC ''△，∴A B AB '==5，∴A C '=A B '﹣BC=5﹣4=1，在Rt △A CA '中，由勾股定理得： 22223110A A AC A C ''=+=+=，故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质，熟练掌握勾股定理和旋转的性质是解答的关键． 14．【分析】根据题意将绕点逆时针旋转得到当三点共线时最小为然后求出的长度即可【详解】解：如图将绕点逆时针旋转得到则和都是等边三角形当三点共线时最小为是上的点当时值最小过作交于点为等边三角形四边形是正方形解析：100503+【分析】根据题意，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D 当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q '然后求出D Q '的长度即可．【详解】解：如图，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D则60,PAP PD P D '''∠=︒=，PAP '∆和DAD '∆都是等边三角形，','AP PP PA PD PQ PP P D PQ ∴=++=++，当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q 'Q 是BC 上的点，∴当D Q BC '⊥时D Q '值最小，过D 作D Q BC '⊥交AD 于E 点，100,BC ADD '=∆为等边三角形，四边形ABCD 是正方形，'100,'60,30,100,AD D AD ADE CD ∴=∠=︒∠=︒=1502AE AD '∴==，D E '==100,EQ CD =='100D Q DE EQ ∴=+=(米)，则铺设光缆的最短长度为(100+米，故答案为：100+【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 15．【分析】先由点在直线上求出m 的值然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可【详解】解：∵点在直线上∴2m=m+3∴m=3∴点A 坐标是（36）∴点（36）关于原点对称的点的坐标为解析：(3,6)--【分析】先由点(,2)A m m 在直线3y x 上求出m 的值，然后根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数解答即可．【详解】解：∵点(,2)A m m 在直线3y x 上，∴2m =m +3，∴m =3，∴点A 坐标是（3，6），∴点A （3，6）关于原点对称的点B 的坐标为（﹣3，﹣6）．故答案为：（﹣3，﹣6）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点和关于原点对称的点的坐标特征，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 16．40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论【详解】解：当时如图1∵为斜边的中点∴∴∴∴；当时如图2同理可证∴∴∴故答案为40°或100°【点睛】本题考查直角三角形和解析：40°或100°【分析】由题意可以分为BC=BP 或BC=PC 两种情况说明讨论．【详解】解：当BC BP =时，如图1．∵90ACB ∠=︒，O 为斜边AB 的中点，∴CO OA OP OB ===，∴COB POB ≌△△，∴20ABP ABC ∠=∠=︒，∴22040θ=⨯︒=︒；当BC PC =时，如图2，同理可证COB COP ≌△△，∴20P ABC OCB OCP ∠=∠=∠=∠=︒，∴140COP COB ∠=∠=︒，∴14040100θ=︒-︒=︒．故答案为40°或100°．【点睛】本题考查直角三角形和等腰三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形等边对等角的性质是解题关键． 17．或【分析】画出图象共有两种情况利用平行的性质求出旋转角度【详解】解：①如图所示∵∴顺时针旋转；②如图所示∵∴∴顺时针旋转故答案是：或【点睛】本题考查图形的旋转和平行的性质解题的关键是掌握旋转的性质和解析：30或210︒【分析】画出图象，共有两种情况，利用平行的性质求出旋转角度．【详解】解：①如图所示，∵//B C AC ''，∴30CAC C ∠=∠=''︒，顺时针旋转30；②如图所示，∵//B C AC ''，∴30CAB AB C '∠=∠='︒，∴30120150CAC ∠=︒+︒='︒，360150210︒-︒=︒，顺时针旋转210︒，故答案是：30或210︒．【点睛】本题考查图形的旋转和平行的性质，解题的关键是掌握旋转的性质和平行的性质． 18．①②【分析】利用旋转的思想观察全等三角形寻找条件证明三角形全等根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断【详解】解：∵∠APE ∠CPF 都是∠APF 的余角∴∠APE ＝∠CPF ∵AB ＝AC ∠BAC ＝90°解析：①②【分析】利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．【详解】解：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，又∵AP＝CP，∠EPA＝∠FPC，∠EAP＝∠FCP＝45°∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE＝CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF＝1S△ABC，①②正确，④错误，四边形2AEPF的面积是固定的；∵旋转过程中，EF的长度的变化的，故EF≠AB，③错误，始终正确的是①②，故答案为：①②．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．19．【分析】根据旋转的性质得出△ABP≌△ACP′推出AP=AP′=5∠BAP=∠CAP′求出∠PAP′=90°得出△PAP′是等腰直角三角形根据勾股定理求出PP′即可【详解】∵将△ABP绕点A逆时针旋解析：【分析】根据旋转的性质得出△ABP≌△ACP′，推出AP=AP′=5，∠BAP=∠CAP′，求出∠PAP′=90°，得出△PAP′是等腰直角三角形，根据勾股定理求出PP′即可．【详解】∵将△ABP绕点A逆时针旋转后能与△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，∴AP=AP′=5，∠BAP=∠CAP′，∵∠BAC=90°，∴∠BAP+∠CAP=90°，∴∠CAP′+∠CAP=90°，即∠PAP′=90°，∴△PAP′是等腰直角三角形，由勾股定理得：=即PP′的长是：故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，关键是证明△APP′是等腰直角三角形．20．120°【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合根据旋转变化的性质可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°故答案为120°考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．三、解答题21．（1）PM PN =， PM PN ⊥；（2）PMN 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98【分析】（1）根据题意可证得BD CE =，利用三角形的中位线定理得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出//PM CE ，得出DPM DCA =∠∠，通过角的转换得出DPM ∠与DPN ∠互余，证得PM PN ⊥．（2）先证明E ABD AC ∆≌，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论．（3）当BD 最大时，PMN 的面积最大，而BD 最大值是28AB AD +=，21()2PMN SPM =⨯，计算得出结论．【详解】（1）线段PM 与PN 的数量关系是PM PN =，位置关系是PM PN ⊥．∵等腰Rt ABC 中，90A ∠=︒，∴AB=AC ，∵AD=AE ，∴AB-AD=AC-AE ，∴BD=CE ，∵点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点， ∴12PM CE =，12PN BD =， ∴PM PN =；∵//PM CE ，∴DPM DCA ∠=∠，∵90A ∠=︒，∴90ADC ACD ∠+∠=︒，∵ADC DPN ∠=∠（两直线平行内错角相等），∴90MPN DPM DPN DCA ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴PM PN ⊥．（2）PMN 是等腰直角三角形．证明：由旋转可知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，∴()ABD ACE SAS ≌△△，∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =，根据三角形的中位线定理可得，12PN BD =，12PM CE =， ∴PM PN =， ∴PMN 是等腰三角形，同（1）的方法可得，PM //CE ，∴DPM DCE ∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∠=∠，∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，∵90BAC ∠=︒，∴90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90MPN ∠=︒，∴PMN 是等腰直角三角形．（3）由（2）知，PMN 是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， ∴PM 最大时，PMN 面积最大，∵点D 在BA 的延长线上，BD 最大，∴28BD AB AD =+=，∴14PM =， ∴2211149822PMN S PM ==⨯=最大△．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．22．（1）见解析；（2）（3，-1）【分析】（1）根据旋转的性质即可将△ABC 绕原点O 旋转180°得到△A 1B 1C 1；（2）结合（1）所画图形即可写出B 1的坐标．【详解】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）B 1的坐标为（3，-1）；故答案为：（3，-1）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．23．（1）见解析；（2）2DM +3AD ＝DE ，证明见解析．【分析】（1）根据直角三角形全等判定，得到对应角相等，根据角分线定义证明．（2）延长AD 交BC 于F ，连接CD ；利用旋转的到特殊值三角形，运用三角形的中位线定理，将DE 解转化到CB 决问题即可．【详解】（1）如图1中，∵△ADE 由△ABC 旋转得到，∴AC ＝AD ，∠ACF ＝∠ADE ＝∠ADF ＝90°，AF=AF∴ACF ADF ≌(HL)，AFC AFD ∴∠=∠， FA 平分∠CFE ；（2）结论：23DM AD DE +=，理由如下：如图2中，延长AD 交BC 于F ，连接CD ，∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∠CAF＝60°，∴∠AFC＝30°，∴AD＝AC＝1AF，2∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AB的中点，∴DM＝1FB，即FB=2DM2在Rt△AFC中，FC AD，==+，DE CB FB FC∴+=FB FC DM2∴=．2DM DE【点睛】本题考查图形旋转、30°直角三角形性质及三角形中位线定理，综合运用所学知识，将DE 解转化为CB是解题关键．24．（1）见解；（2）见解析；（3）M的坐标为（-1，0）；（4）P的坐标为（2，0）【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C关于点（1，0）的对称点A2，B2，C2即可．（3）连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为所求．（4）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点M即为所求，点M的坐标为（-1，0）．（4）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）．【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）CO=3；（3）α＝125°、α＝110°或α＝140°【分析】（1）由△BOC≌△ADC，得出CO＝CD，再由∠OCD＝60°，得出结论；（2）利用等边三角形的性质以及直角三角形的定义，即可判断△AOD为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO的长；（3）因为△AOD是等腰三角形，可得①∠AOD＝∠ADO、②∠ODA＝∠OAD、③∠AOD ＝∠DAO；若∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∠BOC＝190°−∠AOD，∠BOC＝∠ADC＝∠ADO ＋∠CDO由①∠AOD＝∠ADO可得α＝125°，由②∠ODA＝∠OAD可得α＝110°，由③∠AOD＝∠DAO可得α＝140°．【详解】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，∴CO＝CD．∴△COD是等边三角形；（2）∵△ADC≌△BOC，∴DA＝OB＝4，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，又∠ADC＝∠α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，∴△AOD为直角三角形．又AO＝5，AD＝4，∴OD＝3，∴CO＝OD＝3；（3）若△AOD是等腰三角形，所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO②∠ODA＝∠OAD③∠AOD＝∠DAO，∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠BOC ＝360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD ＝190°﹣∠AOD ，而∠BOC ＝∠ADC ＝∠ADO+∠CDO ，由①∠AOD ＝∠ADO 可得∠BOC ＝∠AOD+60°，求得α＝125°；由②∠ODA ＝∠OAD 可得∠BOC ＝150°12-∠AOD 求得α＝110°；由③∠AOD ＝∠DAO 可得∠BOC ＝240°﹣2∠AOD ，求得α＝140°；综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．【点睛】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，掌握分类讨论的思想是解题关键．26．（1）图见解析，点1A 的坐标为()2,3-；（2）图见解析，点2A 的坐标为()3,2．【分析】（1）分别找到A 、B 、C 三个点关于原点的对称点1A 、1B 、1C ，关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都是原来的相反数；（2）连接OA ，将OA 绕着点O 顺时针旋转90︒得到2OA ，用同样的方法得到2OB 、2OC ，从而得到222A B C △．【详解】解：（1）如图，111A B C △为所作：点1A 的坐标为()2,3-；（2）如图，222A B C △为所作：点2A 的坐标为()3,2．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转和画中心对称图形，解题的关键是掌握图形旋转的方法和画中心对称图形的方法．。

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