【步步高】2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文
答案
2.圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2 1(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2 2(r2>0).
方法
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 d>r1＋r2
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)
＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方
程为x0x＋y0y＝r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相 交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条. (2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直 线的方程.
由 题 意 知 圆 心 (1 ， － 2) 到 直 线 2x ＋ y － 5 ＝ 0 的 距 离 d ＝
|2×1－2－5| ＝ 5< 6且 2×1＋(－2)－5≠0， 2 2 ＋1
所以直线与圆相交但不过圆心.
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解析答案
2.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 [－3,1] __________.
题型三
直线与圆的综合问题
命题点1 求弦长问题
例3 (2015· 课标全国 Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、
N两点，则MN＝________.
解析答案
命题点2 由直线与圆相交求参数问题
例4 (2015· 课标全国Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2 ＋(y－3)2＝1交于M，N两点. (1)求k的取值范围； 解 由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
解析
由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，
2 2≤
∴
|a－0＋1|
1 ＋－1
2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
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解析答案
3.(2014· 湖南改编)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切， 则m＝________. 9 解析 圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2 ＝25－m，
∴切线方程为 x＋y＋1± 2 5＝0；
解析答案
②与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
解
设切线方程为2x＋y＋m＝0，
|2－2＋m| 则 ＝ 10，∴m＝± 5 2， 5
∴切线方程为 2x＋y± 5 2＝0；
解析答案
③过切点A(4，－1).
解
－2＋1 1 ∵kAC＝ ＝3， 1－4
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
2
2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2. 2
由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，
所以所求弦长为 2 2.
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题型分类 深度剖析
题型一
直线与圆的位置关系
(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
解析答案
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.
解析答案
题型二
圆与圆的位置关系
相交 例2 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为________.
解析 两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d＝ 4 ＋1＝ 17.
2
∵3－2<d<3＋2， ∴两圆相交.
2
到直线 AB 的距离为 d＝
|－ab|
1 1 而 a＋b＝－tan θ，ab＝－sin θ，
因此 d＝
θ ，化简后得 1 2 － ＋1 tan θ 1 sin
d＝1，故直线与圆相切.
思维升华 解析答案
跟踪训练1
已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
所以圆心 C2(3,4)，半径 r2＝ 25－m，
从而 C1C2＝ 32＋42＝5. 由两圆外切得 C1C2＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9.
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解析答案
4.(2015· 山东改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2 ＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为____________.
解析
C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得：0< a2＋a2<2＋2，
∴0<|a|<2 2.
∴a∈(－2 2，0)∪(0,2 2)
思维升华
解析答案
跟踪训练2
内切 解析 ∵圆C1：x2＋y2－2y＝0的圆心为：C1(0,1)，半径r1＝1，
2 2
圆 C2：x ＋y －2 3x－6＝0 的圆心为：C2( 3，0)，半径 r2＝3，
→ → → 若点 P 的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值为________.
解析答案
(2)(2014· 北 京 ) 已 知 圆 C ： (x － 3)2 ＋ (y － 4)2 ＝ 1 和 两 点 A( － m,0) ， B(m,0)(m>0) ，若圆 C 上存在点 P ，使得 ∠APB ＝ 90°，则 m 的最大值为 ________.
例1
相交 位置关系是______. 解析 所以a2＋b2>1，
|a· 0＋b· 0－1| 1 而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝ ＝ 2 2<1. 2 2 a ＋b a ＋b
所以直线与圆相交.
解析答案
(2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切， 则实数k的取值范围是________.
例5 (1)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为_____；
解析答案
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. ①与直线l1：x＋y－4＝0平行； 解 设切线方程为x＋y＋b＝0，
|1－2＋b| 则 ＝ 10，∴b＝1± 2 5， 2
∴C1C2＝ 32＋1＝2，又 r1＋r2＝4，r2－r1＝2，
∴C1C2＝r2－r1＝2，
∴圆C1与C2内切.
解析答案
(2)设 M＝{(x，y)|y＝ 2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－ 3)2＝ a2，a>0}，且 M∩N≠∅，求 a 的最大值和最小值.
解析答案
(4) 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所
在的直线方程.( × )
答案
(5) 过 圆 O ： x2 ＋ y2 ＝ r2 上 一 点 P(x0 ， y0) 的 圆 的 切 线 方 程 是 x0x ＋ y0y ＝
r2.( √ )
(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，
解析答案
二、直线与圆的综合问题
典例
(1)(2015· 重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x
－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则 6 AB＝________. 解析 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴， ∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上， ∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1). ∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36. ∴AB＝6.
解析答案
(2)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P， Q，则线段PQ的长为________.
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7.高考中与圆交汇问题的求解
一、与圆有关的最值问题 典例 (1)(2015· 湖南)已知点 A， B， C 在圆 x2＋y2＝1 上运动， 且 AB⊥BC.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
证明
y＝kx＋1， 由 2 2 x － 1 ＋ y ＋ 1 ＝12，
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0， 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.
则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
答案
2
考点自测
1.( 教材改编 ) 圆 (x － 1)2 ＋ (y ＋ 2)2 ＝ 6 与直线 2x ＋ y － 5 ＝ 0 的位置关系是 ② ________. ①相切； ③相交过圆心； ②相交但直线不过圆心； ④相离.
解析
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解析答案
5.( 教材改编 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的公共弦长为 2 2 ________.
解析
2
2 2 x ＋ y －4＝0， 由 2 2 得 x－y＋2＝0. x ＋y －4x＋4y－12＝0，
第九章 平面解析几何
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
内容 索引
基础知识 自主学习
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系高效演练分层突破文新人教A版
第 4 讲 直线与圆、圆与圆的地点关系[ 基础题组练 ]1．圆 O 1： x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0 和圆 O 2： x 2＋ y 2－ 4y ＝ 0 的地点关系是 () A ．相离B ．订交C ．外切D ．内切分析：选 B. 圆 O 1 的圆心坐标为 (1 ，0) ，半径长 r 1＝ 1，圆 O 2 的圆心坐标为 (0 ，2) ，半径长 r 2 ＝ 2，所以两圆的圆心距＝ 5，而 r 2 － 1 ＝ 1， 1＋ 2＝ 3，则有 r 2 － 1 < < 1＋ 2，所以dr r r r d r r两圆订交．2．(2020 ·陕西榆林二校联考 ) 圆 x 2＋ y 2＋ 4x － 2y ＋ a ＝ 0 截直线 x ＋ y － 3＝ 0 所得弦长为2，则实数 a 等于 ()A ． 2B ．－ 2C ． 4D ．－ 4分析：选 D. 由题知，圆的标准方程为 ( x ＋ 2) 2＋ ( y － 1) 2＝5－ a ，所以圆心为 ( － 2， 1) ，半径为 5－ a ，又圆心到直线的距离为 | －2＋1－ 3| ＝2 2，所以 2 （ 5－ a ） 2－（ 2 2）22 ＝2，解得 a ＝－ 4.3．(2020 ·河南豫西五校联考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (0 ， 1) 为圆心且与直线x － by ＋ 2 ＋ 1＝ 0 相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为()bA ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 4B ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 2C ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 8D ． x 2＋ ( y － 1) 2＝ 16分析：选 B. 直线 x － by ＋2 ＋1＝0 过定点 ( －1，2) ，如图．所以圆与直线x － by＋ 2b Pb＋1＝ 0 相切于点 P 时，以点 (0 ，1) 为圆心的圆的半径最大，此时半径r 为 2，此时圆的标准方程为 x 2＋( y － 1) 2＝ 2. 应选 B.4．已知圆 1 的方程为x 2＋ y 2 ＝4，圆2的方程为 ( － ) 2＋ y 2＝ 1，假如这两个圆有且只OOx a有一个公共点，那么 a 的全部取值组成的会合是()A ． {1 ，－ 1}B ． {3 ，－ 3}C ． {1 ，－ 1， 3，－ 3}D ． {5 ，－ 5， 3，－ 3}外切时， | a | ＝ 3，所以实数 a 的取值会合是 {1 ，－ 1， 3，－ 3} ．5．圆 x2＋ 2 ＋ y2＋4 －3＝0 上到直线x ＋ ＋ 1＝0 的距离为 2的点共有 ()x yyA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个分析：选 C. 圆的方程化为 ( x ＋ 1) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 8，圆心 ( － 1，－ 2) 到直线的距离 d ＝| －1－2＋1|2，半径是 2 2，联合图形可知有3 个切合条件的点．＝26．圆 x 2＋ y 2－ 4x ＝ 0 在点 P (1 ， 3) 处的切线方程为．分析：圆的方程为 ( x － 2) 2＋ y 2＝ 4，圆心坐标为 (2 ， 0) ，半径为 2，点 P 在圆上，设切线方程为 y － 3＝ k ( x － 1) ，即 kx － y － k ＋|2 k － k ＋ 3|3＝ 0，所以k 2＋ 1＝2，33解得 k ＝ 3 . 所以切线方程为 y － 3＝ 3 ( x － 1) ，即 x － 3y ＋ 2＝ 0.答案： x － 3y ＋ 2＝ 07．已知直线 l ： ＋ ay － 1＝0( a ∈R) 是圆 ： 2＋ y 2－4 x － 2 y ＋1＝ 0 的对称轴． 过点 ( －x C xA4， a ) 作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则 | AB | ＝．分析：因为直线 x ＋ ay －1＝ 0 是圆 C ：x 2＋ y 2－ 4x － 2y ＋ 1＝ 0 的对称轴，所以圆心 C (2 ，1) 在直线 x ＋ ay － 1＝ 0 上，所以 2＋ a － 1＝ 0，所以 a ＝－ 1，所以 A ( － 4，－ 1) ．所以 | AC | 2＝ 36＋ 4＝ 40. 又 r ＝ 2，所以 | AB | 2＝ 40－ 4＝ 36. 所以 | AB | ＝ 6.答案： 68．在平面直角坐标系中，， B 分别是 x 轴和y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与A直线 2x ＋ y － 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为．分析：因为∠＝ 90°，所以点O 在圆 C 上．设直线 2 ＋ y －4＝ 0 与圆C 相切于点 ，AOBxD则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线2 ＋ － 4＝ 0 的距离， 所以点 C 在以O 为焦点， 以直线x y2x ＋ y － 4＝0 为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ， D 共线时，圆的直径最小为 | OD |. 又| | ＝|2 ×0＋ 0－ 4| ＝ 4 ，所以圆 C 的最小半径为 2 ，所以圆 C 面积的最小值为 π 2 2＝OD 5 5 5 545π .4答案： π59．已知圆 C ： ( x － 1) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 10，求知足以下条件的圆的切线方程．(1) 过切点 A (4 ，－ 1) ；(2) 与直线 l 2： x －2y ＋ 4＝0 垂直．解：(1) 因为 k AC ＝ － 2＋1＝ 1，所以过切点 A (4 ，－ 1) 的切线斜率为－ 3，所以过切点 A (4 ，1－ 4 3－1) 的切线方程为 ＋ 1＝－ 3( x －4) ，即 3 x ＋ y － 11＝ 0.y(2) 设切线方程为2 ＋ y ＋ ＝0，则|2 －2＋m |＝ 10，所以＝±5 2，所以切线方程x m5m为 2x ＋ y ±5 2＝ 0.10．已知圆 C 经过点 A (2 ，－ 1) ，和直线 x ＋y ＝ 1 相切，且圆心在直线y ＝－ 2x 上．(1) 求圆 C 的方程；(2) 已知直线 l 经过原点，而且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．解： (1) 设圆心的坐标为C ( a ，－ 2a ) ，则 （ a － 2） 2＋（－ 2a ＋1） 2＝ |a －2a － 1|，化简，2得 a 2－ 2a ＋ 1＝ 0，解得 a ＝1.所以 C (1 ，－ 2) ，半径 | AC | ＝ （1－ 2） 2＋（－ 2＋ 1）2＝2.所以圆 C 的方程为 ( x － 1) 2＋ ( y ＋ 2) 2＝ 2.(2) ①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x ＝ 0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，知足条件．| k ＋ 2|②当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ＝ kx ，由题意得1＋ k 2＝ 1，解得 k ＝3－ 4，3 所以直线 l 的方程为 y ＝－ x .4综上所述，直线l 的方程为 x＝0或3 ＋ 4 y ＝0.x[ 综合题组练 ]1．(2020 ·湖北四地七校联考 ) 若圆 O 1： x 2＋ y 2＝ 5 与圆 O 2： ( x ＋ m ) 2＋ y 2＝ 20 订交于 A ， B 两点，且两圆在点A 处的切线相互垂直，则线段的长度是 ()ABA ． 3B ． 4C ． 2 3D ． 8分析：选 B. 连结 OA ， OA ，因为⊙ O 与⊙ O 在点 A 处的切线相互垂直，所以OA ⊥ OA ，1 21 21 212 212＋| 22212所以 | OO | ＝| OA | OA | ，即 m ＝ 5＋20＝ 25，设 AB 交 x 轴于点 C . 在 Rt △OAO 中， sin5 5∠AO 2O 1＝ 5 ，所以在 Rt △ ACO 2中，| AC | ＝| AO 2| ·sin ∠ AO 2O 1＝ 2 5× 5 ＝ 2，所以 | AB | ＝ 2| AC | ＝ 4.| y |2． (2020 ·江西南昌 NCS 项目第一次模拟 ) 已知 r >0，x ， y ∈ R ，p ：“|x | ＋ 2 ≤1”，q ：“ x 2＋ y 2≤ r 2”，若 p 是 q 的必需不充分条件，则实数 r 的取值范围是 ()A.2 5B ．(0 ， 1]0， 5C. 2 55，＋∞D ． [2 ，＋∞)| y |2分析：选 A. 如图，“ | x | ＋ 2 ≤1”表示的平面地区为平行四边形ABCD 及其内部， “ x22O (0 ，0) 到直线 AD ：2x ＋ y －2＝ 0 的距离 d ＝| －2|＝ ＋y ≤ r ”表示圆及其内部， 易知圆心222 ＋ 125p 是 q 的必需不充分条件，得2 5，由 0< ≤，应选 A.5r53．已知点 P (2 ，2) ，圆 C ： x 2＋ y 2－ 8y ＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点．(1) 求 M 的轨迹方程；(2) 当 | OP | ＝ | OM |时，求 l 的方程及△ POM 的面积．解： (1) 圆 C 的方程可化为 x 2＋ ( y － 4) 2＝ 16，所以圆心为 C (0 ， 4) ，半径为 4.→ →设 M ( x ， y ) ，则 CM ＝ ( x ， y － 4) ， MP ＝ (2 － x ， 2－ y ) ．由题设知 → · →＝0，故 x (2 － ) ＋ ( － 4)(2 － ) ＝0，CM MPx y y即 ( x －1) 2＋ ( y － 3) 2＝ 2.因为点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是 ( x － 1) 2＋( y － 3) 2＝ 2.(2) 由 (1) 可知 M 的轨迹是以点 N (1 ， 3) 为圆心， 2为半径的圆．因为 | OP | ＝ | OM |，故O 在线段 PM 的垂直均分线上，又 P 在圆 N 上，进而 ON ⊥ PM .1因为 ON 的斜率为3，所以 l 的斜率为－ 3，故 l 的方程为 x ＋ 3y － 8＝0.又 | OM |＝ | OP | ＝2 2， O 到 l 的距离为 4 105 ，4 101 4 10 4 10 16， 所以|PM |＝5 ， S △POM ＝ × 5 × ＝ 52 516故△ POM 的面积为 5 .4．已知圆 C ： x 2＋y 2－ 2x － 4y ＋ 3＝ 0.(1) 若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2) 从圆 C 外一点 P ( x 1，y 1) 向该圆引一条切线，切点为M ， O 为坐标原点，且有 | PM | ＝| PO | ，求 | PM |的最小值．解： (1) 将圆 C 的方程配方得 ( x －1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 2，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 y ＝ kx ( k ≠0) ，由直线与圆相切得 | k － 2| ＝2，解得 k ＝－ 2± 6，k 2 ＋1所以切线方程为 y ＝ ( － 2＋ 6) x 或 y ＝ ( － 2－ 6) x .当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y － a ＝ 0，|1 ＋ 2－ a |由直线与圆相切得＝ 2，解得 a ＝ 1 或 a ＝5，所以切线方程为x ＋ y －1＝ 02或 x ＋ y － 5＝ 0.综上，所求的切线方程为y ＝ ( － 2＋ 6) x 或 y ＝ ( － 2－ 6) x 或 x ＋ y －1＝ 0 或 x ＋ y － 5＝ 0.2222(2) 由 | PM | ＝ | PO |得 ( x 1－ 1) ＋ ( y 1－ 2) － 2＝ x 1＋ y 1， 即 2x 1＋ 4y 1－ 3＝ 0，即点 P 在直线 l ： 2x ＋ 4y － 3＝ 0 上，所以 | PM |min ＝72 3 522＋ 42 －2＝ 10 .。
2017版高考数学专题9平面解析几何67直线与圆、圆与圆的位置关系理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题9 平面解析几何 67 直线与圆、圆与圆的位置关系 理切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为________________．2．(2015·西安西北工业大学附中第一次适应性训练)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是________．3．(2015·潍坊模拟)圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________．4．(2015·南昌一模)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．5．已知P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝2}，那么P ∩Q ＝________.6．(2015·广东中山一中等七校第二次联考)M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)内异于圆心的一点，则直线x ·x 0＋y ·y 0＝a 2与该圆的位置关系为________．7．(2015·天水秦安第二中学第四次检测)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 8．圆C 1：x 2＋y 2＝16与C 2：(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝________.9．(2015·大庆二模)能够把圆O ：x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f (x )称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是________．①f (x )＝4x 3＋x 2；②f (x )＝ln 5－x 5＋x ；③f (x )＝e x ＋e －x2；④f (x )＝tan x 5. 10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________．11．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有________个．12．(2015·济南模拟)已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________．13．(2015·甘肃天水一中一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．14．已知P(2,0)为圆C：x2＋y2－2x＋2my＋m2－7＝0(m>0)内一点，过点P的直线AB交圆C 于A，B两点，若△ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为________．答案解析1．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 设圆心坐标为(a ，－a )，由r ＝|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2得a ＝1，∴r ＝ 2.该圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.2．相交解析 圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，表示以O (1，－1)为圆心、3为半径的圆．圆心到直线的距离 d ＝a ＋－a －＋2a |a ＋2＋a －2＝|2a ＋2|2a 2＋2.9－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2－4a ＋7a 2＋1，而方程7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有9>d 2，即d <3，故直线和圆相交．3．1023解析 因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为点P (2，－1)是该圆内一点，所以经过点P 的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.4．相交解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2. 故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2， 故两圆相交．5．{(1,1)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1.6．相离解析 ∵点M 在圆内，∴x 20＋y 20<a 2(a >0)．圆心到直线的距离d ＝a 2x 20＋y 20>a ，即d >r ，故直线与圆相离．7．9解析 ∵圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，∴两圆内切，|C 1C 2|＝2－1＝1， 即4a 2＋b 2＝1.1a 2＋1b 2＝(4a 2＋b 2)(1a 2＋1b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，当且仅当b 2＝2a 2，即a 2＝16，b 2＝13时取等号．8．3解析 设其中一个交点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋y 20＝16，x 0－2＋y 0＋3＝r 2可得r 2＝41－8x 0＋6y 0，∵两切线互相垂直，∴过交点的两半径也互相垂直，即y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0＝41＋2(3y 0－4x 0)＝41－32＝9，∴r ＝3.9．③解析 若函数f (x )是圆O 的“亲和函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称．圆O ：x 2＋y 2＝9的圆心为坐标原点，①中f (x )＝4x 3＋x 2，②中f (x )＝ln 5－x5＋x ，④中f (x )＝tan x5的图象均过圆心O (0,0)，在③中，f (x )＝e x ＋e －x 2的图象不过圆心，不满足要求． 10．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1， 因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.11．3解析 圆的方程化为标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.圆心为(－1，－2)，圆的半径为22，圆心到直线l 的距离为|－1－2＋1|12＋12＝22＝ 2.因此和l 平行的圆的直径的两端点及与l 平行的圆的切线的切点到l 的距离都为 2.12．2 2解析 圆的标准方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C (1，－2)，半径为1，且直线与圆相离，如图所示，四边形PACB 的面积等于2S △PAC ，而S △PAC ＝12PA ·AC ＝12PA ＝12PC 2－1， 又 PC min ＝|3－8－10|5＝3， 所以(S △PAC )min ＝129－1＝2， 故四边形PACB 面积的最小值为2 2.13．[0，125] 解析 设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知x 2＋y －2＝2x 2＋y 2. 化简，得x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤CD ≤3.∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴设C (a,2a －4)， ∴CD ＝a 2＋a －2， ∴1≤a 2＋a －2≤3，解得0≤a ≤125.14．[3，7)解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8， 则圆心坐标为(1，－m )，半径r ＝22，S △ABC ＝12r 2sin∠ACB ＝4sin∠ACB ，当∠ACB ＝90°时，△ABC 的面积取得最大值4， 此时△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝2r ＝4，则点C 到直线AB 的距离等于2，故2≤PC ＜22，即2≤1＋m 2＜22，所以4≤1＋m 2＜8，即3≤m 2＜7，因为m ＞0，所以3≤m ＜7.。
(湖南专用)高考数学一轮复习 第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业 理
课时作业45 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是( )．A ．3x ＋4y －1＝0B ．3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －9＝0C ．3x ＋4y ＋9＝0D ．3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝03．(2012广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )．A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．14．设直线l 经过点P (3,4)，圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4.若直线l 与圆C 交于两个不同的点，则直线l 的斜率的取值范围为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1918，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1716，2720C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2720，2917 5．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )．A. 2B. 3 C ．2 D ．36．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a ＞0)及直线l ：x －y ＋3＝0.当直线l 被C 截得的弦长为23时，a ＝( )．A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋17．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )．A ．－7B ．－14C ．7D ．14 二、填空题8．(2013届湖南师大附中月考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________．9．(2012北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为__________．10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为__________．三、解答题11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )，(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值．12．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值． (3)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．参考答案一、选择题1．A 解析：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，可得|a |2＝1，即a ＝± 2.∴p ⇒q 而q p ，∴p 是q 的充分而不必要条件． 2．D 解析：设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切， ∴|－4＋m |32＋42＝1. ∴|m －4|＝5.∴m ＝－1或m ＝9.∴直线l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0. 3．B 解析：如图所示，设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，垂足为D ，连接OA .由点到直线的距离得|OD |＝|－5|32＋42＝1， ∴|AD |2＝|OA |2－|OD |2＝4－1＝3，|AD |＝3， ∴|AB |＝2|AD |＝2 3.4．C 解析：由题意，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.又直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.5．C 解析：设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0＞0，y 0＞0， 则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令y ＝0，x ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1y 0，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 02＋y 022＝2当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．6．C 解析：如图，由题意知圆心为(a,2)，到直线l 的距离应等于1，即|a －2＋3|2＝1， ∴a ＝－1± 2.∵a ＞0，∴a ＝2－1.7．A 解析：记OM uuu r ，ON uuu r的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，cos θ＝13，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79，OM uuu r ·ON uuu r ＝3×3cos 2θ＝－7.二、填空题8．－3≤a ≤1 解析：圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝2，即|a ＋1|2≤2，得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.9．2 2 解析：由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2.设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.10.302 解析：BC 中点坐标为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，－12，所以|AD |＝(2－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－22＝302.三、解答题11．解：(1)由条件知点M 在圆O 上，所以1＋a 2＝4，解得a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切线＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0.当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切线＝33， 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)，即x －3y －4＝0. 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0，或x －3y －4＝0.(2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1， d 2≥0)，则d 12＋d 22＝|OM |2＝3.于是|AC |＝24－d 12，|BD |＝24－d 22.所以|AC |＋|BD |＝24－d 12＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4(4－d 12＋4－d 22＋24－d 124－d 22)＝4[5＋216－4(d 12＋d 22)＋d 12d 22]＝4(5＋24＋d 12d 22)．因为2d 1d 2≤d 12＋d 22＝3，所以d 12d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号．所以4＋d 12d 22≤52.所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210，即|AC |＋|BD |的最大值为210. 12．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ uu u r ·MQ u u u r ＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，所以PQ uu u r ·MQ u u u r的最小值为－4.(3)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k2. 同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k2. 则k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以，直线AB 和OP 一定平行．。
(北京专用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
答案 , )
(1. )A
(2)k∈(-
3,
3)
解析 (1)解法一:由
mx y
x
2
(
y
1 1) 2
m
消0去, y,整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0,
5
第十二页，共27页。
则Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0,
所以直线l与圆C相交.故选A.
解法(jiě fǎ)二:因为圆心(0,1)到直线l的距离|d=m | <1< ,故直线l与圆C相
2
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考点(kǎo diǎn)突破
考点一 直线与圆的位置(wèi zhi)关系
典例1 (1)直线(zhíxiàn)l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关A系是
( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
33
(2)圆x2+y2=1与直线(zhíxiàn)y=kx+2没有公共点的充要条件是 k∈(-
解法二:圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离(jùlí)d= ,直2线与圆没有公共点
的充要条件是d>1,即 >1,解得k∈(- , ).
k2 1
2 k2 1
33
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方法技巧 (1)判断直线与圆的位置关系(guān xì)时,若两方程已知或圆心到直线的距离 易 表达,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦 琐,则用代数法.(2)已知直线与圆的位置关系(guān xì)求参数的取值范围时, 可根 据数形结合思想利用直线与圆的位置关系(guān xì)的判断条件建立不等式 解决.
高考数学新增分大一轮新高考第九章9.4直线与圆、圆与圆的位置关系
答案 相交
解析 直线 2tx－ y－ 2－ 2t＝ 0 恒过点 (1，－ 2)， ∵ 12＋ (－ 2)2－ 2×1＋ 4× (－ 2)＝－ 5<0 ， ∴ 点 (1，－ 2)在圆 x2＋ y2－ 2x＋4y＝ 0 内， 直线 2tx－y －2－ 2t＝ 0 与圆 x2＋ y2－ 2x＋ 4y＝ 0 相交． (2)过点 (3,1)作圆 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 4 的弦，其中最短弦的长为
D． [－2 2－ 1,2 2－ 1]
答案 D 解析 圆 C 的标准方程为 (x－ 2)2＋( y－1) 2＝ 4，圆心为 (2,1) ，半径为 2，圆心到直线的距离 d
＝ |2－1＋ m|， 2
若直线与圆恒有公共点，则 |2－ 1＋ m|≤ 2， 2
解得－ 2 2－ 1≤ m≤ 2 2－ 1，故选 D. 6．(2018 ·石家庄模拟 )设圆 C1，C2 都和两坐标轴相切，且都过点 等于 ( )
当 1＋ 50－ k＝ 5，即 k＝34 时，两圆外切；
当 | 50－ k－ 1|＝5，即 k＝ 14 时，两圆内切．
所以当 k＝ 14 或 k＝ 34 时，两圆相切．
命题点 2 公共弦问题
例 5 已知圆 C1： x2＋ y2－ 2x－ 6y－1＝ 0 和 C2： x2＋ y2－ 10x－ 12y＋ 45＝ 0.
( x－3) 2＋ (y－4) 2＝ 9，所以圆心坐标为 (3,4)，半径 r＝ 3，所
以圆心到直线
|12× 3－ 5×4－ 3|
12x－ 5y＝ 3 的距离 d＝
122＋ － 5 2 ＝ 1，则 |AB |＝ 2
r2－ d2＝ 4 2.
命题点 3 切线问题 例 3 已知圆 C： (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 10，求满足下列条件的圆的切线方程．
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题三 第九章 平面解析几何-第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
+ −
= ,则圆心C到直线: − − = 的距离 =
与圆C相切.故选B.
= ,故圆心 −, ,半径
−−−
+
=
= = ,故直线
2.圆 2 + 2 = 4与圆: − 2
A.内切
[解析]由 −
2
+ −1
2
= 9的位置关系是() B
2.代数法:设直线 = + 与圆 2 + 2 + + + = 0相交于点,,将直线方程
2 − 4
1 + 2 ⋅ +
代入圆方程,消去,得关于的一元二次方程,则
=____________________________
___________________.
主题三 几何与代数
第九章 平面解析几何
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
课标解 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
读
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为,圆的半径为）
+ = ,
消去,得 + + − + − = .
由 = [ − ] − + ⋅ ⋅ − > ,解得 > .
−
又 + = −
+
−
=
2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.2.3 圆与圆的位置关系对点训练 理
2017高考数学一轮复习 第九章 直线和圆的方程 9.2.3 圆与圆的位置关系对点训练 理1.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析 圆C 1，C 2如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为|PC 1|－1，同理可得|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.选A.2．已知两圆⊙C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y －3＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y －3＝0都经过点A (2，－1)，则同时经过点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)的直线方程为( )A ．2x －y ＋2＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y ＋2＝0D ．2x ＋y －2＝0 答案 A解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋2D 1－E 1－3＝05＋2D 2－E 2－3＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2D 1－E 1＋2＝02D 2－E 2＋2＝0，∴点(D 1，E 1)和点(D 2，E 2)都在直线2x －y ＋2＝0上，故同时经过(D 1，E 1)和(D 2，E 2)的直线方程为2x －y ＋2＝0.3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y ＝1a，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a ＝1，∴a ＝1.。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书 文 新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书 文 新人教版1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).【知识拓展】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离答案 B解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 3．(2016·西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a －0＋1|12＋－2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0与圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的位置关系是________． 答案 内含解析 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36. 其圆心坐标为C 1(－1,3)，半径r 1＝6； 圆C 2的圆心坐标为C 2(2,0)，半径r 2＝1. |C 1C 2|＝＋2＋32＝3 2.∵32<5＝r 1－r 2，∴圆C 2在圆C 1的内部．5．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为________． 答案 94解析 由两圆外切可得圆心(a ，－2)，(－b ，－2)之间的距离等于两圆半径之和， 即(a ＋b )2＝(2＋1)2，即9＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ， 所以ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab 的最大值是94.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交．(2)直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内．直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．过点A (3，1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[0，3] C ．[0,1] D ．[－3，3]答案 B解析 设直线l 的方程为y －1＝k (x －3)，则圆心到直线l 的距离d ＝|3k －1|1＋k 2，因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以d ≤1，即|3k －1|1＋k 2≤1，得0≤k ≤ 3. 题型二 圆与圆的位置关系例2 (1)(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)(2017·重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________． 答案 (1)B (2)(－22，0)∪(0,22) 解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝－2＋－2＝2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得0<a2＋a2<2＋2，∴0<|a|<2 2.∴a∈(－22，0)∪(0,22)．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m.(1)当两圆外切时，－2＋－2＝11＋61－m，解得m＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m－11＝5，解得m＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为2112－|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.题型三直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝23，则|CD|＝________.答案 4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)， 则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0， 所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径， 得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25， 令x ＝0，得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26， 所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.(2)依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33，故选A.7．高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 解析 (1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. (2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，△AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.(也可k ＝－tan∠OPH ＝－33)． 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解析 (1)由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.答案 (1)C (2)A1．(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 答案 C解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9.3．(2016·南昌二模)若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1， ∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2016·泰安模拟)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．6．(2016·岳阳一模)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0答案 B解析 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1，符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，得圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43， 此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)． 故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.7．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.8．(2016·天津四校联考)过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.答案 22解析 ∵(1－2)2＋(2)2＝3<4，∴点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，2)的连线垂直于直线l . ∵2－01－2＝－2，∴所求直线l 的斜率k ＝22. 9．(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________.答案 32解析 由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32. 10．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，则m 的取值范围为________．答案 [2,3]解析 曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP →＋AQ →＝0，说明A 是PQ 的中点，Q 的横坐标x ＝6，∴m ＝6＋x P 2∈[2,3]． 11．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0. 综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．解(1)圆O1的圆心坐标为(0，－1)，半径r1＝2，圆O2的圆心坐标为(2,1)，圆心距为|O1O2|＝－2＋1＋2＝22，由两圆外切知，所求圆的半径为r2＝22－2，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.(2)由题意知，圆心O1到AB的距离为22－22＝2，当圆心O2到AB的距离为22－2＝2时，圆O2的半径r2＝22＋22＝2，此时圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.当圆心O2到AB的距离为22＋2＝32时，圆O2的半径r2′＝22＋22＝25，此时圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.综上知，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.*13.(2016·湖南六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C 在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设圆心C(a,0)(a>－52 )，则|4a＋10|5＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－x 1－t ＋k x 2－x 2－t＝⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0 ⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
2017版高考数学一轮总复习课件：第九章 第二节圆与方程及直线与圆的位置关系
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(1)解析 如图所示，∵PA，PB 分别为圆 O：x2＋y2＝1 的切线， ∴OA⊥AP，|AB|＝2|AC|，∵P(1， 3)，O(0，0)， ∴|OP|＝ 1＋3＝2，又∵|OA|＝1， ∴∠AOP＝60°，∴|AB|＝2|AC|＝2|AO|sin∠AOP＝ 3， 故选 A. 答案 A
解析 (1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将 A，B 两点的坐标代入得23DD－ －4EE＋－FF＝＝－201， 0，再令 y＝0， 得 x2＋Dx＋F＝0.设 x1，x2 是方程的两根，由|x1－x2|＝6 得，
2D－4E－F＝20， D2－4F＝36，由3D－E＋F＝－10，解得
(3)圆的标准方程：
①两个条件：圆心(a，b)，半径 r；
②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(4)圆的一般方程
①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圆的充要条件为： D2＋E2－4F>0 ；
1 ③圆心坐标－D2 ，－E2，半径 r＝ 2
D2＋E2－4F .
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►四条常用性质. (6)[①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上； ③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ④两圆方程相减得公共弦所在直线方程]已知点M(1，0)是圆C： x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程
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►一个易错点：两圆相切时，注意是内切还是外切. (5)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相切， 则(a＋b)2＝________. 解析 圆C1圆心坐标为(a，－2)，半径r1＝2，圆C2圆心坐标为(－b， －2)，半径r2＝1，则圆心距为|a＋b|，两圆外切时|a＋b|＝2＋1＝3， 两圆内切时|a＋b|＝2－1＝1.所以(a＋b)2＝9或1. 答案 9或1
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版-新
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。