第四章 插值法
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
计算方法-4插值方法
( xi x j ) 0
i 1 j 0
n
i 1
9
4.2 拉格朗日（Lagerange）插值多项式
4.2.1 基本插值多项式 观察一个两点的插值情况：
a0 a1 x0 y0 a0 a1 x1 y1
可以构造函数P1(x)为
x x1 x x0 P ( x) y0 y1 1 x0 x1 x1 x0
P3’ (x1)=L2’ (x1)+Q’(x1)=m1
可得
22
( x1 x2 ) 2 x1 x0 x2 y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x1 x0 ) y2 A( x1 x0 )( x1 x2 ) m1 ( x2 x0 )( x2 x1 )
10
4.2.1 基本插值多项式
如果令：
x x1 x x0 l0 ( x ) ,l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
P ( x ) y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) 1
则
显然，l0(x)和l1(x)是满足插值条件的一次插值多项式
l0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0 l0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
15
4.2.3 插值余项
在节点处
Ln ( x j ) f ( x j ) j 0,1,..., n
在其它点上，均是近似值。记
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x )
称Rn(x)为插值多项式的余项。
16
定理：设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在 节点， a≤x0<x1<…<xn≤b， Ln(x) 是满足插值条件处 ， Ln(xj) 是=yj(j=0,1,2,…,n)的n次多项式，则对任意x 属于[a,b]，插值余项
第4章插值法
( x xi ) i 0 ( x j xi )
i j
j 0,1,2 ,, n
n+1次多项式
令 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
则 n1 ( x j ) ( x j x0 )( x j x1 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
x0
x1
x2
x
x3
x4
Lagrange插值多项式
假定已知区间 xk , xk 1 端点处的函数值yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 )
为了求得便于使用的简单的插值多项式P(x), 我们先讨论n=1的情形
要求线性插值多项式L1(x), ( xk 1 ) yk 1
L1(x)的几何意义就是通过这两点的直线；
yk 1 yk L1 ( x) yk ( x xk )(点斜式） xk 1 xk xk 1 x x xk L1 ( x) yk yk 1 (两点式） xk 1 xk xk 1 xk
xk 1 x x xk L1 ( x) yk yk 1 (两点式） xk 1 xk xk 1 xk
在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个 节点中取相邻的两个节点作线性插值
例2. 用Lagrange 线性插值多项式求例1中的f (175).
解: 由于插值点x 175在x1 169与x2 225之间
解: 设x0 144, x1 169, x2 225 y0 12, y1 13, y2 15
插值方法（精品）
第四章插值方法§4.0 引言§4.1 多项式插值问题的一般提法§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值§4.3 差商与差分及其性质§4.4 牛顿插值公式§4.5 分段插值法§4.6 三次样条插值§4.7 曲线拟合的最小二乘法引言1 插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重要数值方法，它是用简单函数(特别是多项式或分段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种非有理函数提供好的逼近方法。
众所周知，反映自然规律的数量关系的函数有三种表示方法：A 解析表达式。
(1865年，瓦里斯Walis ；1690年，Raphson 拉夫逊；1669年，牛顿Newton ；历史悠久的方程)。
，(开普勒(Kepler)方程)。
悬链线方程；。
52)(3−−=x x x f y y x sin ε−=)/cos(λλx y =B图像法C表格法2 事实上，许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和进行设计，是极不方便的甚至是不可能的。
因此需要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函数(或近似函数)。
3 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。
如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。
1 插值法的概念假设函数y=f (x )是[a , b ]上的实值函数，x 0,x 1,…,x n 是[a ,b ]上n +1个互异的点，f (x )在这些点上的取值分别为y 0,y 1,…,y n 。
求一个确定的函数P (x )，使之满足：P (x i )=y i(i =0,1,2,…,n ) (1)称x 0,x 1,…,x n 为插值节点，关系式(1)称为插值原则,函数P (x )称为函数y=f (x )的插值函数，区间[a , b ]称为插值区间。
数值计算方法第四章插值1
代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关
线性插值与二次插值公式ppt课件
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
第四章插值法
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
11
4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
4插值法
4.1 函数插值的基本问题
4.1.1 插值问题的基本概念 函数插值的必要性
使复杂函数简单化 使无解析式的函数（离散型、图形图像）获得解析式
为其他数值方法提供支持手段（如数值积分、微分）
插值问题
定义4-1
4.1 函数插值的基本问题
4.1.1 插值问题的基本概念 代数多项式插值问题
由于多项式有其优良的特性，所以通常都是用多项式作为 插值函数。还有其它类型的插值函数，如有理函数插值、 三角函数插值等
4.1.3 插值多项式的误差估计
最大值估计
设 Max f
a x b ( n 1)
( x) M , 则 Rn ( x)
M n1 ( x) (n 1)!
事后估计
当 f
( n 1)
( ) 无法估计时，可作两次 插值，即
x 0 , x1 , , x n p n ( x )
i 0 n
拉格朗日插值的特点： 基函数整齐、对称,与被插函数无关,均为不超过n次的多项式 插值函数被表示为基函数与函数值的线性组合 不便于增加插值基点，因为基函数与插值基点和个数有关 公式的理论价值高于牛顿插值 例4-4 p70例3 例4-5 p71例4
例4-6 p71例5
4.2.4 拉格朗日插值在密钥管理中的应用
依赖于x的点 (a, b) ，使
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) n 1 ( x) (n 1)!
n i 0
其中：
n 1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x x n ) ( x xi )
推论：当f(x)是次数不超过次的多项式时，pn(x)=f(x)。
函数插值涉及的基本问题
第四章___插值法
x xi 1 x xi
xi 1 x xi
max
x xi 1 x xi xi xi 1 2
解得 n 825
1 4
1 4n 2
1 1 e 1 R1 x e 106 2 4n2 8n2 2
实际误差sin500-L1(500) 0.00596479
n =2
利用 x0 ,x1 ,x2计算
5 sin50 ≈ L 2 18
0
0.76543
R2 x
0.000443048 R2 x 0.000767382
f x x x x 3! 6 4 3 cos x x x x 3! 6 4 3
-0.5 -5
例：设 f x e ，在[0，1]上给出 f x 的n+1个等距节点xi 处的函数 值表，这时， 1
x
0 x0 x1
xn 1,xi xi 1 ,i 1,2, ,n n
若想用所给函数表的函数值用线性插值求 e x 0 x 1的近似值，使得 误差不超过
| f (4) ( x) | 1
h4 12 24 104
h4 1 4 | Rh ( x ) | 10 4!24 2
h 3.8 101 最大步长h应取0.38.
50 = 0.7660444…
500-L1(500) 0.0100979
利用 x1 , x2 4 3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
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4.1 设(0.4)0.38942,(0.5)0.47943,(0.6)0.56464f f f ===，使用一次、二次Lagrange 插值多项式计算(0.5789)f 的近似值.解：(0.4)0.38942,(0.5)0.47943,(0.6)0.56464f f f === 一次Lagrange 插值多项式公式05338.08521.06.05.06.0)5.0(5.06.05.0)6.0()(1+=--+--=x x f x f x P故546669.005338.057891.08521.0)57891.0(1≈+⨯=P . 二次Lagrange 插值多项式公式：)5.04.0)(6.04.0()5.0)(6.0()4.0()4.05.0)(6.05.0()4.0)(6.0()5.0()4.06.0)(5.06.0()4.0)(5.0()6.0()(2----+----+----=x x f x x f x x f x P 即01862.01161.124.0)(22-+-=x x x P故5470686.001862.057891.01161.157891.024.0)57891.0(22=-⨯+⨯-=P4.2 设01(),(),,()n l x l x l x 是以为节点的01,,,n x x x 的n 次Lagrange 插值基函数，试证明;(),0,1,,njjk kk x l x x j n ===∑证：假设在对应于01,,,n x x x 节点的函数值为,...)1,0(=i y i ，则应有：),...,1,0()()(1n i x l y x P ni i i ==∑=取n j x y ji i ,...,1,0,==，由插值条件有：j i i j x y x P ==)(故0()n jji i ii x x l x ==∑，即0()njj k ki x x l x ==∑4.3 给出sinx 在[,]ππ-上的函数表，用二次插值进行计算，若希望截断误差小于510-，问函数表的步长h 最大能取多少？ 解：插值余项公式εϖϖξ≤≤=-=|)(|!3)()(!3)(''')()()(22222x x M x f x P x f x R 在这里))()(()(2102x x x x x x x ---=ϖ令y x x =-0，则h y x x -=-1，h y x x 22-=-，其中h y 20<<，于是：y h hy y h y h y y x 223223)2)(()(+-=--=ϖ由0263)('222=+-=h hy y x ϖ，解得)(2x ϖ在h y 20<<上的两个驻点为：h y 3332,1±=322212220220932|)2(),(),(),0(|max |)(|max h h y y x hy hy ==<<<<ϖϖϖϖϖ 又因为1|cos |max |)('''|max )(202=-==≤≤-<<x x f x M x x x x ππ，510-=ε故53210273)(-≤≤h x R ，0538.03/102735≈⨯≤-h4.4 74()31f x x x x =+++，求017[2,2,...,2]f 及018[2,2,...,2]f .解：根据差商定义kk k k x x x x x f x x x x f x x x x f --=-],...,,[],...,,,[],...,,,[1011010，由差商性质：!)(],...,,[)(10n f x x x f n n ξ=111!7)(]2,...,2,2[)7(71===ξf f ，010!8)(]2,...,2,2[)8(810===ξf f4.5 给定双曲正弦函数()f x shx =的函数表如下：x0.00 0.20 0.30 0.50 ()f x0.20133600.30452030.5210953试用三次Newton 插值多项式来计算(0.23)f 的近似值，并给实际误差.解：由函数表数据求得各阶均差如下表所示： x )(x f 一阶均差二阶均差 三阶均差 0 0 0.2 0.201336 1.006680.3 0.3045203 1.031843 0.0838766670.5 0.5210953 1.082875 0.1701066670.17246故满足已给条件的三次Newton 插值多项式为：0.30)-0.20)(-(0.17246)20.0(083876667.000668.10)(3x x x x x x x N +-++= 即x x x x N 0002522666.1002353333.017246.0)(333+-=又1312320332037.0)23.0(≈f ，2232320318508.0)23.0(3≈N故误差63103528908.1|)23.0()23.0(|-⨯≈-N f4.6 确定一个次数不高于4的多项式()x ϕ，使1)2(,0)1(')1(,0)0(',0)0(=====ϕϕϕϕϕ 解：依题意，先构造三次mi Her te 插值多项式：30101()(0)()(1)()'(0)()'(1)()x h x h x H x H x ϕϕϕϕϕ=+++其中20)101)(01021()(----+=x x x h ，21)010)(10121()(----+=x x x h 20)101)(0()(---=x x x H ，21)010)(1()(---=x x x H整理得：23()(2)x x x ϕ=-再构造次数不高于4的多项式()x ϕ：223()()(0)(1)x x A x x ϕϕ=+--)(待定A(2)1ϕ=回代解得：41=A 故2222211()(2)(1)(3)44x x x x x x x ϕ=-+-=-.4.8 设函数21()1f x x=+定义在区间[5,5]-上，取10n =，按等距节点构造分段线性插 值函数()n S x ，并估计其误差.解：取等距插值节点i x i +-=5，)10,...,1,0(=i ，给出区间]5,0[上的函数值如下表： x 0 1 2 3 4 5 )(x f11/21/51/101/171/26在区间]0,5[-上的函数值可利用对称性得到. 再构造各点的插值基函数：⎩⎨⎧≤<--≤≤-+-=54,045),4()(0x x x x l ， )9,...,2,1(,]4,6/[]5,5[,045),4(56,6)(=⎪⎩⎪⎨⎧+-+--+-≤<+-+--+-≤≤+-+-=j j j j x j j x j x j j x x l j ，⎩⎨⎧≤<-≤≤-=54,445,0)(10x x x x l ， 故分段线性插值函数)]()([51)]()([21)]()([)()()(8291100101x l x l x l x l x l x l x l x f x P j j j +++++==∑=)(261)]()([171)]()([10156473x l x l x l x l x l +++++整理得：21121111111111)()()(+++++++++--++--=--+--=j j j j j j j j j jj j j j j j x x x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x P 由线性插值余项可得误差限|)(''|max 88|)()(||)(|5522x f h M h x S x f x R x ≤≤-=≤-=其中，22322)1(2)1(8)(''+-+=x x x x f ，令0)1(24)1(48)('''32423=+++-=x xx x x f ，解得)(''x f 的两个极值点01=x ，12-=x故2|)0(''|max |)(''|max 55===≤≤-f x f M x又因为1=h ，故误差41)(≤x R .4.10 设()ln f x x =，给定''(1)0.0,(2)0.693147,(1) 1.0,(2)0.5f f f f ====，用三次mi Her te 插值多项式来近似(1.5)f .解：依题意构造三次mi Her te 插值多项式)(x P ：)()2(')()1(')()2()()1()(2121x H f x H f x h f x h f x P +++=其中，21)212)(12121()(----+=x x x h ，22)121)(21221()(----+=x x x h 21)212)(1()(---=x x x H ，22)121)(2()(---=x x x H回代解得534265.1182236.2761677.0113706.0)(23-+-=x x x x P5.1=x 回代解得40907.0)5.1(≈P4.11 确定三次样条插值()s x ，它在节点(1,2,3,4)j x j =满足插值条件()j j s x f =，其中：j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j f0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 'j f1.00000.6868解：j j j x x h -=+1，)]()(1[3,1111j j jj j j j j j j j jj y y h y y h h h h -+--=+=+--+ααβα，jj x j fj h j αj β0 0.25 0.5 0.051 0.3 0.5477 0.09 5/14 2.75412 0.39 0.6245 0.06 3/5 2.41303 0.45 0.6708 0.083/72.242140.53 0.728依题意()j j s x f =，j j m x S =)('1)('00==x S m ，6868.0)('44==x S m联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-3433232322121211012)1(2)1(2)1(βααβααβααm m m m m m m m m 解得7452.0,8004.0,9127.0321===m m m)(x S 在],[1+j j x x 上的表达式为：211112111))(21)(())(21)(()(j j jj j j j j j j jj j j x x x x x x x x x S x x x x x x x x x S x S ----++----+=+++++++2111211))(())((jj jj j j j j j j x x x x x x m x x x x x x m ---+---++++++将以上数据代入，得：3232321.8800(0.25) 1.0140(0.25) 1.0000(0.25)0.5000,[0.25,0.30]0.7942(0.30)0.7311(0.30)0.9127(0.30)0.5477,[0.30,0.39]()0.6296(0.39)0.5167(0.39)0.8004(0.30)0.6245,[0.39x x x x x x x x S x x x x x ---+-+∈---+-+∈=---+-+∈32,0.45]0.3125(0.45)0.4025(0.45)0.7452(0.45)0.6708,[0.45,0.53]x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪---+-+∈⎩。