辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题 含答案
2020——2021学年度（上）省六校协作体高二期中联考数学试题命题学校：凤城一中 命题人： 校对人：一．选择题（1-8题为单选题，每题5分）1. 已知椭圆方程为12422=+y x ，则椭圆的焦点坐标为（ ）A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22,0,2221F FB .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21,0,2121F FC .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21,021F FD .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,0,22,021F F 2. 已知平面α上三点()()()1,2,4,0,2,1,1,2,3---C B A ,则平面α的一个法向量为（ ）A ．()16,9,4--B ．()16,9,4-C ．()4,9,16--D ．()4,9,16- 3. 若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或44. 当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心， 5为半径的圆的方程为( )A. (x －1)2＋(y ＋2)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝55. 已知四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E,F,G 分别是棱AB,AD,DC 的中点，则→→⋅GF GE 等于( )A ．1B ．1-C ．4D ．4-6. 已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( )A ．1B ．2C .5D ．2 57. 已知椭圆159:22=+y x C 的右焦点F ，P 是椭圆上任意一点，点()32,0A ,则APF ∆的周长最大值为（ ）A.219+B.5327++C.14D.315+8. 《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面是矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥。
如图，在堑堵111C B A ABC -中，2,1=⊥AA BC AC ,当阳马11A ACC B -体积的最大值为34时，堑堵111C B A ABC -的外接球的体积为（ ）A.π34 B .π328 C .π332 D .π3264二.多选题（9-12题为多选题，全部选对得5分，选错得0分，部分选对得3分） 9. 已知双曲线12222=-y a x 的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A .233B .263 C . 3 D ．210. 已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点21,F F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为1322=+x y B ．椭圆C 的方程为1322=+y xC ．|PQ |＝233 D ．Q PF 2∆的周长为4 311. 在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1和C 1D 1的中点，则下列结论正确的是( )A . 11//A C 平面CEFB . 1B D ⊥平面CEFC . →→→→-+=DC DD DA CE 121 D . 点D 与点B 1到平面CEF 的距离相等12. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名。
他发现：“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值()1≠λλ的点的轨迹是圆”。
后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆。
在平面直角坐标系xoy 中，()()0,4,0,2B A -,点P 满足21=PBPA 。
设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为()9422=++y xB .在x 轴上存在异于A ,B 的两定点D ,E ,使得21=PEPD C ．当A ,B ,P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的平分线 D .在曲线C 上存在点M ，使得MA MO 2= 三．填空题（每小题5分）13. 已知直二面角βα--l 的棱l 上有A,B 两个点，l BD BD l AC AC ⊥⊂⊥⊂,,,βα,若5,3,4===BD AC AB ，则CD 的长是__________．14. 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为________．15. 已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．则|2a+3b |＝________；在直线AB 上，存在一点E ，使得OE →⊥b ，则点E 的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)16. 已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点P 在椭圆上，直线AP 的斜率为33，设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为_____________． 四、解答题17. （10分）当k 为何值时，直线3x －(k ＋2)y ＋k ＋5＝0与直线kx ＋(2k －3)y ＋2＝0，(1) 平行； (2)垂直。
18. （12分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．19. （12分）如图，设四棱锥ABCD E -的底面是菱形，且o 60=∠ABC2,2====BE AE EC AB .(1) 证明：平面EAB ⊥平面ABCD ； (2) 求四棱锥E-ABCD 的体积.20. （12分）①圆心C 在直线0872:=+-y x l 上，且()5,1B 是圆上的点；②圆心C 在直线02=-y x 上,但不经过点()2,4,并且直线034=-y x 与圆C 相交所得的弦长为4③圆C 过直线042:=++y x l 和圆0164222=--++y x y x 的交点， 在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：平面直角坐标系中，圆C 过点()0,6A ，且_________ (1)求圆C 的标准方程；(2)求过点A 的圆C 的切线方程。
21. （12分）如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABCD ；(2)求平面ACD 1与平面ACB 1的夹角的余弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 的夹角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．xOy22. （12分）已知椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：的上顶点为E ，左焦点为F ，离心率为22，直线EF 与圆2122=+y x 相切。
（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 设过点F 且斜率存在的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断ABPF 是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。
1. D2. B3. D [由弦长公式l ＝2r 2－d 2，可知圆心到直线的距离d ＝2，即|a －2|12＋－12＝2，解得a＝0或4.]4. C 【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.5. A6. D [由直线垂直的条件，可得b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝－1，所以b a ＝63，由点F (c ,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋(－1)2＝2，可得c ＝5，2c ＝2 5.]7. C 8. B 9. AD解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为y ＝±2a x ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33， ∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.10. ACD 11. AC 12. BC 13. 2514. 解：因为椭圆x 225＋y 29＝1的顶点为(－5，0)，(5，0)，(0，－3)，(0，3)，当顶点为(－5，0)，(5，0)时，焦点在x 轴上，且a ＝5.又c a ＝c 5＝2，所以c ＝10，从而b 2＝75，所以标准方程为x 225－y 275＝1.当顶点为(0，－3)，(0，3)时，焦点在y 轴上，且a ＝3.又e ＝c a ＝c3＝2，所以c ＝6，所以b 2＝c 2－a 2＝36－9＝27，所以标准方程为y 29－x 227＝1.综上可知，双曲线的标准方程为x 225－y 275＝1或y 29－x 227＝1.15.74；⎪⎭⎫⎝⎛--52,514,56 16. 解 直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m ,0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2， 于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，所以点M (2,0)． 设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6.所以当x ＝92时，d 取最小值15.17. 解：（1）两直线平行时()()2323+-=-k k k 解得1=k 或9-=k 当k =1时两直线重合，所以两直线平行时，k =-9（2）两直线垂直时，()()03223=-+-k k k 解得2131,213121-=+=k k 18. 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2， ∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)，x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2， ∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．19. （1）证明：取AB 中点O ，连接EO ,CO ,AC因为底面ABCD 为菱形且AB =2，O 为AB 中点∴3=CO2,2===AB BE AE BE AE ⊥∴AB EO EO ⊥=∴,12222EC CO EO EC =+∴= 即CO EO ⊥AB CO ABCD EAB EAB EO ABCD EO 平面平面平面平面⊥∴⊂⊥∴(2) 由（1）可得EO 为四棱锥E -ABCD 的高，EO =1,34=ABCD S33431=⋅=∴-ABCD ABCD E S EO V 20. 解：选①条件（1）（方法一）设所求圆的方程为()()222r b y a x =-+-，由题意得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-08725106222222b a r b a r b a 解得a =3,b =2,132=r 所以所求圆的方程是()()132322=-+-y x（方法二）设线段AB 的垂直平分线为m ，则圆心C 在直线上且在直线l 上，即C 是m 与l 的交点直线AB 的斜率是-1,直线m 的斜率是1，AB 中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛2527，，所以直线01:=--y x m⎩⎨⎧=+-=--087201y x y x 解得⎩⎨⎧==23y x 所以圆心C (3,2)且13=CA 所以所求圆的方程是()()132322=-+-y x（2）A 在圆C 上，32-=AC k ，过点A 的切线斜率为23∴过点A 的切线方程是()623-=x y 即01823=--y x 选②条件（1）设所求圆的方程为()()222r b y a x =-+-，由题意得a =2b ，设圆心C 到直线034=-y x 距离为d ，()2226b a r +-=由垂径定理可知2222+=d r即()22264534b a b a +-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-将a =2b 代入得，4,221==b b 又因为圆C 不经过点()2,4,所以a =8,b =4,202=r 所以所求圆的方程是()()204822=-+-y x(2)A 在圆C 上，2=AC k ，过点A 的切线斜率为21-∴过点A 的切线方程是()621--=x y 即062=-+y x 选③条件（方法一）设所求圆C 的方程为()042164222=+++--++y x y x y x λ代入点A (6,0)得2-=λ所以所求圆的方程为0326222=---+y x y x 即()()423122=-+-y x（方法二）设直线042:=++y x l 与圆0164222=--++y x y x 交点()()2211,,,y x F y x E⎩⎨⎧=--++=++0164204222y x y x y x 即0162652=++x x 解得58913,5891321--=+-=x x 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-58926,58913,58926,58913F E 设所求圆C 的方程()()222r b y a x =-+-将A ,E ,F 代入所以所求圆的方程为()()423122=-+-y x21. (1)证明 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0，0)，B (0,1,0)，C (2，0,0)，D (1，－2，0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(2,0,2)，D 1(1，－2，2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2,1)．可得n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的法向量，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解 AD 1→＝(1，－2,2)，AC →＝(2,0,0)，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,1,1)．设n 2＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0，又AB 1→＝(0,1,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，2x ＝0，不妨设z ＝1，可得n 2＝(0，－2,1)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1010，所以，平面ACD 1与平面ACB 1的夹角的余弦值为1010. (3)解 依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0,1]，则E (0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2,1)，又n ＝(0,0,1)为平面ABCD 的法向量，由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →||n |＝1(－1)2＋(λ＋2)2＋12＝13，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0,1]，解得λ＝7－2， 所以，线段A 1E 的长为7－2.22. 解：（1）c b c b a c a e =∴+==∴=2222220:=+-∴c y x l EF 又因为直线EF 与圆C 相切，所以2,1===a b c 所以椭圆C 的标准方程为1222=+y x（2）ABPF 是定值。
辽宁省六校协作体高二上学期期中考试数学(理)试题(含答案)
辽宁省六校协作体高二上学期期中考试数学（理）试题（含答案）、选择题目要求的.）1.已知集合A. {0}数学试题（理科）命题学校：北镇高中命题人：才忠勇校对人：杨柳（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题A {01,2},B. {01}2.下列说法正确的是（A.命题B.命题C.命题3.如果aA. aC. a22B {x|x x 2, 0}，则AI B (C.“2…1 ”是假命题“ x? R , x210”“若2a 2b，则a b ”1 ”是b24.已知等差数列A. 16C. 22 {1,2}的否定是的否命题D. {01,2}xo ? R ,2a2b，则a,x 2”的必要不充分条件那么下列各式一定成立的是（B.D.a n的前B.19 D.25ac ben项和为S n,若a4S5 20 ,则a10 ( )5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A.8B.16正视图俯视图C.32D.64侧视图第5题图6.已知|a| 1，|b| 2，a 与b 的夹角为—，那么|4a b|等于()3A. 2B.6C. 2,3D.129•中国古代数学著作 “算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关, 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为()A.24 里B.12 里C.6里D.3里10.若不等式x 2c a 2xb对任意a ， b? (0,)恒成立，则实数 x 的取值范围是 a( )A.1022B.1024C.2044D.2048x 2y, 08.已知实数x ， y 满足约束条件x 2y 2 0，2xy 2, 0则目标函数z x y 的最大值为()12A.B.25C.4D.6第7题图初步健步不为难, .其大意为：“有C.( ，2)U(0,)D.(，4)U(2,)7.如图所示的程序框图运行的结果为( )第6题A. ( 2,0)B.(4，)11.等差数列a n中，鱼1,若其前n项和S n有最大值,耳0则使S n0成立的最大自然数n的值为（)A.19B.20C.9D.1012.若关于x的不等式2x mx2 0在区间［1,2］上有解，则实数m的取值范围为（）A.,B.C. ,D.第n卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分.）2x 113. 不等式 ---- ,1的解集为x 114. 若命题“ x°?R，2x） 2, a2 3a ”是假命题，贝U实数a的取值范围为__________________ .15. 若正数x , y满足3x y 5xy，则4x 3y的最小值为___________________ .16. 设数列a n是正项数列，若、.a2…a n n2 3n ,则q a2 … a n2 3 n 1 .三、解答题（本题共6小题，共70分.）17. （本小题满分10分）设命题p:实数x满足x24ax 3a20 ,命题q:实数x满足|x 3| 1.（I）若a 1，且p q为真，求实数x的取值范围；（n）若a 0，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18. （本小题满分12分）已知锐角△ ABC，内角A , B , C所对的边分别为a , b , c ,且3a 2csin A .（I）求角C ；(n)若c . 7，且△ ABC的面积为色13，求a b的值.219. (本小题满分12分)已知方程x2(m 3)x m 0.(I)若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；(n)若此方程有两个实根均在(0,2)，求实数m的取值范围20. (本小题满分12分)1 1 已知正项等比数列a n, ai , a2与a4的等比中项为-.2 8(I)求数列a n的通项公式a n；(n)令b n na n,数列b n的前n项和为S n.证明：对任意的n ? N*，都有21. (本小题满分12分)已知关于X的不等式ax23x 2 0 ( a? R ).(I)若关于x的不等式ax23x 2 0 ( a? R )的解集为{x|x倣x b}的值；(n)解关于x的不等式ax23x 2 5 ax ( a? R ).2.，求a , b22. (本小题满分12 分)(n)求数列｛a n ｝的通项公式；(川)设存在正整数 k ，使(1 3)(1 S 2)…(1 S n )…k-..2n 1对一切n? N k 的最大值.已知数列｛a n ｝的首项为1,前n 项和为S n 与a n 之间满足a n2S2—(n 呬2,12S n(I)求证：数列是等差数列;都成立，求2017―― 2018学年度上学期省六校协作体高二期中考试数学试题（理科） 参考答案与评分标准13. {x| 2, x 1} 14.[1,2] 15. 5 16.2n 2 6n三、解答题17. （本小题满分10分）解：由题，若q 为真，则2 x 4. ......................................................................................................... 2 分（I ）当a 1时，若p 为真，贝y 1 x 3 , (4)分故x 的取值范围为（2,3）. .............................................................................................................. 5 分（n ）当a 0时，若p 为真，则a x 3a ,6分因为 p 是q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件， ................................................ 8分4 故实数a 的取值范围[4,] ................................................................................................................ 10 3分于是,a, 23a (4)18. （本小题满分12分）解：（I）由正弦定理，得-.3 si nA 2s in C si nA ,因为A?(0,)，所以si nA 0,于是，si nC , .......................................................................24分又因为锐角△ ABC，所以C?(0, —), .........................................................................25分解得C ........... .. (6)3分1(n)因为S A ABC absin C , ............................................................................27分所以仝ab 313，解得ab 6 , ......................................................................................4 29分由余弦定理，得c2a2b22abcosC , ............................................................................. 10分2即7 (a b) 2ab(1 cosC), (11)分解得a b 5. (12)分19. (本小题满分12分)2解：设f (x) x (m 3)x m .................. ........................................................................................1分心02(i)由题，(m 3)2 4m ...0, (4)f (0) m 064分m 3即m 剠1或m 9，解得0 m, 1故m 的取值范围为（0,1].9，解得其他解法请酌情给分.）20. （本小题满分12 分）（n ）由题可知,由题,mJ 2 2(m 3)2 f(0)f(2)3m 210故m 的取值范围为(31].12解：（I ）a n ，所以a n 0 ,设公比为q ，则q 0.又因为a 2与a 4的等比中项为a s即 a 1q 28，由a i于是，数列a n 的通项公式为 a n1 2n7分3(n)原不等式等价于 ax 2 (a 3)x 3 0,等价于(x 1)(ax 3) 0,30 时，x 11 , x 2a曰 是, S n2 23歹3 2n —尹n12n解得S n1歹… 2(1 二21 21 n尹.21.（本小题满分12分） 解：（I ）由题, 方程8a曰 是,b 1 a b 1 -a解得a1, b 2. n 2* 11011122 ______ax 3x(1)0时，原不等式的解集为{x|x1}；(2)①当1，即a 3或a 0时,7分36分(i)当a 0时，原不等式的解集为{x|x 1或x -}；a 3(ii)当a3时，原不等式的解集为 {x| 1 x } ； .............................. 10分a3② 当1，即a3时，原不等式的解集为 x? ......... ............................ 11分a 33③ 当一1,即 3 a 0时，原不等式的解集为 {x|— x 1} ........................................... 12分a a22.(本小题满分12分)故 2S ： (S n S n1)(2S n 1), 所以 S n S n 1 2S n S n 1 0, ...................................................................................分1 1 由题，S n 0，两边同时除以S n S n 1，得2 0,Sn 1 Sn1 1 *故2 (n 呬2, n N ), ..................................................................................S n S n 13分解：(I)因为a n2S ；2S n 1S n Sn (n 呬2, n N *), .........................................................故数列 1{才}是公差为1 (n)由(I )知，- 丄 S 1 (nS n 5分1*所S n(n? N ),2n 11 1a n S nS n 12n 1 2n 3X* (2n 1)(2n 3)(n 呬 N)， ...........................分1) 2 2n 1 ,又a1 1，不满足上式,6分111, n 1所以f(n)在n? N *上单调递增，故f(n)min因为k 为正整数，所以k 的最大值为1.a n (2n 1)(2n 3)"呬呬2 门(川)原不等式等价于1 1(1 1)(1 —)…(1 )…k •一 2n 1 对一切 n?N 都成立,3 2n 1 即k, 1(1 1)(1 才)…(1 2n 1 2n 1)1 1(1 1)(1 -)-(1 )令 f(n) --------------- ^^_2n 」 J2n 1 曰 f (n 1) 是,-f(n)2n 21 岛―31,即 f(n 1) f (n),10fd)12分。
辽宁省六校协作体高二上期中数学试卷（文）含答案
高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）若等差数列{a n}中，已知a1＝，a2+a5＝4，a n＝35，则n＝（）A．50B．51C．52D．532．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣3．（5分）在各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n2﹣a n+1＝a n﹣1（n≥2，n∈N*），则S2014＝（）A．2013B．2014C．4026D．40284．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知＝3，则2a2﹣a4的值是（）A．0B．1C．2D．35．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞06．（5分）在各项为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝81，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．5B．10C．20D．407．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1B．C．2b＜2a＜2D．a2＜ab＜18．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜}B．{x|x＜﹣或x＞}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}9．（5分）已知，向量与向量的夹角是，则x的值为（）A．±3B．C．±9D．310．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x+B．y＝C．y＝e x+4e﹣x D．y＝sin x+，（0＜x＜π）11．（5分）x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14B．7C．18D．1312．（5分）有下列结论：（1）命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题（2）设，q：x2+x﹣2＞0则p是q的充分不必要条件（3）命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题．（4）非零向量与满足，则与的夹角为300其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个二．填空题13．（5分）已知命题p：∀x∈[1，4]，x2≥a，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）若数列满足{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝n，则数列{a n}的通项公式为a n＝．15．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则数列{a n}的前n项和S n＝．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．三、解答题（注释）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cos C＝．（1）求sin A的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）＝ax2+（a﹣b）x﹣c．（1）求证：函数y＝f（x）必有两个不同的零点；（2）若函数y＝f（x）的两个零点分别为m，n，试将|m﹣n|表示成以t为自变量的函数，并求|m﹣n|的取值范围；19．（12分）从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率．（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率．20．（12分）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，P A＝PD＝AD＝2BC＝2，CD＝．（1）求证：PE∥平面BDM；（2）求三棱锥P﹣MBD的体积．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，其前n项和为T n，求T n．参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）若等差数列{a n}中，已知a1＝，a2+a5＝4，a n＝35，则n＝（）A．50B．51C．52D．53【分析】根据题意，求出公差d，代入通项公式，求出项数n．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＝，a2+a5＝4，∴a1+d+a1+4d＝4，∴5d＝4﹣＝，∴d＝；又∵a n＝35，∴a n＝a1+（n﹣1）＝+（n﹣1）＝n﹣＝35，∴n＝53．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础性题目．2．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣【分析】由等差数列的中项性质可得2S3＝S1+S2，再由等比数列的通项公式解方程可得q．【解答】解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2（a1+a2+a3）＝a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）＝a1（2+q），化为2q2+q＝0，解得q＝﹣（q＝0舍去），故选：D．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．（5分）在各项均不为零的等差数列{a n}中，若a n2﹣a n+1＝a n﹣1（n≥2，n∈N*），则S2014＝（）A．2013B．2014C．4026D．4028【分析】在等差数列中，a n﹣1+a n+1＝2a n，代入到题中等式中，即可求出结果．【解答】解：∵a n2﹣a n+1＝a n﹣1，∴a n2﹣a n﹣1﹣a n+1＝0，又等差数列中，a n﹣1+a n+1＝2a n∴a n2＝2a n，∴a n＝2，∴a n为各项为2的常数列．∴S2014＝2×2014＝4028．故选：D．【点评】本题中先根据等差数列的性质得到该数列是常数列，再求解，是中档题．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知＝3，则2a2﹣a4的值是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵＝3，∴q≠±1，＝3×，化为：q2＝2．则2a2﹣a4＝a1q（2﹣q2）＝0，故选：A．【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3＝a1+2d，a4＝a1+3d，a8＝a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，＝＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．6．（5分）在各项为正数的等比数列{a n}中，若a5a6＝81，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．5B．10C．20D．40【分析】利用对数的运算法则，将原式化成log3（a1a2…a10），再利用等比数列性质，对真数计算后即可求出．【解答】解：log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1a2…a10），根据等比数列性质，a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝81，所以原式＝log3815＝5log381＝5×4＝20故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，对数的运算法则，对数式化简求值，是基础题．7．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1B．C．2b＜2a＜2D．a2＜ab＜1【分析】首先对于这类选择题可以通过排除分析法作答．对于条件0＜b＜a＜1，然后根据基本不等式，各种函数的单调性的知识一个一个选项排除，即可得到答案．【解答】解：对于A：ab＜b2＜1，因为0＜b＜a＜1，则乘以b不变号，即b2＜ab．故A错误．对于B：可直接根据对数函数在的单调性判断B错误．对于C：因为y＝2x是单调递增函数，且0＜b＜a＜1，所以2b＜2a＜21，即2b＜2a＜2．故C正确．对于D：因为0＜b＜a＜1，则乘以a不变号，即ab＜a2．故D错误．故选：C．【点评】此题主要考查基本不等式的应用，其中涉及到函数单调性和函数在区间值域的知识．属于综合性的问题，需要一个一个选项去分析排除．此外这类题容易出错，做题时切忌谨慎．8．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜}B．{x|x＜﹣或x＞}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}【分析】由不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}得到a、b的值，代入到不等式中确定出不等式，求出解集即可．【解答】解：因为ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b＝a（x+3）（x﹣2）且a＜0解得a＝﹣5，b＝30．则不等式bx2﹣5x+a＞0变为30x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x故选：B．【点评】考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，9．（5分）已知，向量与向量的夹角是，则x的值为（）A．±3B．C．±9D．3【分析】把已知条件代入两个向量的数量积的定义，再运用两个向量的数量积公式，解方程求出x的值．【解答】解：由两个向量的数量积的定义得•＝||•||•cos，即0+x＝1××，2x＝，解得x＝3，故选：D．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义和公式，待定系数法求出x的值．10．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x+B．y＝C．y＝e x+4e﹣x D．y＝sin x+，（0＜x＜π）【分析】A．当x＜0时，利用基本不等式的性质，y＝﹣≤﹣4，可知无最小值；B．变形为，利用基本不等式的性质可知：最小值大于4；C．利用基本不等式的性质即可判断出满足条件；D．利用基本不等式的性质可知：最小值大于4．【解答】解：A．当x＜0时，＝﹣4，当且仅当x＝﹣2时取等号．因此此时A无最小值；B.＝＝4，当且仅当x2+2＝1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y＞4，因此B的最小值不是4；C.＝4，当且仅当，解得e x＝2，即x＝ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；D．当0＜x＜π时，sin x＞0，∴＝4，当且仅当，即sin x ＝2时取等号，但是sin x不可能取等号，故y＞4，因此不满足条件．综上可知：只有C满足条件．故选：C．【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键，特别注意“＝”是否取到．11．（5分）x、y满足约束条件，若目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．14B．7C．18D．13【分析】作出可行域，得到目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最优解，从而得到3a+4b＝7，利用基本不等式即可．【解答】解：∵x、y满足约束条件，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0），作出可行域：由图可得，可行域为△ABC区域，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）经过可行域内的点C时，取得最大值（最优解）．由解得x＝3，y＝4，即C（3，4），∵目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，∴3a+4b＝7（a＞0，b＞0），∴＝（3a+4b）•（）＝（9++16+）≥（25+2）＝×49＝7（当且仅当a＝b＝1时取“＝”）．故选：B．【点评】本题考查线性规划，作出线性约束条件下的可行域，求得其最优解是关键，也是难点，属于中档题．12．（5分）有下列结论：（1）命题p：∀x∈R，x2＞0为真命题（2）设，q：x2+x﹣2＞0则p是q的充分不必要条件（3）命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题是假命题．（4）非零向量与满足，则与的夹角为300其中正确的结论有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】由完全平方数非负，可判断（1）；由分式不等式和二次不等式的解法化简可得p，q，再由充分必要条件的定义，可判断（2）；求得原命题的否命题，即可判断（3）；运用向量的平行四边形和三角形法则，以及向量的夹角，可判断（4）．【解答】解：对于（1），∀x∈R，x2≥0，故（1）为假命题；对于（2），设，q：x2+x﹣2＞0，可得P：x＞0或x＜﹣2；q：x＞1或x＜﹣2．由p推不到q，但由q推得p，则p是q的必要不充分条件，故（2）错误；对于（3），命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，其否命题为若ab≠0，则a≠0且b≠0，其否命题是真命题，故（3）错误；对于（4），非零向量与满足，可设＝，＝，＝+，＝﹣，可得△OAB为等边三角形，四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，可得与的夹角为30°，故（4）正确．故选：C．【点评】本题考查简易逻辑和平面向量的夹角，考查判断能力和运算能力，属于基础题．二．填空题13．（5分）已知命题p：∀x∈[1，4]，x2≥a，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为{a|a＝1或a≤﹣2}．【分析】求出命题p是真命题时a的范围，命题q是真命题时a的范围，即可求解结果．【解答】解：命题p：∀x∈[1，4]，x2≥a，是真命题，∴a≤1；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，是真命题，则△＝（2a）2+4a﹣8≥0，解得a≤﹣2或a≥1．命题“p且q”是真命题，p、q都是真命题，则实数a的取值范围为：a＝1或a≤﹣2．故答案为：{a|a＝1或a≤﹣2}．【点评】本题考查命题的真假的判断，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查．14．（5分）若数列满足{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝n，则数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*．【分析】由数列的恒等式a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1），结合等差数列的求和公式，可得所求通项公式．【解答】解：数列满足{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝1+1+2+…+（n﹣1）＝1+n（n﹣1）＝，故答案为：，n∈N*．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列恒等式和等差数列的求和公式，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则数列{a n}的前n项和S n＝2n+1﹣2．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2+a4＝20，a3+a5＝40，可得a3+a5＝40＝q（a2+a4）＝20q，解得q，可得20＝a2+a4＝a1（2+23），解得a1．再利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4＝20，a3+a5＝40，∴a3+a5＝40＝q（a2+a4）＝20q，解得q＝2，∴20＝a2+a4＝a1（2+23），解得a1＝2．则数列{a n}的前n项和S n＝＝2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则线段|OM|的最小值为．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2＝0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2＝0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d＝＝，则|OM|的最小值等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．三、解答题（注释）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，cos C＝．（1）求sin A的值；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据正弦定理即可求sin A的值；（2）根据余弦定理和是三角形的面积公式即可求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵cos C＝，∴sin C＝，∵，∴，即．（2）∵c2＝a2+b2﹣2ab cosC，∴，即2b2﹣3b﹣2＝0，解得b＝2，∴三角形的面积S＝．【点评】本题主要考查三角形的面积公式的计算以及正弦定理和余弦定理的应用，涉及的公式较多．18．（12分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t），记函数f（x）＝ax2+（a﹣b）x﹣c．（1）求证：函数y＝f（x）必有两个不同的零点；（2）若函数y＝f（x）的两个零点分别为m，n，试将|m﹣n|表示成以t为自变量的函数，并求|m﹣n|的取值范围；【分析】（1）先根据不等式的解集得二次方程的根，得ac＞0，再由判别式大于0得f（x）必有两个零点；（2）由根与系数关系及配方可得．【解答】解：（1）证明：由题意知a+b+c＝0，且﹣＞1，a＜0且＞1，∴ac＞0，∴对于函数f（x）＝ax2+（a﹣b）x﹣c，有△＝（a﹣b）2+4ac＞0，∴函数y＝f（x）必有两个不同的零点．（2）因为函数f（x）的两个零点为m，n，所以ax2+（a﹣b）x﹣c＝0的两根为m，n，所以m+n＝，mn＝﹣∴|m﹣n|2＝（m+n）2﹣4mn＝+4，∵b＝﹣（a+c），∴|m﹣n|2＝（）2+8•+4由不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，t）可知，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为1和t（t＞1），由根与系数关系知＝t，∴|m﹣n|2＝t2+8t+4，∴|m﹣n|＝，t∈（1，+∞），∴|m﹣n|＞，∴|m﹣n|的取值范围为（，+∞）．【点评】本题考查了函数与方程的应用．属中档题．19．（12分）从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为甲：7.7，7.8，8.1，8.6，9.3，9.5乙：7.6，8.0，8.2，8.5，9.2，9.5（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率．（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率．【分析】（I）根据茎叶图，我们结合甲乙两名运动员的成绩，我们可以求出两个人的平均成绩，从而比较出两个人的平均水平；也可计算出两个人的方差（或标准差），从而比较出两个人发挥的稳定性；也可计算出两个运动员成绩的中位数，找到他们的数据中心点．（II）设甲乙成绩至少有一个高于8.5分为事件A，我们先计算出从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩的所有抽取方法总数，和满足甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的抽取方法，代入古典概型公式即可求出答案．（III）根据已知中甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，我们可以求出它所表示的平面区域的面积，再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）①由样本数据得，可知甲、乙运动员平均水平相同；②由样本数据得s甲2＝0.49，s乙2＝0.44，乙运动员比甲运动员发挥更稳定；③甲运动员的中位数为8.35，乙运动员的中位数为8.35…（4分）（Ⅱ）设甲乙成绩至少有一个高于8.5分为事件A，则…（6分）（Ⅲ）设甲运动员成绩为x，则x∈[7.5，9.5]乙运动员成绩为y，y∈[7，10]…（8分）设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于0.5的事件为B，则…（12分）【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，几何概型及其概率计算公式，茎叶图，是统计和概率知识的综合考查，熟练掌握古典概型及几何概型求解概率的方法和步骤是解答本题的关键．20．（12分）等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）由a7＝4，a19＝2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由＝＝，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7＝4，a19＝2a9，∴解得，a1＝1，d＝∴＝（II）∵＝＝∴s n＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，P A＝PD＝AD＝2BC＝2，CD＝．（1）求证：PE∥平面BDM；（2）求三棱锥P﹣MBD的体积．【分析】（1）本小题是一个证明线面平行的题，一般借助线面平行的判定定理求解，连接BE，因为BC ∥AD，DE＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，则根据线面平行的判定定理可知PE∥平面BDM．（2）由于平面P AD⊥底面ABCD，PE⊥AD，由面面垂直的性质定理可知PE⊥底面ABCD，所以PE是三棱锥P﹣DBC的高，且，又因为V P﹣DMB可看成V P﹣DBC和V M﹣DBC差构成，由（1）知MO是三棱锥M﹣DBC的高，由此能求出三棱锥P﹣MBD的体积．【解答】（1）证明：连接BE，因为BC∥AD，DE＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形连接EC交BD于O，连接MO，则MO∥PE，又MO⊂平面BDM，PE⊄平面BDM，所以PE∥平面BDM．（2）解：V P﹣DMB＝V P﹣DBC﹣V M﹣DBC，由于平面P AD⊥底面ABCD，PE⊥AD，PE⊥底面ABCD，所以PE是三棱锥P﹣DBC的高，且由（1）知MO是三棱锥M﹣DBC的高，，，所以，则．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足，其前n项和为T n，求T n．【分析】（1）利用公式a n+1＝S n+1﹣S n即可得出a n+1+1＝2（a n+1），故数列{a n+1}为等比数列，利用等比数列的通项公式得出a n+1，从而得出a n；（2）化简b n＝n•2n﹣n，再使用分项求和和错位相减法求和得出T n．【解答】解：（1）∵S n+n＝2a n，∴S n+1+（n+1）＝2a n+1，∴a n+1+1＝2a n+1﹣2a n，即a n+1+1＝2（a n+1），又a1+1＝2a1，∴a1＝1．∴{a n+1}是以2为首选，以2为公比的等比数列．∴a n+1＝2n，∴a n＝2n﹣1．（2）b n＝（2n﹣1）log22n＝n（2n﹣1）＝n•2n﹣n．∴T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n﹣（1+2+3+…+n）＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n﹣．设1•2+2•22+3•23+…+n•2n＝A n，则1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1＝2A n，两式相减得2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣A n，∴﹣A n＝﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴A n＝（n﹣1）•2n+1+2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣．【点评】本题考查了等比关系的判断，数列通项公式的求法，错位相减法求和，属于中档题．。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初联考数学(理)试题
【全国校级联考】辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期期初联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}/20S x x =-<，{}/T x x a =<，若S T S ⋂=,则 A ．2a ≥B ．2a ≥-C ．2a ≤D ．2a ≤-2．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．2x y x =+ B ．1y x x -=+C ．211y x =+ D ．22x x y -=-3．已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19C ．19-D ．79-4．已知12,e e 是夹角为90的两个单位向量，且12123,2a e e b e e =-=+，则向量,a b 的夹角为 A ．120B ．60C ．45D ．305．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．26．从4件合格品和2件次品共6件产品中任意抽取2件检查，抽取的2件中至少有1件是次品的概率是 A ．25B ．815C ．35D ．237．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．BC D8．已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=--（||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02上的最小值为（ ）A ．1-BC ．D ．2-9．若底面边长是1 的正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 A ．23πB ．43π C ．2πD ．83π 10．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。
《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,a b c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。
辽宁省六校协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
辽宁省六校协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1122a b c++ C ．1122-++ a b c4．已知双曲线(22214x y a a -=>A ．233B ．25．同时与圆2267x y x ++-=A ．1条B ．2条6．已知ABC 的顶点在抛物线FA FB FC ++的值为（）A ．1B ．2A ．32B ．8．已知双曲线C ：2222x y a b-=过1F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ．2B ．2二、多选题9．下列说法不正确的是（A ．“1a =-”是“直线2a x -B ．经过点()1,1且在x 轴和C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的所有直线的方程为D ．直线260ax y ++=与直线10．若方程22141x y t t +=--表示的曲线为A ．若14t <<，则曲线C ．曲线C 不可能是圆则51t <<A ．若112AP AD = ，则异面直线B ．若BP BC BB λ=+C ．若12BP BC λ=+ D ．若(AP AD λλ= 三、填空题四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线y x =上，且圆C 与直线l ：20x y -+=相切于点(0)A ，2.（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l '过点(03)P ，且被圆C 所截得弦长为2，求直线l '的方程.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 为正方形，,22,,AB BC AB BC E F ⊥==分别为1,AC CC 的中点.(1)证明：BF ⊥平面11A B E (2)求平面11A B E 与平面ACC 19．已知椭圆C 的中心在原点，(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:l y x m =+与椭圆求m 的值.20．已知圆21:(3)C x y ++心M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 过点2C ，且与曲线21．如图，在四棱锥P-ABCD ABCD 为直角梯形，其中上是否存在点，。
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数，则的虚部为( )A. 1B.C. iD.2.设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是( )A. B.C. D.或3.已知圆：与圆：的位置关系是( )A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切4.已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且，则实数x 的值为( )A. B.C. D.5.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为( )A.B. C.D.或6.已知三棱锥中，，且，则直线PA 与底面ABC 所成角的正弦值为( )A.B.C. D.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知的顶点，，顶点B 在椭圆上，则( )A. B.C.D.8.设，过定点A 的动直线和过定点B 的动直线交于点，则的最大值是( )A. 4B. 10C. 5D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知方程表示双曲线，则此时( )A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程为C. 双曲线的一个焦点坐标为D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为110.设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则( )A. B.C. D.11.下列说法错误的是( )A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B. 直线的倾斜角的取值范围是C. 过，两点的所有直线的方程为D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为12.已知圆上到直线l：的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为( )A. B. C. 0 D. 2三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则x，y满足的关系式为______.14.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，，则______用表示15.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.16.若直线与曲线没有公共点，则实数m的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
辽宁省六校协作体高二数学上学期期中试题 理
辽宁省六校协作体2021-2022高二数学上学期期中试题 理一选择题（共10道题，每题4分，共40分。
每题4个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.已知a ＝(2，－3,1)，则下列向量中与a 平行的是( )A ．(1,1,1)B ．(－4,6，－2)C ．(2，－3,-1)D ．(－2，－3,1) 2.已知两条直线12:210,:4220l x y l x y +-=++=，则12,l l 的距离为（ ）A.255 B. 3555253. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=2a =（ ）A. 0或-1B.0C. 7D. -1或74.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．43 B ．53C ． 54D ．74 5.C 的焦点在x 轴上，且椭圆C 712π，则椭圆C 的方程为（ ） A. 22341x y += B. 229116x y += C. 22341x y += D. 221691x y +=6.动直线():22= 0l x my m m R ++-∈与圆22:2440C x y x y +-+-=交于点A ,B ,则弦AB 最短为A ．3 B.6 C ．42．257.设抛物线2y 4x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 3||PF =（ ）A.23 B. 43C. 73 D.422221(0)x y b a a b+=>>上一点P 向y 轴作垂线，垂足恰为上焦点F 又点A 是椭圆与y 轴负半轴的交点，点B 是椭圆与x 轴负半轴的交点，且 AB //OP ，227182F A =+，则椭圆方程为（ ）A.22x 12y += B.225110x y +=C 22481x y += D.229y 118x += 9.如图，在边长为2的正方体''''D C B A ABCD -中，P 为平面ABCD 内的一动点，BC PH ⊥于H ，若4|||'|22=-PH PA ，则点P 的轨迹为（ ）A.椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆10.已知A ，B ，P 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上不同的三点，直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，且12k k ，是最新x 的方程2430x mx ++=的两个实数根，若0OA OB +=，则双曲线C 的离心率是（ ）7B. 232二．多选题（共3小题，每题4分，共12分。
2020-2021学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题(解析版)
2020-2021学年辽宁省六校协作体高二上学期期初考试数学试题一、单选题1．cos 4260=（ ）A ．12B C ．12-D ． 【答案】A【解析】先利用诱导公式化为cos 4260cos300=，在将300表示为36060-，利用诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果． 【详解】1cos 4260cos(36011300)cos300cos(36060)cos602=⨯+==-==，故选A ． 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，利用诱导公式求值是，首先利用诱导公式将角化为0~360内的角，然后考查变化后所在的象限，利用诱导公式转化为锐角三角函数值求解，考查运算求解能力，属于基础题．2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅=（ ）． A ．12i + B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】先根据复数几何意义得z ，再根据复数乘法法则得结果. 【详解】由题意得12z i =+，2iz i ∴=-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．设非零向量,a b 满足a b a b +=-，则（ ） A ．a b ⊥B ．a b =C ．//a bD ．a b >【答案】A【解析】化简条件a b a b +=-，两边平方可得选项. 【详解】解法一：∵a b a b +=-， ∴22a b a b +=-.∴222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+. ∴0a b ⋅=.∴a b ⊥. 故选:A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设,AB a AD b ==， 由a b a b +=-知AC DB =，从而可知四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a b ⊥. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，利用向量的模长关系得出相应的结论，主要的求解策略是“见模长，就平方”，侧重考查数学运算的核心素养.4．从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】首先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：基本事件总数为246C =（种），这名女生被选中的有11133C C =（种）故概率3162P == 故选：B【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.5．函数()11()()142xxf x =-+在[]1,2-的最小值是（ ）A ．1B ．1316C ．34D ．3【答案】C【解析】设1()2xt =，得到11()[,2]24=∈xt ，进而得到()213()24f t t =-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()21111()()1()()14222xxxx f x =-+=-+， 设1()2xt =，因为[]1,2x ∈-，则11()[,2]24=∈xt ，则函数()22131()24f t t t t =-+=-+， 当12t =时，取得最小值()min 34f t =.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，以及结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知60C =︒，b =c =sin A =（ ）A ．B ．4C ．2D ．12【答案】A【解析】首先根据正弦定理求角B ，再根据()sin sin A B C =+求值. 【详解】根据正弦定理可知sin sin sin sin 2b c b C B B C c =⇒==，因为b c <，所以4B π=，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+21232622224+=⨯+⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理，以及三角恒等变形，重点考查计算能力，属于基础题型.7．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为()A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45【答案】C【解析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC 、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．【详解】因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN 、QM ∥PN ， 则PQ ∥平面ACD 、QM ∥平面BDA ， 所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确； 由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的． 故选C ． 【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．8．设偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，则不等式()()f x f x x+->的解集为（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),11,-∞-+∞ D ．()()1,00,1-【答案】A【解析】首先可根据函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()10f =，得出函数()f x 在()0,∞+上的函数值的正负情况，然后根据函数()f x 是偶函数，得出函数()f x 在(),0-∞上的函数值的正负值情况，最后将()()0f x f x x+->转化为()20f xx>，结合函数值的大小即可得出结果. 【详解】因为函数()f x 在()0,∞+上为增函数，()10f =， 所以当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <， 因为函数()f x 是偶函数，所以当1x <-时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x <，()()0f x f x x +->，即()20f x x >，x 与()f x 的符号相同，故不等式()()0f x f x x+->的解集为()()1,01,-⋃+∞，故选：A. 【点睛】本题考查抽象不等式的求解，利用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，考查推理能力，是基础题.二、多选题9．已知向量()1,2a =-，()2,4b =-，则（ ）A ．//a bB ．()5a b a +⋅=-C ．()b a b ⊥-D ．2a b =【答案】ABD【解析】根据向量的坐标分别计算数量积和向量的模，以及根据平行和垂直的坐标表示，判断选项. 【详解】A.()()14220⨯--⨯-=，所以//a b ，故A 正确；B.()1,2a b +=-，()()11225a b a +⋅=-⨯+⨯-=-，故B 正确；C.()3,6a b -=-，()()2346300b a b ⋅-=-⨯+⨯-=-≠，所以C 不正确； D.5a =，()222425b =-+=，所以2a b =，故D 正确；故选：ABD 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 10．如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ(0>ω，π02ϕ<<)的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数()y g x =的图象，则下列命题正确的是（ ）A ．()y g x =是奇函数B ．函数()g x 的图象的对称轴是直线ππ4x k =+()k Z ∈ C ．函数()g x 的图象的对称中心是π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈ D ．函数()g x 的单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 【答案】AD【解析】根据图像求解出函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，然后向右平移π8个单位后得到()y g x =的解析式，根据其性质得到其奇偶性、对称性、单调区间. 【详解】 由图可知:2A =，()4884T πππ=--=,即2T ππω==,解得2ω=，又当8x π=时，2y =，解得4πϕ=，所以()2sin 24x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π8个单位长度得到函数2sin 2g x x ，则函数2sin 2g x x 是奇函数，对称轴是直线ππ24k x =+()k Z ∈，对称中心是π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈，单调递减区间为π3ππ,π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； 故选：AD 【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解三角函数解析式和三角函数的性质，属于中档题目，解题中需要根据图像准确计算出周期的大小，进而计算出ω，再利用代入法求解出ϕ的大小，注意代入的点应该是最值点，零点代入要慎重.11．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE 【答案】AD【解析】利用中位线的性质即可判断选项A ；先求得四棱锥P ABCD -的体积与四棱锥E ABCD -的体积的关系,再由四棱锥E ABCD -的体积与三棱锥E ABC -的关系进而判断选项B ；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C ；先证明AC ⊥平面BCP ,进而证明平面BCP ⊥平面ACE ,即可判断选项D. 【详解】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=, 因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABCS AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD △为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD △中,AC =,在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 故选:AD 【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.12．给出下列命题，其中正确命题的有：（ ）A ．若α，β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；B ．不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=； C ．函数πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减； D ．函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称图形.【答案】BCD【解析】A.举例说明不成立；B.利用辅助角公式求函数sin cos y αα=+的最大值，判断选项；C.求24x π-的范围，利用复合函数的单调性判断选项；D.代入3x π=，计算y值，再判断选项. 【详解】A.当4πα=，136βπ=时，tan 1α=，13tan tan 63πβ==，tan tan αβ>，故A 不正确；B.sin cos 4πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭32<，不不存在实数α，使得3sin cos 2αα+=成立，故B 正确； C.sin 2sin 244y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,,42622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据复合函数单调性可知，函数πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π5π,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 正确； D.当3x π=时，sin 2033y ππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，所以函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查三角函数的性质的综合应用，属于基础题型.三、填空题13．在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN = .（用12,e e 表示）【答案】1225312e e -+ 【解析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由12BM MC =得23MC BC =，利用向量的三角形法则得BC ＝AC －AB ，又14NC AC =，MN ＝CN －CM ，最后将AC 和AB 两个向量都用1e 和2e 表示即可求得结果.【详解】 如图：MN ＝CN －CM＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB )＝－214e ＋212()3e e - ＝1225312e e -+. 故本题答案为1225312e e -+. 【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.14．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D 为11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为__________【答案】45. 【解析】先证出B 1D ⊥平面AC 1，过A 点作AG ⊥CD ，证AG ⊥平面B 1DC ，可知∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角，求其正弦即可． 【详解】如图，连接B 1D ，因为三角形111A B C 为正三角形，则111B DA C ， 又平面111ABC ⊥平面AC 1，交线为11A C ，B 1D ⊂平面111A B C ，则B 1D ⊥平面AC 1， 过A 点作AG ⊥CD ，则由B 1D ⊥平面AC 1，得AG ⊥B 1D ，由线面垂直的判定定理得AG ⊥平面B 1DC ， 于是∠ADG 即为直线AD 与平面B 1DC 所成角， 由已知，不妨令棱长为2，则可得AD 5==CD ，由等面积法算得AG 1455AC AA CD ⨯==所以直线AD 与面DCB 1的正弦值为=AG AD45；故答案为45． 【点睛】考查正棱柱的性质以及线面角的求法．考查空间想象能力以及点线面的位置关系，线面角的一般求解方法：法一作出角直接求解，法二；利用等积转化求解15．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.已知点D 是ABC 边AB 上一点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，tan BCD ∠=，则ABC 的面积为________．. 【解析】利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】tan tantan tan()1tan tan ACD BCDACB ACD BCD ACD BCD∠+∠∠=∠+∠==-∠∠1cos 4ACB ∠=-，由余弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得22222221423135424216S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以S =. 【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.四、双空题16．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】2 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 22△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD ，cos BDC ∠=【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．五、解答题 17．（1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.【答案】(1) 3±(2)0 【解析】(1)抓住角的关系:5()12212πππα=--,利用诱导公式求出cos(12πα- ) ,再根据同角公式即可求得答案;(2)根据已知求出,αβ的正余弦值后,代入两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】 解：（1）由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭． （2）因为角α的终边过点()43P ,-，所以3sin 5α=，4cos 5α=-， 因为β为第三象限角，且4tan 3β=，所以4sin 5β=-，3cos 5β=-所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了诱导公式,同角公式,三角函数的定义,两角差的余弦公式,抓住角的关系是解题关键,本题属于基础题. 18．已知()1,2a =，()3,2b =-.（1）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -平行？平行时，它们是同向还是反向？ 【答案】（1）19k =；（2）当13k =-平行，反向.【解析】（1）当()()30ka b a b +⋅-=时，利用数量积的坐标表示求k ；（2）由条件可知，假设存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-，列式求λ和k ，并根据λ的正负，判断两向量同向还是反向. 【详解】（1）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+，()()()31,233,210,4a b -=--=-.当()()30ka b a b +⋅-=时，这两个向量垂直. 由()()3,2210,40k k -+⋅-=， 得()()()1032240k k -++⋅-=.解得19k =，即当19k =时，ka b +与3a b -垂直.（2）.当ka b +与3a b -平行时，存在实数λ，使()3ka b a b λ+=-， 由()()3,2210,4k k λ-+=-，得310,224,k k λλ-=⎧⎨+=-⎩解得1,31,3k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即当13k =-时，ka b +与3a b -平行，∴当ka b +与3a b -平行时，13ka b a b +=-+，∵103λ=-<， ∴13a b -+与3a b -反向. 【点睛】本题考查根据向量垂直和平行求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，2AB =，1BC =，2PC PD ==，E 为PB 中点．（1）求证：//PD 平面ACE ； （2）求三棱锥P AEC -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）16． 【解析】（1）根据题意，连接BD 交AC 于点F ，连接EF ，由中位线定理可得//EF PD ，故而//PD 平面ACE（2）根据题意，E 为PB 中点，所以三棱锥P AEC -的体积等于三棱锥E ABC -的体积，即为三棱锥P ABC -的一半，通过证明PD ⊥平面PBC ，PD 即为三棱锥P ABC -的高，则通过计算12E ABC P ABC V V --=得出结果。
辽宁省六校协作体2020-2021学年高二上学期初考试数学试卷
(x)
0的
解集为( )
A． 1,0 1,
B． ,1 0,1
C． ,1 1,
D． 1,0 0,1
（多选题）
9..已知向量 a (1, 2),b (2, 4) ,则(
A. a / /b
B. (a b) a 5
)
C. b (a b)
D. 2 a b
10.如图是函数
f
(x)
A sin( x
形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平
方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜
平方，送到上面 得到的那个数，相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1
作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程 px2 q 中， p 为“隅”， q 为“实”．即若 △ABC 的大斜、中斜、小斜分别为 a,b,c ，则
C.函数
y
sin(
π 4
2x)
在
π 8
,
5π 24
单调递减
D.函数
y
sin(2x
π) 3
的图象关于点
π 3
，0
成中心对称图形
二，填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.在平行四边形 ABCD
中, AB
e1, AC
e2 , NC
1 4
AC , BM
1 MC ,则MN 2
∵ 1 0, 3
∴ 1 a b 与 a 3b 反向. 3
19.（1）连接 BD 交 AC 于点 F ，连结 EF . 因为底面 ABCD 是矩形,所以 F 为 BD 中点. 又因为 E 为 PB 中点, 所以 EF / /PD . 因为 PD 平面ACE，EF 平面ACE ,
2021-2022学年辽宁省辽东南协作体高二(上)期中数学试卷(A卷)(附详解)
2021-2022学年辽宁省辽东南协作体高二（上）期中数学试卷（A卷）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.圆x2+y2−2x+10y+7=0的圆心坐标为()A. (1,−5)B. (1,5)C. (−1,5)D. (2,−10)2.已知三棱柱ABC−A1B1C1，点P为线段B1C1的中点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ +AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3.若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+ay+2a−1=0平行，则实数a=()A. 1B. −1C. 0D. ±14.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为ℎ，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A. a28ℎB. a24ℎC. a22ℎD. a2ℎ5.已知直线l：x−my+m−1=0，则下述正确的是()A. 直线l的斜率可以等于0B. 直线l的斜率有可能不存在C. 直线l可能过点(2,1)D. 若直线l的横纵截距不可能相等6.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为线段AC1上一点，PA=1，则点P到平面ABCD的距离为()A. 2√2B. √33C. 3D. 47.以双曲线x29−y216=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()A. (x−5)2+y2=16B. (x−5)2+y2=9C. (x+5)2+y2=9D. (x+5)2+y2=168.已知点F1(−1,0)，F2(1,0)，动点P到直线x=2的距离为d，|PF2|d =√22，则()A. 点P的轨迹是圆B. 点P的轨迹曲线的离心率等于12C. 点P的轨迹方程为x22+y2=1 D. △PF1F2的周长为定值4√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知椭圆C：16x2+25y2=400，关于椭圆C下述正确的是()A. 椭圆C的长轴长为10B. 椭圆C的两个焦点分别为(0,−3)和(0,3)C. 椭圆C的离心率等于35D. 若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|=32510.下列说法不正确的是()A. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°B. 两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C. 二面角的大小范围是[0°,180°]D. 二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小11.圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，则有()A. 公共弦AB所在直线方程为x−y=0B. 线段AB中垂线方程为x+y−1=0C. 公共弦AB的长为√22D. P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为√22+112.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面(如图)由半椭圆C1：x2a2+y2 b2=1(x≥0)与半椭圆C2：x2c2+y2d2=1(x<0)组成，其中a2=b2+c2，a>b>c>0，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是轴截面与x，y轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线x2+y2=4为边界，F1，F2在宝珠珠面上，△F0F1F2为等边三角形，则以下命题中正确的是()A. 椭圆C 1的离心率是√217B. 椭圆C 2的离心率大于椭圆C 1的离心率C. 椭圆C 2的焦点在y 轴上D. 椭圆C 2的长短轴之比大于椭圆C 1的长短轴之比三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l 的一个方向向量d⃗ =(2,3,5)，平面α的一个法向量n ⃗ =(−4,m,n)，若l ⊥α，则m +n =______．14. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2+y 2−4y =0所截得的弦长为______ ． 15. 如图，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线与C 交于Q 点，且PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若等腰三角形PF 1F 2的底边PF 2的长等于C 的半焦距，则C 的离心率为______．16. 将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD 与BC 所成的角为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(−2,−4)，B(6,6)，C(0,6)．(1)求线段AB中点M的坐标，及中线CM的直线方程，并把结果化为一般式；(2)求AB边高线的直线方程，并把结果化为一般式．18.三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN//平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C；(3)求平面MB1C和平面B1CA1的夹角的余弦值．19.已知椭圆的两焦点为F1(−1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB=2BC=2，PC=3，PA=2，E为PD的中点．(1)证明：BC⊥平面PAB；(2)求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．(Ⅰ)证明：BE⊥DC；(Ⅱ)求BE的长；(Ⅲ)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F−AB−P的余弦值．22.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程；(Ⅱ)过(−1,0)的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x=−4于点E，直线BF 交直线x=−1于点D.是否存在这样的直线l，使得DE//AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的化简，属于基础题． 将圆的一般方程化成标准方程可得圆心的坐标． 【解答】解：x 2+y 2−2x +10y +7=0化为标准方程可得：(x −1)2+(y +5)2=19， 所以圆心的坐标为(1,−5)， 故选：A ．2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了空间向量的线性运算问题，考查数形结合思想，属于中档题． 根据空间向量的线性运算求出向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 【解答】 解：如图示：三棱柱ABC −A 1B 1C 1，点P 为线段B 1C 1的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选：D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与直线平行的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．根据题意，由直线平行的判断方法，分析可得a×a=1，即a2=1，解可得a的值，验证a的值，是否满足两直线平行，即可得答案．【解答】解：根据题意，若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+ay+2a−1=0平行，则a×a=1，即a2=1，解可得a=±1，当a=1时，直线l1为x+y+1=0，直线l2为x+y+1=0，两直线重合，不符合题意；当a=−1时，直线l1为−x+y+1=0，直线l2为x−y−3=0，两直线平行，符合题意；故a=−1，故选：B．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线在实际中的应用，考查了抛物线的基础知识．本题属基础题．本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，,−ℎ)代入抛物线方程解出p的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距再将已知点(a2离即为p．【解答】解：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，该抛物线方程可设为x 2=−2py(p >0)． ∵该抛物线经过点(a2,−ℎ)， 代入抛物线方程可得a 24=2ℎp ，解得p =a 28ℎ．∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p =a 28ℎ．故选：A ．5.【答案】B【解析】解：由直线l ：x −my +m −1=0，可得直线斜率不等于0，斜率可能不存在(m =0时)，可得A 不正确，B 正确．直线方程化为：m(1−y)+x −1=0，令{1−y =0x −1=0，解得{x =1y =1，可得直线经过定点(1,1)，m =1时，直线方程化为x −y =0，在x ，y 轴上的截距都为0，因此D 不正确． 故选：B ．对m 取值，利用直线斜率、截距的意义即可判断出结论．本题考查了直线斜率、截距的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：作PE//CC 1，交AC 于点E ， 因为CC 1⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ， 因为正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 所以AC 1=√3，因为PE//CC1，所以PECC1=APAC1，解得PE=AP⋅CC1AC1=√3=√33．故选：B．作PE//CC1，交AC于点E，可得PE⊥平面ABCD，由平行线的性质求解PE，即可得到答案．本题考查了空间中线面距离的求解，平行线性质的理解与应用，解题的关键是确定PE⊥平面ABCD，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：右焦点即圆心为(5,0)，一渐近线方程为y=43x，即4x−3y=0，r=√9+16=4，圆方程为(x−5)2+y2=16，故选：A．求出双曲线x29−y216=1的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．8.【答案】C【解析】解：点F1(−1,0)，F2(1,0)，动点P到直线x=2的距离为d，|PF2|d =√22，设动点P的坐标为(x,y)，可得：√(x−1)2+y2|2−x|=√22，化简得点P的轨迹方程为x22+y2=1，所以P的轨迹是椭圆，所以A错误，C正确；离心率为：√22，所以B不正确；△PF1F2的周长为定值：2a+2c=2+2√2，所以D不正确；故选：C．利用两点的距离公式及点到直线的距离公式将已知几何条件用坐标表示，化简求出轨迹方程，然后判断选项的正误即可．本题主要考查轨迹方程的求解，椭圆的定义及其应用知识，属于中等题．9.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．化简椭圆方程为标准方程，求出a，b，c，然后求解离心率以及通径，判断选项的正误即可．【解答】解：椭圆C：16x2+25y2=400，所以标准方程为：x225+y216=1，所以a=5，b=4，c=3，所以椭圆C的长轴长为10，A正确；椭圆C的两个焦点分别为(−3,0)和(3,0)，所以B不正确；椭圆C的离心率等于35，所以C正确；若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|=2b2a =325，所以D正确；故选：ACD．10.【答案】ABD【解析】解：对于A，直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，直线l与平面α所成的角等于60°，所以A错；对于B，两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角相等或互补，所以B错；对于C，二面角的大小范围是[0°,180°]，由二面角定义知C对；对于D，二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补，所以D错．故选：ABD．A用直线与平面成角定义判断；B用异面直线成角定义判断；C用二面角定义判断；D用二面角和平面法向量定义判断．本题以命题真假判断为载体，考查了异面直线成角、直线与平面成角和二面角的基本概念，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，考查垂径定理以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．两圆的方程作差即可求出公共弦所在的直线方程，即可判断选项A；求出两圆圆心坐标，即可求出线段AB的中垂线的方程，即可判断选项B；求出圆心O1到直线AB的距离d，d+r即为圆O1上的点到直线AB的最大值，利用垂径定理求出公共弦长，即可判断选项CD．【解答】解：∵圆O1：x2+y2−2x=0和圆O2：x2+y2+2x−4y=0的交点为A，B，∴圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为x−y=0，故A正确；∵O1(1,0)，O2(−1,2)，O1O2所在直线斜率为−1，∴线段AB的中垂线的方程为y−0=−(x−1)，即x+y−1=0，故B正确；圆O1：x2+y2−2x=0的圆心为O1(1,0)，半径r1=1，圆心O1(1,0)到直线x−y=0的距离d=√2=√22，∴P到直线AB距离的最大值为√22+1，圆O1与圆O2公共弦AB的长为2√1−12=√2，故C错误，D正确．故选：ABD．12.【答案】AC【解析】解：由a>b>c>0，可得半椭圆C1的焦点在x轴上，即F0为右焦点，则半椭圆C2的焦点在y轴上，且|d|=b，由宝珠的轴截面以曲线x2+y2=4为边界，是一个圆，半径R=2，可得|F1F2|=4，即有d2−c2=4，△F0F1F2等边三角形可得|OF0|=√32×4=2√3，由题意可得c=2√3，即有a2−b2=12，b2−12=4，即b=4，a=2√7，可得椭圆C1的离心率是√32√7=√217，故A正确；由椭圆C2的离心率为√16−124=12<√217，故B错误；椭圆C2的焦点在y轴上，故C正确；椭圆C2的长、短轴之比为2：√3，椭圆C1的长、短轴之比为√7：2，√3<√72，故D错误；故选：AC．由题意可得半椭圆C1的焦点在x轴上，半椭圆C2的焦点在y轴上，由宝珠的轴截面以曲线x2+y2=4为边界可求其半径R，即半椭圆C2的半焦距，由等边三角形的性质可得c，运用椭圆的基本量的关系，解方程可得a，b，c，d，即可判断AC正确；BD错误．本题考查椭圆的方程和几何性质，仔细阅读题目，找出等量关系是解题关键，属于中档题．13.【答案】−16【解析】解：∵直线l的一个方向向量d⃗=(2,3,5)，平面α的一个法向量n⃗=(−4,m,n)，l⊥α，∴d⃗//n⃗，∴2−4=3m=5n，解得m=−6，n=−10，∴m+n=−6−10=−16．故答案为：−16．由l⊥α，得d⃗//n⃗，由此能求出m，n，进而能求出m+n．本题考查两数和的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】2√3【解析】解：设弦长为l；过原点且倾斜角为60°的直线为y=√3x整理圆的方程为x2+(y−2)2=4，圆心为(0,2)，半径r=2圆心到直线的距离为|2+0|2=1，则l2=√4−1=√3； ∴弦长l =2√3 故答案为：2√3先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长．本题主要考查了直线与圆相交的性质．考查了基本的计算的能力和数形结合的思想的应用．15.【答案】2+2√157【解析】解：连结QF 1，由条件知QF 1⊥PF 2，且|QF 2|=c2．由双曲线定义知|QF 1|=2a +c2，在Rt △F 1QF 2中，(2a +c2)2+(c 2)2=(2c)2， 即8a 2+4ac −7c 2=0， 即8+4e −7e 2=0解得C 的离心率e =2+2√157，故答案为：2+2√157． 根据双曲线的定义和等腰三角形的性质，即可得到，(2a +c2)2+(c2)2=(2c)2，化简整理可得．本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．16.【答案】π3【解析】解：当V D−ABC 最大时，平面DAC ⊥平面ABC ，设AC 的中点为O ，连接OD ，OB ， 分别以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设OB =OD =OC =1，则O(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,0,0)，D(0,0,1)，A(0,−1,0)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， ∴cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√2×√2=12， ∴异面直线AD 与BC 所成的角为π3． 故答案为：π3．根据题意可知当V D−ABC 最大时，平面DAC ⊥平面ABC ，即可建立空间直角坐标系，设OB =OD =OC =1，求出各点坐标，进而求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再根据cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求出结果． 本题主要考查了向量法求异面直线夹角，是基础题．17.【答案】解：(1)线段AB 中点M 的坐标为(−2+62,−4+62)，即M(2,1)，中线CM 的直线方程为y =1−62−0x +6，化为一般式；5x +2y −12=0． (2)k AB =−4−6−2−6=54， ∴AB 边高线的直线方程为：y =54x +6，化为：5x −4y +24=0．【解析】(1)利用中点坐标公式可得：线段AB 中点M 的坐标，利用斜截式可得中线CM 的直线方程．(2)利用斜率计算公式可得k AB ，利用斜截式可得AB 边高线的直线方程．本题考查了中点坐标公式、斜率计算公式可、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：连接BC 1，AC 1，在△ABC 1中，因为M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点，则MN//BC 1，又MN ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以MN//平面BCC 1B 1；(2)证明：以点B 1为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则B 1(0,0,0)，C(0,2,2)，A 1(−2,0,0)，M(−1,0,2)，N(−1,1,1)，所以B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0−2−2=0，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0， 所以MN ⊥B 1C ，MN ⊥A 1B 1，又B 1C ∩A 1B 1=B 1，B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 故MN ⊥平面A 1B 1C ；(3)解：设平面B 1CM 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 因为B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)， 所以{m ⃗⃗⃗ ⋅B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，令x =2，则z =1，y =−1， 则m⃗⃗⃗ =(2,−1,1)， 由(2)可知，NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)是平面A 1B 1C 的法向量， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6⋅√2=√33． 由图可知，二面角M −B 1C −A 1的平面角是锐角， 故二面角M −B 1C −A 1的余弦值是√33．【解析】(1)连接BC 1，AC 1，利用中位线定理证明MN//BC 1，由线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，证明MN ⊥B 1C ，MN ⊥A 1B 1，由线面垂直的判定定理证明即可； (3)利用待定系数法求出平面B 1CM 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行与垂直的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意得|F 1F 2|=2，又2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|， ∴|PF 1|+|PF 2|=4=2a ， ∴a =2， ∵c =1， ∴b 2=3．∴所求椭圆的方程为x 24+y 23=1．(2)设P 点坐标为(x,y)， ∵∠F 2F 1P =120°，∴PF 1所在直线的方程为y =(x +1)⋅tan 120°， 即y =−√3(x +1)． 解方程组{y =−√3(x +1)x 24+y 23=1并注意到x <0，y >0，可得{x =−85y =3√35 ∴S △PF1F2=12|F 1F 2|⋅3√35=3√35．【解析】(1)根据2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|，求出a ，结合焦点坐标求出c ，从而可求b ，即可得出椭圆方程；(2)直线方程与椭圆方程联立，可得P 的坐标，利用三角形的面积公式，可求△PF 1F 2的面积．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，确定P 的坐标是关键．20.【答案】【解析】(1)证明：AB =2BC =2，所以得BC =1，又底面ABCD 是矩形，所以AC =√BC 2+AB 2=√5，又AC 2+PA 2=5+4=9=32=PC 2，所以∠PAC =90°，所以PA ⊥AC ， 又PA ⊥AB ，AC ∩AB =A ，AC 、AB ⊂面ABCD ，所以PA ⊥面ABCD ，又BC ⊂面ABCD ，所以PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，AB ∩PA =A ，AB ⊂面PAB ，AP ⊂面PAB ， 所以BC ⊥面PAB ；(2)解：由(1)知PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊥AD 以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则B(2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，E(0,12,1)，C(2,1,0) 则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−12,−1)， 设平面PBC 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)， 则有{−2x +2z =0y =0，令x =1，则有y =0，z =1，∴平面PBC 的一个法向量n ⃗ =(1,0,1)， 设直线EB 与平面PBC 所成角为θ， 所以sinθ=∣cos <n⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ >∣=1√2×√4+14+1=√4221， 所以直线EB 与平面PBC 所成角的正弦值为√4221．【解析】本题考查线面垂直的方法，以及利用向量法求线面角，属中档题．(1)先求AC =√5，再利用AC 2+PA 2=5+4=9=32=PC 2得PA ⊥AC ，进而证PA ⊥面ABCD ，可得PA ⊥BC ，可证BC ⊥面PAB ；(2)以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，以及EB 的方向向量，可求直线EB 与平面PBC 所成角的正弦值．21.【答案】(Ⅰ)证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，由题意B(1,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)， E(1,1,1)，D(0,2,0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴BE ⊥DC ． (Ⅱ)解：∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，∴BE 的长为|BE⃗⃗⃗⃗⃗ |=√0+1+1=√2． (Ⅲ)解：∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，由点F 在棱PC 上，设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,−2λ,2λ)，0≤λ≤1， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2λ,2−2λ,2λ)，∵BF ⊥AC ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−2λ)+2(2−2λ)=0，解得λ=34， 设平面FBA 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +12b +32c =0， 取c =1，得n⃗ =(0,−3,1)， 取平面ABP 的法向量i=(0,1,0)， 则二面角F −AB −P 的平面角满足： cosα=|i ⋅n ⃗⃗ ||i |⋅|n ⃗⃗ |=√10=3√1010， ∴二面角F −AB −P 的余弦值为3√1010．【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是较难的题． (Ⅰ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出 BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，能证明BE ⊥DC ． (Ⅱ)由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，能求出BE 的长．(Ⅲ)由BF ⊥AC ，求出BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而求出平面FBA 的法向量和平面ABP 的法向量，由此利用向量法能求出二面角F −AB −P 的余弦值．22.【答案】解：(Ⅰ)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以1+p2=3，解得p =4， 所以y 2=8x ，所以准线方程为x =−2．(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 联立得{y 2=8x,y =k(x +1),消去y 得k 2x 2+(2k 2−8)x +k 2=0．由△=(2k 2−8)2−4k 4>0，解得−√2<k <√2.所以−√2<k <√2且k ≠0． 由韦达定理得x 1+x 2=8−2k 2k 2，x 1x 2=1．方法一：直线BF 的方程为y =y 2x 2−2(x −2)， 又x D =−1，所以y D =−3y 2x2−2，所以D(−1,−3y 2x 2−2)，因为DE//AF ，所以直线DE 与直线AF 的斜率相等．又E(−4,−3k)，所以−3k+3y 2x 2−2−3=y 1x 1−2． 整理得k =y1x 1−2+y2x 2−2，即k =k(x 1+1)x 1−2+k(x 2+1)x 2−2，化简得1=x 1+1x 1−2+x 2+1x 2−2，1=2x 1x 2−(x 1+x 2)−4x1x 2−2(x 1+x 2)+4，即x 1+x 2=7．所以8−2k 2k 2=7，整理得k 2=89，解得k =±2√23.经检验，k =±2√23符合题意． 所以存在这样的直线l ，直线l 的方程为y =2√23(x +1)或y =−2√23(x +1)．方法二：因为DE//AF ，所以|BA||BE|=|BF||BD|，所以x 2−x 1x 2+4=x 2−2x 2+1．整理得x 1x 2+(x 1+x 2)=8，即8−2k 2k 2=7，整理得k 2=89． 解得k =±2√23，经检验，k =±2√23符合题意．所以存在这样的直线l ，直线l 的方程为y =2√23(x +1)或y =−2√23(x +1)．【解析】(Ⅰ)通过横坐标为1的点到焦点的距离为3，求出p 得到抛物线方程．得到准线方程．(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x +1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 联立得{y 2=8x,y =k(x +1),消去y 得k 2x 2+(2k 2−8)x +k 2=0.利用韦达定理，方法一：直线BF 的方程为y =y 2x 2−2(x −2)，求出D 的坐标，利用直线DE 与直线AF 的斜率相等．推出−3k+3y 2x 2−2−3=y 1x1−2.转化求解直线的斜率，得到直线方程．方法二：利用DE//AF ，得到|BA||BE|=|BF||BD|，转化求解直线的斜率，然后求解直线l 的方程． 本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题，点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题含答案
辽宁省协作校2022—2023学年度上学期期中考试高二试题数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是（）．A ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αB ．若直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．平行于x 轴的直线的倾斜角为180°D ．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90°2．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22x y =的焦点为F ，准线为l ，则点F 到准线l 的距离为（）A ．12B ．1C ．2D ．43．圆226210x y x y +--+=被x 轴所截得的弦长为（）A ．2B ．3C ．4D ．24．已知空间的一组基底{},,a b c ，若m a b c =-+ 与n xa yb c =++共线，则x y +的值为（）．A ．2B ．2-C ．1D ．05．直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △为等边三角形，11AA AB =，M 是11A C 的中点，则AM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A ．710B ．1510C ．8510D ．1510-6．“a ＝2”是“直线1:2430l ax y ++=与直线()22:150l x a y ---=垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分比为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（）A ．（1，2）B ．（1．4）C ．)2,2D ．)2,48．如图，在棱长为2的正方形1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（）A ．23B ．223C ．233D ．43二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分有错误答案得0分）9．下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+ ，则{},,a b m也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅10．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（）A ．12PF F △的周长为8B ．12PF F △3C ．12PF PF ⋅的取值范围为[)2,3D ．12PF PF 的取值范围为(]3,411．已知直线:10l kx y k --+=和圆22:40C x y x +-=，则下列说法正确的是（）A ．存在k ，使得直线l 与圆C 相切B ．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则AB 的最小值为2C ．对任意k ，圆C 上恒有4个点到直线的距离为12D ．当k ＝2时，对任意λ∈R ，曲线()22:240E x y x y λλλ++---=恒过直线l 与圆C 的交点12．已知1A 、2A 是椭圆22:143x y C +=长轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于1A 、2A 的任意一点，点Q与点P 关于x 轴对称，则下列四个命题中正确的是（）A ．直线1PA 与2PA 的斜率之积为定值43-B ．120PA PA ⋅< C ．12PA A △的外接圆半径的最大值为736D ．直线1PA 与2QA 的交点M 在双曲线22143x y -=上三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()2,0,1n =为平面α的法向量，点()1,2,1A -在α内，点()1,2,2P -在α外，则点P 到平面α的距离为______．14．在平面直角坐标系xOy 中，若圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程为______．15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，点,2p M p ⎛⎫-⎪⎝⎭，若直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +=______．16．如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF DE ∥，且2AB DE ==，1CF =，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH AE ⊥；③三棱锥B －GHF 的体积为定值；④三棱锥E －BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为______．（填写所有正确结论的序号）四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知ABC △的顶点()1,2A ，AC 边上的高BD 所在直线方程为x －2y ＝0．AC 边上的中线BE 所在直线方程为420x y --=．（1）求点B 的坐标；（2）求点C 的坐标及BC 边所在直线方程．18．（本小题满分12分）如图，已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，1AB AA =，E 是1AA 的中点，F 是BC 的中点．（1）求异面直线1D E 和1DC 所成角的余弦值；（2）求直线1D E 与平面1DFC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心C 在直线10x y --=上，且与直线23100x y +-=相切于点()2,2P ．（1）求圆C 的方程；（2）若过点()2,3Q 的直线l 被圆C 截得的弦AB 长为6，求直线l 的方程．20．（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PA PD ==，底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 的中点．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）求二面角C PD A --的正弦值；（3）线段AD 上是否存在Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，过点()1,0F 的圆M 与直线:1l x =-相切，设圆心M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线交曲线C 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点()4,0P ，求线段AB 的长．22．（本小题满分12分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线l '与双曲线交于M ，N 两点，求MP NQ MQ NP ⋅+⋅的取值范围052022—2023学年上学期期中考试高二数学答案一、单选题1---5. D 、B 、D 、D 、B 6---8. A 、B 、D 二、多选题9. ABC 10. BCD 11. BCD12. BCD 【详解】设()00,P x y ，则2200143x y +=1A 、2A 是椭圆22:143x y C +=长轴上的两个顶点．1(2A ∴-，20)(2,0)A 则202000220000134·22444PA PBx y y y k k x x x x -====-+---，故A 不正确． 由120·(2PA PA x =--，00)(2y x --，22200001)4104y x y x -=+-=-<，故B 正确． 当P 在短轴顶点时，124A A =，21PA PA ==12sin PA A ∠=122R =，可得△12PA A的外接圆半径的最大值R =C 正确． 点Q 与点P 关于x 轴对称，设0(Q x ，0)y -， 直线1PA 的方程为：()0022y y x x =++ 直线2QA 的方程为：()0022y y x x =-- ②两式相乘：可得222020(4)4y x y x -=-，由22001243y x -=代入化简可得22143x y -=，即直线1PA 与2QA 的交点M 在双曲线22143x y -=上；故D 正确． 三、填空题 13．5； 14．20x y -+= ； 15．2- ； 【详解】由抛物线方程知：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则可设:2p l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pty p --=，∴212y y p =-； ()()()()1212121222222212121222222222p y p p y p p y p p y p y p y p k k p p px p px p y p y p x x ------∴+=+=+=+++++++()()1212221122121212222p y p p y p y p y p p y y y y y y y y y y --⎛⎫--=+=- ⎪---⎝⎭()212121212222p y y pp y y y y y y -=⋅==--.故答案为：2-. 16．①③④ 【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，如图一所示：图一 图二 图三 因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =， 根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =， 故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂面,ABE HG ⊄面ABE ，故HG //面ABE ，故①正确； 对②：因为ED ⊥面,,ABCD DA DC ⊂面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥， 又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直， 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图二所示： 则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈， 若GH ⊥AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=， 即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误； 对③：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGFS为定值，又DE //,CF CF ⊂面,BGF DE ⊄面BGF ，故DE //面BGF ， 又点H 在DE 上运动，故点H 到面BGF 的距离是定值， 故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取△EFC 的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ， 则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上因为1OO ⊥面EFC ，FC ⊥面,ABCD CB ⊂面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥， ,,CF CD C CF CD ⋂=⊂面EFCD ，故CB ⊥面EFCD ,又BC ⊥面EFC ，则1OO //CB ，故1,OO BC 在同一个平面， 则过O 作OP BC ⊥，连接,OB OC 如图三所示.在△EFC 中，容易知1EF EC FC ==，则由余弦定理可得cosEFC ∠==sin EFC ∠=则由正弦定理可得12sin EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==， 在△OBP 中，OB R =，OP =又12222BP PC OO =-=-== 故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即2255422R R =++-- 解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题17．解：（1）因为点B 为高BD 与中线BE 所在直线的交点，由20420x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得21x y =-=-，，(21)B --，，………………………………………..…..2分（2）设(,)C m n ，因为AC 与高BD 垂直，所以1221AC BD n k k m -=-⇔=--， 即240m n +-=①……………………………………………………………………………………….4分 线段AC 中点12(,)22m n E ++在中线BE 上，所以14(2)2022m n ++--=， 即4110m n --=②………………………………………………………………………..……………..6分由①②可解得，3,2m n ==-，(3,2)C -， BC 边所在直线方程570x y ++=．………….....10分18．解：连结AC BD ，，使AC BD O =．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，以O 为原点，OA OB 、的方向为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设12AB AA ==，由60BAD ∠=︒，底面ABCD 是菱形，所以2BD =.（1）()()1101002022D C F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，， ()()1012301D E-，，，，，，………………….2分()()11312311DC D E ∴=-=-，，，，，，…..4分设异面直线1D E 和1DC所成角为θ，则11cos cos 5DC D E θ===， ∴异面直线1D E 和AF 所成角的余弦值为5．……………………………….………………..………..………….6分 OEF AA 1BCDB 1C 1D 1(2)()13331202DC DF ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，………………………….……………………….…..……….8分设平面1DFC 的法向量为()n x y z =，，，则 133022320n DF x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩，得()311n =，，，…………………………………………….…….….10分设直线1D E 与平面1DFC 所成角为ϕ，则13sin cos 5D E n ϕ===，．∴直线1D E 与平面1DFC 所成角的正弦值为35．……………….……………………………………..….….12分 19．解：（1）过点()22P ，与直线23100x y +-=垂直的直线m 的斜率为32k =， 所以直线m 的方程为()3222y x -=-，即3220x y --=．………………………..….……..2分 由322010x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得圆心()01C -，．所以半径()()22021213r =-+--=．故圆C 的方程为：()22113y x ++=．……………………………………………………..……..4分（2）①若斜率存在，设过点()23Q ，的直线l 斜率为k ，则直线l 方程为：()32y k x -=-，即230kx y k --+=，∴圆心()01C -，到直线l 的距离2241k d k -=+，又613AB r ==，，2222243131k k ⎛⎫-∴+= ⎪+⎝⎭，整理得 430k -=，解得34k =．此时直线l 的方程3460x y -+=．…………………………………...……………8分②若斜率不存在，直线方程为2x =，弦心距为2，半径r ，…………………...…………………10分弦长为6=，符合题意，综上，直线l 的方程为3460x y -+=或2x =．……………12分20．(1)证明见解析 (3)存在，13【分析】（1）先证得PO AD ⊥，再由侧面PAD ⊥底面ABCD 证得PO ⊥平面ABCD 即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAD 以及平面PCD 的法向量，由向量夹角公式求得余弦，再计算正弦即可；（3）设出点()[]0,,0,1,1Q m m ∈-，由点面距离的向量求法解出m 即可求出AQQD的值. （1）PA PD =，O 为AD 的中点，PO AD ∴⊥，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ；………………………………………………………………………………4分（2）底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，OC AD ∴⊥，又PO ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，易得平面PAD 的法向量()1,0,0m =，()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1C D P ，()()1,0,1,0,1,1PC PD =-=-，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则00n PC x z n PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得()1,1,1n =，………………………..….…6分设二面角C PD A --夹角为θ，则1cos 3m n m nθ⋅==⋅，则sin θ==∴二面角C PD A --；…………………………………………………………………….…………..8分设线段AD 上存在()[]0,,0,1,1Q m m ∈-，使得它到平面PCD ，()0,,1PQ m =-，Q ∴到平面PCD 的距离23PQ n m d n⋅-===12m =-或52m =(舍去)，……………………………………………...………..10分 （3）则10,,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则112332AQ QD ==． (12)分 21．解：（1）设(,)M x y ，|1|x =+，整理得24y x =， 曲线C 的方程为24y x =．……………………………..………..………..4分（2）显然直线斜率存在且不为0，设11()A x y ,，22()B x y ,，设直线AB 方程为(1)y k x =-，0k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得， 2440ky y k --=，12124,4y y y y k+==-， ……………………..……..6分设线段AB 中点00(,)N x y ，12022y y y k +==，0021211x y k k=+=+，002222122433NP y kk k k k x k k⋅=⋅===----，22k =．……………………………………………..8分高二数学答案第6页，共6页12||||AB y y =-=6==．………..12分【或者利用焦半径公式】 12121221114||2112()446AB x x y y y y k k k k =++=++++=++=+=）【消去y 求解也可以】 22．(1)2213y x -= (2)(],12-∞- 【分析】（1）根据通径226b PQ a==，直接求得23b a =，再结合离心率为2即可求双曲线的方程； （2）通过对MP NQ MQ NP ⋅⋅+转化为()2FP FQ MF NF ⋅+⋅，从而简化计算，利用韦达定理求解即可. （1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==， 即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；………..……………..…….…...………..4分 （2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=， 得：()22311290m y my -++=， 当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --， 12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，……..………….……..……..6分 当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅， 同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭， 代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--， 分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，………………………….…….………….……..8分因为m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭， ()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，…………………………….……………..………..10分 所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.…………………………………………………..12分。