2019年贵州省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(有答案解析)
2019年贵州省高考数学模拟试卷（理科）（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {1，2，4}D. {1，4}2.已知i为虚数单位，若复数z=+，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.等差数列{a n}中，a2与a4是方程x2-4x+3=0的两根，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A. 6B. 8C. 10D. 124.若，，，则实数之间的大小关系为（）.A. B. C. D.5.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n③若m∥α，n⊂α，则m∥n④若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则m∥n其中正确命题的序号是（）A. ①④B. ①②C. ②③④D. ④6.函数f（x）=的图象大致是（）A. B.C. D.7.在直角梯形ABCD中，AB=4，CD=2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则•（）=（）A. 8B. 12C. 16D. 208.设θ∈R，则“0＜θ＜”是“sinθ+cos2θ＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件9.在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为（）A. B. C. D.10.2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况．为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（）A. 样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通B. 样本中多数女性是35岁以上C. 35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D. 样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高11.设f（x）=，点O（0，0），A（0，1），A n（n，f（n）），n∈N*，设∠AOA n=θn对一切n∈N*都有不等式+++…+＜t2-2t-2成立，则正数t的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 612.已知点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且=0，若，则C的离心率取值范围是（）A. （1，+1]B. [，+1]C. [，]D. [，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为______．14.已知某几何体三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是矩形，俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球表面积为______．15.阅读材料求函数y=e x的导函数解：∵y=e x∴x=ln y∴（x）′=（ln y）′∴•y′∴y′=y=e x借助上述思路，曲线y=（2x-1）x+1，x∈（）在点（1，1）处的切线方程为______．16.抛物线C：y2=4x的焦点为F，在C上存在A，B两点满足，且点A在x轴上方，以A为切点作C的切线l，l与该抛物线的准线相交于点M，则M的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=sin，x∈[0，π]，设f（x）的最大值为M，记f（x）取得最大值时x的值为θ．（1）求M和θ；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，b=2，B=θ，求c的值．18.即将于2019年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职，为了了解工资待遇情况，他在贵州省统计局的官网上，查询到2008年至2017年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值（单年份2008200920102011201220132014201520162017序号x12345678910年平均工2.5 2.93.2 3.84.35.0 5.56.37.07.5资y（1）请根据上表的数据，利用线性回归模型拟合思想，求y关于x的线性回归方程=x+（，的计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位）；（2）如果该毕业生对年平均工资的期望值为8.5万元，请利用（1）的结论，预测2019年的非私营单位在岗职工的年平均工资（单位：万元．计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位），并判断2019年平均工资能否达到他的期望．参考数据：x i y i=311.5，x=385，（x i）（y i）=47.5i12345678910（x i）220.2512.25 6.25 2.250.250.25 2.25 6.2512.2520.25附：对于一组具有线性相关的数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为==，=．19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO=CO．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）若AD=2AB=4，PA=PD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD，二面角P-BC-D的大小为，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值．20.椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），设P，Q分别是椭圆C的上、下顶点，且四边形PF1QF2的面积为2，其内切圆周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）当b＞c时，A，B为椭圆C上的动点，且PA⊥PB，试问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由．21.已知函数f（x）=ln x-，g（x）=．（1）求函数f（x）在[1，+∞）的最小值；（2）设b＞a＞0，证明：；（3）若存在实数m，使方程g（x）=m有两个实根x1，x2，且x2＞x1＞，证明：x1+x2＞5．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≥0），在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2，C3的极坐标方程分别为ρ2-2ρcosθ-=0，ρ（cosθ+sinθ）=．（1）判断C2，C3的位置关系，并说明理由；（2）若tanα=（0≤α＜π），C1分别与C2，C3交于M，N两点，求|MN|．23.已知函数f（x）=|x+5|-|x-4|．（1）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（2）若函数f（x）的最大值为M，设a，b为正实数，且（a+1）（b+1）=M，求ab的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}={1，2，4}，∴A∩B={0，1，2}∩{1，2，4}={1，2}．故选：B．根据集合A求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．本题主要考查两个集合的交集的定义，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵z=+，∴，∴复数的虚部为-．故选：B．由z=+，得，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：∵a2与a4是方程x2-4x+3=0的两根，∴a2+a4=4=2a3，解得a3=2，则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=10．故选：C．利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：B解析：【分析】本题考查对数式与指数式的互化，对数函数和指数函数的单调性，以及函数单调性的定义．可以得出a=20.3＞1，b=log0.32＜0，0＜c＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=20.3＞20=1，b=log0.32＜log0.31=0，0＜c=0.32＜1，∴a＞c＞b．故选：B．5.答案：D解析：解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故②错误；在③中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故③错误；在④中，若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则由面面平行的性质定理得m∥n，故④正确．故选：D．在①中，α与γ相交或平行；在②中，m与n相交、平行或异面；在③中，m与n平行或异面；在④中，由面面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.答案：D解析：解：f（-x）=≠f（x）≠-f（x），故f（x）为非奇非偶函数，故排除A，B．当x→+∞时，f（x）→0，当x→-∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：D．根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势即可求出本题考查了函数图象的识别和应用，考查了函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题7.答案：D解析：解：建立坐标系如图：则A（0，0），B（4，0），D（0，2），C（2，2），E（3，1）；所以=（5，3），=（4，0），则•（）=20．故选：D．通过建立平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的运算，转化为坐标运算简化解题过程，是基本知识的考查．8.答案：A解析：解：由sinθ+cos2θ＞1得sinθ+1-2sin2θ＞1，即sinθ-2sin2θ＞0，得2sinθ（sinθ-）＜0，则0＜sinθ＜，当0＜θ＜时，0＜sinθ＜成立，即充分性成立，当＜θ＜π时，满足0＜sinθ＜成立但0＜θ＜不成立，即必要性不成立，即“0＜θ＜”是“sinθ+cos2θ＞1”的充分不必要条件，故选：A．结合三角函数公式进行化简，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的公式进行化简是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：设A={游客甲去梵净山}，则基本事件的总数为=36个．事件A发生时①若甲单独去梵净山，有6个基本事件，②去梵净山的游客除甲外还有1人，则有=6个基本事件．∴p（A）==．故选：B．分类计算游客甲去梵净山包含的基本事件的个数，代入古典概型的概率计算公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，在求事件A包含的基本事件个数时，牵扯到了平均分组问题，容易出错，本题为中档题．10.答案：C解析：解：由等高条形图，得：在A中，由左图知，本本中男性数量多于女性质数量，从而男性比女性更关注地铁一号线全线贯通，故A正确；在B中，由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，故B正确；在C中，由右图知35岁以的男性人数比35岁以上的女性质人数少，故C错误；在D中，由右图知样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，故D正确．故选：C．由等高条形图得：35岁以下的男性人数不一定比35岁以上的女性人数多．本题考查命题真假的判断，考查等高条形图的性质等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．11.答案：A解析：解：由题意得，，=n2+n，∴=，∴+++…+==＜1，∵一切n∈N*都有不等式+++…+＜t2-2t-2成立，∴只需t2-2t-2≥1，∴t2-2t-3≥0，∴t≥3或t≤-1，又t＞0，∴t≥3，∴正数t的最小值为：3．故选：A．结合函数f（x）图象，可得=n2+n，然后利用列项相消法求出数列{}的前n项和，根据不等式恒成立得到t的范围即可．本题考查了数列与不等式恒成立的综合问题，关键是求出数列的前n项和，属难题．12.答案：D解析：解：如图：点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且=0，可得OB=OA=OF=c，所以AF=，BF=，由双曲线的定义可得-=2a，所以e===，，可得，∈，∈，∈．故选：D．画出图形，求出BO=c，然后求解B的坐标，代入双曲线方程，求出e的表达式，即可得到离心率的范围．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．13.答案：2解析：解：作出实数x，y满足约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（，），由z=3x+y得y=-3x+z，平移y=-3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z min=3×=2．故答案为：2．首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值．14.答案：29π解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别为2，3，侧棱长为4，把该几何体变形为长方体，则长方体的对角线长为．则其外接球的半径为，其外接球表面积为．故答案为：29π．由三视图还原原几何体，可知该几何体为正三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别为2，3，侧棱长为4，再由分割补形法求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15.答案：y=4x-3解析：解：∵y=（2x-1）x+1，∴ln y=ln（2x-1）x+1=（x+1）ln（2x-1），则（ln y）′=[（x+1）ln（2x-1）]′，即•y′=ln（2x-1）+（x+1）•2，即y′=y[ln（2x-1）+]=（2x-1）x+1[ln（2x-1）+]，则f′（1）=12（ln1+）=4，即在点（1，1）处的切线斜率k=4，则在点（1，1）处的切线方程为y-1=4（x-1），即y=4x-3，故答案为：y=4x-3根据材料，利用取对数法求出函数导数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可得到结论．本题主要考查导数的几何意义的应用，利用取对数法求出函数的导数以及切线斜率是解决本题的关键．16.答案：（-1，）解析：解：由抛物线C：y2=4x，得焦点F（1，0），准线方程为x=-1．由题意设AB所在直线的倾斜角为θ，由，得，即cos．∴tan．则AB所在直线方程为y=．联立，得3x2-10x+3=0．解得：x=或x=3，则A（3，），∴AM：y-=，当x=-1时，y=．∴M的坐标为（-1，）．故答案为：（-1，）．由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由求得AB所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线l的方程，取x=-1求得y值，则M的坐标可求．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）由已知f（x）=sin=sin（+），因为，x∈[0，π]，可得：≤+≤，所以，当+=时，即x=时，f（x）max=，所以，M=，θ=．…6分（2）由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cos B，可得：c2-2×c+8=（2）2，可得：c2+4c-32=0，解得：c=4，或c=-8（舍去），故c=4．…12分解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=sin（+），由范围x∈[0，π]，可得：≤+≤，利用正弦函数的性质可求M，θ的值．（2）由已知及余弦定理可得：c2+4c-32=0，即可解得c的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）由已知，得，，≈0.58．．∴y关于x的线性回归方程=0.58x+1.61；（2）由（1）知，=0.58x+1.61，当x=12时，＞8.5．∴预测2019年的非私营单位在岗职工的年平均工资为8.57万元，达到了他的期望．解析：（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的回归方程中，取x=12求得y值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19.答案：证明：（1）平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连结ON，∵O是AD的中点，∴AB∥ON，∵BO=CO，∴ON⊥BC，∴AB⊥BC，平行四边形ABCD中，BC∥AD，则AB⊥AD，∵AB⊥PD，且PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD．解：（2）由（1）知AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，连结PO，PN，∵PA=PD，∴PO⊥AD，∴PO⊥BC，∵ON⊥BC，∴BC⊥平面PNO，∴PN⊥BC，∴二面角P-BC-D的平面角为∠PNO=，∴PO=AB=2，以O为原点，ON，OD，OP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A（0，-2，0），B（2，-2，0），C（2，2，0），P（0，0，2），由PD=3MD，得M（0，），则=（2，4，0），=（0，，），=（-2，2，2），设平面MAC的一个法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（-2，1，-5），设直线BP与平面MAC所成角为θ，则直线BP与平面MAC所成角的正弦值为：sinθ=．解析：（1）设N是BC的中点，连结ON，推导出AB∥ON，ON⊥BC，AB⊥BC，BC∥AD，AB⊥AD，AB⊥PD，由此能证明AB⊥平面PAD．（2）由AB⊥平面PAD，得面PAD⊥面ABCD，连结PO，PN，则PO⊥AD，PO⊥BC，ON⊥BC，从而BC⊥平面PNO，PN⊥BC，从而二面角P-BC-D的平面角为∠PNO=，PO=AB=2，以O为原点，ON，OD，OP方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BP与平面MAC所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（1）依据题意，可知，即，设四边形PF1QF2的内切圆半径为r，所以，所以，由bc=ar=，得a=2，又a2=b2+c2=4，且，故，所以椭圆C的方程为或．（2）当b＞c时，所以椭圆C的方程为．，则P（0，），设A（x1，y1），B（x2，y1），由题意知直线AB斜率存在，设直线AB方程为y=kx+m，则由得（4k2+3）x2+8kmx+（4m2-12）=0，所以，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）＞0 （*）由PA⊥PB，可得，即，即，又y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以，整理得，，解得（舍去）或．又满足（*）式，故直线AB方程为，所以直线AB恒过定点．解析：（1）根据“四边形PF1QF2的面积为2，其内切圆周长为”建立方程组求出a、b、c的值即可；（2）先设出直线AB的方程，利用PA⊥PB建立方程求出m的值，进而确定直线AB恒过定点坐标．本题主要考查直线与椭圆综合问题、直线恒过定点问题，属于中档题目．21.答案：解：（1）由f′（x）=-=＞0，∴f（x）在[1，+∞）单调递增，又∵f（1）=0，∴f（x）min=f（1）=0，证明：（2）由（1）知，f（x）=ln x-≥0，即ln x≥，由b＞a＞0，得＞1，进而ln＞，化简得ln b-ln a＞，∴＜，证明：（3）由==m，可得ln=ln，即ln-ln（2x1-3）=ln-ln（2x2-3），即ln（2x2-3）-ln（2x1-3）=x2-x1=，（**），∴由（2）知，2=＜，把上式（**）代入化简可得＞2，即x1+x2＞5解析：（1）先求导，再判断函数的单调性，根据单调性即可求出函数的最小值．（2）借助（1）的结论可得由b＞a＞0，得＞1，进而ln＞，化简整理可得．（3）由==m，化简整理，结合（2）的结论即可证明本题考查了导数和函数单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，属于中档题22.答案：解：（1）由C2：ρ2-2ρcosθ-=0，可得x2+y2-2x-=0，即C2是圆心（1，0），半径为的圆；又C3：ρ（cosθ+sinθ）=，即C3是一条直线，圆心（1，0）到直线C3的距离d==＜，即d＜r，所以圆C2与直线C3相交．（2）由tanα=（0≤α＜π），有sinα=，cosα=，由，得ρ2-ρ-=0，解得ρ1=2，ρ2=-（舍去），由，解得ρ3=1，故|MN|=|ρ1-ρ3|=1．解析：（1）将C2，C3化成直角坐标方程后，利用圆心到直线的距离与半径的大小比较得到直线与圆的位置关系；（2）联立极坐标方程解得M，N的极径，作差即得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|x+5|-|x-4|≥x+1⇔或或，解得x≤-10或0≤x＜4或4≤x≤8，于是原不等式的解集为（-∞，-10]∪[0，8]．（2）易知|x+5|-|x-4|≤|（x+5）-（x-4）|=9，即M=9，所以（a+1）（b-1）=9，即9=（a+1）（b+1）=[（）2+1][（）2+1]≥（+1）2．于是+1≤3，解得ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立．即ab的最大值为4．解析：（1）分3段去绝对值解不等式组，再相并可得；（2）先根据绝对值不等式的性质可得M=9，再根据柯西不等式可得ab的最大值．本题考查了绝对值不等式的解法以及柯西不等式，属中档题．。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)-含详细答案
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）含详细答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=()A. {x|−4<x<3}B. {x|−4<x<−2}C. {x|−2<x<2}D. {x|2<x<3}2.设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则()A. (x+1)2+y2=1B. (x−1)2+y2=1C. x2+(y−1)2=1D. x2+(y+1)2=13.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm5.函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[−π,π]的图象大致为()A. B.C. D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. 516B. 1132C. 2132D.11167.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2|b⃗ |，且(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68.下图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入()A. A=12+AB. A=2+1AC. A=11+2AD. A=1+12A9.记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4=0，a5=5，则()A. a n=2n−5B. a n=3n−10C. S n=2n2−8nD. S n=12n2−2n 10.已知椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为()A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=111.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(π2,π)单调递增③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为________．14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1=13，a 42=a 6，则S 5=________．15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是 ．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ． (1)求A ；(2)若√2a +b =2c ，求sin C ．18. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点． (1)证明：MN//平面C 1DE ；(2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值．19. 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x轴的交点为P ．(1)若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；(2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|AB|．20.已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：)存在唯一极大值点；(1)f′(x)在区间(−1,π2(2)f(x)有且仅有2个零点．21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2，…，7)，其中a=P(X=−1)，b=P(X=0)，c= P(X=1).假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，∴M∩N={x|−2<x<2}．故选C．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模、复数的几何意义，属基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据|z−i|=1即可得解．【解答】解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，∴z=x+yi，∴z−i=x+(y−1)i，∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，∴x2+(y−1)2=1，故选C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得log20.2<0，20.2>1，0<0.20.3<1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：a=log20.2<log21=0，b=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴c=0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b，故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．充分运用黄金分割比例，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12可得咽喉至肚脐的长度小于√5−12=√5−1≈42cm，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12，可得肚脐至足底的长度小于26+52√5−1√5−12≈110，即有该人的身高小于110+68=178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×√5−12≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的作法及函数的奇偶性，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题．由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A，然后计算f(π)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．【解答】解：∵f(x)=sinx+xcosx+x2，x∈[−π,π]，∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴f(x)为[−π,π]上的奇函数，因此排除A；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C，故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数n=26=64，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m=C63=20，则该重卦恰有3个阳爻的概率p=mn =2064=516．故选A．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．由(a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =0，进一步得到|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >−b⃗ 2=0，然后求出夹角即可． 【解答】 解：∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=|a ⃗ ||b ⃗ |cos <a ⃗ ,b ⃗ >−b ⃗ 2=0， ∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=|b⃗ |2|a ⃗ ||b⃗ |=12，∵<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴<a ⃗ ,b ⃗ >=π3，故选B ． 8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A 的值，观察规律即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： A =12，k =1；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12，k =2；满足条件k ≤2，执行循环体，A =12+12+12，k =3；此时，不满足条件k ≤2，退出循环，输出A 的值为12+12+12，观察A 的取值规律可知图中空白框中应填入A =12+A ． 故选A ． 9.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则有{4a 1+6d =0a 1+4d =5，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n 项和即可． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4=0，a 5=5，得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5，∴{a 1=−3d =2， ∴a n =2n −5，S n =n (−3+2n−5)2=n 2−4n ，故选：A ．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义以及方程、余弦定理，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a=√3，b=√2，可得椭圆的方程．【解答】解：∵|AF2|=2|BF2|，∴|AB|=3|BF2|，又|AB|=|BF1|，∴|BF1|=3|BF2|，又|BF1|+|BF2|=2a，∴|BF2|=a2，∴|AF2|=a，|BF1|=32a，则|AF2|=|AF1|=a，所以A为椭圆短轴端点，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2=4−2a22a，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得1a +4−2a22a=0，解得a2=3，∴a=√3，b2=a2−c2=3−1=2．所以椭圆C的方程为：x23+y22=1，故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的性质分别进行判断即可．【解答】解：f(−x)=sin|−x|+|sin(−x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，且f(x)的定义域为R，则函数f(x)是偶函数，故①正确；当x∈(π2,π)时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx，则f(x)=sinx+sinx=2sinx为减函数，故②错误；当0≤x≤π时，f(x)=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx，由f(x)=0，得2sinx=0，即x=0或x=π，由f(x)是偶函数，得在[−π,0)上还有一个零点x=−π，即函数f(x)在[−π,π]有3个零点，故③错误；当sin|x|=1，|sinx|=1时，f(x)取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，是中档题．设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求外接球O的体积．【解答】解：设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x，EC=y，因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF=12PB=x，AE=x，在△PAC中，cosθ=4x2+4−4x22×2x×2=12x，在△EAC中，cosθ=x2+4−y22×2x，整理得x2−y2=−2，①因为△ABC是边长为2的正三角形，所以CF=√3，又∠CEF=90°，则x2+y2=3，②，由①②得x=√22，所以PA=PB=PC=√2，所以PA2+PB2=4=AB2，即PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PB⊥PC，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√2+2+2=√6，所以球O的体积为．故选D．13.【答案】y=3x【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，属基础题．对y=3(x2+x)e x求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．【解答】解：∵y=3(x2+x)e x，∴y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3e x(x2+3x+1)，∴当x=0时，y′=3，∴y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线斜率k=3，∴切线方程为：y=3x．故答案为y=3x．14.【答案】1213【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，属于基础题．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即q6a12=q5a1，解得q=3，则S5=13(1−35)1−3=1213，故答案为1213．15.【答案】0.18【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．【解答】解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，第六场一定是甲胜，甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p 1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p 2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p 3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：p 4=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054，则甲队以4：1获胜的概率为：p =p 1+p 2+p 3+p 4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18． 故答案为：0.18． 16.【答案】2【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F 1B ⊥OA ，可得一条渐近线方程的倾斜角为，从而可得，进而求出离心率．【解答】 解：如图，∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB ， ∴OA ⊥F 1B ，则△AOF 1≌△AOB ， 则，所以一条渐近线的斜率为，所以e =c a =√1+b 2a 2=2，故答案为：2．17.【答案】解：(1)∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ．则sin 2B +sin 2C −2sinBsinC =sin 2A −sinBsinC ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3．(2)∵√2a +b =2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC ，即√62+√32cosC +12sinC =2sinC ，即√62+√32cosC −32sinC =0， 即sin(C −π6)=√22，，则，∴C −π6=π4，C =π4+π6， ∴sinC =sin(π4+π6)=sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题． (1)由正弦定理得：b 2+c 2−a 2=bc ，再由余弦定理求出A ．(2)由已知及正弦定理可得：sin(C −π6)=√22，可解得C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．18.【答案】(1)证明：如图，过N 作NH ⊥AD ，连接BH ，则NH//AA 1，H 是AD 中点，且NH =12AA 1， 又MB//AA 1，MB =12AA 1，∴四边形NMBH 为平行四边形，则NM//BH ，由H 为AD 中点，而E 为BC 中点，∴BE//DH ，BE =DH ，则四边形BEDH 为平行四边形，则BH//DE ， ∴NM//DE ，∵NM ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， ∴MN//平面C 1DE ；(2)解：以D 为坐标原点，以平面ABCD 内垂直于DC 的直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则N(√32,−12,2)，M(√3,1，2)，A 1(√3,−1,4)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,0)，NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,2)， 设平面A 1MN 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y =0m⃗⃗⃗ ⋅NA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x −12y +2z =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,−1)， 又平面MAA 1的一个法向量为n ⃗ =(1,0,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155． ∴二面角A −MA 1−N 的正弦值为√105．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．(1)过N 作NH ⊥AD ，证明NM//BH ，再证明BH//DE ，可得NM//DE ，再由线面平行的判定可得MN//平面C 1DE ；(2)以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面A 1MN 与平面MAA 1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −MA 1−N 的正弦值．19.【答案】解：(1)设直线l ：y =32x +t ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由题意可得F (34,0)，故|AF |+|BF |=x 1+x 2+32， 因为|AF|+|BF|=4， 所以x 1+x 2=52， 联立{y =32x +t y 2=3x，整理得9x 2+12(t −1)x +4t 2=0，由韦达定理可知，x 1+x 2=−12(t−1)9，从而−12(t−1)9=52，解得t =−78，所以直线l 的方程为y =32x −78．(2)设直线l ：y =32x +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2， 联立{y =32x +m y 2=3x，整理得y 2−2y +2m =0，由韦达定理可知，y 1+y 2=2，又y 1=−3y 2，解得y 1=3,y 2=−1， 代入抛物线C 方程得，x 1=3,x 2=13， 即A (3,3)，B (13,−1)，故|AB |=√(3−13)2+(3+1)2=4√133．【解析】本题考查了抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)根据韦达定理以及抛物线的定义可得．(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得y 1=−3y 2，由韦达定理可得y 1+y 2=2，从而解出A 、B 两点坐标，使用弦长公式计算即可．20.【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)， 令f′(x )=ℎ(x)=cosx −11+x ， ℎ′(x )=−sinx +1(1+x)2，令g(x)=−sinx +1(1+x)2，则g′(x)=−cosx −2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立， ∴ℎ′(x )在(−1,π2)上为减函数，又ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x )在(−1,π2)上存在唯一的零点x 0，结合单调性可得，f′(x )在(−1,x 0)上单调递增，在(x 0,π2)上单调递减， 可得f′(x )在区间(−1,π2)存在唯一极大值点； (2)由(1)知，当x ∈(−1,0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )<f′(0)=0，则f(x)单调递减； 当x ∈(0,x 0)时，f′(x )单调递增， 则f′(x )>f′(0)=0，f(x)单调递增； 由于f′(x )在(x 0,π2)上单调递减， 且f′(x 0)>0，，由零点存在定理可知，函数f′(x )在(x 0,π2)上存在唯一零点x 1，结合单调性可知， 当x ∈(x 0,x 1)时，f′(x )单调递减，则f′(x )>f′(x 1)=0，故f(x)单调递增； 当x ∈(x 1,π2)时，f′(x )单调递减， 则f′(x )<f′(x 1)=0，f(x)单调递减． 当x ∈(π2,π)时，cosx <0，−11+x <0， 于是f′(x )=cosx −11+x <0，f(x)单调递减， 其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)=1−ln2.6>1−lne =0，f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0． 于是可得下表：结合单调性可知，函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2，当x∈[π,+∞)时，f(x)=sinx−ln(1+x)<1−ln(1+π)<1−ln3<0，因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．【解析】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力，难度较大．(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)，求出原函数的导函数，令f′(x)=ℎ(x)=cosx−11+x，进一步求导，得到ℎ′(x)在(−1,π2)上为减函数，结合ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，由零点存在定理可知，函数ℎ′(x)在(−1,π2)上存在唯一得零点x0，结合单调性可得，f′(x)在(−1,x0)上单调递增，在(x0,π2)上单调递减，可得f′(x)在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；(2)由(1)知，当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,x0)时，f′(x)> 0，f(x)单调递增；由于f′(x)在(x0,π2)上单调递减，且f′(x0)>0，，可得函数f′(x)在(x0,π2)上存在唯一零点x1，结合单调性可知，当x∈(x0,x1)时，f(x)单调递增；当x∈(x1,π2)时，f(x)单调递减．当x∈(π2,π)时，f(x)单调递减，再由f(π2)>0，f(π)<0.然后列x、f′(x)与f(x)的变化情况表得答案．21.【答案】(1)解：X的所有可能取值为−1，0，1．P(X=−1)=(1−α)β，P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)，P(X=1)=α(1−β)，(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8，∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2，…，7)，故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1)，即p i+1−p i=4(p i−p i−1)，又∵p1−p0=p1≠0，∴{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得，p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13p1，∵p 8=1，∴p 1=348−1，∴p 4=(p 4−p 3)+(p 3−p 2)+(p 2−p 1)+(p 1−p 0)+p 0=44−13p 1=1257．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列的应用，考查离散型随机变量的分布列，属于难题． (1)由题意可得X 的所有可能取值为−1，0，1，再由相互独立试验的概率求P(X =−1)，P(X =0)，P(X =1)的值，则X 的分布列可求；(2)(i)由α=0.5，β=0.8结合(1)求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1，得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1)，由p 1−p 0=p 1≠0，可得{p i+1−p i }(i =0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p 1的等比数列；(ii)由(i)可得，p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=348−1，进一步求得p 4=1257，即可求解． 22.【答案】解：(1)由{x =1−t 21+t 2y =4t 1+t 2(t 为参数)，得{x =1−t 21+t 2y 2=2t1+t2, 两式平方相加，得x 2+y 24=1(x ≠−1)，∴C 的直角坐标方程为x 2+y 24=1(x ≠−1)，由2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，得2x +√3y +11=0，即直线l 的直角坐标方程为2x +√3y +11=0．(2)设与直线2x +√3y +11=0平行的直线方程为2x +√3y +m =0，联立{2x +√3y +m =04x 2+y 2−4=0,得16x 2+4mx +m 2−12=0． 由Δ=16m 2−64(m 2−12)=0， 得m =±4，∴当m =4时，直线2x +√3y +4=0与曲线C 的切点到直线2x +√3y +11=0的距离最小， 即为直线2x +√3y +4=0与直线2x +√3y +11=0之间的距离√22+3=√7．【解析】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．(1)把曲线C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入2ρcosθ+√3ρsinθ+11=0，可得直线l 的直角坐标方程．(2)写出与直线l 平行的直线方程为2x +√3y +m =0，与曲线C 联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式等于0求得m ，转化为两平行线间的距离求C 上的点到l 距离的最小值．23.【答案】证明：(1)分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．要证1a +1b+1c≤a2+b2+c2；因为abc=1．即证：abca +abcb+abcc≤a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即证：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；即证：2a2+2b2+2c2−2bc−2ac−2ab≥0，即证(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．∴(a−b)2≥0；(a−c)2≥0；(b−c)2≥0恒成立；当且仅当：a=b=c=1时取等号．即(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．(2)已知a，b，c为正数，且满足abc=1．(a+b)为正数；(b+c)为正数；(c+a)为正数；(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)；当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc=1．a+b≥2√ab；b+c≥2√bc；c+a≥2√ac；当且仅当a=b，b=c，c=a时取等号；即：a=b=c=1时取等号；∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)⋅(b+c)⋅(c+a)≥3×8√ab⋅√bc⋅√ac=24abc=24；当且仅当a=b=c=1时取等号；故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证．故得证．【解析】本题考查基本不等式的运用，分析法和综合法的证明方法，属于中档题．(1)利用基本不等式和“1”的运用可证；(2)利用综合法可证．。
(完整版)最新2019年高考理科数学模拟试题及答案解析(九)
最新2019年高考数学模拟试题及答案解析（理科版）高考理科数学模拟试题精编（九）（考试用时：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
2. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2i —1. 已知复数z= *「（i为虚数单位），则z・z =（）A. 2B. 2C. 1D.12. 已知集合A = {x € R|x2—2x —3< 0}, B = {x|x >a}, A A B = ?，则实数a 的取值范围是（）A. [3，+x ）B. （3，+x）C. [ —1 ,+x ）D. （—1,+x ）3. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为 3升，下面三节的容积之和为 4升，求中间两节的容 积各为多少？ ”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）5. 已知实数3、m 、普依次构成一个等比数列，则圆锥曲线 x 2 + m = 1的离 心率为（）A.-^3或 56. 2017年春节联欢晚会上五位中国书法家沈鹏、李铎、张海、苏士澍、孙 伯翔书写了祝寿福、富裕福、健康安宁福、亲人福、向善福，若将这五个福排 成一排，其中健康安宁福、亲人福不排两端，则不同的排法种数为（ ）A . 33B . 36C . 40D . 48 x > 07. 已知 M （-4,0）, N （0,— 3）, P （x , y ）的坐标 x , y 满足 y >03x + 4y < 12则厶PMN 面积的取值范围是（）c 25A . [12,24]B . [12,25]C . [6,12]D. 6,三B .2 升C.113升D.109 "334.已知几何体的三视图 （单位：cm ）如图所示，则该几何体的内切球的半径A.2C. 3 C. 5 A.8. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数 N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为N 三n(mod m), 例如11三2(mod 3).现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于(9.今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九 十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙,各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以 益我，钱成五十六，则乙手上有多少钱？()A . 28B . 32C . 56D . 7010 .已知P 是厶ABC 所在平面外一点，M , N 分别是AB , PC 的中点.若 MN = BC = 4, PA = 4 3，则异面直线 PA 与MN 所成角的大小是()A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°11 .已知D , E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点 P 在线段DE 上，若AP =12.已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f ' (x),若对于任意实数x ,A . 21 D . 24xAB + yAC ，则xy 的取值范围是(1 41 1 A. 9，9B.9，4eq 2D.2 1 9， 4B .有f(x)>f‘ (x),且y= f(x)—1为奇函数，则不等式f(x)v3的解集为()A . (— = , 0) C . (— x, e4)B . (0,+x)D . (e4, +乂) 第H卷、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线13. ________________________________ 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取 3件, 若X 表示取到次品的次数，则 D(X)= ______________________________________ .1=1若S k <4 (2k — 1),则正整数k 的最小值为 ______________ .16.已知点P 是抛物线C ： y 2 = x 上的定点(P 位于第一象限)，动直线I : y3=—舌x + m(m v 0)与抛物线C 相交于不同的两点A,B ，若对任意的m € ( — ^, 0),直线PA , PB 的倾斜角总是互补，则点 P 的坐标是 ___________ .三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要 求作答.)(一)必考题：共60分. 17.(本小题满分12分)在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b, c ,2B — .c 2—且 cos 2 2 - -sin Bsin C =2—r(1)求角A ;⑵若a = 4,求厶ABC 面积的最大值.14.若 sin a — sin [3= 1 - 3 1-2 , cos a — cos 3= 2,贝y cos(a — 3 =.15.已知数列 仙｝是首项为32的正项等比数列, S n 是其前n 项和，且 S 7_ S 5S 5—S18. (本小题满分12分)龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3 000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015 年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12 000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：(表一)(1) 完成表一中的空位①〜④，并在答题纸中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的游客的人数；（2）完成表二，并判断能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50 岁以上”与“性别”相关；（表二）50岁以上50岁以下总计男生女生总计P(K2> k o)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k o 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82 8厶一2n ad—be2»亠(参考公式：—a+ b e+d a+e b+ d，其中n= a+b+e+d)（3）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含50岁）的人数为E,求E的分布列.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE丄平面CDE ,已知AE = DE = 2, F为线段DE的中点.（1）求证：BE //平面ACF ;（2）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（—2,0）,点B（2, ■2）在椭圆C上，直线y= kx（k工0）与椭圆C交于P, Q两点，直线AP, AQ分别与y轴交于点M , N.（1）求椭圆C的方程；⑵以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过,请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数f(x)= In(x +1) + 不(a€ R).⑴当a= 1时，求f(x)的图象在x= 0处的切线方程；(2) 当a v 0时，求f(x)的极值；1 2 n 一i(3) 求证：ln(n + 1)>歹+32+…+厂(n €N*).(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4 —4:坐标系与参数方程x = 一1 + cos 6在直角坐标系xOy中，直线I: y=x，圆C：( 6为参数),y= —2+ sin 6以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求直线I与圆C的极坐标方程；(2) 设直线I与圆C的交点为M , N，求△ CMN的面积.23. (本小题满分10分)选修4 —5:不等式选讲已知函数f(x) = 4—|x|—|x—3|.3(1) 求不等式fx + > 0的解集；1 1 1(2) 若p, q, r为正实数，且命+禹+ 7 = 4,求3p+ 2q+ r的最小值.高考理科数学模拟试题精编（九）班级：_________ 姓名：________________________ 得分: ______________请在答题区域内答题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13. ________ 14. __________ 15. _________ 16. _______________三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分）0.025am0,01 ■---------------- -- --------- ----O.OOJ --------------- --------- --------- 1 QJ0(f2 -------------------- ------------------ ―1O 10 20 30 40 50 60 70 «0 90 債的n20.（本小题满分12分）21.（本小题满分12分）请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.详解答案高考理科数学模拟试题精编（九）1. 解析：选B.通解：z^^L= 2i 1-i= 1 + i, z = 1-i, zG = 2,故1 + i 1 + i 1-i选B.优解：由题意知|z|= i = r-=p2,利用性质z -z = |z|2，得z -z = 2,故|1 + i| V2选B.2. 解析：选A. \A = {x 9R|X2—2x —3< 0} = {x|—1<x< 3}, B= {x|x>a} ,A A B =?,/a>3,故选 A.3. 解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1, a2,…，a9,依a1 + a2 + a3 + a4 = 3题意有，因为a2 + a3= a1+ a4, a7 + a9 = 2a8, 故a2 + a3+ a8 a7+ a8+ a9= 4=2+4= ¥.选A.4. 解析：选B.由三视图知该几何体为四棱锥，如图，可知PO=...22— 1 = 3, V = 1X S ABCD X P0= f x 4X 3 = 4§3，四棱锥1 1的全面积S= 22 + 2X2X 2X4= 12,设四棱锥的内切球的半径为r,可知3X r x S=V,即f x r x 12= 竽，解得r =于.故选B.5. 解析：选A.由题意得m=±4,当m = 4时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，离心率为今当m= —4时，曲线为焦点在x轴上的双曲线，离心率为-j5= 5, 故选A.6. 解析：选B.解法一：特殊元素优先法，分为两步：第一步是健康安宁福、亲人福不排两端，从中间三个位置中任选两个位置排这两个福，有A23种排法；第二步，将余下的三个福排在其余的三个位置，有A33种不同的排法.由分步乘法计数原理得，有A23 A33= 36种不同的排法.解法二：特殊位置优先法，分为两步：第一步是从祝寿福、富裕福、向善福这三个福字中选两个福字排两端，有A23种排法；第二步，将剩下的三个位置用其余三个福排满，有A33种不同的排法.由分步乘法计数原理得，有A23 A33=36种不同的排法.x> 07. 解析：选c.作出不等式组y》0表示的平面区域如图中阴影部3x + 4y< 12分所示.又过点M( —4,0), N(0,—3)的直线的方程为3x + 4y+ 12 = 0,而它与、一|12 +12| 24直线3x + 4y= 12平行，其距离d= ；----- = 24，所以当P点在原点O处时，△冷32 + 42 51PMN的面积最小，其面积为△ OMN的面积，此时S QMN = 2^ 3X 4= 6;当P点在线段AB上时，^MN的面积最大，为2^ , 32 + 42 X 24= 12,故选C.8. 解析：选C.n = 21,21 = O(mod 3); n = 22,「22= 1(mod 3); n = 23,「23 =2(mod 3); 23= 3(mod 5)，二输出门=23.y+zx + _= 90x + z9. 解析：选B.设甲、乙、丙三人各持有x, y, z钱，贝S y+一= 70 ,x + y z+2 = 56x= 72解方程组得y= 32 ，所以乙手上有32钱.z= 4110. 解析：选A.取AC的中点为0,连接0M, 0N,则ON AP, ON = qAP,1OM /BC,OM =尹C,所以异面直线PA与MN所成的角为Z ONM，在8NM中，依题意得，OM = 2, ON = 2 3, MN = 4,由勾股定理可知OM JON,贝卩ZONM =30° 选A.11. 解析：选D.由题意，知P, B, C三点共线，则存在实数入使PB =就2 1一3=疋—3，所以A B—A P=P B = ?BC = X AC一A B)，所以A P=—2AC + (入+14. 解析：由 sin a — sin 3= 1 —f,得(sin a — sin p 2= 1—2，即 sin 2a7 1+ sin 2 [3— 2sin osin [3= 4— 3, ①由 cos a — cos [3= 2，得 cos? a+ cos ? p — 2cosocos2sin o (sin 3+ 2cos o (cos 3= ,3,即 cos(a — 3= ~^.1)AB ，贝「 入，所以 x + y = 1 且3< x < 3 于是 xy = x(1 — x) = — x —舟 2 x =入+1 3 3 21 1 1 12 2+玄，所以当x =㊁时，xy 取得最大值4当x =㊁或x =㊁时，xy 取得最小值©,所 以xy 的取值范围为9, 4，故选D.12.解析：选B.因为y =f(x)- 1为奇函数，且定义域为R ，所以0= f(0)—1, 所以 f(0)= 1.f x 设 h(x) ==,则 h ‘ (x) = e x e x fx — f x ,因为f(x) >f ' (x),所以函数h(x)e x 2是R 上的减函数，所以不等式 f(x)v e x 等价于呼v 1=宇，所以x >0,故选e x e 0B.113.解析：・.X 〜B 3, 4 ,1 3 9•D(X)= 3X 4x 3=花①+②得,15.解析:S7 —S5 a6 + a7 1 1 生=ai^=q2=4,/q==1g A 步 A <n)「A=4-(6 分)32 1 — 2 k 1又'.S k = 1 = 64— 64 2 k < 4 (2k — 1).i 2化简得：22k — 17 2k + 16> 0,/2k > 16,2k W 1(舍)，「k > 4. 答案：416.解析：由题意知，直线PA , PB 的斜率均存在，设点 P(t 2, t)(t >0), A(X A , y A ), B(X B , y B )，直线PA 的斜率为k ，则直线 y 2=x , PB : y —1=— k(x —12)，联立方程得y —1= k x —12 ,cos B — C 2PA ： y —1化简得 k 2(x —12)2 + (2tk1 — 2tk 1)(x — b)= 0,又 X A 工t 2,所以 X A —12=k — 2tk 2 1 — 2tk k 2 , yA —1=厂，同理,1+ 2tk — k — 2tk 2 — 1— 2tkx B — t2 = k 2, y B — t= —k2 — = —k —,于是y A — y Bk AB = =X A — X By A — t — y B — t 2kX A —12 — X B —12 — 4tk 2tt = 3,贝S P(3, 3).答案：P(3,3)B —C 17.解：(1)由 co&j —2—V 2—sin B sin C = 4，得1g A 步 A <n)「A=4-(6 分)2— sin B sin C =— 4 , (2 分)，cos. + C)一于，(4分)(2)由余弦定理a2 = b2 + C2 —2bccos A,得16= b z + C2 —2bc>(2 —2)bc,当且仅当b= c时取等号，即bc< 8（2 + 2）. （10分）「Sm Bc = |bcsin A = ^bc w4（ 2 + 1）,即△KBC面积的最大值为4（. 2 + 1）. （12分）18. 解：（1）完成表（一）:15; 0.15; 7; 8.（2 分）完成以下频率分布直方图：因为年龄在30岁以下的频率为0.1 + 0.15 + 0.25= 0.5,以频率作为概率，估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下的人数为12 000X0.5= 6 000.（6 分）（2）完成2X2列联表如下:50岁以上50岁以下总计男生54045女生154055总计2080100100 5X 40—40X 15 2 400© 的观测值k= 20X 80X 55X 45 =4.040<5.024,所以没有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关.（8分）（3）由分层抽样应从这10人中抽取到50岁以上的人的人数为10X 0.2= 2人，50岁以下的人的人数为8人，故E的所有可能的取值为0,1,2.C02C28 28 C12C18 16 C22C08 1 ,, P（E= °）= "C^ = 45, P（= 1）= = 45, P（E= 2）= -C1T = 45，故E的分布列为E012P 28161 454545（12 分）19. 解：（1）证明：连接BD和AC交于点O,连接OF，因为四边形ABCD 为正方形，所以O为BD的中点.因为F为DE的中点，所以OF /BE.（2分）因为BE?平面ACF , OF?平面ACF，所以BE //平面ACF.（4分）（2）因为AE丄平面CDE , CD?平面CDE，所以AE JCD.E(2,0,0), F(1,0,0), A(2, 0,2), D(0,0,0).因为AE丄平面CDE , DE?平面CDE，所以AE IDE.以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，则因为AE = DE = 2,所以AD = 2 .'2.因为四边形ABCD为正方形，所以CD =2 2,所以 C(0,2 2, 0).由四边形ABCD 为正方形，得DB = DA + DC = (2,2 2, 2),所以B(2,2 2, 2). (6 分)设平面BEF 的一个法向量为n i = (x i , y i , z i ),又知BE = (0, — 2 2, — 2),n i BE = 0,— 2^/2y i — 2z i = 0,FE = (1,0,0),由？令 y i = 1,得 x i = 0,乙n i FE = 0xi= 0,=—2,所以 n i = (0,1,— .2). (8 分)设平面BCF 的一个法向量为n 2 = (X 2, y 2, Z ，又知BC = (— 2,0,— 2), CF=(1,— 2 2, 0),—2x 2 — 2z 2 = 0,_ _- 令 y 2= 1,得 X 2 = 2 2, Z 2= — 2 2,X 2 — 2.2y 2 = 0,所以 n 2= (2 2, 1,— 2 2). (10 分)设平面BCF 与平面BEF 所成的锐二面角为 0,又cos <m, n 2>n 2 BC = 0, 由n 1 n 2 =|n 1||n 2| =解得a 2= 8, b 2 = 4,二椭圆C 的方程为X8 +罗=1.(5分)(2)依题意点A 的坐标为(-2 2, 0),设P(x o, y o )(不妨设x o >0),则Q( — x o ,—y 0)，由 x 2 v 2 得 X 。
2019届贵州省高三数学理模拟试卷
实用标准贵阳市2018年高三适应性考试(二)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.???5?Zi2ZiZZ对应的，则在复平面内，复数是虚数单位的共轭复数为(，且1.复数)点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 ????????x?2y?x,P?x,yyy?k?,Qk?PQ的取值范围是,己知那么2.设集合,）（ ?????????10-?，，?0，+0-?，+D．A． B． C．AO BEBEABCACO?b?a,ACAB?=是3.边的中点，如图，的中线，在则,中，是边若（）11111111a?ba?ba?ba?b D C．． B．．A222442444.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再贏两局才能得到冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）1323 B．A． C. D．3425?2????????????sin??tan2n?,0??已知5.（，则）且, ??32??552552-- D B．． C.A．2525??nm是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一已知6.和是两条不同的直线，和文档．实用标准??m的是（定能推出）????nm?m//m?aa/n?a?/且 C. B A．且．且?n//m?n D．且x?2??3x?y?1yx,,满足约束条件则下列不等式恒成立的是（）7.设实数??y?x?1?x?3y?4x?2y?82x?y??1． C.B． DA．?????????03fxx???0,0ff?R则上的函数,内是增函数，又8.定义在是奇函数，且在的解集是（）????????????3+??，-3-3，0+?3-?，-，30，3，-． C.．A B????03，，-30．D?????????0?fxA?Asin?x?0,的图象如图所示，9.则图中的阴影部分的面积若函数??6??为（）11332-2-．．A． B C. D424210.元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图x0?x=（表达如图所示，即最终输出的时，问一开始输入的）文档．实用标准311537．． C. D BA．328164??????2x)xf'?x0,,f'(f0x??ax?bx1f个交轴恰有与的导函数为-11.已知二次函数????0?kff'1k恒成立的实数点则使）的取值范围为（55??kk2?kk?2D． B C.．A．222ACAE?CD2AB?EACABCD双曲线过,,点中在线段如图，已知梯形12.且上,5e BEA、C、D、）的值为（为焦点; 则双曲线离心率三点，以3572 ．A． B C.． D22分）第Ⅱ卷（共90 分，将答案填在答题纸上）分，满分二、填空题（每题520文档．实用标准72??4x?xx．用数字作答的展开式中，)13.的系数是____.(??x??，将底面为矩形，一棱14.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,5x3．=. ，则图中视图中如图所示，已知该几何体的体积为6???10a??CC与此双曲线的渐近线相切，的圆心为双曲线设圆且圆的右焦点，15.22yx22a a C0?x?3yl:则若圆．的值为被直线截得的弦长等于2,、bCa、AABC?ABC、B、? c3?sinA,c2sinB?所对的边为面积的最16.在中，,,则．大值为解答应写出文字说明、证明过程或演.小题，共70分三、解答题（本大题共6 ）算步骤.?????2na N?n?1,n?Sn?a3a?Sn.项和，为数列，且的前17.n1n??a: (I)求数列的通项公式n1??nbT?b的前，求数列Ⅱ)设项和(nnn aa1nn?AA//CC/AA'AABB/且18.已知如图1中，,12的正方形,所示，在边长为11111CCBB,'AABB,CCBC?4，3AB?QP、折叠，使得将该正方形沿,分别交,于点,11111CABABCAAA'A?AC上有一点,与重合，构成如图2 所示的三棱柱在该三棱柱底边11111??1?0k??AMkMC M:中解决下列问题满足,请在图; 2文档．实用标准3?kBMAPQ; //时，平面(I)求证:当430kBMAPQ，求所成角的正弦值为(Ⅱ)若直线的值与平面1580: 甲公司规定底薪19.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下件没有提成，元，日销售量不超过45元; 乙公司规定底薪120元，每销售一件产品提成1.8元超过45件的部分每件提成n y的函数关分别表示为日销售件数: 元(I)请将两家公司各一名推销员的日工资) (单位;系式得到如下天的销售情况进行统计，从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100(II)YX将，元),乙公司该推销员的日工资为(单位条形图。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
全国通用-2019年最新高考数学理科第三次高考模拟训练试题及答案解析
最新高考数学三模试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为______．2．计算：=______．3．已知||=2，|=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=______．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=______．5．关于x方程=0的解为______．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为______．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=______．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为______．（结果用数值表示）9．圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为______．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为______．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围______．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=______．13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1=f（a n），n∈N*，若要使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围______．14．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E：+y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F：+=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G：+y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆H：+=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．23．已知无穷数列{a n}满足a n+1=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，且{a n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为y=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．【解答】解：由，得x2=﹣4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．2．计算：= 1 ．【考点】极限及其运算．【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．【解答】解：===1．故答案为：1．3．已知||=2，|=3，且、的夹角为，则|3﹣2|= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵||=2，|=3，且、的夹角为，∴•=||||cos=2×=3，则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36，则|3﹣2|=6，故答案为：6．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==．故答案为：．5．关于x方程=0的解为x=或x=，k∈Z ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．【分析】由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．【解答】解：由=0，得4sinxcosx﹣1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为{﹣1，0，} ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，∴若B⊆A，则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．若a≠0，则B={x|ax﹣1=0}={}，要使B⊆A，则=﹣1或=3，解得a=﹣1，或a=．综上a=0或a=﹣1或a=，∴由a的值构成的集合为{﹣1，0，}．故答案为：{﹣1，0，}．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种，则其概率为；故答案为．9．圆心是C（a，0）、半径是a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由已知可得直角坐标方程，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入即可得出极坐标方程．【解答】解：圆心是C（a，0）、半径是a的圆的直角坐标方程为：（x﹣a）2+y2=a2，化为x2+y2﹣2ax=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得极坐标方程：ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ．故答案为：ρ=2acosθ．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得∠，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在Rt△D1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接BD，BD1，则∠，在底面正方形中，由AB=1，得BD=，在Rt△D1DB中，由BD=，∠，求得，∴A1A=C1C=D=，则，∴多面体的体积为V=．故答案为：．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围{0}∪[，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围．【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k﹣2）x+1=0，（1）若k=0，则﹣2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意．（2）若k≠0，△=（2k﹣2）2﹣4k2=4﹣8k．∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，∴△=4﹣8k≤0，解得k．∴k或k=0．故答案为：{0}∪[，+∞）．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）= ．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理；极限及其运算．【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，进而得到答案．【解答】解：当0≤x＜2时，（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，当x≥2时，函数f（x）=f（x﹣2）表示函数的周期为2，故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，由于g（x）的零点个数为2n+1则直线y=k n x与第n+1个半圆相切，圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，即有k12+k22+k32+…+k n2=．∴（k12+k22+k32+…+k n2）=，故答案为：13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1=f（a n），n∈N*，若要使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围{﹣9}∪[﹣3，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥1．{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，再对a1讨论，①当a1＜﹣5时，②若﹣5≤a1＜﹣3，③若a1≥﹣3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．【解答】解：当x≥﹣3时，f（x）=3x+15﹣2x﹣6=x+9；当﹣5≤x＜﹣3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；当x＜﹣5时，f（x）=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9．当a n≥﹣3时，a n+1﹣a n=9；当﹣5≤a n＜﹣3时，a n+1﹣a n=4a n+21≥4×（﹣5）+21=1；当a n＜﹣5时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣9＞﹣2×（﹣5）﹣9=1．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥1．即a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，从而a n+1=f（a n）=a n+9，由于{a n}为等差数列，因此公差d=9．①当a1＜﹣5时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣9，又a2=a1+d=a1+9，故﹣a1﹣9=a1+9，即a1=﹣9，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣3，∴a n+1=f（a n）=a n+9，而a2=a1+9，故当a1=﹣9时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣5≤a1＜﹣3，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d=a1+9，∴5a1+21=a1+9，得a1=﹣3，应舍去；③若a1≥﹣3，则由a n≥a1得到a n+1=f（a n）=a n+9，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3，+∞）．故答案为：{﹣9}∪[﹣3，+∞）．14．设整数n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：（n﹣2）•2n﹣1+1 ．【考点】数列的求和；元素与集合关系的判断．【分析】设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a n．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为：++…+=2k﹣1，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：++…+=2n﹣k﹣1，从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）=2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n=（2n﹣1﹣2k﹣1）=（n﹣1）•2n﹣1﹣=（n﹣2）•2n﹣1+1．故答案为：（n﹣2）•2n﹣1+1．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“a2＞b2”，通过举反例得到“a2＞b2”成立推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a＜b＜0”则有“a2＞b2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a2＞b2”但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选A．16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，利用余弦定理求出|PF1|•|PF2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵双曲线方程﹣y2=1（a＞0），∴b=1，不妨设P是双曲线的右支上的一个点，则由双曲线的定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵，∠F1PF2=，∴4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|•|PF2|=（|PF1|﹣|PF2|）2+3|PF1|•|PF2|，即4c2=4a2+3|PF1|•|PF2|，即3|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2=4，则|PF1|•|PF2|=，∴=|PF1|•|PF2|sin=××=，故选：C．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a 表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr=2×=．∴r=．设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤）．则截面等腰三角形的高h==．∴截面面积S===≤=2．当且仅当即a=2时取等号．故选：B．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）求出，由a1•a2∉{a n}，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”．【解答】解：（1）∵{a n}是a1=3，q=2的等比数列，∴，由题意得a1•a2=3×6=18∉{a n}，故命题（1）错误；（2）∵，∴，故命题（2）正确；（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．【解答】（1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…∴…（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵PA=AB=1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴BC⊥AF…由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分所以：．…4分当且仅当x=y=100时，等号成立．所以：当x=y=100米时，平方米．…6分（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy…8分=x2+2+x=x2﹣200x+40000=（x﹣100）2+30000．…10分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax2﹣+1＞0恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．【解答】解：（1）f（x）＞0⇔ax2﹣+1＞0⇒a在x∈[1，2）上恒成立，∵x∈[1，2），∴x2∈[1，4），∈[，），则∈[﹣2，），∴a，则a的取值范围是[）；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴，，故①，或②或③．解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．综上，a的取值范围为[1，4]．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E：+y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F：+=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G：+y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆H：+=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用“相似椭圆”的定义，讨论s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；（2）求得A，D的坐标，可得直线l1与直线l2的方程，代入椭圆G的方程，运用判别式为0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆H的方程，设出椭圆H上的任意一点C（x0，y0），代入椭圆H的方程；设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理，可得M的坐标，代入椭圆E的方程即可得证．【解答】解：（1）显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s＞2时⇒s=4；当0＜s＜2时⇒s=1．则s=4或1；（2）易得，可得l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，依题意联立：⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0，又直线l1与椭圆G相切，则△1=0（又0＜λ＜1），即32k14﹣4（1+2k12）（4k12﹣2λ）=0，即|k1|=，依题意再联立：⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0，又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即16k22﹣4（1+2k22）（2﹣2λ）=0，即|k2|=，故|k1k2|=，即|k1|+|k2|≥2，当且仅当|k1|=|k2|时取到等号，此时λ=，所以当λ=时|k1|+|k2|取得最小值；（3）证明：显然椭圆E：=1，由=，可得t=4，即有椭圆H：=1．由椭圆H上的任意一点C（x0，y0），于是=1①设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），由CM⊥AB得x M=x0，又AM⊥BC⇒=﹣1，将x M=x0代入=﹣1，得x02=2﹣y0y M②由①②得y0=2y M．又x0=x M代入（1）得2=1，即△ABC的垂心M在椭圆E上．23．已知无穷数列{a n}满足a n+1=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，且{a n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（1）a3==+，解得a2=或，进而解得a1．（2）对p，q分类讨论，对n分类讨论，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（3）由题意，a n＞0，由a1=2，可得，解得，若数列{a n}是单调递减数列，则，可得，可得：对于任意自然数n，恒成立．由，由，解得．下面证明：当时，数列{a n}是单调递减数列．通过作差即可证明．【解答】解：（1）∵a3==+，解得a2=或，当时，，解得a1=1或4，当时，无解．∴a1=1或4．（2）若p=0，q≠0，．∴，∴当n为奇数时，；当n为偶数时，．若p≠0，q=0时，a n+1=p•a n，∴．（3）由题意，a n＞0，由a1=2，可得，解得，若数列{a n}是单调递减数列，则，可得，又有①∵，∴，即．由①可知，，∴，∴②∴对于任意自然数n，恒成立．∵，由，解得．下面证明：当时，数列{a n}是单调递减数列．当时，可得③由和，两式相减得，∵成立，则有a n•a n﹣1＞4p当时，，即④，由③④可知，当a n＜a n﹣1时，恒有a n+1＜a n，对于任意的自然数n，a n+1＜a n恒成立．∴实数p的取值范围是：．2016年9月28日。
2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i2.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}3.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a4+a10+a12=22，则S14=()A. 56B. 66C. 77D. 784.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π⩽x⩽π且x≠0)的图象大致是()．A. B.C. D.6.要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是()A. C93C52B. C103C52C. A103A52D. C104C527. 如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形．则这个三棱锥的外接球的表面积是( )A. 19πB. 28πC. 67πD. 76π8. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 39. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞) C. (−∞,−254)∪(−6,6)D. (−254,+∞)10. 已知A 、M 、B 三点共线，m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为( )．A. １２B. １３C. −１２D. −１３11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. √3D. √512. f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时f(x)+x ⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−4,0)∪(4,+∞)B. (−4,0)∪(0,4)C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0，则z =x −2y 的最小值是______．14. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=20，a 3+a 4=40，则a 5+a 6等于______ ． 15. (1)观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，，…，根据以上式子可以猜想：1+122+132+⋯+120162<______．(2)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2,…,9}.若|a −b|=1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．(3)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1(n =2,3,4，…)的分数的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，22n+1=______(n =2,3,4，…)． (4)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x 2f’(x)+1>0，f(1)=5，则不等式f(x)<1x +4的解集为______．16. 直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若a−c b−c =sinBsinA+sinC ．(1)求角A ；(Ⅱ)设m ⃗⃗⃗ =(sinB,cos2B)，n ⃗ =(2,1)，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD ． (1)证明：BC ⊥平面PDB ；(2)若AB =√2,PB 与平面APD 所成角为45°，求二面角A −PC −B 的大小．19. 动点P 到定点F(0,1)的距离比它到直线y =−2的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． (Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；20. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间(99,101]内，则为一等品；若长度在(97,99]或(101,103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)试估计该样本的平均数；(Ⅱ)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．21.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (I)写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (II)直线l 与曲线C 2交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =0时，解不等式f(x)>4；(2)若∃x ∈R ，使不等式|x −3|+|x −a|<4成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由z(1+i)=i −2， 得z =i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i 2=−12+32i ，则z .=−12−32i ． 故选：B ．由z(1+i)=i −2，得z =i−21+i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|−6<x <6}； ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质即可得出． 解：∵2a 4+a 10+a 12=22，∴4a 1+26d =22， ∴2a 1+13d =11，∴a 7+a 8=2a 1+13d =11， 则S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)=77．故选C ．4.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．5.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可．解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)是偶函数排除A．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x+cosx，令1x +cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f(π)=lnπ>1，故选D．6.答案：A解析：解：∵从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，∴每个学生被抽到的概率是615=25，∵按性别依此比例分层抽样∴应抽男生25× 10=4，应抽女生25× 5=2，∵某男生担任队长，∴不同的抽样方法数是C93C52，故选A．由题意知从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，得到每个学生被抽到的概率是615，因为按性别依此比例分层抽样，做出男女各需抽的人数，某男生担任队长，所以只抽三个男生即可，写出结果．本题是一个分层抽样与排列组合问题的综合题，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．7.答案：B解析：解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，由棱柱的底面边长为3，则底面半径为r=3×√33=√3，由棱柱的高为4，则球心距d=2，外接球的半径R=√r2+d2=√7，故这个三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=28π，故选：B由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：C解析：本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．9.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，作出函数y=g(x)=3x−|x2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，设g(x)=3x−|x2−4|，当x≥2或x≤−2时，g(x)=3x−|x2−4|，g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|，g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则m <−254或−6<m <6，即m ∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C10.答案：D解析：解：∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化为3(t +1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 与m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 比较可得：{3(t +1)=m −3t =1，解得t=−13．故答案为：−13．利用向量的三角形法则和平面向量的基本定理即可得出．本题考查了向量的三角形法则和平面向量的基本定理，属于基础题．11.答案：A解析：解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba(x−c)，与y=−ba x联立，可得交点M(c2,−bc2a)，∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，∴c24+b2c24a2=c2，∴b=√3a，∴c=√a2+b2=2a，∴e=ca=2．故选：A．已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．12.答案：D解析：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+x⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，所以ℎ(x)=xf(x)在x<0时单调递减，在x>0时递增，且ℎ(−4)=ℎ(4)=0，故选D.13.答案：−2解析：解：由x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z 2．联立{y =1x +2y −2=0，解得：C(0,1)． 由图可知，当直线y =12x −z 2过C(0,1)时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于0−2×1=−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：80解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，即40=20q 2,解得q 2=2，故a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2=40×2=80,故答案为：80．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，可得q 2=2，而a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2，代入可得．本题考查等比数列的通项公式和公比的定义，属基础题．15.答案：(1)40312016；(2)950；(3)1n+1+1(n+1)(2n+1)；(4)(0,1)．解析：(1)本题考查归纳推理的应用，根据已知不等式得到规律即可求解．)解：，，，则，故答案为40312016．(2)本题考查古典概型的概率计算，列出基本事件，代入古典概型的公式即可求解．解：总的基本事件共有10×10=100种，满足|a−b|=1，即取相邻的两个数共有9×2=18种，则概率为18100=950，故答案为950．(3)本题考查归纳推理的应用，根据所给的等式找出规律即可求解．解：25=13+13×5，3=5+12；2 7=14+14×7，4=7+12；2 9=15+15×9，5=9+12按此规律，22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1)(n=2,3,4，…)，故答案为1n+1+1(n+1)(2n+1)．(4)本题考查导数在函数单调性中的应用，根据不等式函数得到单调性即可求解．解：设g(x)=f(x)−1x ，则g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2>0，所以g(x)在单调递增，又g(1)=4，不等式可化为g(x)<g(1)，则0<x<1，故答案为(0,1)．16.答案：4√55 解析：解：如图，圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径r =1，∵圆心O 到直线y =2x +1的距离：OD =|2×0−0+1|√5=√55， ∴BD =(√55)=2√55， ∴直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长：|AB|=2|BD|=4√55． 故答案为：4√55． 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长．本题考查圆的弦长的求法，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．17.答案：解：(1)由a−c b−c =sinB sinA+sinC则a−c b−c =b a+c ，即a 2=b 2+c 2−bc ，由余弦定理，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得cosA =12， 由于A 为锐角，则A =π3；(II)m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2sinB +cos2B ，=2sinB +1−2sin 2B=−2sin 2B +2sinB +1，B ∈(0,2π3)，令t =sinB ，则t ∈(0,1]．则m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2t 2+2t +1=−2(t −12)2+32，t ∈(0,1]． ∴t =12时，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 取得最大值32．解析：(1)由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求得角A ；(II)由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式及三角换元，由二次函数的最值求法，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的求值，考查二次函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：由PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面APD ，所以BD ⊥平面APD ，又∵AD ⊂平面APD ，所以BD ⊥AD ，又AD//BC ，所以BC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又BD ∩PD =D ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以BC ⊥平面PDB ；(2)解：由(1)可知BD ⊥AD ，又AB =√2，∠DAB =45°，所以AD =BD =1，又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影，故∠BPD =45°，所以PD =BD =1，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面APC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PCB 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，得n ⃗ =(0,1,1)， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3=√32， 因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π6．解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．(1)根据题意，先判断BD ⊥平面APD ，得到PD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得出结论；(2)根据题意，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC 和平面PCB 的法向量，进行求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，动点P 在直线y =−2上方，条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离，∴动点P 的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y =−1为准线的抛物线故其方程为x 2=4y ；(Ⅱ)证明：设直线AB 的方程为y =kx +1，由{x 2=4y y =kx +1得：x 2−4kx −4=0， 设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则x A +x B =4k ，x A x B =−4，由x 2=4y 得：y =14x 2，∴y′=12x ，∴直线AM 的方程为：y −14x A2=12x A (x −x A )① 直线BM 的方程为：y −14x B2=12x B (x −x B )② ①−②得：14(x B 2−x A 2)=12(x B 2−x A 2)，即x =x A +x B2=2k ， 将x =x A +x B2代入①得：y −14x A 2=12x A x B −x A 2=14x A x B −14x A 2， ∴y =14x A x B =−1，故M(2k,−1)，∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2k,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,k(x B −x A ))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2k(x B −x A )−2k(x B −x A )=0．解析：(Ⅰ)由题意可得条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1距离，由抛物线的定义即可得到所求曲线方程；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，求得y =14x 2的导数，可得切线的斜率和方程．联立方程组，求得交点M 的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得证． 本题考查曲线方程的求法，注意运用抛物线的定义和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02．平均数估计值是96×0.02+98×0.18+100×0.38+102×0.30+104×0.10+106×0.02=100.68．(Ⅱ)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14． 用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件．故该企业生产这批零件预计可获利润3.8×10+4.8×8−1.4×6=68万元．解析：本题主要考查了频率分布直方图，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．(Ⅰ)平均数为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，计算即可；(Ⅱ)算出一等品、二等品、不合格产品的频率，进而求出产品的数量，即可算该企业生产这批零件所获得的利润；21.答案：解：f(x)的定义域是R ，(1)f′(x)=e x −a ，①a >0时，令f′(x)>0，解得：x >lna ，令f′(x)<0，解得：x <lna ，故f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；②a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 递增；综上所述，当a >0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；当a ≤0时，f(x)在R 递增；(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；先比较a与ln a的大小，构造函数y=x−lnx，则y′=1−1x =x−1x，易得当x∈(0,1)时，y=x−lnx单调递减，当x∈(1,+∞)时，y=x−lnx单调递增，所以当x=1时，y=x−lnx有最小值，即y min=1，即x−lnx>0，所以a>lna，①lna≤0即0<a≤1时，f(x)在[0,a]递增，f(x)max=f(a)=e a−a2，②当a>1时，0<lna<a恒成立，f(x)在[0,lna)递减，在(lna,a]递增，f(0)=1，f(a)=e a−a2，令ℎ(x)=e x−x2−1(x>1)，则ℎ′(x)=e x−2x，令m(x)=e x−2x(x>1)，则m′(x)=e x−2>0，即ℎ′(x)=e x−2x在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ′(x)>e−2>0，即ℎ(x)=e x−x2−1在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ(x)>e−1−1=e−2>0，所以当a>1时，e a−a2>1，即f(x)max=f(a)=e a−a2，综上所述，当a>0时，函数f(x)在[0,a]上的最大值e a−a2．解析：本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，构造函数，结合函数的单调性比较大小即可求出函数的最值即可．22.答案：解：(I)直线l的参数方程可化为普通方程为x−y+1=0，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ．曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4；(II)设A 、B 两点所对应的参数分别为t A ，t B,将{x =1+√22t y =2+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0， 化简整理可得t 2+√2t −3=0，从而{t A +t B =−√2t A t B =−3, 故|AB|=√(t A +t B )2−4t A t B =√14．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题． (I)利用坐标互化的方法即可写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(II)利用参数的几何意义，即可求得|AB|．23.答案：(本小题满分10分)解：(1)由a =0，原不等式为|x −3|+|x|>4由绝对值的几何意义可得{x|x <−12或x >72} …(5分)(2)由∃x ∈R ，|x −3|+|x −a|<4成立，得(|x −3|+|x −a|)min <4，又|x −3|+|x −a|≥|x −3−(x −a)|=|a −3|∴|a −3|<4，解得−1<a <7…(10分)解析：(1)利用绝对值的几何意义，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，求出不等式的最小值，列出不等式，转化求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力．。
2019年贵州省高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(有答案解析)
2019年贵州省高考数学模拟试卷（文科）（3月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {1，2，4}D. {1，4}2.已知i为虚数单位，若复数z=+，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.等差数列{a n}中，a2与a4是方程x2-4x+3=0的两根，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A. 6B. 8C. 10D. 124.函数f（x）=则f（-1）+f（1）=（）A. 0B. 1C. 2D. e25.设θ∈R，则“0＜θ＜”是“0＜sinθ＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6.甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间，计划选择到贵州的黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为（）A. B. C. D.7.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n③若m∥α，n⊂α，则m∥n④若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则m∥n其中正确命题的序号是（）A. ①④B. ①②C. ②③④D. ④8.函数f（x）=的图象大致是（）A. B.C. D.9.在直角梯形ABCD中，AB=4，CD=2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则•（）=（）A. 8B. 12C. 16D. 2010.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，该抛物线的准线与x轴交于点M，若|AF|=4，则△MAB的面积为（）A. B. C. D.11.2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况．为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（）A. 样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通B. 样本中多数女性是35岁以上C. 35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D. 样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高12.设f（x）=，点O（0，0），A（0，1），A n（n，f（n）），n∈N*，设∠AOA n=θn对一切n∈N*都有不等式+++…+＜t2-2t-2成立，则正数t的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=+x+1在点（0，1）处切线的方程为______．14.若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为______．15.已知某几何体三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是矩形，俯视图为直角三角形，则该几何体的外接球表面积为______．16.已知点F是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过原点且倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且=0，则C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=sin，x∈[0，π]，设f（x）的最大值为M，记f（x）取得最大值时x的值为θ．（1）求M和θ；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，b=2，B=θ，求c的值．18.即将于2019年夏季毕业的某大学生准备到贵州非私营单位求职，为了了解工资待遇情况，他在贵州省统计局的官网上，查询到2008年至2017年非私营单位在岗职工的年平均工资近似值（单位：万元），如表：年份2008200920102011201220132014201520162017序号x12345678910年平均工2.5 2.93.2 3.84.35.0 5.56.37.07.5资y（1）请根据上表的数据，利用线性回归模型拟合思想，求y关于x的线性回归方程=x+（，的计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位）；（2）如果该毕业生对年平均工资的期望值为8.5万元，请利用（1）的结论，预测2019年的非私营单位在岗职工的年平均工资（单位：万元．计算结果根据四舍五入精确到小数点后第二位），并判断2019年平均工资能否达到他的期望．参考数据：x i y i=311.5，x=385，（x i）（y i）=47.5i12345678910（x i）220.2512.25 6.25 2.250.250.25 2.25 6.2512.2520.25附：对于一组具有线性相关的数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为==，=．19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD为等边三角形，AB=，AD=2，PB=．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD（2）M是棱PD上一点，三棱锥M-ABC的体积为1．记三棱锥P-MAC的体积为V1，三棱锥M-ACD的体积为V2，求．20.椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0），设P，Q分别是椭圆C的上、下顶点，且四边形PF1QF2的面积为2，其内切圆周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）当b＞c时，A，B为椭圆C上的动点，且PA⊥PB，试问：直线AB是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由．21.函数f（x）=x-ln x，g（x）=ae x．（1）求f（x）的单调区间（2）求证：当a≥时，xf（x）≤g（x）．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，t≥0），在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2，C3的极坐标方程分别为ρ2-2ρcosθ-=0，ρ（cosθ+sinθ）=．（1）判断C2，C3的位置关系，并说明理由；（2）若tanα=（0≤α＜π），C1分别与C2，C3交于M，N两点，求|MN|．23.已知函数f（x）=|x+5|-|x-4|．（1）解关于x的不等式f（x）≥x+1；（2）若函数f（x）的最大值为M，设a，b为正实数，且（a+1）（b+1）=M，求ab的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}={1，2，4}，∴A∩B={0，1，2}∩{1，2，4}={1，2}．故选：B．根据集合A求得集合B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．本题主要考查两个集合的交集的定义，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵z=+，∴，∴复数的虚部为-．故选：B．由z=+，得，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：∵a2与a4是方程x2-4x+3=0的两根，∴a2+a4=4=2a3，解得a3=2，则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=10．故选：C．利用一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质即可得出．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：根据题意得f（-1）=e-1+1=1；f（1）=lg5+lg2=lg10=1；∴原式=1+1=2．故选：C．根据自变量取值，带入相应解析式求得对应的函数值f（-1），f（1），即可得答案．本题考查了分段函数求函数值，要确定好自变量的取值，再代入相应的解析式求得对应函数值，属于基础题．5.答案：A解析：解：当0＜θ＜时，0＜sinθ＜成立，当π＜θ＜+π时，也满足0＜sinθ＜成立，但0＜θ＜不成立，即“0＜θ＜”是“0＜sinθ＜”充分不必要条件，故选：A．结合三角函数的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的关系是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：甲、乙、丙三人在贵阳参加中国国际大数据产业博览会期间，计划选择到贵州的黄果树瀑布、梵浄山两个景点之一旅游参观由于时间关系，每个人只能选择一个景点，基本事件总数n=23=8，甲、乙都到黄果树旅游参观包含的基本事件个数m==2，∴甲、乙都到黄果树旅游参观的概率为p=．故选：D．每个人只能选择一个景点，基本事件总数n=23=8，甲、乙都到黄果树旅游参观包含的基本事件个数m==2，由此能求出甲、乙都到黄果树旅游参观的概率．本题考查代数式求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：D解析：解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故②错误；在③中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故③错误；在④中，若α∥β，γ∩α=m，γ∩β=n，则由面面平行的性质定理得m∥n，故④正确．故选：D．在①中，α与γ相交或平行；在②中，m与n相交、平行或异面；在③中，m与n平行或异面；在④中，由面面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：D解析：解：f（-x）=≠f（x）≠-f（x），故f（x）为非奇非偶函数，故排除A，B．当x→+∞时，f（x）→0，当x→-∞时，f（x）→+∞，故排除C，故选：D．根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势即可求出本题考查了函数图象的识别和应用，考查了函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题9.答案：D解析：解：建立坐标系如图：则A（0，0），B（4，0），D（0，2），C（2，2），E（3，1）；所以=（5，3），=（4，0），则•（）=20．故选：D．通过建立平面直角坐标系，求出相关的坐标，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的运算，转化为坐标运算简化解题过程，是基本知识的考查．10.答案：A解析：解：抛物线y2=4x的准线l：x=-1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=-1的距离为4，∴1+x A=4，∴x A=3，∴y A=±2，不妨设A（3，2），∴S△AFM=×2×2=2，∵F（1，0），∴直线AB的方程为y=（x-1），∴，解得B（，-），∴S△BFM=×2×=∴S△AMB=S△AFM+S△BFM=2+=，故选：A．利用抛物线的定义，求出A，B的坐标，再计算△AMB的面积．本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A，B的坐标是解题的关键．11.答案：C解析：解：由等高条形图，得：在A中，由左图知，本本中男性数量多于女性质数量，从而男性比女性更关注地铁一号线全线贯通，故A正确；在B中，由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，故B正确；在C中，由右图知35岁以的男性人数比35岁以上的女性质人数少，故C错误；在D中，由右图知样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，故D正确．故选：C．由等高条形图得：35岁以下的男性人数不一定比35岁以上的女性人数多．本题考查命题真假的判断，考查等高条形图的性质等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．12.答案：A解析：解：由题意得，，=n2+n，∴=，∴+++…+==＜1，∵一切n∈N*都有不等式+++…+＜t2-2t-2成立，∴只需t2-2t-2≥1，∴t2-2t-3≥0，∴t≥3或t≤-1，又t＞0，∴t≥3，∴正数t的最小值为：3．故选：A．结合函数f（x）图象，可得=n2+n，然后利用列项相消法求出数列{}的前n项和，根据不等式恒成立得到t的范围即可．本题考查了数列与不等式恒成立的综合问题，关键是求出数列的前n项和，属难题．13.答案：y=x+1解析：解：y=+x+1的导数为y′=x2+1，可得曲线y=+x+1在点（0，1）处切线的斜率为1，则曲线y=+x+1在点（0，1）处切线的方程为y=x+1．故答案为：y=x+1．求得y=+x+1的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的几何意义，考查直线方程的运用，是一道基础题．14.答案：2解析：解：作出实数x，y满足约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（，），由z=3x+y得y=-3x+z，平移y=-3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z min=3×=2．故答案为：2．首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值．15.答案：29π解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别为2，3，侧棱长为4，把该几何体变形为长方体，则长方体的对角线长为．则其外接球的半径为，其外接球表面积为．故答案为：29π．由三视图还原原几何体，可知该几何体为正三棱柱，底面为直角三角形，两直角边长分别为2，3，侧棱长为4，再由分割补形法求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.答案：解析：解：过原点且倾斜角为的直线l，设为y=x，且A（m，n），B（-m，-n），m，n＞0，F（c，0），由=0，可得（c-m）（c+m）+n2=0，即m2+n2=m2+（m）2=4m2=c2，解得m=c，n=c，将A（c，c）代入双曲线的方程可得：-=1，即有-=1，可得e4-8e2+4=0，解得e2=4+2或4-2（舍去），解得e=1+．故答案为：1+．设出直线l的方程，A（m，n），B（-m，-n），m，n＞0，F（c，0），运用向量数量积的坐标表示可得A的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c和e的关系，可得e的方程，解方程可得e．本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及方程思想和变形能力，属于中档题．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）由已知f（x）=sin=sin（+），因为，x∈[0，π]，可得：≤+≤，所以，当+=时，即x=时，f（x）max=，所以，M=，θ=．…6分（2）由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cos B，可得：c2-2×c+8=（2）2，可得：c2+4c-32=0，解得：c=4，或c=-8（舍去），故c=4．…12分解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=sin（+），由范围x∈[0，π]，可得：≤+≤，利用正弦函数的性质可求M，θ的值．（2）由已知及余弦定理可得：c2+4c-32=0，即可解得c的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）由已知，得，，≈0.58．．∴y关于x的线性回归方程=0.58x+1.61；（2）由（1）知，=0.58x+1.61，当x=12时，＞8.5．∴预测2019年的非私营单位在岗职工的年平均工资为8.57万元，达到了他的期望．解析：（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的回归方程中，取x=12求得y值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：（1）证明：由已知可得PA=AD=，∴PA2+AB2=15=PB2，∴AB⊥PA，∵ABCD为矩形，∴AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，由AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（2）由题意，V2=V M-ACD=V M-ABC=1，又∵V P-ACD===3，∴V1=V P-ACD-V M-ACD=3-1=2，故．解析：（1）利用勾股定理证得AB⊥PA，利用矩形得AB⊥AD，从而得AB⊥平面PAD，进而得面面垂直；（2）易知V2=V M-ABC=1，再求得V P-ACD=3，利用作差求得V1，得解．此题考查了线面垂直、面面垂直的证明，三棱锥体积的求法，难度适中．20.答案：解：（1）依据题意，可知，即，设四边形PF1QF2的内切圆半径为r，所以，所以，由bc=ar=，得a=2，又a2=b2+c2=4，且，故，所以椭圆C的方程为或．（2）当b＞c时，所以椭圆C的方程为．，则P（0，），设A（x1，y1），B（x2，y1），由题意知直线AB斜率存在，设直线AB方程为y=kx+m，则由得（4k2+3）x2+8kmx+（4m2-12）=0，所以，△=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）＞0 （*）由PA⊥PB，可得，即，即，又y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以，整理得，，解得（舍去）或．又满足（*）式，故直线AB方程为，所以直线AB恒过定点．解析：（1）根据“四边形PF1QF2的面积为2，其内切圆周长为”建立方程组求出a、b、c的值即可；（2）先设出直线AB的方程，利用PA⊥PB建立方程求出m的值，进而确定直线AB恒过定点坐标．本题主要考查直线与椭圆综合问题、直线恒过定点问题，属于中档题目．21.答案：解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．由f（x）=x-ln x，得f‘（x）=1-=，当x∈（0，1）时，导数小于0；当x∈（1，+∞）时，导数大于0；所以f（x）的单调递减区间（0，1），f（x）的单调增区间（1，+∞）．（2）要证xf（x）≤g（x），即证x（x-ln x）≤ae x，即证a≥，设h（x）=．则h‘（x）=由（1）知f（x）≥f（1）=1，即ln x-（x-1）≤0于是，当x∈（0，1）时，h‘（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，导数小于0，h（x）单调递减；∴x=1时，h（x）max=．所以当a≥时，xf（x）≤g（x）．解析：（1）对函数f（x）=x-ln x，令导数大于0解出增区间，令导数小于0解出减区间；（2）根据所证不等式的结构，将证明不等式成立问题转化为求参数取值范围的问题．本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，解答的关键是将不等式证明问题转化为函数的最值问题，等价转化是解答本类问题常用的运算技巧22.答案：解：（1）由C2：ρ2-2ρcosθ-=0，可得x2+y2-2x-=0，即C2是圆心（1，0），半径为的圆；又C3：ρ（cosθ+sinθ）=，即C3是一条直线，圆心（1，0）到直线C3的距离d==＜，即d＜r，所以圆C2与直线C3相交．（2）由tanα=（0≤α＜π），有sinα=，cosα=，由，得ρ2-ρ-=0，解得ρ1=2，ρ2=-（舍去），由，解得ρ3=1，故|MN|=|ρ1-ρ3|=1．解析：（1）将C2，C3化成直角坐标方程后，利用圆心到直线的距离与半径的大小比较得到直线与圆的位置关系；（2）联立极坐标方程解得M，N的极径，作差即得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|x+5|-|x-4|≥x+1⇔或或，解得x≤-10或0≤x＜4或4≤x≤8，于是原不等式的解集为（-∞，-10]∪[0，8]．（2）易知|x+5|-|x-4|≤|（x+5）-（x-4）|=9，即M=9，所以（a+1）（b-1）=9，即9=（a+1）（b+1）=[（）2+1][（）2+1]≥（+1）2．于是+1≤3，解得ab≤4，当且仅当a=b=2时等号成立．即ab的最大值为4．解析：（1）分3段去绝对值解不等式组，再相并可得；（2）先根据绝对值不等式的性质可得M=9，再根据柯西不等式可得ab的最大值．本题考查了绝对值不等式的解法以及柯西不等式，属中档题．。
铜仁市铜仁一中2019届高三数学理科三模试题附答案解析
铜仁市铜仁一中 2019 届高三数学理科三模试题
1．若集合 A x Z | 2 x 2, B x | y log 2 x 2 ，则 A B （ ）
A． (2, 2)
B． (2,0) (0, 2) C．1,0,1
D． 1,1
2．已知
6．函数 f x e x 2 x 1 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性，排除选项 B ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项 A, D ，从
而可得结果. 【详解】
函数 f x e x 2 x 1 是偶函数，排除选项 B ； 当 x 0 时，函数 f x ex 2x 1 ，可得 f ' x ex 2 ， 当 x 0, ln 2 时， f ' x 0 ，函数是减涵数，当 x ln 2 时，函数是增函数，排除项选项 A, D ，故选
【详解】
6
结合偶函数的性质可得 f x f x ,而当 a b , a b a ,所以结合 f x 在
0, 单调递增,得到 f a f a f b ,故 a b 可以推出 f a f b .举特殊例
子, f 3 f 3 f 1 ,但是 3 1 ,故由 f a f b 无法得到 a b ,故 a b 是
（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，求
1 PA
1 PB
的值.
23．已知函数 f x x 2 ． （Ⅰ）解不等式 f x 4 x 1 ； （Ⅱ）已知 a b 2a 0,b 0 ，求证： x 2.5 f x 4 1 ．
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(一)(解析版)(2021年整理精品文档)
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2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理)试题（一）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末］已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+,{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．[2019·广安期末］已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限,且5z z ⋅=，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+3．［2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到:凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是:一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分;且“冬至”时日影长度最大，为1350分;“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检］在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13B ．59C ．79D ．895．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．56．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π27．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ )A ．B ．C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检］如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“"中应填的执行语句是（ )A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．［2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C ,若2BC BF =，且21AF =+，则此抛物线的方程为( )A ．22y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．23y x =11．［2019·陕西联考］将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位,在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π212．［2019·中山期末］如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是（ ）①当102CQ <<时,S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时,S 与11C D 交点R 满足1113C R =； ④当314CQ <<时，S 为六边形； ⑤当1CQ =时，S 的面积为6．A ．①③④B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③⑤二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，13+=a b ，则=b _____． 14．［2019·吴忠中学］()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为__________．15．[2019·广安一诊］某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件,已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·湖师附中]已知数列{}n a 满足：11a =,()*12nn n a a n a +=∈+N ，()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭()*n ∈N ,1b λ=-，且数列{}nb 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分)[2019·濮阳期末］已知ABC△的内角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且()+=．c A a C1cos3sin（1)求角A的大小；（2)若7a=，1△的面积．b=，求ABC18．（12分)[2019·揭阳一模］如图，在四边形ABED中,AB DE∥，AB BE⊥，点C在AB上,且AC BC CD△沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC ===，现将ACD⊥，2AB CD所成的角为45︒．（1)求证:平面PBC⊥平面DEBC；(2)求二面角D PE B--的余弦值．19．（12分）［2019·合肥质检]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？20．（12分）[2019·鹰潭期末］已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，离心率为2，短轴长为2．(1）求椭圆C 的方程；（2）如图,椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．(12分）［2019·菏泽期末]已知函数()ln 1a f x x x=+-，a ∈R ．（1）当0a >时,若函数()f x 在区间[]1,3上的最小值为13，求a 的值；（2）讨论函数()()3x g x f x '-＝零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分． 22．（10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】[2019·哈三中]已知曲线1:C x 2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程;（2)设C与x，y轴交于M，N两点,且线段MN的中点为P．若射线OP与1C，2C交于P,Q两1点，求P，Q两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】［2019·江南十校]设函数()()=-++-．lg2121f x x x a（1）当4f x的定义域；a=时,求函数()（2）若函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题意,集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤,∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ． 2．【答案】A 【解析】由5z z⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-，∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ． 3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分, 且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至"时日影长度最小，为160分． ∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分)．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=;由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈， 区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ． 5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a-=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-，∵直线1y x a =与2y x =-垂直,∴()121a⨯-=-，即2a =，∴2c e a ==．故选B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ． 7．【答案】A【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=,∴()f x 为偶函数，选项B 错误,()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+,则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时,()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ． 9．【答案】C【解析】由题意,n 的值为多项式的系数，由100,99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ．10．【答案】A【解析】如图,过A 作AD 垂直于抛物线的准线,垂足为D ，过B 作BE 垂直于抛物线的准线,垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义,BF BE =，21AF AD =,∵2BC BF =，∴2BC BE =，∴45DCA ∠=︒， ∴222AC AD ==+,22211CF =+--=， ∴222CF PF ==，即22p PF ==，∴抛物线的方程为22y x =,故选A ．11．【答案】D【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2,最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==,或()()122g x g x ==-（舍去)． 故有()()122g x g x ==,即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-,则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ． 12．【答案】D【解析】当102CQ <<时,如图，是四边形,故①正确；当12CQ =时，如图，S 为等腰梯形,②正确;当34CQ =时,如图,由三角形CQP 与三角形1A AH 相似可得123A H =，113D H =,由三角形ABP 与三角形1RD H 相似可得，123D R =,113C R =,③正确；当314CQ <<时，如图是五边形，④不正确;当1CQ =时，如图S 是菱形,面积为362⋅=,⑤正确，正确的命题为①②③⑤，故选D ．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由13+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1, 又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】40【解析】()52x y -展开式的通项公式为()()()555155C 221C r r r r r r r r r T x y x y ---+=⋅=--．令52r -=,得3r =；令53r -=，得2r =;∴()()52x y x y +-的展开式中33x y 系数为()()3223325521C 2140C ⨯-⨯+⨯-=⨯． 故答案为40． 15．【答案】3800【解析】设甲种设备需要生产x 天,乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+，甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域,由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2，当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800．16．【答案】2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】由题意，数列{}n a 满足12n n n a a a +=+ ,取倒数可得1121n na a +=+， 即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭表示首项为2，公比为2的等比数列， ∴112n na +=，∴()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫=-+=-⋅ ⎪⎝⎭， ∵数列{}n b 是单调递增数列，∴当2n ≥时，1n n b b +>, 即()()122122n n n n λλ--⋅>--⋅，21n λ>-，221λ>-，32λ<； 当1n =时，21b b >,()122λλ-⋅>-，23λ<， 综上,23λ<．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3A =；（2）S =．【解析】（1)∵()1cos sin c A C +=,由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +cos 1A A -=,∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．(2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯= 18．【答案】（1)见解析；（2)．【解析】（1)证明：∵AB CD ⊥,AB BE ⊥,∴CD EB ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴EB PC ⊥，且PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC , 又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ． （2）由（1）知EB ⊥平面PBC ,∴EB PB ⊥，由PE 与平面PBC 所成的角为45︒得45EPB ∠=︒，∴PBE △为等腰直角三角形，∴PB EB =，∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，∴2PB =,故PBC △为等边三角形， 取BC 的中点O ，连结PO , ∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，以O 为坐标原点，过点O 与BE 平行的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系如图，则()0,1,0B ，()2,1,0E ，()2,1,0D -，(3P ， 从而()0,2,0DE =，()2,0,0BE =，(2,1,3PE =,设平面PDE 的一个法向量为(),,x y z =m ，平面PEB 的一个法向量为(),,a b c =n ，则由00DE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得20230y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2z =-得()3,0,2=-m ，由00BE PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20230a abc =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1c =得()3,1=n ，设二面角D PE B --的大小为θ，则7cos 72θ⋅===⋅⨯m n m n ， 即二面角D PE B --的余弦值为7．19．【答案】（1）见解析;（2）选择延保方案二较合算． 【解析】（1）X 所有可能的取值为0,1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=,()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=, ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（2）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：117117697000900011000130001500010720100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为:267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）． ∵12EY EY >,∴该医院选择延保方案二较合算．20．【答案】（1)2212x y +=；（2)【解析】(1）依题意得22b =,c e a ==,解得a =1b c ==，∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2)当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =,联立2212x y +=，解得y =，此时平行四边形ABCD 的面积S =当AD 所在的直线斜率存在时,设直线方程为()1y k x =-,联立2212x y +=,得()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,D x y ,则2122412k x x k +=+,21222212k x x k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =则平行四边形ABCD的面积)22112k S k +==+令212t k =+，1t >，则S =()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减,则(S 0,=，综上所述,平行四边形ABCD 的面积的最大值为 21．【答案】（1）13e a =；（2)见解析． 【解析】（1）()()2210a x af x x xx x-=-=>'， 当01a <≤时,()0f x '>在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为增函数,∴()()min 11f x f a =-=，令113a -=得413a =>（舍去),当13a <<时,由()0f x '=得，()1,3x a =∈，若()1,x a ∈，有()0f x '<，()f x 在[]1,a 上为减函数， 若(),3x a ∈有()0f x '>,()f x 在[],3a 上为增函数，()()minln f x f a a '==,令1ln 3a =，得13e a =．当3a ≥时,()0f x '<在()1,3上恒成立，这时()f x 在[]1,3上为减函数, ∴()()min 3ln313a f x f ==+-'，令1ln3133a +-=得43ln 32a =-<（舍去)． 综上知,13e a =．（2）∵函数()()()21033x a xg x f x x xx -=--'=>， 令()0g x =，得()3103a x x x =-+>．设()()3103x x x x ϕ=-+>，()()()2111x x x x ϕ'=-+=--+， 当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>,此时()x ϕ在()0,1上单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在()1,+∞上单调递减,∴1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此1x =也是()x ϕ的最大值点，()x ϕ的最大值为()121133ϕ=-+=．又()00ϕ=,结合()x ϕ的图象可知： ①当23a >时,函数()g x 无零点；②当23a =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203a <<时，函数()g x 有两个零点； ④当0a ≤时，函数()g x 有且只有一个零点；综上所述，当23a >时，函数()g x 无零点；当23a =或0a ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点； 当203a <<时，函数()g x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1)1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+;（2）1．【解析】(1）∵2C 的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数),∴其普通方程为22162x y +=,又1:C x∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,2226:12sin C ρθ=+．（2)∵)M ,()0,1N ，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭,∴OP 的极坐标方程为π6θ=，把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=,π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ,Q 两点间的距离为1．23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;（2）3a <．【解析】（1）当4a =时,()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-；2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(一)(解析版)(可编辑修改word 版)当112x -<<时，12224x x -++>，无解; 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>，综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++，()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=，∴3a <．。