江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含答案

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

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2022-2023学年江苏省无锡市高二下学期期中四校联考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省无锡市高二下学期期中四校联考数学试题一、单选题1．若，则（）2C 15n =2A n =A ．30B ．20C ．12D ．6【答案】A【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果.n 2A n 【详解】若2(1)C 15,15,(1)30,6,2n n n n n n -==-==26065A 3=⨯∴=故选：A.2．下列求导运算正确的是（）A ．B ．()sin cos x x'=-1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．D ．()1xx a xa -'='=【答案】D【分析】利用常见函数的导数对选项分别求导即可.【详解】对于A 选项，，A 选项错误；()sin cos x x '=对于B 选项，，B 选项错误；211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于C 选项，，C 选项错误；()ln x x a a a'=对于D 选项，D 选项正确．'=故选：D3．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：）服mm 从正态分布，且，则（）()2180,N σ()()1900.9,1600.04≤=≤=P z P z ()190200P z <<=A ．0.1B ．0.04C ．0.05D ．0.06【答案】D【分析】直接由正态分布的对称性求解即可.【详解】因为零件尺寸z 服从正态分布，()2180,N σ所以，()()()()19011900.1,2001600.04P z P z P z P z >=-≤=≥=≤=所以．()()()1902001902000.10.040.06P z P z P z <<=>-≥=-=故选：D.4．已知函数与的部分图象如图所示，则（）()f x ()g xA ．B ．()()101g f ''-<<-()()011''<-<-f g C ．D ．()()101f g ''-<<-()()33f g ''>【答案】B【分析】利用导数的几何意义直接判断.【详解】由图可知，与在区间上单调递增，所以，.()f x ()g x []1,3-()10g '->()10f '->在区间上，的图象比的图象更陡峭，所以，.[]1,3-()g x ()f x ()()11f g ''-<-()()33f g ''<故选：B.5．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则不同的分81配方案种数为（）A ．B ．C ．D ．45842142【答案】C【分析】利用隔板法（插空法）可解决问题.【详解】问题相当于在8个物体产生的7个间隔中，插入2快隔板，则分配方案种数为：.故C 正确.27C 21=故选：C6．已知在7个电子元件中，有2个次品，5个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到2个次品都找到为止，则经过3次测试恰好将2个次品全部找出的概率为（）A ．B ．C ．D ．121221142421【答案】B【分析】基本事件总数为从7个电子元件中选3个的排列数，经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第3次是次品，前2次中有一次是次品．【详解】从7个电子元件中选3个的排列数为，37A 经过3次测试恰好将2个次品全部找出，则第3次是次品，前2次中有一次是次品的排列数为，112252C C A 经过3次测试恰好将2个次品全部找出为事件A ，则．()11225237C C A 2A 21P A ==故选：B ．7．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有30名的年龄位于区间内.已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区间内人口[)40,500.15%[)40,50占该地区总人口的.现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的20%[)40,50概率为（）A ．B ．0.05%0.125%C ．D ．0.225%0.325%【答案】C【分析】设此人年龄位于区间为事件A ，此人患病为事件B ，则所求概率为，即可[)40,50()P B A 得答案.【详解】设此人年龄位于区间为事件A ，此人患病为事件B .[)40,50则所求概率为.()()()300.15%1000.225%20%P AB P B A P A ⨯===故选：C 8．已知，，则（）32e a -=3ln2b =13c =A ．B ．a b c <<b<c<aC ．D ．c<a<b a c b<<【答案】D【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可.【详解】∵幂函数在区间上单调递减，11y x x -==()0,∞+∴，即，133111221ee 33a c -----⎛⎫===<=== ⎪⎝⎭a c <∵对数函数在区间上单调递增，ln y x =()0,∞+∴，即，331312711ln ln ln ln e 2323833b c⎛⎫===>== ⎪⎝⎭b c >综上所述，，，的大小关系为.a b c a c b <<故选：D.二、多选题9．若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（）()32+nx n *∈N n A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】ABC【分析】由题展开式的第5项的二次项系数为：，据此分析各选项即可.4C n【详解】A 选项，此时展开式有8项，第4项二次项系数，第5项二次项系数最大且相等，37C 47C 故满足题意，故A 正确；7n =B 选项，此时展开式有9项，第5项二次项系数最大，故满足题意，故B 正确；48C 8n =C 选项，此时展开式有10项，第5项二次项系数，第6项二次项系数最大且相等，故49C 59C 满足题意，故C 正确；9n =D 选项，此时展开式有11项，第6项二次项系数最大，不合题意，故D 错误.510C 故选：ABC10．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（）ξ()0ξ=E ξ1-02Pa12bA ．B ．()1D ξ=(||)1ξ=DC ．D ．(21)4D ξ+=(3||2)5ξ-=D 【答案】ACD【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，即可求出，再根据方差的性质得到,a b ()D ξ，再求出分布列，即可求出与；()21D ξ+ξ()D ξ()32D ξ-【详解】依题意，解得，112110202a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-⨯+⨯+⨯=⎪⎩1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的分布列为：ξξ－12P131216则，则；()()()()2221111000201326D ξ=⨯--+⨯-+⨯-=()()22124D D ξξ+==所以的分布列为：ξξ12P131216则，，所以()11212363E ξ=⨯+⨯=()22212121251023323639D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()()23235D D ξξ-==故选：ACD.11．红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红黄蓝颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”；表示事件“甲调配出绿色”；表示事件“乙调配A B C 出紫色”；则下列说法正确的是（）A ．B ．1()15P A =1(|)4=P C A C ．D ．事件与事件相互独立4()45=P BC B C 【答案】AC【分析】对于A ，从六瓶中任取两瓶颜料的方法数为，事件需要两瓶颜料均为红色，方法数26C A 为，求其概率即可；22C 对于B ，，事件需要两瓶颜料均为红色，C 事件为一瓶红色，一瓶蓝色颜料，A 在条件下，C 事件不可能发生；A 对于C ，由事件需1瓶黄色和1瓶蓝色，方法数为，求其概率即可；B 1122C C ⋅对于D ，根据题意,若C 事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色；甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色；甲取1瓶红色，1瓶蓝色，求出，验证与是否相等判断选项()P C ()()⋅P B P C ()P BC D.【详解】从六瓶中任取两瓶颜料的方法数为.26C 对于A ，表示事件“甲调配出红色” ，若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，方法数为，则A 22C ，故A 正确；()2226C 1C 15==P A 对于B ，事件需要两瓶颜料均为红色，C 事件为一瓶红色，一瓶蓝色颜料，A 在条件下，C 事件不可能发生，所以，故B 正确；A (|)0=P C A 对于C ，由事件需1瓶黄色和1瓶蓝色, 则，B ()112226C C 4C 15P B ⋅==在条件下，还剩1瓶黄色和1瓶蓝色,2瓶红色，则C 事件发生的概率，则B ()1224C 1C 3|==B C P ，故C 正确；()()34()|454115⨯=⨯==P B P B P BC C 对于D ，根据题意,若C 事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色；甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色；甲取1瓶红色，1瓶蓝色，则，()21111111222242222264C C C C C C C C 4C C 15P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅==⋅，事件与事件不相互独立，故D 错误.()()5441514()45⋅=⨯≠=P BC B P C P B C 故选：AC.12．若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的可能取2()23f x x =+:()e 3(0)xC g x a a =+>a 值为（）A ．BC ．D ．1228ee 2【答案】AC【分析】设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，写出()f x ()211,23x x +()g x ()22,e3x x a +切线方程并联立，得出，设函数，利用导数求的取值范围，即的()2281e x x a -=()()81e x x h x -=()h x a 取值范围，再判断各选项.【详解】由得；2()23f x x =+()4f x x '=由得.()e 3x g x a =+()e xg x a '=设公切线与的图象相切于点，与的图象相切于点，()f x ()211,23x x +()g x ()22,e3x x a +所以，即，()222221112121e 323e24e x x x a x a x x a x x x x +-+-===--21112122x x x x x -=-可得或，10x =2122=+x x 因为，，则，即，214e x x a =0a >1210,222x x x >=+>21x >，，()()2222214e 2281e 4e x x x x x x a --===21x >令，，()()81e x x h x -=1x >可得，()()2e 8e 81168e e x x x x x h xx --'=-=由，得；由，得；()0h x '>12x <<()0h x '<2x >所以在上单调递增，在上单调递减，()h x ()1,2()2,+∞所以，所以实数的取值范围.()()2max 82e h x h ==a 280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦因为，，，即e 2.718≈2218882e 2.77.29<≈= 1.5>>288 1.1e 7.29<<28e <，则，则AC 正确.e 2.7 1.3522>=2e 82e >故选：AC.三、填空题13．已知的展开式中含的项的系数为______．()5121x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2x 【答案】90【分析】写出二项的展开式通项，分别求出、中含项的系数，相加()521x +()521x x +()5121x x+2x 可得结果.【详解】的展开式通项为，()521x +()()555155C 2C 20,1,2,,5kkkk k k T x x k ---+==⋅⋅= 因为，()()()55512112121x x x x x x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭在中，其展开式通项为，()521x x +()555655C 2C 20,1,2,,5k k k kk k x x x k ----⋅⋅=⋅⋅= 由可得，此时，项的系数为；62k -=4k =2x 45C 210⋅=在中，其展开式通项为，()5121x x +()5554551C 2C 20,1,2,,5r r r rr r x x r x ----⋅⋅=⋅⋅= 令，可得，此时，项的系数为.42-=r 2r =2x 235C 280⋅=综上所述，展开式中含项的系数为.2x 108090+=故答案为：.9014．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不同的排列方式有_____种.【答案】36【分析】利用特殊元素优先安排以及插空法计算.【详解】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排一共由5个位置，假设五个位置按顺序分别为一、二、三、四、五.因为甲不站在两端且甲和乙不相邻，所以优先安排甲.当甲在安排在位置二时，乙安排在四、五位置，其它人可以随意安排，即(种)；1332A A =12当甲在安排在位置四时，同理有(种)；1332A A =12当甲在安排在位置三时，乙安排在一、五位置，其它人可以随意安排，即(种)；1332A A =12则共有(种).12+12+12=36故答案为：36.15．已知函数，则在处的切线方程为_______．()()2ln 1f x x x f '=+()f x (1,(1))f 【答案】y x =-【分析】直接求导得，代入则可解出，则得到函数方程，则求出()()121f x f x x ''=+1x =()11f '=-切点坐标，即可得到直线方程.【详解】，令，，解得，()()121f x f x x ''=+1x =()()1121f f ''=+()11f '=-则，则，则在处的切线方程为，即.()2ln f x x x =-()11f =-()f x (1,(1))f ()11y x +=--y x =-故答案为：.y x =-16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检100验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定10是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否()01p p <<为不合格品相互独立．记件产品中恰有件不合格品的概率为，则取最大值时，103()f p ()f p _______．p =【答案】/3100.3【分析】利用独立重复试验的概率可得出的表达式，利用导数法可求得函数取最大值对()f p ()f p 应的值.p 【详解】因为每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立，()01p p <<所以，件产品中恰有件不合格品的概率为，103()()73310C 1f p p p =⋅-则()()()()()7663233321010103C 17C 1C 1317f p p p p p p p p p '=⋅--⋅-=⋅---⎡⎤⎣⎦，()()63210C 1310p p p =⋅--当时，，此时函数单调递增，3010p <<()0f p '>()f p 当时，，此时函数单调递减，3110p <<()0f p '<()f p故当时，取最大值.310p =()f p 故答案为：.310四、解答题17．一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个．(1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布；(2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.【答案】(1)答案见解析；(2).15【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答.X （2）根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.【详解】（1）可能的取值为0，1，2，3，X ，，，，35310C 1(0)C 12P X ===1255310C C 5(1)C 12P X ===2155310C C 5(2)C 12P X ===35310C 1(3)C 12P X ===概率分布列为：X0123P112512512112（2）设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件，“另一个小球也是黑球”为事件，A B 则，()112464210C C C 2C 3P A +==()24210C 2C 15P AB ==由条件概率公式可得，()()2115(|)253P AB P B A P A ===所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为.1518．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的五位数中，能被5整除的个数有多少？(2)在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?(3)在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?(4)在组成的五位数中，若从小到大排列，30421排第几个?【答案】(1)24(2)36(3)36(4)第54个【分析】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排.（2）先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排，再按分步乘法计数原理得出结果.（3）把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排；（4）计算出比30421小的五位数的情况，即可知道30421排第几个.【详解】（1）能被5整除的数的个位数字为0，其它位置任意排，则有个；44A 24=（2）在组成的五位数中，先排个位数，从两个奇数里选，然后排万位数，不能为零，剩下其它位置任意排.所有奇数的个数有个；113233C C A =236=36⨯⨯（3）在组成的五位数中，把数字1和3捆绑在一起，1和3可以交换位置，又最高位不为0，先安排0，有3个位置，其余位置任意排，则有个；213233A C A 23636=⨯⨯=（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即，1424C A 22448=⨯=若万位为3，比30421小的有5个，30124，30142，30214，30241，30412.从小到大排列，30421排第54个.19．已知展开式的二项式系数和为512，且()(23)nf x x =-．2012()2311)1)((()n n n x a a x a x a x =++++---- （1）求的值；2a（2）求的值；123n a a a a ++++ （3）求被6整除的余数．(20)20f -【答案】(1)，（2）2，（3）5144-【分析】（1）根据二项式定理，由展开式的二项式系数和为512，可求出，再()(23)nf x x =-9n =将代入中，变形可得，则为其展开式中的系数，由二项式定理9n =(23)n x -9[2(1)1]x --2a 2(1)x -可得答案；（2）由（1）的结论，用赋值法，在中令，9920129(23111)()()()x a a x a x a x ---+++-=+ 1x =可求得的值，令，可得的值，从而可得答案；0a 2x =012n a a a a ++++ （3）根据题意，可得，变形可得，由二项式定理展开9(20)203720f -=-9(20)20(361)20f -=+-式可得，进而由整除的性质分析可得答案09182789999(20)203636363619f C C C C -=+++⋅⋅⋅+-【详解】解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，()(23)nf x x =-所以，解得，2512n=9n =因为，所以，99(23)[2(1)1]x x -=--722792(1)144a C =-=-（2）在中，令，则，9920129(23111)()()()x a a x a x a x ---+++-=+ 1x =90(213)1a =⨯-=-令，可得，2x =01201299(223)1n a a a a a a a a ++++=++++=⨯-= 所以120129031(1)2n a a a a a a a a a +++++++=-=--+= （3）9(20)20(361)20f -=+-，09182789999993636363620C C C C C =+++⋅⋅⋅++-，091827899993636363619C C C C =+++⋅⋅⋅+-因为（）能被6整除，而，即被6整除余数0918278999936363636C C C C +++⋅⋅⋅+19(4)65-=-⨯+19-为5，所以被6整除的余数为5(20)20f -【点睛】易错点睛：此题考查二项定理的运用，易错点为在（3）中，对求余数，根据19-，即被6整除余数为5，考查计算能力，属于中档题19(4)65-=-⨯+19-20．设函数，其中实数满足．()()()()f x x a x b x c =---,,a b c 2b a c =+(1)若且在上单调递增，求的取值范围；0b =()f x []2,4a (2)若，求函数的极值.3b a -=()f x 【答案】(1)a -≤≤(2)极大值为-【分析】（1）根据题意分析可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题分析运()0f x '≥[]2,4算；（2）由题意可得，代入求导，利用导数判断原函数单调性和极值.33a b c b =-⎧⎨=+⎩()f x 【详解】（1）因为，所以，0b =2b a c =+c a =-可得，故，()32()()f x x a x x a x a x=-+=-()223f x x a '=-因为在上单调递增，所以在上恒成立，()f x []2,4()2230f x x a '=-≥[]2,4可得，故，()22min3a x ≤212a ≤所以a -≤≤（2）因为，所以，32b a b ac -=⎧⎨=+⎩33a b c b =-⎧⎨=+⎩所以，()()()()()()3339f x x b x b x b x b x b =-+---=---则，()()(2393f x x b x b x b '=--=--令，解得()0f x '=1x b =2x b =所以函数的极大值为()f x (f b =(f b +=-21．水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质.某水果批发市场，在水蜜桃成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为，，．35310110(1)现随机取三箱该水蜜桃，求三箱水蜜桃中坏果总数恰有3个的概率；(2)现随机打开一箱该水蜜桃，并从中任取2个，设X 为坏果的个数，求X 的分布列及期望．【答案】(1)27200(2)分布列见解析，110【分析】（1）由题可得三箱中，1箱2个坏果，1箱1个坏果；或者3箱各1个坏果.据此可得答案.（2）由题可得可取0，1，2，后由题意可得即可得分布列及期望.X ()()()0,1,2P X P X P X ===【详解】（1）箱水蜜桃中坏果总数恰有3个坏果的情况有：有一箱有2个坏果，一箱有1个坏果，另外一箱没有坏果，或者三箱各有一个坏果，三箱水果中坏果总数恰有3个坏果的概率为11332133327()C C ()1010510200P A =⨯⨯⨯⨯+=（2）由题意可知：可取0，1，2.X 时，有可能箱中无坏果，概率为；有1个坏果但没抽中，概率为；X 0=3529210310C C ⨯有2个坏果但没抽中，概率为.则；28210110C C ⨯2298221010C C 812(0)0.60.30.1C C 900==+⨯+⨯=P X 时，箱中有可能1个坏果且被抽中，概率为；1X =19210310C C ⨯两个坏果但只被抽中1个，概率为，1128210110C C C ⨯则；111928221010C C C 43(1)0.600.30.1C C 450==⨯+⨯+⨯=P X 时，箱中有2个坏果且被抽中，则.2X =22210C 1(2)0.600.300.1C 450==⨯+⨯+⨯=P X 综上，得分布列如下：X012P812900434501450期望为()812431101290045045010=⨯+⨯+⨯=E X 22．已知函数，.()ln f x a x x =-a ∈R (1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求实数的取值范围.()()e 11x x a f x ---≥a 【答案】(1)答案见解析(2)1a =【分析】（1）求导，对a 进行讨论，利用导函数的正负即可求出的单调性；()f x （2）方法一：将问题转化为恒成立，令，求导利用导函数e ln 1x x ax a x --≥()e ln x h x x ax a x =--的正负和零点存在定理，分析其单调性，根据隐零点的的关系求出最小值，转化为，再ln 1a a a -≥次换元，令，求导分析单调性并得到最值，即可求出a ；方法二：利用将问()ln 1u t t t =-+ln e xx =题转化为恒成立，换元后得到新的函数，求导分析其单调性，并对a 进行讨论，e ln(e )10x xx a x --≥即可求解；【详解】（1）解：的定义域为，，()ln f x a x x=-(0,)+∞()1a a xf x x x -'=-=当时，恒成立，所以在上单调递减；0a ≤()0f x '<()f x (0,)+∞当时，令解得，所以在上单调递增；0a >()0f x ¢>(0,)x a ∈()f x (0,)a 令解得，所以在上单调递减，()0f x '<(,)x a ∈+∞()f x (,)a +∞综上所述：当时，在上单调递减；0a ≤()f x (0,)+∞当时，在上单调递增，在上单调递减；0a >()f x (0,)a (,)a +∞（2）已知在恒成立，化简得(e 1)()1x x a f x ---≥(0,)+∞e ln 1xx ax a x --≥法一：令，定义域为，()e ln x h x x ax a x=--()h x ()0,∞+则，()()e e 1e x x x a a h x x x x x a ⎛⎫==+- ⎪-⎝+-⎭'①当时，恒成立，则单调递增，的值域为R ，不符合题意；a<0()0h x '>()h x ()h x ②当时，，也不符合题意；0a =1211e 122h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭③当时，令，则恒成立，0a >()e x ak x x =-()2e 0x a k x x '=+>所以在上单调递增.()k x ()0,∞+当时，，又，01a <≤1222e e 2e 2022a a a a k a ⎛⎫=-=-≤-< ⎪⎝⎭()e e 10a a a k a a =-=->根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，0,2a x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00k x =()0h x '=0x x =有，此时；00e 0x ax -=00e x x a =当时，，又，1a >1113331e e 3e 30133a k a ⎛⎫=-=-<-< ⎪⎝⎭()e e 10a a a k a a =-=->根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，01,3x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00k x =()0h x '=0x x =有，此时.00e 0x ax -=00e x x a =综上所述，对，都有唯一解，有，此时.0a ∀>()0h x '=0x x =00e 0x a x -=00e x x a =又当时，，即，所以在上单调递减；0x x <<()0k x <()0h x '<()h x ()00,x 当时，，即，所以在上单调递增.0x x >()0k x >()0h x '>()h x ()00,x 所以，()()0000000min e ln ln ln x h x h x x a x ax a a x ax a a a==--=--=-故只需. ln 1a a a -≥令，上式即转化为，设，则.1t a =ln 1t t ≥-()ln 1u t t t =-+()1tu t t -'=当时，，所以在上单调递增；01t <<()0u t '>()u t ()0,1当时，，所以在上单调递减.1t >()0u t '<()u t ()1,+∞所以，当时，有最大值，所以，1t =()ln 1u t t t =-+()10u =()ln 10u t t t =-+≤所以.ln 1t t ≤-又，所以，所以.ln 1t t ≥-ln 1t t =-1t =由，解得．11t a ==1a =综上所述.1a =法二：恒成立，e ln(e )10x xx a x --≥令，故在上单调递增，e x t x =e (1)0x t x '=+>e xt x =(0,)+∞所以，问题转化为在恒成立，(0,)t ∈+∞ln 10t a t --≥(0,)+∞设，()ln 1g t t a t =--()1a t a g t t t-'=-=当时，恒成立，在上单调递增，又，0a ≤()0g t '>()g t (0,)+∞()10g =所以时，，不符合题意；(0,1)t ∈()(1)0g t g <=当时，在上单调递减，上单调递增，0a >()g t (0,)a (,)a +∞所以，()min ()g t g a =当时，都有均不符合题意，1a ≠()(1)0g a g <=当时，，此时在恒成立，1a =()min (1)0g t g ==()0g t ≥(0,)+∞综上所述：1a =【点睛】方法点睛：主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.。

2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★．【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心，以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=，因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤，解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长．【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ，则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=，所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=，同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>；所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<；所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；；若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭，令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-．于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+，即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

江苏省苏州市第五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

江苏省苏州市第五中学2019-2020学年下学期期中考试高一数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 直线1x =-的倾斜角为（）A.0oB. 45oC. 90oD. 135o2.已知ABC ∆中，4a =，b =，30A ∠=o ，则B ∠=( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°3.在ABC ∆中，已知2a =，则cos cos b C c B +等于( )A. 2B.C.1D.44.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222222c a b ab =++,则ABC ∆是( ) A.钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形5. 经过点()1,2A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A.4条B ．3条C. 2条D.1条6. 若直线1:240l ax y +-=与2:(1)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（） A. 2a =-或 1a = B. 1a = C. 2a =- D. 23a =- 7. 若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为65π的扇形，则该圆锥的高为（）A. C.3 D. 48. 某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为（）kmA.4B. 6C.7D. 9 9. 已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，则下列命题错误的是（） A ．如果直线a ⊥α，那么直线a 必垂直于平面β内的无数条直线 B ．如果直线a ∥α，那么直线a 不可能与平面β平行 C ．如果直线a ∥α，a ⊥l ，那么直线a ⊥平面βD ．平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线10. 以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论： ①BD ⊥AC ；②△BCA 是等边三角形； ③三棱锥D-ABC 是正三棱锥 ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是（）A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④11. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15AA AC ==，3AB =，4BC =，则在堑堵111ABC A B C -中截掉阳马111C ABB A -后的几何体的外接球的体积为（）A. 25πB.12523 C. 100π D. 1752312.已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和侧棱长相等，D 为1A A 的中点，则直线BD与1B C 所成的角为（）A. 30oB. 45oC. 60oD. 90o二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 直线340x y k -+=在两坐标轴上的截距之和为2，则k = ▲ ．14. 已知正四棱锥的底面边长是67，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ．15. 若三条直线440x y ++=，10mx y ++=，10x y -+=不能围成三角形，则实数m 取值集合为▲ ．16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2220a b mc +-=（m 为常数），cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值为 ▲ ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省苏州市2024-2025学年高二上学期期中调研数学试卷含答案

2024~2025学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，则m 的值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案.【详解】因为经过点()()1,2,,4A B m 的直线l 的斜率为2，所以1m ≠，且4221-=-m ，解得2m =.故选：D.2.等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则6a 的值为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A 【解析】【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d ，则6a 可求.【详解】设等差数列的公差为d ，则3512610a a a d +=+=，因为12a =，所以1d =，所以615257a a d =+=+=，故选：A.3.已知动点M 与两定点()()0,0,0,3O A 的距离之比为12，则动点M 的轨迹方程为（）A .228120x y x +-+= B.228120x y y +-+=C.22230x y x ++-= D.22230x y y ++-=【答案】D 【解析】【分析】设s ，然后根据题意建立等式化简即可.【详解】设s ，由题可知()222222123043x y x y y x y +=⇒++-=+-故选：D4.在2和8之间插入3个实数,,a x b 使得2,,,,8a x b 成等比数列，则x 的值为（）A.4-B.4-或4C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】根据等比中项求解即可.【详解】由x 为等比中项可知，22816x =⨯=，又22a x =可知0x >，所以4x =，故选：C5.若两直线()12:220,:3110l x ay l a x ay ++=---=平行，则实数a 的取值集合是（）A.10,6⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}0 C.16⎧⎫⎨⎬⎩⎭D.1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出0a =.【详解】由题意得()2310a a a -+=且()12310a ---≠，解得0a =.故选：B6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S 为定值时272k a a a ++也是定值，则k 的值为（）A.9B.11C.13D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可得15a d +为定值，结合基本量法可求k 的值.【详解】因为11S 为定值且11611S a =，故6a 为定值，故15a d +为定值，其中d 为公差.而()2711242614(7)k a a a a d d k d a k d ++=+++-=++，故当且仅当720k +=即13k =时，272k a a a ++为定值.故选：C.7.已知直线1:20l x y -=与2:30l x y +-=，过点()3,2P 的直线l 被12,l l 截得的线段恰好被点P 平分，则这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为（）A.163B. C.8D.323【答案】A 【解析】【分析】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，设(,2)A a a ，则(6,42)B a a --，代入直线2:30l x y +-=，即可得点A ，进而可得到直线l 的方程，再求12,l l 交点到l 的距离，利用面积公式计算即可.【详解】设直线l 与直线12,l l 的两个交点为,A B ，且设(,2)A a a ，则由题意可知，点(,2)A a a 关于点()3,2P 的对称点(6,42)B a a --在2l 上，所以64230a a -+--=，解得73a =，所以714(,)33A ，112(,)33B -，所以3AB ==,因为直线l 过点()3,2P ，714(,)33A ，所以直线l 的斜率14234733k -==--，所以直线l 的方程为：()243y x -=--，即4140x y +-=，联立12,l l ：2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12,l l 的交点坐标为()1,2，所以()1,2到直线:l 4140x y +-=的距离为17d ==，所以这三条直线12,,l l l 围成的三角形面积为1316172312S AB d =⨯⨯=⋅=.故选：A.8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11222,,1,,,n n n a n n a a a n n ++-⎧==⎨-⎩为奇数为偶数则18S 的值为（）A.1023B.1461C.1533D.1955【答案】B 【解析】【分析】先判断数列{}2n a 为等比数列，求出其通项公式，再求数列{}21n a -的通项公式，分组求和，可得问题答案.【详解】由题意：2122122a a =+⨯-=，()22122212n n a a n -=+--21244n a n -=+-()2222244n a n n -=--+-⎡⎤⎣⎦222n a -=.所以{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以22nn a =，所以()1212222222n n n a a n n ---=--=-+.所以1317a a a +++= ()()018222212929+++-++++⨯ 92124518=--⨯+439=，2418a a a +++= 129222+++ 10221022=-=.所以1843910221461S =+=.故选：B【点睛】方法点睛：类似这种数列问题，一般是有规律的，可以先求出数列的前几项，观察数列的规律，再想办法证明即可.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知数列是等差数列，是等比数列，*,,,m n p q ∈N .（）A.若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+B.若m n p q a a a a +=+，则m n p q +=+C.若m n p q +=+，则m n p q b b b b =D.若m n p q b b b b =，则m n p q +=+【答案】AC 【解析】【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可.【详解】设等差数列的公差为d ，当m n p q +=+时，()()1111m n a a a m d a n d+=+-++-()()()()1111222211p q a m n d a p q d a p d a q d a a =++-=++-=+-++-=+，故A 正确；当公差0d =时，是常数列，m n p q a a a a +=+，但m n +与p q +不一定相等，故B 不正确；设等比数列的公比为t ，若“m n p q +=+”，则11222211111111m n m n p q p q m n p q b b b t b t b tb t b t b t b b --+-+---=⋅===⋅=，故C 正确；当公比1t =时，是常数列，m n p q b b b b =，但m n +与p q +不一定相等，故D 不正确.故选：AC.10.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.点(),n n a 在同一条直线上B.点(),n n S 在同一条直线上C.点,nS n n⎛⎫⎪⎝⎭在同一条直线上D.点()()11,nk n k n S S ++-（,n k 均为正整数，且k 为常数）在同一条直线上【答案】ACD 【解析】【分析】结合等差数列的通项公式与前n 项和公式，逐一进行判断即可.【详解】对A ：因为()111n a a n d dn a d =+-=+-，0d ≠，所以点(),n n a 都在直线1y dx a d =+-上，故A 正确；对B ：因为()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以点(),n n S 都在二次函数2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故B 错误；对C ：因为122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以点,n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线122d d y x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭上，故C 正确；对D ：因为()()()()1111112nk n k n k n k S S n ka d ++⋅+-⎡⎤⎣⎦-=++()112nk nk nka d⋅---()()22112k k d ka k d n +=-++，所以点()()11,nk n k n S S ++-都在直线y =()2212k k d ka k dx +-+上，故D 正确.故选：ACD11.已知直线:20l kx y k --+=，圆22:4O x y +=，则（）A.l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大值是4B.若l 与圆O 相交于,A B 两点，且90AOB ∠=︒，则2k =-±C.若圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，则34k >D.若对于两个不同的k 值，l 与圆O 分别相切于点P ，Q ，则PQ 所在直线的方程是240x y +-=【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，根据题意知直线l 的斜率0k <，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式，即可解决；对于B ，由题意得弦长，进而得圆心到直线的距离，即可求解k 的值；对于C ，由题意得圆心到直线的距离01d ≤<，即可求解k 的范围；对于D ，将切点弦转化为两相交圆的公共弦的问题，即可解决.【详解】对于A ，由20kx y k --+=得()21y k x -=-，所以直线过点()1,2，又因为直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形，所以0k <；令0x =，得2y k =-+，令0y =，得21x k=-+，所以直线l 与两坐标轴的正半轴的交点分别为()0,2k -+，21,0k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以直线l 与坐标轴的正半轴围成的三角形面积()12212S k k ⎛⎫=⨯-+-+ ⎪⎝⎭()1442k k ⎡⎤⎛⎫=+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1442⎡≥+=⎢⎢⎣；当且仅当4k k-=-，即2k =-时，等号成立，所以三角形面积最小值是4，故A 不正确；对于B ，因为90AOB ∠=︒，所以AB ==，所以12AB =，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离d ==，即=，解得2k =-±B 正确；对于C ，因为圆O 上恰有四个点到l 的距离为1，所以圆心()0,0到直线20kx y k --+=的距离[)0,1d =，解得34k >，故C 正确；对于D ，因为直线20kx y k --+=恒过点()1,2C ，所以直线PQ 就是经过以()1,2C 为圆心，PC 为半径的圆C 和圆22:4O x y +=的交点所在的直线，OC ==，所以1PC ==，所以圆C 的方程为()()22121x y -+-=，所以直线PQ 的方程为240x y +-=，故D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上.12.已知()()3,4,5,6A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值为__________.【答案】2-或54-【解析】【分析】根据点到直线的距离公式列式求解即可.=，即3357a a +=+，解得2a =-或54-.故答案为：2-或54-.13.已知等比数列{}n a 满足6117101,2a a a a +==-，则116a a +=__________.【答案】72-【解析】【分析】利用基本量法可求1a 与公比，故可求116a a +.【详解】设公比为q .因为710611a a a a =，故61161112a a a a +=⎧⎨=-⎩，解得61121a a =⎧⎨=-⎩或者61112a a =-⎧⎨=⎩，若61121a a =⎧⎨=-⎩，则512q =-且1524a q ==-，此时()151167412a a q +=-+=-，若61112a a =-⎧⎨=⎩，则52q =-且15112a q -==，此时()116171822a a +=-=-，故答案为：72-.14.如图，已知点()2,0A ，点B 为圆221:9O x y +=上的动点，若圆222:1O x y +=上存在一点M ，使得AM BM ⊥，则A 的取值范围是__________.【答案】31,31⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到3OD =D 的轨迹为以O 为圆心，233131MD -≤≤，得到答案.【详解】以,MA MB 为邻边，作矩形MADB ，则AB MD =，由矩形性质可得2222OA OB OM OD +=+，证明如下：设,,AM DB m BM AD n MAO θ====∠=，过点,,M B D 分别为MQ ⊥OA ，BE ⊥OA ，DW ⊥OA ，垂足分别为,,Q E W ，过点M 作MF ⊥BE ，垂足为F ，则sin ,cos ,sin ,cos MQ EF m AQ m AW MF QE n DW BF n θθθθ========，故222222sin OM OQ MQ OQ m θ=+=+，()()222222cos sin cos OD OQ AQ AW DW OQ m n n θθθ=+++=+++2222cos 2cos 2sin 2cos sin OQ m OQm OQn mn n θθθθθ=+++++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OM OD OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，()()()()22222sin cos sin OB OQ QE BF EF OQ n n m θθθ=+++=+++22222222sin sin cos 2cos sin sin OQ OQn n n mn m θθθθθθ=+++++，()()222222cos 2cos cos OA OQ AQ OQ m OQ OQm m θθθ=+=+=++，所以2222222cos 2sin 2cos sin OB OA OQ m n OQm OQn mn θθθθ+=+++++，证毕，即2491OD +=+，故212,OD OD ==，点D 的轨迹为以O 为圆心，所以11OD OM MD OD OM =-≤≤+=，左边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且O 在,M D 之间，右边等号成立的条件为,,O M D 三点共线，且M 在,O D 之间，则A 的取值范围是1,1⎡⎤⎣⎦故答案为：1,1⎡⎤-⎣⎦【点睛】关键点点睛：作出辅助线，得到AB MD =，证明出2222OA OB OM OD +=+，从而得到OD =得到D 点轨迹，数形结合进行求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4234,32n n S S a a ==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）()2323nn T n =-+【解析】【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得n a .（2）利用错位相减求和法求得n T .【小问1详解】设等差数列的公差为d ，依题意，()()()1111464231312a d a d a n d a n d ⎧+=+⎪⎨⎡⎤+-=+-+⎪⎣⎦⎩，1121d a a d =⎧⎨=-⎩，解得11,2a d ==，所以21n a n =-.【小问2详解】由（1）得()1212n n b n -=-⋅，所以()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，两式相减得()231222212n nn T n -=++++--⨯ ()()1412121212n n n --=+--⨯-()3223n n =--，所以()2323nn T n =-+.16.已知ABC V 的三个顶点是()()()1,5,5,7,3,3A B C ---，求：（1）边BC 上的中线所在直线的方程；（2）边BC 上的高所在直线的方程；（3）ABC ∠的角平分线所在直线的方程.【答案】（1）50x y -=（2）270x y +-=（3）20x y --=【解析】【分析】（1）对于求边BC 上的中线所在直线方程：首先要找到BC 中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程；（2）对于求边BC 上的高所在直线方程：先求BC 边的斜率，根据斜率公式2121y y k x x -=-，高与BC 垂直，两条垂直直线斜率乘积为1-，再利用点斜式求直线方程；（3）对于求ABC ∠的角平分线所在直线方程：先求AB 和BC 边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为k ，求出k ，再利用点斜式求出直线方程.【小问1详解】首先求BC 中点坐标，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据中点坐标公式，BC 中点(1,5)D --，已知中线过(1,5)A 和(1,5)D --两点，根据两点式515511y x --=----，即51102y x --=--，化简得55(1)y x -=-，整理得50x y -=.【小问2详解】先求BC 边的斜率，已知(5,7),(3,3)B C ---，根据斜率公式37413582BC k -+===+，因为高与BC 垂直，设高的斜率为k ，则112k ⨯=-，解得2k =-，又因为高过(1,5)A 点，根据点斜式52(1)y x -=--，整理得270x y +-=.【小问3详解】先求AB 边的斜率57122156AB k +===+，BC 边的斜率12BC k =，设角平分线斜率为k ，根据夹角公式得122||||11212k k k k --=++，化简212||||122k k k k --=++交叉相乘得|(2)(2)||(12)(12)|k k k k -+=-+，继续化简22|4||41|k k -=-，即22441k k -=-或22414k k -=-，继续化简21k =-（舍去），或21k =，即1k =±，因为角平分线的斜率应该在AB k 和BC k 之间，所以1k =，又因为角平分线过(5,7)B --点，根据点斜式71(5)y x +=⨯+，整理得20x y --=.17.已知数列{}{},n n a b 满足112,224,n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩且115,12a b ==-.（1）求3a ；（2）证明数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n a .【答案】（1）252（2）证明见详解；1132n n a n -=++【解析】【分析】（1）已知11,a b 的值，代入递推公式得出22,a b ，再代入递推公式即可得到3a 的值.（2）由两式消元得到11244n n a b n +++=+，将1n +变为n 得到等式，代入①式消元得到132n n a a n +=-，构造出数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出n a .【小问1详解】当1n =时，21121111222243a ab b a b ⎧=-+=⎪⎨⎪=-++=-⎩，当2n =时，3222542a ab =-+=，【小问2详解】∵112224n n n n n n a a b n b a b ++=-+⎧⎨=-++⎩①②，∴2⨯+①②得到11244n n a b n +++=+，∴24n n a b n +=，则42n n b n a =-代入①得：()1422n n n a a n a n +=--+，则132n n a a n+=-∴()1111322n n a n a n +⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭，且11112a --=，∴数列12n a n ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公比的等比数列.∴1132n n a n ---=，∴1132n n a n -=++18.已知圆22:4O x y +=内有一点()01,0P -，倾斜角为α的直线l 过点0P 且与圆O 交于,A B 两点.（1）当135α= 时，求AB 的长；（2）是否存在弦AB 被点0P 三等分？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由；（3）记圆O 与x 轴的正半轴交点为M ，直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1（2）存在，153k =±（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意求出直线方程，利用圆的几何性质求弦长即可；（2）假设存在，求出弦心距O ，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线距离即可得解；（3）分类讨论直线斜率是否存在，存在时由根与系数的关系及斜率公式化简即可证明.【小问1详解】因为135α= ，所以1l k =-，直线l 的方程为10x y ++=，设圆心到直线的距离为d，则2d ==，所以AB ===【小问2详解】取AB 的中点为Q，如图，假设存在弦AB 被点0P 三等分，设OQ d =，0P Q x =，则3AQ x =，2220222194d x OP d x OA ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，解得4d =，当l斜率不存在时，14d =≠，故l 斜率存在，设l 斜率为k ，则l ：0kx y k -+=，4d==，解得3k=±，即存在弦AB被点0P三等分，直线l的斜率为3±.【小问3详解】由题意知，()2,0M,当直线l斜率不存在时，1A Bx x==-，()()223A By y==，不妨取A By y==，则123,0012312k k-==-==----，此时121.333k k=-=-直线l斜率存在时，设方程为()1y k x=+，代入圆的方程224x y+=可得()22221240k x k x k+++-=，设()()1222,,,A x yB x y，则22121222,2411k kx x x xk k-+=-=++，又()()12121211221100,2222k x k xy yk kx x x x++--====----，所以()()1212121122k x k xk kx x++=⋅=--2222222222242111(3)1.93422411k kkk k kkk kk k⎛⎫--+⎪++-⎝⎭==-⎛⎫---+⎪++⎝⎭综上，12k k为定值13-.19.已知点()()11,1,0,2P P-，向量()*11n nPP PP PP n+=+∈N，点,,n nO P Q在一条直线上，且满足2n nOP OQ⋅=.（1）求nOP；（2）证明nQ在同一个圆上，并求该圆的圆心M和半径r；（3）过nQ引圆M的切线，记切线与x轴的交点为nR，求证：122nOR OR OR+++<.【答案】（1）()1,1n n-+；（2）M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和2r =；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设n P 坐标，利用向量的坐标表示结合等差数列的通项公式计算即可；（2）设n Q 坐标，利用向量共线的充要条件及数量积的坐标表示消元计算即可；（3）根据直线与圆的位置关系计算切线方程得出n R 的坐标，再利用放缩法计算和即可.【小问1详解】设(),n n n P a b ，则由题意可知()()()111,11,11,1n n n n a b a b +++-=+-+，所以1111n n n n a a b b ++=+⎧⎨=+⎩，即{}{},n n a b 分别成公差为1的等差数列，由已知110,2a b ==，则()()111111n n a a n n b b n n ⎧=+-=-⎪⎨=+-=+⎪⎩，即()1,1n P n n -+，所以()1,1n OP n n =-+ ；【小问2详解】设(),n n n Q x y ，即(),N n n OQ x y = ，因为,,n n O P Q 共线，且满足2n n OP OQ ⋅= ，则有()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，当2n ≥时，易知11n n y n x n +=-，即n n n nx y n y x +=-，此时()()221120n n n n n n n x n y x x y y -++=⇒++-=，即22111222n n x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1n =时，解方程组可得1101x y =⎧⎨=⎩，也满足上式，所以(),n n n Q x y 在以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆上，圆心M 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和半径2r =；【小问3详解】由（2）()()()()110112n n n n n x n y n x n y ⎧+--=⎪⎨-++=⎪⎩，解方程得221111n n n x n n y n -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，则2222112112112112n MQ n n n n k n n n n ---+++==++-++，所以n Q 处的切线方程斜率为222121n n n n +---，则切线方程为222212111211n n n n y x n n n n ++--⎛⎫-=- ⎪+--+⎝⎭，令0y =得2221x n n =+-，即2222,02121n n R OR n n n n ⎛⎫⇒= ⎪+-+-⎝⎭，易知()()2222112211111n n n n n n n n n ⎛⎫=≤=- ⎪+-++-++⎝⎭，则1211112121211n OR OR OR n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2221n =-<+，证毕.【点睛】方法点睛：根据向量的坐标运算结合消参法可计算轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得出切线方程，再由放缩法证明即可.。

江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ，如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点，则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥．故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上．代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0．故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞）【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0．（2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2，求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ．（2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下：设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ．因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ．因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11．面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行．【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行．本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上，所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1，又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|，由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ，由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]．【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。

江苏省苏州市昆山市2023_2024学年高二下学期综合能力测评数学质量检测试题(含答案)

江苏省苏州市昆山市2023-2024学年高二下学期综合能力测评数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则符合条件的有序集合对的个数为（）{}1234,,,A B a a a a U== (),A B A ．81B ．90C ．108D ．1142．最接近下列哪个数字（）201.01A ．1.20B ．1.21C ．1.22D ．1.233．，，若在其定义域上有且仅有两个零点，则()2ln x f x x =()()()21g x f x mf x ⎡⎤=--⎣⎦()g x 的取值范围是（）m A ．B ．21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭2e e 2,e 22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．2e ,e 2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ee 1,122⎛⎫-+ ⎪⎝⎭4．超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为（）A ．12B ．15C ．17D ．205．已知复合函数求导法则符合，记是的()()()()()f g x f g x g x ''⎤⎣⎦'⎡=()W x ()()e 0x f x x x =>反函数，则（）()W x '=A ．B ．C ．D ．()e xW x x+()1eW x x+()e x x W x ()eW x x6．丛雨和芳乃玩猜硬币正反面的游戏，其中一人抛硬币，另一人猜硬币正反面，猜中则猜方获胜，猜不中则对方获胜，每轮的胜者可获得对方的一枚硬币，直到其中一人赢完所有硬币之后游戏结束．已知游戏开始时，丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币，则丛雨最后赢得所有a b 硬币的概率为（）A ．B ．C ．D ．0.5a a b+222a ab +2a b a b-+7．下列比大小正确的是（）A ．B ．πe ln π<21ππe ππ-->-C ．D ．12ππln e π<3π31>8．设为函数的定义域，若对于且，都有，我们称为D f 12,x x D ∀∈12x x >()()12f x f x ≥f “不减函数”．对于映射：，符合条件的不减函数有（）f {}{}1,2,31,2,3,4→f A ．16个B ．18个C ．20个D ．22个二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列组合恒等式正确的有（）A ．B ．11A A A m m m n n n-+=+11C C m m n n m n --=C ．D ．1C2nin nii n -=∑1CC C ki k i k m n m ni --==∑10．对于，若使，则称是的正因数，易知也是的正因数．正因*,a d ∈N *k ∃∈N a kd =d a k a 数只有1与自身的数叫做素数，如：2、3、5、7、11……．若对于正整数与，它们之间a b 最大公因数为1，则称与互素．已知一个正整数可以被唯一分解为一组素数的乘积：a b ，其中，是两两不同的素数，则下列说法正确的是（）1212k a a a k n p p p =⋅⋅⋅*i α∈N i p A ．从中随机取出两数，则它们互素的概率是{}1,2,3,4,5,6,7A =1721B ．360的正因数个数为25C ．360的所有正因数之和为()()()32213151+++D ．360的所有正因数之积为1236011．设非常值函数定义域为，，且对于任意都满足()f x R ()1ef =,0x y ≠，则下列说法正确的是（）()()()11f x y f x f y x y+=+A ．()1121e e e 12e e 1e++=-=--+-∑n n ni n f iB ．是奇函数()f x C ．()()1f x f x '=+D ．若有且仅有一个整数解，则的取值范围是()()31f x k x <-k 223,e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将符合每小题的答案填写到空格上．12．随机取中的一个元素，则，(){},,,|20,,,,x y z w x y z w x y z w +++=∈N 0x >，，的概率为．1y >2z >3w >13．用个种不同颜色的扇形拼成一个圆，相邻的扇形不共色，设拼法数为，写出数列n k n a 的一个递推公式．{}n a 14．“指数找基友”是高中导数的重要思想，如和()()()()'e e x xf x f x f x ⎡⎤=+'⎣⎦，这揭示了它们导数之间的奇妙关系．已知定义在上的可导函数()()()'e e x xf x f x f x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦'R 和满足以下关系：，，，，则()f x ()g x ()()f xg x '=()()g x f x '=()()0f x f x +-=()01g =，．()f x =()g x =四、解答题：本题共5小题，共77分．将符合题目的答案填写在空白处．15．回答下列问题(1)求的个位数字122024122024A A A ++⋅⋅⋅+(2)若随机变量，试求最大时的取值111,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:()P X k =k (3)证明：是偶数2C nn 16．已知，()e x kf x x =-()0,k ∈+∞(1)若，试证明：，恒成立e =k 0x ∀>()0f x ≥(2)若，讨论的零点个数*k ∈N ()f x 17．对数均值不等式在各个领域都有着重要应用．(1)讨论，的单调性()()21ln 1x f x x x -=-+()l 1n 2x g x x x =-+(2)试证明对数均值不等式：2ln ln x y x yxy x y +->>-(3)设，试证明：*n ∈N ()222111ln 11122n n n++⋅⋅⋅+>++++18．设样本空间，，其中两两互相独立．设随机事{}12,,...,m A A A A ={}12,,...,n B B B B =,i j A B 件对应的结果值为，随机变量和的取值分别为样本空间和中所发生事件的M ()V M X Y A B 结果值，从而它们的数学期望，.()()()1mi i i E X V A P A ==∑()()()1nj j j E Y V B P B ==∑(1)证明：，；()()()E X Y E X E Y +=+()()()E XY E X E Y =(2)小明抛一枚奇葩的硬币，有的概率朝上，的概率朝下，的概率立起来．记朝上为121316分，朝下为分，立起来是分，设随机变量是小明抛次硬币所得的分数，求，11-0S 100()E S ；()D S (3)若随机变量，证明：，.(),Z B n p ~()E Z np=()()1D Z np p =-19．已知集合.{}1,2,3,...,1,A n n =-(1)“算两次”思想在组合数学中有着重要应用．例如：对于一个元集合的所有子集个数，n U 一方面有，另一方面：对于所有子集，每个中的元素有“出现”和“不出01C C ...C nn n n N =+++U 现”两种选择，由分布计数原理可得，因此有．令222...22n N =⋅⋅⋅⋅=01C C ...C 2n n n n n +++=，试用算两次思想化简；()x BS B x∈=∑()B AS B ⊆∑(2)对于的子集个数还可以这样理解：，展开式中U ()00111021111C 11C ...11C nn n n n n n n n -=+=+++每一项都唯一对应着的一个子集．令，试化简；U ()x BP B x∈=∏(),B A B P B ⊆≠∅∑(3)对偶原理也是组合数学的重要方法，例如数学王子高斯小时候在计算的值时，12...100+++他把与配对，与配对，从而化变量为常量，简化了计算．这其实就是对偶原理的一1100299种体现．令，其中是中元素从小到大的一个排列，()()1121...1n n n n Q B a a a a ---=-+-+-{}n a B 试用对偶原理化简.()B AQ B ⊆∑1．A【分析】根据满足条件的集合可看成由的子集与的并集，然后分类计算即可.B A U A ð【详解】当时，满足条件的有序集合对有1个；A =∅当为单元集合时，例如，A {}1A a =则满足条件的集合可看成由的子集与集合的并集，共有个，B A {}234,,a a a 12所以为单元集合时，满足条件的有序集合对有个；A 114C 28⨯=当为二元集合时，满足满足条件的有序集合对有个；A 224C 224⨯=当为三元集合时，满足满足条件的有序集合对有个；A 334C 232⨯=当为四元集合时，满足满足条件的有序集合对有个.A 444C 216⨯=综上，符合条件的有序集合对的个数为.(),A B 1824321681++++=故选：A 2．C【分析】利用二项式定理进行估值即可.【详解】由题意得，2020(11.010.01)=+由二项式定理得，()()20212202010.011C 10.01C 0.01+=+⨯⨯+⨯+而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，所以我们得到，1220200220.010.010.01) 1.219(1)1C C +≈+(=⨯1⨯+⨯则其与1.22更接近，故C 正确.故选：C 3．B【分析】利用导数求出的单调区间，画出的大致图象，令，则问题转化为()f x ()f x ()t f x =方程有两个不相等的实根，且，然后结合根与系数的关系可求210t mt --=12,t t 1222,[,]e e t t ∉-得答案.【详解】由，得，()2ln x f x x =()222222ln 2ln (0)xx x x x f x x x x -='⋅-=≠令，由()t f x =()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦则，则210t mt --=2m ∆=+所以方程有两个不相等的实根210t mt --=()g x，利用错位相减法和极限思想求出答案.()()11512366k k E Y k ∞-+=⎛⎫=+⋅⋅⎪⎝⎭∑【详解】设抽奖次数为，花费的积分为，则，k Y ()52123Y k k =+-=+每次抽中100元代金券的概率为，211026=+故，()()11512366k k E Y k ∞-+=⎛⎫=+⋅⋅⎪⎝⎭∑设，①()01215555579236666k k S k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，②，()123555555792366666kk S k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 两式相减得，()12311555555222223666666k kk S k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯++⨯-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()()555556652235101223566616kk k k k k ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⨯-+⋅=+-⨯-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-故，()55907262366kkk S k ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()551lim 907262315666k k k E Y k ∞→+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⋅⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：B 5．B【分析】先根据反函数定义得到，两边求导得到，再求出()()x f W x =()()()1W x f W x '='，从而得到答案.()()()()()()e e e W x W x W x x f W x W x '==+⋅+【详解】因为互为反函数，所以，()(),f x W x ()()x f W x =两边求导得，()()()1f W x W x ''=⋅故，()()()1W x f W x '='两边求导得，()()e 0xf x x x =>()()()1e 0x f x x x '=+>故，()()()()()()()()1e e e W x W x W x f W x W x W x =++⋅'=是的反函数，故，()W x ()()e 0xf x x x =>()()e W x x W x =故，()()()e W x xf W x =+'故.()()()()1e 1W x W xf W x x=='+'故选：B关键点点睛：本题解决的关键在于，利用互为反函数得到以，从而()(),f x W x ()()x f W x =利用复合函数的求导即可得解.6．B【分析】设当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，丛雨最后赢得所有硬币的概率为k a b k +-，然后利用全概率公式得到，再结合，即kp ()11111122k k k p p p k a b -+=+≤≤+-00p =1a b p +=可求出.a a p a b =+【详解】事实上，无论抛硬币的人选如何，每一局结束后两人获胜的概率都是.12设当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，丛雨最后赢得所有硬币的概率为.k a b k +-k p 对，当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，进行一局游戏后，两人的11k a b ≤≤+-k a b k +-硬币数有的概率分别变成和，也有的概率分别变成和，121k +1a b k+--121k -1a b k +-+则根据全概率公式有.111122k k k p p p -+=+从而.111111112222k k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p p +-+---⎛⎫-=+--=--=- ⎪⎝⎭故可设.()10,1,2,...,1n n p p d n a b +-==+-显然也有，，所以00p =1a b p +=.()()()()()()110112211011...a b a b a b a b a b a b a b n n n n p p p p p p p p p p pp d a b d+-+-+++-+-+-+===-=-+-++-+-=-==+∑∑从而由可知，故()1a b d=+1d a b =+.()()()()()110112211010...a a a a a a a a n n n n a p p p p p p p p p p p p p d ad a b -----+===-=-+-++-+-=-===+∑∑所以当丛雨有枚硬币，芳乃有枚硬币时，丛雨最后赢得所有硬币的概率.a b a a p a b =+故选：B.关键点点睛：本题的关键点在于将全概率公式和数列知识结合，利用数列得到所求概率.7．D【分析】构造函数根据函数单调性判断A,化简函数构造函数后应用函数单调性判断B,应用对数运算化简判断C,计算判断D.【详解】对于A:设,()()()()221ln ln 1,ln ln ln x x xx x f x f x xx x -⨯-=='=当在上单调递增，()()e,0,x f x f x >'≥[)e,+∞所以,所以,A 错误；()()πe πe,πe ,e ln πlnef f >>>=πeln π>对于B:设，()()()()e 1,e 1e =e x x x xg x x g x x x -'=-=--当在上单调递增，当在上单调递减,()()0,0,x g x g x '(),0∞-()()0,0,x g x g x <'>()0,∞+所以 ,()()()0max 0e 101g x g ==-=所以,()()1,e 11x g x x ≤-≤当取所以,B 选项错误；()22π2π,e1π<1,x ---=-22ππ211πe <,e <1πππ------对于C:因为，C 错误；122π1lne π=×π=ππ对于D:因为,D 选项正确.33π 3.141592631.0131≈≈>故选：D.8．C【分析】根据“不减函数”的定义，分情况讨论，列出所有情况即可．【详解】分情况讨论，值域取1个元素，取2个元素，取3个元素.值域1个元素，可以；；；；共4个.1231→1232→1233→1234→值域取2个元素，；；；；121,32→→11,232→→121,33→→11,233→→；；；；11,234→→11,234→→12,233→→12,233→→；；；；共12个．12,234→→12,234→→13,234→→13,234→→值域取3个元素，；；；11,22,33→→→11,22,34→→→11,23,34→→→；共4个.12,23,34→→→总共有20个.故选：C.9．BCD【分析】利用排列数、组合数的性质逐一分析即可.【详解】选项：左边，A 11A (1)(1)(2)(1)A m m n nn n n n m n -++--++== 1A (1)(2)(1)(1)A m m n nn n n m n m n m --=-+-+=-+ 右边，1111A A (1)A A (2)A m m m m m n n n n nn m n m ----=-++=++-当时，即，故错误；1m =1101A A A n n n +≠+11A A A m m m n n n -+≠+A 选项：，故正确；B 11(1)(1)(1)(1)C C !(1)!m m n n n n n m n n m m mn n m m ----+--+===- B 选项：，C 121CC +C +2C nninn n ni i n =+=∑ 令①，01210C C C C +2(C +1)n n nn n n nS n n -++-+= ②，1210(1)+C +2C C C 0C n n n n n n nS n n -+-++= 由得，故，①+②01212++)(C C C C C 2n n n n n n n n S n n -++==+⋅ 12n S n -=⋅即，故正确；112Cnini n i n =-⋅=∑C 选项：，D (1)(1)(1)m n m nx x x -++=+的通项为，的通项为，(1)m x +1C i i i m T x +=(1)n m x -+1-C k i k ik i n m T x---+=则左边含的系数为，右边含的系数为，(1)(1)m n mx x -++kx 1CC ki k i m n mi --=∑(1)n x +k x C kn 故，故正确.1CC C kik i k m n m ni --==∑D 故选：BCD.10．ACD【分析】根据古典概型概率公式和素数定义可判断A ；根据，由分步乘法计321360235=⨯⨯数原理可判断B ；根据二项式定理的推导过程可判断C ；由因数的成对性可判断D.【详解】对于A ，从中随机取出两数有种取法，{}1,2,3,4,5,6,7A =27C 21=其中不互素的数组有，()()()()2,42,64,63,6，，，所以它们互素的概率是，A 正确；41712121-=对于B ，因为，所以360的正因数由2、3、5的乘积构成，321360235=⨯⨯其2有4种取法，3有3种取法，5有2种取法，所以360的正因数个数为个，B 错误；43224⨯⨯=对于C ，由二项式定理可知360的正因数是展开式每一项的系数，()()()32235x y z +++所以360的所有正因数之和为，C 正确；()()()32213151+++对于D ，由题知，360的因数成对出现，共12对，每队的乘积都等于360，所以360的所有正因数之积为，D 正确.12360故选：ACD 11．AD【分析】令，可得是以为首项，为公比的等比数列，求出，然后利用,1==x i y ()f i ie e ()f i 错位相减求和可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；求出、可判断C ；令()f x '()1f x +，利用导数得出的大致图象，结合图象可判断D.()3e xg x x =()g x 【详解】对于A ，令，则，可得，,1==x i y ()()()11111f i i f i f i i ++=+=()()11ef i i f i i ++=且，所以是以为首项，为公比的等比数列，()1=e1f ()f i i e e ，()()e 1,2,,if i i i n == 设，()()()1212e 2e e nS f f f n n =+++=+++ 则，231e e 2e e +=+++ n S n直线横过定点，()1y k x =-()1,0设直线与的切点为()1y k x =-()3e xg x x =则，，()()00031e x g x x +'=0003e =x y x ()0031e x y x ⎧=+⎪因为，不满足有且仅有一个整数解；015012+<=<x ()()31f x k x <-所以要使有且仅有一个整数解，()()31f x k x <-只须，解得，故D 正确.()()()()31113221f k f k ⎧-<--⎪⎨-≥--⎪⎩223e2e k ≤<故选：AD.关键点点睛：解题的关键点是求出的解析式和数形结合解题.()f x 12．26161【分析】根据给定条件，利用隔板法求出的自然数解的个数，再求出满足20x y z w +++=的整数个数，然后计算古典概率即得.31,,2,0x y z w >>>>【详解】依题意，的一个元素，即方程(){},,,|20,,,,x y z w x y z w x y z w +++=∈N 的一个自然数解，20x y z w +++=由，得，20x y z w +++=(1)(1)(1)(1)24x y z w +++++++=设，则，1,1,1,1x x y y z z w w ''''=+=+=+=+24x y z w ''''+++=方程的自然数解的个数即为方程的正整数解的个数，20x y z w +++=24x y z w ''''+++=可视为24个小球排成一排，用3块隔板插入23个间隙分24个小球的分法数，有种，323C ，令，(1)(2)(3)14x y z w +-+-+-=1,2,3y y z z w w ''''''=-=-=-因此满足的整数解的个数，即为方程的正整数解个31,,2,0x y z w >>>>14x y z w ''''''+++=数，有种，313C 所以所求概率.313323C 13121126C 232221161P ⨯⨯===⨯⨯故26161关键点点睛：求出方程的正整数解的个数，关键是转化为排成一排的2424x y z w ''''+++=个小球，用3块隔板分成4部分的不同分法数.13．（答案不唯一，例如也可以）()11n na k a +=-()()2121n n na k a k a ++=-+-【分析】构造另一个数列作为辅助，利用乘法原理得到，{}n b ()()121n n n a k a k b +=-+-，二者结合即可得到的递推公式.1n n b a +={}n a 【详解】将所有扇形按逆时针顺序分别记为，若每种扇形可从种颜色中选择一个12,,...,n T T T k 并染色，设使得每对都不同色，且不同色的选择方式有种，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T n a 使得每对都不同色，但同色的选择方式有种.()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T n b 则使得每对都不同色的选择方式有种，而根据乘法原理，()1,11i i T T i n +≤≤-()n n a b +使得每对都不同色的选择方式有种，从而.()1,11i i T T i n +≤≤-()11n k k -⋅-()11n n n a b k k -+=⋅-而对，我们先考虑使得每对都不同色，121,,...,,n n T T T T +()1,1i i T T i n +≤≤且不同色的选择方式，这样的选择方式有种.11,n T T +1n a +若每对都不同色，且不同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则的选择方式有种，的选择方式有种；12,,...,n T T T n a 1n T +()2k -若每对都不同色，但同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则的选择方式有种，的选择方式有种.12,,...,n T T T n b 1n T +()1k -所以.()()121n n na k a kb +=-+-我们再考虑使得每对都不同色，但同色的选择方式，这样的选择方式有()1,1i i T T i n +≤≤11,n T T +种.1n b +若每对都不同色，且不同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则的选择方式有种，的选择方式有种；12,,...,n T T T n a 1n T +1若每对都不同色，但同色，()1,11i i T T i n +≤≤-1,n T T 则无论怎样选择都不符合条件，故无法选择.1n T +所以.1n n b a +=至此我们得到，，所以()()121n n na k a kb +=-+-1n n b a +=.()()()()21112121n n n n na k a kb k a k a ++++=-+-=-+-这就得到了的一个递推公式.{}n a ()()2121n n na k a k a ++=-+-该递推公式还可以进一步简化，由该递推公式可得.()()()()()()()2111112111n n n n n n n a k a k a k a k a a k a +++++--=-+---=---故.()()()()()()()1111221111...11n n n n n n n a k a a k a a k a a k a -+-----=---=--==---而根据乘法原理有，，故.1a k =()21a k k =-()()()211110a k a k k k k --=---=所以.()()()()()11121111100n n n n a k a a k a --+--=---=-⋅=这就得到一个更简单的递推式.()11n na k a +=-故（答案不唯一，例如也可以）.()11n na k a +=-()()2121n n na k a k a ++=-+-关键点点睛：本题的关键点在于，构造另一个数列作为辅助，以得到所求数列的递{}n b {}n a 推公式.14．e e 2x x--e e 2x x-+【分析】根据题意整理可得，进而可得()()()()e e 0x xf x f xg x g x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦''，即，再根据题意可得，结合奇函数以()()e e xxf xg x c-=()()e x c f x f x ='-()e 2e xx c f x a =-及列式求解即可.()01g =【详解】由题意可知：的定义域为，()(),f x g x R 因为，，则，()()f xg x '=()()g x f x '=()()()()0f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦即，()()()()e e 0x x f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦''由题意可知：，即，()()e e x x f x g x c-=()()e e x x f x f x c-'=可得，则，()()e xc f x f x ='-()()()'2e e e e e x x x x x cf x f x f x c -⎡⎤-===-⎢⎥⎣⎦'可得，即，则，()2e 2e xx f x c a =+()e +2e x x c f x a =()()e -2e x x cg x f x a ='=又因为，，则，()()0f x f x +-=()01g =()()0,01f x f '==可得，解得，0212c a c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21c a =-=-即，，()11e e e 22e 2x x x x f x --=-=()e e 2x xg x -+=此时符合题意，()()e e e e 022x x x xf x f x ----+-=+=所以，.()e e 2x x f x --=()e e 2x xg x -+=故；.e e 2x x --e e 2x x-+关键点点睛：本题的关键是根据化简可得，进而可得()()()()e e 0x x f x f x g x g x ⎡⎤⎡⎤+-+=⎣⎦⎣⎦''，再结合题意可得，化简运算即可.()()e x cf x f x ='-()2e 2e xx f x c a =+15．(1)3(2)或3k =4k =(3)证明见解析【分析】（1）由可知，当时，的个位数字都是0，所以只要求出55A 120=5n ≥A nn 的个位数字即可；12341234A A A A +++（2）设最大，则，然后利用二项分布的概率公式列方程组()P X k =()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩求解即可；（3）利用组合数的性质证明即可.【详解】（1）因为，所以当时，的个位数字都是0，55A 120=5n ≥A nn 因为，12341234A A A A 1262433+++=+++=所以的个位数字为3；122024122024A A A ++⋅⋅⋅+（2）设最大，则，()P X k =()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩因为，所以，111,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()11111111111213333kkk kk k P X k C C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，111121111111110111111212C C 33331212C C 3333k k k kk k k k k kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩即，所以，解得，1111111111C 2C 2C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩121221111k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩34k ≤≤因为，所以或，N k ∈3k =4k =（3）证明：因为，，121212C C C n n n n n n ---=+121(1)212121C C C n n n n n n n -------==所以，2122121C C 2C C n n nn n n n n ---=+=所以是偶数2C n n 16．(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）通过等价变形，转化为证明，当时，恒成立，构造()0f x ≥()0x ∞∈+，ln 1e x x ≤函数，借助导数求出函数最大值即可得证；（2）分和讨论，即分别进行正零点和负零点的讨论，即可得解.0x ≤0x >【详解】（1）证明：()()e e 0xf x x x =->要证明，恒成立，即证明恒成立0x ∀>()0f x ≥ee x x ≥又e e e e eln 1ln ln x x x x x x ≥⇔≥⇔≤即只需要证明当时，恒成立，()0x ∞∈+，ln 1e x x ≤令，则，()()ln 0x g x x x =>()21ln xg x x -'=令解得，所以在上单调递增；()0,g x '>0e x <<()g x ()0,e 令解得，所以在上单调递减；()0,g x '<e x >()g x ()e,∞+所以，当时，取得极大值，也是在上的最大值，e x =()g x ()g x ()0∞+，即，()()max ln e 1e e e g x g ===当，即时，又11e k >e k <k ∈没有零点；()f x 当，即时，又10e k <<e k >当时，有三个零点；()*22N k n n =+∈()f x 关键点点睛：第（1）问的关键，将恒成立问题，转为了恒成立问题，结合()0f x ≥ln 1e x x≤导数即可证明；第（2）问的关键在于分类讨论，分和讨论，从而得解.0x ≤0x >17．(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）先进行转化：，；2ln ln x y x y x y +->-⇔()21ln 01t t t -->+1t >ln ln x y xy x y ->-⇔，.在利用（1）的结论证明.1ln 0t t t -+<1t >（3）利用，可得，再累加求和即可.ln ln x y xy x y ->-()21ln 1ln n n n n >+-+【详解】（1）在()()()()2212111x x f x x x +--=+'-()2141x x =-+()()22141x x x x +-=+()()2211x x x -=+0≥上恒成立，所以在上单调递增；()0,∞+()f x ()0,∞+在上恒成立，所以在上单调()2211g x x x=--'2221x x x --=()221x x -=-0≤()0,∞+()g x ()0,∞+递减.（2）不妨设0x y >>因为2ln ln x y x y x y +->-⇔()2ln ln x y x y x y -->+⇔21ln 1x y x x y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+⇔21ln 01x y xx y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+设，，则问题转化为：，.x t y =1t >()21ln 01t t t -->+1t >由（1）可知，函数在上单调递增，所以.()()21ln 1x f x x x -=-+()1,∞+()()10f t f >=故，成立，所以： .()21ln 01t t t -->+1t >2ln ln x y x y x y +->-又因为ln ln x y xy x y ->-⇔ln ln x y x y xy --<⇔1ln x x y y x y -<⇔1ln 0t t t --<⇔.1ln 0t t t -+<由（1）知在上单调递减，所以，故()12ln g x x x x =-+()1,∞+()()10g t g <=，成立，所以.1ln 0t t t -+<1t >ln ln x y xyx y ->-所以：成立.2ln ln x y x yxy x y +->>-（3）根据，ln ln x y xyx y->-⇒()()11ln 1ln n n n n +<+-⇒()()1ln 1ln 1n nn n >+-+所以2221111122n n ++⋅⋅⋅++++()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n >-+-+++- ()ln 1ln1n =+-,()ln 1n =+所以，成立.()222111ln 11122n n n++⋅⋅⋅+>++++*n ∈N 18．(1)证明见解析(2)，()503E S =()7259D S =(3)证明见解析【分析】（1）直接根据期望的定义以及两两互相独立即可证明；,i jA B （2）将单次的得分分别记为一个随机变量，然后求其相应的量，最后考虑它们的和的期望和方差即可；（3）使用二项分布的定义，结合二项式定理和导数知识即可求解.【详解】（1）根据两两互相独立，可知,i jA B ()()()()()11mni j i j i j E X Y V A V B P A B ==+=+∑∑()()()()()11m ni j i j i j V A V B P A P B ===+∑∑()()()()()()1111mnmni i j j i j i j i j V A P A P B V B P A P B =====+∑∑∑∑()()()()()()1111mnnmi i j j i j i j j i V A P A P B V B P A P B =====+∑∑∑∑()()()()()()1111mn n m i i j j j i i j j i V A P A P B V B P B P A ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑()()()()11m ni i j j i j V A P A V B P B ===+∑∑；()()E X E Y =+且()()()()()11mni j i j i j E XY V A V B P A B ===⋅∑∑()()()()()11mni j i j i j V A V B P A P B ===⋅∑∑()()()()()()11mni i j j i j V A P A V B P B ===⋅∑∑()()()()()()11mn i i j j i j V A P A V B P B ==⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()()()()()()()11mni i j j i j V A P A V B P B ===⋅∑∑.()()E X E Y =（2）对，设小明第次抛硬币时的得分为，则，1,2,3,...,100i =i i X ()112i P X ==，.()113i P X =-=()106i P X ==从而，.()()11111236i E X =⋅+-⋅=()()22211511236i E X =⋅+-⋅=而显然两两独立，故.12100,,...,X X X ()()()()1111,100,6636i j i j E X X E X E X i j i j ==⋅=≤≤≠所以由即知，且1001ii S X ==∑()()1001001001111150100663i i i i i E S E X E X ===⎛⎫====⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()()()2222D S E S E S E S E S S E S =-=-⋅+()()()()()()()()22222E S E S E S E S E S E S =-⋅+=-2210010011i i i i E X E X ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()210010021112i i j i i i j n i E X X X E X =≤<≤=⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()()()()()()10010022111001110022ii j i i j i i j i i j E XE X X E X E X E X =≤<≤=≤<≤⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑()()()()()()()()10022111002i i ijiji i j E X E X E X X E X E X =≤<≤=-+-∑∑210011100511112663666i i j =≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.251725100669⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）对，据二项式定理有.0x >()()()()()1C 1C 1nnnn k kn kkk k kn n k k p px p xp p p x --==-+=-=-∑∑在两边同时对求导，得()()()01C 1nnn kk k kn k p px p p x -=-+=-∑x ，()()()1101C 1nn n kk k k n k np p px k p p x ---=-+=⋅-∑再在两边对同时求导，得()()()111C 1nn n kk k k n k np p px k p p x ---=-+=⋅-∑x .()()()()()222111C 1nn n kk k k n k n n p p px k k p p x ---=--+=-⋅-∑在以上三个等式中令，就得到，，1x =()()01C 1nn kkknk p p-==-∑()()0C 1nn kk knk np k p p -==⋅-∑.()()()()2011C 1nn kk kn k n n p k k p p -=-=-⋅-∑根据二项分布的定义有.()()()C 10,1,2,...,n kk k n P Z k p p k n -==-=故.()()()()0C 1nnn kk knk k np k p pk P Z k E Z -===⋅-=⋅==∑∑且()()()()()()2211C 1nnn kk knk k n n p k k p pkk P Z k -==-=-⋅-=-⋅=∑∑.()()()()220nnk k k P Z k k P Z k E Z E Z ===⋅=-⋅==-∑∑故，.()E Z np=()()()221E Z E Z n n p -=-这就得到()()()()()()()()2222D Z E Z E Z E Z E Z Z E Z =-=-⋅+()()()()()()()()22222E Z E Z E Z E Z E Z E Z =-⋅+=-()()()()()()22E Z E Z E Z E Z =-+-.()()()22211n n p np np np np np p =-+-=-+=-关键点点睛：本题的关键在于将二项式定理和导数结合，从而研究二项分布的特性.19．(1)()212n n n -+⋅(2)()1!1n +-(3)12n n -⋅【分析】（1）计算的每个元素在求和式中出现的次数，再乘以该元素并相加即可；A （2）对一般的集合，考虑展开式除第一项以外{}123,,,...,n T t t t t =()()()()123111...1n t t t t ++++的其它项，然后取的特殊情况即得答案；()1,2,...,i t i i n ==（3）将的子集分为不包含元素的和包含元素的两类，然后一一对应，对每对对应的集A n n 合计算，再乘以配对的数目即可.12,B B ()()12Q B Q B +【详解】（1）对任意，的包含的子集数目与集合{}1,2,...,k n ∈{}1,2,3,...,1,A n n =-k 的全体子集数目一一对应，共有个.{}1,2,3,...,1,1,...,k k n -+12n -所以，将展开成若干项的求和后，每个在表达式中都()B A B Ax BS B x⊆⊆∈=∑∑∑{}1,2,...,k n ∈()B A S B ⊆∑出现次.12n -这就得到.()()()1112111222122nnn n n n B Ak k n n S B k k n n ----⊆==+=⋅==⋅=+⋅∑∑∑（2）对集合，由于的展开式中，除第一项的外，{}123,,,...,n T t t t t =()()()()123111...1n t t t t ++++1每一项都唯一对应着的一个子集的各个元素的乘积.T 故.()()()()()123,111 (11)n B T B P B t t t t ⊆≠∅=++++-∑特别地取，就有，.()1,2,...,i t i i n ==T A =()(),1!1B A B P B n ⊆≠∅=+-∑（3）将的子集分为两类：第一类是不包含元素的子集，第二类是包含元素的子集.A n n 那么第一类和第二类子集之间可以实现一一对应：将任意一个第一类子集添加元素，就得n 到一个第二类子集；将任意一个第二类子集去掉元素，就得到一个第一类子集.n 设是一个第一类子集，它对应一个第二类子集.1B {}21B B n =⋃那么求和式中的每一项在的求和式中都以符号相反的状态出现，若计算()1Q B ()2Q B ，则这些项两两抵消，只剩下的第一项.()()12Q B Q B +()2Q B n 所以每对对应的第一类子集和第二类子集都满足.1B 2B ()()12Q B Q B n +=而的子集共有个，故一共有个这样的对应，所以.A 2n11222n n -⋅=()12n B A Q B n -⊆=⋅∑关键点点睛：本题的关键点在于用不同的方式计算同一个变量，以得到相应的恒等式，这就是经典的算二次方法或富比尼原理.。

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知i 是虚数单位，则i 2014= ______ ．2. 若z =−1+√3i(其中i 为虚数单位)，则z 3= ______ ．3. 从集合{−1,1，2，3}中任意取出两个不同的数记作m ，n ，则方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的双曲线的概率是______．4. 已知(3x +1)(x +m)6的展开式中x 5的系数为3，则m =______5. 已知(x 13−2x)n 的展开式中，各项的系数与它的二项式系数和的差为−33，则n =______． 6. 因指数函数y =a x 是增函数(大前提)，而y =(13)x 是指数函数(小前提)，所以y =(13)x 是增函数(结论)，上面推理错误的原因是______ 是错误的(填大前提或小前提或结论)．7. 已知S n =1n+1+1n+2+⋯+12n ，n ∈N ∗，利用数学归纳法证明不等式S n >1324的过程中，从n =k到n =k +l(k ∈N ∗)时，不等式的左边S k+1=S k +______． 8. 如图，正方形边长为，分别作边上的三等分点，得正方形，再分别取边上的三等分点，得正方形，如此继续下去，得正方形，……，则正方形的面积为．9. 已知点A(1,2，3)，B(0,1，2)，C(−1,0，λ)，若A ，B ，C 三点共线，则λ=______．10. 若直线l 的方向向量为a⃗ =(1,0，2)，平面α的法向量为u ⃗ =(−2,0，−4)，则直线与平面的位置关系是______ ．11. 已知向量a ⃗ =(2,−1,2)，b ⃗ =(−4,2，m)，且a ⃗ //b⃗ ，则m 的值为______ ． 12. 已知空间三点A(0,2，3)，B(2,5，2)，C(−2,3，6)，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为______．13. 已知点M ，N 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，直线OM 与直线ON 的斜率之积为b 2a 2(O 为坐标原点)，P 为平面内任意一点．研究发现：若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=2；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=10；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b2=10；根据上述研究结果，可归纳出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈N ∗)则点p 的轨迹方程为______ ． 14. 14.，则。

江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得，当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷及解析

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数1z i =-（其中i 是虛数单位），则复数z 的虛部为（） A.1-B.i -C.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v （单位：m/s ）与行驶时间t （单位：s ）之间的关系是()20.40.6v t t t =+，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s 2？（）A.32s B.2s C.52s D.73s 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为（）D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（） A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（） A.4b ≤B.4b <C.4b ≥D.4b >6.如图，在圆锥PO 的轴截面PAB 中，60APB ∠=︒，有一小球1O 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球1O 的体积为1V ，圆锥PO 的体积为V ，则1:V V 的值为（）A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D.()1,00,e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（） A.252B.216C.162D.228第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.复数z 满足z i=（其中i 是虛数单位），则复数z 的模等于______. 10.设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.11.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）三、解答题（题型注释）12.已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.13.已知函数()ln f x ax bx x =+，()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中e 是自然对数的底数.（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 的极值.14.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 上一点，且BM PD ⊥.（1）求异面直线PB 与CM 所成角余弦的大小；（2）求点M 到平面PAC 的距离.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E 为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值. 17.已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．四、新添加的题型）A.若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B.若()2x f x e =，则()2x f x e '=C.若()f x =()f x '=D.若()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()sin 23f x x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭19.下面四个命题中的真命题为（） A.若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ B.若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C.若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = D.若复数z R ∈，则z R ∈ 20.以下关于函数()21f x x x=+的说法正确的是（） A.函数()f x 在0,上不单调B.函数()f x 在定义域上有唯一零点C.函数()f xD.x =()f x 的一个极值点21.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.PC 与平面BCD 所成的最大角为45B.存在某个位置，使得PB CD ⊥--的大小为90时，PC=C.当二面角P BD CD.存在某个位置，使得B到平面PDC22.已知四面体ABCD的所有棱长均为a，则对棱AB与CD间的距离为______，该四面体的外接球表面积为______.参考答案1.A【解析】1.利用复数的除法运算化简，再得到复数z 的虛部.21i z i =-2(1)1(1)(1)i i i i i --==--+--，则复数z 的虛部为1-. 故选：A 2.B【解析】2.计算()'v t ，根据()'v t 的物理意义，代入() 2.8='v t ，简单计算可得结果. 由题可知：()20.40.6v t t t =+，所以()=0.4+1.2'v t t 则()2.8=0.4+1.22⇒=t t s 所以火车开出2s 时加速度为2.8m/s 2 故选：B 3.C【解析】3.连AC 交BD 于O ，连1A O ，证明BD ⊥平面11AAC C ，从而有1,AC BD AO BD ⊥⊥，1AOA ∠或（补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在1Rt AOA 中求出11,AO AA 关系，即可得出结论.连接AC 交BD 于点O ，连1A O ，如下图所示，因为1AA ⊥平面ABCD ，所以11,A AA BD AC BD A C A A ⊥⊥=，，BD ⊥平面111,AAC C AO ⊂平面111,AAC C BD AO ⊥，所以1AOA ∠（或补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 的平面角，在△A 1OA 中，设AA 1＝a ，则AO 2=a ，12A O a =，1111sin sin2AAAOC AOAAO∠=∠===所以平面1A BD与平面ABCD.故选：C．4.B【解析】4.甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有22A33A24A144=种.故选：B5.A【解析】5.先对函数求导，根据函数在区间()2,3内单调递增，转化为导函数大于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.3()32f x x bx=-+，2()33f x x b'=-，∵函数()332f x x bx=-+在区间()2,3内单调递增，∴导函数2()33f x x b'=-0,(2,3)x≥∈恒成立，则2,(2,3)b x x≤∈恒成立，故4b≤.故选：A．6.B【解析】6.采用数形结合，假设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R，然后计算=r R ，可得R =，然后根据体积公式简单计算，可得结果.如图设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R 由1△△POB PMO 所以11=PO O MPB OB由60APB ∠=︒，所以tan tan 603=∠==OP R OBP R R2sin2==∠OBPB RAPB所以=r RR =所以3323141,3333πππ==⋅==r R V V R r所以149=V V ，故选：B 7.C【解析】7.首先能判断出0x=是函数的零点，问题转化为xxa e =有一个非零根，构造函数，研究其图象的走向，从而得出结果.函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，等价于2x x ax e=有两个不同的解，0x =满足条件，所以xxa e =有一个非零根，令()x x g x e =，21'()x x xx e xe xg x e e--==，当1x >时，)'(0g x <，1x <时，'()0g x >，所以()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且当(,1)x ∈-∞时，1()(,)f x e ∈-∞，当(1,)x ∈+∞时，1()(0,)f x e∈，所以xx a e =有一个非零根时，实数a 的取值范围是()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，故选：C. 8.D【解析】8.根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案.解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个；②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D.【解析】9.利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出结果． ∵3iz i-=， ∴223331131i i i i i z i i --+===---=，∴|z |=10.1【解析】10.先对函数求导，再令1x =，求出'(1)f 的值，代入原函数中，再令3x =可求出(3)f .由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f = 故答案为：1 11.240【解析】11.根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.12.（1）32a =-；3b =-；（2）34m <<【解析】12.（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-；（2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-，因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数，所以32a =-．（2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 13.（1）11a b =⎧⎨=-⎩；（2）极大值1；()f x 无极小值..【解析】13.（1）计算()f e ，()f e '，根据函数在x e =处的切线方程，简单计算可得结果. （2）根据（1）的结论，可得()ln f x x x x =-，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.（1）由()ln f x ax bx x =+，得()()1ln f x a b x '=++，由()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，知切点为(),0e ，斜率为1-，所以()()()021f e a b e f e a b ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解之得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，令()0f x '=，得1x =，由表可知，当1x =时，f x 取得极大值1；)f x 无极小值. 14.（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.【解析】14.（1）根据分步计数原理直接计算可得64，然后可得结果. （2）依据题意，计算46A ，可得结果.（3）先分组，可得22364622+C C C A ，后排列，可得2234646422⎛⎫+ ⎪⎝⎭C C C A A ，简单计算可得结果. （1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，由分步计数原理知共有644096=种．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法466543360A =⨯⨯⨯=种．（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有2236462215620652C C C A ⨯+=+=种．每组参加一个项目，由分步计数原理得共有()22346464222045241560C C C A A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭种． 15.（1；（2.【解析】15.（1）连BD 交AC 于O ，连MO ，根据已知可得BP BD =，得出M 为PD 中点，从而有//OM PB ，OMC ∠（或补角）就为所求的角，分别求出,,OM OC MC ，即可得出结论；或建立空间直角坐标系，确定,,,P B M C 坐标，利用向量夹角公式，也可求解.（2）点M 到平面PAC 的距离等于点D 到平面PAC 距离的一半，由PA ⊥平面ABCD ，过D 做DN AC ⊥于N ，可证DN ⊥平面PAC ，即可求出结论；或求出,PAC ACD △△的面积，用等体积法也可求解；或建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用空间向量点到面的距离公式亦可求解. （1）连BD 交AC 于O ，连MO ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA CD ⊥⊥，在Rt PAB中，4,2,PA AB PB ====，又因为底面ABCD 是矩形，所以O 为BD 中点，2,4AB AD ==，所以BD PB ==，因为M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，所以M 为PD 中点，1//,2MO PB MO PB =，所以OMC ∠（或补角）就为PB 与CM 所成的角，因为,,PA CD AD CD PAAD A ⊥⊥=所以CD ⊥平面,PAD CD PD ⊥，MC ==，1122MO PB CO AC ====2cos MCOMC MO ∠===所以异面直线PB 与CM所成角余弦值为5；（2）解1：过D 做DN AC ⊥于N ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA DN PAAC A ⊥=，所以DN ⊥平面PAC ，DN 为点D 到平面PAC 的距离，在Rt ACD △中，CD DA DN AC ⋅==，又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC．解2：因为Rt BCE ，PA ⊥平面ABCD ，所以111162443323P ACD ACD V S PA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，在Rt ADC 中，AC ==11422PAC S AC PA =⋅=⨯=△设点D 到平面PAC 的距离为h ，则13D PAC PAC V S h -=⋅=△，由P ACD D PAC V V --=，得1633=，所以h =．又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC ．解法二：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）()()()()()0,0,0,2,442,0,0,0,4,0,0,0,,0,A P C B D则()2,0,4PB =-，()2,4,4PC =-，()0,4,4PD =-，设()01PM PD λλ=≤≤，则()0,4,4PM λλ=-，所以()2,4,44BM PM PB λλ=-=--，由BM PD ⊥，知()0164440BM PD λλ⋅=+--=，所以12λ=，M 为PD 中点，所以()0,2,2M ，()2,2,2CM =--，cos ,2PBCM PB CM PB CM⋅===．所以异面直线PB 与CM 所成角的余弦值为5．（2）()0,0,4AP =，()2,4,0AC =，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由00AP n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得40240z x y =⎧⎨+=⎩，所以0z =，取2x =，得1y =-，所以()2,1,0n =-是平面PAC 的一个法向量．所以点M 到平面PAC 的距离为22CM n n⋅-==． 16.（1）证明见解析；（2.【解析】16.（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明//EM AN ，再证得//EM 平面PAD ；（2）连接PE ，先证CE AB ⊥，证得CE ⊥面PAB ，再作⊥AF PE 交PE 于F，连接MF ，证得AF ⊥面PEC ，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角，再求出AMF∠的正弦值.（1）证明：取PD 中点N ，连接AN ，MN ，因为M 为PC 的中点，所以//MN CD 且12MN CD =，又223AE AB ==，4CD =，且//AB CD ，则//MN AE ，且MN AE =，所以四边形AEMN 为平行四边形，则//EM AN ．又因为EM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，所以//EM 平面PAD ．（2）解：在ACD △中，22291692cos 22343AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯，因为//AB CD ，所以2cos 3BAC ∠=，在ACE △中，22222cos 4922353CE AE AC AE AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，由222AE CE AC +=，知CE AB ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PA ⊥，又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ．在平面PAB 内，过点A 作⊥AF PE ，交PE 于F ，连接FM ，则CE AF ⊥，又PECE E =，CE ⊂平面PCE ，PE ⊂平面PCE ，所以AF ⊥平面PCE ，所以FM 是AM 在平面PCE 内的射影，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角．在Rt PAC △中，M 为PC 的中点，所以1522AM PC ===，在Rt PAE 中，由PA AE PE AF ⋅=⋅，得5PA AE AF PE ⋅===，所以sin 25AF AMF AM ∠==所以直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为25． 17.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】17.试题（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析：（Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+，由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x--+=，设，则在x ∈单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=，即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

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