常微分方程恰当方程课件
常微分方程讲解
常微分方程讲解
常微分方程
第一章 绪论
在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。例如，
1） (设是自变量，则是未知函数)；
2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。
这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。例如:
1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。）
2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。
这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节 微分方程：某些物理过程的数学模型
在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中， 在时刻 时， 测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为。
解 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。这是已为实验证明了的牛顿（ Newton）冷却定律。
高等数学11单元第八章常微分方程
授课11单元教案
授课单元名称 第八章 常微分方程
第一节常微分方程的基本概念 授课学时 8
单元教学
目标 知识目标 1、 了解微分方程和常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等概念；
2、掌握常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法
3会用微分方程解一些简单的应用题；
能力目标 1．掌握微分方程、通解、特解等概念2。掌握常用的几种微分方程解法。
3．能建立常见的实际应用和专业中的微分方程模型，并求解。
主要教学
知识点 1、微分方程、常微分方程、常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念；
2、常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法 教学难点 1常微分方程的基本概念
2常见微分方程解法
教材处理 基本概念以教材一致，例题有调整 参考资料 高等数学》，侯风波主编， 高等教育出版社。
《分层数学》，李德才主编， 北京交通大学出版社。
教学资源 1）教材 2）课件3）参考书
教学方法与手段 启发式、讲练结合
考核
评价点 1、常微分方程的基本概念
2、常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法
教学内容
第一节 微分方程的基本概念
教学过程
一、引入新课
初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。它表达了未知量所必须满足的某种条件。根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1
二、新授课
1、微分方程的定义： 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程
如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
常微分第二单元第3节
2．3 恰当微分方程与积分因子
一、恰当微分方程
将(,)dyfxydx改写成关于,xy的对称形式: (,)(,)0MxydxNxydy.
1． 定义：若(,)(,)0MxydxNxydy(2.42)的左端恰好是某个二元函数(,)uxy的全微分，即
(,)(,)(,)MxydxNxydyduxy
(,)(,)uxyuxydxdyxy
则称(2.42)为恰当微分方程。其中(,),(,)MxyNxy在某个矩形区域内是连续函数且具有连续的一阶偏导数。
2．通解：(,),uxycc为任意常数。
3．恰当微分方程的判别及求解方法。
命题1 方程(,)(,)0MxydxNxydy是恰当微分方程的充要条件是MNyx。
证明 ： 必要性， 若方程(,)(,)0MxydxNxydy是恰当微分方程，则存在某个二元函数(,)uxy，使得
(,)(,)(,)(,)(,)uxyuxyMxydxNxydyduxydxdyxy
成立，有Mxu，Nyu,所以
22,MuNuyxyxyx，
而(,),(,)MxyNxy是连续函数且具有连续的一阶偏导数，知22uuxyyx，即有MNyx。
充分性 ，由所找的u满足(,)(,)uxyMxyx，把y看成参数，积分得，
(,)()uMxydxy，
又由()(,)(,)udyMxydxNxyyydy，得
()(,)(,)dyNxyMxydxdyy
只需说明上式右端与x无关，关于它对 x求导，
[(,)(,)](,)[(,)](,)[(,)](,)(,)0NxyMxydxxyNxyMxydxxxyNxyMxydxxyxNxyMxyxy
从而 ()[(,)(,)],yNxyMxydxdyy
常微分方程
例１
例２
例３
例４
常微分方程
第一章 绪论
在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。
在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。例如，
1） (设是自变量，则是未知函数)；
2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。 这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。
本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。例如: 1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。）
2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。 这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。
第一节 微分方程：某些物理过程的数学模型
在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。
例1 物体冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中， 在时刻 时， 测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为。
解 为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。这是已为实验证明了的牛顿（ Newton）冷却定律。
常微分方程讲义精简
1
例2 求解方程 .
解 令，有 原方程的参数形式为
由基本关系式
有
积分得到
从而原方程的参数形式通解为
也可以消去参数t ，得到原方程的通积分为
通解为
例4 求解方程
解 令 原方程的参数形式为 2
(1.72)
由基本关系式
有
或
上式又可化为
由 ，代入(1.72)的第三式，得原程的一个特解 .
再由 ，解得 ，代入(1.72)的第三式，得原方程的通解
例5 求解方程
(1.73)
这里，假定 是二次可微函数.
解 (1.73)的参数形式为 3
(1.74）
由基本关系式
有
整理得
由 ，得 ，代入(1.74)的第三式，得原方程通解
(1.75)
由于 ，由 解得隐函数 ,代入(1.74)第三式，得到原方程的一个特解
(1.76)
（
第7讲 几种可降阶的高阶方程
例1 求解方程
解 令 则有
通解为 4
从而
积分四次，得到原方程的通解
第二种可降阶的高阶方程
例2 求解方程 ．
解 令 ,则 代入原方程得
或
积分后得
"其中 a"为任意常数. 解出 p"得
或
积分后得
其中 b为任意常数. 于是有
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结
第一章 绪论
§1.2微分方程的基本概念
（1）常微分方程偏微分方程
微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
,dyaxyadxdypxyQxdx为常数
偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
22,22242uufxyxyuuyx
（2）线性与非线性
一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）
()(1)11()()()().nnnnyaxyaxyaxyfx
（3）解和隐式解
微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
隐式解：Φ（x,y）=0
（4）通解和特解
通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）
特解： 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件：用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
2.1.1、变量分离方程
)()(yxfdxdy cdxxfydy)()(
2.1.2、可化为变量分离方程的类型
1.形如)(xygdxdy，称为齐次微分方程，令u＝xy,即y＝ux，于是dxdy＝xdxdu＋u，代入原方程，变形为xdxdu＋u＝g（u），整理得dxdu＝xuug)(
2.形如222111cxbxacxbxadxdy 的方程也可经变量变换化为变量分离方程 （1）常数）(212121kccbbaa，方程化为dxdy＝k，有通解ckxy
（2）kbbaa212121cc情形，令u＝ybxa21，这时有dxdu＝dxdyba22＝2122cuckuba是分离变量方程
3-12 -恰当方程与积分因子
word 2.3 恰当方程与积分因子方法(Exact differential equation and method of
integrating factor )
[教学内容] 1. 认识恰当方程，如何判定恰当方程; 2.介绍如何求解恰当方程; 3. 介绍什么叫积分因子; 4. 介绍如何寻找积分因子;5. 积分因子一些性质.
[教学重难点] 重点是会判定和求解恰当方程，难点是如何寻找方程的积分因子
[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习
[考核目标]
1. 熟练判定一个一阶方程是否为恰当方程; 2. 会求解恰当方程; 3. 知道积分因子的概念; 4.
会寻找积分因子，并求解方程.
1. 一阶微分形式的原函数存在性及其求法
sin(3y)ey)u(x,2x的全微分为cos(3y)dy3esin(3y)dx2edyudxudu2x2xyx，
我们称u(x, y)为一阶微分形式cos(3y)dy3esin(3y)dx2e2x2x的一个原函数，并不是任一微分形式都有原函数的，例如dyxy dx2x 。《数学分析》下册P228定理21.12给出了如何判定dy y)Q(x,dx y)P(x,是否存在原函数充要条件，这里P(x, y), Q(x, y)在单连通区域D内具有一阶连续偏导数.
例33. 判定一阶微分形式y)dy cos(x y)dxsin (2x是否为某个函数u(x, y)的全微分，如果是，求出它的原函数u(x, y).
解：记 y) cos(x y)Q(x, ,y)sin (2xy)P(x,， 易见P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域2R内具有一阶连续偏导数，且0xPxQ，(格林公式：DyxL)dxdyP(QQdyPdx=0即积分路径无关). 因此由定理21.12知，
y)dy cos(x y)dxsin (2x恰是某个函数u(x, y)的全微分.
总结微分方程知识点
总结微分方程知识点
一、微分方程的基本概念
微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。一般来说，微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。其中，一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
微分方程的一般形式可以表示为：
F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0
其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y对x的一阶导数，y''是y对x的二阶导数，y^(n)是y对x的n阶导数，F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。
二、微分方程的分类
根据微分方程的性质和形式，微分方程可以分为很多种类。其中，常见的微分方程包括：
1. 隐式微分方程：形式是F(x,y,y')=0，其中y是未知函数；
2. 显式微分方程：形式是y'=f(x,y)；
3. 线性微分方程：形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x)；
4. 非线性微分方程：形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，且不满足线性微分方程的条件；
5. 高阶微分方程：方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
三、微分方程的解法
解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。根据微分方程的类型和形式，可以采用不同的解法进行求解。常见的解微分方程的方法包括：
1. 可分离变量法：当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时，可以使用分离变量法求解微分方程；
2. 线性微分方程的解法：对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接积分法求解。而对于高阶线性微分方程，可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解；
3. 变换微分方程：通过适当的变换，可以将微分方程化为更简单的形式，从而更容易求解；
4. 特殊形式的微分方程的解法：例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等，都有其特定的解法； 5. 数值解法：对于一些难以解析求解的微分方程，可以采用数值解法来进行求解，常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
6常微分方程的求解
115 §6常微分方程的求解
一、知识背景
常微分方程在物理学，工程技术中运用非常广泛，相当重要。许多物质运动的过程用常微分方程来描述，如：质点的加速运动、谐振动、电容充放电过程及电感通电断电等过程，因此，求解常微分方程成为很多物理问题求解的一种常用方法。
而有时很难求出解析解，但可求出常微分方程的数值解以逼近解析解，以完成对摸型的研究。
求解常微分方程数值解通常有欧拉法和龙格-贝塔法。欧拉法解法的基本思想是在小区间上用差商代替导数，并通过把小区间不断地划分求极限，从而最终得到数值解。龙格-贝塔方法基本思想也是用差商代替导数，但是该方法是在小区间内运用了微分中值定理，在小区间内多取点，再取加权平均值来构造精度更高的计算式。在MATLAB系统中，主要采用龙格-贝塔法来计算常微分方程的数值解。
图 6-1
0ddcqtqR 或 cqtqRdd
我们也可写成右面方程组形式： ),(ddtqftq，00)(qtq
这即是一阶常微分方程初值问题的一般形式。
二、 计算指令 —— ode23，ode45
语句格式（以ode23为例）：
[ t, y ] = ode23 (‘f’,tspan,y0,tol )
语句中各符号意义如下
f：求解的常微分方程的文件名，把方程写成函数形式并存储于m文件中。方程形式为y'=f(t,y)。 举例：如图6-1中所示电路，先将开关k掷向“1”端，待电容器c充完电后，将开关k掷向“2”端，电容器开始放电。放电过程满足下面方程： 116 tspan：输入[t0,tf],分别为自变量的初始值和最终值，为单调递增（减）的积分区间。
y0：函数的初始值矢量。
Tol：误差范围，(缺省值为0.000001)
[t,f]：t是输出的时间列矢量，矩阵y的每个列矢量是解的一个分量。
例1：用求数值解方法,求解常微分方程：3'xx，初始值x(0)=1。
常微分方程的解法及其应用实例
常微分方程的解法及其应用实例
常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODE）是应用数学的一个重要分支，它被广泛应用于物理、工程、经济、生物等领域，是研究自然现象、解决实际问题的重要工具。本文将介绍 常微分方程的解法及其应用实例。
一、常微分方程的解法
对于一个一阶常微分方程，可以利用变量分离、恰当形式、一次齐次、一阶线性、伯努利等方法解方程；对于高阶常微分方程，需要使用一些特殊的技巧和方法来求解。
1. 变量分离法
对于一个一阶常微分方程dy/dx=f(x)g(y)，如果可以写成f(x)dx=g(y)dy的形式，就可以使用变量分离法求解。其基本思想是将全部x及y分离到方程等号两边，并进行积分。例如，求解dy/dx=2x/(1+y)可以写成(1+y)dy=2xdx，从而积分得到y+ln(1+y)=x^2+C，其中C为任意常数。
2. 恰当形式法
如果一个方程可以写成M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并且可以找到一个函数u(x,y)，使得∂u/∂x=M(x,y)和∂u/∂y=N(x,y)，就称该方程是恰当形式的。对于恰当形式的方程，解法就是将方程左右两边同时对x和y分别求偏导数，然后利用偏导数的交错性进行积分。例如，对于方程(2xy+3y)dx+(x^2+3x)dy=0，可以发现∂M/∂y=3和∂N/∂x=3，因此该方程是恰当形式的。求得u=∫(2xy+3y)dx=(x^2)y+3xy，从而得到其通解为(x^2)y+3xy+(1/3)(x^3)=C，其中C为任意常数。
3. 一次齐次法
一阶齐次方程形如dy/dx=f(y/x)，其中f是一个关于y/x的函数。将y/x表示为u，可以得到dy/dx=u+f(u)，如果对于此方程有一个够好的u的解析解，则可以解出y/x的表达式，从而求得y的解析解。求解的基本思路是令v=y/x，则y=vx，dy/dx=v+x(dv/dx)，将其代入原方程，即得dv/(v+f(v))=dx/x，从而求得u的表达式，从而得到y的表达式。