高考数学一轮复习 4-2 同角三角函数基本关系式与诱导公式 新人教A版
α
＝11＋＋2ttaann2αα＝1＋1－－23132＝130. 答案 A
整理课件
课堂总结
【例 2】 (1)(2014·山东省实验中学诊断)已知 sin θ·cos θ ＝18，且π4 ＜θ＜π2 ，则 cos θ－sin θ的值为________．
π (2)已知－ 2 ＜α＜0，sin
α＋cos
正切 tan α __ta_n__α_ __－__ta_n__α_ _－__ta_n__α_
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名 改变， 符号看 象限
整理课件
课堂总结
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示
(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是 α 为锐角． ( × )
(2) 法一 联立
sin
α＋cos
α＝15，
sin2α＋cos2α＝1，
深度思考 第(2)小题有两种 ① 解法，其一结合平方关系解
② 方程组求sin α与cos α；其二
由①得，sin α＝15－cos α，将其
代入②，
整理得 25cos2α－5cos α－12＝0.
求cos α－sin α；你用到的哪
________．
解析
sin
θ cos
θ
＝
sin θ·cos θ sin2θ＋cos2θ
＝
tan θ tan2θ＋1
＝
22＋2 1＝25.
答案
2 5
整理课件
课堂总结
考点一 同角三角函数基本关系式及应用
【例
1】
(1)已知 tan
α＝2，则42ssiinn
α－3cos α－9cos
α α＝
__________________.
A．1＋ 3
B．1－ 3
()
C．－1－ 3
D．－1＋ 3
解 析 tan 300 ° ＋ sin 450 ° ＝ tan(360 ° － 60 ° ) ＋ sin(360°＋90°)＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋
1＝1－ 3. 答案 B
整理课件
课堂总结
3．(2015·广州调研)已知 sin5π 2 ＋α＝15，那么 cos α＝(
sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ sin2θ＋cos2θ
＝
tan2θ＋tan θ－2 tan2θ＋1
＝
222＋2＋2－1 2＝45.
答案 (1)－1 (2)D
整理课件
课堂总结
规律方法 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分 式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂 将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这 个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
5 2
解析 sin(π－α)＝sin α＝log8 14＝－23， 又因为 α∈－π2 ，0，则 cos α＝ 1－sin2α＝ 35，
所以 tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan
α＝－sin
cos
αα＝2
5
5 .
答案 B
整理课件
课堂总结
5．(人教A必修4P22B3改编)已知tan θ ＝2，则sin θcos θ＝
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．
(√ )
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，
π 其中的奇、偶是指 2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数
名称的变化．
( √)
(4)若
π α≠kπ＋ 2 (k∈Z)，则
cos2α＝1＋ta1n2α.
(√ )
整理课件
课堂总结
2．tan 300°＋sin 450°的值为
整理课件
课堂总结
【训练 1】 若 3sin α＋cos α＝0，则cos2α＋2si1n αcos α的
值为
()
A.130
B.53
C.23
D．－2
解析
3sin
α ＋ cos
α ＝ 0⇒cos
α ≠ 0⇒tan
α
＝
－
1 3
，
1
cos2α＋2sin
αcos
α＝cos2αco＋s2α2s＋in siαn2cαos
)
A．－25
B．－15
1 C.5
2 D.5
解析 ∵sin5π2 ＋α＝sinπ2 ＋α＝cos α，
∴cos α＝15.故选 C.
答案 C
整理课件
课堂总结
4．已知 sin(π－α)＝log8 14，且 α∈－π2 ，0，则 tan(2π－α)
的值为
()A．－2ຫໍສະໝຸດ 5 5B.2 5 5
C．±2
5 5
D.
第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式
最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋
cos2α＝1，csions
α α＝tan
α；2.能利用单位圆中的三角函
数线推导出π2 ±α，π±α，－α 的正弦、余弦、正切的
诱导公式．
整理课件
课堂总结
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：__si_n_2_α_＋__c_o_s_2α_＝__1__． (2)商数关系：__csio_ns__αα__＝__t_a_n__α___．
(2)已知 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2 θ＝
()
A．－43
5 B.4
C．－34
4 D.5
整理课件
课堂总结
解析
2sin (1)4sin
α－3cos α－9cos
αα＝24ttaann
αα－－39＝24××22－－39＝－1.
(2)由于 tan θ＝2，则 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝
α＝15，则cos2α－1 sin2α
的值为
()
7
7
25
24
A.5
B.25
C. 7
D.25
解析
ππ (1)当 4 ＜θ＜ 2 时，sin
θ＞cos
θ，
∴cos θ－sin θ＜0，
又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34，
∴cos
θ－sin
θ＝－
3 2.
整理课件
课堂总结
整理课件
课堂总结
2．三角函数的诱导公式
公式 一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π
π
π－α 2 －α 2 ＋α
正弦 sin α _－__s_in__α_ _－__s_in__α_ _s_in__α_ __co_s__α_ _c_o_s_α_
余弦 cos α _－__c_o_s_α_ __c_o_s_α__ _－__c_o_s_α_ __si_n__α_ _－__si_n_α_
一种？但作为选择题本题还 可以根据已有的结论猜测sin
因为－π2 ＜α＜0，
α与cos α.
sin 所以
cos
αα＝＝－45，35，于是cos2α－1 sin2α＝452－1－352＝275.
整理课件
课堂总结
法二 因为 sin α＋cos α＝15，
所以(sin α＋cos α)2＝152，可得 2sin αcos α＝－2245.
第四章+三角函数第2讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式课件——2025届高三数学一轮复习
解析：选A.因为角 是第二象限角，所以 ，又 , 所以 .
√
3. ____， ____.
解析： ， .
4.化简 的结果为________.
解析：原式 .
1.同角三角函数关系式的常用变形
（1） ; ; .
（2） .
（3） ； .
解析： ,所以 ,因为 ，所以 ， ,所以 ，所以 .故选C.
√
“ <m></m> 与 <m></m> ”之间关系的应用 与 可通过平方关系联系到一起,即 , , .因此在解题中已知其中一个可求另外两个.
【对点训练】
1.(2023·四川绵阳模拟)已知 ,且 ,则 ( )
考点二 诱导公式的应用（自主练透）
1.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.原式 .故选D.
√
2.（多选）下列式子中化简正确的是( )
A. B. C. D.若 ，则
√
√
√
解析：选ABD.由诱导公式易知A正确；</m> B正确；</m> C错误；</m> =|，因为</m> ，所以 </m> ， </m> ，所以 <m></m> ，所以原式 <m></m> ，D正确.
2. ; .
【用一用】
1.已知 ，且 ,则 ____.
解析：因为 ，所以 ，而 ，所以 .
2.已知 ，则 的值构成的集合是_______.
解析：①当 为偶数时， ；②当 为奇数时， .所以 的值构成的集合是 .
核心考点 师生共研
第5章+第2讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
解析 答案
4．已知 cos31°＝a，则 sin239°tan149°的值为( )
1－a2 A． a
B． 1－a2
a2－1 C． a
D．－ 1－a2
解 析 sin239°tan149°＝ sin(270°－ 31°)tan(180°－ 31°) ＝ － cos31°( － tan31°)＝sin31°＝ 1－a2.
－ －22＋ －11＝13.
解析 答案
同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函 数值求其他三角函数值，主要利用商数关系 tanα＝csoinsαα和平方关系 1＝sin2α ＋cos2α.
4.已知 α 为锐角，且 tan(π－α)＋3＝0，则 sinα 等于( )
A．13
B．3
10 10
解析 答案
多角度探究突破
考向二 同角三角函数的基本关系
角度
切弦互化
例 2 (1)(2021·唐山第二次模拟)已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x
轴的非负半轴重合，终边上一点 A(2sinα，3)(sinα≠0)，则 cosα＝( )
A．12
B．－12
C．
3 2
D．－
3 2
解析 由三角函数定义，得 tanα＝2s3inα，所以csoinsαα＝2s3inα，则 2(1－cos2α)
所以sinsiθnθ1＋＋csoins2θθ＝cos2θ(tan2θ＋tanθ)＝15×(4－2)＝25.故选 C．
解析
对于含有 sin2α，cos2α，sinαcosα 的三角函数求值问题，一 般可以考虑添加分母 1，再将 1 用“sin2α＋cos2α”代替，然后用分子分母 同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于 tanα 的式子，从而求解．
第4章 第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教学设计--高三数学一轮复习
第四章 三角函数第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式一．课前回顾二．揭示目标1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.三．高考对应点年份 试卷 题号 考点分值 难度 2018全国1 8 同角三角函数基本关系、函数周期、最值 5 中 2019全国2文11二倍角公式、同角三角函数基本关系5中全国2理10 二倍角公式、同角三角函数基本关系 5 中 2020 全国3 11 余弦定理、同角三角函数基本关系 5 中 2021全国甲9二倍角公式、同角三角函数基本关系5易诱导公式及应用例1.已知cos(π6－θ)＝a ，则cos(5π6＋θ)＋sin(2π3－θ)的值是__0_.方 法 规 律(1)利用诱导公式解题的一般思路 ①化绝对值大的角为锐角②角中含有±π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．变式.已知sin(π－α)＝－23，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)等于( A )A ．255B ．－255C ．52D ．－52同角三角函数基本关系的应用 知弦求切例2.(2021·福建福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈(π2，π)，则tan α＝___－22_____．方 法 规 律(1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系sin αcos α＝tan α和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α；(2)在弦切互化时，要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号. 变式.若将本例的条件改为“sin α1＋cos α＝2，α∈(π2，π)”，求tan α的值．知切求弦例3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 方 法 规 律利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一为正切的表达式，进行求值． 常见的结构：①sin α，cos α的齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)；②sin α，cos α的齐次分式(如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α)．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切时，采用此技巧．变式.【2021年新高考1卷】若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ C ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65和积转化求值例4.已知sin θ＋cos θ＝15，0<θ<π，则sin θ－cos θ的值为____75____． 方 法 规 律正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcosα＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个. 变式.已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( D )A ．12B ．±12C ．－14D ．－12五、当堂练习1．(必修第一册·P194T5改编)已知sin (9π2＋α)＝35，则cos α的值为( C )A ．－45B ．－35C ．35D ．452．(必修第一册·P186T15改编)已知tan α＝－3，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为___12_____.3.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A.－79B.－29C.29D.79六、小组合作1、小组长带领本组成员通过组内讨论的方式解决有问题的题；2、不能解决的题目由小组长向老师汇报（反馈）.七、总结反思沉淀规律1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ(1＋1tan 2θ)＝tan π4等.【课后作业】1.(2021·湖南三轮联考)已知tan(π＋x )＝2，则sin x ＋cos x2sin x －cos x＝( A )A ．1B ．15C ．－14D ．－152.【2018年新课标3卷文科】函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ C ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( D )A.125B.－125C.512D.－5124.(2019·衡水模拟)已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝( A ) A.25B.－65C.－45D.－1255.已知角α终边上一点P (－4，3)，则()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=__________. 6.已知－π2＜α＜0，且函数f (α)＝3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α·cos α和sin α－cos α的值．5.已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x 的值.。
高考数学一轮复习同角三角函数基本关系式与诱导公式
解析：∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)， π π ∴－sin θ＝－ 3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜ ，∴θ＝ . 2 3
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
课时作业
首页
上页 下页
尾页
教材通关
4 － 4 3 α＝ ，则 tan α＝________. 5
3．已知
尾页
教材通关
2．诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ＋α (k∈Z)
sin α
cosα tanα
二 π＋ α
三 －α
四 π－ α
sin α
五 π －α 2
cosα sinα
六 π ＋α 2
cosα －sinα
－sin α －sinα
－cosα
cosα －cosα
－tanα －tanα
高考·导航
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
课时作业
首页
上页 下页
尾页
考点一 三角函数的诱导公式
自主探究
基础送分考点——自主练透
解析：由 f(x＋π)＝sin(x＋π)＋cos(x＋π)＝－sin x－cos x， π f(π－x)＝sin(π－x)＋cos(π－x)＝sin x－cos x，f(x＋ )＝ 2 π π π π sin(x＋ )＋cos(x＋ )＝cos x－sin x，f( －x)＝sin( －x)＋ 2 2 2 2 π cos( －x)＝cos x＋sin x，故选 D. 2
解析：因为 4 α)＝ . 5
π π α∈－2， 2 ，sin
3 4 α＝－ ，所以 cos α＝ ，即 cos(－ 5 5
高考·导航
高考数学一轮复习第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：02sinαcosα＝tan α.2．六组诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋ α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－απ2＋α正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α≠π2＋kπ，k∈Z ；sin2α＝sin2αsin2α＋cos2α＝tan2αtan2α＋1；cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1.1．若cosα＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，则tanα等于()A．－24B．24C．－22D．22答案 C解析由已知得sinα＝－1－cos2α＝－1－19＝－223，所以tanα＝sinαcosα＝－22，选C.2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是() A．－43B．±43C.3D．43答案 A解析∵tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝3，∴a＝－43.故选A.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C ．π6D ．π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．(2020·杭州学军中学模拟)已知cos31°＝a ，则sin239°·tan149°的值为( ) A.1－a2aB ．1－a2C.a2－1aD ．－1－a2答案 B解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.5．化简cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π2＋αsin(α－π)cos(2π－α)的结果为________.答案 －sin 2α 解析 原式＝sinαcosα(－sin α)cos α＝－sin 2α.6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 因为α是第二象限的角，所以sin α>0，cos α<0，由tan α＝－12，得sin α＝－12cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，得54cos 2α＝1，所以cos α＝－255.考向一 诱导公式的应用 例1 (1)化简：错误!＝________. 答案 －1 解析 原式＝错误!＝tanαcosαsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________.答案 －1713解析 因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角， sin(75°＋α)＝－错误!＝－错误!.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°) ＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α) ＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α) ＝－513－1213＝－1713.(3)(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP→绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ→，则点Q 的坐标是________.答案 (－1，3)解析 ∵OP→＝(3，1)＝(2cos θ，2sin θ)，cos θ＝32，sin θ＝12，∴将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π2＝(－2sin θ，2cos θ)＝(－1，3)，∴点Q 的坐标是(－1，3)．1.诱导公式的两个应用方向与原则(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.1.(2020·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3的值为( )A.223B ．23 C ．26D ．526答案 A解析 ∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6＝223.故选A.2．计算：sin(－1200°)cos1290°＝________. 答案34解析 原式＝－sin1200°cos1290°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)＝－sin120°cos210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin60°cos30°＝32×32＝34.3．化简：错误!. 解 原式＝错误!＝错误! ＝错误!＝错误!. 多角度探究突破考向二 同角三角函数的基本关系 角度1 切弦互化例2 (1)(2020·唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B ．－12C ．32D ．－32答案 A解析 由三角函数定义，得tan α＝32sinα，所以sinαcosα＝32sinα，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2020·济宁三模)已知tan(π－α)＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＝________.答案13解析 因为tan(π－α)＝2，所以tan α＝－2，所以sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝－2＋1－2－1＝13. 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系tan α＝sinαcosα和平方关系1＝sin 2α＋cos 2α.4.已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α等于( )A.13B ．31010C ．377 D ．355答案 B解析 因为tan(π－α)＋3＝0，所以tan α＝3，sin α＝3cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝910. 又因为α为锐角，故sin α＝31010.故选B.5．已知α是第二象限角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，则tan α＝________.答案 －43解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2＋α＝45，∴sin α＝45，又α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin2α＝－35，∴tan α＝sinαcosα＝－43.角度2 “1”的变换例3 (2021·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P (1,2)，则sin2α1－3sinαcosα＝________.答案 －4解析 因为角α的终边上有一点P (1,2)，所以tan α＝2. 所以sin2α1－3sinαcosα＝sin2αsin2α＋cos2α－3sinαcosα＝tan2αtan2α＋1－3tanα＝2222＋1－3×2＝－4. 对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．6.已知tan α＝2，则(1)3sinα－2cosαsinα＋cosα＝________；(2)23sin 2α＋14cos 2α＝________. 答案 (1)43 (2)712解析 因为tan α＝2，所以， (1)原式＝3tanα－2tanα＋1＝3×2－22＋1＝43.(2)原式＝23·sin2αsin2α＋cos2α＋14·cos2αsin2α＋cos2α ＝23·tan2αtan2α＋1＋14·1tan2α＋1 ＝23×2222＋1＋14×122＋1＝712. 角度3 sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例4 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B ．32C ．－34D ．34答案 B解析 ∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且|cos α|＜|sin α|，∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则 错误!等于( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ答案 A 解析 因为错误! ＝1－2sinθcosθ＝错误!＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为 (sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， (sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ， (sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．7.若1sin α＋1cosα＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1答案 A 解析 由1sinα＋1cosα＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1.故选A.8．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝( )A ．－7B ．7 C.3D ．－3答案 A解析 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选A.一、单项选择题1．sin210°cos120°的值为( ) A.14B ．－34C ．－32D ．34答案 A解析 sin210°cos120°＝sin(180°＋30°)cos(180°－60°)＝－sin30°·(－cos60°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝14.故选A. 2．(2020·潍坊模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33B ．33 C ．3 D ．－3答案 D解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2－φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，得到－π2<φ<π2，∴cos φ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＝12，则tan φ＝－3212＝－3.故选D.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35C.45 D ．－45答案 B解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧sinαcosα＝－34，sin2α＋cos2α＝1，由此解得sin 2α＝925，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，因此有sin α＝35，sin(α＋π)＝－sin α＝－35.故选B. 4．已知A ＝错误!＋错误!(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 C解析 当k 为偶数时，A ＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k 为奇数时，A ＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.故A 的值构成的集合是{2，－2}．5．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tanα＝( )A ．2B ．12C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵sin α＋cos α＝－2，∴(sin α＋cos α)2＝2，∴1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12.tan α＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝sin2α＋cos2αsinαcosα＝112＝2.故选A.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12的值为( ) A.13B ．223 C ．－13D ．－223答案 A解析 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋17π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π12＝13. 7．(2020·济宁模拟)直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，则sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α的值为( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25答案 D解析 ∵直线l ：2x －y ＋e ＝0的倾斜角为α，∴tan α＝2，∴sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α＝sin αcos α＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanα1＋tan2α＝21＋22＝25.故选D.8．化简1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα1＋sinα＋cosα的结果是( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．sin α－cos α答案 C解析 原式＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＋sinα＋cosα1＋sinα＋cosα＝错误! ＝错误!＝sin α＋cos α.故选C.9．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－12答案 B解析 由sin θ＋sin 2θ＝1，得sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，∴cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8θ＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4θ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2θ)＝sin θ＋sin 2θ＝1.10．(2020·海口模拟)若对任意x ∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝sin(ωx ＋φ)(ω∈R ，|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω，φ)的对数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由条件知ω＝±2.若ω＝2，由φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π，得φ＝－π3；若ω＝－2，sin(－2x ＋φ)＝sin(2x ＋π－φ)，则π－φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－2k π＋4π3(k ∈Z )，又|φ|<π，则φ＝－2π3，故满足条件的有序数对(ω，φ)的对数为2.二、多项选择题11．在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sin B ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ；sin B ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－A 2＝cos A 2；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C ≠π2；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .12．(2020·湖北宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案 AC解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，所以sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题13．sin 4π3cos 5π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4π3的值是________.答案 －334解析 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π－π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π－π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－sin π3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32×(－3)＝－334.14．已知sin θ＝13，则错误!＝________.答案98解析 原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.15．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝________.答案 －43解析 因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4sin π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－43.16．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan2α＋sin α·1＋1tan2α＝________.答案 0解析 原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cosα|＋sin α1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.四、解答题17．已知α为第三象限角，f (α)＝错误!.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝错误! ＝错误!＝－cos α.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15，从而sin α＝－15.又因为α为第三象限角， 所以cos α＝－1－sin2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.18．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解 由已知得tan α＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋1＋2＝135.19．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sinαcosα－cosα＋11－tanα的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15.∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2.∴2sinαcosα－cosα＋11－tanα＝45－55＋11－2＝55－95. 20．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解 存在．由sin ()3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－β得sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴cosα＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sinβ＝12，由②知cosβ＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sinβ＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．21 / 21。
高考数学第一轮考点复习课件 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：
考 纲
sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
要 求
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
热 点 提 示
同角三角函数的基本关系式和诱导公式是三角函 数部分的重要基础知识，对三角函数的考查都会 涉及到这部分知识，在高考中除了和其他知识一 起综合考查外，有时也直接考查，直接考查时常 以小题形式出现.
sinx＋cosx＝15 ① ， sin2x＋cos2x＝1 ② 由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得 25cos2x－5cosx－12＝0.
∵－π2<x<0，∴scionsxx＝＝－45 35
，
所以 sinx－cosx＝－75.
解法二：∵sinx＋cosx＝15，
∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，
解：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·(i－nαtanα)＝－cosα. (2)∵cos(α－32π)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
【例 1】 已知 sin(3π＋α)＝2sin(32π＋α)，求下列 各式的值．
(1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin2α.
▪ 1．由一个角的一个三角函数值求其他三 角函数值时，要注意讨论角的范围．
▪ 2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角 代换、消元是三角代换的重要方法，要尽 量减少开方运算，慎重确定符号．
▪
▪ 3.注意“1”的灵活代换，如1＝sin2α＋ cos2α.
▪ 4.应用诱导公式时，重点是“函数名称” 与“正负号”的正确判断，一般常用“奇 变偶不变，符号看象限”的口诀．
高考数学一轮总复习 第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式课件 理 新人教A版
第四页，共46页。
1．同角三角函数关系式：
1平方关系：sin2 cos2 ① __________ . 2商数关系：tan ② __________.
2．三角函数的诱导公式 (巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限) 注意：记忆公式中始终假视为锐角
第五页，共46页。
公式一：
正弦 余弦 正切
由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，
整理得 25cos2x－5cosx－12＝0，
所以 cosx＝－35或 cosx＝45.
第四十二页，共46页。
因为－π2<x<0，所以scionsxx＝＝－45 35
，
故 sinx－cosx＝－75.
第四十三页，共46页。
(2)原式＝2sisni2n2xx－＋scinoxs＋x 1 cosx sinx
2kp+ sin ③____ tan
- ④_____
cos -tan
p-
sin -cos ⑤_____
p+ -sin -cos tan
2p- -sin ⑥____ -tan
第六页，共46页。
公式二：
-
+
正弦 ⑦_____ cos
p-
p+
⑨_____ -cos
余弦 sin ⑧_____ -sin ⑩_____
D．±43
第十页，共46页。
【解析】 cosα＝± 1－sin2α＝±35， 所以 tanα＝csoinsαα＝±43.故选 D.
第十一页，共46页。
2.已知1＋cossiαnα＝－12，则sincoபைடு நூலகம்s－α 1的值为( )
1 A.2
B．－12
高三数学一轮复习课件 第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝ －1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于
高考数学一轮总复习课件：同角三角函数的基本关系式及诱导公式
sin（kπ＋α） sinα
＋
cos（kπ＋α） cosα
(k∈Z)，则A的
值构成的集合是( C )
A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}
C．{2，－2}
D．{1，－1，0，2，－2}
【解析】 当k为偶数时，A＝ssiinnα α＋ccoossα α＝2； 当k为奇数时，A＝－sisniα nα－ccoossα α＝－2.
(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为 (sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx， (sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx， (sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可 求其余两个代数式的值．
＝
（－751）×15＝－275.
【答案】 －275
题型四 齐次式下弦切互化
例4 (1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
【解析】 ∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α－3sinαcosα＋1＝sin2sαin2－α3＋sincoαs2cαosα＋1 ＝tan12α＋－tan32tαanα＋1＝321－＋33×2 3＋1＝1. 【答案】 1
本例属于同角三角关系式中的基本题，关键是掌握“先开 方，后作商”的原则，先求与 sinα(或 cosα)的平方关系相联系 的 cosα(或 sinα)，再由公式求 tanα.(2)(3)中 α 的范围不确定， 需讨论确定开方的符号．
思考题 2 (1)设 sinα2＝45，且 α 是第二象限角，则 tanα2的 4 值为____3____．
状元笔记
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终 了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终 了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函 数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝ cos(π－α)＝－cosα.
高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-三角函数概念与诱导公式
cos = ，tan =
(
≠ 0)．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点(, )是角α终边上异于顶点
的任一点，设点到原点的距离为，则
sin =
，cos
=
，tan
=
(
≠ 0)
知识梳理·基础回归
知识点1：三角函数基本概念
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，
形（为圆心）用成一个圆锥（点, 恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直
径为，则cos∠的值为
．
7
【答案】9
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
2π
∵扇形的圆心角为 3 ，∴
扇形
=
1 2π
⋅
2 3
⋅
2
=
π 2
3
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，∴
= 3π，解得 = 3，
题型二：等分角的象限问题
【典例2-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝
(
2
3
6
+ (k∈Z)，则的终边一定在
)
A．第一象限或第二象限或第三象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当 = 0时， = 6 ，终边位于第一象限
当 = 1时， =
5
，终边位于第二象限
故选：C.
）
题型突破·考法探究
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【典例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴
上，终边在直线 = 3上，则角的取值集合是（ ）