导数的概念及其几何意义-人教A版高中数学选择性必修第二册优秀课件
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5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)
/人A数学/ 选择性必修 第二册
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1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
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4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
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2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
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[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
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(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)
5-1导数的概念及其意义课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
v(2) lim y lim (t 6) 6
x x0
x0
在第2 h 附近，汽车的速度 每秒大约增加 2m / s
在第6 h 附近，汽车的速度 每秒大约减少 6m / s
练习
设f (x) x ，求f (1)
解：f (1) lim f (1 x) f (1)
x0
x
(1 x) 1
lim
x0
记为 lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
当时间间隔 | t | 无限趋近于0 时，平均速度v 就无限趋近于t 1 时的瞬时速度。
因此，运动员在t 1 s 时的瞬时速度v(1) 5 m / s
思考 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h ( 单位：m)
与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
在第2 h 时，原油温度的瞬时变化率是 f (2)
y f (2 x) f (2)
x
x
在第6 h 时，原油温度的瞬时变化率是f (6)
y f (6 x) f ()
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x2 7x x 3 x
f (2) lim y lim (x 3) 3
t 0
t 0
质点A 在t 2.7 s 时的瞬时速度为10.8 m / s
3.设函数f (x) x2 1 ，求 (1)当自变量x 由1 变到1.1 时，函数的平均变化率
(2) 函数在x 1 处的导数
解：(1) f (1.1) f (1) (1.1)2 1 (12 1) 2.1
4.8 9.8t0)
4.8 9.8t0
lim x 0
x0
新教材人教a版选择性必修第二册512第2课时导数的几何意义课件
1．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y ＋1＝0，B
则( ) A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0 C．h′(a)>0 D．h′(a)的符号不确定 【解析】 由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1， 由导数的几何意义可知h′(a)＝－2<0.
2．已知曲线 f(x)＝12 x2＋x 的一条切线的斜率是 3，则该切点的
曲线 y＝1x 在点2，12 处的切线方程是__x_＋__4_y_－__4_＝__0___．
【解析】 曲线在点2，12 处的切线的斜率
为 k＝ lim Δx→0
2＋1Δx－12
Δx
＝ lim Δx→0
－1 2（2＋Δx）
＝－14
，
由直线的点斜式方程可得切线方程
为 y－12 ＝－14 (x－2)，即 x＋4y－4＝0.
所以 y0＝2×14 2 ＋1＝98 ，所以切点坐标为14，98 .
(2)设直线 y＝3x＋b 与曲线 y＝x3 的切点为 P(x0，y0)，
由 y＝x3 得 y′＝Δlixm→0
Δy Δx
＝Δlixm→0
（x0＋Δx）3－x30 Δx
＝Δlixm→0 [3x20 ＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20 ，
＝（x30
－x0）－（x0－1） x0－1
＝x02 ＋x0－1，又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝Δlixm→0
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
＝ lim Δx→0
（x0＋Δx）3－2（x0＋Δx）－（x30 －2x0） Δx
＝3x20 －2，所以 x20 ＋x0－1＝3x20 －2，所以 2x20 －x0－1＝0，
【拓展】 过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的 直线方程 A
高中数学人教A版选择性必修第二册导数的概念及其几何意义完整版课件
的值叫做 y f (x) 在 x x0 处的导数(也称瞬时变化率)，
记作 f ' (x0 ) 或 y'|xx0 ，即
：
f
'
(
x0
)
lim
x0
导数的几何意义
y x
f
lim f (x0 x) f (x0
x0
x
'(x0)是函数 y f (x)在
). x
x0
处切线的斜率
典型例题 根据导数定义求函数在某一点处的导数
无限逼近（极限） ★ 答案表示形式具有一致性吗？
平均变化率的极限
4
瞬时变化率的极限
概念生成
1.平均变化率
f(x0＋Δx)－f(x0)
fx0＋Δx－fx0 Δx
概念生成
2.导数
即
当x 0时，平均变化率 y 有极限，则称 y f (x)在 x
y
x x
无限接近一个确定的值， x0 处可导，并把这个确定
需要对原油进行冷却和加热。已知在第xh时，原油的温 度(单位：。C)为y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2h时 与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
解 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f '2
和 f ' 6.
根据导数的定义, y f 2 x f 2
)
A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
(2)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数．
解： y f (1 x) f (1)
x
x
f (1) lim y lim ( 1 ) x0 x x0 1 x
典 型 例 题 导数的应用
新教材人教A版高中数学选择性必修第二册5.1导数的概念及其意义 精品教学课件
(2)×.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
y f（x2） f（x1）公式中Δx与Δy
x
x2 x1
可能同号,也可能异号.
(3)×.物体在某一时刻t的瞬时速度是当Δt➝0时,平均速度的极限.
2.某物体的位移公式为s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内下列理解正确的 是( )
A.(t0+Δt)-t0称为函数值增量 B.t0称为函数值增量 C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)称为函数值增量 D. s 称为函数值增量
x0
x
＝ lim（[ x）2＋3x x0
20.＋3x
0
x
]＝3x
2 0
因为k=3,所以3x20=3,得x0=1或x0=-1,
所以y0=1或y0=-1.
所以点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).
2.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.
【解析】设点P的坐标为(x0,y0),
(2)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
y x
f（x2） f（x1）公式中Δx与Δy同号.
x2 x1
()
(3)物体在某一时刻t的瞬时速度即在[t,t+Δt]上,当Δt较小时的平均速度.
()
提示:(1)×.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数,
也可以是负数,但不能为0.
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题 5.1.2 导数的概念及其几何意义 P40
1.瞬时速度 我们把物体在_某__一__时__刻__的速度称为瞬时速度. 【思考】
物体在时间段 1,1 t 的平均速度与在时刻t=1的瞬时速度有什么关系?
数学人教A版选择性必修第二册5.1.2导数的概念课件
∴当 Δx→0 时，f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）必趋于 f′(x0)＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴ lim x0
f（x0＋Δx）Δ－xf（x0－Δx）＝2k.
规律方法 由导数的定义可知，若函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，则 f′(x)＝
[思考] 1.导数或瞬时变化率可以反应函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反应函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区分和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区分：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
2
＝ lxim 0 Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ lim 2] x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
22.
规律方法 求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x －f（x0）；
又f′(1)＝3，∴a＝3. 答案 3
4.已知函数 f(x)＝ x，则 f′(1)＝________.
解析
f′(1)＝
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝ lim x0
1＋Δx－1 Δx
＝ lim x0
1＋1Δx＋1＝12.
答案
1 2
5.若 lim x0
高二数学课件(人教A版选择性必修第二册)5.1.2导数的概念及其几何意义(2课时)
l
数 = ()在 = 0 附近的变化情况.那么导数 ’ (0 )的几何意义是什么？
l
思考1：观察函数 = ()的图象，平均变化率
∆
∆
=
(0 +∆)−(0 )
∆
∆
∆→0 ∆
’ (0 ) =
表示什么？瞬时变化率
(0 +∆)−(0 )
表示什么？
=
(0 +∆)−(0 )
叫做函数∆=新知探索源自如果当∆∆∆
→l 0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称
∆
∆
= ()在 = 0 处可导，并把这个确定的值叫做
= ()在 = 0 处的导数(也
l
称为瞬时变化率)，记作 ’ (0 )或 ’ |=0 ，即 ’ (0 )
瞬时变化率(精确到0.1).
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()在此时刻的导数，
从图象上看，它表示曲线()在此点处的切线的斜率.
例析
l
l
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此
时药物浓度瞬时变化率的近似值.
作 = 0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则该切线的
l
l
对原油进行冷却和加热.已知在 ℎ 第时，原油的温度(单位：
℃)为 = () = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8).计算第2 ℎ与第
6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
同理可得 ’ (6) = 5.
在第2 ℎ和第6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/ℎ和5℃/ℎ.说明在第
这样，当变化时， = ’ ()就是的函数，我们称它为 = ()的导函数
数 = ()在 = 0 附近的变化情况.那么导数 ’ (0 )的几何意义是什么？
l
思考1：观察函数 = ()的图象，平均变化率
∆
∆
=
(0 +∆)−(0 )
∆
∆
∆→0 ∆
’ (0 ) =
表示什么？瞬时变化率
(0 +∆)−(0 )
表示什么？
=
(0 +∆)−(0 )
叫做函数∆=新知探索源自如果当∆∆∆
→l 0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称
∆
∆
= ()在 = 0 处可导，并把这个确定的值叫做
= ()在 = 0 处的导数(也
l
称为瞬时变化率)，记作 ’ (0 )或 ’ |=0 ，即 ’ (0 )
瞬时变化率(精确到0.1).
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()在此时刻的导数，
从图象上看，它表示曲线()在此点处的切线的斜率.
例析
l
l
如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此
时药物浓度瞬时变化率的近似值.
作 = 0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则该切线的
l
l
对原油进行冷却和加热.已知在 ℎ 第时，原油的温度(单位：
℃)为 = () = 2 − 7 + 15(0 ≤ ≤ 8).计算第2 ℎ与第
6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
同理可得 ’ (6) = 5.
在第2 ℎ和第6 ℎ时，原油温度的瞬时变化率分别为−3℃/ℎ和5℃/ℎ.说明在第
这样，当变化时， = ’ ()就是的函数，我们称它为 = ()的导函数
人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.1.2 导数的概念及其几何意义(第2课时)【课件】
要点 3 导函数
从求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处导数的过程可以看出，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个 唯一确定的数．这样，当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)
的___导__函_数____ (简称导数)．y＝f(x)的导函数记作__f′(_x_) ___或___y_′ __，即 f′(x)＝y
要点 2 函数的单调性与导数的关系 若 f′(x0)＝0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k＝__0___； 若 f′(x0)>0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k__>__0，且函数在 x＝x0 附近 _单__调_递__增_且 f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若 f′(x0)<0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k_<__0，且函数在 x＝x0 附近 ___单_调__递_减____，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
f（x＋Δx）－f（x） Δx
＝
lim
Δx→0
（x＋ΔΔxx）2－x2＝Δlixm→0 (2x＋Δx)＝2x.
设点 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点 P 处的切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，所以
y0＝4，即满足条件的点的坐标为 P(2，4)．
(2)因为点 P 处的切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，且直线 2x－6y＋5＝0 的斜 率为13，所以 2x0·13＝－1，解得 x0＝－32，所以 y0＝94，即满足条件的点的坐标为 P－32，94.
如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的每一点处都有导数，我们就说这个函数在
区间(a，b)上是可导函数．
课时学案
题型一 已知点在曲线上的切线问题
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义【教学课件】
1 ． 曲 线 y ＝ x2 － 2x ＋ 3 在 点 A( － 1,6) 处 的 切 线 方 程 是
________________．
4x＋y－2＝0 解析：由导数的定义知 y′|x＝－1
＝ lim Δx→0
－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－－12＋2×－1－3 Δx
＝－4，
∴所求切线方程为 y－6＝－4(x＋1)，
(2)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0，
即 k0＝lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
3．导数的概念
当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函
数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝
得 f′(1)＝lim Δx→0
1＋ΔΔxx－1＝Δlixm→0
1＋1Δx＋1＝12，
∴f(x)在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝21(x－1)．
即 x－2y＋1＝0.
探究题 2 抛物线 y＝x2在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
求点 P 的坐标及切线方程．
解：设点 P 的坐标为(x0，y0)，
4．已知函数 f(x)＝lg(x＋1)，则 f′(2)的几何意义是
函数 f(x)＝lg(x＋1)的图象在点(2，lg 3)处切线的斜率． 5．曲线 y＝3x2－4x 在点(1，－1)处的切线方程为________．
y＝2x－3
解析：k＝f′(1)＝ lim Δx→0
31＋Δx2－41＋Δx－3×12－4×1 Δx
[(Δx)2－3Δx＋3]＝3，
所以切线的斜率为 3.
由点斜式可得切线方程为 y－1＝3(x＋1)，即 3x－y＋4＝0.
5.1.2 导数的概念及其意义课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的
导数h′(1)，即
v(1) h(1) lim h(1 t) h(1) 5.
t 0
t
问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函 数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即
k0
f (1)
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
是一个常数，你能说出这个常数的意义吗？
结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”两个问题思考.
类似地，运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和 瞬时变化率:
1. 平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y
巩固练习
练习.比较函数 f(x)＝2x 与 g(x)＝12x－1 在区间[a－1，a](a<0)上的 平均变化率的大小．
解:f(x)＝2x 在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为 faa－－fa－a－11＝2a－2a－1＝2a－1；
g(x)＝12x－1 在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率为 gaa－－ga－a－11＝12a－1－121a－1－1＝12.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. f (6) 5 表示在第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率为 5℃/h， 这说明在第 6 h 附近，原油温度大约以 5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
巩固练习
练习.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为y v(t) t 2 6t 60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它 们的意义. 解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6).