第五章 定积分及其应用

第五章 定积分及其应用

一、 知识剖析

1. 知识网络

????

?

???

????

??

??

?????????????????计算函数的平均值求旋转体的体积

求平面图形的面积定积分的应用定积分分部积分法

定积分换元法两种技巧牛顿－莱布尼茨公式积分上限函数

微积分基本定理定积分的几何意义定积分的性质定积分的定义

定积分的概念定积分 本章主要知识点为：一个概念（定积分概念）、一个定理（微积分基本定理）、两种技巧（定积分换元法、定积分分部积分法）、一个方法（微元法）。

定积分概念指出求解定积分问题的思路，微元法和牛顿－莱布尼茨公式给出求解定积分问题的具体步骤以及计算方法，而定积分换元法和定积分分部积分法，可以帮助我们更好地去计算定积分。

2. 知识重点与学习要求：

学习要求：

2.1理解定积分概念和定积分的几何意义

2.2了解变上限函数的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式 2.3掌握定积分的换元积分法和分部积分法 2.4掌握奇函数和偶函数在对称区间上定积分的求法

2.5掌握微元法，能够利用微元法求不规则图形的面积、旋转体的体积 2.6掌握广义积分的概念及求法

知识重点：定积分计算、微元法（求不规则图形的面积和旋转体的体积）。

3. 概念理解与方法掌握：

3.1定积分的概念 （1）概念理解：

定积分是高等数学最重要的概念之一，利用定积分可以解决一类问题：计算在某一范围（区间）有可加性且分布不均匀的量。实际中可遇到很多这样的量，因此定积分在实际中有很大用途。

说明：① “可加性”即可以分割，将所求量分成很多小部分，所有小部分之和即为所求量。如长度、面积、体积、质量、力所做的功等都是具有可加性的量。

② “分布不均匀”则不能用初等数学的方法解决。如曲边梯形因为“曲边”而导致面

积分布不均匀，若为“直边”（平行于对边的直线段）即面积分布均匀成为矩形；变速直线运动因为“变速”而产生路程分布不均匀，若为“匀速”则路程分布均匀。分布均匀可用初等数学方法解决。

定积分概念所蕴含的“分割、取近似、求和、取极限”是我们解决问题的基本思路。教材中的“两个实例”充分体现了这一点：

第一步：分割（化整为零） 将所求量分割为很多小部分，所有小部分之和即为所求量； 第二步：取近似（在小范围以不变代变） 求每一小部分量的近似值（小曲边梯形面积近似等于小矩形面积，极小时间段内的变速直线运动可以近似地当作匀速直线运动等）；

第三步：求和（积零为整） 第二步求得的所有近似值之和即为所求量的近似值； 第四步：取极限（精确化） 第一步的分割越细，第三步的“和”近似程度越高，因此我们将分割越来越细，近似值就越来越接近于精确值（极限思想）。

大家在学习时，要领会解决问题的思路和方法，同时注意到两个实例中所求量都是相同的“形式”——和式的极限 i

n

i i

x f ?∑=→)(lim

1

ξλ

注：① 定积分的本质：积分是微分（微小部分，即分割后所得小部分量的近似值）的无限累积。

② 定积分的关键点：在小范围用不变代变求近似。 ③ 定积分可以解决一类相同的问题，例如：

计算密度不均匀的细棒（只计长度）的质量；充电的过程即电量累积的过程，若利用交流电充电，其电流强度不均匀，计算在给定时间段所充的电量。

当然，定积分概念只提供思路，求解实际问题需用微元法，进一步计算定积分则要应用牛顿－莱布尼茨公式。

（2）定积分的性质

注：计算定积分过程中，可依据问题实际，灵活运用“定积分上下限互换”和“拆分积分区间”等方法。

（3）定积分的几何意义

理解、掌握定积分的几何意义对于利用定积分解决问题有很大帮助。

?

a

b a dx x f )()(在几何上表示由曲线)(x f y =，直线a x =、b x =，以及x 轴所

围成的封闭平面图形面积的代数和。要学会用定积分表示封闭的平面图形的面积。反之，给出定积分表达式，学会诠释它的几何意义。有时，利用被积函数的几何意义求定积分的值，比用定积分的计算方法更简单有效。

3.2 微积分基本公式

（1）积分上限函数：若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么在],[b a 上每取一点x ，则)(x f 在],[x a 上也是连续的，因此定积分

?

x

a

dx x f )(存在，因为定积分与积分变量的记法

无关，为了使上限与积分变量便于区分，改变积分变量的符号，上述积分记为?

x

a

dt t f )(，

即],[b a 内每取一个x ，就有一个定积分值?

x

a

dt t f )(与它惟一对应，因此构成一个新函数，

记为),(x φ称为变上限函数，即?

=

x

a

dt t f x )()(φ ],[b a x ∈。

（2）积分上限函数求导

)()()(x f dt t f dx

d x x

a ==

'?φ 推论：①)()]([)()

(x g x g f dt t f dx

d x g a '=?； ② )()]([)()]([)()()

(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=?

注：这部分内容专接本必考，其它学生了解。 （3）牛顿－莱布尼茨公式

关键：求出)(x f 的不定积分，即

C x F dx x f +=?)()(，得到原函数)(x F 。

3.3 定积分的换元法 （1）定积分的换元法：

其中)()]([)(t t f t g ??'=，

关键：积分变量如果改变，那么积分上下限要相应改变，即a x c t x t =????←=-=)

(1?，

b x d t x t =????←=-=)

(1?。

定积分的换元法：换元要换限，换限要对应，“凑微”不换元，换元不还原。 (2) 利用函数的奇偶性计算定积分

注：特别是计算对称区间（积分上下限互为相反数）上的定积分时，留意被积函数的奇偶性是必要的。

3.4定积分的分部积分法

关键：函数u 和函数v 的选择，请参照不定积分的分部积分法。 3.5 无限区间上的广义积分

无限区间的广义积分可以理解为有限区间上定积分的推广，无限区间有三种情形：

)(](),[∞+-∞-∞∞+，，，，b a ，其计算方法按照“求闭区间上的定积分的极限”计算。

),[∞+a 上的广义积分：

定义式：

)]()([lim )()(lim a F b F dx x f dx x f b b

a

b a

a b -=+∞

→+∞

→+∞

??

>任取

如果极限存在，称广义积分收敛，若极限不存在，称广义积分发散。

也可以按照以下方法计算

)()()()(lim a F x F x F dx x f x a a

-==+∞

→+∞

+∞

?

类似可得)(](∞+-∞-∞，

，，b 上的广义积分的计算方法。 3.6 定积分的应用举例（用微元法求面积、体积，计算平均值）

(1) 微元法

① 确定积分变量x （或y ），积分区间],[b a （或],[d c ） ② 找出微元dx x f )(（或dy y )(?） ③ 写出并计算定积分

?

b

a

dx x f )(（或?d

c

dy y )(?）

注：“积分变量、积分区间”是分割的方法、范围的实际选择，“微元”是实际分割后微小部分的合理近似值，“写出并计算定积分”是执行定积分概念中“求和、取极限”两步骤的过程与结果。

(2) 求平面图形面积

问题I ： 由曲线)(x f y =、)(x g y =和直线a x =、b x =所围成图形的面积A 。（这里],[)()(b a x x g x f ∈≥，）

图5－1

① 积分变量x ，积分区间],[b a ② 面积微元dx x g x f dA )]()([-=

③ 面积 问题II ：由曲线)(y w x =、)(y v x =和直线c y =、d y =所围成图形的面积A 。（这里],[)()(d c y y v y w ∈≥，）

图5－2

面积

(3) 求旋转体体积

问题I ： 由直线a x =、b x =、x 轴和曲线)(x f y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的几何体的体积V 。

图5－3

体积问题II ：由直线c y =、d y =、y 轴和曲线)(y u x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的几何体的体积V 。

图5－4

体积 (4) 求函数在给定区间上的平均值ave f

图5－5

函数)(x f y =在],[b a 上连续，其平均值为

二、例题分析

例1. =+-?--])3([11

3dx e x x dx d x

；='+-?-103])3[(dx e x x x 。

解：由定义可知，定积分是一个极限值（确切地说，是一个数），故第一个空填0；

第二个空是计算定积分，依牛顿－莱布尼茨公式和不定积分的性质 （即C x F dx x F +='?

)()(），我们有：

=+--+-=+-='+----?)00()31()3(])3[(03131

31

3

e e e x x dx e x x

x

x 31--e 。

例2. =-?

-dx x 04

216

解：非负函数216x y -=（即0,162

2

≥=+y y x ）的图像为圆心在原点，半径

为4=r 的圆的上半部分，由定积分的几何意义，

==

-?

-)(4

1

1620

4

2r dx x ππ4 图5－6

例3. 若

?

-=1

2)(dx x f 、1)(50

=?dx x f ，则=?dx x f 5

1

)( 。

解：依定积分的性质或几何意义，

=--=-=???

)2(1)()()(1

5

5

1

dx x f dx x f dx x f 3。

例4. 计算定积分：

dx x )31(2

1

?

--

解：被积函数?

?

?>-≤+=-0,310

,3131x x x x x ，于是依定积分的性质，有：

2

1

4

)04()210()23()23()31()31()31(2

02

122

12

1-=--+-=-++=-++=----???x x x x dx x dx x dx x

例5. 计算定积分：?+++1

023

11dx x

x x 解：分子3

1x x ++被分母21x +去除，商为x ，余式为1，即1)1(12

3

++=++x x x x 。

2

142

1arctan 111)

1(1102

1

010102

1

022+=+=++=++=???πx x xdx dx x dx

x x x ＋原定积分

例6. 计算定积分：?+1

02

4

1dx x x

解：=原定积分

324arctan )3(11)1(11110

103102102

1

2

4-=+-=++-=++-???

πx x x dx x dx x dx x x 注：数学上常用“加1减1”去求解某些问题。

例7. 计算定积分：

?

++-31

2

2

)

1(1dx x x x x 解：分母为x 与2

1x +两项的乘积，分子需据此二项进行分拆，即分子被分为x 部与

21x +部的代数和。

12

3ln 21arctan ln 111)

1()1(31

31

312

313

122π-=

-=+-=+-+=???x

x dx x dx x dx x x x

x 原定积分

例8. 计算定积分：

?

-π

20

2cos 1dx x

解：依三角学二倍角公式

，于是

[

]

[]{}

2

4)c o s 2(c o s )0c o s ()c o s (2c o s )c o s (2)s i n (s i n 2s i n 2s i n 2202020

20

2

=-+---=+-=??

????-+===???

?

ππππ

ππ

π

πππ

π

x x dx x dx x dx x dx x 原定积分例9. 计算定积分：

dx x

x ?

+9

1

1

解：此被积函数可展开成x 的不同次幂的代数和，

31

21)322()1(

9

1

2

3

9

1

=+

=+=?x x dx x x

原定积分。 例10. 求极限（利用定积分定义）：)1

21(

lim 222n

n n n n -+++∞

→ 解：依定积分定义

这里，设积分函数x x f =)(，定积分区间]1,0[],[=b a ，然后将其n 等分，每个小区间长度n

x i 1

=

?，i ξ取每个小区间的左端点，则： n

n n n f f n i n i f f n n f f n n f f n f f n i 1

)1()(1)1()(2

)2()(1)1()(0)0()(321-=

-==-=======ξξξξξ，，－，

，，， 于是，i n i n i n

n x n i f n n i n n n n n ?-=?-=-++++∑∑=→=→∞→)1

(lim 11lim )1210(lim 1

01012222λ

2

1

1

=

=?dx x 原极限。

??

????++++∞→)sin 3sin 2sin (sin lim n n n n n n n πππππ

例11. 计算定积分：

dx x x ?

-1

52)1(

解：被积函数含有复合函数部分：5

2)1(x -，复合函数5

2)1(x y -=可分解为：

251x u u y -==，，若将原定积分中的xdx x d dx 2)1(2-=-??→?换成

，则 ???

????=

-=-=============--=================

---=--?

-=-????

=-12112121121

)1(121)1()1(21)1(21)1()1(0

1601511

0621

25221

521

522u du u x x d x x d x x x dx x x u x 设定积分换元法牛顿－莱布尼茨公式

例12. 计算定积分：

dx x x x ?+-+1

0)5)(2(3

2

解：被积函数为分式形式，而且分母是由多个因式（特别是一次多项式：b ax +）的乘积组成，此时可用待定系数法，还原该分式为通分前的代数式。 设

5

2)5)(2(32++-=+-+x B

x A x x x ，则有：)2()5(32-++=+x B x A x

当2→x 时，1)52(7=?+=A A ；当5-→x 时，1)25(7=?--=-B B ，

因此，

????++-=++-=+-+1010101

052)5121()5)(2(32x dx x dx dx x x dx x x x

6.0ln )5)(2(ln 5ln 2ln 1

01010=+-=++-=x x x x

例13. 计算定积分：

?--+-0

12312x x x xdx

解：

dx x x x x x x xdx ??--+-=-+-0120

123)1)(1(212

设

1

1)1)(1(22

2+++-=+-x C Bx x A x x x ，则有：))(1()1(22

C Bx x x A x +-++= 比较等号两边x 的同次幂的系数：

??

?

??=-==???

?

??

-=-=+=111

0200

12C B A C A B C B A x x x ，因此，我们有： ?????-----+++--=++-+-=-+-012012010120

123111)1111(12x dx x xdx x dx dx x x x x x x xdx

42ln 2142ln 212ln arctan 1ln 211ln 0

10

1

20

1ππ--=-+-=++--=---x x x

例14. 计算定积分：

dx x x x ?+++5

32166

2

解：2ln 16ln 1

6)16(532

5

322=++==========++++=?x x x x x x d 牛顿－莱布尼茨公式原定积分， 或者：2ln ln 1

6)16(56

2856285

316222

================++++??=++u u du x x x x d u x x 设定积分换元法 例15. 计算定积分：

?

+3

1

ln 1e x

x dx

解：被积函数含有复合函数部分：x ln 1+，复合函数x y ln 1+=是由

x u u y ln 1+==，复合而成。于是，考虑dx x

x d dx 1

)ln 1(=

+??→?换成，则有： 牛顿－莱布尼茨公式：2ln 12)ln 1(ln 1133

1

1

=+=+?+=

?

e e x

x xd x

x 原定积分，

定积分换元法：

221)ln 1(ln 1141

4

1

ln 11

3

========

+?+?

?

=+u

du u

x d x

u

x e 设。

例16. 计算定积分：

?-

44

4cos 4π

π

θθd

解：本题被积函数虽也有复合部分，但将θθcos d d ??

→?换成

显然无果。应用三角学二倍角公式降幂是主要手段，直到余下的余弦函数的次幂为奇数次幂。

???--

+=-

++=+==========

44

244

2

)

12(cos 2

1

cos 44

4

)12cos 22(cos )12(cos cos 42π

ππ

π

θθπ

π

θθθθθθθd d d

???---+++=44

4

44

4122cos )14(cos 21πππππ

πθθθθθd d d 24

32

2sin 4

4sin 8

1

44

4

4

+=

+

++

=--ππ

θ

π

θπ

π

π

π

注：对于形为?

?xdx x n m cos sin 的不定积分，只要m 或n 中有一个为非负整数且为奇

数，可以应用1cos sin 2

2=+x x ，将被积表达式表示成：x xd x n

k

cos cos )cos 1(2

?

--，

12+=k m 或者?-x d x x l m sin )sin 1(sin 2，12+=l n ，然后用换元法求解之。

例17. 计算定积分：

dx x

x

?

3

43cos sin π

解：??

?-=?=

30

23

2

sec )1(sec sec tan tan π

π

x d x xdx x x 原定积分

3

4)12()3138(s e c 3

s e c 303

3

=---=-=

ππ

x x

注：本题类型适合转化为x tan 、x cot 、x sec 、x csc 后求解。 例18. 计算定积分：

?--++1

2254x x dx

解：4

arctan 11)2()2(1

010221

22π==+=====+++=??=+--u u du x x d u x 设原定积分 （定积分换元法） 注：熟记常用的凑微分形式，并适时变通。 例19. 计算定积分：

?

-+12

1

2

21dx x

x x

解：本题被积函数也有复合部分，)2(2x x d dx -??→?换成可否？留给大家一试。

??+--+--=12

1

2

12

1

2

)

12(1221dx x x dx x

x x 原定积分

??--+---=121212122)1(122)2()21(dx x x

x x x d

??---+---=121212122)1()

1(11

22)2()21(x d x x x x x d

3123)6(20)43(1)1arcsin(221

2112

12

ππ+-=??????--+?????

?---=-+--=x x

x

注：本题可以认为是由

?

--12

1

2

21dx x

x x 和?-12

1

2

22dx x

x 两个典型的定积分题目合成

而来的。求解

?

-12

1

2

22dx x

x 是将

x d x

dx arcsin 12

=-变通为)1()

1(112

---x d x 。

例20. 计算定积分：

dx e x ?

-2

ln 0

1

解：被积函数是一个根式，可用变量代换消去根号。设t e x =-1，则有

0)1ln(2≥+=t t x ，，并且积分上下限相应改变：12ln 00=?==?=t x t x ，。

[

]

2

2)arctan (2111212)1ln(1

01022

1

0222

1

0π-=-=+-+=+=+=???t t dt t t dt t t t d t 原定积分 例21. 计算定积分：

?

--14

3

1

1x dx

解：被积函数含有n b ax +的可以考虑用变量代换消去根式。设t x =-1，则有

1012≠≥-=t t t x 且，，同时积分上下限相应改变：2

1

43=?=

t x ，01=?=t x 。 ??????

--+=-+-=-=--=--2102102

102100

21214

3

1)1(221112121)1(1

1t t d dt dt t t t tdt t t d x dx

2ln 211ln 22

1

2210-=-+?

=t 例22. 计算定积分：

?

+3

1

2

2)

91(1

dx x 解：令2

2

tan 3π

θπ

θ<

<-

=，x ，则θθ2

22sec tan 191=+=+x ，

θθθd d dx 2sec 3

1

tan 31==

，

积分上下限同时改变为：00=?=θx ，4

31πθ=?=

x ???+===40402

4042

212cos 31cos 31sec sec 31πππθθθθθθ

θd d d 原定积分 24

12122sin 6140πθθπ

+=??????+= 注：本题采用了变量代换中的三角代换，具体情况可参考《高等数学》教材中“不定积分”章节的“三角代换”部分的内容。

例23. 计算定积分：

?

-1

1

3

dx e x

解：设t x =3，则3t x =，dt t dx 2

3=，同时积分上下限改变为：11-=?-=t x 、

11=?=t x ，于是

??

????-===???----1

121121

12

1

12333dt e e t de t dt e t t t t

t

原定积分

??????---=--=--=???----111111116)3

3(6)33(6)33(dt e te e

e tde e e dt te e e t t t t

e

e e e e e e t 15

36)1(6)33(11-=++--=-

注：本题中被积函数含有高次根式，故变量代换，设之为t ；消去根号后，被积函数变

为t

e t 23，为两种不同类型的函数的乘积，适合分部积分法求解。

例24. 计算定积分：?e

dx x 1

)sin(ln

解：u u x u e x e

e ud udu e

x xd x u

???=======?=

==1

10

ln 1sin sin ln )sin(ln 设原定积分

???-=-=-=1

10

1

1

cos 1sin cos 1sin sin sin u u u u ude e udu e e u d e u e

??

????+--=??????--=??101010sin )11cos (1sin cos cos 1sin udu e e e u d e u e e u u u 因此，[]原定积分=+-=?1)1cos 1(sin 2

1sin 10e udu e u

。

例25. 求下面平面图形阴影部分的面积A ：

图5－7

解：用微元法求平面图形阴影部分的面积，

a) 积分变量x ，积分区间]20[π，

b) 面积微元dx x x dA cos sin -=

c) 面积?

-=

π

20

cos sin dx x x A

故本题所求阴影部分面积：

???-+-+-=π

πππ

π

24

54

54

4

)sin (cos )cos (sin )sin (cos dx x x dx x x dx x x A

π

ππ

ππ

24

54

54

40)cos (sin )sin (cos )cos (sin x x x x x x +++-+=

)]2(1[)22()12(--+----=

24=

例26. 设圆的半径为55=r ，圆与折线x y 2=相切，试求下图中阴影部分的面积A 。

图5－8

解：运用初等数学知识可求：圆的圆心坐标为]50[r ，，即]250[，

，而圆与直线相切点处的坐标为：]554552[r r ，-

、]5

5

4552[r r ，，即]2010[，-、]2010[，； 圆的标准方程为：125)25(2

2

=-+y x ，（下半圆为：212525x y --=）

用微元法求图中阴影部分的面积，

（1） 积分变量x ，积分区间]1010[，

- （2） 面积微元dx x x dA ]2)12525[(2

---= （3） 面积?

----=

10

10

2]2)12525[(dx x x A

?---=10

2]2)12525[(2dx x x A

??

?---=10

10

02

100

221252150xdx dx x dx

?

---=10

21252200500dx x

10

2)255arcsin(125125300?

?????+--=x x x

)5

5

2arcsin(

125250-= 故本题所求阴影部分面积为)5

5

2arcsin(

125250-，约为6.111。

注：求A ，

这个公式可通过三角代换求得。 例27. 求图中阴影部分面积A ：

图5－9

解：用微元法求图中阴影部分的面积，

（1） 积分变量y ，积分区间[]30，

选择垂直于y 轴分割，否则分割后的每一微小部分难以给出形式统一的近似值（微元） （2） 面积微元dy y y y y dA )]4()2[(2

2

---=

线的函数 （3） 面积?---=

3

02

2)]4()2[(dy y y y y A 故本题所求阴影部分面积9)26(3

2=-=

?

dy y y A

例28. 求由直线1-=x 、2=x 与x 轴以及曲线x

e y =所围的平面图形绕x 轴旋转一

周而成的几何体的体积V 。

图5－10

解：用微元法求旋转体体积，

（1） 积分变量x ，积分区间]21[，

-

（2） 体积微元dx e dV x 2

)(π= （3） 体积?

-=

2

1

2)(dx e V x π

故此旋转体的体积55.85)(2

2

242

1

22

1

2≈-=

=

=

---?

e e e dx e V x

x π

π

π

注：25～28题均列出微元法求解的步骤，实际解题中可以据实情直接使用求面积、体积的公式。

例29. 求由直线1=x 、x 轴，以及曲线x

y 1

=所围成的平面开口图形绕x 轴旋转一周而成（类似乐器小号）形体的体积V 。 图5－11

解：本题涉及无穷区间上的广义积分知识。所求形体体积：

πππππ=-=???

???-?=???????==∞→∞→∞→∞

??

)11(lim 1lim )1(lim )1(1

121

2R x dx x dx x V R R

R R R

例30. 求变量y 在给定自变量变化区间内的平均值：

（1）[]5.00arcsin ，

，∈=x x y （2）411<<=

t t

y ，

（3）???≤≤-<≤-=3

040

8)(32x x x x f ，，

解：（1）236arcsin arcsin 2arcsin 05.015.005.005.00

-+=??????-=-=??πx xd x x dx x y ave （2）32

23111414141=?=-=

?t dt t

y ave （3）55

36))4(()8(3108303

2

=-+--=??-dx dx x y ave

例31. （估计平面图形面积的数值方法）

从定积分概念中的“分割、近似、求和”三步骤，我们可以得到定积分的一个近似值。这个原理对于众多实际问题（往往难以知晓被积函数或者被积函数不是初等函数等情况）的求解有着极为重要的意义，由此也衍生了数值积分这个热门的数学分支。

下面我们引入估计（或言“近似、逼近－Approximation ”）定积分值的一个简单、常见的数值方法。例如，估计如下图中曲线)(x f y =与直线a x =、b x =、x 轴所围的曲边梯形的面积。我们的办法是：将闭区间][b a ，进行n 等分，这样大曲边梯形被分割成n 个等宽)(1

a b n

x -=

?的小曲边梯形，而它们每个的面积我们会用一个矩形面

积来近似代替，然后求全部矩形面积的和，从而得到大曲边梯形面积的一个估计值（即近似值）。至于在这个过程中用什么样的矩形的面积来近似代替小曲边梯形的面积，我们给出以下三种比较常见的替代方案：

a. Left endpoint approximation （左端点估计法）

b. Right endpoint approximation （右端点估计法）

c. Midpoint approximation （中点估计法）

图5－12

方案a （Left endpoint approximation ）

图5－13

方案b （Right endpoint approximation ）

图5－14

方案c （Midpoint approximation ）

注意：每个矩形的宽均为)(1

a b n

x -=

?，而矩形的高，在方案a 、b 、c 中给出了不同的选择，它们分别是：分割区间的左端点、右端点、中点处的函数值。

【例】现有一处水塘，每间隔3米测得水塘的宽度如下图所示（单位：米），试用Left endpoint approximation 、Right endpoint approximation 两种方案估计其面积大小。

图5－15

解：（1）（Left endpoint approximation ）水塘面积为（平方米）：

2.12138.438.430.536.538.632.732.630=?+?+?+?+?+?+?+?；

（2）（Right endpoint approximation ）水塘面积为（平方米）：

2.1213038.438.430.536.538.632.732.6=?+?+?+?+?+?+?+?。

例32. 某场比赛中一赛跑运动员在其前三秒中奔跑速度记录如下（速度单位：米/秒）：

试估计此运动员在这三秒内跑过的距离S 。 解：（1）左端点估计法（单位：米）

55.105.09.55.05.55.05.45.03.35.09.15.00=?+?+?+?+?+?=S ；

（2）右端点估计法（单位：米）

65.135.02.65.09.55.05.55.05.45.03.35.09.1=?+?+?+?+?+?=S 。

（随时间推移，

漏油减少）

试估计已经漏出的总油量。 例33. 计算3

20

2)1ln(lim

x dt t x

x ?

+→

解：这是一个"0

0"型的未定式，应用罗比达法则得

6111lim 611212lim 6)1ln(lim 2)1ln(lim 202022

030

2

0=+=+=+=+→→→→?x

x x x

x x x dt t x x x x

x 例34. 求连续函数)(x f 及实常数c ，使得

1)(-=?

x

c

x e dt t tf 成立。

解：等式

1)(-=?

x

c

x

e dt t t

f 两边对x 求导，得x

e x x

f =)(，所以x

e x

f x

=)(。在等式

1)(-=?

x

c

x e dt t tf 中，令c x =，有10-=c e ，得0=c 。

三、自我测试题

（一）基础层次

（时间110分钟，分数100分）

一、填空题（每空2分，共30分） 1. 设

?

-=2

2

12)(3dx x f ，?-=5

2

6)(dx x f ，?-=5

2

2)(dx x g ，则=?5

2

)(dx x f ，

=?

-2

5

)(dx x g ，=+?

-5

2

5)

()(dx x g x f 。

2.

=?

5

.15

.0xdx ，=+?

12

11

dx x 。

3.

=?

40

2

sec π

xdx ，

=?4

tan sec ππ

xdx x 。

4. 设函数)(x f 的周期为π2，且

?

=π

20

0)(dx x f 、1)(0

=?dx x f π

，则

=?dx x f π

π

3)( ，=?

-dx x f 0

)(π

。

5. []='

?-2

12

1arcsin dx x ，='??

?????-21

21arcsin xdx 。

6. 写出下图中阴影部分面积的定积分表达式，其中=1A ，=2A 。

图5－16

7.

=+?

-dx x x 2

2

2123 。

8. s

s g 1

)(=

在区间]221[，上的平均值为 。 二、选择题（每题2分，共10分） 1. 下面计算正确的是（ ）

.A 2111

11

1

1

12-=--=-

=--?x

dx x .B

021

1

21

1

======+??

-=+-tdx dx x t

x 设

.C

23222

13

1

21

1

-======+??

=+-du dx x u

x 设 .D

10cos 55cos 0

==??

π

π

xdx xdx

2. 若)(x f 与)(x g 均在闭区间[]b a ，上连续，则下面结论正确的是（ ）

.A 0)(0)(=?

=?

x f dx x f b

a

.B

)()()()(x g x f dx x g dx x f b a

b

a ≥?

≥??

.C ????=?b a

b a

b

a dx x g dx x f dx x g x f )()()()( .D

0)()(0)(=??

=?

?

b

a

b

a

dx x g x f dx x g

3.

=-+?

-0

3

2)91(dx x （ ）

.A

349-π .B 3- .C 32

3-π .D 0 4. 若?

=

x

dt t f x F 2

)()(，而)(t f y =的图像如下图，则以下几个数哪一个最大？（ ）

图5－17

)0(.F A )1(.F B )2(.F C )3(.F D )4(.F E

5. 函数??

?

??<-=>=0

100

1

)sgn(x x x x ，则=??-1

2

)sgn(dx x x （ ） .A 5.1- .B 5.2 .C 0 .D 3 .E 1-

三、计算题（每题4分，共40分）

1.

?

-2

.16

.02

)2(dx x x 2.

?

--50

1

02.0dx e

x 3.

?

4

5

tan sec πxdx x 4.

dx x

x

e ?

2

1

ln 5.

?

--0

1

dx xe x

6.

?

-3

2

2

1dx x x 7. 已知???≤≤<≤=2

1sin 10)(t t t t t g ，，π，求?20)(dt t g

8. ?+101dx x

x

9. ?∞--03)12(x dx

10.

?-1

5.0221

dx x x

四、应用题（共20分）

1. 求下图阴影部分的面积。（10分）

图5－18

2. 由02

=-=x y y x ，所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的几何体的体积。（10分）

（二）提高层次

（时间：110分钟，分数：100分）

一、填空（每空2分，共30分） 1.设?

=2

7)(7dx x g ，?=1

2)(dx x g ，则?0

2

)(2dx x g = ；?2

1

)(dx x g = 。

2.

?-+π

πdx x x

2cos 1sin = 。 3.

=?312

dx e dx

d x ；()='?xdx x 2cos 。

4.在定积分

dx x

?

+4

1

11中，做换元t x =，则新积分的上限应取 ；下限应取 .

5.若函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，则?

=

x

a

dt t f x F )()(是)(x f 的 ；

?

b

a

dx x f )(= .

6.若

?

=b

xdx 1

1ln ，则=b ；函数x y ln =，在区间],1[e 上的平均值为 .

7.一物体由静止出发沿直线运动，其速度为3

)(t

t v =米/秒，t 为时间，则出发后10秒内走过的路程为 . 8.设0≠a ，若?

=-a

dx x x 0

0)21(，则=a .

9.

=+?

+∞

dx x 2

11

；

10.

?

?=+++3

1

132

2

11dx x

x dx x x .

二、选择题（每题2分，共10分） 1.由定积分的几何意义知，定积分

dx x ?

--1

1

21的值是（ ）

A.0

B.π

C.1

D.2

π

2.下列定积分中表达式正确的是：（ ）

A. 2111

1

1

12=???

???=--?x dv x B.

3tan sec 3

3

2

==?

π

πθθx

d

C.

??-==22

20

2sin 2sin πππ

xdx xdx D.

2tan csc 4

/34/434

2-==?ππππ

x xdx

3.

?

230

sin π

xdx

A ．0> B.0< C.0= D.1=

4.设dt t x f x

)1cos()(02

-=?，则=')0(f

A.0

B.1cos -

C.1cos

D.1sin - 5.设函数

='?

dx x

f )3

(6

3

（ ） A.)1()2(f f - B.)]1()2([3f f - C.)]1()2([3

1f f - D.)]1()2([3

1f f '-' 三、计算下列定积分（每小题4分，共40分） 1.

?

-

27

1

3

4dx x 2.

?

40

2

tan πxdx 3.?20

3cos sin π

xdx x 4.dx x ?-4

2

3

5.dx x x ?+1

032)1( 6.?-e e x x dx

ln 1 7.?-511dx x x 8.?-22

sin π

πxdx x 9.

?

+∞

-0

2

dx xe x

10. x

x tdt

x

x sin sin lim

20

-?→（2007年专接本真题）

四、应用题

1.求下列阴影部分的面积（10分）

图5－19

2.求由曲线12

+=x y 和直线2,0,===x x x y 围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。（10分）

图5－20