(完整)基本初等函数知识点及函数的基本性质,推荐文档

n a ?

-

1 1 指数函数及其性质

一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念

1、如果 x n = a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1，且 n ∈ N + ，那么 x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时， a

的 n

次方根用符号 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号 n a 表示，负

的n 次方根用符号- n a 表示；0 的n 次方根是 0；负数a 没有n 次方根．

2、式子 n a 叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为任意实数； 当 n 为偶数时， a ≥ 0 ．

3、根式的性质： ( n a )n = a ；当n 为奇数时， n a n = a ；当n 为偶数时，

=| a |= ?a - (a ≥ 0) ． ? a (a < 0)

（二）分数指数幂的概念

m

1、正数的正分数指数幂的意义是： a n = n a m (a > 0, m , n +∈ N , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．

m

m

2、正数的负分数指数幂的意义是： a n = ( ) n

= n ( )m (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的负

a a

分数指数幂没有意义．

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质

a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) (a

b )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )

(a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R )

5、0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念

一般地，函数y = a x (a > 0,且a ≠ 1) 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R ． 注意：○1 ○2 指数函数的定义是一个形式定义； 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和 1．

三、指数函数的图象和性质

n a n 函数名称

指数函数

定义

函数 y = a (a > 0 且

a ≠ 1) 叫做指数函数 a > 1

0 < a < 1

图象

y

1 y

O

y

a x

(0,1)

x

y

a

x

y

1

O

y

(0, 1)

x

定义域 R

值域 （0,+∞）

过定点

图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．

奇偶性 非奇非偶

单调性

在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

（1）在[a，b]上，f (x) = a x (a > 0且a ≠ 1) 值域是[f (a), f (b)] 或[f (b), f (a)]

（2）若x ≠ 0 ，则f (x) ≠ 1；f (x) 取遍所有正数当且仅当x ∈ R

（3）对于指数函数f (x) = a x (a > 0且a ≠ 1) ，总有f (1) = a

（4）当a > 1时，若x1< x 2，则f (x1 ) < f (x 2 )

四、底数的平移

对于任何一个有意义的指数函数：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在

f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”

五、幂的大小比较

常用方法（1）比差（商）法：

（2）函数单调性法；

（3）中间值法：要比较 A 与B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与C、B 与

C 的大小，由不等式的传递性得到 A 与 B 之间的大小。

注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如： y1=34,y2=35

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规

律来判断。

例如： y1=（1/2）4,y2=34,

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较

①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与

0、1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与

“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异

小”。即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向时， a x大于 1，异向时a x

小于 1.

对数函数及其性质

一、对数与对数的运算

（一）对数

1. 对数的概念：一般地，如果a x =N (a > 0, a ≠ 1) ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：

x = log a N （a —底数，N —真数，log a N —对数式）

说明：① 注意底数的限制a > 0 ，且a ≠ 1；

② a x =N ? log a N =x ；

③注意对数的书写格式．log a N

两个重要对数：① 常用对数：以 10 为底的对数lg N ；

② 自然对数：以无理数e = 2.71828 为底的对数的对数ln N ．

a

指数式与对数式的互化

幂值

真数

（二）对数的运算性质

如果 a > 0 ，且 a ≠ 1， M > 0 ， N > 0 ，那么：

M

① log a (M ·

N ) = log a M ＋ log a N ；○2 log a = log a M － log a N ； N 1 ○3 log M n = n log M (n ∈ R ) ． ④ log M = log M a a

b

log

b

n

a

n a ⑤ log a = b ⑥ a a = b ⑦ log a 1=0

⑧ log a a=1

⑨ a log a N=N ⑩ log a a b =b

注意：换底公式

log log b =

c

b

（ a > 0 ，且 a ≠ 1； c > 0 ，且c ≠ 1 ； b > 0 ）．

a

log c a

推论(利用换底公式) 1

① log b n = n

log b ；

② log b =

．

a m

m

a

二、对数函数

a

log b a

1、对数函数的概念：函数 y = log a x (a > 0 ，且 a ≠ 1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数

的定义域是（0，+∞）． 注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： y = 2 l og 2 x ，

y = log x

5 5

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

② 对数函数对底数的限制： (a > 0 ，且 a ≠ 1) ．

a > 1

0 < a < 1

x 1

(1,0)

y log a x

x

x 1

(1, 0)

y log a x

x

函数值的变化情况log a x > 0 (x > 1)

log a x = 0 (x = 1)

log a x < 0 (0

log a x < 0 (x > 1)

log a x = 0 (x = 1)

log a x > 0 (0

a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．

在第一象限内，a 越大，图象越靠近 x 轴

在第四象限内，a 越大，图象越靠近 y 轴

在第一象限内，a 越小，图象越靠近 x 轴

在第四象限内，a 越小，图象越靠近 y 轴

四、对数的平移、大小比较与指数函数类似

一、反函数定义

反函数

设函数y = f (x) 的定义域为A ，值域为C ，从式子y =f (x) 中解出x ，得式子x =( y) ．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子x =( y) ，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x =(y) 表示x 是y 的函数，函数x =(y) 叫做函数y = f (x) 的反函数，记作x =f -1( y) ，习惯上改写成y =f -1(x) ．

二、反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；

②从原函数式y =f (x) 中反解出x =f -1( y) ；

③将x =f -1( y) 改写成y =f -1(x) ，并注明反函数的定义域．

三、反函数的性质

①原函数y =f (x) 与反函数y =f -1(x) 的图象关于直线y =x 对称．

②函数y =f (x) 的定义域、值域分别是其反函数y =f -1(x) 的值域、定义域．

③若P(a, b) 在原函数y = f (x) 的图象上，则P'(b,a)在反函数y = f -1(x) 的图象上．

④一般地，函数y = f (x) 要有反函数则它必须为单调函数．

幂函数及其性质

一、幂函数的定义

一般地，函数y =x叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数．

二、幂函数的图象

函数

特征性质y=x y = x 2y = x 3

1

y = x 2y = x -1

定义域R R R[0，+∞）{x|x ≠ 0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y ≠ 0}

单调性

x ∈[0，+∞) 增x ∈(0，+∞) 增增增增

x ∈(-∞，0] 减x ∈(-∞，0) 减

所过定点（1，

（0，

1）

0）

（1，1）

（0，0）

（1，1）

（0，0）

（1，1）

（0，0）

（1，1）

三、幂函数的性质

1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．

①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；

②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；

③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

2、过定点：所有的幂函数在(0, +∞) 都有定义，并且图象都通过点(1,1) ．

3、单调性：①如果> 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞) 上为增函数．

②如果< 0 ，则幂函数的图象在(0, +∞) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近

x 轴与y 轴．

4、奇偶性：⑴当为奇数时，幂函数为奇函数，

⑵当为偶数时，幂函数为偶函数．

⑶当=q（其中p,q互质，p和q∈Z），

p

q

①若p 为奇数q 为奇数时，则y =x p 是奇函数，

q

②若p 为奇数q 为偶数时，则y =x p 是偶函数，

q

③若p 为偶数q 为奇数时，则y =x p 是非奇非偶函数．

5、图象特征：幂函数y =x, x ∈(0, +∞) ，

⑴当> 1 时，①若0

②若x > 1 ，其图象在直线y =x 上方，

⑵当< 1时，①若0

②若x > 1 ，其图象在直线y =x 下方．

函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题

一、函数奇偶性的概念：

①设函数y =f (x)的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个x ，都有-x ∈D ，

且 f (-x)=-f (x)，则这个函数叫奇函数。

（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有 0 时，我们可以得出 f (0)= 0 ）

②设函数 y = g (x )的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个 x ，都有-x ∈ D ， 若 g (-x )= g (x )，则这个函数叫偶函数。

从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当 x 在其定义域内时， - x 也应在其定义域内有意义。

③图像特征

如果一个函数是奇函数? 这个函数的图象关于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数? 这个函数的图象关于 y 轴对称。

④复合函数的奇偶性：同偶异奇。

⑤对概念的理解：

(1) 必要条件：定义域关于原点成中心对称。

(2) f (x ) 与 f (- x ) 的关系：

f (-x )

当 f (-x ) = f (x ) 或 f (-x ) - f (x ) = 0 或

f (x ) 当 f (-x ) = - f (x ) 或 f (-x ) + f (x ) = 0 或

二、函数的奇偶性与图象间的关系：

f (-x )

= -1时为奇函数。 f (x )

①偶函数的图象关于 y 轴成轴对称，反之也成立；

②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。 三、关于函数奇偶性的几个结论：

①若 f (x ) 是奇函数且在 x = 0 处有意义，则 f (0) = 0

②偶函数± 偶函数=偶函数；奇函数± 奇函数=奇函数； 偶函数?偶函数=偶函数；奇函数? 奇函数=偶函数； 偶函数? 奇函数=奇函数

= 1时为偶函数；

③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.

“”

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At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!