切比雪夫多项式-详细-Chebyshev_polynomials

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程

和

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.

定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

也可以用母函数表示

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

此时母函数为

从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：

是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，

从而可以表示成的幂。

用显式来表示

尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

类似，第二类切比雪夫多项式满足

以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

归递公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替

xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x)

正交性

Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

即:

可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:

其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).

基本性质

对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。

时，Tn 的最高次项系数为2n ? 1 ，n = 0时系数为1 。

最小零偏差

对，在所有最高次项系数为1的n次多项式中，对零的偏差最小，即它是使得f(x)在[ ? 1,1] 上绝对值的最大值最小的多项式。其绝对值的最大值

为，分别在- 1 、1 及f 的其他n ? 1 个极值点上达到。

两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

例子

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?

前几个第一类切比雪夫多项式是

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1?

前几个第二类切比雪夫多项式是

按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。

切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间[?1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做切比雪夫节点，因为是多项式插值时的插值点. 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是：

类似地，Un 的n个根分别是：

专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展.pdf

专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展【课本溯源】由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式. 再如： 1cos 22cos 2-=x x x 2cos x cos x x x x x x x x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 2--=-=+=，可见可以表示为的三次多项式. x x x x x x cos 3cos 4cos )cos 1(2cos cos 2323-=---=x 3cos x cos 一般地，存在一个次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫（P. L. n )(t P n ),(cos cos x P nx n =)(t P n Tschebyscheff ）多项式. （1）请尝试求出，即用一个的四次多项式来表示)(4t P x cos x 4cos （2）利用结论：，求出的值（） x x x cos 3cos 43cos 3-= 18sin 18290183?-=?本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个都可以表示为nx cos x cos 的次多项式.第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：n . 1)1cos 2(212cos 24cos 222--=-=x x x 1cos 8cos 824+-=x x 第（2）问根据所给提示，自然想到对进行赋值，令 18290183?-=?x 18=x 化简后可得： 18cos 18sin 2)182sin()18290cos(18cos 318cos 4183cos 3=?=?-=-=?，解得：3)18sin 1(418sin 2318cos 422--==- 41518sin -= 【探究拓展】探究1：观察下列等式：观察下列等式： ①; 1-cos 22cos 2αα=② ; 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+③ ; 642cos 632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-④ ;8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+⑤ .10 8642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-可以推测，._________=+-p n m 962 =+-p n m 探究2：3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =

高中数学竞赛切比雪夫(Chebyshev)多项式知识整理

方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如： 2cos 22cos 1αα=- ，(1) 3cos34cos 3cos ααα=-． (2) 它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3) 53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4) 观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想 2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N + ∈∈) (5)

(5)式可改写为： n/3 12112cos (2cos )(1)(2cos )ent n m m n m n m m n n C m ααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式． 12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数．因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如： 1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤． 4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈． 5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．） 6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系

切比雪夫级数

算法说明：当一个连续函数定义在区间[-1,1]上时，它可以展开成切比雪夫级数。即： ()() n n n f x f T x ∞ ==∑ 其中()n T x 为 n 次切比雪夫多项式，具体表达可通过递推得出： 0()1T x =，1()T x x = 11()2n n n T x xT x T x +-=- 它们之间满足如下的正交关系： 110,,02 ,0 n m n m n m ππ-≠???==≠??==??? 在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限的项数，切比雪夫级数中的系数由下式决定： 1 01 () f x f dx π-= ? 1 2 n f dx π-=? 在MA TLAB 中编程实现的切比雪夫逼近法函数为：Chebyshev 。功能：用切比雪夫多项式逼近已知函数。调用格式： Chebyshev(y,k,x0)f = 其中，y 为已知函数； k 为逼近已知函数所需项数； f 是求得的切比雪夫逼近多项式在x0处的逼近值。程序源代码（m 文件）： function f = Chebyshev(y,k,x0) %用切比雪夫多项式逼近已知函数 %已知函数：y %逼近已知函数所需项数：k %逼近点的x 坐标：x0 %求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：f

syms t; T(1:k+1) =t; T(1) = sym('1'); T(2) = t; c(1:k+1) = sym('0'); c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f = c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1 T(i) = 2*t*T(i-1)-T(i-2); c(i) = 2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/2; f = f + c(i)*T(i); f = vpa(f,6); if(i==k+1) if(nargin == 3) f = subs(f,'t',x0); else f = vpa(f,6); end end end 应用实例：切比雪夫应用实例。用切比雪夫公式（取6项）逼近函数 1 2x ，并求当x=0.5时的函数值。解：利用程序求解方程，在MATLAB命令窗口中输入： >> Chebyshev('1/(2-x)',6) %调用创建的函数euler，输出切比雪夫多项式的6个项再在MATLAB命令窗口中输入： >> Chebyshev('1/(2-x)',6,0.5) %调用创建的函数euler，输出当x=0.5时的函数值输出结果：

切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形. 定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出: 归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出: T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替 xTn(x) ? (1 ? x2)Un(x) 正交性 Tn 和Un 都是区间[?1,1] 上的正交多项式系. 第一类切比雪夫多项式带权即: 可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明. 类似地，第二类切比雪夫多项式带权即: 其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布). 基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。时，Tn 的最高次项系数为2n ? 1 ，n = 0时系数为1 。

3.2.4 切比雪夫多项式零点插值

定理6 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n 次多项式H n (x )中从这个定理知，所有首项系数为1的n 次多项式在区间[-1, 1]上的最大值满足 11121)(max ?<

现在我们提出一个问题：怎样选取节点x j ( j = 0, 1, 2, …, n ) 由于∏=?n j j x x 0)(是一个最高次项系数为1的n + 1次多项式，由T n (x )的极性讨论知，当x j 满足 )(2 1)())((110x T x x x x x x n n n +=???L L 时， n n x x x x x 2 1)()(max 011=??<

切比雪夫多项式详细

切比雪夫多项式是与有关，以递归方式定义的一系列序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式T n或U n代表n阶多项式。切比雪夫多项式在中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低，并且提供多项式在的最佳一致逼近。在的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。这些方程是的特殊情形. 定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用表示第二类切比雪夫多项式由以下给出此时为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见, p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出: 归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出: T0(x) = 1 U ? 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) ? (1 ? x2)Un ? 1(x) Un(x) = xUn ? 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替

浅谈切比雪夫多项式1

浅谈切比雪夫多项式数学与应用数学（师范）2008级石晓萌 0807402049 指导老师刘长剑摘要本文通过三角函数和复数方法得到切比雪夫多项式，对两类切比雪夫多项式的定义和性质做了全面而又简练的概括和说明．除此之外，本文也研究了两类切比雪夫多项式之间的关系，并进一步讨论了切比雪夫多项式在处理实际问题的应用．关键词：切比雪夫多项式三角函数复数正交性最小偏差插值

Discussion on the chebyshev polynomials Mathematics and Applied Mathematics (normal school) ShiXiaomeng 0807402049 Supervisor Liu Changjian Abstract This paper through the triangle function and complex method obtains chebyshev polynomial and describes two groups of chebyshev polynomial of the definitions and properties in detail. In addition，this paper also studies relationships between the two groups of chebyshev polynomial and further discusses the application of he chebyshev polynomial in dealing with practical problems. Key word: chebyshev polynomial trigonometric function Plural orthogonality minimum deviation interpolation 目录

切比雪夫多项式(下)

十二、切比雪夫多项式（下）我们用（126）具体算几个切比雪夫多项式： ? ??t t t t ?t t t t t T t ?t t t t t t t T ?t t t t t T t ?t T , 8 1 )188(81] )1()1(6[81 )(, 43 )34(41])1(3[41)(, 21 )12(21)]1([21)(, )(242422224433233222221+-=+-=-+--=-=-=--=-=-=--== 再往下算就越来越麻烦. 其实我们可以利用它的母函数，推导出)(t T n 之间的递推关系，使计算变得较为简单. 由于 ) 127(,)()()(1)(14443 2211 2 2? ?x t T x t T x t T ?? x t T x tx x n n n n n n ∑∑∞ =∞ =+++=+=+-- ) 128(,)()()()(44)4(3 1212 11 12 2??x t tT x t tT tx ?? x t tT tx x t tT tx x tx x tx n n n n n n n n n ∑∑∑∞ =-∞ =-∞ =+++=+=+=+-- ) 129(,)(4 1 4)(414) 44(4) 4(32212 2222?x t T x ??x t T x x tx x x n n n n n n ∑∑∞ =-∞=++= +=+-- （127）-（128）+（129），得

) 130(,)](41 )()([41144) 4(4 1 )4(43 2122 2222? ?x t T t tT t T x x tx x x x tx x ?n n n n n ∑∞=--+-+-=+--+--- 上式左边的分子显然为 )44(411411)4(2222x tx x x tx x +-??? ??-=??? ? ? +-- 因而（130）可写为 ∑∞=--?? ? ???+-+-=-32122)(41)()(41411n n n n n x t T t tT t T x x ，即 ∑∞ =--=?? ? ? ??+-3 210)(41)()(n n n n n x t T t tT t T . 因而n x 的系数都必须为0，于是得计算)(t T n 的递推分式： ),5,4,3(,)(4 1 )()(21 ??????n ??t T t tT t T n n n =-=-- （131）从这个公式计算)(t T n 就比较方便了. 例如从)(3t T ，)(4t T 很容易算出 , 16 5 45434181)(41)()(35324345t ?t t ?t t t t t t T t tT t T +-=? ?? ??--??? ?? +-=-= 从)(4t T ，)(5t T 又很容易算出)(6t T ： . 32 1 16923814116545) (41 )()(2462435456?t t t ?t t t t t t ?t T t tT t T -+-=??? ??+--??? ?? +-=-= 从递推公式（131）还很容易看出一个事实：所有切比雪夫多项式)(t T n 的最高次项的系数都是1. 但要从切比雪夫多项式的表达式（126）来作出这一结论并不太简单. 切比雪夫多项式有许多有趣的性质，这里只讨论其中较为重要的一个. 为了说清楚这一重要性质，要引进几个新概念. 我们把满足不等式b x a ≤≤的实数x 的全体称为一个闭区间，记为[a ，b ]. 例如

专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展

专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展【课本溯源】由倍角公式1cos 22cos 2 -=x x ，可知x 2cos 可以表示为x cos 的二次多项式. 再如： x x x x x x x x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 2--=-=+=x x x x x x cos 3cos 4cos )cos 1(2cos cos 2323-=---=，可见x 3cos 可以表示为x cos 的三次多项式. 一般地，存在一个n 次多项式)(t P n ，使得),(cos cos x P nx n =这些多项式)(t P n 称为切比雪夫（P. L. Tschebyscheff ）多项式. （1）请尝试求出)(4t P ，即用一个x cos 的四次多项式来表示x 4cos （2）利用结论：x x x cos 3cos 43cos 3-=，求出 18sin 的值（ 18290183?-=?）本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个nx cos 都可以表示为x cos 的n 次多项式.第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：1)1cos 2(212cos 24cos 222--=-=x x x 1cos 8cos 824+-=x x . 第（2）问根据所给提示 18290183?-=?，自然想到对x 进行赋值，令 18=x 18cos 18sin 2)182sin()18290cos(18cos 318cos 4183cos 3=?=?-=-=?化简后可得：3)18sin 1(418sin 2318cos 422--==- ，解得：41518sin -= 【探究拓展】探究1：观察下列等式：观察下列等式： ①1-cos 22cos 2αα=; ② 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+; ③ 642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-; ④ 8642cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+; ⑤ 108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-. 可以推测，_________=+-p n m .962=+-p n m 探究2：3 ()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =

切比雪夫多项式

切比雪夫多项式概述：切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。基本性质：对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。按切比雪夫多项式的展开式：一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下，多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定。也可以用母函数表示。第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出。此时母函数为

Clenshaw递推公式在数值分析中，Clenshaw递推公式(由Charles William Clenshaw发现)是一个求切比雪夫多项式的值的递归方法。切比雪夫多项式 N次切比雪夫多项式，是下面形式的多项式p(x) 其中T n是n阶切比雪夫多项式 Clenshaw递推公式 Clenshaw递推公式可以用来计算切比雪夫多项式的值。给定我们定义于是 (注)上面的公式在N=0,1的情况下无意义。此时我们可以用下面的公式： (downward, omit if N=0) 这里或者其中是第二类切比雪夫多项式

棣莫弗（de Moivre）原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+i sinθ2），则: Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]. 解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi.于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称为复数Z的辐角. 因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以 Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2） =r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2） =r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]. 其实该定理可以推广为一般形式：推广设n个复数Z1=r1(co sθ1+isinθ1），Z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，Zn=rn(cosθn+isinθn），则： Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]. 解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。利用棣莫弗定理有： Z1Z2……Zn=r1r2……rn [cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)] 如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，……，Zn=rne^iθn, Z1Z2……Zn=r1r2……rn e^i（θ1+θ2+……+θn) 这和指数的可加性一致. 在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.

第一类切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式第一种的切比雪夫多项式是一组正交多项式定义解决方案切比雪夫微分方程和表示。他们是作为一个近似最小二乘适合,的一个特例盖根堡多项式与。他们用三角也密切相关多角度的公式。第一类切比雪夫多项式表示和实现Wolfram语言作为ChebyshevT[n x]。归一化,这样。最初几个多项式上面和,2,…5。第一种的切比雪夫多项式可以定义的围道积分 (1)轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。最初几个第一类切比雪夫多项式 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)命令从最小到最大的权力时,三角形的非零系数是1;1;,2;4,18;5、16岁……(OEIS A008310). 一个美丽的情节可以通过策划径向,增加每个值的半径,并填写曲线之间的区域(Trott 1999,pp。10和84年)。切比雪夫多项式的第一种定义的身份 (9)切比雪夫多项式的第一种可以获得的生成函数 (10)

和 (12) (13)为和(分为et al . 1972,15项)。(密切相关生成函数的定义的基础吗第二类切比雪夫多项式.) 一种是直接表示 (14)中定义的多项式也可以总结 (15) (16) (17)在哪里是一个二项式系数和是层功能,或产品 (18) (Zwillinger 1995,p . 1995)。也满足好奇行列式方程 (19) (1986年纳什)。第一种的切比雪夫多项式的一个特例雅可比多项式与 , (20) (21)在哪里是一个超几何函数(Koekoek和Swarttouw 1998)。 0时 (22)为2……。极值出现的