2020届渭南市二模理科数学试题
渭南市2020年高三教学质量检测（Ⅱ）
理科数学试题
一、选择题：
1．已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝{x|3x-x 2≥0}，则A∩B 的子集的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2．已知i 为虚数单位，若z ＝4＋3i ，则
||
z z = A ．1 B ．-1 C ．
43i 55+ D ．43i 55
- 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得线性回归方程可能为
A ．$
0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+ D ．$0.3 4.4y x =-+ 4．已知在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝48，a 2＋a 5＋a 8＝40，则a 3＋a 6＋a 9＝
A ．30
B ．32
C ．34
D ．36
5．已知函数()sin cos 22
x x
f x =+，则下列说法正确的是
A ．f （x ）的最大值为2
B ．f （x ）的最小正周期为π
C ．f （x ）的图像关于直线5π
2
x =
对称 D ．f （x ）为奇函数 6．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女辅导功课．今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位学生辅导功课4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为 A ．13
B ．27
C ．37
D ．47
7．在等比数列{a n }中，a 4，a 8是关于x 的方程x 2＋10x ＋4＝0的两个实根，则a 2a 6a 10＝ A ．8 B ．-8 C ．4 D ．8或-8 8．函数1
ln(1)y x x
=
-+的图象大致为 A ． B ．
C ．
D ．
9．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，4
cos 5
C =，△ABC 的面积为3，则c ＝
A 11
B ．3
C 13
D 1410．棱长为2
A ．12π
B ．
32
π3
C ．8π
D ．4π 11．已知函数f （x ）满足f （-x ）＝f （x ）和f （x ＋2）＝f （x ），且在x ∈[0，1]时，f （x ）＝1-x ，则关于x 的方程1
()()3
x f x =在x ∈[0，4]上解的个数是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．已知P 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）上一点，F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦
点，若|PF 1|＝|F 1F 2|，且直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为
A ．43y x =±
B ．34y x =±
C ．35y x =±
D ．5
3
y x =±
二、填空题：
13．在某项测量中，测量结果ξ～N （1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为________．
14．已知x ＞10，y≥0，且x ＋y ＝1则x 2＋y 2的取值范围是________．
15．已知平面向量a r ，b r 满足||1a =r ，(2)5a a b ⋅-=r r r ，则b r 在a r 方向上的投影为________． 16．若（1-2x ）2020＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2020x 2020（x ∈R ），则2020
12
22020
222b b b +++L 的值为________．
三、解答题： （一）必考题：
17．已知函数2()2sin cos 33f x x x x =+- （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；
（Ⅱ）当x ∈[π3-，5π
12
]时，求f （x ）的值域．
18．如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4．
（Ⅰ）证明：AE ⊥平面ECD ；
（Ⅱ）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值． 19．已知△ABC 中，B （-1，0），C （1，0），AB ＝4，点P 在AB 上，且∠BAC ＝∠PCA ． （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）若Q （1，3
2
），过点C 的直线与E 交于M ，N 两点，与直线x ＝4交于点K ，记QM ，
QN ，QK 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：1323k k
k k --为定值．
20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000潜伏期 （天） [0，2] （2，4] （4，6] （6，
8]
（8，10] （10，12] （12，14]
人数
85
205
310
250
130
15
5
（Ⅰ）求患者潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是
否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下2×2列联表．请
潜伏期≤6天 潜伏期＞6天 总计
50岁以上（含50岁）
100 50岁以下 55 总计
200
（Ⅲ）以这6天发
生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？
附：22
()()()()()
n ad bc K a b a c c d b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．
P （K 2≥K 0） 0.05
0.025 0.010
k 0
3.841 5.024 6.635
21．已知函数()x ax
f x e
=
（a≠0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间．
（Ⅱ）当a ＝1时，如果方程f （x ）＝t 有两个不等实根x 1，x 2，求实数t 的取值范围，并证明x 1＋x 2＞2． （二）选考题：
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
x y α
α⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的方
程为y ＝kx ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）一求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若||||OA OB +=k 的值． 23．已知函数f （x ）＝|2x ＋1|-|x-1|． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜2．
（Ⅱ）若不等式|m-1|≥f （x ）＋|x-1|＋|2x-3|有解，求实数m 的取值范围．。
广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学(理科)试题(解析版)
2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣104．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D ．这10天学生在线学习人数在逐日增加5．已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝2a 2，则S 6a 2=（ ）A ．4B ．162C ．9D ．126．若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．48．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．289．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√3311．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π1212．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 ． 14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 ． 15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 ．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2．∠BAC 的平分线与BC 交于点E ，且AE =√6． （1）求∠BEA 及AC ；（2）若∠ADC ＝60°，求四边形ABCD 周长的最大值．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t)25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑ n i=1(ωi −ω)(v i −v)∑ ni=1(ωi −ω)2，α=v −βω．19．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AD ＝DC ，∠ADC ＝120°，三角形SAB 是等边三角形，平面SAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点．（1）求证：平面SCD ⊥平面SEF ；（2）若AB ＝2，求直线SF 与平面SCD 所成角的正弦值．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】求出集合A，由此能求出A∩B．解：由集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则z=（）A．12+32i B．12−32i C．1+3i D．1﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=2+i1−i=(2+i)⋅(1+i)2=12+32i，∴z=12−32i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1=C5r•（﹣2x）r，令r＝3，得（1﹣2x）5展开式中x3的系数为C53•（﹣2）3＝﹣80．故选：A．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D．这10天学生在线学习人数在逐日增加【分析】根据图象逐一进行分析即可解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误对于B：前5天的增长比例极差约为15%﹣5%＝10%，后5天增长比例极差约为40%﹣20%＝20%，故B错误；对于C：由折线图很明显，23﹣24的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5．已知各项不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝2a2，则S6a2=（）A．4B．162C．9D．12【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．解：由题S6a2=S6a2=3(a1+a6)a2=3(a2+a5)a2=3(a2+2a2)a2=9．故选：C．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象是（）A．B．C ．D ．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a ＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．解：∵|x |≥0，∴若函数y ＝a |x |（a ＞0，且a ≠1）的值域为{y |0＜y ≤1}， ∴0＜a ＜1，当x ＞0时，数y ＝log a |x |＝log a x ，为减函数，当x ＜0时，数y ＝log a |x |＝log a （﹣x ），为增函数，且函数是偶函数，关于y 轴对称， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．椭圆C ：x 2a +y 2=1(a ＞1)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，则a 为（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【分析】由椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝2a ，|BF 1|+|BF 2|＝2a ，即可得出答案． 解：由椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a ＞1)的焦点在x 轴上，则椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|＝|BF 1|+|BF 2|＝2a ．∴△ABF 2的周长＝|AB |+|AF 2|+|BF 2|＝|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|＝8＝4a ．解得a ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．8．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．13B ．18C ．23D ．28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得 n ＝1，得a ＝8， 不满足a−221∈Z ，n ＝2，得a ＝13，不满足a−221∈Z ，n ＝3，得a ＝18，不满足a−221∈Z ，n ＝4，得a ＝23，此时，满足a−221∈Z ，退出循环，输出a 的值为23．故选：C ．【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AC ，A 1B 的中点，则下列说法错误的是（ ）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．10．已知双曲线E：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．43D．2√33【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出∠MOF＝30°．然后求解双曲线的离心率即可．解：因为OF为直径，点M在圆上，所以OM⊥MF．又∠MFN＝120°，由圆的对称性，有∠MFO＝60°，所以∠MOF＝30°．由渐近线斜率tan∠MOF=ba=√33，所以离心率为e=√1+(ba)2=2√33．故选：D．【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点(π24，0)，一条对称轴方程为x=π6．则函数f（x）的周期可以是（）A．3π4B．π2C．π4D．π12【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．解：由π6−π24=2k+14T，则T=π4k+2，k∈Z，当k＝0时，T=π2．故选：B．【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12．已知函数f(x)={lnx，x＞0kx+1，x≤0，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．解：在平面直角坐标系中作出函数y＝f（x）（k＞0）的图象如图所示．令f[f（x）]﹣1＝0，得f[f（x）]＝1，则f（x）＝0或f（x）＝t（t＞1）．当f（x）＝0时，显然存在2个零点x1=−1k，x2＝1；当f（x）＝t（t＞1）时，存在1个零点x3．故函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为3．故选：B ．【点评】本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(√3，1)，向量b →=(−1，−√3)，则a →与b →的夹角大小为 150° ．【分析】根据向量a →，b →的坐标即可得出a →⋅b →，|a →|和|b →|的值，从而可得出cos ＜a →，b →＞=−√32，从而可得出a →，b →夹角的大小．解：∵cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−√3−√32×2=−√32，且0≤＜a →，b →＞≤π， ∴a →与b →的夹角为150°． 故答案为：150°．【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上； 丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 丁 ． 【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可． 解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故答案为：丁．【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15．已知数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，则数列{a n }的通项公式是 a n =2n ．【分析】利用数列的递推关系式，通过m ＝1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．解：数列{a n }中，a 1＝2，且对于任意正整数m ，n 都有a m +n ＝a m a n ，令m ＝1，得a n +1＝2a n ，则{a n }是首项和公比均为2的等比数列，则a n =2n ． 故答案为：a n =2n ．【点评】本小题主要考查数列以及前n 项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 把这个正方形折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为G ．若四面体A ﹣EFG 外接球的表面积为π4，则正方形ABCD 的边长为 2 ．【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．解：依题意，折叠后的四面体如图1， 设正方形边长为a ，内切球半径为r ， 则AG ＝a ，EG =FG =a2； 记四面体内切球球心为O ，如图2，则V A ﹣EFG ＝V O ﹣EFG +V O ﹣AEF +V O ﹣AEG +V O ﹣AFG ，即V A−EFG =13(S △EFG +S △AEF +S △ABG +S △AFG )⋅r ，即13×12×a 2×a 2×a =13×a 2×r ，所以a ＝8r ；又4πr 2=π4，即r =14，所以a ＝2． 故答案为：2．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且AE=√6．（1）求∠BEA及AC；（2）若∠ADC＝60°，求四边形ABCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABE中，由正弦定理可求sin∠AEB的值，又∠AEB＜∠B，可求∠AEB＝45°，利用三角形的内角和定理可求∠BAE的值，进而可求∠ACB的值，可得BC＝AB＝2，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AC的值．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理，基本不等式可求m+n≤4√3，即可求解四边形ABCD周长的最大值．解：（1）在△ABE中，由正弦定理得：sin∠AEB=ABsinBAE=6=√22．又∠AEB＜∠B，则∠AEB＝45°，于是∠BAE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以∠BAC＝30°，∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°．所以BC＝AB＝2．在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝22+22﹣2×2×2×cos120°＝12，所以AC=2√3．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理得(2√3)2=m2+n2−2mncos60°=(m+n)2−3mn，即有(m+n)2=12+3mn≤12+3×(m+n2)2，即(m+n)24≤12，所以m+n≤4√3，当且仅当m=n=2√3时，“＝”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为4+4√3．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t∑8i=1(x i−x)2∑8i=1(t i−t)2∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(y i−y)(t i−t) 25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；z=18∑8i=1z i；t i=x i2；t=18∑8i=1t i；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线v=α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑n i=1(ωi−ω)(v i−v)∑n i=1(ωi−ω)2，α=v−βω．【分析】（1）由模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，说明模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，由已知数据求得b与a的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取x＝34求得y值得结论．解：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+b x，b=∑8i=1(z i−z)(x i−x)∑8i=1(x i−x)2=48.48168≈0.289，∴a=z−b x=2.89−0.289×25≈−4.34，则z关于x的线性回归方程为z=0.29x−4.34．于是有lny＝0.29x﹣4.34，∴产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.29x−4.34．当x＝34时，y＝e0.29×34﹣4.34＝e5.52≈250（个）．∴在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC ＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．（1）求证：平面SCD⊥平面SEF；（2）若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE⊥平面ABCD，进一步得到SE ⊥CD．连接BD，得BD∥EF．再证明BD⊥CD，结合BD∥EF，得CD⊥EF．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面SEF．进一步得到平面SCD⊥平面SEF；（2）过E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与SF→的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ∩平面ABCD ＝AB ， SE ⊂平面SAB ，SE ⊥AB ，∴SE ⊥平面ABCD ． 又∵CD ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥CD ．连接BD ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴BD ∥EF ． ∵AD ＝DC ＝AB ，∴∠ABD ＝∠ADB ．又∵∠BAD ＝∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝30°， ∴∠BDC ＝90°，得BD ⊥CD ． 又∵BD ∥EF ，∴CD ⊥EF ． 又SE ∩EF ＝E ，∴CD ⊥平面SEF ．又∵CD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SEF ；（2）解：过E 作EN ∥CD ，则ES ，EF ，EN 两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系．在△BDC 中，求得BD =2√3，CD ＝2，BC ＝4． 则E （0，0，0），F(0，√3，0)，S(0，0，√3)，C(52，3√32，0)，D(12，3√32，0)．故SD →=(12，3√32，−√3)，SC →=(52，3√32，−√3)，SF →=(0，√3，−√3)．设平面SCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅SD →=12x +3√32y −√3z =0n →⋅SC →=52x +3√32y −√3z =0，可取n →=(0，2，3)． 则|cos〈n →，SF →〉|=|n →⋅SF→n →|⋅|SF →||=√3√6⋅√13=√2626．故SF 与平面SCD 所成角的正弦值为√2626．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝e x ﹣a •x ，其中e 是自然对数的底数． （1）若a ＝e ，证明：f （x ）≥0；（2）若x ∈[0，+∞）时，都有f （x ）≥f （﹣x ），求实数a 的取值范围．【分析】（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ，再利用导函数f '（x ）的正负性与函数f （x ）的单调性之间的联系即可得f （x ）的单调性，从而确定f （x ）min ＝f （1），而f （1）＝0，进而得证；（2）构造函数g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立，然后求导g '（x ），令h （x ）＝g ′（x ），再求导h '（x ），从而可确定g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，由于g ′（0）＝2﹣2a ，于是分a ≤1和a ＞1两种情形，讨论函数g （x ）的单调性，以便求证g （x ）min 与0的关系． 解：（1）若a ＝e ，则f （x ）＝e x ﹣e •x ，所以f ′（x ）＝e x ﹣e ， 当x ＝1时，f ′（x ）＝0；当x ∈（﹣∞，1）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 所以f （x ）在x ＝1时取得极小值，也是最小值．所以f （x ）≥f （1）＝0．（2）令g （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ）＝e x ﹣e ﹣x ﹣2ax ，则原问题转化为g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立．由g ′（x ）＝e x +e ﹣x ﹣2a ，令h （x ）＝g ′（x ），则h′(x)=e 2x −1ex ≥0在[0，+∞）上恒成立，所以g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增， 又g ′（0）＝2﹣2a ，①当a ≤1时，g ′（x ）≥g ′（0）≥0，所以g （x ）在[0，+∞）上单调递增， 所以g （x ）≥g （0）＝0，即f （x ）≥f （﹣x ），满足题意．②当a ＞1时，因为g ′（x ）在[0，+∞）上单调递增，所以g ′（x ）min ＝g ′（0）＝2﹣2a ＜0，所以存在t ∈（0，+∞），使得当x ∈（0，t ）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，t ）上单调递减，此时g （x ）＜g （0）＝0，这与g （x ）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾． 综上所述，a ≤1，故实数a 的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点A （1，1）且互相垂直的两条动直线l 1，l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N ．（1）求四边形MPNQ 面积的取值范围；（2）记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点．【分析】（1）两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ 面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．（2）由（1）求出PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．求出直线EF 的斜率，得到直线EF 的方程，即可求解直线EF 恒过的定点． 解：（1）由题意可知两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0．设l 1：y ＝k （x ﹣1）+1（k ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则l 2：y =−1k (x −1)+1（k ≠0）．因为联立直线l 1与抛物线的方程，有{y =k(x −1)+1#/DEL/#x 2=2y #/DEL/#⇒x 2−2kx +2k −2=0，其中△＝4k 2+8＞0，由韦达定理，有{x 1+x 2=2kx 1x 2=2k −2．由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2)，同理|MN|=√(1+1k2)(8+4k2)，则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k2)(80+32k 2+32k2)．令k 2+1k2=t ≥2．则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40．所以，当且仅当t ＝2，即k ＝±1时，S 取得最小值12，且当t →+∞时，S →+∞． 故四边形MPNQ 面积的范围是[12，+∞）． （2）由（1）有x 1+x 2＝2k ，y 1+y 2=2k 2+2，所以PQ 中点E 的坐标为（k ，k 2+1），同理点F 的坐标为(−1k ，1k2+1)．于是，直线EF 的斜率为k EF =k 2+1−(1k2+1)k+1k=k 2−1k 2k+1k=k −1k ，则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，所以直线EF 恒过定点（0，2）．【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =−2+t 1cosθ1y =t 1sinθ1（t 1为参数），曲线C 2：{x =2+t 2cosθ2y =t 2sinθ2（t 2为参数），且tan θ1tan θ2＝﹣1，点P 为曲线C 1与C 2的公共点． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，求动点P 到直线l 的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ）． 因为点P 为曲线C 1与C 2的公共点， 所以点P 同时满足曲线C 1与C 2的方程． 曲线C 1消去参数可得tanθ1=yx+2， 曲线C 2消去参数可得tanθ2=y x−2． 由tan θ1tan θ2＝﹣1，所以yx+2⋅yx−2=−1．所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝4（x ≠±2）．（2）由已知，直线l 的极坐标方程2ρcos θ﹣ρsin θ+10＝0，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可化为直角坐标方程：2x﹣y+10＝0．因为P的轨迹为圆x2+y2＝4（去掉两点（±2，0）），圆心O到直线l的距离为d=5=2√5，所以点P到直线l的距离的取值范围为[2√5−2，2√5+2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；（2）将1=a+b+c3代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）(√2a+1+√2b+1+√2c+1)2=2(a+b+c)+3+ 2√(2a+1)(2b+1)+2√(2b+1)(2c+1)+2√(2c+1)(2a+1)≤2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）＝6（a+b+c）+9＝27（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．所以√2a+1+√2b+1+√2c+1≤3√3；（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3，可得(1a−13)(1b−13)(1c−13)=(a+b+c3a−1 3)(a+b+c3b−13)(a+b+c3c−13)=b+c3a ⋅a+c3b⋅a+b3c≥127⋅2√bca⋅2√acb⋅2√abc=827（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．则(1a−13)(1b−13)(1c−13)≥827．【点评】本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国II卷理科) 数学试题及答案(学生版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷理科）数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷满分150分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则()A B=( )U A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 2．若α为第四象限角，则( )A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<03．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A．10名B．18名C．24名D．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230--=的距离为( )x yA ．5B ．5C ．5D ．56．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．329．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10．已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．32C ．1D ．11．若2x －2y <3−x －3−y ，则（ ）A ．ln(y-x+1)>0B ．ln(y-x+1)<0C ．ln ∣x-y ∣>0D ．ln ∣x-y ∣<012．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）解析版
第1页（共17页）2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）Ⅱ卷） 理科数学一、选择题一、选择题1.1.已知集合已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}- C.{2,1,0,3}-- D.{2,1,0,2,3}-- 答案答案: : A 解析解析: :∵{1,0,1,2}A B =-，∴，∴ (){2,3}U C A B ⋃=-. 2.2.若若α为第四象限角，则（为第四象限角，则（ ） A.cos 20α> B.cos 20α< C.sin 20α> D.sin 20α< 答案答案: : D解析解析: : ∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（，则至少需要志愿者（ ） A.10名B.18名C.24名D.32名 答案答案: : B解析解析: :因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名4.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（含天心石）（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块 答案答案: : C 解析解析: :设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022nS S a ⨯==+⨯=块.5.5.若过点若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） A.55 B.255 C.355 D.455答案答案: : B解析解析: :设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是255d =.6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5 答案答案: : C 解析解析: :取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a++++++-+++==-=--，得4k =.7.7.右图是一个多面体的三视图，右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H答案答案: : A 解析解析: :该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.8.设设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（的焦距的最小值为（） A.4 B.8 C.16 D.32 答案答案: : B 解析解析: :双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODESab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当22a b ==时，等号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.9.设函数设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增单调递增 B.B.是奇函数，且在是奇函数，且在11(,)22-单调递减单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增单调递增D.D.是奇函数，且在是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减单调递减答案答案: : D解析解析: :函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)ln ln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确正确. .10.10.已知已知ABC ∆是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（的距离为（ ） A.3B.32C.1D.32答案答案: : C解析解析: :设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则239344ABC S a ∆==，可得3a =，于是33a r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1. 11.11.若若2233x y x y ---<-，则（，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -< 答案答案: :A解析解析: :2323x x y y ---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{{}}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i miaa i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i ki C k a a k m m+===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（是（） A.11010... B.11011... C.10001... D.11001... 答案答案: : C解析解析: :对于A 选项：选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a+===++++=>∑，不满足，排除；，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；，不满足，排除；对于C 选项，选项， 511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑， 52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑， 53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑， 541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−1<x<1}，N={x|y=√2x−1}，则M∩N=()A. {x|12≤x<1} B. {x|12<x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|−1<x≤12}2.已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是()A. 该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当C. 该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当4.在正项等比数列{a n}中，若a1，12a3，2a2成等差数列，则a5a3=()A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√25.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35 B. 38 C. 310 D. 3206. 已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A. α⊥β，α∩β=a ，a ⊥b ，则b ⊥αB. α⊥β，β⊥γ，则α//γC. α∩β=a ，β∩γ=b ，α⊥β，则a ⊥bD. α//β，β⊥γ，则α⊥γ7. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为( )A. x ±√3y =0B. √3x ±y =0C. x ±3y =0D. 3x ±y =08. 已知函数f(x)=10(x 2+1)x⋅e |x|，则函数f(x)的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知抛物线y =18x 2与双曲线y 2a 2−x 2=1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2√3−3B. 3−2√3C. 74D. 3410.正四棱锥P−ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2√6，则此球的表面积为()A. 18πB. 36πC. 72πD. 9π11.函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在(0,π2)上的单调递增区间是()A. (0,π4) B. (π4,π2) C. (0,π8) D. (π8,π4)12.函数f(x)=ax2+bx+lnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x−2，则b−a=()A. −1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(x,2)，若向量a⃗+b⃗ 与a⃗垂直，则x=______．14.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为________．15.已知a>0，b>0，且ℎ=min(a,ba2+b2)，求h的范围______ ．16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2+c2)=3a2+2bc，则sinA=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=10，S4=24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=1S1+1S2+⋯+1S n，求证：T n<34．18.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=π，点E在AB上，AE=2EB=2，且DE⊥AB.以4DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB=60°．(1)求证：平面BFC⊥平面BCDE；(2)求二面角B−EF−C的余弦值．20.如图所示，已知椭圆：C∈(0,π)的离心率为，右准线方程是直线，点为直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，切点分别为、(点在x轴上方，点在轴下方)．(1)求椭圆的标准方程；(2)①求证：分别以、PB为直径的两圆都恒过定点C；②若，求直线的方程．21.设函数f(x)=e x．x−1(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若当x≥2时，f′(x)≥af(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.已知直线l过原点且倾斜角为θ0，θ0≠π，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标2系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．(I)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l´过原点且与直线l相互垂直，若l∩C=M，l´∩C=N，其中M，N不与原点重合，求△OMN面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查交集的运算．可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N={x|x≥12}；∴M∩N={x|12≤x<1}．故选：A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i +i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z−=1+i，故选：A．3.答案：C解析：【试题解析】本题考查图表，进行推理，属于基础题．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A=0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A=0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A =0.4A ，2015年教育医疗的消费额为0.3×A =0.3A ，0.4A0.3A =43，B 错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A =0.6A ，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A =0.1A ，0.6A 0.1A =6，C 对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A =0.3A ，2015年生活用品的消费额为0.15×A =0.15A ，不相等，D 错； 故选：C ．4.答案：C解析：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式，属于基础题．根据等差数列的性质，结合等比数列的通项公式求出等比数列{a n }的公比即可． 解：由于a 1， 12a 3， 2a 2成等差数列， 所以a 3=a 1+2a 2，{a n }是正项等比数列，设公比为q (q >0)，则负值舍去)，所以a5a 3=q 2=3+2√2．故选C ．5.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可． 解：如图所示，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a 和a ，∴S 阴影=S 正方形ABFG +S △BCE −S △ACG =a 2+12⋅2a ⋅2a −12⋅a ⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．6.答案：D解析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，是解答的关键．属于基础题．根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．解：若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b与α的关系不确定，故A错误；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交(此时交线与β垂直)，故B错误；若α∩β=a，β∩γ=b，α⊥β，则a与b可能平行，也可能相交，故C错误；若α//β，根据两个平行平面与第三个平面的夹角相等，结合β⊥γ可得α⊥γ，故D正确．故选：D．7.答案：B解析：解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=√3，可得渐近线方程为y=±√3x.故选B．由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．8.答案：A解析：。
2020届渭南市一模理数答案1
渭南市2020年高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（理科）参考答案二、填空题：13. 4,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ 14. 3- 15. 112 16.二、 解答题:17. （Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，∵AB AC =，135BCD ∠=o ，∴AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，∴EF AC ⊥. ……2分 ∵PA ⊥底面ABCD ，EF ⊂底面ABCD ，∴PA EF ⊥. ………………4分 又∵PA AC A =I ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC . ………………6分（Ⅱ）∵PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，∴,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -， ………………8分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅=u u u r n ，0PB ⋅=u u u r n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n .M 为PD 的中点，由（1）知，AC ⊥平面M EF 且(0,2,0)AC =u u u r， ………10分 ∴|cos ,|AC <>=u u u r n ||||||AC AC ⋅⋅u u u r u u u r n n ， 故平面MEF 与平面PBC 所成锐二面角的正弦值3.………………12分 18.（Ⅰ）∵B 是A ，C 的等差中项，∴2B A C =+，∵A B C π++=，∴3B π=，………………2分∵13b =，2223,2cos a b a c ac B ==+-，∴2340,c c --=解得4c =或1c =-（舍），故4c =………………6分（Ⅱ）∵23A B π+=,∴231sin sin()sin (cos sin )32t A A A A A π=-=+11sin(2)426A π=+- ………………9分 故t 的取值范围为3(0,]4………………12分19 （Ⅰ）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ， 则134********()()()()3333243P A C =⨯⨯⨯+=． ∴112131()1()1243243P A P A =-=-=．………………5分（Ⅱ）该生参加竞赛次数X 的可能取值为2，3，4，5．………………6分211(2)()39P X ===；121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=；1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=；1341232(5)()3381P X C ==⨯⨯=.………………10分∴X 的分布列为：X 2 3 4 5P19427 2881 3281 故()81E X =………………12分20. （Ⅰ）∵若1b =,函数21()ln 2H x x x x =-+，其中0x > ∴1()1H x x x '=-+，………………2分 ∴切点为1(1,)2故函数()H x 图象在1x =处的切线方程为2210x y --=………………5分（Ⅱ）不妨设，∵函数在区间上是增函数，∴，∵函数图象的对称轴为，且.∴当时，函数在区间上是减函数，∴， ∴，等价于，等价于 在区间上是增函数，………………8分等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立 ………………10分∴又∵∴………………12分21. （Ⅰ）由抛物线的方程24y x =得其焦点为()10，，∴1c =， 当点M 为椭圆的短轴端点时，12MF F ∆面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，∴1b =， ∴2a =2212x y +=. ………………4分（Ⅱ）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124220k x kmx m +++-=，()()()22222216421228210k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2212k m +>（*） 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k -+=-=++，①∵0m ≠且212k =，代入（*），得202m <<. ()2212132AB k x m =+-=-.设点O 到直线AB 的距离为d ，则2231m m d k==+，所以222211223(2)(2)2223AOB m S AB d m m m ==-=-=V ， ∴21(0,2)m =∈，∴1m =±.………………8分 ②1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意120k k +=， ∴1212011kx m kx m x x +++=--，即 ()()1212220kx x m k x x m +-+-=，代入（*）得()2222242201212m km k m k m k k -⎛⎫+---= ⎪++⎝⎭g ，得2m k =-，∴直线l 的方程为()2y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为()20，. ………………12分22.（Ⅰ）曲线：（为参数）可化为直角坐标方程：22(2)4,x y -+=即2240,x y x +-=可得24cos 0,ρρθ-=∴曲线的极坐标方程4cos .ρθ= 2:C 23cos 2sin ρθθ=-，即223cos 2sin ,ρρθρθ=-故曲线的直角坐标方程为22(3)(1) 4.x y -++= ………………5分 （Ⅱ）直线的直角坐标方程为，∴的极坐标方程为.联立，得，联立，得，故. ………………10分23．解：（Ⅰ）当2a b c ===时，()|2||2|2f x x x =-+++∴()10f x <⇔22210x x ≤-⎧⎨-<⎩或22610x -<<⎧⎨<⎩或22210x x ≥⎧⎨+<⎩故不等式的解集为{|44}x x -<< ······················································································· 5分（Ⅱ）∵0,0,0a b c >>>∴()||||||||f x a x x b c a x x b c a b c a b c =-+++≥-+++=++=++∵()f x 的最小值为1，所以1a b c ++=∴2222()2221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=∵2222222,2,2ab a b bc b c ac a c ≤+≤+≤+∴22222212223()a b c ab ac bc a b c =+++++≤++故22213a b c ++≥················································································································ 10分。
2020届渭南市二模理科综合试题
渭南市2020年高三教学质量检测（Ⅱ）理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14 Ga-70 As-75第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1．下列有关病毒的叙述，正确的是A．病毒的遗传物质存在于拟核中B．病毒增殖所需的能量来自其自身的呼吸作用C．组成子代病毒核酸的原料来源于宿主细胞D．可将在人工培养基上获得的病毒灭活后制成疫苗2．下列有关细胞结构与功能的叙述，正确的是A．液泡膜、中心体膜等生物膜都具有流动性和选择透过性B．蛋白质合成旺盛的细胞核孔多，有利于DNA和RNA进出C．溶酶体可以合成多种水解酶，能分解衰老、损伤的细胞器D．RNA聚合酶、甲状腺激素可以在人体同一细胞内合成3．某二倍体动物（2N＝6）的精原细胞进行减数分裂，测得甲、乙、丙细胞中有关数量关A．甲可能是初级精母细胞C．丙细胞可能处于减Ⅱ中期D．甲、乙细胞中染色体数目相同4．下列关于染色体变异的叙述，正确的是A．一个染色体组中不合同源染色体B．单倍体玉米植株矮小，种子较小，产量低C．体细胞含有2个染色体组的个体一定是二倍体D．染色体易位不改变基因数量，对个体性状不会产生影响5．植物的生命活动调节与激素息息相关，下列有关叙述正确的是A．植物的向光性和顶端优势都能说明生长素作用具有两重性B．阴雨天气影响了油菜的传粉，可喷洒生长素类似物进行补救C．刚收获的种子用适宜浓度的脱落酸处理可打破种子的休眠D．扦插月季时，保留芽或叶可以产生生长素促进扦插生根6．布氏田鼠主要以草本植物为食，入侵到某草原后，对生态系统造成了一定的危害，下列叙述正确的是A．利用鼠群的迁入率和迁出率可预测鼠群未来的数量变化B．可用标志重捕法调查布氏田鼠的种群密度C．布氏田鼠分布在该草原的不同区域，体现了群落的水平结构D．布氏田鼠的入侵提高了该生态系统的抵抗力稳定性7．化学与生产、生活和环境密切相关。
下列说法错误的是A．煤的脱硫、汽车尾气实行国Ⅵ标准排放是为了提高空气质量B．溴元素被称为“海洋元素"，从海水中提取溴常用热空气吹出法C．14C可用于文物年代的鉴定，14C与12C互为同素异形体D．废旧钢材焊接前分别用饱和Na2CO3溶液、NH4Cl溶液处理焊点，运用了盐类水解原理8．硫酸亚铁铵受热分解的反应方程式为2（NH4）2Fe（SO4）2高温Fe2O3＋2NH3↑＋N2↑＋4SO2↑＋5H2O，设N A为阿伏加德罗常数的数值。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷(全国Ⅱ卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅱ卷）（含解析）
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答选择题时
, 将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
故 BC AC AB 3
π 3 sin B 3cos B 3 2 3 sin( B ) .
3
又0
B
π ，所以当 B
π
时，
△ABC
周长取得最大值
3
2 3.
3
6
18．解：（ 1）由己知得样本平均数
y
1 20 yi
60 ，从而该地区这种野生动物数量的估计
20 i 1
值为 60× 200= 12 000 ．
2
2
10. 已知 △ ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，且其顶点都在球 4
O 的球面上。 若球 O 的表
面积为 16 ，则 O 到平面 ABC 的距离为
A． 3
3
B
．
C. 1
D
2
11. 若 2x 2y 3 x 3 y, 则
．3 2
A. 1n( y x 1) 0
B.
1n( y x 1) 0
2
C. ln x y 0
A． 4
B
．8
C
． 16
D
． 32
9. 设函数 f ( x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f (x)
1 A. 是偶函数，且在 ( , ) 单调递增
2
11
2020年陕西咸阳高三二模数学试卷(理科)
上单调递减，在区间
上单调递增．
（ 2 ）由题意知对任意 ，
，
恒成立，
，
又由（ ）知， 在区间
上单调递减，在区间 上单调递增，
所以只需：
，
设
，
∵
，
∴ 在区间
上单调递增；在区间
上单调递减，
注意到
，
所以，当
不等式 成立；
当
时不等式 不成立，
又
，
∴当
不等式 也成立，
所以，
时不等式 成立，
此时
，不等式 也成立，而当
射线
与曲线 的交点 的极径满足
所以
．
23.（ 1 ）
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（1）
若不等式
则满足
，
，
∴
．
（ 2 ）由（ ）知
，
， 有解，
，
，解得
，
，
当且仅当
，
所以原命题成立．
时，取等号，
17
由
，得
设
，
，
则
，
．
∵
，
∴
，
∴
，
．
． ，
．
． ∴
，即
．
∴ 到直线 的距离为 ，
故存在定圆
与直线 总相切．
21.（ 1 ） 在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
（ 2 ）实数 的取值范围为
．
解析:
（ 1 ）由
，
当
时，
时，
， 单调递减；
时，
， 单调递增，
15
当
，
时，
， 单调递减，