牛顿莱布尼茨公式是什么定理意义有哪些

牛顿莱布尼茨公式，通常也被称为微积分基本定理。下面小编整理了一些相关信息，供大家参考！

1 什幺是牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666 年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677 年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

1 牛顿莱布尼茨公式有哪些意义牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。

1 牛顿莱布尼茨公式应用牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即：性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?

数学史作业之牛顿与莱布尼茨

16世纪下半叶，两个巨星般的人物：牛顿和莱布尼兹，照亮了整个科学的天空。迄今为止，他们的思想和方法仍然深刻地影响着我们的思维。他们，开创了数学的一个重要的分支：分析学。所谓函数，起源于映射。而映射，所揭示的是一个变量和另一个变量的关系。而对于一个变元和另一个变量之间的关系，如果仅仅从直观的角度来研究的话，很难得到精确而清晰的论证。分析学的作用，就在于此，通过研究小的部分，然后再将小的部分累加起来，就能得出对整体的基本理解。直观地看来，“小”和“大”的概念似乎没有什么值得商榷的。但是转念一想，却发现我们并不能说清什么是小，什么是大。的确，小和大永远是相对的，单纯说小或者大就和说大约、大概一样，并不是严格的定义。因此，分析学研究的对象往往是极小和极大：即把东西拆成无数个极小，研究每个极小的性质。然后又将极小累加成极大，再研究极大的性质。拆成极小的过程，就是微分，而合并起来的过程，就是积分。通过研究局部，然后再通过联系而研究整体，这种思考的方式可谓是伟大的进步。而牛顿和莱布尼兹则分别从物理和几何两个角度得出了这个概念。牛顿是从位移——速度——加速度之间的关系而得出微积分的基本概念，而莱布尼兹则是从几何上的切线的意义定义了微商的含义。从现在的角度来看，他们的定义还是十分简陋、缺乏严密逻辑的。但是，经过后世的柯西和魏尔斯特拉斯等数学家们的不断完善，分析学已经成为了数学最重要的分支之一。其主要的工具，就是微积分。有趣的是，牛顿和莱布尼兹虽然都是跨时代的巨星的人物，但是他们二人之间的矛盾确是如火如荼。晚年的牛顿从事仕途，并想用数学方法证明上帝的存在。这种无谓的行为耗费了他大量的光阴。此外，他还一直私下动手脚，就想把莱布尼兹搞臭。在当时的欧洲，尤其是英国，牛顿已经是仅次于上帝一样的人物，因此，莱布尼兹遭到了冷遇。实际上，莱布尼兹的微分和积分符号是明显优越于牛顿的，因为对牛顿的盲目崇拜，导致了当时分析学发展的阻碍。相反，莱布尼兹虽然遭受冷遇，他对牛顿的评价仍然是很高的。但是，瑕不掩玉。牛顿将微积分应用于物理的思想引起了自然科学的伟大革命，使得数学作为工具广泛应用于科学的各个领域。分析学发展到后面就是微分方程，之后又包括了实变函数、复变函数两个分支。微分方程中包括已经被人们熟知的常微分方程，并发展成为控制理论。而控制理论又直接应用于金融行业，形成金融数学。想从事金融行业和经济行业的朋友们可以选择这一条道路，如果真的弄清楚了，基本上就是财源滚滚喽！微分方程的另一个领域是偏微分方程，即有多个变元的微分方程。借用解析几何的方程形式，分为椭圆型、双曲型、抛物线型。椭圆型的研究已经基本告一段落，双曲型的研究至今没有什么突破性的进展。而抛物线型方程最近几年研究蓬勃兴起，趋势看好。分析学的基础不断深化之后，诞生了实变函数和复变函数。实变函数是一个困难的学科，只有经过艰苦的学习才能克服这种困难。实变函数深化之后就是泛函分析，并分为了线性数学理论和非线性数学理论。前者的体系已经很完备，大厦已经建成。而后者正在蓬勃发展中，有着极大的潜力。复变函数分为单复变函数和多复变函数。明显地，后者的难度远远高于前者。而正所谓“无限风光在险峰”，后者也更容易有突破性的进展。以上就是分析学的基本内容和发展。然而，分析学本身其实也面临一些挑战。分析学可以方便地引用于物理、化学等基础学科。可在生命科学领域，分析学似乎就有些捉襟见肘了。毕竟，并不是所有的细胞器组合起来就能诞生一个活的细胞，也不是所有活的细胞组成起来就能诞生一个活着的个体。其中，仍然缺少着什么。辩证唯物主义告诉我们，整体大于部分之和，这多出的东西分析学是很难解释的。时代正在进步，方法论也需要更新。因此，我们需要一个新的数学工具。而这个工具，在我看来，应该脱胎于分析学之中，青出于蓝而胜于蓝。上面我简单地介绍了一下数学中最重要的分支之一：分析学。分析学是数学最最基础的科目，也是培养人逻辑思维、科学精神的重要工具。掌握分析学，可以锻炼我们的思维，使我们的思想更加严格、精确。下一篇文章我将向大家数学建模。更新时间不定，望大家多多包涵。

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即：性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(b)-F(a) 这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。定积分式如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数：但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： 2 Φ性质 1、定义函数，则与格林公式和高斯公式的联系。证明：让函数获得增量，则对应的函数增量显然，而（ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得）当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有可见这也是导数的定义，所以最后得出。

2、，F(x)是f(x)的原函数。证明：我们已证得，故但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而，所以把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。相关人物牛顿牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。莱布尼茨德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。

牛顿莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即：性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 ● 相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有 f(ε)=C 证明：运用零点定理: 设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x10 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?1()lim ()0 n b i i a n i k x dx k x ε→∞==?≤∑?Q 1 ()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑?

牛顿与微积分

牛顿和微积分大多数现代历史学家都相信，牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，并为之创造了各自独特的符号。根据牛顿周围的人所述，牛顿要比莱布尼茨早几年得出他的方法，但在1693年以前他几乎没有发表任何内容，并直至1704年他才给出了其完整的叙述。其间，莱布尼茨已在1684年发表了他的方法的完整叙述。此外，莱布尼茨的符号和“微分法”被欧洲大陆全面地采用，在大约1820年以后，英国也采用了该方法。莱布尼茨的笔记本记录了他的思想从初期到成熟的发展过程，而在牛顿已知的记录中只发现了他最终的结果。牛顿声称他一直不愿公布他的微积分学，是因为他怕被人们嘲笑。牛顿与瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒(Nicolas Fatio de Duillier)的联系十分密切，后者一开始便被牛顿的引力定律所吸引。1691年，丢勒打算编写一个新版本的牛顿《自然哲学的数学原理》，但从未完成它。一些研究牛顿的传记作者认为他们之间的关系可能存在爱情的成分。不过，在1694年这两个人之间的关系冷却了下来。在那个时候，丢勒还与莱布尼茨交换了几封信件。在1699年初，皇家学会(牛顿也是其中的一员)的其他成员们指控莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，争论在1711年全面爆发了。牛顿所在的英国皇家学会宣布，一项调查表明了牛顿才是真正的发现者，而莱布尼茨被斥为骗子。但在后来，发现该调查评论莱布尼茨的结语是由牛顿本人书写，因此该调查遭到了质疑。这导致了激烈的牛顿与莱布尼茨的微积分学论战，并破坏了牛顿与莱布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。这场争论在英国和欧洲大陆的数学家间划出了一道鸿沟，并可能阻碍了英国数学至少一个世纪的发展。

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明word版本

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞ =?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()() ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q ()()b b a a f x dx g x dx ≤??1()lim ()0n b i i a n i k x dx k x ε→∞==?≤∑? Q ()[()()]()()0b b b b a a a a k x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤? ???()()b b a a f x dx g x dx ∴≤??

微积分发展中牛顿与莱布尼茨的贡献

微积分发展中牛顿与莱布尼茨的贡献微积分（Calculus ）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 1.微积分产生到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。在十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。到十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的．时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步． 2.牛顿的“流数术” 牛顿于1661年入剑桥大学三一学院,受教于巴罗,同时钻研伽利赂,开普勒,笛卡儿和沃利斯等人的著作.而笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深,正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路. 1665年8月,剑桥大学因瘟疫流行而关闭,牛顿离校返乡,随后在家乡躲避瘟疫的两年,竞成为牛顿科学生涯中的黄金岁月.制定微积分,发现万有引力和颜色理论,……,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年描绘的. 2.1流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡儿《几何学》,对笛卡儿求切线的"圆法"发生兴趣并试图寻找更好的方法.就在此时,牛顿首创了小o 记号表示x 的无限小且最终趋于零的增量. 1665年夏至1667年春,牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展.1665年11月发明"正流数术"(微分法),次年5月又建立了"反流数术"(积分法). 1666年10月,牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文,此文现以《流数简论》著称,《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献. 《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：（a ）设有两个或更多个物体A ，B ，C ，…在同一时刻内描画线段x ，y ，z ，…。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p ，q ，r ，…的关系。（b ）已知表示线段x 和运动速度p 、q 之比q p 的关系方程式，求另一线段y 。

牛顿莱布尼茨之争

牛顿莱布尼茨之争摘要：微积分的产生伴随着著名的牛顿莱布尼茨之争，虽然数百年来饱受争议，然而两人在数学上所做出的成就不容置疑。清楚微积分学的内容，了解微积分产生的背景及两人所运用的方法和做出的贡献。关键词：微积分流数术积分导数争论牛顿莱布尼茨贡献进入大学，我们开始慢慢地接触微积分，然而我们只是对书本上的那些字符和定义了解的一清二楚，而对真正的微积分是什么，从哪里来却毫不知情。只有明确了微积分的产生与发展才更有利于我们学好以后的微积分。从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。还有中国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限是微分学的基础。当步入到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。数学家和科学家们迫切地希望解决这些问题，法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献。随后出场的两位数学家成功地完成了微积分学的创立过程，他们就是我们所熟知的牛顿和莱布尼茨。而就是微积分，还引发了数学史上著名的公案——牛顿莱布尼茨之争。1665年，牛顿在三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中他发现了他称为“流数术”的微积分。他在1666年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。然而首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书出版。之后引发了两位大数学家对微积分发现权的争夺。有人说莱布尼茨看过牛顿流数术的手稿，并将其内容改成其发明的微积分符号表示，但又有人认为牛顿和莱布尼茨是不同思路创建微积分学的，牛顿是解决运动问题，先有导数概念后有积分的概念，他只把微积分当成研究物理的数学工具；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分概念，后有导数概念。而莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表

浅谈牛顿莱布尼茨度微积分的贡献

浅谈牛顿、莱布尼兹对微积分的贡献姓名：马志霞学号：200971010129 班级：09级数学（1）班摘要本文主要论述了微积分的产生、牛顿和莱布尼茨对微积分的贡献以及他们创立微积分的比较。关键词牛顿莱布尼兹微积分产生贡献比较一、微积分的产生微积分是微分学和积分学的总称。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。如今，微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。以下四种主要类型的问题：第一类：变速运动求即时速度的问题。第二类：求曲线的切线的问题。第三类：求函数的最大值和最小值问题。第四类：求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题。这些科学问题需要解决是促使微积分产生的因素。许多著名的科学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，英国伟大的科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，对过去很多束手无策的初等数学问题运用微积分就会迎刃而解。微积分学不但极大的推动了数学的发展，而且也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中应用越来越广泛。二、莱布尼兹对微积分的贡献莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他因在帕斯卡的有关论文中“突然看到一束光明”，而提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理，其中包括后来“在巴罗和格里高利的著作中见到的几乎所有定理”。在对微分特征三角形的研究中，莱布尼兹逐渐认识到了什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质，并发现了这两类问题的互逆关系。在1666年，莱布尼兹便在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从1672年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。他引进了微分记号dx来表示两相邻x的值的差，并给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼兹在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理。 1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，该文是莱布尼兹对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，并明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式。他还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形，这些表明莱布尼兹非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。《新方法》还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，说明了他的方法和符号，

牛顿--莱布尼茨公式

牛顿—莱布尼茨公式教案设计学院：数学与统计学院班级：2010级数学（2）班姓名：李二亮

牛顿—莱布尼茨公式教案设计一、【教材分析】 1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章. 2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来. 二、【教学目标】 1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣. 2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识. 3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结合的思想意识. 三、【教学重点】熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式. 四、【教学难点】 1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限. 2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题. 五、【教学过程】针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。教学过程的流程入下：

（一）复习旧知识，引入课题复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关? 引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法. （二）创设情境，得到猜想示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系. 设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程. 分析示例：变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为：其中，下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到：如果我们考虑黎曼和其中我们可以发现和之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程是：如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想： ?2 1 )(T T dt t v )()(12T s T s -).()()(122 1 T s T s dt t v T T -=∴ ? ). ()(t v t s ='其中{}121,, ,,[,] n i i i T t t ????-==[] []211111 1 ()()()()()(),,n i i i n n i i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η?η?η?-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1 ()n i i i v t η?=∑ 1 ()n i i i v t ξ?=∑2 1 ()T T v t dt ? [] 1,i i i i t t ξ?-∈=1 ()n i i i v t ξ?=∑() ()s t v t '=2 1 21()()()T T v t dt s T s T =-?

牛顿莱布尼茨对微积分的贡献

一、牛顿对微积分的贡献牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。二、莱布尼茨顿微积分的贡献莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。 1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程：莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的是有穷量，有时又是小于任何指定的量，但不是零。

数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式

第九章定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且?b a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布尼茨公式，常写成：?b a f (x)dx=F(x)b a . 证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}，在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得 F(b)-F(a)=∑=-n 1 i 1-i i )]x (F )x ([F =i n 1 i i x △)η(F ∑='=i n 1 i i x △)η(f ∑=. ∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|< a b ε -. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n 1 i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n 1 i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n 1 i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-