材料力学扭转
dx
c
x
它们组成的力偶，其矩为
(dxdy )dz
z
(dxdy )dz
y
此力偶矩与前一力偶矩
dy
d
a
b
( dy dz) dx 数量相等而转向相反，从而可得 z
dx
c
x
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直平面上
a
dy
y
b
d
的剪应力同时存在，且大小
相等，都指相（或背离）该
y
程中，认为上，下两面上的外
a
'
d
x
力将不作功。只有右侧面的外 力 (dydz) 对相应的位移 dx 作
z
b dx
dx
了功。
当材料在线弹性范围内内工作时，
y
上述力与位移成正比，因此，单
元体上外力所作的功为
1 2 1 2
z a
'
d
x
dW
( dydz)( dx)
( dxdydz)
M GI
e P
r
o
dA
M I
e p
上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的剪应力计算公式
M I
e p
式中：Me 为横截面上的扭矩； 为求应力的点到圆心的距离：
I p A dA
2
称为横截面对圆心的 极惯性矩
说明：
M n I
p
max
Mn
o
r
(1) 横截面周边各点处，剪应 力将达到最大值。圆心处的 剪应力为零。剪应力与成 正比。且垂直于半径。指向
a
Me Me
b
G
G G
d dx
E
O1
G D
O2
A
d
D
同一圆周上各点剪应力
均相同 ，且其值与 成正比 ， 垂直与半径。
G'
a
dx
b
静力学方面
Mn
dA
整个横截面上的内力元素 的合力必等于零，并组成
r
o
一个力偶这就是横截面上的
例题： 图示阶梯圆轴，AB段的直径d1 =120 mm ，BC段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为 mA = 22 kN.m， mB = 36 kN.m ， mC =14 kN.m 。已知材料的许用剪应力[] = 80MPa，试校核该轴的强度。
mA
mB
mC
A
B
C
解：作轴的扭矩图
mA
mB
当矢量方向与截面
外法线方向一致时，
T为正；反之为负
三、 扭矩图 （ Torsional moment diagram)
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于
杆轴线的坐标表示横截面上的扭矩，从而绘制出表示
扭矩与截面位置关系的图线，称为扭矩图。
例题：一传动轴如图所示，其转速 n = 300/min ，主动轮输入的 功率为有N1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，
I
p
max
I P A dA
实心圆截面
dA 2(d)
I P A dA
2
2
Wn
I
p
max
d
4
d
32
d
4
d
o
Wt
IP max
IP 2
32 d d 16 2
d
3
空心圆截面
I P A dA A 2 d
π 32 D4 32
A B
当外力偶 m 在某一范围内 l 时， φ与 m （在数值上等 于 Me ）成正比
D C
m
m
Mn
M 2r
e 2
t
r l
从 Me与 之间的线性关系， 可推出 与 间的线性关系。
o
G
o 该式称为材料的 剪切胡克定律
G
G 称为材料的 剪切弹性模量 。其单位是 Pa。
m
nM
n
r x
τ
dA
n
M 2r
e 2
t
上式为薄壁筒扭转时横截面上剪应力的计算公式
薄壁筒扭转时横截面上的剪应力均匀分布，与半径垂直，指向 与扭矩的转向一致。
τ
τ
Me
τ
二， 剪应力互等定理 (1) 在单元体左，右面（杆的横截面） 上只有剪应力，其方向于 y 轴平行。
dy
y
d a
b
dx
c
dx
c
x
z
两平面的交线。
纯剪切应力状态：
单元体平面上只有剪应力
dy
y
a
d
b
而无正应力，则称该单元体 z 为纯剪切应力状态。
dx
c
x
三，剪切胡克定律 由图所示的几何关系得到
A B
tg
r l
r
l
式中， r 为薄壁圆筒的外半徑
D C
m
m
l
薄壁圆筒的扭转 试验发现，
薄壁圆筒扭转时其任一横截面 n-n 上的内力为扭矩，记作 Me。 横截面上的应力只能是 剪应力。
试验
预先在圆筒的表面画上 等间距的纵向线和圆周 线，从而形成一系列的 正方格子。 观察到的现象
m
m
所有的圆周线都保持不变；
所有的纵向线都倾斜了一个相同的角度。
设想
薄壁圆筒扭转后，横截面保 持为形状，大小均无改变的
与 Mn 的转向一致。分布图
如图 所示。
max
M n max IP
Mn Mn IP Wn max
max
Mn
o
r
Wn
I
p
max
Wn 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3。
11， 极惯性矩及抗扭截面模量
极惯性矩公式
I P A dA
2
抗扭截面模量公式
Wn
2 3
d
D
d
o
( D4 - d 4 )
(1 - 4)
( D d )
4 4
Wt
IP max
IP D 2
32 D 2
D
3
(1 )
4
16
其中
d D
空心圆截面上的应力分布
M I
e p
Me
D
d
ห้องสมุดไป่ตู้
o
111，圆轴扭转时的强度条件 一，强度条件
圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强
剪切胡克定律只有在剪应力不超过材料的剪切屈服 S
极限时才适用。即材料在线弹性范围内工作。
拉(压)，剪切弹性模量与泊松比的关系
G
E 2(1 μ )
四、等直圆杆扭转时的应变能
1，纯剪切应力状态下的比能
y
假设单元体左侧固定， 因此变形后右侧将向下 移动 dx。
b
z dx
a
'
d
x
dx
因为变形很小，所以在变形过
度条件应该是横截面上的最大工作剪应力 max 不超过材
料的许用剪应力 [] 。
圆轴扭转时的最大工作剪应力 max 发生在最大扭矩所在 横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点） ，
强度条件为
max
M n max Wn
[]
根据上述条件，可以解决三个方面的问题 （1）强度校核 （2）截面设计 （3）确定许可荷载
M n 1 - m 2 - 4 .78 KN m
m21 m3
m1
3
A
m4
( )
-
B
1
M
n1
C
3
D
m2
在 AD 段内
M
m4
n3
M
n3
m 4 6 .37 KN m
(+)
注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号
相同。
M n1 4.78 KN .m
m Nk65.9
2 max
M n2 W2
M n2 d
3 2
(0.1 ) 16
71.3MPa [ ]
为沿壁厚方向各点处剪应力的数值无变化。
D C
m
m
m
n
r x
τ
dA
n
推导公式 由上述分析，就可得出薄壁筒扭转时，横截面上任一点处 的剪应力 都是相等的，而其方向于圆周相切。
m
nM
e
r x
τ
dA
n
r 为薄壁圆筒平均半径
dA r r dA r
A A
(2
r
t) M e
b dx
dx
比能为
u
dU dV
dW dV
dW dxdydz
1 2
将 = G 代如上式得
u τγ 2
1
u
G 2
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材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第三章 扭转
B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
材料力学实验报告扭转实验
材料力学实验报告扭转实验一、实验目的1、测定低碳钢和铸铁在扭转时的力学性能，包括扭转屈服极限、扭转强度极限等。
2、观察低碳钢和铸铁在扭转过程中的变形现象，分析其破坏形式和原因。
3、熟悉扭转试验机的工作原理和操作方法。
二、实验设备1、扭转试验机2、游标卡尺三、实验原理在扭转实验中，材料受到扭矩的作用，产生扭转变形。
扭矩与扭转角之间的关系可以通过试验机测量得到。
对于圆形截面的试件，其扭转时的应力分布为：表面最大切应力：＄＼tau_{max} ＝＼frac{T}｛W_p}＄其中，＄T$为扭矩，＄W_p$为抗扭截面系数，对于实心圆截面，＄W_p ＝＼frac{＼pi d^3}｛16}＄，＄d$为试件的直径。
当材料达到屈服极限时，对应的扭矩为屈服扭矩$T_s$；当材料断裂时，对应的扭矩为极限扭矩$T_b$。
四、实验材料本次实验采用低碳钢和铸铁两种材料的圆柱形试件，其尺寸如下：低碳钢试件：直径$d_1 ＝ 10mm$，标距$L_1 ＝ 100mm$铸铁试件：直径$d_2 ＝ 10mm$，标距$L_2 ＝ 100mm$五、实验步骤1、测量试件的直径，在不同位置测量多次，取平均值。
2、安装试件，确保其中心线与试验机的轴线重合。
3、启动试验机，缓慢加载，观察扭矩和扭转角的变化。
4、当低碳钢试件出现屈服现象时，记录屈服扭矩$T_s$。
5、继续加载，直至试件断裂，记录极限扭矩$T_b$。
6、取下试件，观察其破坏形式。
六、实验结果及分析1、低碳钢试件屈服扭矩$T_s ＝ 45 N·m$极限扭矩$T_b ＝ 68 N·m$计算屈服应力：＄＼tau_s ＝＼frac{T_s}｛W_p} ＝＼frac{45×16}｛＼pi×10^3} ≈ 226 MPa$计算强度极限：＄＼tau_b ＝＼frac{T_b}｛W_p} ＝＼frac{68×16}｛＼pi×10^3} ≈ 358 MPa$低碳钢试件在扭转过程中，首先发生屈服，表现为沿横截面产生明显的塑性变形，形成屈服线。
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
返回总目录
一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
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工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
材料力学4扭转
其中：It—相当极惯性矩。
目录
注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：
查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。
h
³
b
h
t
1
T
t
max
注意！
b
目录
[例8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，[]=100M Pa，[]=1º/m ，试校核 此杆的强度和刚度。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
目录
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
汽车传动轴
目录
工 程 实 例
汽车方向盘
目录
§3-1 扭转的概念和实例
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大 小相等，方向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
扭矩和扭矩图
3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
m
m
m
T
x
目录
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
目录
2. 物理关系：
虎克定律： 代入上式得：
3. 静力学关系：
O
dA
令
代入物理关系式 得：
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
目录
注意！ 对于W t 和 It ，多数教材与手册上有如下定义：
查表求 和 时一定要注意，表中 和 与那套公式对应。
h
³
b
h
t
1
T
t
max
注意！
b
目录
[例8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的 作用 ，钢的G =80GPa ，[]=100M Pa，[]=1º/m ，试校核 此杆的强度和刚度。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
目录
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
汽车传动轴
目录
工 程 实 例
汽车方向盘
目录
§3-1 扭转的概念和实例
1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大 小相等，方向相反的外力偶。 2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。
扭矩和扭矩图
3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。
二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩
m
m
m
T
x
目录
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
目录
2. 物理关系：
虎克定律： 代入上式得：
3. 静力学关系：
O
dA
令
代入物理关系式 得：
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学：第5章：扭转
d
dx d
在外表面上
d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA T
A
o
dA
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
令 I p dA
2 A
d G T T G G Ip Ip dx
d T dx G I p
W = m 2 n
(1) = (2) 得 N×1000× 60 = m 2 n
(2)
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
§5-2 扭矩和扭矩图
Ip
极惯性矩：
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32 抗扭截面模量： 3 d 实心圆： Wt 16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
实心圆： I p
d
4
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
刚度条件：
材料力学第四章 扭转
扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符 号 规
Mn I
离M开n截 面
定 ：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d
d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截 面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0