2广东广州市2016-2017学年高二12月学业水平测试数学试题与答案
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
广东省广州市荔湾区2016-2017学年高二下学期期末考试数学理试题Word版含解析
荔湾区2016-2017学年第二学期教学质量监测试卷高二数学(理科)本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数212⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列命题中的假命题是 A ．,lg 0x x R ∈∃>B ．,sin 1x x ∃∈=RC ．2,0x x ∈∀>R D ．,20xx ∈∀>R 3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x = A.2e B.e C.ln 22D.ln 24．已知A 是B 的充分不必要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分不必要条件，则C 是D ⌝的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．若 (),~51X N ，则(67)P X <<等于A ．0.3413B ．0.4772C ．0.1359D ．0.81856．在四面体OABC 中，OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =uuu r r，点M 在OA 上，且2OM MA =,点N 是BC 的中点，则MN =uuu rA ．211322a b c -++r r rB ．121232a b c -+r r rC ．111222a b c +-r r rD ．221332a b c +-r r r7．直线3,,022x x y ππ===及曲线cos y x =所围成图形的面积是 A ．2 B ．3 C ．π D ．π28．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有 A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．126种9．抛物线22y px =的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p = A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 10．以下命题正确的个数为(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立； (2)在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题； (4)命题“若6πα=，则21s i n =α”的否命题是“若6πα≠，则21s i n ≠α”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．如图，已知椭圆221:110x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为 A ．9 B ．5 C ．5 D ．312．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f <B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f < C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f > D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点恰好与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为 ． 14．代数式⋅⋅⋅+++11111中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t =,则11t t+=，则210t t --=，取正值得t =，用类似方法可得=⋅⋅⋅+++666 ．15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个容器体积的最大值为 ．16．在()()642x x y ++的展开式中，记m nx y 项的系数为(),f m n ，则()()3,45,3f f +＝ ．(用数字作答)三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n na a n a +==-=． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．18.（本小题满分12分）已知函数()(,)bf x ax a b x=+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为38y x =-．（Ⅰ）求b a ,的值； （Ⅱ）求函数)(x f 的极值．19.（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面A B C D，2,BE AE == （Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若120ABC ∠=，求直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分布直方图：第19题图DAGCE（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的分布列和数学期望． 21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3()1,3--M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积． 22.（本小题满分12分）已知函数21()ln(1)2f x a x x x =++-，其中a 为实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．2016-2017学年广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数（+i）2所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数（+i）2=+i=+i对应的点（，）位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，lgx＞0 B．∃x∈R，sinx=1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0【考点】2I：特称命题；2H：全称命题．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5L ：简易逻辑．【分析】根据对数函数，正弦函数及指数函数的性质，分别判断，A，B，D为真命题，由当x=0时，x2=0，故C为假命题．【解答】解：对于A：当x＞1时，lgx＞0，故∃x∈R，lgx＞0为真命题；对于B：当x=2kπ+，k∈Z时，sinx=1，则∃x∈R，sinx=1，为真命题；对于C：当x=0时，x2=0，故∀x∈R，x2＞0，为假命题，对于D，由指数函数的性质可知：∀x∈R，2x＞0，故为真命题，故选：C．【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质，属容易题．3．（5分）（2008•海南）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C．D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．【点评】本题考查两个函数积的导数及简单应用．导数及应用是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．4．已知A是B的充分不必要条件，C是B是必要不充分条件，￢A是D的充分不必要条件，则C是￢D的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的递推关系进行递推即可．【解答】解：∵￢A是D的充分不必要条件，∴￢D是A的充分不必要条件，则￢D⇒A∵C是B是必要不充分条件，∴B是C是充分不必要条件，B⇒C∵A是B的充分不必要条件，∴A⇒B，则￢D⇒A⇒B⇒C，反之不成立，即C是￢D的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义进行递推是解决本题的关键．5．已知Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．若X～N（5，1），则P（6＜X＜7）等于（）A．0.3413 B．0.4772 C．0.1359 D．0.8185【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】计算P（4＜X＜6），P（3＜X＜7），于是P（6＜X＜7）=（P（3＜X＜7）﹣P（4＜X＜6））．【解答】解：P（4＜X＜6）=0.6826，P（3＜X＜7）=0.9544，∴P（6＜X＜7）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．故选C．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．6．如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【考点】M3：空间向量的加减法．【专题】5H ：空间向量及应用．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．7．直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积是（）A．2 B．3 C．πD．2π【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；52 ：导数的概念及应用．【分析】直接利用定积分公式求解即可．【解答】解：直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积S=（﹣cosx）dx=﹣sinx|=2，故选：A．【点评】本题考查定积分的应用，考查计算能力．8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（）A．80种B．100种C．120种D．126种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5O ：排列组合．【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案．【解答】解：根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有C94=126种选法，其中只有男生没有女生的选法有C54=5种，只有女生没有男生的选法有C44=1种，则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1=120种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以使用间接法分析，避免分类讨论．9．抛物线y2=2px的焦点为F，M为抛物线上一点，若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】K8：抛物线的简单性质．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3，∴p=4．故选B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．以下命题正确的个数为（）（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；（2）在△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的充要条件；（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；（4）命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；5L ：简易逻辑．【分析】（1），利用正弦的和差公式验证即可．（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题；（4），利用原命题与其否命题的关系判定．【解答】解：对于（1），sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+，β任意．故正确．对于（2），A＞30°得不出sinA＞，比如A=160°，若sinA＞，∵sin30°=sin150°=，∴根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；得A＞30°是sinA＞的必要不充分条件，故错；对于（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题，故正确对于（4），命题“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，正确．故选：C【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角、命题的否命题等基础知识，属于中档题．11．如图，已知椭圆C1：+y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C2的离心率为（）A．9 B．5 C．D．3【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），则A（，），AB的一个三分点坐标为（，），由该点在椭圆C1上，求出=2，从而c==3a，由此能求出离心率．【解答】解：由已知，|OA|=a=，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），∴A点坐标可表示为A（x0，kx0）（x0＞0）∴=，即A（，），∴AB的一个三分点坐标为（，），该点在椭圆C1上，∴，即=1，得k=2，即=2，∴c==3a，∴离心率e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆性质、双曲线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0）B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0）D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在R递增，故g（1）＞g（0），g（2）＞g（0），即f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点恰好与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为y=±x ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程求出其焦点坐标，即可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得a2+3=4，解可得a=1，即可得双曲线的标准方程，由双曲线的渐近线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），其双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点也为（2，0），则有a2+3=4，解可得a=1，故双曲线的方程为：x2﹣=1，则双曲线的渐近线方程为：y=±x；故答案为：y=±x．【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，注意分析双曲线的焦点坐标．14．代数式中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则1+=t，则t2﹣t﹣1=0，取正值得t=，用类似方法可得= 3 ．【考点】F3：类比推理．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；5M ：推理和证明．【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．【解答】解：由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令=m（m＞0），则两边平方得，6+═m2，即6+m=m2，解得，m=3（﹣2舍去）．故答案为：3．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．15．用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器底面为正方形，则这个容器体积的最大值为8m3．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；5T ：不等式．【分析】根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，由题意可得8x+4y=24，即2x+y=6，用x、y表示长方体的体积可得V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x），由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，设长方体容器的底面边长为xm，高为ym，则有8x+4y=24，即2x+y=6，其体积V=x2y=x2×（6﹣2x）=x×x×（6﹣2x）≤[]3=8m3，当且仅当x=2时，等号成立；即这个容器体积的最大值8m3；故答案为：8m3．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是用x、y表示容器的体积．16．在（2+x）6（x+y）4的展开式中，记x m y n项的系数为f（m，n），则f（3，4）+f（5，3）= 400 ．（用数字作答）【考点】DB：二项式系数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，分别代入计算即可得到．【解答】解：（2+x）6（x+y）4的展开式的通项为C6r26﹣r x r C4k x4﹣k y k=C6r26﹣r C4k x4+r﹣k y k，∵x m y n项的系数为f（m，n），当k=4时，4+r﹣4=3，即r=3．∴f（3，4）=C6326﹣3C44=160，当k=3时，4+r﹣3=5，即r=4．∴f（5，3）=C6426﹣4C43=240，∴f（3，4）+f（5，3）=160+240=400，故答案为：400【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）（2017春•荔湾区期末）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2﹣（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想出数列的通项公式a n；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．【专题】38 ：对应思想；4F ：归纳法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（I）根据递推公式计算并猜想通项公式；（II）先验证n=1时猜想成立，再假设n=k猜想成立，推导n=k+1的情况，得出结论．【解答】解：（I）a2=2﹣=；a3=2﹣=；a4=2﹣=；猜想：a n=．（II）当n=1时，猜想显然成立；假设n=k（k≥1）时猜想成立，即a k=，则a k+1=2﹣=2﹣==，∴当n=k+1时，猜想成立．∴a n=对任意正整数恒成立．【点评】本题考查了数学归纳法证明，属于基础题．18．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x﹣8．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ），依题意列式计算得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=得函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，f（x）极小值=f（﹣2），f（x）极大值=f（2）【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax+（a，b∈R）的图象过点P（1，f（1）），且在点P处的切线方程为y=3x ﹣8．∴，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=当x∈（﹣∞，﹣2），（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣2，0），（0，2）时，f′（x）＞0．即函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递减，在（﹣2，0），（0，2）递增，∴f（x）极小值=f（﹣2）=4；f（x）极大值=f（2）=﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与极值，属于中档题，19．（12分）（2017春•荔湾区期末）如图四边形ABCD为边长为2的菱形，G为AC与BD交点，平面BED⊥平面ABCD，BE=2，AE=2．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若∠ABC=120°，求直线EG与平面EDC所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5H ：空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）由AC⊥DB，平面BED⊥平面ABCD，得AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又 AE2=AB2+BE2，得BE⊥AB，即可得BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系，则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0），利用向量法求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB又因为平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD=DB，AC⊂平面ABCD．∴AC⊥平面BED，即AC⊥BE．又BE=2，AE=2，AB=2，∴AE2=AB2+BE2，∴BE⊥AB，且AB∩BD=B，∴BE⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点H，连接BH．∵四边形ABCD为边长为2的菱形，∠ABC=120°，∴BH⊥AD，且BH=．由（Ⅰ）得BE⊥平面ABCD，故以B为原点，建立空间直角坐标系（如图）则E（0，0，2），D（1，，0），G（，，0），C（2，0，0）设面EDC的法向量为，，由，可取cos==﹣直线EG与平面EDC所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．20．（12分）（2017春•荔湾区期末）某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10=164（g），∵经销商购进这批海鱼100千克，∴估计这批海鱼有：（100×1000）÷164≈610（条）．（Ⅱ）从这批海鱼中随机抽取3条，[155，165）的频率为0.04×10=0.4，则X～B（3，0.4），P（X=0）==0.216，P（X=1）==0.432，P（X=2）==0.288，P（X=3）==0.064，∴X的分布列为：∴E（X）=3×0.4=1.2．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：x﹣y﹣2=0与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C上一动点，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，得，x2﹣3x=0．求出点A（0，﹣2），B（3，1），从而|AB|=3，在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l 的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．将y=x+b代入，得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，由根的判别式求出点P（﹣3，1）时，△PAB的面积最大，由此能求出△PAB的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（﹣3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）将直线x﹣y﹣2=0代入中，消去y得，x2﹣3x=0．解得x=0或x=3．…（5分）∴点A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|==3．…（6分）在椭圆C上求一点P，使△PAB的面积最大，则点P到直线l的距离最大．设过点P且与直线l平行的直线方程为y=x+b．…（7分）将y=x+b代入，整理得4x2+6bx+3（b2﹣4）=0．…（8分）令△=（6b）2﹣4×4×3（b2﹣4）=0，解得b=±4．…（9分）将b=±4代入方程4x2+6bx+3（b2﹣4）=0，解得x=±3．由题意知当点P的坐标为（﹣3，1）时，△PAB的面积最大．…（10分）且点P（﹣3，1）到直线l的距离为d==3．…（11分）△PAB的最大面积为S==9．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的求法，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．（12分）（2017春•荔湾区期末）已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为实数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：2f（x2）﹣x1＞0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；53 ：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；（Ⅱ）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），=．①当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，故f（x）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；③当a＜0时，由f'（x）=0得x1=，x2=﹣（舍）f（x）在（﹣1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则0＜a＜1，，，∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），要证2f（x2）﹣x1＞0⇔f（x2）+x2＞0⇔aln（x2+1）+﹣x2＞0⇔（1+x2）ln（x2+1）﹣x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），∵g′（x）=ln（x+1）+＞0，∴g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴命题得证．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的构造与运用，转化思想．属于中档题。
2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试(数学)
1 / 3秘密★启用前 2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的. 1.已知全集 U 二｛1,2,3,4,5｝,集合 A —1,3 ?,,则 Q A =( C. ：2,4,5? ,则 tan ：=( 3 C.— 4 A . .一 B. (1,3? 2. 已知点P(3,/)是角〉终边上的一点4 3 A . B. 3 4D. “23,4,5 / 4 D.3 3. 若直线y =ax • 3与直线讨二-2x a 垂直，则实数a 的值为( 1C.2 9的矩形框，不考虑焊接损耗 C. 6A . -2 B. 24. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为 A .24 B. 1 25. 如图1,在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P,分别以 1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为 P 取自区域M 的概率是( ) Ji A .2 JiC.1 - 46. 某几何体的三视图 ( )1 A . 61C.— 2 函数 f(x) =£x - ) 1D.-2 ，则需要铁丝的长度至少为( B. D. JI 4 JI 1 -—2 则该几何体的体积为 7. (均为直角三角形)及其尺寸如图 2所示, B. D. 2 2的零点所在的区间为 x 图i 1 j A 0 — I — ・..,2 - .2，已知等差数列｛a n ｝的首项为4,公差为 —的前n 项和为( S nn A .2(n 1)在长方形 ABCD 中，AB=2, AD=1, A . 4 B. 210.设函数f x 的定义域为R,若存在与x 无关的正常数 f x 为有界泛函.有下面四个函数：B. 1,1C. 8. 9. B. 3 1 - I ，2 4,其前n 项的和为 D. i 2S n ,则数 2n (n 1)^ 贝U AC CD =( C. -2 C. n(n 1) D.2n n 1M, D. _4使f(x)乞M x 对一切实数x 恒成立，则称x18.2 / 3① f (x) =1;② f(x) =x 2； ③ f (x) = 2xsin x ；其中属于有界泛函的是A.①② ( )B.③④C.①③D.②④二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分20分. 11.已知幕函数 f (x) 的图象过点 2, 2 ,则函数f(x) 的定义域是 1 1 12•如图3,给出的是计算S =1 2 3 框图，当程序结束时，n 的值为 ________ 13.已知△ ABC 的三 个顶点的坐标 分别是 A(2,4,0),B(2,0,3) , C(2,2, z),若.C =90；,则 z 的值为 x E3, I 2 2 14.设实数x, y 满足x-y ，2_0,则x ，y 的 x y -4 _0, 1 丄值的一个程序n 取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 15.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知A(3,1), C(1,0) (1) 求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；(2) 若直线I 的方程为x -2y • 9 = 0,判断直线I 与圆C 的位置关系，并说明理由. 16.(本小题满分12分) 已知函数 f(x) =sin x 「/3cosx, R . (1)求函数f (x)的的最小正周期； 6a € 1(0— I-， ，2， (2)若 f -匸 I 3丿5 17.(本小题满分14分) 对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计 社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下 求f 2： -3的值- ,随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加 分组 频数 频率[3, 6) 10 m [6, 9) n P [9, 12)4 q [12, 15)2 0.05合计N1(1) 求赋中目N , p ,及图中的a 的值; (2) 在所取样本中，从参加社区服务的次数不于9次的学生中任选 服务次数在区间 小题满分 (本小12 14分)2人，求至少有一人参加社 ,15内的概率•次数如图4所示,AB 是O O 的直径，点C 是O O 圆周上不同于 A 、B 的任意一点,PA 丄平面ABC,点E 是线段3 / 3PB 的中点，点M 在AB 上,且MO//AC .（1） （2）19. (1) (2) (3) 求证:BC 丄平面FAC; 求证:平面EOM //平面FAC. （本小题满分14分） 已知数列:a n ?满足a 1 =1, a n “ =a, d, a ?2, a 3成等差数列. 求■的值； 求数列fa n ?的通项公式； 2n 20. 设数列:b n ?满足b n 口 a n +3 （本小题满分14分） 设a 为常数，a • R ,函数f （x ） 2证明: =x 2|x - a | 1, x ：= R. （1）若函数f （x ）是偶函数，求实数a 的值; （2）求函数f （x ）的最小值.。
广东省两市联考2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案
新桥中学、肇庆实中2016-2017学年第二学期高二年级期末考试数学（理科）命题人：刘玲审核人：高二备考组说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。
3.选择题选出答案后，用黑色2B 铅笔在答题卡上涂黑，不能答在试卷上。
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
5.考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，只交回答题卷以及选择题答题卡。
参考公式：线性回归方程a x by ???中系数计算公式：ni ini ii ni ini i ixn xyx n y x x x y y x x b1221121)())((?，x b ya ??，其中x ，y 表示样本均值.22列联表随机变量))()()(()(22d b c ad cb a bc adn K. )(2k KP 与对应值表：)(2k KP 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若=4+3i，则 =（）A、1B、﹣1C、D、（2）盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是( )A、 B、 C、 D、（3）定积分的值为（）A、 B、 C、 D、（4）函数y=32-2ln的单调增区间为（）A、 B、C、 D、（5）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A、假设至少有一个钝角 B、假设至少有两个钝角C、假设没有一个钝角D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角（6）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）=（）A、+P B、1﹣P C、﹣P D、1﹣2P（7）设a,b为实数，若复数，则( )A、a=1,b=3B、a=3,b=1C、a=,b=D、a=, b=（8）将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）A、12 B、24 C、36 D、72（9）已知随机变量的概率分布列如表所示：且的数学期望E=6，则（）5 6 7 8p 0.4 a b 0.1A、a=0.3，b=0.2B、a=0.2，b=0.3C、a=0.4，b=0.1D、a=0.1，b=0.4（10）某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用2×２列联表计算得2≈3.918．附表：P（2≥） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（）A、95%B、5%C、97.5%D、2.5%（11）在的展开式中，4的系数为（）A、﹣120B、120C、-15D、15（12）设函数y=f()的定义域为R+，若对于给定的正数，定义函数，则当函数时，定积分的值为（）A、2ln2+2B、2ln2-1C、2ln2D、2ln2+1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 用数学归纳法证明：，在验证n＝1时，左边计算所得的项为________(14) 10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有________ 种．(15) 函数f（）=3+a2+b+a2在=1时有极值为10，则a+b的值为_______(16) 如图是函数的导函数的图象，对此图象，有如下结论：①在区间（-2，1）内是增函数；②在区间（1，3）内是减函数；③在=2时，取得极大值；④在=3时，取得极小值。
广东省广州市高二数学学业水平测试试卷(含解析)
2015-2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试2015年12月24日一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分.1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}2.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A. 14 B.12C. 2D.43.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A. 2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=04.函数f x ()=12æèçöø÷x-x +2的零点所在的一个区间是（）A.-1,0()B.0,1()C.1,2()D.2,3()5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法7.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01y x x y x ,则z =x -y 的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5- 8.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18 9.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（）A. 2k p -p2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZC. k p +p4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22 B.22+1 C.22+2 D.22+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
【配套K12】广东省广州市荔湾区2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试卷 理(含解析)
2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求．1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩∁R B=（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|1≤x≤2}2．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）A． B． C．D．5．已知向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则等于（）A．4 B．2 C．13 D．6．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=07．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120则3a9﹣a11=（）A．6 B．12 C．24 D．488．函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．9．直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3或﹣1 B．3或1 C．﹣3或1 D．﹣1或310．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）A．B．C．D．11．若实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A． B．C． D．12．若函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B． D．上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省广州市荔湾区真光中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求．1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩∁R B=（）A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|1≤x≤2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先求出C R B，由此利用交集定义能求出A∩∁R B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，∴C R B={x|x≥1}，A∩∁R B={x|1≤x≤2}．故选：D．2．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D3．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【考点】HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=sin（2x﹣）=sin，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4．函数f（x）=xln|x|的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由于f（﹣x）=﹣f（x），得出f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，由图象排除C，D，利用导数研究根据函数的单调性质，又可排除选项B，从而得出正确选项．【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D，又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，排除B，故选A5．已知向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则等于（）A．4 B．2 C．13 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由数量积的运算公式可得•的值，进而有2=（2﹣）2=42+2﹣4•，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则•=||||cos30°=3，2=（2﹣）2=42+2﹣4•=12+4﹣12=4，即=2；故选：B．6．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故选：D．7．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=120则3a9﹣a11=（）A．6 B．12 C．24 D．48【考点】8F：等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质根据a1+3a8+a15=5a8=120求得a8，进而根据3a9﹣a11=2a8，求得答案．【解答】解：a1+3a8+a15=5a8=120∴a8=24，即a1+7d=24∴3a9﹣a11=2a1+14d=2a8=48故选D8．函数f（x）=x2﹣6x+8，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】首先求出f（x0）≤0的x0的范围，利用区间长度的比求概率．【解答】解：函数f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣2）（x﹣4），x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的x0的范围是，由几何概型的公式得到使f（x0）≤0的概率是=．故选：B．9．直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．﹣3或﹣1 B．3或1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据直线的一般式方程垂直的条件，直接代入即可求解K的值【解答】解：∵直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直∴k（k﹣1）+（1﹣k）（2k+3）=0∴k2+2k﹣3=0∴k=﹣3或k=1故选C10．一个机器零件的三视图如图所示，其中侧视图是一个半圆与边长为2的正方形，俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的下部是边长为2正方体，上部是球，且半球的半径为1，代入体积公式求出正方体的体积与球的体积相加．【解答】解：由三视图知几何体的下部是边长为2正方体，上部是球，且半球的半径为1，∴几何体的体积V=V正方体+V球=8+××π×13=8+．故选A．11．若实数x，y满足约束条件则的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），联立，解得B（1，2），由，得的取值范围是[]．故选：A．12．若函数f（x）=sin2x+acosx在（0，π）上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1） B． D．上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）求出函数的导数f′（x），然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；（Ⅱ）由题意当时，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=x2+x+a在区间上恰好有两个相异的实根，整理移项得方程g（x）=x ﹣a+1﹣2ln（1+x）=0在区间上恰好有两个相异的实根，利用函数的增减性得根，于是有，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．∵，由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0．∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（﹣1，0）．（Ⅱ）∵由，得x=0，x=﹣2（舍去）由（Ⅰ）知f（x）在上递减，在上递增．高三数学（理科）答案第3页（共6页）又，f（e﹣1）=e2﹣2，且．∴当时，f（x）的最大值为e2﹣2．故当m＞e2﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．（Ⅲ）方程f（x）=x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．记g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在上递减，在上递增．为使方程f（x）=x2+x+a在区间上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在和（1，2]上各有一个实数根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴实数a的取值范围是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．。
2017年广州市二测答案(理科数学)
数学答案（理科）试题B 第 1 页 共 11 页绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）A （2）B （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）C（9）B（10）C（11）B（12）D二．填空题 （13）32（14）23 （15）2590- （16）27三．解答题（17）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =．因为1238a a a =，所以32=8a ，解得22=a ．…………………………………………………………1分 因为()1253123-++++=n n a a a a S ，所以123a S =，即1213a a a =+．………………………………………………………………………2分 因为22=a ，所以11=a ．………………………………………………………………………………3分 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a ．…………………………………………………………………4分数学答案（理科）试题B 第 2 页 共 11 页（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11=a ，公比2q =，所以()122121111-=--=--=n nn n q q a S ．…………………………………………………………………6分因为n n b nS =，所以()212n nn b n n n =-=⋅-．………………………………………………………7分所以n n n b b b b b T +++++=-1321()()231222322123nn n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++ ．…………………………………8分设231222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯ ， 则234+121222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯ ． 所以()+1234222222n nn P n =⨯-+++++ ()1=122n n +-+．…………………………………10分因为()11232n n n +++++= ， ……………………………………………………………………11分所以()()111222n n n n T n ++=-+-． 所以数列{}n b 的前n 项和()()111222n n n n T n ++=-+-．…………………………………………12分（18）（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．……………………1分因为⊥FD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以FD AC ⊥．………………………………………………2分因为D FD BD = ，所以⊥AC 平面BDF ．……………3分 因为⊥EB 平面ABCD ，⊥FD 平面ABCD ，所以//EB FD ．所以B ，D ，F ，E 四点共面．………………………………………………………………………4分 因为⊂EF 平面BDFE ，所以AC EF ⊥．……………………………………………………………5分FEDCB数学答案（理科）试题B 第 3 页 共 11 页（Ⅱ）解法1：如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向 为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz D -．……6分可以求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23a a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,23a a B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a F 23,0,0， ()0,,0a C ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a E 3,21,23．………………………………7分 所以()0,,0a AB =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a 23,21,23．……………………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0n n即0,10,2ay ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1=n ．……………………………………………10分因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a 3,21,23，所以cos ,8CE CE CE∙==n n n ． 所以直线CE 与平面ABF．…………………………………………………12分 解法2：如图，设AC BD O = ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．…………………………………………6分可以求得,0,02A a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，10,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，10,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．………………7分数学答案（理科）试题B 第 4 页 共 11 页所以1,,02AB a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,2AF a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0AB n n即10,210,2ay ay ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨取1x =，则平面ABF的一个法向量为()=n ．………………………………………10分因为1,2CE a ⎫=⎪⎪⎝⎭，所以cos ,CE CE CE∙==n n n ． 所以直线CE 与平面ABF所成角的正弦值为8．…………………………………………………12分 （说明：若本题第（Ⅰ）问采用向量法证明正确，第（Ⅰ）问给6分，仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第（Ⅱ）问）（19）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为68.1，92.1，1.2，4.2，…………………………………1分 因为()30.05.06.068.11=⨯==ξP ，()30.05.06.092.11=⨯==ξP ，()20.05.04.01.21=⨯==ξP ，()20.05.04.04.21=⨯==ξP ．………………………………3分 所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为68.1，8.1，24.2，4.2，…………………………………………………5分 因为()42.06.07.068.12=⨯==ξP ，()18.06.03.08.12=⨯==ξP ，()28.04.07.024.22=⨯==ξP ，()12.04.03.04.22=⨯==ξP ，……………………………7分……………4分数学答案（理科）试题B 第 5 页 共 11 页所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30+200.50+250.20=19.5EQ =⨯⨯⨯， 2150.42+200.46+250.12=18.5EQ =⨯⨯⨯． 因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大．………………………………………………………………12分（20）解：（Ⅰ）双曲线2215xy -=的焦点坐标为()，离心率为51分因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数，所以a ==，解得1b =． 故椭圆C 的方程为1622=+y x ．…………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）因为2334>=MN ，所以直线MN的斜率存在．………………………………………………4分 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为m kx y +=．……………8分…………………………10分……………………………9分数学答案（理科）试题B 第 6 页 共 11 页代入椭圆方程1622=+y x 得0)1(612)61(222=-+++m kmx x k ．…………………………………5分 因为()0)61(24)1)(61(241222222>-+=-+-=∆m k m k km ，所以2261k m +<．………………………………………………………………………………………6分 设),(11y x M ，),(22y x N ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k-=+．……………………………………7分 则()212212212411x x x x kx x k MN -++=-+== 因为334=MN．………………………………8分 整理得()22421973918kk k m +++-=．………………………………………………………………………9分 令112≥=+t k ，则12-=t k ．所以2218755015075230575189993t t m t t t -+-⎡⎤-⨯⎛⎫==-+≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．…………………………10分等号成立的条件是35=t ，此时322=k ，253m =满足2261k m +<，符合题意．………………11分故m 的最大值为315．…………………………………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞ ．因为()f x ln x ax b x =-+，所以()f x '2ln 1ln x a x-=-．…………………………………………1分 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为()()e e e y a b a x --+=--，即e y ax b =-++．………………………………………………2分已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =．所以实数b 的值为e ．……………………………………………………………………………………3分数学答案（理科）试题B 第 7 页 共 11 页（Ⅱ）解法1：由()f x 1e 4?，即1e e ln 4x ax x -+?．……………………………………………4分 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e 轾犏臌上有解．………………………………………………………5分 令()11ln 4h x x x =-()2e,e x 轾Î犏臌， 则()h x '22114ln x x x =-222ln 44ln x xx x-=(22ln ln 4ln x x x x +-=．………………………………7分 令()ln p x x =-，所以当2e,e x 轾Î犏臌时，有()110p x xx'==<．……………………………………………8分 所以函数()p x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减．……………………………………………………………9分 所以()()e ln e 0p x p <=-<． ………………………………………………………………10分所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减． ………………………………………………11分 所以()()22221111eln e4e 24e h x h ≥=-=-． 所以实数a 的取值范围为211,24e轹÷ê-+?÷÷êøë．…………………………………………………………12分 解法2：命题“存在x Î2e,e 轾犏臌，满足()f x 1e 4?”等价于“当x Î2e,e 轾犏臌时，有()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?”．………………………………………4分由（Ⅰ）知，()f x '2ln 1ln x a x -=-=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫． （1）当14a ³时，()0f x '≤，即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数，…………………………5分 所以()minf x =⎡⎤⎣⎦()2e f 22e e e 2a =-+．由()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?，得22e 1e e e 24a -+?，解得21124e a ?． 所以21124e a ?．………………………………………………………………………………………6分数学答案（理科）试题B 第 8 页 共 11 页（2）当14a <时，注意到函数()f x '=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫在区间2e,e 轾犏臌上的值域为1,4a a 轾犏--犏臌． ……………………………………7分①0a £，()0f x '≥在区间2e,e 轾犏臌上恒成立，即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为增函数． 所以()()min e f x f =⎡⎤⎣⎦e e e =2e e a a =-+-．由于()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+，所以2e e a -?1e 4+，解得1104e a ≥->，这与0a ≤矛盾．………8分 ②若104a <<，由函数()f x '的单调性（单调递增）和值域知，存在唯一的()20e,e x ∈，使()00f x '=，且满足当x Î()0e,x 时，()00f x '<，即()f x 为减函数；当x Î()0,e x 时，()00f x '>，即()f x 为增函数．所以()()0min f x f x =⎡⎤⎣⎦000e ln x ax x =-+．…………………………………………………………9分 由()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+，得000e ln x ax x -+?1e 4+，即0001ln 4x ax x -?． 因为()00f x '=，即020ln 10ln x a x --=，所以020ln 1ln x a x -=． 将020ln 1ln x a x -=代入0001ln 4x ax x -?，得0201ln 4x x £，其中()20e,e x ∈．………………………10分 令()h x 2ln x x =，则()h x '3ln 2ln x x-=， 当x Î2e,e 轾犏臌时，()0h x '≤，即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数．所以()()2eh x h ≥()2222e e 1>44ln e ==，与0201ln 4x x £矛盾， 所以不存在10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()minf x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+成立．………………………………………………11分 综上可知，实数a 的取值范围为211,24e 轹÷ê-+?÷÷êøë．…………………………………………………12分 （说明：当104a <<时，也可转化为200ln 4x x ≥，其中()20e,e x ∈，从而构造函数()2ln x p x x =解数学答案（理科）试题B 第 9 页 共 11 页答；还可转化为0011ln 4a x x ?，从而构造函数()11ln 4q x x x =-解答；还有其他解法均参照给分！）（22）（Ⅰ）解：曲线C 的普通方程为141222=+y x ．……………………………………………………1分 将直线02=--y x 代入141222=+y x 中消去y 得，032=-x x ．…………………………………2分 解得0=x 或3=x ．………………………………………………………………………………………3分 所以点()2,0-A ，()1,3B ，………………………………………………………………………………4分 所以()()23210322=++-=AB ．………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法1：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设过点P 且与直线l 平行的直线方程为b x y +=．……………………………………………………6分将b x y +=代入141222=+y x 整理得，()0436422=-++b bx x ． 令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=，解得4±=b ．…………………………………………………7分将4±=b 代入方程()0436422=-++b bx x ，解得3±=x ．易知当点P 的坐标为()1,3-时，△PAB 的面积最大．………………………………………………8分 且点P ()1,3-到直线l 的距离为231121322=+---=d ．……………………………………………9分△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．…………………………………………………………10分 解法2：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设曲线C 上点()θθsin 2,cos 32P ，其中[)π2,0∈θ，………………………………………………6分则点P 到直线l 的距离为22112sin 2cos 32+--=θθd 226πcos 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ．………………………8分 因为[)π2,0∈θ，则6π136π6π<+≤θ， 所以当π6π=+θ，即65π=θ时，23max =d ．………………………………………………………9分此时点P 的坐标为()1,3-，△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．…………………………10分数学答案（理科）试题B 第 10 页 共 11 页（23）（Ⅰ）证明1：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ， 即证明31222≥++c b a ．…………………………………………………………………………………1分 因为()()ca bc ab c b a c b a ++-++=++22222 ……………………………………………………2分 ()()22222c b a c b a ++-++≥，……………………………………………………3分所以()()22223c b a c b a ++≥++．……………………………………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ． 所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分 证明2：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ， 即证明31222≥++c b a ．…………………………………………………………………………………1分 因为21293a a +≥，21293b b +≥，21293c c +≥，……………………………………………………3分 所以()2221233a b c a b c +++≥++．…………………………………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ． 所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分 证明3：因为()()21681193a a ++≥+，()()21681193b b ++≥+，()()21681193c c ++≥+， ……………………………3分所以()()()()()()22216811111133a b c a b c ++++++≥+++++⎡⎤⎣⎦．……………………………4分 因为1=++c b a ，数学答案（理科）试题B 第 11 页 共 11 页 所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分 （Ⅱ）解：设()12-+-=x a x x f ，则“对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”．…………6分 当21<a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得23-≤a ．……………………………………7分 当21=a 时，3221≥-x 不可能恒成立．………………………………………………………………8分 当21>a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得25≥a ．……………………………………9分 综上可知，实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,2523, ．……………………………………………10分。
广州市高二学业水平测试(数学)含答案
广州市高中二年级水平测试•数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、已知集合{1,2,4,8}M =，{2,4,6,8}N =，则M N = ( )..A {2,4} .B {2,48}， .C {1,6} .D {12,4,68}，，2、下列函数中，与函数1y x=定义域相同的函数为( ). .A 1y x=.B y x =.C 2y x -=.D ln y x =3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知59a =，24S =，则2a =( )..A 1 .B 2 .C 3.D 5 4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )..A 6.B 9.C 18.D 365、将函数cos y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x = 的图像，则下列说法正确的是( )..A ()y f x =的最小正周期为π.B ()y f x =是偶函数.C ()y f x =的图像关于点(,0)2π对称.D ()y f x =在区间[0,]2π上是减函数6、已知221ab>>，则下列不等关系式中正确的是( )..A sin sin a b >.B 22log log a b <.C 11()()33a b > .D 11()()33a b <7、在ABC △中，已知5AB AC ==，6BC =，则AB BC =( )..A 18 .B 36 .C 18- .D 36-8、设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+,023,023,06y x y x y x 则y x z 2-=的最小值为( ).A 10- .B 6- .C 1- .D 0 9、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，3)(1-=+x a x f （a 为常数），则)1(-f 的值为( ).A 6-.B 3-.C 2-.D 610、小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b )0(>>b a ，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则( ).A 2ba v +=.B ab v =.C 2ba v ab +<< .D ab v b <<435俯视图侧视图正视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11、过点)0,3(-且与直线024=-+y x 平行的直线方程是______12、如图，在半径为1的圆内随机撒100粒豆子，有14粒落在阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为______13、执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是______14、在ABC ∆中，已知6=AB ，33cos =C ，C A 2=，则BC 的长为______三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15、（本小题满分12分）实验室某一天的温度（单位：C o）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()[]24,0,312sin 4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ππ.（1）求实验室这一天上午10点的温度；（2）当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低.20?z <z 输出开始结束x y =1,2x y ==y z=z x y =+是否16、（本小题满分12分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾24 4 1 2 可回收垃圾4 19 2 3 有害垃圾2 2 14 1 其他垃圾1 5 3 13 （1）试估计“可回收垃圾”投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误．．的概率.17、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形， ABCD PA 平面⊥，AB PA =，点E 为PB 的中点. （1）求证：ACE PD 平面//；（2）求证：PBC ACE 平面平面⊥.EDCBAP18、（本小题满分14分）已知直线05=+-y ax 与圆922=+y x C ：相交于不同两点A ，B . （1）求实数a 的取值范围（2）是否存在实数a ，使得过点()12，-P 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.19、（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，21a a +，()412a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和为n S ，求证：6<n S .20、（本小题满分14分）已知R a ∈，函数()a x x x f -=.（1）当2=a 时，求函数()x f y =的单调递增区间； （2）求函数()()1-=x f x g 的零点个数.广州市高中二年级学生学业水平测试数学参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDCCDDCBAD二、填空题11、430x y ++= 12、0.14π 13、21 14、22 三、解答题15、解：（1）依题意()4sin(),[0,24]123f t t t ππ=-∈实验室这一天上午10点，即10t =时，(10)4sin(10)4sin 41232f πππ=⨯-==，所以上午10点时，温度为4C.（2）因为024t ≤≤，所以531233t ππππ-≤-≤， 令123t ππθ=-，即533ππθ-≤≤，所以54sin ,[,]33y ππθθ=∈- 故当32πθ=时，即22t =时，y 取得最小值，min 34sin42y π==- 故当22t =时，这一天中实验室的温度最低。
2016学年广州市高二学业水平测试数学试题+答案
数学（必修） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ） A ．{1} B ．{3,5} C ．{1,3,5} D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ） A ．56110x y +-= B ．5610x y -+= C ．65110x y --= D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ） A ．-3 B ．13-C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ）A ．1B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2xf x =- D ．()sin 2f x x =8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]- 9.若0x 是函数()ln f x x =与2()g x x=的图象交点的横坐标，则0x 属于区间（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C. (2,3) D ．(3,)+∞10.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m n ⊥，//n α，则 m α⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβ D ．若//m α，m β⊥，则a β⊥11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ） A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p <<12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1na -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C.5100 D ．5150第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()2f x x =+的定义域是__________.14.函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，5__________. 16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈，，，设()f x a b =•. （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率； （3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足715a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数2y x =+的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.（1）请将字母,,E F G 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）在长方体中，判断直线BG 与平面AFH 的位置关系，并证明你的结论； （3）在长方体中，设AB 的中点为M ，且2AB =，2AE =EM ⊥平面AFG .21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标. 22.（本小题满分12分）设函数2()2(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当1b a =-时，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值()g a 的表达式； （2）当21b a =-时，讨论函数[()]y f f x =在R 上的零点个数.2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCACD 11、12：AD 二、填空题13. [2,)-+∞ 14. 3π 15. 43π 16.32 三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分（2）由（1）得，()2)4f x x π=+.因为2()43f πθ+=， 所以()2)444f πππθθ+=++………………5分 22)223πθθ=+==………………6分所以1cos 3θ=.………………7分 因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分 所以()2)2444f πππθθθ-=-+=………………9分433==.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件， 则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，，{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 19.解：（1）依题意得，得12n n a a +=+，即12n n a a +-=.………………1分 所以数列{}n a 是公差为2的等差数列.………………2分 由715a =，得16215a +⨯=，解得13a =.………………3分所以1(1)n a a n d =+-………………4分3(1)221n n =+-⨯=+.………………5分（2）因为2133na n nb +==，所以127b =.………………6分因为23121393n n n n b b +++==，所以{}n b 是公比为9的等比数列.………………8分所以1(1)1n n b q T q-=-………………10分27(19)27(91)198n n ⨯-==--.………………12分20.解：（1）字母,,E F G 标记如图所示.………………2分（2）//BG 平面AFH ，证明如下：在长方体ABCD EFGH -中，//AB GH ，且AB GH =， 所以四边形ABGH 是平行四边形， 所以//BG AH .………………4分又AH ⊂平面AFH ，BG ⊄平面AFH ，所以//BG 平面AFH .………………6分 （3）在长方体ABCD EFGH -中，FG ⊥平面ABFE ， 又EM ⊂平面ABFE ，所以FG EM ⊥.………………8分 在Rt AEF ∆与Rt MAE ∆中，90AEF MAE ∠=∠=，2EF AEAE MA==， 所以Rt AEF Rt MAE ∆∆∽，所以EFA AEM ∠=∠.因为90AEM MEF ∠+∠=，所以90EFA MEF ∠+∠=，所以AF EM ⊥.………………10分又AF ⊂平面AFG ，FG ⊂平面AFG ，AF FG F =∩，所以EM ⊥平面AFG .………………12分21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为d ==，………………1分所以222228()4182r d =+=+=.………………2分 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.………………4分因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00xy -.………………5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤.当且仅当003x y ==时，等号成立.………………10分 因为00x >，00y >,所以00119x y ≥， 所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分 所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分 22.当1b a =-时，222()21()1f x x ax a x a a a =++-=+-+-，对称轴为直线x a =-.当1a -<-即1a >时，()f x 在[1,1]-上是增函数，所以()(1)3g a f a ==.………………1分 当10a -≤-≤即01a ≤≤时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=-<=，所以()(1)3g a f a ==.………………2分当01a <-≤即10a -≤<时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=->=，所以()(1)g a f a =-=-.………………3分 当1a ->即1a <-时，()f x 在[1,1]-上是减函数，所以()(1)g a f a =-=-.综上所述，,0,()3,0.a a g a a a -<⎧=⎨≥⎩.………………4分（2）当21b a =-时，22()21(1)(1)f x x ax a x a x a =++-=+++-.令[()]0f f x =，即(()1)(()1)0f x a f x a +++-=， 解得()1f x a =--或()1f x a =-+.………………5分当()1f x a =--时，22211x ax a a ++-=--，即2220x ax a a +++=.因为221(2)4()4a a a a ∆=-+=-，所以当10∆>即0a <时，方程2220x ax a a +++=有两个实数解.………………6分 当10∆=即0a =时，方程2220x ax a a +++=有且只有一个实数解0x = (7)分当10∆<即0a >时，方程2220x ax a a +++=没有实数解.………………8分当()1f x a =-+时，22211x ax a a ++-=-+，即22220x ax a a +++-=.因为222(2)4(2)48a a a a ∆=-+-=-+，所以当20∆>即2a <时，方程22220x ax a a +++-=有两个实数解.………………9分 当20∆=即2a =时，方程22220x ax a a +++-=有且只有一个实数解2x =.………………10分- 11 - 当20∆<即2a >时，方程22220x ax a a +++-=没有实数解.………………11分综上所述，当0a <时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是4； 当0a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是3；当02a <<时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是2；当2a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是1；当2a >时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是0.………………12分。
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学(理)试题Word版含答案
2016-2017学年广东省高二上学期期末质量检测数学（理）试题一、选择题1．命题“”的否定是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是“”.故选B.2．若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（）A. 同号B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】因为直线经过第一、二、三象限，所以，将化成，则，即，.故选B.3．已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③.则真命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故①正确；若直线平面，，则或直线平面，则可能平行、相交或异面，故②错误；若直线平面，，则直线平面，又因为直线平面，所以，故③正确；故选C.4．“”是“表示的曲线是双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“表示的曲线是双曲线”的充要条件是“”，即“或”，则“”是“表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件.故选A.点睛：处理四种条件（充分条件、必要条件、必要条件、既不充分也不必要条件）的判定时，往往转化为数集间的包含关系，利用“小范围是大范围的充分不必要条件”进行判定.5．若圆关于直线对称，则直线的斜率是（）A. 6B.C.D.【答案】A【解析】将化为，因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，则，解得，则直线的斜率是.故选D.6．如图，空间四边形中，，点在上，且是的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题解析：根据向量的减法可知，因为点在上，且是的中点，所以，,所以，故选B.【考点】向量的线性运算．【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.7．下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题；B. 若直线与直线平行，则C. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是或D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”【答案】C【解析】若为真命题，则至少有一个为真命题，则不一定真命题，即选项A错误；若直线与直线平行，则，即，即选项B错误；若命题“”是真命题，则,解得或，即选项C正确；命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”，即选项D错误；故选C.8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥与一个四棱锥组合而成（如图所示），其中圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，取的中点，连接，则该几何体的表面积为 .故选B.9．圆上到直线的距离等于1的点有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】圆的圆心到直线的距离，且圆的半径为3，所以圆上到直线的距离等于1的点有3个.故选C.点睛：处理圆上的点与某条直线间的位置关系或直线与圆的位置关系时，一般先研究该圆的圆心到该直线的距离问题.10．如图，三棱锥中，，，点分别是中点，则异面直线，所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：连结ND，取ND的中点E，连结ME，则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，∵AN=，∴ME==EN，MC=，又∵EN⊥NC，∴，∴cos∠EMC=，∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为．【考点】异面直线所成角11．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则，又因为以为直径的圆的方程为，所以，解得.故选B.点睛：涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.12．在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【解析】试题分析：因平面，则，同理平面，则，，则，，则，下面研究点在面的轨迹（立体几何平面化），在平面直角坐标系内设，设，因为，所以，化简得：，该圆与的交点纵坐标最大，交点为，三棱锥的底面的面积为18，要使三棱锥体积最大，只需高最大，当在上切时，棱锥的高最大，，.，本题应选,与原答案有出入.【考点】1.直线与平面垂直的性质定理；2.三棱锥的体积；二、填空题13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】设该球的半径为，则，所以此球的表面积为.14．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是__________．【答案】【解析】将化为，两圆方程相减得，即，即直线的方程是.15．是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线，是双曲线的两个顶点，若在上存在一点，使，则双曲线离心率的最大值为__________．【答案】【解析】由题意，设，则，因为在上存在一点，使，所以关于的方程有实数根，即关于的方程有实数根，则，解得，即，即双曲线离心率的最大值为.16．已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题：①；②；③；④与的交点在轴上；⑤与交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④⑤【解析】因为在抛物线上，由抛物线的定义，得，又分别为在上的射影，所以，即①正确；取的中点，则，所以，即②正确；由②得平分，所以，又因为，所以，即③正确；取轴，则四边形为矩形，则与的交点在轴上，且与交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取轴）.三、解答题17．设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.（1）若且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）命题是一元二次不等式，解得，即.命题是分数不等式，解得，为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得；（2）是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，即是的真子集，故，即.试题解析：（1）由得,又,所以,当时,1<,即为真时实数的取值范围是1<.为真时等价于,得,即为真时实数的取值范围是.若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件,即,且, 等价于,且,设A=, B=, 则B A;则0<,且所以实数的取值范围是.【考点】一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．18．已知圆，直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于两点.（1）当与垂直时，求出点的坐标；（2）当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）先利用与垂直得出直线的斜率和方程，再联立直线与的方程进行求解；（2）设出直线方程，利用直线和圆的弦长公式和圆心到直线的距离公式进行求解.试题解析：（1）由题意，直线的方程为，联立得，所以.（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由，得，解得.故直线的方程为或.点睛：在解决平面解析几何问题时，合理设出直线方程往往是关键的第一步，在设直线方程时要注意该直线是否存在斜率，如本题中斜率不存在时也符合题意.19．如图，直三棱柱中，，为中点，.（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用平面几何知识证得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）利用线面平行合理转化点到直线的距离，再利用几何体的体积公式进行求解.试题解析：（1）证明：在矩形中，为的中点，且，∴，，∴，∴.又，，∴平面.（2）∵，面，面，∴面，∴.由（1）知面，∴，又，且，∴平面，又，∴，，∴.点睛：在求三棱锥的体积，往往可以合理转化顶点和底面，再作出顶点到底面的垂线，如本题中的.20．已知曲线上的任意一点到点的距离与到直线的距离相等，直线过点，且与交于两点.（1）求曲线的方程；（2）若为中点，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义进行求解；（2）利用点差法求出直线的的斜率和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行求解.试题解析：（1）设曲线上任意一点，由抛物线定义可知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）设，，则，，所以，因为为中点，所以，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，此时直线与抛物线相交于两点.设为与轴交点，则，由消去得，所以，，所以三角形的面积为.21．如图，已知四棱锥中，平面，，且，是边的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用三角形的中位线和平行四边形及平行公理证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：取中点，连接，，∵是边的中点，∴，且，又∵，∴，又∵，即，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又面，面，∴面.（2）解：在底面内过点作直线，则，又平面，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，则，，，，设面的一个法向量为，则，即，令，则，∴.同理可求面的一个法向量为，，由图可知，二面角是钝二面角，所以其平面角的余弦值为.22．如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，.（1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值；（3）试问是否为定值？若是，求出该值.【答案】（1）；（2）；（3）36.【解析】试题分析：（1）圆的半径,直线，互相垂直，且和圆相切, 所以，即，又点在椭圆上，适合椭圆的方程，联立方程组，解之求出圆心坐标即可；（2）写出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，,化简、整理得，又点适合椭圆的方程，代入化简即可;（3）由（2）知,从而可得，将，代入椭圆方程求得，，代入得，并可求得，即可求得.（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，试题解析：即①又点在椭圆上，所以②联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，即，所以．（3）方法一（1）当直线、不落在坐标轴上时，设，，由（2）知，所以，故，因为，，在椭圆上，所以，，即，，所以，整理得，所以，所以.方法（二）（1）当直线，不落在坐标轴上时，设，，联立，解得，所以.同理，得，由（2），得.所以.（2）当直线、落在坐标轴上时，显然有.综上：.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系.。
广州市高二学业水平测试数学试题+答案
数学学业水平测试答案 第 1 页 共 10页秘密★启用前上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数 学（必修）本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3A =，则U A =ð( ).A.∅B.{}1,3C.{}2,4,5D.{}1,2,3,4,52. 已知点P ()3,4-是角α终边上的一点，则tan α=( ).A.43-B.34-C.34D.433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为( ).A.2-B.2C.12- D.124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝 的长度至少为( ).A.24B. 12C. 6D. 3数学学业水平测试答案 第 2 页 共 10页5. 如图1，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A B 、、C D 、为圆心、1为半径作圆，在正方形 ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区域M 的概率是( ).A.2π B. 4πC. 14π-D.12π-6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图2所示，则该几何体的体积为( ).A. 16B. 13C. 12 D. 17. 函数()2f x x x=-的零点所在的区间为( ).A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列 的前 n 项和为( ). A.2(1)n n + B.12(1)n n + C.2(1)n n + D.21n n +9. 在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，则AC CD ⋅=( ).A. 4B. 2C.2-D.4-10. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x ≤对 一切实数x 恒成立，则称()f x 为有界泛函.有下面四个函数：①()1f x =； ②()2f x x =； ③()2sin f x x x =； ④()22xf x x x =++．其中属于有界泛函的是( ).A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭图2DCBAM图1数学学业水平测试答案 第 3 页 共 10页二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()2,2，则 函数()f x 的定义域是 .12. 如图3给出的是计算111123S n=+++⋅⋅⋅+值的一个程序框图，当程序结束时，n 的值为 .13. 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,4,0A ，()2,0,3B ，()2,2,C z ，若90C ∠=，则z 的值 为 ．14. 设实数,x y 满足32040x x y x y ⎧⎪-+⎨+-⎪⎩，，，≤≥≥ 则22x y +的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()3,1A ，()1,0C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.16.（本小题满分12分）已知函数()sin 3cos ,f x x x x =+∈R .（1）求函数)(x f 的最小正周期；开 始i=1, S=0S =S +i 1i=i +1输出S 结 束否是2013i <图3？数学学业水平测试答案 第 4 页 共 10页（2）若635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．(本小题满分14分)对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,N p 及图中a 的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[]12,15内的概率.分组频数 频率[)3,6 10m[)6,9 n p [)9,12 4 q[]12,1520.05 合计 N 1频率/组距6 12 9 3 15 次数a数学学业水平测试答案 第 5 页 共 10页如图4所示，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，P A ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在AB 上，且MO ∥AC ．（1）求证：BC ⊥平面P AC ；（2）求证：平面EOM ∥平面P AC .19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N ，λ为常数)，且1a ，22a +，3a 成等差数列． （1）求λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n b 满足 ，证明： ．23n n n b a =+916nb ≤PCB O E A M 图4设a为常数，a∈R，函数()21=+-+，x∈R.f x x x a（1）若函数()f x是偶函数，求实数a的值；（2）求函数()f x的最小值.数学学业水平测试答案第 6 页共10页数学学业水平测试答案 第 7 页 共 10页广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 C A D B C B D A D B二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．其中第13题填对1个给3分，填对2个给5分． 11． [0,)+∞ 12． 2012 13． 1-或4 14． []8,34三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程． 15．本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识．本小题满分12分． 解：（1）因为圆C 的圆心为(1,0)C ， 可设圆C 的标准方程为()2221x y r -+=． 因为点()3,1A 在圆C 上， 所以()222311r -+=，即25r =． 所以圆C 的标准方程为22(1)5x y -+=． （2）圆心C 到直线l 的距离为2212092521d -⨯+==+．因为255>，即d r >，所以直线l 与圆C 相离．16．本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想．本小题满分12分．解：（1）()sin 3cos f x x x =+ 132sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以函数)(x f 的最小正周期是2π．（2）由（1）得，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以62sin 2sin 3335f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即3sin 5α=． 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以24cos 1sin 5αα=-=． 所以22sin 22sin 2333f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin cos αα=34455=⨯⨯4825=．数学学业水平测试答案 第 8 页 共 10页17．本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识．本小题满分14分． 解：（1）由分组[12,15)内的频数是2，频率是0.05，得20.05N=，所以40N =． 因为频数之和为40，所以104240n +++=，解得24n =．所以240.640n p N ===． 因为a 是对应分组[6,9)的频率与组距的商，所以0.60.233p a ===． （2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件A ．这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有426+=人． 记在区间[9,12)内的4人为1234,,,a a a a ，在区间[12,15)内的2人为12,b b ． 从这6人中任选2人的所有可能结果有：1213141112{,},{,},{,},{,},{,},a a a a a a a b a b23242122343132414212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，共15种．事件A 包含的结果有：11122122313241{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},a b a b a b a b a b a b a b4212{,},{,}a b b b ，共9种．所以所求概率为93()0.6155P A ===． 18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力．本小题满分14分． 证明：（1）因为点C 是以AB 为直径的⊙O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，所以90ACB ∠=，即BC ⊥AC ． 因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以P A ⊥BC ．因为AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，ACP A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ．（2）因为点E 是线段PB 的中点，点O 是线段AB的中点， 所以EO ∥P A ．因为P A ⊂平面P AC ，EO ⊄平面P AC ， 所以EO ∥平面P AC ．因为MO ∥AC ，AC ⊂平面P AC ，MO ⊄平面P AC ， 所以MO ∥平面P AC ．因为EO ⊂平面EOM ，MO ⊂平面EOM ，EO MO ＝O ，所以平面EOM ∥平面P AC ．CBOPE AM数学学业水平测试答案 第 9 页 共 10页19．本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、推理论证能力等．本小题满分14分．（1）解：因为11a =，12n n n a a λ+=+⋅(*n ∈N )， 所以121212a a λλ=+⋅=+，232216a a λλ=+⋅=+． 因为1a ，22a +，3a 成等差数列，所以1322(2)a a a +=+，即262(32)λλ+=+， 解得2λ=．（2）解：由（1）得，2λ=，所以112n n n a a ++=+(*n ∈N )，所以12n n n a a --=（2n ≥）． 当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-231222n=+++⋅⋅⋅+212(12)112n --=+-123n +=-． 又11a =也适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为123n n a +=-(*n ∈N )． （3）证明：由（2）得，123n n a +=-，所以212n n n b +=．因为222212122(1)21(1)22222n n n n n n n n n n n b b ++++++-++--+-=-==， 当3n ≥时，()2120n --+<，所以当3n ≥时，10n n b b +-<，即1n n b b +<． 又114b =<212b =<3916b =， 所以3916n b b =≤(*n ∈N )．20．本小题主要考查偶函数的概念，考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解能力、分类讨论思想等．本小题满分14分． 解：（1）因为函数()f x 为偶函数， 所以对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=，即对任意的x ∈R 都有()2211x x a x x a -+--+=+-+，即对任意的x ∈R 都有x a x a +=-，即对任意的x ∈R 都有()()22x a x a +=-，数学学业水平测试答案 第 10 页 共 10页即对任意的x ∈R 都有40ax =，所以0a =．（2）①当x a ≤时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a ≤，则函数()f x 在(],a -∞上单调递减．所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为()21f a a =+． 若12a >，则函数()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增． 所以函数()f x 在(],a -∞上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．②当x a >时，()()2213124f x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．若12a -≤，则函数()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增．所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．若12a >-，则函数()f x 在[),a +∞单调递增．所以函数()f x 在[),a +∞上的最小值为()21f a a =+．综上所述，当12a -≤时，函数()f x 的最小值是34a -；当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +；当12a >时，函数()f x 的最小值是34a +．。