2021新教材高中数学第8章8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积课件新人教A版必修第二册
新教材人教版高中数学必修1 第八章 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后篇巩固提升基础巩固1.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )A.1B.12C.√32D.34R ,圆锥底面半径为r ,高都为h ,由已知得2Rh=rh ,∴r=2R ,V 柱∶V 锥=πR 2h ∶13πr 2h=3∶4,故选D .2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( ) A .4√2 B .8 C .8√2 D .8√3x ,球半径为R ,则S 球=4πR 2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴√3x=2R=2,∴x=3,∴S 正=6x 2=6×(3)2=8.3.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( ) A.√6πB.√πC.√2πD.3√πa ,球的半径为R ,由6a 2=4πR 2得aR=√2π3,V 1V 2=a 343πR3=34π(√2π3)3=√6π6.4.(2015全国Ⅰ高考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=14×13·πR 2h=112×π×(16π)2×5. ∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).5.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为√2,则此球的体积为( ) A .√6π B .4√3πC .4√6πD .6√3π,设截面圆的圆心为O',M 为截面圆上任一点,则OO'=√2,O'M=1,∴OM=√(√2)2+1=√3,即球的半径为√3,∴V=43π(√3)3=4√3π.6.圆锥的高h 和底面半径r 之比h ∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( ) A.18√5π B.9(1+2√5)π C.9√5π D.9(1+√5)π圆锥的高h 和底面半径r 之比h ∶r=2∶1,∴h=2r ,又圆锥的体积V=18π,即1πr 2h=2πr 3=18π,解得r=3.∴h=6,母线长为l=√ℎ2+r 2=√62+32=3√5,则圆锥的表面积为S=πrl+πr 2=π×3×3√5+π×32=9(1+√5)π.7.已知正三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为( ) A.21π B.42πC.84πD.84,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.∵正三棱柱A1B1C1-ABC 的所有棱长都是6,AM=2√62-32=2√3,OM=3,球半径R=OA=√(2√3)2+32=√21,该棱柱外接球的表面积为S=4π×(√21)2=84π.8.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是.r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×43πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.9.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为.(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=π3(32+√32×42+42)×7=259π3.10.已知一个圆柱的轴截面为正方形,其侧面积为S 1,与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为S 2,则S2S 1的值为 .r ,则高为2r ,则圆锥母线长为2+4r 2=√5r ,所以S 1=2πr×2r=4πr 2,S 2=π×r×√5r=√5πr 2,所以S 2S 1=√54.11.圆柱的体积为34π,底面半径为√32,若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的体积为 .h ,∵圆柱体积为34π,底面半径为√32,∴π×(√32)2×h=34π,解得h=1,设球半径为R ,则(2R )2=(√3)2+12,即4R 2=4,解得R=1,∴球的体积为43πR 3=43π.12.一个球内切于底面半径为√3,高为3的圆锥内,则内切球半径是 ;内切球与该圆锥的体积之比为 .49r ,则对圆锥轴截面运用等面积法可得12×2√3×3=12(2√3+2√3×2)r ,∴r=1,内切球与该圆锥的体积之比为43π×1313π×3×3=49.13.如图,一个几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成,且圆柱的高与底面半径相等.若圆柱与圆锥的侧面积相等,则圆锥与圆柱的高之比为 . √3R ,则圆柱的高h 1=R ,圆锥的母线长为l ,因为圆柱与圆锥的侧面积相等,所以2πR×R=πR×l ,解得l=2R ,得圆锥的高为h 2=√3R ,所以圆锥与圆柱的高之比为√3R=√3. 14.(2019天津高考)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 .√2,可得OC=1.设M 为VC 的中点,O 1M=12OC=12, O 1O=12VO ,VO=√VC 2-OC 2=2,∴O 1O=1. V 柱=π·O 1M 2·O 1O=π×122×1=π4.15.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.S=4πr 2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr 3+πr 2l=43π×13+π×12×3=13π3. 16.如图所示,在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.r ,高为h'.易知圆锥的高h=√42-22=2√3.又h'=√3,∴h'=12h ,∴r2=ℎ-ℎ'ℎ=12,∴r=1.故圆柱的体积V=πr 2h'=√3π,S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh'=2π+2π×√3=(2+2√3)π.能力提升1.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)( ) A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.即G 是OF 的中点,∴GE 为梯形OCBF 的中位线,∴GE=14+62=10(寸). 即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为13π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),∴平均降雨量是588π196π=3(寸),即平均降雨量是3寸.2.如图所示,半径为R 的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB 所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的表面积为 ,体积为 .R 2 5πR 3,过C 作CO 1⊥AB 于O 1,在半圆中可得∠BCA=90°,又∠BAC=30°,AB=2R ,∴AC=√3R ,BC=R ,CO 1=√32R ,∴S 圆锥AO 1侧=π×√32R×√3R=32πR 2,S 圆锥BO 1侧=π×√32R×R=√32πR 2, ∴S 几何体表=S 球+S 圆锥AO 1侧+S 圆锥BO 1侧=11+√32πR 2, ∴旋转所得到的几何体的表面积为11+√3πR 2.又V 球=43πR 3,∴V 几何体=V 球-(V 圆锥AO 1+V 圆锥BO 1)=43πR 3-13×AB×π×C O 12=43πR 3-2πR 3×(√32R)2=56πR 3.3.在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是边长为3√2的正方形,且各侧棱长均为2√3.求该四棱锥外接球的表面积.ABCD 的中心O 1,连接SO 1并延长交球面于点E.连接CO 1,CE ,如图.则球心O 在SE 上,即SE 为球的直径,且SC ⊥EC.∵AB=3√2,∴O 1C=3.在Rt △SO 1C 中,SC=2√3,∴SO 1=√3.在Rt △SCE 中,Rt △SCE ∽Rt △SO 1C ,∴SC 2=SO1·SE ,∴SE=SC 2SO 1=√3)2√3=4√3.∴球半径R=2√3.∴球的表面积为S=4πR 2=4π·(2√3)2=48π.。
高中数学新教材《8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》公开课优秀课件(好用)
第二册
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面 积和体积
情景导入
下图是哪些图形的组合体？ 它们的体积怎么计算？
知识要点： 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
圆柱 圆锥
圆台
图形
表面积和体积
S圆柱＝___2_π_r_(r_＋__l_)___ (r是底面半径，l是母线长) V圆柱＝__π_r2_h__(r是底面半径，h是高)
x
r2 r1
所以 S扇环 r2 l x r1 x
o′r1
A
2 r1 扇
环
l 2 r2
r2
B
r2l r2 x r1x
r2l r2 r1 x
r2l r1l （r1 r2 )l.
注意转化！
S圆台侧＝S扇环
r1
扇环 ＝（r1 r2 )l
l
r2
思考3：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比
作业：第120页第4题
谢 谢指导！
(2)球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
(3)两球表面积之比为1︰2，则其体积之比是 1 : 2 2 . (4)两球体积之比是1︰2，则其表面积之比是 1 : 3 4 .
注意:影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是 球的半径.
柱体、锥体、台体的体积
公式
关键量
柱体
V柱体=__S_h_
8.8m2.
1 2.3 2 1 8.8(m2).
4
答：锅炉的表面积约为
例2 圆台的上下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面 展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多
少？（结果中保留 ）
解 如图，设上底面周长为c,因为扇环
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第八章-8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3 简单几何体的表面积与体积
学习目标
1.了解球、柱、锥、台体的表面积的计算公式. 2.了解球、柱、锥、台体的体积的计算公式.
重点：了解柱体、锥体、台体和球的表面积和体积公式. 难点：台体的表面积和体积计算公式.
知识梳理
一、 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台 的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
S圆柱＝2πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长）， S圆锥＝πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长）， S 圆台＝π（r′2+r2+r′l+rl）（r′，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长）.
拓展： 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系 由于圆柱可看成上、下两底面全等的圆台，圆锥可看成上底面半径为零的圆台， 因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统 一在圆台的表面积公式之下，如图所示.
2.球的体积
V球＝
4 3
πR3.R为球的半径.
【知识拓展】多面体的内切球与外接球问题 1.多面体的内切球（球在多面体内）
①若一个球与一个多面体的每一个面都相切，则称这个球是该多面体的内切球（并 不是每一个多面体都有内切球）.
②求解多面体的内切球问题一般采用“切割法”：对于多面体的内切球，设其球心为 O，连接多面体各顶点与球心，将多面体分割为若干个棱锥. 设多面体的体积为 V，多面体的表面积为 S，内切球的半径为 r，即球心 O 到各个面
圆台的表面积为
.
（13+5 5 ）π 解析：作出轴截面如图所示.
设GF＝h，则EG＝6-h，∴ 6 h ＝ 2 ，∴ h＝2，即DH＝2.
新人教A版必修二 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件(25张)
(2)由三视图知，几何体是个半球，其半径R＝1. 故S表＝π×12＋12×4π×12＝3π. 答案：(1)C (2)3π
归纳升华 1．由三视图计算球与球或其他几何体的组合体的 表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体 的结构特征和三视图中数据的含义，根据组合体的结构 特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的 三种视图都是直径相同的圆． 2．计算球与其他几何体的组合体的表面积与体积 时要恰当地分割与连接，避免重叠和交叉．
何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得
球的直径为2，即半径为1，该球的体积是43×π×13＝43π. 答案：A
4．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3， 2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ________．
解析：因为长方体的顶点都在球O的球面上， 所以长方体的体对角线的长度就是球O的直径． 设球的半径为R， 则2R＝ 32＋22＋12＝ 14. 所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π× 2142＝14π. 答案：14π
(2)正方体内接于球，则正方体的体对角线是球的直径． 设球的半径是r，则正方体的体对角线长是2r.
依题意，2r＝ 3× a62，即r2＝18a2.
所以S球＝4πr2＝4π·18a2＝π2a2.
答案：(1)43π
πa2 (2) 2
[迁移探究1] (变换条件)若将典例3(2)的条件“正方 体的表面积是a2，它的顶点都在同一个球面上”变为 “圆柱内接于球，圆柱的底面半径r＝3，高h＝8”，求 球的表面积．
则由题意得13πr2·h＝43πR3， r＝2R.
所以13π(2R)2·h＝43πR3，所以R＝h，r＝2h，
所以l＝ r2＋h2＝ 5h，
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
2．对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同． (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验 得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3 倍． (3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
圆 柱 、 圆 锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新教 材】人 教A版 高中数 学必修 第二册 优秀课 件
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(2)球的表面积(体积)计算中蕴涵的数学思想 ①函数方程思想：根据球的表面积与体积公式可知，球的 半径 R，球的表面积 S，球的体积 V 三个量“知一求二”． ②转化思想：空间问题平面化． (3)球体的截面的特点 ①球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的 任何截面均为圆，它的三视图也都是圆． ②利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
答案：6π
5．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是 ________．
解析：由已知圆锥的高 h＝4，所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π
[系统归纳]
1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式. 但 圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是 最重要的． (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转 体的母线长和底面圆的半径长． (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那 就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问 题． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S圆柱侧＝2πrl r′―＝―r―S圆台侧＝π(r＋r′)l ―r―′―＝―0 S圆锥侧＝πrl.
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第八章-8.3 简单几何体的表面积与体积
第八章ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ立体几何初步ꢀ8.3ꢀ简单几何体的表面积与体积标1.了解球、柱、锥、台体的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台体的体积的计算公式.重点：了解柱体、锥体、台体和球的表面积和体积公式.难点：台体的表面积和体积计算公式.知识梳理一、ꢀꢀ棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.【特别提醒】ꢀ棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.2.棱柱、棱锥、棱台的体积【拓展】ꢀ棱柱、棱锥、棱台的体积公式它们之间的关系因此，棱柱可以看作上、下底面相同的棱台，棱锥可以看作有一个底面是一个点的棱台.因此，棱柱、棱锥可以看作“特殊”的棱台，棱柱、棱锥的体积公式可以看作棱台体积公式的“特殊”形式.二.ꢀꢀ圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积2.ꢀ圆柱、圆锥、圆台的体积三.柱体、锥体、台体的体积公式柱、锥、台的体积公式之间的关系：当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.四.ꢀꢀ球的表面积和体积2.球的体积【知识拓展】多面体的内切球与外接球问题1.多面体的内切球（球在多面体内）一.ꢀ棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算【方法技巧】棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.u多面体的体积的计算方法计算多面体的体积要把握多面体的结构特征，找准高线.二.ꢀ圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算【方法技巧】圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好空间几何体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：（1）得到空间几何体的平面展开图.（2）依次求出各个平面图形的面积.（3）将各平面图形的面积相加.【名师点拨】求台体的表面积时，关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图，将空间问题平面化，也是解决问题的重要方法.例ꢀ2ꢀꢀꢀ若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为ꢀꢀꢀꢀ.训练题1.已知圆台的上底面半径是2，下底面半径是3，截得此圆台的圆锥的高为6，则此圆台的表面积为ꢀꢀꢀꢀ.【方法技巧】旋转体的体积的计算方法计算旋转体的体积要注意旋转体的旋转轴，找准高线.三.ꢀ球的体积与表面积的计算例1ꢀꢀ已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ꢀꢀ）A.36πꢀB.64πꢀC.144πꢀꢀD.256π2.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（）A.1.5倍B.2倍C.3倍D.4倍u求球的体积与表面积的关键因为球的表面积与体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.四.组合体的表面积和体积的计算u组合体的表面积和体积的计算方法求组合体的表面积与体积的关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积与体积公式计算得出.【特别提醒】组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的直接求和，原因是其接合部分并不裸露在表面.五.与球相关的“切”“接”问题C解析：由题意画出图形，如图，设球心为O，则OA为一条半径，B为OA的中点，过点B的平面与OA所成角为30°，截面的圆心为O1，截面与球的一个交点为C，则OO⊥截面，则OO⊥BO，OO⊥CO，∠OBO＝30°.111111u解决与球相关的“切”“接”问题的关键解决此类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，从而把空间问题平面化.。