线性微分方程及差分方程
1微分方程与差分方程稳定性理论
如果 tlim x(t ) x0 , 则称平衡点P0是稳定的.
t
lim y(t ) y0 ,
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设 f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) g ( P0 ) x y p , q g ( P0 ) g ( P0 ) y x x y
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统 若微分方程组
dxi fi ( x1 , x2 , , xn ), i 1, 2,, n dt
2 2
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 对微分方程进行定性分析 法
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方
程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
来代替.
dx f ( x0 )( x x0 ) dt
差分方程
练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8.7微分方程、差分方程在经济学中的简单应用
少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月
利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金. 分析 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年
每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在
20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元， 10内用完所有资金. 解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月 投资账户资金为In元， 每月存入资金 a 元. 同时 也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是， 20 年后，关于Sn的差分方程模型为
现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究
上述振荡现象.
s 设第 n 个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为 Q n , 价格为
Pn ,
产量与价格的关系为
Pn f ( Q n ),
s
d
本时期的价格又
决定下一时期的产量， 因此
Q n 1 g ( Pn ).
这种产销关系可用下述过程来描述：
Q1 P1 Q 2 P2 Q 3 P3
.
S n 1 1.005 S n 1000,
（9）
并且 S 120 0 , S 0 x . 解方程(9)，得通解
S n 1.005 C
n
1000 1 1.005
120
1.005 C 200000,
n
以及
S 120 1.005
C 200000 0,
x
所以原方程满足初始条件的特解为
a yt 2 r 12 x r 12 (1
r 12
) x
t
1
a 2
r 12
微分方程与差分方程简介
方程通解为： 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程，其标准形式是
， 其中 a,b,c 是常数，式中的 f(x)称为右端项。
定理 2 设 是线性非齐次方程的一个特解，而 是相应的线性齐次方
程的通解，则其和
为线性非齐次方程的通解。
定理 3 设 y1 是非齐次方程 方程
的一个特解， y2 是非齐次
（4）由于λ=1+3i 不是特征方程的根，n=1，故应设特解为 。
本章重点 微分方程的概念，一阶可分离变量微分方程的解法，一阶线性微分方程的解
法，二阶常系数线性微分方程的解法。
内容提示与分析 §8.1 微分方程的一般概念
1． 微分方程：含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程：微分方程中的未知函数是一元函数的，叫常微分方程，其
一般形式为
。 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程。 2． 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫 做微分方程的阶。 3．微分方程的解：如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程，能使 方程成为恒等式，这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4． n 阶微分方程的通解：含有 n 个独立的任意常数的解，叫 n 阶微分方 程的通解。 5．微分方程的特解：不含有任意常数的解，叫微分方程的特解。
。
注意 为了运算方便，可将两端积分后方程式中的 ln|y+1|写成 ln(y+1)，
只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数
写为 lnC，最终 C 是任意常数。
例 5．求微分方程
的通解。
解：原方程可改写成
它是一个齐次方程。
差分方程
当 为常数时, yx = x和它的各阶差商有倍数关系,
所以可设 yx = x为方程(11)的解. 代如方程(11)得 x+2 + ax+1 + bx = 0,
2 + a + b = 0,
方程(12)称为齐次差分方程(11)的特征方程.
(12)
由特征方程的根的情况可得齐次方程的通解：
第八节 差分方程
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
一、差分 微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储
蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这
种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例10 求差分方程 yx+2 + yx+1 2yx = 12x的通解.
解 对应的齐次方程的特征方程为
2 + 2 = 0.
方程的根为
1 = 2, 2 = 1,
y* C1 C2 (2) x . x
齐次方程的通解为
因为 a = 1, b = 2, 1+a+b = 0, 但 a+2 = 3 0,所以, 设
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方
程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解. 解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2, 所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
微分-差分-模型
x(0) x(t)
x0 x(t)
将上式代入(1.5)，得
❖
t
T ln 2
ln
x(0) x(t)
(1.8)
这么由(1.8)可知，只要懂得生物体在死亡时体
内14C旳蜕变速度 x(0) 和目前时刻t旳蜕变速
度x(t) ,就能够求得生物体旳死亡时间了，在实
际计算上，都假定当代生物体中14C旳蜕变
速度与生物体死亡时代生物体中14C旳蜕变
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (3-6)
若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k 则称xn = x (n)是差分方程(3-6)旳解, 包括个任意常 数旳解称为(3-6)旳通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称 为(3-6)旳初始条件,通解中旳任意常数都由初始条 件拟定后旳解称为(3-6)旳特解. 若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 旳差分方程旳解能够在计算机上实现.
性差分方程旳通解为
xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根
时,二阶常系数线性差分方程旳通解为
xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程旳任一特征根 |i |＜1
时, 平衡点x*是稳定旳.
M
2
D
d
x
x
y
y
微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
高等数学中的差分方程相关知识点详解
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
差分方程求解课件
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结
构 定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次 差分方程(4)的y通x 是解(,3)的一个特解, yx y*x yx 是方
程(3)的通解. 则
下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 += 36x + 16),
3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6=) 6,
4(x3) = (6) 6 =
0.
二、差分方程的概念
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx,
即
3yx = (2yx),
(3yx) .
4yx =
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3).
解 + 1,
(x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x
称为齐次差分(方4)程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分 方程.
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的
设解 y0 已知, 代入方程可知
y1 =
ay0,
y2 =
a2y0,
yx =
令y0ax=y0C,, 则得齐次差分方程的通解为
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u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
两边积分得： xm ( xm x ) x dx
xm
adt
即 ： x ln( x m x ) at C 1 ln
整 理 得 ： x (t ) 1 xm e
at
2
yd y 1 y
2
C
得通解 1 x
2
1 y
C
以 y (1) 1代 入 通 解 得 ： C
因此满足定解条件的特解为： 1 x
2
2
1 y
2
2
9
例 3 ： 求 微 分 方 程 ( xy x ) d x ( y x y ) d y 0
2 2
的通解
解 ： 分 离 变 量 得 （ y 1) d x （1 x ) d y 0 x y
19
( 3)当 c1， c 2 不 全 为 0, 且 = a2 a1 b2 b1
a1 a2
b1Байду номын сангаасb2
0时 ， 此 时 ， 若 令
k ( 常 数 )， z a 1 x b1 y , 则 可 将 ( 9 - 1 9 ) 化 为
可分离变量的微分方程 dz dx a 1 b1 f ( z c1 kz c 2 )
2 x 2
dy dx
e
x
1 y
2
0时 ， 分 离 变 量 得
e dx
dy 1 y
2
两边同时积分得
e dx
x
因此通解为： arcsin y e d x C 为 任 意 常 数 ) (C
x
7
当 1 y
2
0时 ， 有 y 1， 显 然 y 1和 y 1
dx
1 x
sin xdx
C
1 x
cos
x C .
31
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被 曲 y f ( x ) 线 y x ( x 0) 与 f ( x) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .
3
解
x
f ( x ) dx
解：因为
a1 a2
b1 b2
1 1
1 1
2 0
x0 2 y x 1 0 线性方程组 的解为 的解 y x5 0 y0 3 x 2 d 因此令 代入原方程得： d y 3
23
解此齐次微分方程得通解为： ln ( ) 2 arctan
2 2
xd x yd y 2 0 2 1 x 1 y
两边积分 ln xd x 1 x
2 2 2
yd y 1 y
2
C1
1 y 1 x
2C1
10
1 y 于是得到通解为 C 2 1 x
2
其 中 C e
2 C1
为人员常数
例 4 ： 求 解 L o g istic 人 口 模 型 x dx a (1 )x xm d t x (t ) x 0 0
dy y P ( x ) dx ,
dy dx
P ( x) y 0.
dy y
P ( x ) dx ,
ln y P ( x ) dx ln C ,
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x ) dx
.
27
2. 线性非齐次方程 常数变易法
dy dx
P ( x ) y Q ( x ).
P (x) y Q (x)
上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的.
2
当 Q ( x ) 0,
例如
dy dx
y x ,
dx dt
x sin t t ,
2
线性的; 非线性的.
26
y y 2 xy 3 ,
y cos y 1,
一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法)
的微分方程可利用适当的变量代换将其化为齐次 方程或可分离变量微分方程，分三种情况讨论。
(1) 若 c1 c 2 0, 则 (9 19) 本 身 就 是 一 阶 齐 次 微 分 方 程 。
18
( 2 )当 c1， c 2 不 全 为 0, 且 =
a1 a2
b1 b2
0时 ， 令 x x 0，
代 入 （ 9-17） 式 得 u x du dx f (u )
du f (u ) u 即： dx x
此 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 ， 可 求 u 关 于 x的 通 解 将u y x
15
代回得到原方程的通解
dy y y 2 例 5： 求 解 微 分 方 程 1 ( ) dx x x y 解 ： 令 u ,则 原 方 程 化 为 ： x
21
2 5 两 边 积 分 得 ： z ln 3 z 1 x C 3 9
将 z x y代 入 上 式 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 2 3 y 1 3 x 5 9 ln 3 x 3 y 1 C
其 中 C为 任 意 常 数
22
dy y x 1 例 8： 求 微 分 方 程 的通解 dx y x5
1 .形 如 dy x f ( ) 1 ) (9 ７ dx y
的一阶微分方程称为一阶齐次微分方程
齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量 代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：
令 u y x dy du u x dx dx
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, 则 y ux
C
12
其中C e 为任意常数
C1
将 初 值 条 件 x (t0 ) x0 代 入 上 式 得 ： C ( 所以特解为： x (t ) 1 ( xm xm x0
13
1 xm x0 1) e
a t0
1) e
a ( t t0 )
二、齐次微分方程
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dy x y2 例 7： 求 微 分 方 程 的通解 dx 2x 2 y 1
解：因为
a1 a2
b1 b2
1 2
1 2
0
令 z x y, 将 原 方 程 化 为 dz x2 1 dx 2z 1
2z 1 分离变量得： dz x 3z 1
其 中 C为 任 意 常 数 ， (9-14)就 是 (9-13)的 通 解 表达式
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2 .形 如 dy dx 或 M ( x ) N ( y ) d x P ( x )Q ( y ) d y 0 ( 9 - 1 6 ) 的微分方程称可分离变量的微分方程
对 于 (9 1 5) 式 ， 当 g ( y ) 0 时 ， 可 转 化 为 dy f ( x )dx g ( y) 1
f ( x ) g ( y ) 1 5) (9
对 于 (9 1 6 ) 式 ， 当 P ( x ) 0 时 ， 可 转 化 为 M (x) Q ( y) dx dy 0 P (x) P( y)
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例 1： 解 微 分 方 程
解 :当 1 y dy 1 y
a 1 x b1 y c1 0 y y 0 (其 中 x0 , y 0是 线 性 方 程 组 的解) a 2 x b2 y c 2 0 则 可 将 (9-19)化 为 关 于 和 的 齐 次 微 分 方 程 d d f( a 1 b1 a 2 b 2 )
P ( x ) dx
dx
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
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例1 解
求方程
1 x
1
y
1 x
y
sin x x
sin x x
的通解 .
P (x)
,
Q (x)