线性微分方程及差分方程
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其 中 C为 任 意 常 数 ， (9-14)就 是 (9-13)的 通 解 表达式
5
2 .形 如 dy dx 或 M ( x ) N ( y ) d x P ( x )Q ( y ) d y 0 ( 9 - 1 6 ) 的微分方程称可分离变量的微分方程
对 于 (9 1 5) 式 ， 当 g ( y ) 0 时 ， 可 转 化 为 dy f ( x )dx g ( y) 1
19
( 3)当 c1， c 2 不 全 为 0, 且 = a2 a1 b2 b1
a1 a2
b1 b2
0时 ， 此 时 ， 若 令
k ( 常 数 )， z a 1 x b1 y , 则 可 将 ( 9 - 1 9 ) 化 为
可分离变量的微分方程 dz dx a 1 b1 f ( z c1 kz c 2 )
积分得
u (x)
Q ( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
29
一阶线性非齐次微分方程的通解为
y e
P ( x ) dx
[ Q ( x )e
P ( x ) dx
dx C ]
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
Q ( x )e
dx
1 x
sin xdx
C
1 x
cos
x C .
31
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被 曲 y f ( x ) 线 y x ( x 0) 与 f ( x) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .
3
解
x
f ( x ) dx
a 1 x b1 y c1 0 y y 0 (其 中 x0 , y 0是 线 性 方 程 组 的解) a 2 x b2 y c 2 0 则 可 将 (9-19)化 为 关 于 和 的 齐 次 微 分 方 程 d d f( a 1 b1 a 2 b 2 )
的微分方程可利用适当的变量代换将其化为齐次 方程或可分离变量微分方程，分三种情况讨论。
(1) 若 c1 c 2 0, 则 (9 19) 本 身 就 是 一 阶 齐 次 微 分 方 程 。
18
( 2 )当 c1， c 2 不 全 为 0, 且 =
a1 a2
b1 b2
0时 ， 令 x x 0，
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
20
dy x y2 例 7： 求 微 分 方 程 的通解 dx 2x 2 y 1
解：因为
a1 a2
b1 b2
1 2
1 2
0
令 z x y, 将 原 方 程 化 为 dz x2 1 dx 2z 1
2z 1 分离变量得： dz x 3z 1
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 作变换
y u ( x )e
P ( x ) dx
y u( x)e
P ( x ) dx
u ( x)[ P( x)]e
P ( x ) dx
,
28
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x ) e
P ( x ) dx
Q ( x ),
2
yd y 1 y
2
C
得通解 1 x
2
1 y
C
以 y (1) 1代 入 通 解 得 ： C
因此满足定解条件的特解为： 1 x
2
2
1 y
2
2
9
例 3 ： 求 微 分 方 程 ( xy x ) d x ( y x y ) d y 0
2 2
的通解
解 ： 分 离 变 量 得 （ y 1) d x （1 x ) d y 0 x y
P ( x ) dx
dx
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
30
例1 解
求方程
1 x
1
y
1 x
y
sin x x
sin x x
的通解 .
P (x)
,
Q (x)
,
sin x 1 dx x y e e x dx C x sin x ln x ln x e e dx C x
21
2 5 两 边 积 分 得 ： z ln 3 z 1 x C 3 9
将 z x y代 入 上 式 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 2 3 y 1 3 x 5 9 ln 3 x 3 y 1 C
其 中 C为 任 意 常 数
22
dy y x 1 例 8： 求 微 分 方 程 的通解 dx y x5
u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
Байду номын сангаас
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
dy y P ( x ) dx ,
dy dx
P ( x) y 0.
dy y
P ( x ) dx ,
ln y P ( x ) dx ln C ,
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x ) dx
.
27
2. 线性非齐次方程 常数变易法
dy dx
P ( x ) y Q ( x ).
第九章 微分方程与差分方程简介
§9.1 微分方程的基本概念
§9.2 一阶微分方程 §9.3 高阶常系数线性微分方程 §9.4 差分方程的基本概念 §9.5 常系数线性差分方程 §9.6 高阶常系数线性差分方程
1
§9.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义
定义1
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程 未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的 微分方程，称为偏微分方程
是该微分方程的两个奇解
2 dy x 1 y 2 例 2： 求 定 解 问 题 d x y 1 x y (1) 1
解：此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得 xd x 1 x
2
yd y 1 y
2
0
8
两边同时积分
xd x 1 x
2
解：因为
a1 a2
b1 b2
1 1
1 1
2 0
x0 2 y x 1 0 线性方程组 的解为 的解 y x5 0 y0 3 x 2 d 因此令 代入原方程得： d y 3
23
解此齐次微分方程得通解为： ln ( ) 2 arctan
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
两边积分得： xm ( xm x ) x dx
xm
adt
即 ： x ln( x m x ) at C 1 ln
整 理 得 ： x (t ) 1 xm e
at
代入上式的原方程通解为：
ln x C 为 任 意 常 数 ) (C
显 然 u 1 为 ( 9 - 1 8 ) 的 解 ， 即 y x和 y x均 为 原方程的奇解
17
2 .形 如 dy dx f( a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2 ) 19) (9
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
2 2
C
再 将 x 2, y 3 代 入 上 式 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 ln [( x 2 ) ( y 3) ] 2 arctan
2 2
y3 x2
C
(C 为 任 意 常 数 )
24
一阶线性微分方程
（Linear differential equation of first order)
C
12
其中C e 为任意常数
C1
将 初 值 条 件 x (t0 ) x0 代 入 上 式 得 ： C ( 所以特解为： x (t ) 1 ( xm xm x0
13
1 xm x0 1) e
a t0
1) e
a ( t t0 )
二、齐次微分方程
代 入 （ 9-17） 式 得 u x du dx f (u )
du f (u ) u 即： dx x
此 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 ， 可 求 u 关 于 x的 通 解 将u y x
15
代回得到原方程的通解
dy y y 2 例 5： 求 解 微 分 方 程 1 ( ) dx x x y 解 ： 令 u ,则 原 方 程 化 为 ： x
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
2 2
xd x yd y 2 0 2 1 x 1 y
两边积分 ln xd x 1 x
2 2 2
yd y 1 y
2
C1
1 y 1 x
2C1
10
1 y 于是得到通解为 C 2 1 x
2
其 中 C e
2 C1
为人员常数
例 4 ： 求 解 L o g istic 人 口 模 型 x dx a (1 )x xm d t x (t ) x 0 0
f ( x ) g ( y ) 1 5) (9
对 于 (9 1 6 ) 式 ， 当 P ( x ) 0 时 ， 可 转 化 为 M (x) Q ( y) dx dy 0 P (x) P( y)
6
例 1： 解 微 分 方 程
解 :当 1 y dy 1 y
1 .形 如 dy x f ( ) 1 ) (9 ７ dx y
的一阶微分方程称为一阶齐次微分方程
齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量 代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：
令 u y x dy du u x dx dx
14
, 则 y ux
2 x 2
dy dx
e
x
1 y
2
0时 ， 分 离 变 量 得
e dx
dy 1 y
2
两边同时积分得
e dx
x
因此通解为： arcsin y e d x C 为 任 意 常 数 ) (C
x
7
当 1 y
2
0时 ， 有 y 1， 显 然 y 1和 y 1
P (x) y Q (x)
上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的.
2
当 Q ( x ) 0,
例如
dy dx
y x ,
dx dt
x sin t t ,
2
线性的; 非线性的.
26
y y 2 xy 3 ,
y cos y 1,
一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法)
5
2 .形 如 dy dx 或 M ( x ) N ( y ) d x P ( x )Q ( y ) d y 0 ( 9 - 1 6 ) 的微分方程称可分离变量的微分方程
对 于 (9 1 5) 式 ， 当 g ( y ) 0 时 ， 可 转 化 为 dy f ( x )dx g ( y) 1
19
( 3)当 c1， c 2 不 全 为 0, 且 = a2 a1 b2 b1
a1 a2
b1 b2
0时 ， 此 时 ， 若 令
k ( 常 数 )， z a 1 x b1 y , 则 可 将 ( 9 - 1 9 ) 化 为
可分离变量的微分方程 dz dx a 1 b1 f ( z c1 kz c 2 )
积分得
u (x)
Q ( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
29
一阶线性非齐次微分方程的通解为
y e
P ( x ) dx
[ Q ( x )e
P ( x ) dx
dx C ]
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
Q ( x )e
dx
1 x
sin xdx
C
1 x
cos
x C .
31
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被 曲 y f ( x ) 线 y x ( x 0) 与 f ( x) 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .
3
解
x
f ( x ) dx
a 1 x b1 y c1 0 y y 0 (其 中 x0 , y 0是 线 性 方 程 组 的解) a 2 x b2 y c 2 0 则 可 将 (9-19)化 为 关 于 和 的 齐 次 微 分 方 程 d d f( a 1 b1 a 2 b 2 )
的微分方程可利用适当的变量代换将其化为齐次 方程或可分离变量微分方程，分三种情况讨论。
(1) 若 c1 c 2 0, 则 (9 19) 本 身 就 是 一 阶 齐 次 微 分 方 程 。
18
( 2 )当 c1， c 2 不 全 为 0, 且 =
a1 a2
b1 b2
0时 ， 令 x x 0，
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
20
dy x y2 例 7： 求 微 分 方 程 的通解 dx 2x 2 y 1
解：因为
a1 a2
b1 b2
1 2
1 2
0
令 z x y, 将 原 方 程 化 为 dz x2 1 dx 2z 1
2z 1 分离变量得： dz x 3z 1
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 作变换
y u ( x )e
P ( x ) dx
y u( x)e
P ( x ) dx
u ( x)[ P( x)]e
P ( x ) dx
,
28
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x ) e
P ( x ) dx
Q ( x ),
2
yd y 1 y
2
C
得通解 1 x
2
1 y
C
以 y (1) 1代 入 通 解 得 ： C
因此满足定解条件的特解为： 1 x
2
2
1 y
2
2
9
例 3 ： 求 微 分 方 程 ( xy x ) d x ( y x y ) d y 0
2 2
的通解
解 ： 分 离 变 量 得 （ y 1) d x （1 x ) d y 0 x y
P ( x ) dx
dx
对应齐次方程通解
非齐次方程特解
30
例1 解
求方程
1 x
1
y
1 x
y
sin x x
sin x x
的通解 .
P (x)
,
Q (x)
,
sin x 1 dx x y e e x dx C x sin x ln x ln x e e dx C x
21
2 5 两 边 积 分 得 ： z ln 3 z 1 x C 3 9
将 z x y代 入 上 式 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 2 3 y 1 3 x 5 9 ln 3 x 3 y 1 C
其 中 C为 任 意 常 数
22
dy y x 1 例 8： 求 微 分 方 程 的通解 dx y x5
u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
Байду номын сангаас
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
dy y P ( x ) dx ,
dy dx
P ( x) y 0.
dy y
P ( x ) dx ,
ln y P ( x ) dx ln C ,
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x ) dx
.
27
2. 线性非齐次方程 常数变易法
dy dx
P ( x ) y Q ( x ).
第九章 微分方程与差分方程简介
§9.1 微分方程的基本概念
§9.2 一阶微分方程 §9.3 高阶常系数线性微分方程 §9.4 差分方程的基本概念 §9.5 常系数线性差分方程 §9.6 高阶常系数线性差分方程
1
§9.1 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义
定义1
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程 未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程 未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的 微分方程，称为偏微分方程
是该微分方程的两个奇解
2 dy x 1 y 2 例 2： 求 定 解 问 题 d x y 1 x y (1) 1
解：此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得 xd x 1 x
2
yd y 1 y
2
0
8
两边同时积分
xd x 1 x
2
解：因为
a1 a2
b1 b2
1 1
1 1
2 0
x0 2 y x 1 0 线性方程组 的解为 的解 y x5 0 y0 3 x 2 d 因此令 代入原方程得： d y 3
23
解此齐次微分方程得通解为： ln ( ) 2 arctan
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
两边积分得： xm ( xm x ) x dx
xm
adt
即 ： x ln( x m x ) at C 1 ln
整 理 得 ： x (t ) 1 xm e
at
代入上式的原方程通解为：
ln x C 为 任 意 常 数 ) (C
显 然 u 1 为 ( 9 - 1 8 ) 的 解 ， 即 y x和 y x均 为 原方程的奇解
17
2 .形 如 dy dx f( a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c 2 ) 19) (9
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
2 2
C
再 将 x 2, y 3 代 入 上 式 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 ln [( x 2 ) ( y 3) ] 2 arctan
2 2
y3 x2
C
(C 为 任 意 常 数 )
24
一阶线性微分方程
（Linear differential equation of first order)
C
12
其中C e 为任意常数
C1
将 初 值 条 件 x (t0 ) x0 代 入 上 式 得 ： C ( 所以特解为： x (t ) 1 ( xm xm x0
13
1 xm x0 1) e
a t0
1) e
a ( t t0 )
二、齐次微分方程
代 入 （ 9-17） 式 得 u x du dx f (u )
du f (u ) u 即： dx x
此 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 ， 可 求 u 关 于 x的 通 解 将u y x
15
代回得到原方程的通解
dy y y 2 例 5： 求 解 微 分 方 程 1 ( ) dx x x y 解 ： 令 u ,则 原 方 程 化 为 ： x
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
2 2
xd x yd y 2 0 2 1 x 1 y
两边积分 ln xd x 1 x
2 2 2
yd y 1 y
2
C1
1 y 1 x
2C1
10
1 y 于是得到通解为 C 2 1 x
2
其 中 C e
2 C1
为人员常数
例 4 ： 求 解 L o g istic 人 口 模 型 x dx a (1 )x xm d t x (t ) x 0 0
f ( x ) g ( y ) 1 5) (9
对 于 (9 1 6 ) 式 ， 当 P ( x ) 0 时 ， 可 转 化 为 M (x) Q ( y) dx dy 0 P (x) P( y)
6
例 1： 解 微 分 方 程
解 :当 1 y dy 1 y
1 .形 如 dy x f ( ) 1 ) (9 ７ dx y
的一阶微分方程称为一阶齐次微分方程
齐次微分方程不是可分离变量的微分方程，但通过变量 代换可将其化为可分离变量的微分方程，方法如下：
令 u y x dy du u x dx dx
14
, 则 y ux
2 x 2
dy dx
e
x
1 y
2
0时 ， 分 离 变 量 得
e dx
dy 1 y
2
两边同时积分得
e dx
x
因此通解为： arcsin y e d x C 为 任 意 常 数 ) (C
x
7
当 1 y
2
0时 ， 有 y 1， 显 然 y 1和 y 1
P (x) y Q (x)
上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的.
2
当 Q ( x ) 0,
例如
dy dx
y x ,
dx dt
x sin t t ,
2
线性的; 非线性的.
26
y y 2 xy 3 ,
y cos y 1,
一阶线性微分方程的解法 1. 线性齐次方程 (使用分离变量法)