根式 指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算12994
如: 3 83 8, 3 (2)3 2, 4 84 8, 而6 (2)6 2, 应有： 6 (2)6 2 2.
2) 当n为奇数时, n an a;
当为偶数时, n
an
| a |
a a
(a 0); (a 0).
三、能力训练 1.求下列各式的值:
4.下列各式中,正确的是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3 π
C.(3 2)3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
课堂练习：作业本 P23-24中第6，8，10，11题
四、小结
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根,
其中n 1且n N.
当生物死亡了1年，2年，10年， ，10000年后，该
生物体内碳14的含量P的值分别是
P
(
1
)
1 5730
,
P
2
(
1
)
2 5730
,
2
P
(
1 2
)
10 5730
,
P
(
1
)
10000 5730
,
2
一、根 式
1.若x2 a,则x叫做a的 _____平__方____ 根.
例如：(2)2 4, 则 2叫做4的平方根.
2.若x3 a,则x叫做a的 ______立__方___ 根.
3.若(3)4 81,则 3叫81的 ___4_次___方___根. 4.若35 243,则3叫243的 ____5_次__方___根. 5.若xn a,则x叫做a的 ____n__次__方___ 根.
(n 1,且n N)
高中数学《指数与指数幂的运算》导学案
探究1：n次方根的概念
由初中所学知识及示例完成下面填空
示例：①(±2)2＝4，则称±2为4的；
②23=8，则称2为8的；
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的；25=32，则2叫做32的
xn=a，其中n＞1，且n∈N﹡
归纳总结：n次方根的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N﹡.
得x＜ .
3．化简 (a，b>0)的结果是()
A． B．abC． D．a2b
解析原式＝ ÷ ＝a(3＋ )× b(2＋ )× ÷ ＝a － ×b － ＝ .
4．2－ ＋ ＋ － ·8 ＝________.
解析原式＝ ＋ ＋ ＋1－22＝2 －3.
5．已知3a＝2,3b＝ ，则32a－b＝________.
解析由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
12．计算下列各式的值：
(1)(0.027) － ＋256 ＋(2 ) －3－1＋π0；
(2)7 －3 －6 ＋ ；
(3)(a ·b－ )－ · ÷ (a＞0，b＞0)．
当n为偶数时，
0的任何次方根都是0，记作 =0.
探究2：根式的概念
探究点2在方根的表示中，你知道式子叫什么吗？
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
探究3：根式的运算性质
=2
结论 =a
2、求下列各式的值
(1) =_____ =_________
结论:an开奇次方根,则有 =a
指数与指数函数 (1)
函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。
也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。
式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。
（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。
正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。
此时，负数没有n 次方根。
（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。
3、分数指数幂的意义： （1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则： （1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量， 的定义域是R 。
3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。
指数与指数函数图像及性质(学生版)
指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。
2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
指数(分数指数幂)
a = a a > 0, m, n ∈ N , 且n > 1
n m *Βιβλιοθήκη m n()
３、正数的负分数指数幂的意义是： 正数的负分数指数幂的意义是：
a
− m n
=
1 a
m n
(a > 0 , m , n ∈ N
*
,且 n > 1
)
４、０的正分数指数幂等于０，０的负分数指数幂 的正分数指数幂等于０ 没有意义,为什么 没有意义 为什么? 为什么
性质： 性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用） 数幂也同样适用）
( a > 0, r , s ∈ Q ) a a =a r s rs ( a > 0, r , s ∈ Q ) (a ) = a r r s (ab) = a a (a > 0, b > 0, r ∈ Q )
r s
r+s
温故而知新
1.根式的运算性质： 1.根式的运算性质： 根式的运算性质
1)( a ) =
n n
a
a, n为奇数 2) a = a ，n为偶数
n n
温故而知新
2．整数指数幂的概念 ．
n n个 n个a
a = a ⋅4⋅ a4 a(n ∈ N *) 1a 2L 3
零的零次幂没有意义
a = 1( a ≠ 0)
n
5
a a
10
= a = a (a > 0)
2
10 5
3
12
=a =a
4
2 3
12 3
(a > 0)
1 2 4 5 5 4
3
a = a (a > 0 ); b = b (b > 0 ); c = c (c > 0 );
2.1.1指数幂运算与无理数指数幂
3, 3
例6：已知x+x =3，求下列各式的值 (1)x x
2 1 2 2 1 2
1
2 x x 3 3 3 x x
3
补充：x y x y x
3
2
xy y
2
1 a b a b ________
4 4
2 2 2 ______
【题型4】分数指数幂或根式中x的定义域问 题根式运算 例5.求下列各式中x的范围
(1) 1 x ;
4
。
x≤1
(2).( x 1)
1 3 X≠1
(3)( x 1)
2 3
X∈R
(4).(1 2 x)
3 4 x 1
2
(5).(| x | 1)
1 3
思考2:观察上面两个图表，你能发现 5 2 的 大小可以通过怎样的途径来得到吗？ 结论:由一串逐渐增大的有理数指数幂的值
5
1.4
,5
1.41
,5
1.414
,5
1.4142
,
和另一串逐渐减小的有理数指数幂的值
5 ,5
1.5
1.42
,5
1.415
,5
1.4143
, 无限逼近得到
无理数指数幂
51.4
-6x+4=0的两根且a>b,
a b 求 的值. a b
1.分数指数概念
(1) a n a m ; m (2) a n 1 m an
m n
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理数指数幂运算性质
(完整版)指数函数与对数函数知识点总结
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．
当 是奇数时， ，当 是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
3．实数指数幂的运算性质
（1） · ；
（2） ；
（3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
（2） =__________
4、设 ，求 的值__________。
5、若 ，则 等于。
6、已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是。
7、设函数 ，若 ，则
8、函数 且 恒过定点。
9、已知函数 在 上的最大值比最小值多 ，求实数 的值。
幂函数（第15份）
1、下列函数中，是幂函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（3） =__________
（4） =__________
（5） =__________
（6） =__________
（7） =__________
（8） =__________
2、已知 ，试用 表示下列各对数。
（1） =__________（2） =__________
3、（1）求 的值__________；
f(1.5625)=0.003
f(1.5562)=-0.029
f(1.5500)=-0.060
据此数据，可得方程 的一个近似解（精确到0.01）为
（1） （2） （3）
5、函数 在区间[ ，2]上的最大值为，最小值为。
函数 在区间[ ，2]上的最大值为，最小值为。
有理指数幂及其运算
有理指数幂及其运算⑤负分数指数幂：n a-＝1a m n＝1n a m （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）。
⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝sr a+（a ＞0，r 、s ∈Q ）。
②（a r ）s ＝rsa （a ＞0，r 、s ∈Q ）。
③（ab ）r ＝rr b a （a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）。
【典例精析】例题1 计算：131.5-×0)67(-＋80.25×42＋（32×3）6；思路导航：先化为分数指数幂，再进行运算。
3124134162131312（答题时间：15分钟）2. 下列各等式中，正确的是（ ） A.44a ＝a B. 62)2(-＝32-C. a 0＝1D.105)12(-＝（2－1）213. 计算下列各式。
（1）432981⨯；（2）（253）0＋2－2·（241）21-－（0.01）0.5。
4. 计算：（1）（27125）32-； （2）0.00832-；（3）（240181）43-；1. A 解析：考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为－2×（a －b ）－52＝－2（a －b ）－52，故选A 。
2. D 解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则。
44a ＝|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；273323-2525（2）0.00832-＝（0.2 3）32-＝0.2－2＝（51）－2＝52＝25。
（3）（240181）3-＝（4473）－3＝3373--＝3337＝27343。
（4）当21-≠a 时，（2a ＋1）0＝1；当21-=a 时，无意义。
（5）［65－（53）－1］－1＝（65－35）－1＝（－65）－1＝－6。
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根式 指数与指数幂的运算根式的性质思考1:445533)2(,)2(,)2(-分别等于什么？一般地nn a )(等于什么？思考2:44445533)2(,2,2,)2(--分别等于什么？一般地nna 等于什么？思考3:对任意实数a ，b ，等式n n n ab b a =∙成立吗 ？例1 求下列各式的值88442343)1(,)3(,)10(,)8(,)2(,64------a π例2 化简下列各式 3322)1()1()1(,3625a a a -+-+-+-根式的性质思考1:445533)2(,)2(,)2(-分别等于什么？一般地nn a )(等于什么？思考2:44445533)2(,2,2,)2(--分别等于什么？一般地nna 等于什么？思考3:对任意实数a ，b ，等式n n n ab b a =∙成立吗 ？例1 求下列各式的值88442343)1(,)3(,)10(,)8(,)2(,64------a π例2 化简下列各式3322)1()1()1(,3625a a a -+-+-+-分数指数幂和无理数指数幂 知识探究（一）：分数指数幂的意义思考1:设4128510,,,0aa a a >分别等于什么思考2:观察上述结论，你能总结出什么规律？思考3:按照上述规律,根式573543,7,5a 分别可写成什么形式？思考4:我们规定：n ma(a>0,m ，n ∈N 且n ＞1)，那么328表示一个什么数？52214,3分别表示什么根式？思考5:你认为如何规定mn a- (a>0,m,n ∈N ，且n ＞1)的含义？思考6:怎样理解零的分数指数幂的意义？思考7:532332)2(,)2(,)2(---都有意义吗？当a<0时，nm a 何时无意义？ 知识探究（二）:有理数指数幂的运算性质 思考1:=⨯342322 一般地等于什么？ 思考2:=3423)2(一般地 等于什么？思考3：=⨯323222一般地 等于什么？ 例1 求下列各式的值4332132)8116(,)41(,100,8--- 例2用分数指数幂的形式表示下列各式：a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0) .例3计算下列各式（式中字母都是正数）.))(2();3()6)(2)(1(88341656131212132n m b a b a b a -÷- 例4计算下列各式：433225)12525)(2();0()1(÷->a a a a练习1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０) 32534351,,,--a a a a2.用分数指数幂表示下列各式：(1)32x （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０）(３)32)(n m - (４)4)(n m -（ｍ＞ｎ）(5)56q p ⋅（ｐ＞０） (6)mm 33.练习求下列各式的值：(1)2325 （２）3227（３）23)4936( （4）23)425(-（5）423981⨯（6）63125.132⨯⨯例5化简：)()(41412121y x y x -÷- 例6已知x+x -1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121--++x x x x练习1、计算下列各式的值（式中字母都是正数）． (1)(xy 2·21x ·21-y )31·21)(xy (2)2369)(a ·2639)(a2、已知11223x x-+=，求33222232x x x x --+-+-的值.3、已知21x a =，求33x xx xa a a a --++的值.例6: 利用指数的运算法则，解下列方程：(1)43x+2=256×81－x(2)2x+2－6×2x －1－8=0 练习12．44⋅=（ ）()A 16a ()B 8a ()C 4a ()D 2a3．设a>1，b>0，a b +a －b=22，则a b －a －b（ ）()A ()B 2或2-()C 2- ()D 2指数与指数幂的运算1、下列运算结果中，正确的是（）A ．632a a a =⋅B ．()()2332a a-=-C ．()110=-aD ．()632a a -=-2、化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（）A ．5B ．5C ．5-D ．-53、化简()0,03421413223>>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ab b a ab b a 的结果是（）A ．ab B ．ab C ．b a 2D ．ba 4、b x 21+=，by -+=21，那么y 等于（）A ．11-+x x B ．xx 1- C ．11+-x x D ．1-x x 5、计算：()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=___________________。
6、方程33131=++-xx的解是____________________。
7、()()=+----+-k k k 21212222（）A ．k22-B ．()122--kC ．()122+--kD ．2 8、若22,0,1=+>>-bbaa b a ，则b b a a --等于（） A ．6B ．2或-2C ．-2D ．29、已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_________________。
10、已知函数()()222,222xx x x x g x f ---=+= （1）计算：()[]()[]2211g f -（2）证明：()[]()[]2211g f -是定值。
11、已知32121=+-xx ，求32222323++++--x x x x 的值。
12、已知函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-313151x x x f ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-313151x x x g（1）判断()()x g x f 、的奇偶性（2）分别计算()()()2254g f f -和()()()3359g f f -，并分别概括出涉及函数()x f 和()x g 对所有不为0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明。
13、以下各式的化简错误的是（ ） A ．11513152=-aa aB ．()643296b a ba ---=C ．y y x y x yx =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--322132413141 D ．ac c b a c b a 532515433121433121-=---14、()[]2122--等于（）A ．2B ．2-C ．22 D ．22- 15、下列各式中成立的是（）A ．7177m n m n =⎪⎭⎫ ⎝⎛B ．()312433-=-C ．()43433y x y x +=+ D ．3339=16、化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656131212132313b a b a b a 的结果为（）A ．a 6B ．a - C ．a 9- D ．29a17、当x -2有意义时，化简964422+--+-x x x x 的结果为（）A ．52-xB ．12--xC ．1-D ．x 25-18、若bby x -+=+=21,21，那么=y （）A ．11-+x x B ．x x 1-C ．11-+x x D ．1-x x19、已知31=+aa 。
则2121-+a a 等于（） A ．2B ．5C ．5-D ．5±20、化简xx 3-的结果是（） A ．x -- B ．x C ．x -D ．x -21、已知20095-=x ，则x =_____________。
（用根式表示） 22、化简625625++-=______________________。
23、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n _____。
24、计算63125.132⨯⨯的值。
25、计算下列各式：（1）()5.0212001.04122432-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫⎝⎛-- （2）()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a ba26、计算下列各式：（1）48373271021.097203.225.0+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π（2）()()[]2175.034303101.016287064.0-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛----27、求值： （1）已知a xx=+-22（常数），求xx -+88的值。
（2）已知9,12==+xy y x 且y x <，求21212121yx y x +-的值。
28、将235写为根式，则正确的是（）A ．325 B ．35C ．523 D ．3529、根式aa 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（）A ．34-a B ．34a C ．43-a D ．43a30、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x31、若21<a ，则化简()4212-a 的结果是（ ）A ．12-aB ．12--aC ．a 21-D ．a 21--32、（1）化简3163278--⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a （2）计算：()3263425.0031323228765.1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-（3）已知31=+-a a ，求22-+a a 与33-+a a 的值。
33、（1）已知122+=na，求nnnn aa a a --++33的值。
（2）若0,212121>=+-x x aa ，求xx x x x x 424222----+-的值。
34、设6,12,2434===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a c b <<C ．a c b >>D ．c b a <<35、6351,9,2===c b a ，试比较c b a ,,的大小。