3.4.1 基本不等式的证明学案3 高中数学必修五苏教版 Word版

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数学·必修5(苏教版)3.4基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)3．4.1基本不等式的证明情景导入：如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？►基础巩固一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么ab＋ba的值是()A．大于2 B．小于－2或大于2 C．小于等于2 D．大于－2或小于2解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2. 答案：B2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b解析：由a－a＋b2＝a－b2＞0，ab－b＝b(a－b)＞0，再结合基本不等式a＋b2＞ab.答案：B3．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈R ＋，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈R ＋，∴lg x ＋lg y ≥2lg x·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①由于a ，b ∈R ＋，∴b a ，ab∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0,1)和y ∈(0,1)时，lg x 和lg y 都是负数，∴②的推导过程是错误的；③由a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥2 4a·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：y ＝1a ＋4b ＝12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92.答案：C5．下列结论正确的是()A．当x＞0且x≠1时，lg x＋1lg x≥2B．当x＞0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－1x无最大值解析：当0＜x＜1时，lg x＋1lg x＜0，∴A错误；当x＞0时，x＋1x≥2x·1x＝2，∴B正确；当x≥2时，x＋1x的最小值为52，∴C错误．当0＜x≤2时，x－1x是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．答案：B二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与a＋b2的大小关系是________．解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A2+++⎛⎫⎪⎝⎭1a1b2＝A2++⎛⎫⎪⎝⎭a b12，∴x≤a＋b2.答案：x≤a＋b 27．给出下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋4≥4a ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2；④2a 2b 2a 2＋b 2≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a ＝1时，①不成立；当ab ＜0时，④不成立．答案：②③ 8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋1，显然当a ＜0且b ＝2|a|时，上式等号成立，此时b ＝－2a 与a ＋b ＝2联立即得a ＝－2.答案：－2三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.解析：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”号， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.10．设x1，x2，…，x n都是正整数，求证：x21 x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x1＋x2＋…＋x n.解析：∵x1，x2，…，x n都是正整数．∴由基本不等式得x21x2＋x2≥2x1，x22x3＋x3≥2x2，…x2nx1＋x1≥2x n.将以上n个式子相加命题即得证．►能力升级一、选择题11．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：∵a＞b＞0，a2＋1ab＋1a(a－b)＝a2＋a－b＋bab(a－b)＝a2＋1b(a－b)≥a2＋+-⎛⎫⎪⎝⎭21b a b 2＝a2＋4a2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)，故.答案：D12．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5，∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ×3x y ＝15(13＋12)＝5. 答案：C13．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b ≥2解析：令a ＝b ＝1可知A ，C 不成立；令a ＝b ＝－1可知B 不成立．答案：D二、填空题14．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：①项，∵a ＞0，b ＞0,2＝a ＋b ，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，即ab ≤1；②项，∵a ＋b 2－2+⎛⎫⎪⎝⎭a b 2＝(a －b )24≥0，∴a ＋b 2≤ a ＋b 2，∴a ＋b ≤2(a ＋b )，故a ＋b ≤2；③项，∵a 2＋b 22≥2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22. 又∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2≥2；④项，∵a 3＋b 3＝(a ＋b)3－3a 2b －3ab 2＝8－3ab(a ＋b)＝8－6ab ≥8－6＝2(由①ab ≤1)；⑤项，1a ＋1b ≥2ab≥2.答案：①③⑤15．(2013·云南玉溪检测题)若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2，当且仅当x ＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a －1|≤2即－2≤2a －1≤2⇒－12≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32三、解答题 16．(2013·全国卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1.解析：(1)由a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1，而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2c ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥(a ＋b ＋c)＝1.。

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3.4.1 基本不等式的证明课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b 2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤_____________________________________.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、填空题1．已知a >b >0，则a ，b ，a ＋b 2，ab ，2aba ＋b， a 2＋b 22这六个代数式用不等号“<”连结起来是__________________________________________________________________．2．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．3．已知正数0<a <1,02)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是________． 7．设0<a 0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．10．已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________．二、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a ＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3．4.1 基本不等式的证明答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝基本 a ＋b2ab 3.(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．b <2aba ＋b<ab <a ＋b 2<a 2＋b 22<a . 2．大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.3．a ＋b解析因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,00，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．5．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．6．m >n解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝222x －<22＝4.∴m >n .7．b >a 2＋b 2>12>2ab解析 ∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2， ∴b >a 2＋b 2>12>2ab .8．－2解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax ≥－x 2－1a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 9.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3. ∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 10.⎝⎛⎦⎤－∞，94 解析 ∵x ＋y ＝4， ∴1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y＝14⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝94， 1x ＋4y ≥m 恒成立，只要⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ≥m ，即94≥m .11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4. 13．4解析只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋yx＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc ＝2a ， 1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。

苏教版高中数学必修5《基本不等式的证明》参考学案

3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立，该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述（2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ；（2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较ba ab +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等．已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值；（2）已知+∈R y x ，，且191=+yx ，求y x +的最小值．【学后反思】。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》05

课题:2a b + 扬州中学树人学校颜俊【教材分析】该内容是苏教版必修五第三章第四课时，在本章的前三节中学生学习了不等关系，一元二次不等式解法，和简单的线性规划，这些为本节课提供了坚实的基础。

基本不等式是高中数学中的一个重要的知识点，它在不等式证明和求函数最值方面起着非常重要的作用。

【教学目标】1、学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握不等号“≥”取等号的条件；2、能够运用基本不等式求简单函数的最值；3、通过本节的学习，体会数学【教学重点与难点】2a b +≤的证明过程。

难点：利用基本不等式求最值。

【教学过程】一、问题情境1、创设情境，提出猜想某人在金店买了金子回来发现重量有误，经仔细观察发现，问题出在老板的天平上，臂长不等。

思考：要求店主分别把金子放于左右两盘各称一次，分别称得a 和b ，然后把两次称得重量的算术平均数2a b +作为金子的重量，这样行吗？利用该天平能否得出物体的实际质量？思考：如何求出物体的实际质量？这个同学的猜想相比实际质量是高了还是低了？2a b + 的大小关系。

2、证明命题、返璞归真思考：你能对刚才的猜想进行证明吗3、几何验证，加深理解已知AB 是圆O 的直径，C 是AB 上一个动点，过点C 作垂直于AB 的弦CD,,AC a CB b ==。

你能根据该图给出猜想的几何解释吗？二、知识生成1、(),2a b a b a b +≤=如果当且仅当时取等号。

称为这两个正数的几何平均数，2a b + 称为这两个正数的算术平均数。

2、()0,02a b a b +≤≥≥称为基本不等式。

注意：（1）基本不等式成立的条件；（2）等号成立的条件。

三、简单应用()12a b b a +≥ ()122a a +≥1x思考1：若x>0,如何求y=x+的最小值。

()162,0,,2y x x x ∈+∞+思考：已知函数=+求此函数最小值。

1[6,),2x y x x ∈+∞=++探究：求函数的最小值。

苏教版数学高二苏教版必修5学案 3.4.1 基本不等式的证明

3．4.1 基本不等式的证明明目标、知重点 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．1．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .2．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．3．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋ab ≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．[情境导学]把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a ，如果天平制造的的两臂长不等，那么a 并非物体的实际质量．可将物体调换在另一托盘再称一次，质量为b ，那么如何合理的表示物体的质量呢？探究点一基本不等式的证明思考1 观察下列实验数据，你能得出两个正数a ，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？答当a ≠b 时，ab <2.当a ＝b 时，ab ＝2，所以ab ≤2. 思考2 要证明a 0，b >0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)，①只要证：a ＋b ≥________，②要证②，只要证a ＋b －________≥0，③ 要证③，只要证(________－________)2≥0.④显然，④是成立的，当且仅当a ＝b 时，④的等号成立．答 2ab 2abab思考4 证明不等式还有一种和思考3中的证明步骤相反的方法，叫做综合法．即从已知条件或已知结论出发，逐步推出要证明的结论．如何用综合法证明ab ≤a ＋b2？答对于正数a ，b ，有(a －b )2≥0， ⇒a ＋b －2ab ≥0， ⇒a ＋b ≥2ab ， ⇒a ＋b 2≥ab .小结如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．我们把不等式ab≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)称为基本不等式．思考5 如果把ab 看作是正数a ，b 的等比中项，a ＋b2看作是正数a ，b 的等差中项，该定理如何叙述？答两个正数的等比中项不大于它们的等差中项．例1 设a ，b 为正数，证明下列不等式： (1)a b ＋b a ≥2；(2)a ＋1a≥2. 证明 (1)因为a ，b 为正数，所以b a ，ab也为正数，由基本不等式，得b a ＋a b ≥2 b a ·ab ＝2，所以原不等式成立．(2)因为a ，1a 均为正数，由基本不等式，得a ＋1a ≥2 a · 1a ＝2，所以原不等式成立．反思与感悟证明中把b a ，ab ，分别看作基本不等式中的a ，b 从而能够应用基本不等式；在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .例2 已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．反思与感悟使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．跟踪训练2 设b >a >0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是________．答案 b解析由a ＋b ＝1，b >a >0，得1>b >12，0<a <12，∵b －(a 2＋b 2)＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0， ∴b >a 2＋b 2≥2ab ，即b 最大．探究点二基本不等式的应用例3 已知函数y ＝x ＋16x ＋2，x ∈(－2，＋∞)，求此函数的最小值．解因为x >－2，所以x ＋2>0，由基本不等式，得x ＋16x ＋2＝(x ＋2)＋16x ＋2－2 ≥2(x ＋2)16x ＋2－2＝6.当且仅当x ＋2＝16x ＋2，即x ＝2时，取“＝”．因此，当x ＝2时，函数有最小值6.反思与感悟应用基本不等式求函数的最值应满足的条件：(1)两数均为正数；(2)必须出现定值(和为定值或积为定值)；(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内)；(4)若多次应用时，则每一个等号要同时取到．跟踪训练3 已知函数y ＝x ＋1x，x ∈(－∞，0)，求函数的最大值．解因为x <0，所以1x <0，则－x >0，1(－x )>0，x ＋1x ＝－[(－x )＋1(－x )](由基本不等式得) ≤－2(－x )1(－x )＝－2.当且仅当－x ＝1(－x )，即x ＝－1时，取“＝”．因此当x ＝－1时，函数有最大值－2.1．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是______．答案 42．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 ∵x >0，y >0，且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．3．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是______．答案 42 解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2.4．设a >2，则a ＋1a －2的最小值是________．答案 4解析 ∵a >2，∴a －2>0.∴a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4.当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，等号成立．[呈重点、现规律]1．两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2.2．证明不等式的常用方法有：比较法、分析法、综合法． 3．在不等式a 2＋b 2≥2ab和a ＋b 2≥ab 中，“当且仅当…时，取‘＝’号”的含义：一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .4．由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)； (4)(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 均为正实数)； (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .5．基本不等式的应用：证明不等式及解决简单的最大(小)值问题．一、基础过关1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________． ①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b >2ab ④b a ＋a b ≥2 答案 ④解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴①错误．对于②③，当a <0，b <0时，明显错误．对于④，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是________．①x ＋y ≥2 2 ②1x ＋1y ≥1③xy ≥2 ④1xy ≥1答案 ②解析若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝14⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1. 3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为______．答案 3解析 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3， ∴y min ＝3.4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．5．若a <1，则a ＋1a －1有最____(填“大”或“小”)值，为____________________．答案大－1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.6．若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．答案 a ≤2解析 x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立．⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.7．已知函数y ＝x 2－2x ＋5x －1，x ∈(1，＋∞)，求函数的最小值．解因为x >1，所以x －1>0，则1x －1>0，x 2－2x ＋5x －1＝(x 2－2x ＋1)＋4x －1＝(x －1)2＋4x －1＝(x －1)＋4x －1(由基本不等式得)≥2(x －1)4x －1＝4.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”．因此当x ＝3时，函数有最小值4. 二、能力提升8．已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列不等式中不成立的是________．①a ＋b ＋1ab ≥2 2 ②(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 ③a 2＋b 2ab ≥2ab ④2ab a ＋b >ab答案 ④解析 ∵a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，①成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·2 1ab ＝4，②成立； a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab ≥2ab ，③成立； a ＋b ≥2ab ，∴2aba ＋b≤1，不等式两边同乘ab ，得2aba ＋b ≤ab ，所以④不成立．9．设0<a <12 答案 ③解析 ∵0<a <10，∴(－log a b )＋(－log b a )＝(－log a b )＋⎝⎛⎭⎫－1log a b ≥2， ∴log a b ＋log b a ≤－2.10．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x＋3.∵x >0，x ＋1x ＋3≥2 x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a ≥15. 11．已知x >y >0，xy ＝1，求证：x 2＋y 2x －y ≥2 2.证明 ∵xy ＝1，∴x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝(x －y )2＋2x －y ＝(x －y )＋2x －y≥2(x －y )·2x －y＝2 2.当且仅当⎩⎨⎧x －y ＝2x －yxy ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22y ＝6－22时取等号．12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a，同理，1＋1b ＝2＋ab ，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. 三、探究与拓展13．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．。

高中数学3.4.1基本不等式的证明教学设计苏教版必修

3.4.1 基本不等式的证明教学目标：1．探索并了解基本不等式的证明；2．体会证明不等式的基本思想方法；3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．教学重点：基本不等式的证明．教学难点：基本不等式的证明．教学过程：一、问题情境，导入新课口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？问题1 你能不能把这个问题转化成一个数学问题？珠宝放左边称砝码显示重量为a ，放右边称砝码显示重量为b ，假设天平的左杠杆长为l 1，右杠杆长l 2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是ab b a 与2+ 哪个大？）问题2 ab b a 与2+ 哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）二、学生活动问题3 如何证明(0,0)2a b ab a b +≥≥≥呢？请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）．证法一（比较法）：2a b ab +-=221[()()2]2a b a b +-=21()02a b -≥，当a b a b =时，取“=”．证法二：要证 2a b ab +≤，只要证 2ab a b ≤+，只要证 02a ab b ≤-+，只要证 20()a b ≤-因为最后一个不等式成立，所以 2a b ab +≤成立，当且仅当a b =，即a b =时，取“＝”．证法三：对于正数,a b ，有2()0a b -≥，20a b ab ⇒+-≥，2a b ab ⇒+≥，2a b ab +⇒≥．先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件；证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a ＝b 时才是一个守法的商人啊．）三、建构数学定理：如果b a ,是实数且)0,0(≥≥b a ，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“＝”）．问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）（上式中2a b +称为,a b 的算术平均数，ab 称为,a b 的几何平均数，两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成ab b a 2≥+）．要用这个定理首先两个数必须都是非负数．当a b =时，取“＝”，并且只有当a b =时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．四、数学运用例1 设b a ,是正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b +≥ （2）12a a+≥ （3）ab b a 222≥+（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有什么别的思路？）点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明什么时候取等号？师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？有线段AB 长为a ，线段BC 长为b ，你能找到2a b +和ab 吗？（一个学生讲完了可以让另一个学生再解释一下）b a F A O B C例2 （1）已知函数)0(,1>+=x xx y ，求此函数的最小值．点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？（2）已知函数)0(,1<+=x x x y ，求此函数的最大值；（3）已知函数)1(,112->++=x x x y ，求此函数的最小值．五、回顾小结回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？北师大版数学选修1-2第三章推理与证明§4 反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。

苏教版高中数学必修五《基本不等式的证明》学案

3.4.1基本不等式的证明【学习目标】理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．【课前预习】1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab b a ≥+2成立，该不等式取符号的条件是____________________________________．2．算术平均数的定义：3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系（1）基本公式：2b a ab +≤及语言叙述（2）基本不等式的证明方法（3）基本不等式成立的条件（4）基本不等式的变形【课堂研讨】例1.设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+b a a b ；（2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较b a a b +与2；a a 1+与2-的大小．例2若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例3.若b a ，都是正整数，求证：22b a b a ab +≤+．例4.利用基本不等式求最值，必须满足三条：一正二定三相等．已知函数)2(216∞+ -∈++=，，x x x y ，求此函数的最小值．思考：若)3[∞+ ∈，x ，求此函数最小值．例5求)(4522R x x x y ∈++=的最小值．例6.（1）已知0>x ，0>y ，12=+y x ，求yx 11+的最小值；（2）已知+∈R y x ，，且191=+y x ，求y x +的最小值．【学后反思】。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》

基本不等式的证明学习目标：1理解基本不等式的内容及证明．重点2能运用基本不等式证明简单的不等式．重点3能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点问题引入：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。

不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。

那么如何合理地表示物体的质量呢？简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=2ba+表示物体的质量。

这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为l1,l2，物体实际质量为M，根据力学原理（当物体处于平衡状态时，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂）有。

由此可知，物体的实际质量是。

对于正数a,b，我们把2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？我们先取一些数作试验:算结果表明ab≤2。

也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等。

[自主预习·探新知]思考如何证明不等式错误!≤错误!a>0，b>01．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么错误!错误!当且仅当a＝b时取“＝”，我们把不等式称为基本不等式．[合作探究·攻重难]，b为正数，证明下列不等式成立：1ba ab≥2;2 a1a≥2.=16，∈(−2,+∞),求此函数的最小值。

x+2变式：求函数＝错误!>－1的最小值，并求相应的值．应用基本不等式应注意的问题：1．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”成立吗？为什么？2．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”,∈[4,+∞)成立吗？为什么？[当堂达标·固双基] 1．a＋1≥2错误!a>0中等号成立的条件是________．__2．函数f＝2＋错误!>0有最小值为______．3．已知>0，则函数f＝7－－错误!的最大值为________．4．已知a，b，c，d都是正实数．求证：错误!＋错误!≥45当>－1时，求＝错误!的最大值，并求相应的值．总结提炼：。

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基本不等式的证明（1）学案
班级学号姓名
学习目标
1. 探索基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法.
2. 能用不同证明方法以及基本不等式证明其它简单的不等式问题.
3.会用基本不等式解决简单的求函数最值问题.
重点难点
1.重点：基本不等式证明以及应用.
2.难点：理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程.
课堂学习
一．知识建构
情境
把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量.不过，我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b.
思考：如何合理的表示物体的质量？
a,是正数，则它们的算术平均数为___________，几何平均数为___________. 知识点1：设b
a,的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？并证明.
问题：两个正数b
猜想：
不等式证明的基本方法：
方法一方法二
方法三
知识点2：基本不等式的表达式：______ ________，其中等号成立的条件是______ _.
三、数学应用
例1.设,a b为正数，证明下列不等式成立：
（1）
2b a a b +≥；（2）12a a
+≥.
例2.已知,a b R ∈，求证：222a b ab +≥.
例3. 已知函数),(,+∞-∈++
=22
16x x x y ，求此函数的最小值.
例4. 若两个正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 的取值范围.
课后复习
1.4与16的几何平均数是，算术平均数是 .
2.设0x >，则函数134y x x
=++的最小值为 .
3.已知函数cos tan ,(0,)sin 2y θ
π
θθθ=+∈，则此函数的最小值为 .
4.设1x >-，则函数9
1y x x =++有最小值为 .
5.已知226x y +=，则2x y +的最大值是 .
6. 已知24a b +=，则42a b +的最小值是_________.
7. 设0x >，则x = 时，函数4
y x x =+有最值为 .
8. 当x = ，函数229
4y x x =+的最小值为 .
9. 给出以下不等式：①222a b a b +≥；②222x x -+≥；③2
2a b ab +⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭；
④
log log 2a b b a +≥（其中1,01a b ><<）；⑤2b
a
a b +>(0,0)a b a b ≠≠≠且.
其中，正确的不等式的题号为 .
10.
11. 求证: 2
22
22a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.
12.证明不等式22222a b
a b
++≥.
13. 求函数221
(2)4y x x x =+>-的最小值，并求函数取最小值时x 的值.
14.已知42=+b a ，求证：824≥+b a。