河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期中试题及答案
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（1）求角 A；
(2)若△ABC 的内切圆面积为 4 ，求△ABC 面积 S 的最小值.
22.(本小题满分 12 分）
设 Sn 为正项数列{ an }的前 n 项和，且 2Sn an2 an (n N) .数列{ bn }满足：
3
b1 2,bn1 3bn 2(n N) . （1）求数列{ an }，{ bn }的通项公式； （2）设 cn an (bn 1) ，求数列{ cn }的前 n 项和 Tn ; （3）设 dn bn (1)n1 2an t 1，问是否存在整数 t(t 0) ，使数列{ dn }为递增数列？ 若存在求 t 的值，若不存在说明理由.
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高二数学试卷参考答案
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洛阳市 2019—2020 学年第一学期期中考试
高二数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页。
共 150 分.考试时间 120 分钟。
第 I 卷(选择题，共 60 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
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2.考试结束，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有-
项是符合题目要求的.
1.若 a < b < 0,那么下列不等式中不正确的是
11 A. ab > b2 B. ab < a2 C. <
ab
D. b < a ab
2.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，“若 b cosB ，则△ABC—定是 c cosC
（1）求数列{ an }的通项公式；
（2）设 bn
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1 an an 1
，求数列{ bn
}的前 n
项和 Tn
.
18. (本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C , a 2 10 c .
4
5
（1）求 sinA 的值；
（2）若 c 5 ，求△ABC 的面积.
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.若数列{ an
}的通项公式 an
2n
,则此数列是
n 1
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.以上都不是
4. 下列函数中， y 的最小值为 2 的是
A. y x 1 x
B. y x2 3 x2 2
C. y ex ex
A. 4 2 B. 4 3 C. 8 D. 4 6
10.实数
x,
y
满足条件
x y 1 0 2x y 3
0
，当目标函数
z
ax
by (a, b
>
0)
，在该约束条件
下取到最小值 4 时， 1 2 的最小值为 ab
A.6 B.4 C.3 D.2
11.设等差数列{ an
}的前 n 项和分别为 Sn ,Tn ，若
Sn Tn
3n 33 n3
，则使
an bn
Z
的 n 的个数
为
A.3 B. 4 C. 5 D. 6
12.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c 2 2 ，点 P 是 AB 的中点，若 PC a b ，则△ABC 面积的最大值为
A. 3
B.3 C. 2 3 D.12
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
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河南省洛阳市高二数学上学期期中试题
洛阳市2016——2017学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1,3,5,7,9,11,---的一个通项公式为A ．()()1121n n a n +=-+ B ．()()1121n n a n +=--C ．()()121n n a n =-+D ．()()121nn a n =--2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2,45,75a A C ===，则b 等于A．2 BC．2 D3.已知公比为正数的等比数列{}n a 中，26428,2a a a a ==，则1a =A ．8B ． 4C ．1D ．124. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos a b A <，则ABC ∆为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5.数列中，()1112,1n n naa a n N a *+-==∈+,则2014a =A ．2B ．13 C ．12- D ．3-6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,18k k S S ==，则4k S =A ．24B ． 28C ． 32D ．547. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足下列条件的有两个的是A．1,30a b A === B．2,45b c B ===C ．1,2,3a b c ===D ．3,2,60a b A ===8.给出下列结论：①在ABC ∆中，sin sin ;A B a b >⇔> ②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(],2k ∈-∞；④ABC ∆的内角A,B,C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则ABC ∆为锐角三角形.其中正确结论的个数为A ．0B ．1C ． 2D ．39.定义12n np p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1n ，则12231011111a a a a a a +++= A ．910 B ．920 C ．2021 D ．102110.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a -+< 的解集为A ．()1,2-B ．()(),12,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞11.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为A ．2B ． 4C ． 6D ．812.已知函数()121x f x x +=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2017n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2017S = A ．1008 B ． 1010 C ．20192D ．2019第Ⅱ卷（非选择题，满分90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省洛阳市2019_2020学年高二数学上学期期中试题
邸
八．等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D等腰直角三角形
3.若数列｛a.，｝的通项公式ι ＝ 1� 1 十1 ，则此数列是
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.以上都不是
草草
4.下列函数中，y的最小值为2的是
4小
A. y = 1·+ l_
B. V ＝ 工2 十3 .,/ d芒t=z
+ C. y = e,. e-.,
17.（本小题满分10分〉
设S，， 为等差数列｛a，，｝的前 J1 项和．已知a3 = 5.S; = 49.
(1 ）求数列（矶，｝的通项公式；
(2）设 b,, =. G_”Jα_，，一J. ( ·求数列｛ b.，｝的前 11 项和丁，.，
18. C 本小题满分12分）
γ 。／ 在 6ABC ti•，角八.B.C 的对边分别为。，b C •已知C＝ π
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15.已知数列｛ a.,, ｝的前 11 项和S,, = 22什 I +a ，若此数列为等比数列，则α ＝
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}，则A∩B=()A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1)2.若复数(a+i)(2+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a=()A. −2B. 2C. −12D. 123.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x−2y−6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m=()A. 6B. 8C. 9D. 114.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD//BC，AB=BC=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设PEED=m，则“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.双曲线C：x24−y22=1的离心率为()A. √22B. √62C. √24D. √646.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是()A. 2cm 3B. √3cm 3C. 3√3cm 3D. 3cm 37. 已知sin (α+π3)+sinα=−4√35，则cos (α−π3)=( )A. −45B. −35C. 45D. 358. 设实数x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤1x +2y ≥1则z =2x −3y 的最大值为( )A. −13B. −12C. 2D. 39. 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a10. 若函数f (x )=sinωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=( )A. 3B. 2C. 23D. 3211. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，点F 1，F 2是椭圆的左右焦点，点A 是椭圆上的点，▵AF 1F 2的内切圆的圆心为M ，若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32D. √2−112. 已知函数，若关于x 的方程f(x)−t =0有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是( )A. [0,1]B. (0,1)C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 6+a 5=4，a 4+a 3−a 2−a 1=1，则a 1的值为______．15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1的中点，Q是底面ABCD上一动点，则D1P+PQ的最小值为．16.若函数在在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28.记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1000项的和．18.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2asin(C+π)=√3b．3(1)求角A的值．(2)若b=3,c=4，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．(1)若CEEP =32，求证：EF//平面PAB；(2)若FE⊥PC，求二面角E−DB−C的平面角的余弦值．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，M(−2,y0)是C上一点，且|MF|=2．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对于任意x2>x1>0，f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，求a的取值范围22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．(I)若点Q在射线OP上，且|OP|⋅|OQ|=4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；)，求△MOP面积的最大值．(Ⅱ)设M(4,3π423.已知函数f(x)=|x−a|+m|x+a|．(Ⅰ)当m=a=−1时，求不等式f(x)≥x的解集；(Ⅱ)不等式f(x)≥2(0<m<1)恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3}，求实数m 的集合．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1)．故选：D．先求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：由题意可知：(a+i)(2+i)=(2a−1)+(2+a)i，∵复数为纯虚数，∴2+a≠0，2a−1=0，∴a=12.故选D．3.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，求出圆心为(−1,1)，半径为2√2，利用圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22，即可求出结论．解：圆C:x2+y2+2x−2y−6=0，可化为(x+1)2+(y−1)2=8，圆心为(−1,1)，半径为2√2．由题意得，圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22．∵m>0，∴m=9．故选C．4.答案：B解析：本题考查充要条件的判断及棱锥体积的求解，过E作EH⊥AD得到V C−ABE=V E−ABC=23EH即可求解．解析：解：过E作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥面ABCD∴V C−ABE=V E−ABC，所以三棱锥C−ABE的体积为23EH，若三棱锥C−ABE的体积不小于1，则EH≥32，又PA=3，∴PEED=m≤1．即“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的必要不充分条件．故选B．5.答案：B解析：解：双曲线C：x24−y22=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．双曲线的离心率为：√62．故选：B．利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．。
洛阳市2019-2020高二下学期期中考试文科数学试卷及其答案
#'答题前#考生务必将自己的姓名%考号%考试科目涂写在答题卷上$!'考试结束#将答题卷交回$一 选择题 本大题共#!小题 每小题%分 共&"分!在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的!#!若复数"满足#&"$#%##则"的共轭复数的虚部是(!#!!!!!!!)!&#!!!!!!!*!#!!!!!!!+!&#!!用反证法证明命题'(三角形的内角中至少有一个不大于&"度)时#假设正确的是(!假设三内角都不大于&"度*!假设三内角至多有两个大于&"度*!假设三内角至多有一个大于&"度+!假设三内角都大于&"度,!对下列三种图形#正确的表述为(!它们都是流程图)!它们都是结构图*!!#"%!!"是流程图#!,"是结构图+!!#"是流程图#!!"%!,"是结构图-!设'#(是具有线性相关关系的两个变量#现有观测数据!'##(#"!#$##!#*##%"#已知它们之间的线性回归方程是)($%'%###若"#%#$#'#$#.#则"#%#$#(#$(!#/)!.&*!#"#+!!%%%!分析法是从要证的不等式出发#寻求使它成立的(!充分条件)!必要条件*!充要条件*!既不充分又不必要条件&!有一段演绎推理'(直线平行于平面#则这条直线平行于平面内所有直线+直线+#平面 #直线,$平面 #则直线,$直线+)的结论是错误的#这是因为(!大前提错误)!小前提错误*!推理形式错误+!非以上错误/!如图'图-内切于正三角形%./0#则1%./0$1%-./%1%-.0%1%-/0$,&1%-/0#洛阳市!"#$ !"!"学年第二学期期中考试高二数学试卷 文第 卷 选择题 共&"分注意事项高二数学!文"!第#页!!共-页"!初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店。
河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
(3) 已知点的坐标为（5,3)，点在曲线 ′ 上运动，求线段的中点的轨迹方程.
22. (12 分）
如图，长方体 — 1 1 1 1 中， = 2 = 21 ，
点在棱上且1 丄平面1 1
(1)求 的值
21. ( 12 分）
已知两定点 (-4,0)， (-1，0)，动点 满足 | | = 2 ||，直线 :(2 + 1) + ( + 1) −
5 − 3 = 0.
(1) 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2) 记动点的轨迹为曲线，把曲线向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线 ′ ，
反射光线所在直线的方程.
20. (12 分)
在直角梯形 中， //， = 2 = 2 =2 2，∠ = 900 如图（1). 把△沿
翻折，使得平面 ⊥平面，如图（2).
(1) 求证: ⊥ ;
(2) 若为线段的中点，求点到平面的距离.
所成角的余弦值为
A.
6
B.
3
3
C.
3
15
D.
5
10
5
12. 若圆 2 + 2 − 4 − 4 − 10 = 0至少有三个不同的点到直线: = 的距离为 2 2，则直线的倾斜角
的取值范围是
A.[ 12 , 4 ]
5
B. [ 12 , 12 ]
C. [ 6 , 3 ]
B. - 5
C. 10
D. -10
2.已知（4,1,9)，(2,4,3)，则线段的长为
A. 39
B.7
河南省洛阳市2019_2020学年高二数学下学期期中试题理含解析.doc
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一､选择题1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. i B. i -C. 1D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i+⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 至少有一个是无理数”时，假设正确的是（ ） A. 假设a ，b ，c 都是有理数 B. 假设a ，b ，c 至少有一个是有理数 C. 假设a ，b ，c 不都是无理数 D. 假设a ，b ，c 至少有一个不是无理数【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合反证法的概念直接写出原命题的否定，即可得解. 【详解】用反证法证明命题时，需要假设命题的否定是正确的，原命题的否定是“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都不是无理数”即“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都是有理数”. 所以需要假设a ，b ，c 都是有理数. 故选：A.【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于反证法概念的掌握，属于基础题. 3.函数()f x 的图象如下图，则函数()f x 在下列区间上平均变化率最大的是（ ）A. []1,2B. []2,3C. []3,4D. []4,7【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解. 【详解】函数()f x 在区间上的平均变化率为yx∆∆， 由函数图象可得，在区间[]4,7上，0yx∆<∆即函数()f x 在区间[]4,7上的平均变化率小于0； 在区间[]1,2、[]2,3、[]3,4上时，0y x ∆>∆且x ∆相同，由图象可知函数在区间[]3,4上的y x∆∆最大.所以函数()f x 在区间[]3,4上的平均变化率最大. 故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题. 4.有一段演绎推理：“若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-.已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-”.对该演绎推理描述正确的是（ ）A. 大前提错误，导致结论错误B. 小前提错误，导致结论错误C. 推理形式错误，导致结论错误D. 以上演绎推理是正确的【答案】A 【解析】 【分析】根据演绎推理：三段论的推理过程即可判断.【详解】若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-， 需2n ≥，所以21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-，2n ≥，当1n =时，12a =，不满足通项公式， 即大前提错误，导致结论错误. 故选：A【点睛】本题考查了演绎推理的三段论的推理过程，属于基础题. 5.函数()()cos sin 0f x x x x x =->的单调递增区间为（ ） A. *3(,)()22n N n n ππππ∈++B. *(1)(,)()22N n n n ππ+∈ C. *(())(,1)n n N n ππ+∈ D. ()*())21,2(n n N n ππ-∈【答案】D 【解析】 【分析】先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解. 【详解】函数()()cos sin 0f x x x x x =->，()cos sin cos sin y x x x x x x '∴=+--=-，由sin 0x x ->，0x >，可得sin 0x <， 解得()22n x n k Z πππ-<<∈，所以函数的单调递增区间为()*())21,2(n n N n ππ-∈.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的运算法则求出导函数，属于基础题.6.已知过原点的直线l 与曲线xy e =相切，则由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积是（ ） A.e12- B. 1e - C.2e D. 1e +【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出直线l 的方程，再确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【详解】解：由已知xy e =的导函数为'e xy =，设过原点的直线l 与曲线xy e =相切于点(),aa e，则'|ax a y e ==，直线l 的方程为()aa y ex a e =-+，即a a a y e x ae e =-+，又直线l 过原点，则0a a ae e -+=，解得1a =， 所以直线l 的方程为y ex =，由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积为()1201111110222xx e ex dx e ex e e e ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 故选：A.【点睛】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题. 7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.若函数()22ln 2x a f x x x =-+存在极值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. (],1-∞C. ()0,1D. (]0,1【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点，令()0f x '=可得221a x x =-，换元10t x=>，可得220t t a -+=，则实数a 的取值范围为函数22y t t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()22ln 2x a f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()12f x ax x'=-+. 由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点， 由()0f x '=可得221a x x=-，令10t x =>，则22a t t =-，则实数a 的取值范围为函数22yt t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，对于二次函数()22211y t t t =-=--+，当0t >时，()222111y t t t =-=--+≤，对于二次方程22a t t =-，即220t t a -+=，440a ∆=->，解得1a <. 因此，实数a 的取值范围是(),1-∞. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的图象与x 轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 9.若1a b >>，b P ae =，aQ be =，则P ，Q 的大小关系是（ ） A. P Q > B. P Q =C. P Q <D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】对P ，Q 作商并化简，构造函数()xe f x x=，根据函数的单调性判断P Q 与1的大小关系，即可得出P ，Q 的大小关系.【详解】P ，Q 作商可得==a a bb e P ae b e Q be a，令·()x e f x x =，则()()21x e x f x x-'=，当1x >时，()0f x '>，所以()x e f x x =在()1,+∞上单调递增，因为1a b >>，所以<b a e e b a ，又0>b e b ，0>aea，所以1<a be b e a，所以P Q <. 故选：C【点睛】本题主要考查作商法比较大小，解题的关键是会构造函数并判断单调性.10.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为3，则第n 个图中阴影部分的面积为（ ）133n + 33()2n⋅ 33()4n D.33()4n 【答案】D 【解析】 【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的34，根据等比数列公式得到答案. 【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的343，公比为34的等比数列， 故第n 13333()44n n -⎛⎫=⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11.已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x by e +=相切，则2a b的取值范围是（ ）A. [),e +∞B. 2[,)e +∞C. [2,)+∞D. [4,)+∞【答案】D 【解析】【分析】取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】x by e+=，则'1x by e+==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，将切点代入直线得到1b a =-+，()2211224b a b bbb +==++≥=，当1b =时等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定1b a =-+是解题的关键. 12.关于x 的方程ln ln 0xm x x x x++=-有三个不等的实数解1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2123123ln ln l (1)(1)(1n )x x x x x x ---的值为（ ） A. e B. 1C. 1m +D. 1m -【答案】B 【解析】 【分析】 设()ln xf x x =，求导计算单调区间，画出函数图像，设ln x t x=，代入化简得到二次方程，计算根与系数关系，代入式子计算得到答案. 【详解】设()ln x f x x =，则()'21ln x f x x -=， 故函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()1f e e=，画出函数图像，如图所示： 设ln x t x=，ln ln 0x m x x x x ++=-，则ln n 011l x x x m x ++=-，即101t m t ++=-， 化简整理得到：()2110t m t m +-+-=，故121t t m +=-，121t t m =-，且10t <，210t e<<，()()()()2222312121212123(1)(1)(1ln ln ln )1111t t t t t x x x t x x x ---=--=-++=. 故选：B.【点睛】本题考查了求利用导数研究方程的解，意在考查学生的计算能力和应用能力，换元是解题的关键. 二､填空题13.设复数1z i =+，则22||z z -=___________. 5【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到答案. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=5【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.2322(4)x x dx -+-=⎰___________【答案】2π 【解析】【分析】3y x =为奇函数，2320x dx -=⎰，再利用定积分的几何意义计算得到答案.【详解】3y x =为奇函数，故22223322(x dx x dx ----=+=⎰⎰⎰⎰，设y =224x y +=，0y ≥，对应半圆的面积为21222ππ⋅=，故232(2x dx π-+=⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为对应半圆的面积是解题的关键.15.已知函数sin 1()xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然对数的底数.若2()(23)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围是_______.【答案】[]3,1- 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为()2()32f a f a ≤-，根据函数单调性计算得到答案.【详解】sin 1()xx f x x x e e =-+-，则()1sin ()xxf x x e x e f x -=++--=-，故函数为奇函数.'cos co 1()111cos 0s x xf x e x x x e =-+≥-=++≥+，函数单调递增， 2()(23)0f a f a +-≤，故()2()(23)32f a f a f a ≤--=-，故232a a ≤-，解得31a -≤≤. 故答案为：[]3,1-.【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16.已知函数()23f x x =+，()ln g x x x =+，若()()12f x g x =，则21x x -的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】求导得到()'11g x x =+，取()'112g x x=+=得到1x =，计算切线得到答案. 【详解】()ln g x x x =+，则()'11g x x =+，取()'112g x x =+=，故1x =，()11g =， 故切线方程为21y x =-，取231y x =+=，解得1x =-，故21x x -的最小值()112--=.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键.三､解答题17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.【答案】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到答案.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-. （2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-，直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-，∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12y x +<中至少有一个成立.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12y x+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+- ()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>，从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12y x+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+，与条件2x y +>矛盾， 所以假设不成立，即12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19.不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【解析】【分析】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，由数据可得30.006p v =，列出航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>，再利用导数求出最值即可.【详解】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，其中k 为比例系数.由10v =，6p ，得360.00610k ==， 于是30.006p v =.设船的速度为v 海里/时，航行1海里所需的总费用为y 元，而每小时所需的总费用是()30.00696v +元，航行1海里所需时间为1v， 所以航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>. 所以322960.0120.012(8000)y v v v v'=-=-. 令0y '=，解得20v =.因为当020v <<时，0y '<；当20v >时，0y '>，所以当20v =时，y 取得最小值.故当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【点睛】本题考查了分式函数模型、利用导数求最值，考查了考生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.20.在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足11()2n n na S a +=. (1)求123,,a a a (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】试题分析：（I ）由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n 分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想n a =（II ）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当1n =时，111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). 当2n =时，1222112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴21a =． 当3n =时，12333112a a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，∴2a =猜想：n a = (2)证明：①当1n =时，显然成立．②假设n k =时，k a =成立，则当1n k =+时，1111111122k k k k k k k a S S a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1111k k k k a a a a ++⎛⎫-=-+=-=- ⎪⎝⎭∴1k a += 由①、②可知，*n N ∀∈，n a =点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n 都成立．21.已知函数()2(1)x f x x e ax =--，（a R ∈）． （1）若12a =，求()f x 的极值； （2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值是112e -，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）()()2112x x f x e x =-- ，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()x f x e a '=-，讨论a 的范围得解 【详解】（1）当12a =时，()()2112x x f x e x =-- ()()()110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：所以()f x 的极大值是()1112f e-=-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()10xf x x e ax =--≥恒成立 解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1x eg x x-= ()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤或者()21x x xe e g x x-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x x x e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤ 解法二: ()xf x e a '=-，0x ≥，1x e ≥ 若1a ≤，则()0xf x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充分性）若1a >，()0x f x e a '=-= ∴0ln 0x a =>()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，这与当0x ≥时，()10x f x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题22.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且14()(2)(13ln )2x f x f x f '=++. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数21()()2h x xf x x ax b =---区间(1,)+∞上存在非负的极值，求1b a +的最大值.【答案】（1）1()ln 22f x x x =+-；（2）e - 【解析】【分析】 （1）令1x =可求得(1)f ，求导后再令2x =即可求得()2f '，即可得解；（2）对函数()h x 求导后，根据10a +≤、10a +>分类讨论，求出函数的极值，进而可得111a b e a a +≤-++，令()(0)xe x x xϕ=->，求导后，得出()x ϕ的最大值，即可得解. 【详解】（1）令1x =，41(1)(1)32f f =+，∴3(1)2f =-， ∴1()(2)l 22n x f x f x '=+-， ∴(2)1()2f f x x ''=+，代入2x =可得(2)1(2)22f f ''=+，∴21f ， ∴1()ln 22f x x x =+-. （2）由题意21()()l 2n 2h x xf x x ax b x x ax b x =---=---， ∴()()ln 12ln 1x a h x x a =+-=--'+，当10a +≤即1a ≤-时，()0h x '>在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，()h x 无极值，不合题意；当10a +>即1a >-时，令()0h x '=，则1a x e +=，∴当()11,a x e +∈，()0h x '<，函数()h x 单调递减；()1,a x e +∈+∞，()0h x '>，函数()h x 单调递增；∴()h x 在(1,)+∞存在唯一极值()1a h e +， 又函数()h x 区间(1,)+∞上存在非负的极值，∴存在()111111ln 20a a a a a a h e ee e ae b e b ++++++=---=--≥， ∴存在1a b e +≤-即111a b e a a +≤-++，令()(0)x e x x x ϕ=->，∴2(1)()xx e x x ϕ-'=-， ∴当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；∴max ()(1)x e ϕϕ==-，∴当11a +=即0a =时，11a e a +-+取最大值e -， ∴1b a +的最大值为e -. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题.。
洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数运算，得到 ，推出 ，再由基本不等式得到 ,求解，即可得出结果。
【详解】因为 ，所以 ，且 ，
即 ，所以 ，即 ,
解得 或 （舍），所以 ，当且仅当 时，取等号.
故选:A
【点睛】本题主要考查对数的运用，以及由基本不等式求积的最小值,熟记对数运算法则,以及基本不等式即可，属于常考题型.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，根据等差数列前 项和的性质，得到 ，再由 ,得到 ，从而即可求出结果.
【详解】因为等差数列 的前 项和分别为 ，
所以 ，
又 ,所以 ，
为使 ，只需 ，又 ,所以 可能取的值为： ，
因此 可能取的值为： .
故选：C
【点睛】本题主要考查等差数列前 项和的应用，熟记等差数列前 项和的公式与性质即可，属于常考题型。
对于D选项，因为 ，所以 ，又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，但 ，故D错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,熟记基本不等式,并注意取等号的条件即可，属于常考题型。
5.已知等比数列 满足: ，且 ，则 等于（ ）
A。 B. C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质得到 ,根据题意解得 ，且 ,根据等比数列的通项公式，即可求出结果.
3。若数列 的通项公式 ，则此数列是( ）
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 以上都不
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，计算 ，得出 ，即可判断出结果。
【详解】因为 ,
所以 ，
因此数列 是递增数列.
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学(理)试题(带答案)
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中考试数学（理)试题第I 卷（选择题)评卷人 得分一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足12iz i =+，则z 等于（ ） A ．5 B ．5C ．1D ．32．已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，）C ．22∞（-，）D ．22]∞（-， 3．已知实数,x y 满足1341y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，．则3x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．74．执行如图所示的程序框图，若输出的14S =，则输入的n 值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知35a =，02log 01b =．．，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为（ ） A．B．CD7．已知偶函数()f x 的图象关于(1,0)对称，且当01x ∈（，）时，2()f x x =，则910x ∈（，）时，()f x ＝（ ） A ．2xB ．2x -C ．28x -（）D ．2(10)x --8．已知:p 函数()2ln 1y x ax =-+的定义域为R ，:x q e ax >对任意实数x 恒成立，若p q ∧真，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,2B ．[)2,eC ．()2,e -D ．[)0,e9．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．y =B．y =或2y x =±C．y = D．y x =或y = 10．已知函数()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，，若()f x a =有三个不等实数根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．（2，＋∞）B ．[2，＋∞）C ．（2，1 D ．[2，1+11．已知数列{n a }满足11a =，22a =，2221cossin 22n nn n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 则2019a ·22020log a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10102D ．1010101012．菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，沿对角线AC 将三角形ACD 折起，当三棱锥D －ABC 体积最大时，其外接球表面积为（ ）A ．3B C ．209π D ．203π第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知平面向量a ，b r 满足2a b ⋅=v v ，1=r b ，22a b -=v v ，则a r ＝__________．14．已知数列{n a }的通项公式为631317n n a n －＝－，若i a ，j a 分别是该数列的最大项和最小项，则i ＋j ＝__________．15．已知函数()sin 2cos f x x x =+在0x 处取得最小值，则()f x 的最小值为__________，此时0cos x =__________． 16．已知点P 是曲线214x y =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线xy e =上任意一点，则｜PH ｜＋｜PQ ｜的最小值为__________．三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =－，数列{}n b 满足12b =，128n n n b b a +-=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC AD ． （1）求边BC 的长； （2）求△ABD 内切圆半径．19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB AC ⊥，AC AB =，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ； （2）若Q 是棱AB 上一点，14Q BMC P ABC V V =－－，求二面角Q MC A --的大小．20．已知椭圆C ：22221x y a b +＝（a ＞b ＞0）的离心率为6，且经过点P （2，2）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （1，－1）的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点（与点P 不重合），试判断点P 与以MN 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 21．已知函数()2x f x e cosx x -=-． （1）求()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求证：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x ty t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ--=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设()1,1M ，求11MA MB＋的值． 23．已知函数()32f x x x =--． （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最大值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：2223a b c ++≥．参考答案1．B 【解析】 【分析】先化简得到2z i =-，再计算z =【详解】=1+2iz i 则1+2=2iz i i=-,z 故选B 【点睛】本题考查了复数的模，属于简单题. 2．A 【解析】 【分析】先计算集合A 和集合B ，再根据A B ⊆关系解得答案. 【详解】{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤{}202m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭A B ⊆，则2,42mm ≤≤ 故选：A 【点睛】本题考查了集合的包含关系，属于基础题型. 3．D 【解析】 【分析】画出可行域，根据平移得到答案. 【详解】 画出可行域：如图所示，取30x y +=画出图像通过平移：当目标函数过直线1y x -=和3x y +=的交点(1,2)A 时，有最大值 即1,2x y ==时，有最大值为7 故选：D 【点睛】本题考查了线性规划，准确作图是解题的关键. 4．C 【解析】 【分析】 设数列111(1)1n a n n n n ==-++，则程序框图表示的是从n 项到11项之和，利用裂项相消法得到答案. 【详解】 设数列111(1)1n a n n n n ==-++则程序框图表示的是数列从n 项到11项之和 即111111111 (1121112124)S n n n n n =-+-++-=-=+++ 3n =故选C 【点睛】本题考查了程序框图，确定程序框图所表示的数列关系是解题的关键. 5．A 【解析】 【分析】先根据函数的单调性判断b c >，再判断c a >得到答案. 【详解】0202log 01log 0.21b =>=．．． 33log 2log 31c =<=故b c >3353553332323log 2log 35>∴>∴>= ，即c a >故b c a >> 故选：A 【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，意在考查学生的计算能力. 6．A 【解析】 【分析】先确定平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR ，再计算机其面积为得到答案. 【详解】如图所示：,,F G H 是对应线段的中点. 易知：RF 与HQ 相交，确定一个平面HQ ‖RG ，故G 在平面内，同理P 在平面内故平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形HPFQGR12623S π=⨯=故选A【点睛】本题考查了截面图形的面积，确定截面为正六边形是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】根据对称和偶函数得到周期为4，设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈，代入化简得到答案. 【详解】偶函数f x （）的图象关于10（，）对称 则()(),(1)(1)f x f x f x f x =--=-+得到()()(2)f x f x f x =-=-+，(2)(4)f x f x +=-+，故(4)()f x f x +=周期为4 设910x ∈（，），则10(0,1)x -∈ 2()(2)(10)(10)(10)f x f x f x f x x =-+=--=--=--故选：D 【点睛】本题考查函数的对称性和奇偶性，利用代换得到函数的周期是解题的关键. 8．A【分析】由p q ∧真得出两个命题均为真命题，求出p 、q 均为真命题时对应的参数a 的取值范围，取交集即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由于命题p q ∧为真命题，则命题p 、q 均为真命题. 若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<.若命题q 为真命题，构造函数()xf x e ax =-，则()min 0f x >，且()xf x e a '=-.（1）当0a <时，()0f x '>对任意的x ∈R 恒成立，此时，函数()y f x =单调递增， 且当x →-∞时，()f x →-∞，不合乎题意； （2）当0a =时，()0xf x e =>恒成立；（3）当0a >时，令()0xf x e a '=-=，得ln x a =.当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>.()()()ln min ln ln ln 1ln 0a f x f a e a a a a a a a ∴==-=-=->，即1ln 0a ->，解得0a e <<.所以，当命题q 为真命题时，0a e ≤<. 因此，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：A. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题. 9．B 【解析】 【分析】根据题意得到a =，再讨论焦点在x 轴，y 轴两种情况得到答案.12AF F ∆是顶角为120︒的等腰三角形：则=c故a =当焦点在x轴上时：渐近线方程为y x = 当焦点在y轴上时：渐近线方程为y =综上所述：渐近线方程为y =或y x = 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，遗漏一种情况是容易发生的错误. 10．C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据对称性得到121x x =+，再计算31x <. 【详解】()(]201lg (1,)x x x f x x x ⎧-+∈⎨∈+∞⎩，，，＝，， ，()f x a =有三个不等实数根123,,x x x 设123x x x << 画出函数图像得：根据对称性知：121x x =+取1lg ,4x x ==，则31x <<综上所述：21312x x x ++<<故选：C【点睛】本题考查了函数零点的范围，画出图像得到临界点是解题的关键.11．C【解析】【分析】讨论n 的奇偶性分别计算得到21k a k -=，22k k a =代入数据计算得到答案.【详解】11a =，22a =，2221cos sin 22n n n n a a ππ+⎛⎫+ ⎪⎝+⎭=，n *∈N 当n 为奇数时：化简得到21n n a a +=+，隔项成等差数列.设21n k =-，21k a k -=，故20191010a =当n 为偶数时：化简得到22n n a a +=，隔项成等比数列.设2n k =，22k k a =，故202010102a =故2019a ·02220210101010l 010og 1a =⨯= 故选：C【点睛】本题考查了数列的求值，讨论n 的奇偶性分别计算是解题的关键.12．D【解析】【分析】当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到222)()3R OG =+和222(3R OG =+，计算得到答案. 【详解】易知：当平面ACD 与平面ABC 垂直时体积最大.如图所示：E 为AC 中点，连接,DE BE ，外接球球心O 的投影为G 是ABC ∆中心，在BE 上BE =DE =EG = ，BG =设半径为R ，则222)3R OG =-+，222(3R OG =+解得：3R =，表面积22043S R ππ== 故选：D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，利用勾股定理求出半径是解题的关键.13．【解析】【分析】 对22a b -=r r 两边平方得到，计算得到答案.【详解】22a b -=r r 两边平方得到：22444a a b b -⋅+=r r r r ，即28,a a ==r r故答案为：【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.14．11【解析】【分析】 变形32317n a n =+-，构造函数3()2317f x x =+-，根据函数的单调性，得到答案. 【详解】 6312(317)332317317317n n n a n n n --+=+-==-- 易知对应函数3()2317f x x =+- 在17(,)3+∞上单调递减，对应函数值大于零 在17(,)3-∞上单调递减，对应函数值小于零 故32317n a n =+-的最大项为6a ，最小项为5a 即11i j +=故答案为11【点睛】 本题考查了数列的最大项和最小项，构造函数3()2317f x x =+-得到单调区间是解题的关键，可以简化运算.15． 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()()f x x ϕ=+，可得出函数()y f x =的最小值，根据题中条件得出0x 与ϕ之间的关系，然后利用诱导公式可求出0cos x 的值.【详解】())sin 2cos sin cos cos sin f x x x x x x x ϕϕ⎫=+=+=+⎪⎪⎭Q()x ϕ+，锐角ϕ满足cos ϕ=，sin ϕ=()y f x =的最小值为由题意可得()()00f x x ϕ=+=()0sin 1x ϕ∴+=-，得()0322x k k Z πϕπ+=+∈，()0322x k k Z πϕπ∴=-+∈，则03cos cos 2sin 2x k πϕπϕ⎛⎫=-+=-= ⎪⎝⎭.故答案为. 【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时首先要利用辅助角公式将三角函数解析式化简，同时要注意取最值时对应角与辅助角之间的关系，并借助诱导公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.161【解析】【分析】 利用抛物线性质得到11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-设(,)x Q x e ，则22221x QF e x x =+-+，22()21x f x e x x =+-+，求导，得到函数的单调性，进而求得最小值.【详解】如图所示：1PH PF =- ，11PH PQ PQ PF QF +=+-≥- 即求QF 最小值设(,)x Q x e ，则22222(1)()21x x QF x e e x x =-+=+-+设函数222()21,'()222x x f x e x x f x e x =+-+=+-，'(0)0f =2''()420x f x e =+>，'()f x 单调递增故()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.min ()(0)2f x f ==，QF当(0,1)Q ，,,P Q F 共线时，PH PQ +11【点睛】 本题考查了距离的最小值，变换11PH PQ PQ PF QF +=+-≥-是解题的关键.17．（1）12n n a -=；（2）()12326n n +-⋅+【解析】【分析】（1）令1n =，由11a S =计算出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-计算出n a ，再验证1a 是否满足()2n a n ≥的表达式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出21282n n n n b b a ++-==，然后在等式两边同时除以12n +可得出11222n n n n b b ++-=，可知数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列，由此求出数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，可解出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n =时，111211a S ==-=；当2n ≥时，()()11112121222n n n n n n n n a S S ----=-=---=-=.11a =也适合12n n a -=，因此，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）21282n n n n b b a ++-==Q ，在等式两边同时除以12n +得11222n n n n b b ++-=，且112b =. 所以，数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()121212n n b n n ∴=+-=-， ()212n n b n ∴=-⋅.()123123252212n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，得()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，上式-下式得()12312222222212n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⋅L ()()()31112122212322612n n n n n -++-=+--⋅=-⋅--，因此，()12326n n T n +⋅=-+.【点睛】 本题考查由前n 项和n S 求数列通项n a ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位相减法求和，在利用前n 项和n S 求数列通项n a 时，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需对1a 是否满足()2n a n ≥的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题. 18．（1）4；（2【解析】【分析】（1）设BD BC m ==，利用两次余弦定理和ADB ADC π∠+∠=，化简计算得到答案. （2）利用余弦定理得到cos ADB ∠=，sin 14ADB ∠=，再利用面积公式得到ABD S ∆=，再利用1()2ABD S r AB BD AD ∆=++计算得到答案. 【详解】（1）设BD BC m ==，在,ABD ACD ∆∆中利用余弦定理得到：297cos m ADB =+-∠，2137m ADC =+-∠ADB ADC π∠+∠=解得2m =，则24BC m ==（2）在ABD ∆中，利用余弦定理得到：2972ADB =+-∠，cos 14ADB ∠=，sin 14ADB ∠=12sin 22ABD S ADB ∆=⨯∠=又1()2ABD S r AB BD AD ∆=++=即1(52r =解得6r =【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，内切圆半径，其中1()2ABD S r AB BD AD ∆=++是一个求内切半径的常用方法，需要熟练掌握. 19．（1）见解析；（2）4π 【解析】【分析】 （1）先证明CM ⊥平面PAB 得到CM AB ⊥，再根据AB AC ⊥得到AB ⊥平面PAC .（2）根据14Q BMC P ABC V V －－＝确定Q 为AB 中点，再根据定义得到QMA ∠为面角 Q MC A --的平面角，计算得到答案.【详解】（1）PAC ∆为正三角形，M 为棱PA 的中点，故CM PA ⊥Q 平面PAB ⊥平面PAC ，CM PA ⊥，故CM ⊥平面PABAB ⊆平面PAB ，故CM AB ⊥，又Q AB AC ⊥，,AC CM 相交，故AB ⊥平面PAC ；（2）Q 是棱AB 上一点，设h 为三棱锥P ABC -的高132M BCQ Q B C MC B Q h V V S -∆==⨯⨯－ 13A ABCB PC V S h ∆=⨯⨯－ 14Q BMC P ABC V V －－＝，即12BCQ ABC S S ∆∆=，故Q 为AB 中点. 由（1）知：AM MC ⊥，QM MC ⊥故QMA ∠即为面角Q MC A --的平面角.在Rt QAM ∆中，12AM AC =，1122AQ AB AC ==故AM AQ = QAM ∆为等腰直角三角形，4QMA π∠=故二面角Q MC A --为4π 【点睛】 本题考查了线面垂直，二面角，找出二面角对应的平面角是解题的关键，也可以利用空间直角坐标系求解.20．（1）22116163x y +=；（2）点P 在以MN 为直径的圆上【解析】【分析】（1，过点22P （，），代入计算得到答案案. （2）设直线(1)1y k x =--，联立方程组得到222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=，根据韦达定理计算0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，验证斜率不存在的情况，得到答案.【详解】 （1）22221x y a b +＝c a = 经过点22P （，），则22441a b +=，解得4,a b == 故椭圆C 的方程为：22116163x y +=（2）当MN 斜率存在时：设直线方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)M x y N x y 则22(1)1116163y k x x y =--⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得到：222(31)6(1)3(1)160k x k k x k +-+++-=1,1Q -（）在椭圆内，恒有两个交点.12221226(1)313(1)1631k k x x k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩11221122(2,2)(2,2)(2,(1)3)(2,(1)3)PM PN x y x y x k x x k x ⋅=--⋅--=---⋅---u u u u r u u u r 1212(2)(2)[(1)3][(1)3]x x k x k x =--+----22121212122()4(3)()(3)x x x x k x x k k x x k =-+++-++++222223(1)166(1)(1)(2(3))4(3)3131k k k k k k k k k --+=+-+++++++ 222222(1)(3613)6(32)(1)(613)(3+1)=031k k k k k k k k k k k +---++++++=+即PM PN ⊥u u u u r u u u r当MN 斜率不存在时：(1,M N 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r即PM PN ⊥u u u u r u u u r综上所述：点P 在以MN 为直径的圆上【点睛】本题考查了椭圆方程，直线的椭圆的关系，将点P 在以MN 为直径的圆上转化为 0PM PN ⋅=u u u u r u u u r 是解题的关键，意在考查学生的计算能力.21．（1）y x =-，（2）见解析【解析】【分析】（1）求导得到'(0)1k f ==-，代入切点得到切线方程y x =-. （2）先验证0是函数的1个零点，再求导得到当02x x π-<<时，函数()f x 单调递减.当0x x >时，函数()f x 单调递增，得到0()0f x <，根据零点存在定理得到证明.【详解】（1）()2x f x e cosx x -=-，s '()2in x f x e x +=-'(0)1k f ==-，(0)0f =故切线方法为：y x =-（2）()2x f x e cosx x -=-，易知：(0)0f = ，0是函数的1个零点s '()2in x f x e x +=-取'()20sin xf x e x +=-=，即sin 2x e x -=-画出函数图像：知两函数有一个交点设为00(,)x y ，001x << 当02x x π-<<时，'()0f x <，函数()f x 单调递减.(0)0f =，所以0()0f x <当0x x >时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.x →+∞时,()f x →+∞，根据零点存在定理：当0x x >时有且仅有一个零点综上所述：()f x 在(,)2π-+∞上仅有2个零点 【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，根据单调性判断存在0()0f x <是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.22．（1）22:230C x y x +--=，10l y +=；（2）3. 【解析】【分析】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，在直线l 的参数方程中消去参数t ，可得出直线l 的普通方程；（2）将直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，得出关于t的二次方程，并列出韦达定理，可计算出121211t t MA MB t t ++=的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标方程中，由222x y ρ=+，cos x ρθ=可得出曲线C 的普通方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=. 在直线l 的参数方程中消去t1y +=10y +=；（2）直线l的参数方程表示为1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），并设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，消去x 、y得230t --=.由韦达定理得12t t +=1230t t =-<. 因此，1212121211t t t t MA MB t t t t +-+=====.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义，对于这类问题，常将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.23．（1）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）分0x ≤、03x <<、3x ≥去绝对值，分段解不等式()2f x ≥，可得出该不等式的解集；（2）由（1）可将函数()y f x =表示为分段函数，可求出函数()y f x =的最大值为3m =，可得出3a b c ++=，然后利用柯西不等式得出()()()2222111a b c a b c ++++≥++，由此可证明出2223a b c ++≥.【详解】（1）当0x ≤时，()()32323f x x x x x x =--=-+=+，由()2f x ≥，得32x +≥， 解得1x ≥-，此时10x -≤≤；当03x <<时，()()323233f x x x x x x =--=--=-，由()2f x ≥，得332x -≥， 解得13x ≤，此时103x <≤； 当3x ≥时，()()323236f x x x x x x =--=--=--≤-，此时不等式()2f x ≥无解. 综上所述，不等式()2f x ≥的解集为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）由（1）可知()3,033,033,3x x f x x x x x +≤⎧⎪=-<<⎨⎪--≥⎩.当0x ≤时，()33f x x =+≤；当03x <<时，()()336,3f x x =-∈-；当3x ≥时，()36f x x =--≤-.所以，函数()y f x =的最大值为3m =，则3a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222233a b c ++≥， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.因此，2223a b c ++≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.。
2023-2024学年洛阳市一中高二数学上学期期中达标测评卷附答案解析
2023-2024学年洛阳市一中高二数学上学期期中达标测评卷2023.10【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,4,)a x = ，(2,,2)b y = ，若||6a = ，a b ⊥ ，则x y +的值为（）A ．-3或1B ．-2C ．1或-2D ．22．一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（）A ．2130x y -+=B ．6220x y -+=C ．3150x y -+=D ．6270x y -+=3．已知椭圆2212516x y +=的左､右焦点分别为B 、C ，A 为椭圆上的一点（不在x 轴上），则△ABC 面积的最大值是（）A ．15B ．12C ．6D ．34．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22142x y -=的渐近线相交于A 、B 两点，若ABF∆的周长为p =（）A ．2B ．C ．8D ．45．已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C 的面积为（）A ．115πB ．265πC ．D ．1045π6．已知椭圆C 过点(3,0)，且离心率为，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22193x y +=B ．221279y x +=C ．22193x y +=或22139x y +=D ．22193x y +=或221279y x +=7．已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为a ，D 是侧棱1CC 的中点，则平面ABC 与平面1AB D 的夹角的余弦值为（）A ．12B ．C ．32D ．08．设抛物线24y x =的准线与x 轴交于点K ，过点K 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点．设线段AB 的中点为M ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线于点N ．已知NAB △的面积为2，则直线l 的斜率为（）A ．B ．12±C ．D ．2±二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知1F ､2F是双曲线C ：2212y x -=的上､下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y +=C ．点M 的横坐标为D ．12MF F △10．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =11．如图，在菱形ABCD 中，3AB =，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起，使点A ，C 之间的距离为P ，Q 分别为直线BD ，CA 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当AQ QC =，4PD DB =时，点D 到直线PQ 的距离为14B ．线段PQC ．平面ABD ⊥平面BCDD ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 所成角的余弦值为12．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（）A ．抛物线的方程是22x y=B ．抛物线的准线是1y =-C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设(12)a m =- ,,，(2,,4)b n =- ，若b a λ= ，则||a b -=r r ．14．已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =．15．如图，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为16．《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ．若3AB EF =，ADE V 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为．四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P(－2，2)和原点O.(1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1，0)，若l1，l2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l1的方程．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．(2)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6？若存在，求线段PM 的长度；若不存在，请说明理由．19．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为4e22<.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N 两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.20．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．1．A【分析】由向量模长的坐标表示求得4x =±，根据向量垂直的坐标表示列方程求y ，即得结果》【详解】||6a == ，可得4x =±．又a b ⊥，则4420a b y x ⋅=++= ．当4x =-时，1y =，此时3x y +=-；当4x =时，=3y -，此时1x y +=．故选：A2．D【分析】求得点(2,6)M 关于直线l ：30x y -+=的对称点M '的坐标，可得M N '的方程，即反射光线所在直线方程.【详解】解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '，所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=.故选：D.3．B【分析】由三角形面积公式可知△ABC 的底BC为定值，当高为最大时，面积即为最大，故当点A 位于椭圆上顶点或下顶点时高最大，即可求解.【详解】由三角形面积公式12ABC A S BC y =⋅ 可知，当Ay 最大时ABCS 有最大值，即点A 位于椭圆上顶点或下顶点，其中26BC c ====，则△ABC 面积的最大值是164122ABC S =⨯⨯= ，故选：B .4．A【解析】由题意设2,24p A p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,24p B p ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，再由ABF ∆的周长为p 的方程，从而求得p 的值.【详解】双曲线22142x y -=渐近线方程为2y x =±，抛物线()220y px p =>的准线方程为2px =-，则224p A p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,24p B p ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，22AB p ∴=，324FA FB ==，又ABF ∆的周长为FA FB AB ∴++=++=∴2p =.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、抛物线的准线方程、三角形的周长等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将周长表示成关于p 的方程.5．B【分析】根据题意求解圆1C ，2C 的公共弦方程，再计算圆2C 中的公共弦长即可得圆C 的直径，进而求得面积即可【详解】由题，圆1C ，2C 的公共弦为2242100x y x y ++--=和22(3)(3)6x y ++-=的两式相减，化简可得2110x y -+=，又()23,3C -到2110x y -+=的距离d ==，故公共弦长为=，故圆C ，故圆C 的面积为265π故选：B6．D【分析】就焦点的位置分类讨论后结合基本量的关系可求标准方程.【详解】若焦点在x 轴上，则3a=．由3c ea ==，得c =2223b a c =-=，此时椭圆C 的标准方程为22193x y +=．若焦点在y 轴上，则3b =．由3c e a ==，得227a =，此时椭圆C 的标准方程为221279y x +=．综上所述，椭圆C 的标准方程为22193x y +=或221279y x +=．故选：D.7．B【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面1AB D 的法向量，由向量的夹角公式结合特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：以点A 为坐标原点，以垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，以1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，因为111ABC A B C -是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点，所以11(0,0,0),,,),(0,,),(0,,)22a aA B a D a C a a ，故1,,),(0,,)22a aAB a AD a == ，1(0,0,)2a DC = ，设平面1AB D 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AB n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0202ay az a ay z ++=⎨⎪+=⎪⎩，令1y =，则2z =-，x =2)n =-，又平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =，所以|||cos ,|||||2m n m n m n ⋅<>===，所以平面ABC 与平面1AB D所成的锐二面角的余弦值为22．故选：B．8．A【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.【详解】解：如上图，由题意，抛物线24y x =的准线为=1x -，可得(1,0)K -．∵直线l 与抛物线交于A ，B 两点，∴直线l 的斜率存在且不为0，∴设直线l 方程为1(0)x ty t =-≠，将其代入24y x =，化简并整理得：2440y ty -+=．由2(4)160t ∆=-->，得21t >．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =，∴()2121212112x x y y t y t t y t +=+-==+---．∵M 是AB 的中点，∴()221,2M t t -．过点M 平行x 轴的直线为2y t =，与抛物线交点为知()2,2N t t，所以2||1MN t=-．又∵()()()()22221212124416441y y y y y y t t -=+--=⨯=-，则21241y yt -=-∴NAB △的面积32121||212S MN y y t =⋅-=-．由已知条件知2S =，∴32212t -=，解得22t=（满足0∆>），解得：2t =.∴直线l 的方程为21x y =±-，即)212y x =±+，∴直线l 的斜率为22±．故选：A ．9．AD【解析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A 选项；求得c 的值，可求得以12F F 为直径的圆的方程，可判断B 选项；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点M 的坐标，可判断C 选项；利用三角形的面积公式可判断D 选项【详解】由双曲线方程2212y x -=知2a =1b =，焦点在y 轴，渐近线方程为2a y x xb =±=，A 正确；c ==12F F 为直径的圆的方程是223x y +=，B 错误；由223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩223x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以，M 点横坐标是1±，C错误；121211122MF F M S F F x =⋅=⨯=△D 正确．故选：AD ．【点睛】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，而双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的渐近线方程为a y xb =±（即b x y a =±），应注意其区别与联系.10．ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB4==>，所以，点P 到直线AB的距离的最小值为425-<，最大值为4105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM ==4MP =，由勾股定理可得BP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.11．BCD【分析】易知,OA BD OC BD ⊥⊥，从而OA ⊥平面BDC ，进而有平面ABD ⊥平面BDC ，即可判断C ；建立坐标系，利用向量法可判断ACD【详解】取BD 的中点O ，连接,OA OC ，由题意可知：2OA OC ==，因为222OA OC AC +=，所以OA OC ⊥，又易知,OA BD OC BD ⊥⊥，因为OA OC ⊥，OA BD ⊥，OC BD O = ，所以OA ⊥平面BDC ，因为OA ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BDC ，故C 正确；以O 为原点，,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则()(),0,2,0,0,0,2,,0,0B C A D ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当AQ QC =，4PD DB =时，()0,1,1Q，3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PQ ⎫=⎪⎪⎝⎭，DP ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，所以点D 到直线PQ的距离为1321PQ DP d PQ⋅===，故A 错误；设(),0,0P a ，(),,Q x y z ，由CQ CA λ=得，()0,22,2Q λλ-，PQ =当10,2a λ==时，min PQ ，故B 正确；当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，()0,0,0P ，()0,1,1Q ，()0,1,1PQ=，2AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设PQ 与AD 所成的角为θ，则cosPQ ADPQ ADθ⋅=⋅，所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；故选：BCD12．BC【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得()F，1，设()11,A x y，()22,B x y，直线l的方程为1y kx=+，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求sin QMN∠的最小值.【详解】抛物线()2:20C x py p=>的焦点为2pF⎛⎫⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2py=-，点()2E t，到焦点F的距离等于3，可得232p+=，解得2p=，则抛物线C的方程为24x y=，准线为1y=-，故A错误，B正确；由题知直线l的斜率存在，()F，1，设()11,A x y，()22,B x y，直线l的方程为1y kx=+，由214y kxx y=+⎧⎨=⎩，消去y得2440x kx--=，所以124x x k+=，124x x=-，所以()21212242y y k x x k+=++=+，所以AB的中点Q的坐标为()2221k k+，，221242244AB y y p k k=++=++=+，故线段AB的最小值是4，即D错误；所以圆Q的半径为222r k=+，在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选：BC.【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，课程中心方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.13．9【分析】根据题意，由共线向量定理即可得到,a b的坐标，再由空间向量的坐标运算即可求得模长.【详解】由b a λ= ，得(2,,4)(1,2,)n m λ-=-，2,2,4,n m λλλ=-⎧⎪∴=⎨⎪-=⎩解得2,2,4,m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩(1,2,2)a ∴=- ，(2,4,4)b =-- ，(3,6,6)a b ∴-=-，9a b ∴-== ．故答案为：914．4【分析】由题可得10:x y AB --=，利用点到直线的距离公式可得:10l x y -+=，然后利用弦长公式即得.【详解】由圆221:(1)(2)4C x y -+-=，可知圆心()11,2C ，半径为2，圆222:(2)(1)2C x y -+-=，可知圆心()22,1C，又221:2410C x y x y +--+=，2224230:C x y x y +--+=，所以可得直线10:x y AB --=，设:0l x y c -+=，直线l 与圆2C=1c =，或3c =-，当1c =时，:10l x y -+=，∴4MN ==，当3c =-时，:30l x y --=2>，故不合题意.故答案为：4.15．2-【分析】根据椭圆的定义及直径所对的圆周角等于90，利用勾股定理及锐角三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式及斜率的定义即可求解.【详解】连接1QF，如图所示设()20,QF x x =>则14PF x =，由椭圆的定义得12122,2,PF PF a QF QF a +=+=所以2124,2,PF a x QF a x =-=-222423,PQ PF QF a x x a x =+=-+=-在1PF Q △中，190F PQ ∠= ,所以22211PF PQ QF +=,即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =，所以121244tan 22464PF x x PF F PF a x x x ∠====--，所以直线2PF 的斜率为()212tan 180tan 2k PF F PF F =-∠=-∠=- .故答案为：2-.16．2π##90︒【分析】在CD 上取点G ，满足3CD CG =，可得AEG ∠即为异面直线AE 与CF 所成角（或补角），设出边长，可得222AE EG AG +=，即可求出.【详解】如图，在CD 上取点G ，满足3CD CG =，因为//EF AB ，3AB EF =，四边形ABCD 为矩形，所以//EF CD ，且=EF CG ，则四边形EFCG 为平行四边形，则//CF EG ，所以AEG ∠即为异面直线AE 与CF 所成角（或补角），设3AD x =，则EF x =，22AD EF x ==，因为ADE V 和BCF △都是正三角形，所以2AE x =，2EG x =，由2DG x =，所以AG =，满足222AE EG AG +=，所以AE EG ⊥，即异面直线AE 与CF 所成角的大小为2π.故答案为：2π.17．(1)(x ＋2)2＋y2＝4(2)x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0【分析】（1）设圆心C(a ，－a －2)，由题意可得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a2＋(－a －2)2，解方程即可得出答案.（2）设出直线12,l l 的直线，因为圆心C 到直线l1，l2的距离相等，用点到直线的距离公式可得=.【详解】（1）由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C(a ，－a －2)．由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a2＋(－a －2)2，解得a ＝－2.因为圆心C(－2，0)，半径r ＝2，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y2＝4.（2）由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k ，则l2的斜率为1k -，所以l1：y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l2：()11y x k =-+，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l1，l2的距离相等，=，解得1k =±，所以直线l1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.18．(1)证明见解析(2)不存在满足条件的点M ，理由见解析点【分析】（1）利用面面垂直的判断定理可证平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法可判断M 是否存在.【详解】（1）CD ⊥ 平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）设AD 的中点为O ，连接,PO OG ，因为PAD 是正三角形，故PO AD ⊥，而平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，故PO ⊥平面ABCD ，而OG ⊂平面ABCD ，故PO OG ⊥，由四边形ABCD 为正方形且,O G 分别为,AD BC 的中点得AD OG ⊥，故可以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,P ，(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(2,4,0)C -，()2,0,0D -，故(0,4,0)G ，(E -，(F -，(2,0,PA ∴=-，(0,2,0)EF =- ，(1,2,EG =．假设线段PA 上存在点(,0,)M x z ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，且(01)PM tPA t =≤≤ ，则(,0,(2,0,x z t -=-，2x tz =⎧⎪⎨=⎪⎩，(2,)GM t ∴=--．设平面EFG 的一个法向量为(,,)n a b c = ，则2020EF n b EG n a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1c =，则n =，||1sin |cos ,|62||||GM nGM n GM n π⋅∴====，整理可得22320t t -+=，方程无解，故假设不成立，即不存在满足条件的点M ．19．(1)22143y x +=(2)能，定点为（0，85）【分析】（1）由条件列方程求,,a b c 可得椭圆方程；（2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.【详解】（1）由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则24a =，122c b ⨯⨯，222a b c =+又e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=（2）设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=，222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434kx x x x k k --+==++，..由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114yy x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1144x M y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444()4y xy x x y xy --=--，令0x =，则122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4xx x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=，则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,)5.则点（0，85）即为所求点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．(2)【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得h =所以点A 到平面1A BC（2）取1A B 的中点E,连接AE,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =12AA AB ==，12A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则020m BDx y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩ ，可取()0,1,1n =-r，则1cos ,222m n m n m n ⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.。
2019-2020学年河南省洛阳市九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年河南省洛阳市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．比22-小1的数是( ) A ．3-B ．3C ．5D ．5-2．为改善城市交通，洛阳市地铁1号线开工建设，工程自谷水西至文化街，线路长约23公里，设站19座，投资171亿元，把“171亿”用科学记数法表示为( ) A ．21.7110⨯B ．101.7110⨯C ．91.7110⨯D ．817110⨯3．如图，//AB CD ，2B D ∠=∠，22E ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．22︒B ．44︒C ．68︒D ．30︒4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，//CE BD ，//DE AC ，AD =，2DE =，则四边形OCED 的面积为( )A ．B ．4C ．D ．85．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,3)-，将原点O 绕点A 顺时针旋转90︒得到点O '，则点O '的坐标是( ) A ．(3,1)B ．(3,1)--C ．(4,2)-D ．(2,4)6．一元二次方程(1)1x x x +-=的根是( ) A ．121x x ==-B ．121x x ==C ．11x =，21x =-D ．120x x ==7．某市为扶持绿色农业发展，今年4月投入的扶持基金为3600万元，按计划第二季度的总投入要达到12000万元，设该市5、6两月投入的月平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是( )A ．3600(1)12000x +=B ．23600(1)12000x +=C ．23600(1)3600(1)12000x x +++=D ．236003600(1)3600(1)12000x x ++++=8．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若12x -<<，则y 的取值范围是( )A ．30y -<B ．43x -<-C ．40y -<<D ．40y -<9．若点(,)m n 在坐标系中的第四象限，则一次函数(2)4y m x n =++-的图象一定不经过() A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．如图，等边三角形ABC 的边长是2，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接MN ，则在点M 运动过程中，线段MN 长度的最小值是( )A ．12B ．1CD 二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算23--= ．12．不等式组1274xx ⎧-⎪⎨⎪-+>⎩的解集是 ．13．二次函数224y x x =-+的顶点坐标是 ．14．已知抛物线2y ax bx c =++在坐标系中的位置如图所示，它与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，P 是其对称轴1x =上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①20a b +=；②3x =是20ax bx c ++=的一个根；③若PA PB =，PA PB ⊥，则4a b c ++=．其中正确的有 个．15．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，将点B 绕点A 逆时针旋转，点B 的对应点为B '，BAB ∠'的平分线交BC 于E ，且35BE a =．若点B '落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为 ．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简再求值：2234(1)121x x x x x ---÷+++，其中x 是方程：220x x -=的一个根． 17．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）本次共调查了 名学生，其中最喜爱戏曲的有 人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 ．（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．18．如图，直线y =+A 、B 两点． （1）求ABO ∠的度数；（2）过A 的直线l 交x 轴正半轴于C ，AB AC =，求直线l 的函数解析式．19．已知关于x 的一元二次方程2(1)220k x kx k +-+-=有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）写出满足条件的k 的最小整数值，并求此时方程的根． 20．如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C （1）请画出将ABC ∆向左平移4个单位长度后得到的图形△111A B C ； （2）请画出ABC ∆关于点(1,0)成中心对称的图形△222A B C ；（3）若△111A B C 绕点M 旋转可以得到△222A B C ，请直接写出点M 的坐标； （4）在x 轴上找一点P ，使PA PB +的值最小，请直接写出点P 的坐标；21．坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：如果购买新红星40箱，红富士60箱，需付款4300元；如果购买新红星100箱，红富士35箱，需付款4950元（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；22．如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ADE ∆． （1）观察猜想小明发现，将DAC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，如图1，他发现ACD ∆的面积1S 与BAE ∆的面积2S 之间有一定的数量关系，请直接写出这个关系： ． （2）类比探究如图2，M 是CD 的中点，请写出AM 与BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）解决问题如图3，AB AD =，AB AD ⊥，AC AE =，AC AE ⊥，C 在线段BD 上，AH BE ⊥交CD 于H ，若2BC =，3CD =，请直接写出AH 的长．23．如图，抛物线2y x bx c=-++交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线122y x=-+经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．①求PBC∆面积最大值和此时m的值；②Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．2019-2020学年河南省洛阳市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分） 1．比22-小1的数是( ) A ．3-B ．3C ．5D ．5-【解答】解：224-=-， 则比22-小1的数是5-， 故选：D ．2．为改善城市交通，洛阳市地铁1号线开工建设，工程自谷水西至文化街，线路长约23公里，设站19座，投资171亿元，把“171亿”用科学记数法表示为( ) A ．21.7110⨯B ．101.7110⨯C ．91.7110⨯D ．817110⨯【解答】解：171亿17= 100 000 10000 1.7110=⨯． 故选：B ．3．如图，//AB CD ，2B D ∠=∠，22E ∠=︒，则D ∠的度数为( )A ．22︒B ．44︒C ．68︒D ．30︒【解答】解：//AB CD ，B EFC ∴∠=∠，2E EFC D B D D D D ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠，22E ∠=︒， 22D ∴∠=︒，故选：A ．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，//CE BD ，//DE AC ，AD =，2DE =，则四边形OCED 的面积为( )A ．B ．4C ．D ．8【解答】解：连接OE ，与DC 交于点F ， 四边形ABCD 为矩形，OA OC ∴=，OB OD =，且AC BD =，即OA OB OC OD ===， //OD CE ，//OC DE ， ∴四边形ODEC 为平行四边形，OD OC =，∴四边形ODEC 为菱形，DF CF ∴=，OF EF =，DC OE ⊥， //DE OA ，且DE OA =， ∴四边形ADEO 为平行四边形，2AD =，2DE =，OE ∴=，即OF EF ==在Rt DEF ∆中，根据勾股定理得：1DF ==，即2DC =，则11222ODEC S OE DC =⋅=⨯=菱形．故选：A ．5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,3)-，将原点O 绕点A 顺时针旋转90︒得到点O '，则点O '的坐标是( ) A ．(3,1)B ．(3,1)--C ．(4,2)-D ．(2,4)【解答】解：观察图象可知(4,2)O '-，故选：C ．6．一元二次方程(1)1x x x +-=的根是( ) A ．121x x ==- B ．121x x ==C ．11x =，21x =-D ．120x x ==【解答】解：(1)10x x x +--=，(1)(1)0x x x ∴+-+=，则(1)(1)0x x +-=， 10x ∴+=或10x -=，解得11x =-，21x =， 故选：C ．7．某市为扶持绿色农业发展，今年4月投入的扶持基金为3600万元，按计划第二季度的总投入要达到12000万元，设该市5、6两月投入的月平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是( ) A ．3600(1)12000x += B ．23600(1)12000x +=C ．23600(1)3600(1)12000x x +++=D ．236003600(1)3600(1)12000x x ++++=【解答】解：根据题意列出方程，得236003600(1)3600(1)12000x x ++++=． 故选：D ．8．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，若12x -<<，则y 的取值范围是( )A ．30y -<B ．43x -<-C ．40y -<<D ．40y -<【解答】解：抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)， ∴抛物线的解析式可设为(1)(3)y a x x =+-，把(0,3)-代入得31(3)a -=-，解得3a =，∴抛物线的解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--，2(1)4y x =--，1x ∴=时，y 有最小值4-， 2x =时，2233y x x =--=-，∴当12x -<<，y 的取值范围是40y -<．故选：D ．9．若点(,)m n 在坐标系中的第四象限，则一次函数(2)4y m x n =++-的图象一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：点(,)m n 在坐标系中的第四象限， 0m ∴>，0n <， 20m ∴+>，40n -<，∴一次函数(2)4y m x n =++-的图象经过第一、三、四象限．故选：B ．10．如图，等边三角形ABC 的边长是2，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接MN ，则在点M 运动过程中，线段MN 长度的最小值是( )A ．12B ．1 CD【解答】解：由旋转的特性可知，BM BN =， 又60MBN ∠=︒， BMN ∴∆为等边三角形． MN BM ∴=，点M 是高CH 所在直线上的一个动点，∴当BM CH ⊥时，MN 最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）． 又ABC ∆为等边三角形，且2AB BC CA ===，∴当点M 和点H 重合时，MN 最短，且有112MN BM BH AB ====． 故选：B ．二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算23--= 12- ． 【解答】解：原式93=-- 12=-．故答案为：12-．12．不等式组1274xx ⎧-⎪⎨⎪-+>⎩的解集是 2x - ．【解答】解：解不等式12x-，得：2x -，解不等式74x -+>，得：3x <， 则不等式组的解集为2x -， 故答案为：2x -．13．二次函数224y x x =-+的顶点坐标是 (1,3) ．【解答】解：224y x x =-+，∴12ba-= 244144344ac b a -⨯⨯-==， 即顶点坐标为(1,3)， 故答案为：(1,3)．14．已知抛物线2y ax bx c =++在坐标系中的位置如图所示，它与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，P 是其对称轴1x =上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①20a b +=；②3x =是20ax bx c ++=的一个根；③若PA PB =，PA PB ⊥，则4a b c ++=．其中正确的有 3 个．【解答】解：①因为抛物线的对称轴1x =， 所以12ba-=，即20b a +=， 所以①正确；②因为(1,0)A -，对称轴1x =，所以设抛物线与x 轴的另一个交点为E ， 所以(3,0)E ，所以3x =时，0y =，即3x =是20ax bx c ++=的一个根． 所以②正确； ③如图：过点B 作BD ⊥对称轴于点D ，设对称轴交x 轴于点C ， AP BP ⊥， 90APB ∴∠=︒， 90APC BPD ∴∠+∠=︒， 90BPD PBD ∠+∠=︒， PBD APC ∴∠=∠，AP BP =，Rt APC Rt PBD(AAS)∴∆≅∆ 1PC BD ∴==，2DP AC ==， 3DC ∴=， 3OB ∴=，(0,3)B ∴．又(3,0)E ，(1,0)A -．设抛物线解析式为(1)(3)y a x x =+-， 把(0,3)B 代入，解得1a =-， ∴抛物线解析式为223x x -++，当1x =时，4y =， 即4a b c ++=． 所以③正确． 故答案为3．15．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，将点B 绕点A 逆时针旋转，点B 的对应点为B '，BAB ∠'的平分线交BC 于E ，且35BE a =．若点B '落在矩形ABCD 的边上，则a 的【解答】解：分两种情况： ①当点B '落在AD 边上时，如图1． 四边形ABCD 是矩形， 90BAD B ∴∠=∠=︒，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在AD 边上， 1452BAE B AE BAD ∴∠=∠'=∠=︒，AB BE ∴=， ∴315a =， 53a ∴=； ②当点B '落在CD 边上时，如图2． 四边形ABCD 是矩形，90BAD B C D ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC a ==．将ABE ∆沿AE 折叠，点B 的对应点B '落在CD 边上， 90B AB E ∴∠=∠'=︒，1AB AB ='=，35EB EB a ='=，DB ∴'==，3255EC BC BE a a a =-=-=．90B AD EB C AB D ∠'=∠'=︒-∠'， 90D C ∠=∠=︒，ADB ∴∆'∽△B CE '，∴DB AB CE B E ''='12355a =，解得1a =2a =． 综上，所求a 的值为53或故答案为53三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简再求值：2234(1)121x x x x x ---÷+++，其中x 是方程：220x x -=的一个根． 【解答】解：解方程220x x -=得：0x =或2，2234(1)121x x x x x ---÷+++2(2)(2)(1)1(2)(2)x x x x x x +-+=++- 1x =+，当2x =时，原式没有意义，舍去； 当0x =时，原式1=．17．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）本次共调查了 50 名学生，其中最喜爱戏曲的有 人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是 ．（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．【解答】解：（1）本次共调查学生：48%50÷=（人)，最喜爱戏曲的人数为：506%3⨯=（人)；“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：18100%36%50⨯=， ∴ “体育”类人数占被调查人数的百分比为：18%30%36%6%20%----=， ∴在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是36020%72︒⨯=︒；故答案为：50，3，72︒．（2）20008%160⨯=（人)，答：估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数约有160人．18．如图，直线y =+A 、B 两点． （1）求ABO ∠的度数；（2）过A 的直线l 交x 轴正半轴于C ，AB AC =，求直线l 的函数解析式．【解答】解：（1）对于直线y =+，令0x =，则y = 令0y =，则1x =-，故点A 的坐标为，点B 的坐标为(1,0)-，则AO =1BO =， 在Rt ABO ∆中，tan AOABO BO∠==，60ABO ∴∠=︒；（2）在ABC ∆中， AB AC =，AO BC ⊥， AO ∴为BC 的中垂线，即BO CO =，则C 点的坐标为(1,0)，设直线l 的解析式为：(y kx b k =+，b 为常数），则0b k b ==+⎪⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩即函数解析式为：y =+．19．已知关于x 的一元二次方程2(1)220k x kx k +-+-=有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）写出满足条件的k 的最小整数值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）关于x 的一元二次方程2(1)220k x kx k +-+-=有两个不相等的实数根， ∴210(2)4(1)(2)0k k k k +≠⎧⎨=--+->⎩， 解得：2k >-且1k ≠-，∴实数k 的取值范围为2k >-且1k ≠-．（2）2k >-且1k ≠-，∴满足条件的k 的最小整数值为0，此时原方程为220x -=，解得：1x =，2x =．20．如图，ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C （1）请画出将ABC ∆向左平移4个单位长度后得到的图形△111A B C ； （2）请画出ABC ∆关于点(1,0)成中心对称的图形△222A B C ；（3）若△111A B C 绕点M 旋转可以得到△222A B C ，请直接写出点M 的坐标；（4）在x轴上找一点P，使PA PB+的值最小，请直接写出点P的坐标；【解答】解：（1）如图，△A B C即为所求．111（2）如图，△A B C即为所求．222（3）如图，点M即为所求，点M的坐标(1,0)-．（4）如图，点P即为所求，点P的坐标(2,0)．21．坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：如果购买新红星40箱，红富士60箱，需付款4300元；如果购买新红星100箱，红富士35箱，需付款4950元（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；【解答】解：（1）设每箱新红星a 元，每箱红富士b 元，由题意可得： 40600.943001000.9354950a b a b +⨯=⎧⎨⨯+=⎩， 解得4050a b =⎧⎨=⎩，答：每箱新红星40元，每箱红富士50元；（2）设购置新红星x 箱，则购置红富士(120)x -箱，所需的总费用为y 元， 由题意可得：1(120)2x x -， 解得：40x ， 又60x ，所以新红星箱数x 的取值范围：4060x ， 当4050x <时， 40500.8(120)y x x =+⨯- 804800x =+，所以40x =时，y 有最小值80000元，当5060x 时，0.840500.8(120)724800y x x x =⨯+⨯-=+， 所以50x =时，y 有最小值8400元， 80008400<，∴购买新红星40箱，红富士80块，费用最少，最少费用为8000元．22．如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到ADE ∆． （1）观察猜想小明发现，将DAC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，如图1，他发现ACD ∆的面积1S 与BAE ∆的面积2S 之间有一定的数量关系，请直接写出这个关系： 12S S = ． （2）类比探究如图2，M 是CD 的中点，请写出AM 与BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）解决问题如图3，AB AD =，AB AD ⊥，AC AE =，AC AE ⊥，C 在线段BD 上，AH BE ⊥交CD 于H ，若2BC =，3CD =，请直接写出AH 的长．【解答】解：（1）结论：12S S =．理由：如图1中，作EH BA ⊥交BA 的延长线于H ，CM AD ⊥于M ．由题意CA AE =，AD AB =，90CAE DAF ∠=∠=︒， EAH CAM ∴∠=∠， sin sin CAM EAH ∴∠=∠，111sin 22S AD CM AD AC CAM ==∠，211sin 22S AB EH AB AE EAH ==∠， 12S S ∴=．故答案为12S S =．（2）结论：2BE AM =．理由：如图2中，延长AM 到T ，使得MT AM =，连接CT ，DT ．CM DM =，AM MT =，∴四边形ADTC 是平行四边形，//AC DT ∴，AC DT =，180CAD ADT ∴∠+∠=︒，90CAE BAD ∠=∠=︒，180BAE CAD ∴∠+∠=︒，BAE ADT ∴∠=∠，AE AC DT ==，BA AD =，()BAE ADT SAS ∴∆≅∆，BE AT ∴=，AM MT =，2BE AM ∴=．（3）作//DT AC 交AH 的延长线于T ．连接DE ．=，AC AEAB AD∠=∠=︒，=，90BAD CAE∴∠=∠=︒，BAC DAE∠=∠，ABD ADB45∴∆≅∆，BAC DAE SAS()BC DE==，∴∠=∠=︒，2ADE ABC45∴∠=∠+∠=︒，BDE BDA ADE90BE∴===，∠=∠=︒，BAD CAE90∴∠+∠=︒，180CAD BAEAC DT，//∴∠+∠=︒，CAD ADT180∴∠=∠，BAE ADTAH BE⊥，∠+∠=︒，ABE BAT90DAT BAT∴∠+∠=︒，90∴∠=∠，DAT ABE=，AB AD∴∆≅∆，()ABE DAT ASA=，∴=，AE DTBE AT=，AC AE∴=，AC DT∠=∠，∠=∠，AHC DHTCAH T∴∆≅∆，()AHC THD AAS∴=，AH HT12AH BE ∴==． 23．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 直线122y x =-+经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ． ①求PBC ∆面积最大值和此时m 的值； ②Q 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P 的坐标．【解答】解：（1）直线122y x =-+经过点B ，C ，则点B 、C 的坐标分别为：(4,0)、(0,2)， 将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式并解得：72b =，2c =， 故抛物线的表达式为：2722y x x =-++； （2）①过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点H ，则点27(,2)2P m m m -++，点1(,2)2H m m -+， PBC ∆面积2211714(22)282222PH OB m m m m m =⨯⨯=⨯⨯-+++-=-+， 20-<，∴面积存在最大值为8，此时，2m =；②设27(,2)2P m m m -++，点1(,2)2Q n n -+，当AB 是平行四边形的边时， 点A 向右平移92个单位得到B ，同样点()P Q 向右平移92个单位得到()Q P ， 则92m n ±=，2712222m m n -++=-+，解得：m =，n =当AB 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：4m n +=，27122222m m n -++-+=，解得：0m =或4（舍去4)；综上点P 的坐标为，或，或，或或(0,2)．。