例析数学思想在数列中应用
例析数学思想在数列中的应用
数列是高中数学的重要内容，也是初、高等数学的重要的衔接点。纵观近几年高考试卷不难发现它是必考内容之一，常以填空题和解答题形式出现，属于中、高档题型。填空题主要考查等差（比）数列的通项公式、求和公式的应用以及基本性质；解答题往往放在最后两题的位置，通常从数列的基本性质入手，进一步研究数列的通项公式和求和公式，有时会和方程、函数、不等式等知识结合起来考查。学生对于这类问题往往束手无策，但学生如果能理解数列中蕴含的数学思想方法，灵活运用它会起到意想不到的效果。下面笔者对数列试题中常涉及的数学思想方法进行举例分析。
一、方程思想
等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1、d（q）、n、an、sn，我们根据其中三个可以求出另外二个的基本问题，可以运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1.（2010年福建高考）在等比数列{an}中，若公比q为4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an=___________。
分析：根据等比数列前n项和公式可求出a1=1，故an=4n-1。
注：本题利用方程思想揭示问题隐含的等量关系，从而显示设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛应用。
二、函数思想
数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）上的特殊函
数。运用函数思想去研究数列，要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决相关问题，它不仅使问题简化，而且还可以加深对知识的关系的理解。
例2.已知a■=■，n∈n*，求{an}中最大项是第几项？
分析：本题实质上求f（n）=n+■，n∈n*的最小值时项数，因为n+■≥2■，当且仅当n=■时取等号，又n∈n*，故n=12或13，又a12=a13，所以最大项是第12项和第13项。
注：函数思想在数列中的运用，学生有时想不到。怎样有效地将数列情景转化为函数情景，然后用函数的性质解决问题，是运用函数思想解决数列问题的关键所在。
三、分类讨论思想
当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答。
例3.（2011年四川文科）已知数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，sn是它的前n项和。当sm，sn，s1成等差数列时，求证：对任意自然数k，am+k，an+k，at+k也成等差数列。
分析：对公比q讨论，分q=1或q≠1两种情况，利用等比数列求和公式化简变形很易证出本题结论。
四、转化与化归思想
把将要解决的陌生问题通过化归，变为一个比较熟悉的问题来
解决。实际中我们常常将一个复杂问题化归为一个或几个简单的问题来解决，或将抽象的问题化归为具体的问题来解决等。
例4.设等差数列{an}的前项和为sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，求s6的取值范围。
分析：因为a5=a1+4d，a6=a1+5d，s6=6a1+15d。很易得到s6=15a5-9a6，故可得s6的取值范围为[-12，42]。当然本题还可以用转化线性规划知识来求解，横坐标表示a1，纵坐标表示d。
注：用线性规划知识来解实质上就是用转化思想。
五、数形结合思想
数列是特殊的函数，它的图象是由一些有规律的间断点构成，具有鲜明的几何意义。
例5.（2010年福建理科）设等差数列{an}的前n项和为sn，若a1=-11，a4+a6=-6，则当sn取最小值时，n=____________。
分析：根据a1=-11，a4+a6=-6，不难求出d=2。则sn=n2-12n，再根据二次函数图象不难得出本题答案为6。
六、整体思想
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。
例6.在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+■）a■+■，求数列{an}的通项公式。
分析：由已知变形可得■■=■，令b■=■，则得bn+1-bn=■。这样可采用叠加思想不难求出bn=2-■，故a■=2n-■。
注：整体思想的运用依赖于对问题的敏锐观察、缜密的分析思考，依赖于解题经验的积累，使多元问题转化为一元问题。
七、归纳推理、类比推理思想
在高考中，这类题常以填空题形式出现。归纳推理主要的思想方法是特殊到一般；类比推理关键在于弄清试题中给出的原命题的运算原理及关系、结构，在新的条件环境下类比新命题。
例7.若数列{an}满足a■=
2a■ （0≤a■≤1）a■-1（a■>1）且a1=■，求a■的值。
分析：由递推式得a1=■，a2=■，a3=■，a4=■，a5=■，a6=■，……所以a■=a2=■。
注：对于这种数列型的归纳推理一般分为两类，一类推理出它的周期，一类推理出具有特殊性质数列的通项公式。有时考试也会以图表的形式出现。
例8.设等差数列{an}的前n项和为sn，则s4，s8-s4，s12-s8，s16-s12成等差数列，类比以上结论有：等比数列{bn}的前项n积为tn，则t4，____，_____，t16/t12成等比数列。
分析：等差数列中的减类比到等比数列中就变成除，故本题填■，■。
通过以上例题剖析，我们会发现有些数列问题虽然比较复杂，但是经过我们仔细分析，灵活地运用数学思想方法以后，它们都可以得到解决。当然一个题目所蕴含的数学思想不是唯一的，这就是数学题目会出现一题多解的原因。我们只有把握住问题的实质，才
能更好、更快、更准确地解决问题。
参考文献：
[1]张建军.数列中的数学思想方法分析.数学之友，2011（6）.
[2]孙翔峰.三维设计.光明日报出版社，2011（4）.
（责编 高伟）
例析构造思想在高中数学解题中的应用
《数学之友＞ ２０１１年第１２期 例析构造思想在高中数学解题中的应用 张文彬 （江苏省扬中市新坝中学，２１２２１ １） 波利亚说过“掌握数学意味着什么呢？就是要 善于解题”．从某种意义上讲，学习高中数学就需要 进一步提高学生的解题能力，数学教学就是以解决 数学问题为中心的教学．而构造法是其中一种重要 的解题思想方法，所谓构造法，就是根据题设条件和 结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它 认识与解决原问题的一种思想方法． “要什么，求什么，给什么，用什么”是基本的常规 解题思路和解题模式，而应用“构造思想”解题，则另辟 蹊径在解题过程中根据所给问题的题设条件或结论 的结构特征，利用各种知识间的内在联系，或形式上的 某种相似性，有目的地构造一个特定的数学模型，从而 把原问题转化为—个与之等价却又被赋于特定意义的 问题，通过对它的讨论而使原问题得解 高中数学解题中可以依据问题实际情况构造不 同对象，现举例予以说明． １构造应用几何体（图形） 例１在棱锥的三个侧面和一个底面中，直角 三角形最多可能有（ ）个． （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ 解：如图①，三棱锥Ｐ～ＡＢＣ 中，ＰＡ上底面ＡＢＣ，底面ＡＡＢＣ 中，／＿ＡＢＣ＝９０。，易知应选Ｄ． 点评：（１）构造出符合条件 的三棱锥问题迅速获解，在高考 中不少立体几何选择、填空题均 可用构造法求解；（２）可以通过 （Ｄ）４ Ｂ 图① 构造满足条件而结论不成立的图形举出反例进行证 伪和释疑． 例２已知变量 ，Ｙ满足 ｆｘ一４，，≤一３， ｛３ｘ＋５），≤２５，求 的取值 Ｌ ≥１． 范围． 解：如图②，变量 ，Ｙ构成 的点Ｑ（ ，，，）位于△仰Ｃ内部 ／ ＼ ■ ‘ ．．＼ ．．．． 图② （包括边界）， 可以构造为过动点Ｑ与定点Ｐ 十 一 （一１，２）的直线斜律ｋ＝ 的 倍，得到取值范 ・５６・ 围卜÷， 点评：（１）借助数形之间的关系进行构造，需要 对一些特定的数学式子表达的几何意义有着较为深 刻的理解才行；（２）当式子的几何意义不够明确时， 可能需要对式子加以适当的变形，使得构造的式子 具有确切的几何意义． ２构造数学模型 例３求方程ｌｎｘ＝６—２ｘ的解的个数． 解：（法１）构造函数 厂（ ）＝ｌｎｘ＋２ｘ一６（ ＞０）， 即求函数的零点的个数． １ 由厂（ ）＝ ＋２＞０， 知厂（ ）在（Ｏ，＋∞）上单调 增函数，又因为ｆ（２）＝ｌｎ２ 一 ３－ ２－ ｌ。 一１ ０ ／１ ２ ３＼４ ５ ｊ 一ｌ ’＼ －２一 一２＜０ ３）＝ｌｎ３＞０，且 ）是连续函数，故函数 有１个零点，由此原方程有１解． （法２）构造两个函数ｍ（ ）＝ｌｎｘ， （ ）＝一２ｘ ＋６，如图３考察两者图象的交点个数即可． 点评：（１）构造常见的方程、函数、不等式等数 学模型解题时，需要注意它们之间的联系；（２）典型 的函数图象容易作出，但不熟悉的或复杂的函数就 首先要依靠导数等工具探究出函数的性质，才能作 出大致的图象． 例４ 已知数列｛ｎ ｝的首项 ＝÷， ＋。＝ Ｂａ ｎ，ｎ＝ｌ，２，…． （１）求｛ａ ｝的通项公式； （２）证明：对任意的 ＞０， ｎ ≥ 一 （ 一 ）凡＝・，ｚｎｎ≥ 一丽ｌ Ｊ，一 ＇２，…； （３）证明：。ｚ＋０２＋．． ＞ ・ 解：（１）构造一个新数列｛ －１），它是以 为 首项，寺为公比的等比数列，从而求出。 ・ （下转第５８页）
极限思想在高中数学解题中的应用
极限思想在高中数学解题中的应用
摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。
关键词：极限思想；解题；应用；
一、在日常教学中渗透,逐步形成认知
在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为 。我们可以把满足,,,的实数的集合分别表示为,,,。
二、在概念教学中渗透,深化理解与认识
教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。当时，( 为常数),把称为在点的导数,记作。在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。
三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力
数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。
1. 极限思想在立体几何中的应用
立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。
例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。
高中数学论文800字三篇
高中数学论文800字三篇
第一篇：论数学中的变换思想在解题中的应用
摘要
变换思想在高中数学解题中具有重要作用，本文通过具体例题分析，探讨了变换思想在函数、几何和代数等领域中的应用，旨在提高学生解决数学问题的能力。
关键词
变换思想，解题方法，数学问题，高中教育
1. 引言
在高中数学教学中，变换思想是一种重要的解题方法。通过对问题进行合理的变换，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。本文将从函数、几何和代数三个方面，分析变换思想在高中数学解题中的应用。
2. 变换思想在函数解题中的应用
函数是高中数学的重要内容之一。在解决函数问题时，变换思想可以有效地将问题简化。例如，在求解函数的极值问题时，可以通过换元法将函数转化为简单的一次函数或二次函数，进而求解。
3. 变换思想在几何解题中的应用
几何问题是高中数学中的另一个重要部分。变换思想在几何解题中的应用也十分广泛。例如，在解决几何证明问题时，可以通过添加辅助线、变换图形位置或形状等方式，将问题转化为已知几何定理或公式，从而简化问题。
4. 变换思想在代数解题中的应用
代数问题是高中数学的另一个重要内容。在解决代数问题时，变换思想同样可以发挥重要作用。例如，在求解方程组时，可以通过变换方程组的形式，将其转化为已知解法形式的方程组，从而简化问题。
5. 结论
变换思想在高中数学解题中具有重要作用。通过运用变换思想，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率。因此，在日常研究中，学生应加强对变换思想的研究和应用，提高自己的数学解题能力。
第二篇：论高中数学中的分类讨论思想在解题中的应用
摘要
分类讨论思想是高中数学解题中常用的一种方法。本文通过对具体例题的分析，探讨了分类讨论思想在数列、函数、几何等领域的应用，以期提高学生解决数学问题的能力。
关键词
分类讨论，解题方法，数学问题，高中教育
1. 引言
在高中数学教学中，分类讨论思想是一种重要的解题方法。通过对问题进行合理的分类讨论，可以将复杂问题转化为简单问题，从而提高解题效率。本文将从数列、函数和几何三个方面，分析分类讨论思想在高中数学解题中的应用。
高中数学教学课例《数列》课程思政核心素养教学设计及总结反思
高中数学教学课例《数列》教学设计及总结反思
学科 高中数学
教学课例名称 《数列》
教材分析 “数列”这节课的教学内容是高一数学第三章《数列》的第一节，是开启课。数列是高中数学的重要内容之一，它的地位作用可以从三个方面来看：
（1）数列有着广泛的实际应用。如堆放物品总数的计算要用到数列前n项和公式；又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理；再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识。
（2）数列起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型，人们往往通过离散现象认识连续现象.另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备。因此就有必要研究数列。
（3）数列是培养学生数学能力的良好题材。学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。
本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础，为了本章后面知识的学习，首先必须掌握数列的概念，其次数列的通项公式是研究后面等差数列、等比数列的灵魂，所以我认为数列的概念及其通项公式是教学的重点。由特殊到一般，由现象到本质，要学生从一个数列的前几项或相邻的几项来观察、归纳、类比、联想出数列的通项公式，学生必须通过自己的努力寻找出数列的通项an与项数n之间的关系来，对学生的能力要求比较高，所以我认为建立数列的通项公式是教学的难点。我觉得教学的关键就是教会学生克服难点，办法是让学生学会观察数列的前几项的特点，在观察和比较中揭示数列的变化规律。
教学目标 1、知识与技能：通过枚举归纳：
①认识数列的特点,掌握数列的概念及表示方法。②了解数列通项公式的意义及数列分类。③能由数列的通项公式求出数列的各项，反之,能由数列的前几项写出数列的一个通项公式。
基于学科大概念的高中数学大单元教学设计——以“数列”为例
案例剖析 ＡＮＬＩＰＯＵＸＩ１２８ 基于学科大概念的高中数学大单元教学设计基于学科大概念的高中数学大单元教学设计
———以“数列”为例
◎张 萌 马 万 （宁夏师范学院，宁夏回族自治区 固原 ７５６０００）
【摘要】新一轮课程改革将培养学生的学科核心素养作为首要任务，并提出要以学科大概念为核心，使课程内容结构化．在此背景下，以学科大概念为核心的单元教学成为落实学科核心素养的有效途径．为此，文章以“数列”单元内容为例，对以学科大概念为核心的大单元教学设计进行了探究，并以“解析课程标准，确定大概念———重整单元内容，制订教学目标———明确评价任务，设计单元学习活动”为单元教学设计流程，以期为一些一线高中数学教师基于大概念理念进行大单元教学设计提供参考．【关键词】学科大概念；单元教学设计；高中数学；数列【基金项目】宁夏科技厅重点研发计划项目（引才专项）项目编号：２０１９ＢＥＢ０４００３
引 言大概念是由美国学者布鲁纳提出的．大概念并非指某一知识的具体概念，而是指具体知识背后更为本质、更为核心的思想或看法，它是对概念间关系的抽象表述，是对事物的性质、特征以及事物间的内在关系及规律的高度概括．围绕大概念进行大单元教学，能帮助学生系统地梳理知识、重整数学内容结构，有助于学生对知识的深入学习和建构，也有助于发生学习迁移．同时能提高学生的抽象概括能力和思维水平，并在学习过程中逐渐落实学科核心素养．因此，文章以高中数学“数列”单元为例，探讨基于学科大概念的高中数学单元教学设计．一、解析课程标准，确定大概念《普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）》中“数列”被安排在选择性必修课程“函数”主题下，并指出“数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用”．而函数是刻画客观世界的重要模型，所以“数列”单元的大概念可以确定为“数列是刻画客观世界的重要模型”．因此可以从函数视角来学习数列，用函数的思想方法研究数列，将函数思想渗透到数列的学习中，让学生真真切切地感受到数列是一类特殊的函数，既能加深对函数的认识，又能将数列统一到函数中，完成知识的整合，同时能培养学生的数学抽象、逻辑推理等能力，进而落实学生学科核心素养的培养．二、重整单元内容，制订教学目标（一）教材分析数列是普通高中数学教科书选择性必修第二册人教Ａ版第四章的内容，也是高考的重点考查知识之一．１．学科性质数列是刻画客观世界的重要模型，所以数列是一类特殊的函数，是反映自然规律的数学概念．数列本身也是数学的研究对象之一．它不仅有着广泛的实际应用，而且是学习计算机、高等数学的基础知识之一．２．知识的上下位关系数列是整个高中数学知识的汇合点，许多高考知识都与数列有着非常密切的联系．在本单元学习之前，学生在义务教育阶段就已经学习掌握了数、式、方程、变量基础知识（变量的概念与图像、一次函数、二次函数、反比例函数）之外，在高中也已经系统学习了集合、函数的概念及表示方法、函数的基本性质、基本初等函数等内容．而在本单元学习之后，数列内容又为后续学生学习一元函数导数、数列的极限等内容奠定了基础．３．单元蕴含的数学思想方法数列单元蕴含着非常丰富的数学思想方法，如在数列概念的探究过程中渗透着数学归纳法和特殊到一般的思想；在等差数列、等比数列的通项公式的推导过程中渗透着函数思想与方程思想；在运用等差、等比数列求解实际问题中渗透着分类讨论、转化、数形结合等思想．教材中本单元内容如图１所示．但是采用这样的单元设计就容易忽略各个知识体系间固有的内在联系，如数列、等差数列、等比数列的通项公式之间存在着怎样的联系，等差数列与等比数列的求和公式之间又存在着怎样的联系等． ＡＮＬＩＰＯＵＸＩ 案例剖析１２９ 图１ 教材内容流程图所以通过对“数列”教材内容的分析梳理和确定的大概念，对本章内容进行重新整合，主要由三部分组成：数列基础知识、两类特殊数列、单元总结与拓展．（二）学情分析１．学生的认知基础在义务教育阶段，学生已经学习了数、方程、一次函数、二次函数等内容，对数的特征和规律有一定的了解，所以可以通过一些生活实例，理解数列的概念以及通项公式．在高中阶段，学生也学习了方程、函数、不等式等内容，他们能运用方程与函数思想学习数列知识，并能解决一些简单的数列问题．并且对于高中学生来说，他们已经具备一定的数学运算、逻辑推理等数学素养，为学习本单元的知识打下良好的基础．２．学生的认知困难虽然学生在之前就已经学了函数、方程、数与代数等知识，具有一定的知识基础和学习能力，但是学生在学习本单元内容时，仍有如下四点困难：①学生对所学知识只是简单的记忆和理解，缺乏对知识的整合和迁移能力；②学生的数学抽象能力较弱，在学习数列的概念时有一定的难度；③学生运用函数思想解决问题的能力较弱；④学生的数学运算素养较低，而数列这一章涉及较多的计算问题，这就要求学生要有良好的计算能力．（三）单元教学目标单元目标①通过学习生活中简单实例，了解数列的概念性质和表示方法，了解数列是一类特殊的函数；②类比函数的定义、表示方法、性质等，理解数列的概念和探究数列的函数属性，如表示方法、单调性等．③理解等差、等比数列的概念以及通项公式，探究并掌握等差、等比数列的前ｎ项和公式．④通过观察等差、等比数列的通项公式与前ｎ项和公式，体会等差、等比数列与函数间的关系．⑤能运用数列知识解决实际问题，并建立数学模型进行求解，感受数学模型在实际生活中的应用和意义．⑥体验通过数学抽象获得数列概念的过程，通过数学运算、逻辑推理、数学抽象等研究数列相关知识的过程和方法，通过建立数学模型求解实际问题的过程，提高学生解决问题的能力．⑦通过本单元的学习，体会数列是一类特殊的函数，感受数列与函数的共性与差异．续 表 课时目标课时１～２—数列基础知识课时３～９—两类特殊数列课时１０～１２—单元总结与拓展①通过一些日常生活中和一些数学领域中常见的数学实例，了解数列的有关概念；②类比函数的定义，理解数列的序号与项之间的对应关系，从而认识数列是一类特殊的函数；③类比函数的表示方法、单调性，掌握数列的三种基本表示方法（图像、列表、通项公式）及递增（递减）数列以及常数列；④探究数列的递推公式，认识递推公式和通项公式的区别与联系．①通过生活中的实例，理解等差、等比数列的概念及通项公式；②理解用“倒序相加法”推导等差数列的前ｎ项和公式的过程，
人教版数学高二-备课资料数学思想在数列中的应用
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精心校对 数学思想在数列中的应用
数学思想是数学的灵魂，数学思想是数学知识的内涵，高考一直重视对数学思想的考查，所以平时学习要注意挖掘所涉及的数学思想。本文举例说明在数列中渗透的数学思想，以供参考。
一、构造思想
例1、已知数列}{na的前n项和)1(2nnanSnn，且211a，求}{nS的通项公
式.nS
解：因为)1(2nnanSnn，所以当2n时，)1()(12nnSSnSnnn，
即)1())1(122nnSnSnnn，所以)2(1111nSnnSnnnn，
又11111S，所以数列}1{nSnn是首项为1，公差为1的等差数列，故
1)1(11nSnnn，即.12nnSn
点评：本题是构造特殊数列――等差数列、等比数列、常数数列，进而运用其特性巧求通项公式。
二、整体思想
例2、在数列}{na中，nS为其前n项和，若2,2321aa，且
012311nnnSSS（2n），试判断}1{na是不是等比数列，为什么？
解：将已知等式重新组合，得：01)(2)(11nnnnSSSS，
因为111,nnnnnnSSaSSa（2n），所以0121nnaa，
即)1(211nnaa（2n），由2,2321aa，易得对任意.1,naNn，
所以2111nnaa（2n），（*），因为当n＝1时，2123121112aa，
所以（*）式对任意Nn成立，故}1{na是等比数列。
点评：这里，如果将11,,nnnSSS均用求和公式代入，会十分繁琐，而从
012311nnnSSS整体着眼，将“nnSS1”，“1nnSS”分别用“1na”“na”整体代入，则解题过程就十分简捷、明快。
三、数形结合思想
数学归纳法在数列中的应用
数学归纳法在数列中的应用
数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在解决问题时常常具有简洁高效的特点。本文将探讨数学归纳法在数列中的应用，希望能够帮助读者更深入地理解和应用数学归纳法。
一、数学归纳法的基本原理
数学归纳法是一种证明方法，它由两个步骤组成：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是指证明当n取某个特定值时结论成立，通常我们将这个特定值取为1或0。
归纳步骤是指假设当n=k时结论成立，然后证明当n=k+1时结论也成立。
当基础步骤和归纳步骤都完成后，我们可以得出结论：对于所有正整数n，结论都成立。
二、数学归纳法在数列中的应用
数列是数学中的重要概念，它是按照一定的规律排列起来的一系列数。数学归纳法在数列中的应用主要是通过归纳假设和递推关系来证明数列的性质。
以斐波那契数列为例。斐波那契数列是一个非常著名的数列，它的定义如下：
F(0) = 0 F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n≥2)
我们可以使用数学归纳法来证明斐波那契数列的性质。
首先，基础步骤是当n取0和1时，斐波那契数列的定义成立。
其次，假设当n=k时斐波那契数列的定义成立，即F(k) = F(k-1) +
F(k-2)。
然后，我们来证明当n=k+1时斐波那契数列的定义也成立。根据斐波那契数列的定义，我们有：
F(k+1) = F(k) + F(k-1)
根据归纳假设，带入F(k)和F(k-1)的表达式，我们可以得到：
F(k+1) = (F(k-1) + F(k-2)) + F(k-1)
化简上式：
F(k+1) = 2F(k-1) + F(k-2)
可以看出，当n=k+1时，斐波那契数列的定义也成立。
因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于所有非负整数n，斐波那契数列的定义成立。
三、数学归纳法的拓展应用
除了在数列中的应用，数学归纳法还可以应用于其他数学问题的证明中。 例如，我们可以使用数学归纳法来证明一个关于正整数的性质：任意正整数n的平方可以表示为n个连续奇数之和。
数学思想在数列问题中的应用举例
数学思想在数列问题中的应用举例
李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班 ０５４０００)摘 要:数列常常与函数、方程、不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２
收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生. 一、利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１ 等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为( ).Ａ.１３０ Ｂ.１７０ Ｃ.２１０ Ｄ.２６０解 设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬ∴Ｓ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０. 二、利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２ 在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐ≠ｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解 由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬ∴点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ
从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ(). 三、利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３ 求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋＋ｎｘｎ－１ｘ≠０().解 ∵Ｓｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬ∴ｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘ≠１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ. 四、利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４ 求和Ｓｎ＝１２＋２３＋３４＋＋ｎｎ＋１().解 ∵ｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬꎬｎ()ꎬ∴Ｓｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋＋ｎ２()＋１＋２＋＋ｎ()
运用数学思想 巧解数列问题
运用数学思想 巧解数列问题
樊永文
(甘肃省民乐县第一中学ꎬ甘肃张掖７３４５００)
摘 要:数学思想是数学学习的利器ꎬ也是解决数学问题的主要途径ꎬ灵活应用数学思想ꎬ往往
能够直击问题要害ꎬ快速、高效地解决问题.数列是高考的热点问题ꎬ同时能够结合新情境、新材料
考查学生关键信息的提取能力和数学思想的运用能力.本文就高中数列问题进行分析ꎬ探索运用数
学思想解决数列问题的方法和途径.
关键词:数列问题ꎻ高中数学ꎻ数学思想ꎻ解决策略
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００６３－０３
收稿日期:２０２３－０１－０５
作者简介:樊永文(１９８０.８－)ꎬ男ꎬ甘肃省民乐人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究. 数列知识比较抽象ꎬ尤其是数列知识与其它数
学内容的融合ꎬ更是加大了试题的综合性ꎬ需要学生
运用一定的方法、技巧ꎬ通过数学思想巧妙地解决问
题ꎬ很多学生不容易掌握ꎬ成了失分的重灾区.因此ꎬ
教师要注重数学思想的渗透ꎬ依据试题的特点灵活
运用数学思想方法ꎬ巧妙解决试题ꎬ达到事半功倍的
效果.
１运用函数思想解决数列问题
例１ 已知某个地区有甲、乙两个啤酒厂ꎬ２０２２
年两个啤酒厂的啤酒销量都是１００万瓶ꎬ甲啤酒厂
制定的销售计划中显示ꎬ其销量要实现每年５万瓶
的增量ꎬ乙啤酒厂制定的销售计划中显示ꎬ其销量要
实现第ｎ年比上一年(２ｎ－１)万瓶的增量.以２０２２
年为第一年ꎬ如果甲、乙两个啤酒厂其中一个的销量
达到另一个销量的２倍ꎬ则就有可能将其兼并ꎬ求第
几年的时候ꎬ将会发生兼并现象?
解析 假设甲啤酒厂第ｎ年的销量为ａ
ｎꎬ乙啤
酒厂第ｎ年的销量为ｂ
ｎꎬ则ａ
ｎ＝１００＋５(ｎ－１)＝９５＋５ｎꎬ
ｂ
ｎ＝ｂ
１＋(ｂ
２－ｂ
１)＋(ｂ
３－ｂ
２)＋＋(ｂ
ｎ－
ｂ
ｎ－１)ꎬ因为ｂ
ｎ－ｂ
ｎ－１＝２ｎ－１ꎬ
即ｂ
ｎ＝１００＋３＋５＋７＋＋(２ｎ－１)
＝９９＋１＋３＋５＋＋(２ｎ－１)
＝９９＋ｎ(１＋２ｎ－１)２
＝９９＋ｎ２.
例谈数列中的数学思想
例谈数列中的数学思想
高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.
1、方程思想在数列中运用
等差（比）数列一般涉及五个基本量：nnSanqda,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1：等差数列na的前n项和为Sn，且S12=84，S20=460，求S28。
解：由已知得
4602)112(2020842)112(121211dada，
解得4,151da.
故10922)128(2828128daS.
在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。
例2、实数4321,,,aaaa都不为0，且0)(2)(23224312242221aaaaaaaaa，求证：321,,aaa成等比数列，且4a为其公比。
分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a为主研究简单。
证明：由题设知，4a是一元二次方程0)(2)(232231222221aaxaaaxaa的实数根
所以0)(4))((4)(4231222322222123122aaaaaaaaaa
所以312231220aaaaaa
因为)4,3,2,1(0iai
所以321,,aaa成等比数列
由求根公式得：12312131222213124)()(2)(2aaaaaaaaaaaaaa
所以4a为其公比。
评注：对已知等式进行整体观察，发现4a是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。