中考数学总复习专题1 一次函数与反比例函数
中考复习_一次函数与反比例函数的综合应用
一次函数与反比例函数的综合应用一、选择题1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数a y x =与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ） 考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：由已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，然后就可以确定反比例函数xa y =与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象．解答：解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向向下，∴a ＜0，对称轴在y 轴的左边，∴x ＝－a b 2＜0，∴b ＜0， ∴反比例函数xa y =的图象在第二四象限， 正比例函数y ＝bx 的图象在第二四象限．故选B ．点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值．2. （2011•青海）一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=错误!未找到引用源。
的大致图象是（ ）A 、B 、Ox yO y x A O y x B O y xD O y x CC、D、考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
分析：根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判断出反比例函数所在的象限即可．解答：解：根据题意：一次函数y=﹣2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y=错误!未找到引用源。
过一、三象限．故选：D．点评：此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中k1、b 及y=错误!未找到引用源。
中k2的取值．3.（2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx错误!未找到引用源。
在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合【含答案】
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系中，点A(m ，n)（m ＞0）在双曲线y ＝ 上.4x （1）如图1，m ＝1，∠AOB ＝45°，点B 正好在y ＝ （x ＞0）上，求B 点坐标； 4x （2）如图2，线段OA 绕O 点旋转至OC ，且C 点正好落在y ＝ 上，C(a ，b)，试求m 与a4x 的数量关系.2．如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= 的图象交于P 、Q 两点，PA ⊥x 轴于点A ，mx 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ，点B，其中OA=6，且 ．12OC CA（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△APQ 的面积；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．3．如图，已知一次函数y 1=k 1x+b （k 1为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2= （k 2为常数，2k x 且k 2≠0）的图象相交于A （1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若A 1（m 1，n 1），A （m 2，n 2），A 3（m 3，n 3）为反比例函数图象上的三点，且m 1＜m 2＜0＜m 3，请直接写出n 1、n 2、n 3的大小关系式；（3）结合图象，请直接写出关于x 的不等式k 1x+b ＞ 的解集．2k x 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x﹣2与双曲线y= (k≠0)相交于A，B 两点，且点Akx 的横坐标是3.（1）求k 的值；（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x 轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M ，与双曲线y=kx (k≠0)交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围.5．已知双曲线y= 和直线y=kx+4．6x （1）若直线y=kx+4与双曲线y= 有唯一公共点，求k 的值．6x（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．6．如图，已知A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.my x =（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集.mkx b x +＜7．如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y 1=kx+b(k0）与反比例函数y 2= （m≠0）的图象交mx 于第二、第四象限A ，B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD=4，sin ∠AOD= ，且点B 的45坐标为（n ，-2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数y 1=kx+b(k0）向下移动2个单位的函数记为y 3，当y 3<y 2时，求x 的取值范围。
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
中考数学教材重点--- 反比例函数与一次函数的综合真题练习(含答案解析)
中考数学教材重点--- 反比例函数与一次函数的综合真题练习（含答案解析）1．（2023•攀枝花模拟）如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）【分析】反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．故选：C．2．（2023•滨湖区一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与一次函数y ＝ax+b（a＞0）的图像相交于A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，若△AOB面积为15，则k的值为（）A．﹣8B．﹣7.5C．﹣6D．﹣4【分析】过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，根据点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，推出n＝4m，根据S梯形ACDB＝S△OAB＝15，求得n﹣m＝3，进一步计算即可求解．【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝ax+b（a＞0）的图像相交于A （﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，∴A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点在第二象限，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则AC＝8，BD＝2，OC＝m，OD＝n，∴CD＝n﹣m，∵点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，∴S△AOC＝S△BOD，﹣8m＝﹣2n，即n＝4m，∵S△AOC+S梯形ACDB＝S△BOD+S△OAB，∴S梯形ACDB＝S△OAB＝15，即，∴n﹣m＝3，∴4m﹣m＝3，解得m＝1，∴A（﹣8，1），∴k＝﹣8×1＝﹣8．故选：A．3．（2023•宁波模拟）如图，一次函数y1＝x﹣1的图像与反比例函数的图像交于点A （2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】先把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，求出n值，再根据图像直接求解即可．【解答】解：把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，得﹣2＝n﹣1，解得：n＝﹣1，∴B（﹣1，﹣2），∵图像交于A（2，m）、B（﹣1，﹣2）两点，∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．故选：D．4．（2023•宁德模拟）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图像交于C，D两点，连接OC，OD．若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣6【分析】由S△AOC＝S△COD得，AC＝CD，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），代入解析式得到n＝m，过点作CH⊥y轴于H，利用S△AOC＝3，可求出k．【解答】解：如图，∵S△AOC＝S△COD，以AC，CD作底，高相同∴AC＝CD，即C为AD的中点，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），∵D（，2m﹣n）在反比例函数y＝的图像上，∴，∴n＝m过点作CH⊥y轴于H，则CH＝﹣，OA＝n＝m，∵S△AOC＝3，∴OA•CH＝3，∴×m×（﹣）＝3，∴k＝﹣4．故选：C．5．（2023•宿迁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数的图像交于A、B两点，与x轴交于C点，若OA＝AB，且∠OAB＝90°，则tan∠AOC的值为（）A．B．C．D．【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，通过证得△AOE≌△BAD（AAS），求得B（），代入，即可得到（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解得y＝，即可求得tan∠AOC ＝＝＝＝．【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠DAB＝90°，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∴∠DAB＝∠AOE，∵OA＝AB，∠AEO＝∠ADB＝90°，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AD＝OE＝m，BD＝AE＝，∴B（），∵函数的图像过B点，∴（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除以k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解这个方程得y＝，∴k＞0，∴＞0，∴＝，∴tan∠AOC＝＝＝＝．故选：A．6．（2023•呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（）A．B．C．2D．【分析】作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定B的坐标是（0，3），A的坐标是（1，0），根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，结合图形求解即可．【解答】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G在y＝﹣3x+3中，令x＝0，解得：y＝3，即B的坐标是（0，3），令y＝0，解得：x＝1，即A的坐标是（1，0），则OB＝3，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4），代入y＝得：k＝4，则函数的解析式是：y＝．∴OE＝4，则C的纵坐标是4，把x＝3代入y＝得：y＝．即G的坐标是，∴CG＝4﹣＝，∴a＝，故选：A．7．（2023•徐州模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，点D坐标为（4，0），则△ADC的面积为（）A．3B．6C．8D．12【分析】根据AD⊥x轴，D（4，0）求出点A的横坐标，代入一次函数表达式中求出点A纵坐标，再利用三角形面积公式计算．【解答】解：∵AD⊥x轴，D（4，0），∴x A＝4，代入中，∴，即A（4，3），∴△ADC的面积为，故选：B．8．（2023•茅箭区一模）如图已知反比例函数C1：的图像如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x 上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（）A．B．C．﹣2D．﹣1【分析】将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y＝﹣x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，∵MN＝ON，∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，∴S△MON＝2S△PN'O＝2×＝|k|＝，∵k＜0，∴k＝﹣．故选：B．9．（2023•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像在第二象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为﹣2．【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴△AOB∽△AHC，∴，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（﹣1，2），∵点C在y＝的图像上，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．10．（2023•双流区模拟）如图，已知一次函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点．若AC∥x轴，且AC＝BC，则△ABC面积的最小值为4．【分析】由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），即可推出m+n＝﹣，mn＝﹣3，利用勾股定理求得AB2＝4b2+16，进而推出S△ABC ＝AB•CT＝AB2＝b2+4，利用二次函数的性质即可求得△ABC的面积有最小值为4．【解答】解：由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），联立，得x2+3bx﹣9＝0，∴m+n＝﹣，mn＝﹣3，∴AB2＝（m﹣n）2+（m+b﹣n﹣b）2＝（m﹣n）2＝[（m+n）2﹣4mn]＝4b2+16，如图，过点C作CT⊥AB于点T，∵AC＝BC，∴AT＝BT＝AB，由一次函数可知，∠CAB＝30°，∴CT＝AT＝AB，∴S△ABC＝AB•CT＝AB2＝b2+4，∴当b＝0时，△ABC的面积有最小值为4，故答案为：4．11．（2023•青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若，△BCD的面积为30，则k＝6．【分析】作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C （a，），可证明tan∠CAE＝tan∠CBF＝，则∠CAE＝∠CBF，即可推导出∠CDM ＝∠CMD，则CD＝CM，所以＝＝＝，则CI＝4FI，所以a＝4m，C（4m，），由＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝，得DI＝MI＝3m，则DM＝6m，于是得×6m ×m+×6m×4m＝30，则m2＝2，所以k＝3m2＝6．【解答】解：作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，∵直线y＝3x经过原点，且与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C（a，），F（﹣m，），∵tan∠CAE＝＝＝，tan∠CBF＝＝＝，∴tan∠CAE＝tan∠CBF，∴∠CAE＝∠CBF，∵AE∥BF∥DM，∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM，∵＝＝＝，∴CI＝4FI，∴a＝4m，∴C（4m，），∵＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝＝＝，∴DI＝MI＝CI＝×4m＝3m，∴DM＝DI+MI＝6m，∵DM•FI+DM•CI＝S△BCD＝30，∴×6m×m+×6m×4m＝30，∴m2＝2，∴k＝3m2＝3×2＝6，故答案为：6．12．（2023•余姚市校级模拟）如图，点A在y＝（x＞0）的图像上，点B，C在y＝（x ＜0）的图像上（C在B左边），直线AB经过原点O，直线AC交y轴于点M，直线BC 交x轴于点N．则＝；＝m，＝n，则＝．【分析】作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y 轴交y轴于G，再设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），从而可以表示出AD＝a，OE＝﹣bCG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，再根据三角形相似的判定定理得出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，可分别表示出OA：OB，MC：MA，NB：NC，再由直线AB经过原点O，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．【解答】解：如图所示，作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x 轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），则AD＝a，OE＝﹣b，CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，∵BE⊥x轴，∴BE∥y轴，∴∠EBO＝∠BOG，∵∠BOG＝∠DOA，∴∠EBO＝∠DOA，∵AD⊥y轴，∴∠BEO＝∠ODA＝90°，∴△BEO∽△ODA，∴OA：OB＝AD：OE＝﹣，∵AD⊥y轴，CG⊥y轴，∴△CGM∽△ADM，∴＝＝﹣＝m，∵BE⊥x，CF⊥x轴，∴△NCF∽△NBE，∴＝＝＝＝n，∴＝＝﹣，∵直线AB经过原点O，∴＝，＝，∴＝，＝，由图像可知，a＞0，c＜b＜0，∴＝﹣，＝﹣，∴＝﹣＝，＝﹣＝，故答案为：；．13．（2023•岳阳一模）如图，已知正比例函数y1＝x的图像与反比例函数y2＝的图像相交于点A（3，n）和点B．（1）求n和k的值；（2）请结合函数图像，直接写出不等式x﹣＜0的解集；（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．【分析】（1）先把点A（3，n）代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图像即可写出解集；（3）根据题意作出辅助线，然后求出OA的长，根据菱形的性质求出OC的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出△AOE的面积．【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，∴点A（3，4），把点A（3，4）代入反比例函数，可得：k＝12；（2）∵点A与点B是关于原点对称的，∴点B（﹣3，﹣4），∴根据图像可得，不等式x﹣＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，∵A（3，4），∴OG＝3，AG＝4在Rt△AOG中，AO＝＝5∵四边形AOCD是菱形，∴OC＝OA＝5，，∴．14．（2023•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像与x 轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点M为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y ＝2x+b图像于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；（3）点P为反比例函数图像上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b，解得：b＝4，即一次函数的表达式为：y＝2x+4，当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6），将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6，即反比例函数表达式为：y＝；（2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，），若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，则（2t+4+）＝6，解得：t＝1（舍去）或3，则点M、N的坐标分别为：（3，10）、（3，2），则△BMN的面积＝MN•（x M﹣x B）＝（10﹣2）×（3﹣1）＝8；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，∵点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，由中点坐标公式得，点M（﹣，3），在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA＝，则直线MH表达式中的k值为﹣，则直线MH的表达式为：y＝﹣（x+）+3，令y＝﹣（x+）+3＝0，则x＝，即点H（，0），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝﹣x+，联立y＝﹣x+和y＝并解得：x＝1（舍去）或，则点P的坐标为：（，）．。
综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习
第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。
中考《第五讲：一次函数与反比例函数》专题复习含答案
中考数学专题辅导第五讲应用题（一次函数与反比例函数专题）选讲此部分内容包括：函数的应用（主要是一次函数与反比例函数），则属于中档题。
真题再现：1．(2008年苏州•本题8分)如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点．建立如图所示的坐标系，轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A、B两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置（假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)．(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A( ，)、B( ，)和C( ，)；(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，设A、B两船的速度相等，教练船与A船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到?请说明理由。
2．(2010年苏州•本题8分) 如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数(x＞0)的图象经过点B．(1)求k的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、MA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数(x＞0)的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．3．（2014年•苏州•本题7分）如图，已知函数y＝－x＋b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P (a，0)（其中a>2），过点P作x轴垂线，分别交函数y＝－x＋b和y＝x的图象于点C，D．(1)求点A的坐标；(2)若OB＝CD，求a的值．x4yx=y x=kyx=kyx=12124．（2014年•苏州• 8分）如图，已知函数y＝（x>0）的图象经过点A ，B ，点A 的坐标为(1，2)．过点A 作AC ∥y 轴，AC ＝1（点C 位于点A 的下方），过点C 作CD ∥x 轴，与函数的图象交于点D ，过点B 作BE ⊥CD ，垂足E 在线段CD 上，连接OC ，OD ． (1)求△OCD 的面积； (2)当BE ＝AC 时，求CE 的长．5．（2015年苏州•本题满分8分）如图，已知函数（x ＞0）的图像经过点A 、B ，点B 的坐标为（2，2）．过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为D ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y=ax +b 的图像经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）若AC =OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．6．（2016年苏州•本题满分8分）如图一次函数的图像与轴交于点A ，与反比例函数的图像交干点B (2,n)．过点B 作轴于点P ，P 是该反比例函数图像上的一点，且∠PBC=∠ABC ．求反比例函数和一次函数的表达式．7．（2017年苏州•本题满分8分）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数（）的图像经过点，交于点．已知，． kx12ky x=326y kx =+x (0)my x x=>BC x ⊥(34,1)n -C ∆AB C C A =B x AB ⊥A k y x =0x >C AB D 4AB =5C 2B =（1）若，求的值；（2）连接，若，求的长．8. （2017年南京市•本题满分3分）如图，已知点A 是一次函数y =x (x ≥0)图像上一点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上一点(B 在A 上方)，在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，反比例函数(k )0)的图像过点B 、C ，若△OAB 的面积为6,求△ABC 的面积.9．（2017年南京市•本题满分8分）如图，已知一次函数y =kx +b 的图像与x 轴交于点A ，与反比例函数y =(x <0)的图像交于点B (-2,n )，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D (3-3n ,1)是该反比例函数图像上一点. (1)求m 的值；(2)若∠DBC =∠ABC ，求一次函数y =kx +b 的表达式.10．（2017年无锡市•本题满分12分）操作：“如图1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，点C 绕点P 逆时针旋转60°得到点Q ．”我们将此由点P 得到点Q 的操作称为点的T 变换．（1）点P （a ，b ）经过T 变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M 经过T 变换后得到点N （6，﹣），则点M 的坐标为 ． （2）A 是函数y =x 图象上异于原点O 的任意一点，经过T 变换后得到点B ．①求经过点O ，点B 的直线的函数表达式；②如图2，直线AB 交y 轴于点D ，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比．11．（2017年泰州市•本题满分12分）阅读理解：如图①，图形l 外一点P 与图形l 上各点连接的所有线段中，若线段PA 1最短，则线段PA 1的长度称为点P 到图形l 的距离．4OA =k C O D C B =B C O 12ky x=mx例如：图②中，线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离；线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．解决问题：如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）模拟训练：1．(2017年常熟市•本题满分8分)如图，点、分别在轴和轴上， (点和点在直线的两侧)，点的坐标为(4,).过点的反比例函数的图像交边于点. (1)求反比例函数的表达式; (2)求点的坐标.2．（2018年蔡老师预测•本题满分8分如图，正比例函数y=2x 的图象与反比例函数y=的图象交于点A 、B ，AB=2，（1）求k 的值；（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C ，则当△ABC 为直角三角形，请直接写出点C 的坐标．3．( 2017年张家港•本题满分8分) 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行.轿车出发3h 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶.设货车出发h 后，货车、轿车分别到达离甲地km 和km 的地方，图中的线段、折线分别表示、与之间的函数关系.(1)求点的坐标，并解释点的实际意义;(2)求线段所在直线的函数表达式; (3)当货车出发 h 时，两车相距50km.4．(2017年苏州市区•本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，函数（，是常数）的图像经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，AC 与BD 交于点E ，连结，，．A B y x BC AB ⊥C O AB C n C (0)m y x x =>AC 1(,3)3D n +B x 1y 2y OA BCDE 1y 2y x D D DE ky x=0x >k (26)A ，(,)B m n 2m >A x C B y D AD DC CB（1）若的面积为3，求的值和直线的解析式；（2）求证：； （3）若∥ ，求点B 的坐标 ．5．(2017年昆山市•吴江区••本题满分7分)如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线相交于点，且，(1)求证:四边形是菱形;(2)如果，求出经过点的反比例函数解析式.6．(2017年高新区•本题满分8分) 如图，反比例函数y ＝的图象与一次函数y ＝kx +b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝10，求点E 的坐标．7．(2017年吴中区•本题满分8分)如图，一次函数的图象与反比例(为常数，且)的图象交于，两点。
2020年中考数学压轴题专题复习：一次函数与反比例函数-答案
2020年中考数学压轴题专题复习：一次函数与反比例函数一、选择题（本大题共6道小题）1. 如图，A 、B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C 、D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1＝( )A. 4B.143 C. 163D. 62. 已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为( )A. k ＞1，b ＜0B. k ＞1，b ＞0C. k ＞0，b ＞0D. k ＞0，b ＜03. 下列函数中，满足y 的值随x 的值增大而增大的是( )A. y ＝－2xB. y ＝3x －1C. y ＝1xD. y ＝x 24. 设函数y ＝kx (k ≠0，x >0)的图象如图所示，若z ＝1y，则z 关于x 的函数图象可能为( )5. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax＋b 与反比例函数y ＝cx的图象可能是( )6. 若式子k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(1－k)x＋k－1的图象可能是()二、填空题（本大题共5道小题）7. 已知反比例函数y ＝k x的图象在每一个象限内y 随x 的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式____________．8. 如图所示，已知点C (1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是________．9. 将函数y ＝2x ＋b (b 为常数)的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |(b 为常数)的图象，若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0<x <3，则b 的取值范围为____________．10. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别与反比例函数y ＝a x的图象在第一象限交于点A (4，3)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA ＝OB .(1)求函数y ＝kx ＋b 和y ＝ax的表达式；(2)已知点C (0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB ＝MC .求此时点M 的坐标．11. 如图，已知点A ，C 在反比例函数y ＝a x的图象上，点B ，D 在反比例函数y ＝b x的图象上，a >b >0，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB ＝34，CD ＝32，AB 与CD 间的距离为6，则a －b 的值是________．三、解答题（本大题共4道小题）12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (43，53)，点D 的坐标为(0，1)． (1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE相似时，求点E的坐标．13. 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．(1)求出w与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．14. 如图，已知抛物线y＝x2－(m＋3)x＋9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y＝x＋3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．(1)求m的值；(2)求A、B两点的坐标；(3)点P(a，b)(－3<a<1)是抛物线上一点，当△P AB的面积是△ABC面积的2倍时，求a、b的值．15. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A 【解析】设E (x 1，0)，F (x 2，0)，则A (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 2x 2)，B (x 2，k 1x 2)，C (x 1，k 2x 1)，∴AC ＝k 1－k 2x 1＝2，BD ＝k 2－k 1x 2＝3，∴k 1－k 2＝2x 1，k 2－k 1＝3x 2，∴2x 1＋3x 2＝0，又∵EF ＝x 2－x 1＝103，∴x 2＝43，∴k 2－k 1＝3x 2＝3×43＝4.2. 【答案】A 【解析】原解析式可变形为y ＝(k －1)x ＋b ，∵函数值y 随自变量x 的增大而增大，∴k －1>0，∴k >1，∵图象与x 轴正半轴相交，∴b ＜0，∴满足题意的k 、b 情况为k >1，b <0.3. 【答案】B 【解析】一次函数y ＝－2x 中，y 随x 增大而减小；一次函数y ＝3x －1中，y 随x 的增大而增大；反比例函数y ＝1x 中，在每一个分支上，y 随x 的增大而减小；二次函数y ＝x 2中，当x ＞0时，y 随x 增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故答案为B .4. 【答案】D 【解析】函数y ＝k x(k ≠0，x ＞0)的图象在第一象限，则k ＞0，x ＞0.由已知得z ＝1y ＝1k x＝xk，所以z 关于x 的函数图象是一条射线，且在第一象限，故选D.5. 【答案】C 【解析】抛物线开口向上，所以a ＞0，对称轴在y 轴右侧，所以a 、b异号，所以b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，所以c ＜0，所以直线y ＝ax ＋b 过第一、三、四象限，反比例函数y ＝cx位于第二、四象限，故答案为C.6. 【答案】C 【解析】式子k －1＋(k －1)0有意义，则k >1，所以1－k <0，k －1>0，所以一次函数y ＝(1－k )x ＋k －1的图象经过第一、二、四象限．二、填空题（本大题共5道小题）7. 【答案】y ＝－2x(答案不唯一) 【解析】∵反比例函数的图象在每一个象限内y 随x的增大而增大，∴k ＜0，∴k 可取－2(答案不唯一)．8. 【答案】10 【解析】作点C 关于y 轴的对称点C 1(－1，0)，点C 关于直线AB 的对称点C 2，连接C 1C 2交OA 于点E ，交AB 于点D ，则此时△CDE 的周长最小，且最小值等于C 1C 2的长．∵OA ＝OB ＝7，∴CB ＝6，∠ABC ＝45°.∵AB 垂直平分CC 2，∴∠CBC 2＝90°，∴C 2的坐标为(7，6)．在Rt △C 1BC 2中，C 1C 2＝C 1B 2＋C 2B 2＝82＋62＝10.即△CDE 周长的最小值是10.9. 【答案】－4<b<－2 【解析】先求出直线y ＝2与y ＝|2x ＋b|的交点的横坐标，再由已知条件列出关于b 的不等式组，便可求出结果．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝|2x ＋b|，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝2x ＋b或⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y ＝－2x －b ，解得x ＝2－b 2或x ＝－2＋b2，∵0<x<3，∴⎩⎨⎧2－b2<3－b ＋22>0，解得－4<b<－2.10. 【答案】(1)【思路分析】由点A 的坐标和OA ＝OB 可得点B 的坐标，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；将点A 的坐标代入反比例函数解析式中即可求出反比例函数的解析式．解：∵点A(4，3)，∴OA ＝42＋32＝5，∴OB ＝OA ＝5， ∴B(0，－5)，将点A(4, 3)，点B(0, －5)代入函数y ＝kx ＋b 得，⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝3b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－5，(2分) ∴一次函数的解析式为y ＝2x －5， 将点A(4, 3)代入y ＝ax 得，3＝a 4， ∴a ＝12，∴反比例函数的解析式为y ＝12x， ∴所求函数表达式分别为y ＝2x －5和y ＝12x.(4分) (2)【思路分析】由题意可知，使MB ＝MC 的点在线段BC 的垂直平分线上，故求出线段BC 的垂直平分线和一次函数的交点即可．解：如解图，∵点B 的坐标为(0, －5)，点C 的坐标为(0, 5)，∴x 轴是线段BC 的垂直平分线， ∵MB ＝MC ，∴点M 在x 轴上，又∵点M 在一次函数图象上，∴点M 为一次函数的图象与x 轴的交点，如解图所示， 令2x －5＝0，解得x ＝52，(6分)∴此时点M 的坐标为(52， 0)．(8分)11. 【答案】3 【解析】设点A 的纵坐标为y 1，点C 的纵坐标为y 2，∵AB ∥CD ∥x轴，∴点B 的纵坐标为y 1，点D 的纵坐标为y 2，∵点A 在函数y ＝ax 的图象上，点B 在函数y ＝b x 的图象上，且AB ＝34，∴a y 1－b y 1＝34，∴y 1＝4（a －b ）3，同理y 2＝2（b －a ）3，又∵AB与CD 间的距离为6，∴y 1－ y 2＝4（a －b ）3－2（b －a ）3＝6，解得a －b ＝3.三、解答题（本大题共4道小题）12. 【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)， 将D(0，1)、A(43，53)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝143k ＋b ＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12，∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(3分) (2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1，令y ＝0，得x ＝－2， ∴B(－2，0)，即OB ＝2.∵直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3，令y ＝0，得x ＝3，∴C(3，0)，即BC ＝5，设E(x ，12x ＋1)， ①当E 1C ⊥BC 时，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC ，∴△BOD ∽△BCE 1，此时点C 和点E 1的横坐标相同，将x ＝3代入y ＝12x ＋1， 解得：y ＝52， ∴E 1(3，52)．(6分) ②当CE 2⊥AD 时，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2，∴△BOD ∽△BE 2C ，如解图，过点E 2作E 2F ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°.∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°，∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°，∴∠E 2BF ＝∠CE 2F ，∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F， 即E 2F 2＝CF·BF ，(12x ＋1)2＝(3－x)(x ＋2)，解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)，∴E 2(2，2)；(9分)③当∠EBC ＝90°时，此情况不存在．综上所述，点E 的坐标为E 1(3，52)或E 2(2，2)．(10分)13. 【答案】解：(1)当0≤x≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k 、b 为常数且k≠0)，∵y ＝kx ＋b 经过点(0，40)，(50，90)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4050k ＋b ＝90， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝40， ∴y ＝x ＋40，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧x ＋40 （0≤x≤50，且x 为整数）90 （50＜x≤90，且x 为整数），(2分) 由数据可知每天的销售量p 与时间x 成一次函数关系．设每天的销售量p 与时间x 的函数关系式为p ＝mx ＋n(m ，n 为常数，且m≠0)， ∵p ＝mx ＋n 过点(60，80)，(30，140)，∴⎩⎪⎨⎪⎧60m ＋n ＝8030m ＋n ＝140，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝200， ∴p ＝－2x ＋200(0≤x≤90，且x 为整数)，(3分)当0≤x≤50时，w ＝(y －30)·p＝(x ＋40－30)(－2x ＋200)，＝－2x 2＋180x ＋2000，当50＜x≤90时，w ＝(90－30)×(－2x ＋200)＝－120x ＋12000，综上所述，每天的销售利润w 与时间x 的函数关系式是：w ＝⎩⎨⎧－2x 2＋180x ＋2000 （0≤x≤50，且x 为整数）－120x ＋12000 （50＜x≤90，且x 为整数）.(5分) (2)当0≤x≤50时，w ＝－2x 2＋180x ＋2000＝－2(x －45)2＋6050，∵a ＝－2＜0且0≤x≤50，∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，(6分)当50＜x≤90时，w ＝－120x ＋12000，∵k ＝－120＜0，∴w 随x 增大而减小．∴x ＝50时，w 最大＝6000(元)，∵6050＞6000，∴x ＝45时，w 最大＝6050(元)，即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．(8分)(3)24天．(10分)【解法提示】①当0≤x ≤50，若w 不低于5600元，则w ＝－2x 2＋180x ＋2000≥5600，解得30≤x ≤60，∴30≤x ≤50；②当50＜x ≤90时，若w 不低于5600元，则w ＝－120x ＋12000≥5600，解得x ≤1603， ∴50＜x ≤1603， 综合①②可得30≤x ≤1603， ∴从第30天到第53天共有24天利润不低于5600元．14. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上，∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9，又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0，∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝9， ∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15， S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分)又∵S △PAB ＝2S △ABC ，∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上，∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1，∴a ＝7－732， ∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)15. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分) (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4， S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4， S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ， 则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则 S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12， 设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)， ∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ， 其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6， ∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上， ∴点C(x ，－12x 2＋3x)， 如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则 点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.图③。
2025中考数学考点题型归纳(一次函数与反比例函数综合)
2025中考数学考点题型归纳 （一次函数与反比例函数综合）（30道）1．（2024·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，顶点B 的坐标为(4,2)，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过对角线OB 的中点E ，与矩形的边,BC BA 分别交于点F ，G ，设直线FG 的函数表达式为y ax b =+．(1)求k ，a ，b 的值；(2)利用图象，直接写出当kax b x+≤时x 的取值范围； (3)若点P 在矩形的边OA 上，且PFG △为等腰三角形，求点P 的坐标．2．（2024·山东师范大学第二附属中学二模）如图，在矩形OABC 中，AB ＝2，BC ＝4，点D 是边AB 的中点，反比例函数()10ky x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为()20y mx n m =+≠．(1)求反比例函数()10ky x x=>的解析式和E 点坐标； (2)在y 轴上找一点P ，使△PDE 的周长最小，求出此时点P 的坐标；(3)若点M 在反比例函数的图象上，点N 在坐标轴上，是否存在以D 、E 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点坐标，若不存在，请说明理由． 3．（2024·江苏·常州市朝阳中学一模）如图，点A 在反比例函数()0ky x x=>的图像上，AB x ⊥轴，垂足为B ，1tan ,22AOB AB ∠==．(1)求k 的值：(2)点C 在这个反比例函数图像上，且135BAC ∠=︒，求OC 的长．4．（2024·江苏南通·一模）平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，给出如下定义：若x ，y 满足||2||2||=+xy x y ，且0xy ≠，则称点P 为平衡点．例如，点88,3⎛⎫- ⎪⎝⎭是平衡点．(1) P 1(2，2)和P 2(103，-5)两点中，点_________是平衡点； (2)若平衡点P 在一次函数12(0)2=-+<y x x 的图象上，求点P 的坐标；(3)如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OC =6．反比例函数y =kx(x >0)的图象交边BC 于点D ，交边AB 于点E，若D ，E 两点均为平衡点．求△ODE 的正切值．5．（2024·山东济南·一模）如图，一次函数y x b =-+与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点(),4A m 和()4,1B ．(1)求b 、k 、m 的值； (2)根据图象直接写出()0kx b x x-+<>的解集； (3)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，连接OP ，若POD 的面积为S ，求S 的最大值．6．（2024·广东佛山·二模）已知一次函数y =3x ＋b 的图象与反比例函数y =kx(x ＞0)的图象交于点A (m ，3)，与x 轴交于点B ，△AOB 的面积为3．(1)求一次函数和反比例函数的表达式．(2)根据图象直接回答，在第一象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (3)点C 为x 轴上一点，若△COA 与△AOB 相似，求AC 的长．7．（2024·河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为11y k x =和反比例函数22k y x=图像交于A ，B 两点，矩形OAEC 的边EC 交x 轴于点D ，AD △x 轴，点D 的坐标为（2，0），且AE =ED ．(1)求这两个函数的解析式；(2)点P 为y 轴上的一个动点，当PE -P A 的值最大时，求点P 的坐标．8．（2024·河南·淅川县基础教育教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，D 为边BC 上一点，2CD BD =．反比例函数()90y x x=>的图象经过点B ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点D ，与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)求k 的值． (2)求ODE 的面积．9．（2024·重庆市南岸区教师进修学院一模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数()0y ax a =≠的图象与反比例函数34ay x-=()340a -≠的图象有一个交点A 的横坐标为4．(1)求y ax =与34ay x-=的函数表达式； (2)直接写出使一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围；(3)过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ．点P 在线段AB 上，且AP OP =，点Q 为x 轴上一点．当OPA 与OPQ △的面积相等时，求点Q 的坐标． 10．（2024·山东泰安·一模）如图，一次函数122y x =-+的图象交x 、y 轴于A 、B 两点，以AB 为斜边在第一象限内作等腰直角ABC ，90BCA ∠=︒，反比例函数ky x=的图象经过点C ，连接OC 交AB 于点D ．(1)求反比例函数ky x=的表达式； (2)求ADC ∠的正切值；11．（2024·湖南常德·一模）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()2,3，双曲线(0)ky x x=>的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE(1)求BDE 的面积(2)若点F 是OC 边上一点，且FBC △DEB ，求点F 坐标． 12．（2024·山东济宁·二模）如图在平面直角示系xOy 中，直线11122y x =+与x 轴交于点，与轴交于点C ，在第一象限内与反比例函数2ky x=的图象交于点B ，2BC AC =，过点B 作BD ⊥轴垂足为点．(1)点A 的坐标是______，点C 的坐标是______； (2)求反比例函数的表达式；(3)观察图象，在第一象限内，当12y y ≥时，的取值范围是______． 13．（2024·江西·一模）如图，点P 为函数y ＝12x +1与函数y ＝mx（x ＞0）图象的交点，点P 的纵坐标为4，PB ⊥x 轴，垂足为点B ．(1)求m 的值； (2)点M 是函数y ＝mx（x ＞0）图象上一动点（不与P 点重合），过点M 作MD ⊥AP 于点D ，若∠PMD ＝45°，求点M 的坐标．14．（2024·吉林市亚桥中学三模）如图，P 是反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上的一点，PN 垂直x 轴于点N ，PM 垂直y 轴于点M ，矩形OMPN 的面积为2，且ON ＝1，一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点P ．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)设直线y ＝x ＋b 与x 轴的交点为A ，点Q 在y 轴上，当△QOA 的面积等于矩形OMPN 的面积的14时，直接写出点Q 的坐标．15．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线12y x b =+与x 轴交于点()4,0A ，与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点()6,B m ，()0,D n 是y 轴正半轴上的一个动点，且四边形ABCD 是平行四边形．(1)求k 和m 的值；(2)若点C 落在反比例函数()0k y x x=>的图象上，则边BC 的长为________； (3)当AC 的中点落在反比例函数的图象上时，ABCD 的面积是________．16．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，已知一次函数11y k x b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数22k y x=的图象分别交于C ，D 两点，点()2,3D -，B 是线段AD 的中点．(1)求一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=的解析式； (2)△求△COD 的面积； △当210k k x b x+-≥时，直接写出自变量x 的取值范围． 17．（2024·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线11:3l y x =-与反比例函数ky x=的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 左侧），已知M 点的纵坐标是2；(1)求反比例函数的表达式；(2)根据图象直接写出13kx x-≤的解集；(3)将直线11:3l y x =-沿y 轴向上平移后得到直线2l ，2l 与反比例函数ky x =的图像在第二象限内交于点A ，如果AMN 的面积为18，求直线2l 的函数表达式．18．（2024·河北·新河县教师发展中心一模）如图，一次函数()0y kx b k =+≠与反比例函数()0my m x=≠的图象交于点A ，B ．点B 的横坐标为4-．直线AB 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，且248OE OC OD ===．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式mkx b x+<的解集； (3)若直线()0y b b =>与反比例函数、一次函数和y 轴的交点中，有一个点是其他两个点的中点，求b 的值．19．（2024·安徽合肥·二模）如图，一次函数y 1=kx +b 与反比例函数2my x=（x ＞0）的图象交于A （1，6）、B （3，n ）两点，与x 轴交于点C ．(1)求k 、b 、m 的值；(2)根据图象，直接写出当y 1＞y 2时x 的取值范围； (3)点P 在x 轴上，且，APC 的面积为12，求点P 的坐标．20．（2024·江西赣州·一模）如图，已知点A ，D 是正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象的交点，AB △x 轴于点B ，AB ＝4．在x 轴的负半轴上有一点C （﹣6，0），且△ACB ＝△OAB ．(1)求反比例函数关系式； (2)求点D 坐标．21．（2024·广东河源·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y kx b =+与y 轴交于点()0,3P ，与x 轴交于点()4,0Q ，与反比例函数ay x=相交于点M ，N 两点．(1)求一次函数的解析式(2)作△OPQ 的角平分线PD 交x 轴于点D ，连接DM ，若PM MD =，求a 的值． 22．（2024·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC △的顶点A ，B 在函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，AC x ∥轴，线段AB 的垂直平分线交CB 于点M ，交AC 的延长线于点E ，点A 纵坐标为2，点B 横坐标为1，1CE =．连接BE ．(1)求点E 的坐标及k 的值； (2)求MBE △的面积．23．（2024·北京师大附中模拟预测）如图，一次函数y ＝－2x －2的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、A ，与反比例函数my x=（m ≠0）的图象在第二象限交于点M ，△OBM 的面积是1．(1)求反比例函数的解析式；(2)若x 轴上的点P 与点A ，M 是以AM 为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P 的坐标． 24．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 和(3,0)B -两点，与y 轴交于(0,3)C -，直线y x m =+经过点B ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．(1)求抛物线的解析式和m 的值；(2)在抛物线的y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与BOD 相似，若存11求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；(3)在x 轴上有M 、N 两点（M 在N 的右侧），且2MN =，若将线段MN 在x 轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．25．（2024·广东广州·一模）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数m y x=的图象相交于(2,)A n ，(3,4)B --两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)以直线x =2为对称轴，作直线y kx b =+的轴对称图形，交x 轴于点C ，连接AC ，求AC 的长度．26．（2024·湖北恩施·一模）如图，已知直线y =−x +b 与双曲线y =k x相交于点A (2，3)和点B ．(1)求k 、b 的值；(2)连结AO 并延长交双曲线于点C ，连结BC 交x 轴于点D ，连结AD ，求△ABD 的面积．27．（2024·四川达州·二模）如图，一次函数y 1=kx +b 的图像与反比例函数y 2=k x的图像交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于点C 、D 两点，tan△DCO =23，且点B 的坐标为(3，4)．(1)求一次函数和反比例函数的解析式：(2)求△AOB的面积；(3)若y1≤y2，请直接写出相应自变量x的取值范围．28．（2024·广东广州·一模）如图，反比例函数kyx=经过点M（a，b），其中a，b满足2(0b=．(1)求反比例函数kyx=的解析式；(2)以点M为圆心，MO为半径画圆，点N圆周上一点，△OMN＝120°，求点N的坐标．29．（2024·山东济南·二模）已知反比例函数ykx=图象过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数ykx=的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．1213 (1)求反比例函数的解析式和直线y ＝ax +b 解析式．(2)若点C 的坐标是（0，﹣2），求△CAB 的面积．(3)在x 轴上是否存在一点P ，使△P AO 为等腰三角形？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．30．（2024·四川成都·二模）如图，直线2y x =与反比例函数()10k y x x=>的图象交于点(),6A m ，以OA 为边作Rt ABO ∆，使点B 在第二象限，90,2AOB AO BO ∠=︒=．(1)求反比例函数()10k y x x=>的表达式； (2)求直线AB 的表达式；(3)过点B 的反比例函数()20k y x x=<与直线AB 的另一个交点为C ，求BOC ∆的面积．。
中考数学总复习《反比例函数》专题测试卷及答案
中考数学总复习《反比例函数》专题测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________A层·基础过关的图象一定经过的点是( )1.反比例函数y=-10xA.(1，10)B.(-2，5)C.(2，5)D.(2，8)的图象如图所示，以下结论中正确的是( )2.反比例函数y=mxA.常数m<-2B.若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h<kC.y随x的增大而减小D.若P(x，y)在图象上，则P'(x，-y)也在图象上(x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，3.如图，点A是反比例函数y=kx使点B，C在x轴上，点D在y轴上.已知平行四边形ABCD的面积为6，则k 的值为( )A.6B.-6C.3D.-34.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是( )A.函数表达式为I=13RB.蓄电池的电压是18 VC.当R=6 Ω时，I=4 AD.当I≤10 A时，R≥3.6 Ω5.已知点A(-4，y1)，B(-2，y2)，C(3，y3)，D(4，-1)都在反比例函数y=kx的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )A.y3<y2<y1B.y1<y3<y2C.y3<y1<y2D.y2<y3<y16.反比例函数y=abx与一次函数y=ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是( )7.双曲线C1:y=k1x 和C2:y=k2x如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B、点C，AB，AC与C2分别交于点D、点E，若四边形ADOE的面积为4，则k1-k2=.8.(2024·内江中考)如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(-2，3)，点B的坐标为(3，n).(1)求这两个函数的表达式;(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集.ax+b<kxB层·能力提升(k为常数)的图象上，若x1<0<x2，9.点M(x1，y1)和点N(x2，y2)在反比例函数y=k2-2k+3x则y1，y2，0的大小关系为( )A.y1<y2<0B.y1>y2>0C.y1<0<y2D.y1>0>y2(x<0)的图象10.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y=kx上，且△OAB是等边三角形，若AB=6，则k的值为( )A.-8B.-9C.-6√3D.-12交于A，B两点，11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k>0)与双曲线y=2xAC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论:①点A与点B 关于原点对称;②点D是BC的中点;③在y=2x的图象上任取点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1>y2，那么x1>x2;④S△BOD=12.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.412.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3.若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是.13.如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中∠ACB=90°，点C(-2，0)，点B在反比例函数y=kx的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是.C层·素养挑战14.如图，反比例函数y=kx (k>0)的图象与正比例函数y=23x的图象交于A，B两点(点A在第一象限).(1)当点A的横坐标为2时，求点A的坐标以及k的值;(2)若点A的横坐标为3时，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90°，求△ACB 的面积;(3)在(2)的条件下，平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点构成平行四边形，若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由.参考答案A层·基础过关的图象一定经过的点是(B)1.反比例函数y=-10xA.(1，10)B.(-2，5)C.(2，5)D.(2，8)的图象如图所示，以下结论中正确的是(B)2.反比例函数y=mxA.常数m<-2B.若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h<kC.y随x的增大而减小D.若P(x，y)在图象上，则P'(x，-y)也在图象上3.如图，点A是反比例函数y=k(x<0)的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，x使点B，C在x轴上，点D在y轴上.已知平行四边形ABCD的面积为6，则k 的值为(B)A.6B.-6C.3D.-34.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是(D)A.函数表达式为I=13RB.蓄电池的电压是18 VC.当R=6 Ω时，I=4 AD.当I≤10 A时，R≥3.6 Ω5.已知点A(-4，y1)，B(-2，y2)，C(3，y3)，D(4，-1)都在反比例函数y=kx的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(C)A.y3<y2<y1B.y1<y3<y2C.y3<y1<y2D.y2<y3<y16.反比例函数y=abx与一次函数y=ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是(D)7.双曲线C1:y=k1x 和C2:y=k2x如图所示，点A是C1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，则k 1-k 2= -4 .8.(2024·内江中考)如图，一次函数y =ax +b 的图象与反比例函数y =kx 的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(-2，3)，点B 的坐标为(3，n ).(1)求这两个函数的表达式;(2)根据图象，直接写出关于x 的不等式 ax +b <kx 的解集.【解析】(1)∵一次函数y =ax +b 的图象与反比例函数y =kx的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(-2，3)，点B 的坐标为(3，n ) ∴k =-2×3=3×n ，∴k =-6，n =-2 ∴反比例函数表达式为y =-6xA (-2，3)，B (3，-2)在一次函数y =ax +b 的图象上{-2a +b =33a +b =-2，解得{a =-1b =1一次函数表达式为y =-x +1.(2)由图象可知，关于x 的不等式ax +b <kx的解集为:-2<x <0或x >3.B 层·能力提升9.(2024·滨州中考)点M (x 1，y 1)和点N (x 2，y 2)在反比例函数y =k 2-2k+3x(k 为常数)的图象上，若x1<0<x2，则y1，y2，0的大小关系为(C)A.y1<y2<0B.y1>y2>0C.y1<0<y2D.y1>0>y210.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y=k(x<0)的图象x上，且△OAB是等边三角形，若AB=6，则k的值为(B)A.-8B.-9C.-6√3D.-12交11.(2024·新疆中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx(k>0)与双曲线y=2x 于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结的图象上任取点论:①点A与点B关于原点对称;②点D是BC的中点;③在y=2xP(x1，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1>y2，那么x1>x2;④S△BOD=1.其中正确结论的个数2是(C)A.1B.2C.3D.412.(2024·博山二模)如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3.若点B，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是y=18.x13.(2024·沂源一模)如图，把一个等腰直角三角形ACB放在平面直角坐标系中∠ACB=90°，点C(-2，0)，点B在反比例函数y=kx的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是-4√2.C层·素养挑战14.如图，反比例函数y=kx (k>0)的图象与正比例函数y=23x的图象交于A，B两点(点A在第一象限).(1)当点A的横坐标为2时，求点A的坐标以及k的值;(2)若点A的横坐标为3时，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90°，求△ACB 的面积;(3)在(2)的条件下，平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点构成平行四边形，若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵点A的横坐标为2∴当x=2时，y=23×2=43∴点A的坐标为(2，43)∵点A在反比例函数y=kx (k>0)的图象上，∴k=2×43=83;(2)∵点A的横坐标为3∴当x=3时，y=23×3=2∴点A坐标为(3，2)由图象的对称性得，点B(-3，-2)∴AO=BO=√32+22=√13又∵∠ACB=90°∴CO=AO=BO=√13，∵点C在y轴上∴点C(0，√13)∴S△ACB=S△AOC+S△BOC=12×√13×3+12×√13×3=3√13;(3)存在.设点D坐标为(m，n)由(2)知，A(3，2)，B(-3，-2)，C(0，√13)①若AB为对角线，则四边形ACBD是平行四边形，∴AB与CD互相平分∴12(-3+3)=12(0+m)，12(-2+2)=12(n+√13)∴m=0，n=-√13，∴点D(0，-√13);②若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分∴12(3+0)=12(-3+m)，12(2+√13)=12(-2+n)，∴m=6，n=4+√13∴点D(6，4+√13);③若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分∴12(3+m)=12(-3+0)，12(2+n)=12(-2+√13)，∴m=-6，n=-4+√13∴点D(-6，-4+√13)综上所述:点D坐标为(0，-√13)或(6，4+√13)或(-6，-4+√13).第11页共11页。
中考数学复习-一次函数与反比例函数综合题型-教案
专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】一、求一次函数与反比例函数的解析式 1、待定系数法.2、一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点. 二、图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题 1、反比例函数k .2、将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、图形面积与坐标点之间的关系 三、交点问题 根据已知量求未知量四、根据图象直接写出自变量的取值范围 数形结合的思想【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015•资阳）如图10，直线y ＝ax ＋1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线y ＝k x（x＞0）相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，点A 的坐标为2,0 （）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标.解：（1）把A （﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a=，∴y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，则双曲线解析式为y=；（2）设Q（a，b），∵Q（a，b）在y=上，∴b=，当△QCH∽△BAO时，可得=，即=，∴a﹣2=2b，即a﹣2=，解得：a=4或a=﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得=，即=，整理得：2a﹣4=，解得：a=1+或a=1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．【例2】（2016•资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），∴点D的坐标是（1，2），∵双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，∴2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）∵直线AC交y轴于点E，∴S △C D E =S △E D A +S △A D C =，即△CDE 的面积是3．【课后练习】1、（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值解：（1）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0）和A （﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x ﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A （﹣2，1）， ∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B （，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．2、如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，一次函数的解析式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，所以C 点坐标为(2，1)；又C 点在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m ＝2.所以反比例函数的解析式为y ＝2x.3、(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n . (1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x .又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10，∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10； (2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.4、如图，一次函数5+=kx y （k 为常数，且0≠k ）的图像与反比例函数xy 8-=的图像交于()b A ,2-，B 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后与反比例ABOy x函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值. 解：（1）将()b A ,2-代入反比例函数xy 8-=，得： 428=--=b∴()4,2-A将()4,2-A 代入一次函数5+=kx y ，得： 4=-2k+5，解得21=k ∴一次函数的表达式为521+=x y （2）直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后的表达式为m x y -+=521， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=x y m x y 8521得：08)5(212=+-+x m x ，16)5(8214)5(4222--=⨯⨯--=-=∆m m ac b∵平移)0(>m m 个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公共点；∴Δ=0，即016)5(2=--m ，解得9,121==m m ， ∴m 的值为1或9.5、(2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy 中，正比例函数y kx =的图象与反比例函数直线my x=的图象都经过点A(2，-2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴相交 于点B ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点 为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积。