压裂水平井产能预测1
低渗透油藏压裂水平井产能预测与应用研究
吼一 ■＝ 【 ｍ ＿ ———— —＿
一
通过理 论分 析 ， 可得 ￣ ｊ ｔ Ｃ Ｆ Ｄ 与ｆ （ Ｃ Ｆ Ｄ ） 关 系 曲线（ 如图 １ ） 。 因此在进 行产 能 评价 时 ， 可 以把利 用普通 直井 来等效 有 限导流垂 直裂 缝直井 ， 从 而更 快捷 的计 算 得到压 裂 井的裂 缝产 能 。 ２ ． 压 裂水 平井 产能 预测 ２ ． １产 能预 测公式 的建 立 设定 无限导 流压 裂水 平井 中， 压力 均匀分 布于 水平井 井筒 ， 压 裂裂缝 具有 无 限导流 能力 ， 储层渗 流模型 中存在５ 条间距相 等 的裂缝 ， 如图Ｚ 所示 。 根据拟 稳 态 当量 井径 模型 ， 籽 每条 裂缝 等效 为一 口直井 ， 则其 等效半 径 分别为 ：
应 用技 术
ｌ Ｉ Ｎ－ ＂ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｒ ｅ ｖ ｉ ｅ ｗ
低 渗 透 油 藏 压 裂 水 平 井 产 能预 测 与 应 用研 究
李 秀伟
（ 胜 利 石油 工程 有 限公 司井 下 作业 公 司 邮编２ ５ ７ ０ ７ ７ ） ［ 摘 要］ 压 裂 改造 工艺 是 国内 外油 田在勘 测 、 开 采及 开 发过程 中被广 泛 采用 的重 要 的增产 手段 之 一 ， 一般 在实 际生产 中 ， 随 着地 质条 件的 不 同及各 油层 的 特点 ， 该 工艺 也就随之 改变 。 压 裂改造 工艺 的完善 和普及 ， 有 助于扩 大产 能 、 提 升产 量 ， 使有 限的石 油资源 得到最 充分 的利用 。 当前 典型 薄互层 低渗透 油藏 水平 井压 裂技 术得到 了广泛应 用 ， 压 裂后水 平井产 能 的预测对 于压裂施 工及油 田开发 具有重 要的指 导意义 。 本 文结合压 裂水平 井中裂 缝形态分 布及裂 缝 中油 气的渗 流机理 ， 利用 当量 井径 模型 建立 了压 裂水 平井 的产 能预 测公 式 ， 计 算 得到 了压 裂水平 井 的产量 ， 为 同类 油藏 的开 发提供 了借鉴 。 ［ 关键 词］ 压裂 ； 水 平井 ； 产能 预测 ； 导 流 能力 ； 增 产 原理 中图分 类号 ： Ｆ ３ ２ ５ ． ２ ７ 文献 标识 码 ： Ａ 文 章编号 ： １ ０ ０ ９ —９ １ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ４ ） ０ １ － ０ ５ ９ ０ － ０ １
致密砂岩气藏分段压裂水平井产能预测方法研究与应用_李陈
［ 1］ SPENCEＲ C W． Ｒeview of Characteristics of Low Permea． AAPG bility Gas Ｒeservoir in Western United States［J］ Bulletin， 1989 ， 73 （ 5 ） ： 613 － 629． ［ 2］ MASTEＲS J A． Deep Basin Gas Trap， Western Canada ［ J］ ． AAPG Bulletin， 1979 ， 63 （ 2 ） ： 152 － 181． ［ 3］ ＲOSE P Ｒ． Possible Basin Centered Gas Accumulation， Ｒoton Basin， Sourthern Colorad［J］ ． Oil＆Gas Journal， 1981 ， 82 （ 10 ） ： 190 － 197． ［ 4］ 国家能源局． 致密砂岩气地质评价方法 （ SY / T6832 － S］ ． 2011． 2011） ［ ［ 5］ AＲPS． Analysis of Decline Curves［ C］ ． AIME， 1944 ： 228 － 247． ［ 6］ D． ILK， J． A． Ｒushing， Exponential vs． Hyperbolic Decline in Tight Gas SandsUnderstanding the Origin and Implications for Ｒeserve Estimates Using Arps ＇ Decline Curves． SPE 116731 ， 2008． ［ 7］ DUONG． An Unconventional Ｒate Decline Approach for Tight and FractureDominated Gas Wells， SPE 137748 ， 2010． ［ 8］ KUPCHENKO et al． Tight Gas Production Performance USPE 114991 2008． sing Decline Curves， ［ 9］ 刘立峰， 冉启全， 王欣， 等． 致密油藏水平井不稳定渗流 J］ ． 石油钻采工艺， 2014 ， 36 （ 5 ） ： 65 － 68． 压力分布［ ［ 10］ 胡永全， ． J］ ． 大庆 任书泉 水力压裂裂缝高度控制分析［ 1996 ， 15 （ 2 ） ： 55 － 58． 石油地质与开发， ［ 11］ 陈汾君， 汤勇， 刘世铎， 等． 低渗致密砂岩气藏水平井分 J］ ． 特种油气藏， 2012 ， 19 （ 6 ） ： 85 － 87 段压裂优化研究［ + 145． 本文收稿日期： 2015 － 11 － 13 编辑： 王 军
考虑裂缝干扰的气藏压裂水平井产能预测模型
流 特征 和裂 缝参 数方 面考 虑 比较 全面 ， 但还 没有 在 考虑 流体 在地层 和 裂缝 中流 动 的同时 ， 考虑 裂缝参 数 的
变化 ， 其是 裂缝 间干 扰对 产 能 的影响 ． 者利用 保 角变 换 和 势 的叠加 原 理 ， 立一 个 新 的压 裂 水 平 井产 尤 笔 建 能 预测模 型 ， 型不仅 虑 裂缝半 长 、 模 裂缝 间距 和裂 缝 夹角 的变化 ， 考 虑裂 缝 间 相互 干扰 对压 裂 水 平 井产 还 能 的影 响 ， 而达 到 准确 预测气 藏压 裂水 平 井产 能 的 目的 ， 而为水 平 井 优 化设 计 、 井 合理 配 产 和 开发 从 进 气 方 案经济 评 价提供 依 据．
中 图 分 类 号 ： Ｅ３ ３ ８ Ｔ １ ．
０ 引 言
近年来 ， 内外许 多学者 对压 裂水 平井 产 能预测 开展 相 关研究 ． ｇ ｒＦ Ｍ 等［ 首 次 利用 数 学模 型 分 国 Ｇｉｅ １ 析 压裂 水平 井 产能 ， 但其 模 型不 能很 好 地 耦 合 流 体 在 地层 和裂 缝 中 的流 动 ； ｒｈ ｒＲ Ｊ等［ 和 Ｓ ｌ ｎ Ｋａｃ ｅ ２ ］ ｏｉ ｍａ
１ 预 测 模 型
低渗 气 藏 中（ 川西 中浅 层 和华北 ） 积环 境 以河 流相 为主 ， 向上 主力层 隔层 稳定 ． 道 中一 口压 裂水 沉 纵 河
平 井 见 图 １ 图 １ ａ 中 ， 为泄 气半 径 ； Ｌ ， 。 为裂 缝 间距 ； ． （） Ｒ Ｌ ， Ｌ 均 ａ为河 道宽 度 ； ｃ为保 角 变换 后 的河道 宽 度 ； 为保 角 变换 后 的裂缝 距 泄 气边 界 距 离 ； ， ， ， 均为 单条 裂 缝 产量 ． 设 裂缝 长 度 、 ｄ ｑ ｑ ｑ 。ｑ 假 裂缝 夹
水平井-直井整体压裂组合井网产量预测模型的建立与应用
收稿 日期 ：０ １ １４ 改回日期 ：０ ｌ１０ ２ １ ｌ１ ； ２ １ 】２ 基金项 目： 国家 自然基 金“ 低渗非达西渗流压裂 水平井 流 一固耦 合渗 流理论研 究” １８ ２ ２ ） 国家 科技重 大专项 “ （ ０ ７０ ７ ； 薄互 层低 渗透油 藏开发 示范工 程”
（０１Ｚ ０ ０ １ ２ １Ｘ ５５ ）
相似准则及 等值渗流阻力原理 ， 虑低 （ 考 特低 ） 渗
透油 藏存 在启 动压 力梯 度和 油水 两相 渗流 ， 建立 各
括垂 直裂 缝 内的达 西 渗 流 区和平 面 内裂 缝 泄 流 引 起 的低渗 非达 西椭 圆渗 流 区 ； ２流动 区为未 受水 第
引 言
低渗 、 特低渗 透 油 藏 储 层 物性 差 、 均 质性 严 非
重、 油层 导 流能力 差 、 地层 能量 较弱 ， 以建立 有 效 难 的驱 替压 力 系统 。利 用 水 平 井 一直 井 整 体 压裂 井
更具有实际应用价值。
１ 产 量 预 测 模 型
１ １ 模 型假 设 ．
作者简介 ： 王志平 （９ １ ， ， ０ １８ 一） 女 ２ ４年毕业于东北石油大学石油工程专业 ， ０ 现为北 京科 技大学渗 流力学 专业在读博士研究生 ， 主要从 事低渗透 、 特低渗透 油藏 工程 、 渗流力学和油气 田开发方面研究工作 。
１２ ０
特 种 油 气 藏
第 １ ９卷
王 志平 朱维耀 高 英。张玉广 岳 明 ， ， ， ，
（ ．北 京 科 技 大 学 ， 京 １ 北 １０ ８ ；．中 油 大 庆 油 田有 限 责 任 公 司 ， 龙 江 ００３２ 黑 大庆 １３０ ） ６ １０
摘 要 ： 对 低 渗 透 油藏 水平 井 一直 井 整体 压 裂 组 合 井 网 中裂 缝 一基 质 耦 合 渗 流 的特 殊 性 ， 等 针 以
关于水平井分段压裂多段裂缝产能影响因素的分析_
关于水平井分段压裂多段裂缝产能影响因素的分析低渗透条件下的地下储层，不采用压裂增产措施无法实现油气资源的有效开采。
本文对模拟方法和数学模型的建立进行分析，并对压裂之后油井产能影响因素展开探讨。
标签：水平井;分段压裂;产能影响因素随着钻井技术的不断进步，钻井作业的成本也在下降，采用水平井钻井技术开发的油藏变得越来越多，特别是低渗透油藏，可以更好地提高采收率。
但是，采用水平井水平段分段压裂改造，对提高低渗透油藏动用率还存在技术难题，需要深入研究地质油藏工程理论，从而可以进行科学合理地布井。
对地下储层的应力场进行研究，可以处理好水力裂缝开始形成的部位和具备的形态。
对水平井段进行优化设计，可以更好对多段裂缝进行合理设置。
采用选进的分段压裂施工工艺和工具，可以对分段压裂进行有效控制。
对裂缝形态进行监测，可以更好地对多段地层裂缝进行准确地评估。
还应该进一步确定水力裂缝的形态，深入分析压裂施工之后的产量影响因素，对压裂施工参数进行优化和改进，做好单井的优化设计，可以更好地提高压裂效果。
1模拟方法和数学模型的建立采用地下油藏数学模拟分析软件，对地层局部网格进行加密，采用等连通系数法来实现对油藏和地层裂缝网络的进行划分，并选择对称单元的办法来进行数值仿真，可以求解出相应的数据信息。
结合某油田区发起人所采用的注采井网，设计的水平井区段长度为400米，并对井段长度、渗透率、裂缝布放位置、裂缝条数和长度等参数进行数学建模。
2压后产能影响因素2.1有效渗透率低渗透率的油井产量比较低，或者无法形成有效的产能，需要采用压裂手段来提升油液产量。
地下储层滲透率低的水平井采用压裂手段进行改造之后，具备的产量也不会太高。
2.2垂直渗透率和水平井渗透率对比地下储层中的小夹层会对垂直渗透率形成不利的影响，采取水平井方式形成的产能受到垂直渗透率和比值因素的影响比较大。
如果垂向渗透率小，水平井产量则会较低。
所以，在进行压裂作业之前，需要选取垂向渗透率比较高的地下储层，与水平井渗透率比值较小的地层则会实现很好的产能，需要形成的更多数量的人工裂缝。
水力压裂水平井产能预测数值模拟
第 ５期
油
气
地
质
与
采
收
率
Ｖ０ ． ７．Ｎｏ ５ １１ ． Ｓ ｐ．２０１ ｅ ０
２１ ０年 ９月
Ｐ ｔｏ ｅ ｍ ｏｏ ｙ ａ ｄ Ｒｅ ｏ ｅ ｙ Ｅｆｉ ｉｎ ｙ ｅｒ ｌ ｕ Ｇｅ ｌ ｇ ｎ ｃ ｖ ｒ ｆｃ ｅ ｃ
水 力压 裂 水 平 井 产 能 预 测 数值 模 拟
１ 预 测 模 型 建 立
１ １ 假 设条 件 ．
方 向和 高 度 方 向 的 坐 标 ， ｐ为油 藏 内 流 体 压 力 ， ｍ；
Ｐ ；ｉ ａｐ 为原始 油 藏压 力 ，ａ Ｓｉ 始 含水饱 和 度 。 Ｐ ； ｗ 为初
边 界条 件 为封 闭外 边界 ， 内边 界定 压生 产 。
考 虑井筒 压 降 的影 响 Ｊ 。笔 者利 用 油 藏 数值 模 拟 方 法建立 了三维地 层 与裂 缝 以及 变质量 井 筒流 动耦 合 的油水 两 相油 藏水 平 井 压 裂 产 能预 测 模 型 ， 对 并 相关 参数 进 行 了分析 。
相 、 相 相 对 渗 透 率 ；。 Ｐ 水 ｐ 和 分 别 为 油 相 、 相 密 水 度 ，ｇｉ ／ 和 分别 为油 相 、 相 粘度 ，ａ・ ； ｋ／ｎ；。 ｘ 水 Ｐ ｓ 和Ｐ 分别 为油 相 、 相 压力 ，ａ 。 水 Ｐ ； 和 分 别 为 油
油
气
地
质
与
采
收
率
２１ ０ ０年 ９月
式 中 ： 为裂 缝 内渗透 率 ， 和 分别 为 墨 ｍ；
裂缝 内油相 、 相相对 渗 透率 ； 为 裂缝 内孑 隙度 。 水 Ｌ 式 （） ５ 和式 （ ） 虑 了裂缝 内支 撑 剂 和流 体 的 ６考
致密砂岩油藏压裂投产水平井产能分析
２ ０ １ ３年 ５月
油
地
质
与
工
程
Ｐ Ｅ Ｔ Ｒ ＯＬ Ｅ ＵＭ ＧＥ Ｏ Ｌ Ｏ ＧＹ Ａ Ｎ Ｄ Ｅ Ｎ Ｇ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ
第２ ７卷 第 ３ 期
文章编 号 ： １ ６ ７ ３—８ ２ １ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３—０ ０ ８ ８ —０ ２
致 密 砂 岩 油 藏 压 裂 投 产 水 平 井 产 能 分 析
２ 压 裂 水 平 井 产 能 方 程
假设 油 层 中心 有 一 口水 平井 ， 其 与 供 给边 界距 离为 Ｒ ， 井筒 长度 为 Ｌ， 井筒半径为 ｒ 。水 平 段 进 行 压裂 ， 压 出 Ｎ 条 垂 直 裂缝 ， 裂缝 等 距 离 分 布 并 且
穿过 整个 油层 厚 度 ， 裂 缝 半 长 为 Ｘ ， 裂 缝 的 宽 度 为
满 足致 密砂 岩油藏 压裂 水平 井产流 动模 型
对 于裂 缝 内的流 动 ， 不 同学者 有不 同 的观 点 ， 有 的把裂 缝 内的流 动 近似 为 单 向 渗流 ， 有 的把 裂 缝 内 流动近 似为平 面径 向流 。对 于 水平 井 的 垂 直裂 缝 ，
２ ｚ ｒ Ｋｆ ＷＬ …＼ ２ ｒ ／ ２ Ｊ
导 出适 合致 密砂 岩 油藏 压 裂 水 平 井 的产 能 方 程 。研 究 结 果表 明 ， 致 密砂 岩 储 层 的 启 动 压 力梯 度 和 应 力 敏 感 对 水 平 井 的 产 能影 响显 著 ， 同时计算结果显示， 推 导 的 产 能 方 程预 测 结 果 准确 ， 能 够 指 导 水 平 井 的 开发 。
则取 该 圆的径 向流 为 流 动半 径 更 为贴 近 实 际 情 况 。 同时裂缝 流动模 型还 要考 虑裂缝 汇 聚效应额 外增 加
低渗透油藏压裂水平井产能预测研究
考虑启 动压力 梯 度 的影 响 。对 于低 渗 透 油 藏 ， 在计 算 压裂 水平井 产 能 时 ， 不 考 虑启 动 压 力 梯度 往 往 造
成计算 的 结 果 不 理 想 。 因此 ， 在 前 人 研 究 的基 础 上， 建 立 了考 虑启 动压 力 梯 度 的压 裂 水 平井 的产 能
预测公 式 。
渗 透油藏 压 裂 水 平 井 产 能 对 水 平 井 优 化 设 计 具 有
重 要 的指导 意义 ¨ 。 在 国 内外 学 者 对 压 裂 水 平 井 的稳 态 产 能 研 究
１ 低渗透油藏压裂水平井的稳态 产能
计算模 型
在水 平井进 行水 力 压 裂 时 ， 得 到 的裂 缝有 三 种 形态 ： 垂直 裂缝 ， 纵 向裂缝 ， 水平 裂 缝 。现 主要 研 究 的是 最常 见 的也 是 效 果 最 好 的垂 直 裂 缝 下 的水 平
端部 的压力 （ ＭＰ ａ ） ； Ｐ 为 裂缝 内部线 性 流 和径 向流
交界处 的压力 （ ＭＰ ａ ） 。 裂缝 中生产 压差 计算 式（ ７ ） 中需要 确定 裂缝 端 部 压力 与 井 底流 薹 ｋ ｓ Ｌ ｗ ￣ ｉ ｌ ， （ × ｌ ０ ‘ ’ ｍ ） ． 为 水 平 渗 透 率 １ ． ２
第 ｌ ３卷
第 ３期
２ ０ １ ３年 １ 月
科
学
技
术
与
工
程
Ｖｏ １ ． １ ３ Ｎｏ ． ３ Ｊ ａ ｎ ．２ ０ｌ ３
１ ６ ７ １ — １ ８１ ５（ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ５ ８ ４ — ０ ４
Ｓｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔｅ ｃ ｈｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ａ ｎ ｄ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
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压裂水平井产能预测
一、压裂水平井的物理模型
压裂水平井简易物理模型
压裂井水平井物理模型俯视图
为提高效果,水平井压裂一般都形成多条裂缝,由于地层岩石性质及压裂工艺的限制,形成的裂缝难以达到之前设想的形态。
而多条裂缝也可能形态不尽相同,在长度、宽度和与水平井井筒的夹角上各不相同。
水平井压裂裂缝一般有2种形态:横向裂缝和纵向裂缝。
同时,压裂施工控制不好时,或结合其他因素,也会出现转向裂缝和扭曲裂缝等非常规裂缝。
二．压裂水平井的主要裂缝形态
（1）横向裂缝
横向裂缝就是指裂缝面与水平井井筒垂直的裂缝。
因为水平井段有一定的长度,故为提高幵采效果,一般都压开多条横向裂缝。
多条横向裂缝可以改善油层的渗流状况,增加泄油面积,较好地贯穿了油层,增加了控制储量。
虽然多裂缝会产生缝间干扰,但是还是能能很大提高采油速度,有效地提高采收率。
对开采非均质较为严重的低渗透油气田效果较好。
水平井分段压裂绝大部分都是采用的多条横向裂缝,在幵发实践中取得了很好的效果。
（2）纵向裂缝
纵向裂缝也就是裂缝面沿着水平井筒延伸的裂缝。
裂缝平行于水平井井筒时，可以改善水平井的开采效果，将地层流体流向井筒的径向流过程转变为两个线性流过程:地层流体流向裂缝、裂缝流体流向井筒。
这可以有效地提高采油速度,但并不能较好地增加水平井的控制储量。
与横向裂缝相比,它增加的控制储量较为有限。
横向裂缝就是指裂缝面与水平井井筒垂直的裂缝。
因为水平井段有一定的长度,故为提高幵采效果,一般都压开多条横向裂缝。
多条横向裂缝可以改善油层的渗流状况,增加泄油面积,较好地贯穿了油层,增加了控制储量。
虽然多裂缝会产生缝间干扰,但是还是能能很大提高采油速度,有效地提高采收率。
对开采非均质较为严重的低渗透油气田效果较好。
水平井分段压裂绝大部分都是采用的多条横向裂缝,在幵发实践中取得了很好的效果
三、压裂水平井流动形态分析
1、裂缝引起的流动形态
(a)裂缝径向流
(b)径向-线性流
(C)双线性流
2、油藏流动形态
(a)早期标准的流向裂键的线性流
(b)中期围绕单独裂缝的拟径向流
(C)中期标准的流向水平井的线性流
(d)后期围绕水平井筒的拟径向流
(a)裂缝径向流 (b)径向-线性流或双线性流
四．压裂水平井产能推算理论基础
压裂水平井产能的计算难点在于多裂缝系统的渗流问题,裂缝间会发生干
扰。
目前处理裂缝间干扰的方法多以势的叠加原理为主。
下面介绍势的叠加原
理
1、势的基本概念
势表示一个量，这个量的梯度形成一个力场，在渗流力学中，势的概念
与拉普拉斯方程联系在一起，有时常把拉普拉斯方程的解称势函数
根据达西定律有：
（1）
引入一个新的量：
(2) 带入上式，则有：
(3)
就定义为势，通常称为速度势，它等于压力乘以一个常数，具有压力的含
义。
对（2）式进行微分得：
(4)
一般用（4）式研究平面和空间上某点的势
此外，在渗流场稳定时，渗流场中的压力分布满足拉普拉斯方程
∂2p/∂x2+ ∂2p/∂y2+∂2p/∂z2=0
2、平面上一点的势
设在平面上有一点汇M，所有流体都流向该点，并在此消失，若在这一点画出以r为半径的圆周，其呈平面径向渗流的流量为：
由此积分可得平面上一点的势为：
式中 q 单位地层厚度的产量
r 地层中任意一点到井的距离
距井半径r处地层中的势
C 常数，与边界条件有关
上式为平面上一点为点汇，对于点源，则q取负值即可
3.空间一点的势
与平面上一点的势类似，经推导可得：
若点为点源，只需要去掉负号即可
五、压裂水平井产能公式对比
每一口井的工作都会影响到地层内各点压力的下降,对于地层任意一点M 而言,多口井同时工作时根据压降叠加原理,所形成的压降为-,相应的势差。
也就是说,当多井同时工作时,地层任一点处的势满足势的叠加原理。
势的叠加原理可以叙述为:“当渗流服从线性定律,同时存在若干汇源时,合成流动的势就等于每个汇源单独存在所引起的势的代数和”。
势的叠加原理的数学证明是由于速度势满足拉普拉斯方程,而拉普拉斯方程式线性的,所以可以叠加。
多井间干扰的结果体现为压降的叠加,均质不可压缩液体稳定渗流时,可以用势翻涌压力的大小,因而借助于势的叠加可以解决多井干扰问题。
但是,势的叠加原理是建立在无限大地层的基础上的。
然而客观实际上并非如此,实际油田都是有限的。
而供给边缘距井群越远,势的近似结果就越精确,经过实践证明,供给边缘半径大于井群分布区域的直径的的2-5倍时,计算结果就足够精确。
方法一：郎兆新法
1993年,郎兆新等人通过位势理论和叠加原理,对压后多条裂缝水平井产量的预测方法就行了研究。
在各条裂缝产量相等的假设下,得到了产量和生产压降与裂缝长度和条数的关系。
L d
X
压裂水平井垂直裂缝示意图
该方法假设有条具有无限导流能力的垂直裂缝,裂缝等距离分布,间距为d,.半长均为,高度为油层的厚度。
同时先假定裂缝条数为奇数,中间的一条位于X轴上中点为原点。
由位势理论可知,单条裂缝(产量为)在整个二维平面上产生的势分布为:
则每条裂缝所产生的势函数通过叠加可得到：
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。