江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析

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江苏省南京市盐城市2019届高三数学第一次模拟考试1月试题附加题201902020264

南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）
A .（选修4—2：矩阵与变换）
直线:230l x y -+=经矩阵 01 a M d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
变换后还是直线l ，求矩阵M 的特征值.
B .（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点O 为原点，极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方
程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），求直线l 被圆C 截得的弦长.
C ．(选修4—5：不等式选讲）
已知正实数,,x y z 满足3x y z xyz ++=，求xy yz zx ++的最小值.
[必做题]（第22、23题, 每小题10分, 计20分. 请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分10分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是矩形，PA ⊥平面A B C D ,1AD =
, PA AB ==点E 是棱PB 的中点.
(1)求异面直线EC 与PD 所成角的余弦值；
(2)求二面角B EC D --的余弦值.
23．（本小题满分10分）
已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且对任意*n N ∈，都有
012112312(1)2n n n n n n n n a C a C a C a C a -++++++=-⋅成立. （1）求3a 的值；
（2）证明：数列{}n a 是等差数列.
第22题 B A P
E D。

江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试数学 Word版

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知2c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图F18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.A B ED F O · 第21(A)图C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A CD O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A M C，1A M ⊂平面1A M C ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A M C ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为c =，则由正弦定理，得sin C B =． ……………2分又2C B =，所以s i n 2s i n2B B =，即4sn c o s 5sinB B =． ……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以s i nB >，故c o s 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而223cos 25a c bB ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而3c o 44B Bππ+=． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RM T O MO T =-=．从而2R B EMT==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒= ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积E为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分 18．解：（1）由2N Q ，得直线NQ 的方程为32y x =- …………………2分令0x =，得点B 的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分将点N 的坐标)2代入，得222213a+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-．在y kx =-0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以2Q x k =．所以直线BN的斜率2BN BQ k k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x = 用2k 代k ，得2163316N x k =+． ………………12分又2DN NM =，所以2(N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM的方程为y x =- ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=． …………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x =．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为(3M ．……………14分故直线BM的方程为2y x =- …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n nn n n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，.当c =时，()b g x ax x=+，所以2()b g x a x '=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aa x c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以3)c a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即02x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O · 第21(A)图因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由13x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，C第22题图在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)n nxx-++()()0111n nn n C C x------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n nC C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题(解析版)

2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。

8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，，则=_________.【答案】【解析】【分析】由交集的定义可得出结论【详解】，，则=【点睛】本题主要考察集合的交集运算，即取两个集合中的公共元素2.已知函数的最小正周期为4，则=________.【答案】【解析】【分析】的周期计算公式可得答案【详解】由周期计算公式可得，解得=【点睛】或的最小正周期计算公式均为3.函数的定义域是．【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于则可知,解不等式组可知x的范围是，故答案为。

考点：函数定义域点评：主要是考查了对数函数的定义域的运用，属于基础题。

2019届江苏省盐城市高三年级第一学期期中模拟考试数学试题

盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合{}2,1,0,3A =-，{}3,0,2,1B =-，则A B = ▲ . 2.已知函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4，则ω= ▲ . 3.函数y =的定义域为 ▲ .4.已知命题p ：,cos 1x R x ∀∈≤，则“p ⌝”是 ▲ .5.在ABC △中，60A =，1b =c = ▲ .6.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是 ▲ .7.若数列{}n a 的首项112a =，且()11n n n a a a +=+，则200300a a = ▲ . 8. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的图像的一个最高点为38π⎛ ⎝，其图像的相邻两个对称中心之间的距离为2π，则ϕ= ▲ . 9. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ .10. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则P A →·PB →的最大值为 ▲ .11. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ .( 第9题 )ABCDPE12.已知函数()()()ln f x x a x a R =-∈，若函数()f x 存在三个单调区间，则实数a 的取值范围是 ▲ .13.已知函数()2221f x x ax a =-+-，()2g x x a =-，[][]121,1,1,1x x ∀∈-∃∈-，使()()21f x g x =，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.已知数列{}n a 满足：13a =，()()12312nn n a a n -=--≥.若213,k k a a a 成等差数列，23,k k N *∈，23k k <，则32k k -= ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知 ]4,2[,2∈=x y x 的值域为集合A ，)]1(2)3([log 22+-++-=m x m x y 定义域为集合B ，其中1≠m ．（1）当4=m ，求B A ⋂；（2）设全集为R ，若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足()2cos cos a c B b C -=； (1)求角B 的大小；(2)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值．17．（本小题满分14分）如图给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它的夹角为120 ，点C 在以O 为圆心的圆弧 AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈.，求x y +的最大值.18．（本小题满分16分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率T 与日产量x （件）之间大体满足关系：1(1,,196)962(,)3x c x N c xP x c x N ⎧≤≤∈≤<⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩（注：次品率P =次品数生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；（2）当日产量x 为多少时，可获得最大利润？19．（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x =+，21()222g x bx x =-+，,a b ∈R ．(1)求函数()f x 的单调区间；⑵记函数()()()h x f x g x =+，当0a =时，()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b 的取值范围；⑶记函数()()F x f x =，证明：存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，若410S =，1391S =．（1）求n S ；（2）若数列{M n }满足条件： 11t M S =，当2n ≥时，n n t M S =－1n t S -，其中数列{}n t 单调递增，且11t =，n t *∈N ．①试找出一组2t ，3t ，使得2213M M M =⋅；②证明：对于数列{}n a ，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. {}0,12.2π3. )(1⎡-⎣4. ,cos 1x R x ∃∈>5. 46.16 7. 3012018. 4π-9. 23 10. 1 11. 102m -≤< 12.21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭13. []2,1-- 14. 1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：(1)[4,16],(2,5),[4,5)A B A B ==∴= ………………………………………6分(2)1,{|21}m B x x x m >=≤≥+R 若则C 或14,13m m ∴+≤∴<≤………………………………………………………10分 1,{|12}m B x x m x <=≤+≥R 若则C 或，此时R A C B ⊆成立. ……………12分综上所述，实数m 的取值范围为()(),11,3-∞ .………………………………14分16. 解：（1）∵(2a －c )cos B =b cos C ，∴（2sin A －sin C ）cos B =sin B cos C即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π， ∴2sin A cos B =sin A ∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21∵0<B <π，∴B =3π.…………………………………………………7分（2）m n ⋅ =4k sin A +cos2A =－2sin 2A +4k sin A +1，A ∈（0，322）设sin A =t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值.依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23.…15分17. 解：坐标法略解为设AOC α∠=，()()11,0,,cos ,sin 2A B C αα⎛- ⎝…………4分由1cos 2sin x y OC xOA yOB y αα⎧=-⎪=+=⇒⎨⎪=⎩()()22222131324x yy x y xy x y xy =-+=+-=+-…………………………………………8分 ()()()()222231344x y xy x y x y x y ≥+-≥+-+=+ ……………………………………12分∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号即()max 2x y +=……………………14分 18．（1）当x c >时，23P =，所以每天的盈利额120332AT xA x =-⋅=．………… 2分当1x c ≤≤时，196P x =-，所以每天生产的合格仪器有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件，次品有196x x ⎛⎫⎪-⎝⎭件，故每天的盈利额 ()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…4分综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 1,2960, xx A x c x N T x x c⎧⎡⎤-≤≤∈⎪⎢⎥=-⎨⎢⎥⎣⎦⎪>⎩………………………………………6分（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0；当1x c ≤≤时，()3296x T x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭，因为 ()'223(96)314411(96)296x x T A A x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， …8分令'0T >，得184x ≤<或108x >,因为c ＜96，故[)1,84x ∈时，()T x 为增函数. 令'0T <，得8496x <<，故()84,96x ∈时，()T x 为减函数. …………………10分所以，当8496c ≤<时，max 1472T A =（等号当且仅当84x =时成立）， ……12分当184c ≤<时， 2max18921922c c T A c ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（等号当且仅当x c =时取得）， …14分综上，若8496c ≤<，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若184c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．………………………………………………16分19．（1）因为221()a x af x x x x-'=-+=， ①若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为增函数，…………………………2分 ②若0a >，令()0f x '=，得x a =，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>．所以(0,)a 为单调减区间，(,)a +∞为单调增区间．综上可得，当0a ≤时，(0,)+∞为单调增区间，当0a >时，(0,)a 为单调减区间， (,)a +∞为单调增区间． ……………4分（2）0a =时，21()()()22ln 2h x f x g x bx x x =+=-++，2121()2bx x h x bx x x-+'=-+=， ……………………………………………………5分()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点，即()0h x '=在(0,1)上有且只有一个根且不为重根，由()0h x '=得2210bx x -+=， ………………………………………………6分（i ）0b =，12x =，满足题意；…………………………………………………………7分（ii ）0b >时，212110b ⋅-⋅+<，即01b <<；………………………………………8分（iii ）0b <时，212110b ⋅-⋅+<，得1b <，故0b <；综上得：()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点时，1b <． ……………………………9分注：本题也可分离变量求得．（3）证明：由（1）可知：（i ）若0a ≤，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，所以直线l 与()y F x = 的图象不可能有两个切点，不合题意．……………………10分（ⅱ）若0a >，()f x 在x a =处取得极值()1ln f a a =+．若1ln 0a +≥，1ea ≥时，由图象知不可能有两个切点．…………………………11分故10ea <<，设()f x 图象与x 轴的两个交点的横坐标为,s t （不妨设s t <），则直线l 与()y F x =的图象有两个切点即为直线l 与1ln ,(,)ay x x s t x=--∈和2ln ,(,)ay x x t x=+∈+∞的切点． 1221a a x y x x x -'=-=，2221a x ay x x x-'=-+=，设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则120x x <<，且111122111ln a x y x a x x x x -==--，222222222ln x a y x a x x x x -==+，122212a x x ax x --=，即1121ln ax x =-， ① 2221ln ax x =-， ② 12122212()x x x x a x x +=+，③①-②得：11212222ln ln ln x a ax x x x x -=-+=-，由③中的a 代入上式可得：121212212122()22()ln x x x x x x x x x x +-=-+，即22121221222()ln x x x x x x -=+， ……………………………………………………………14分令12(01)x k k x =<<，则22(1)ln 22k k k +=-，令22()(1)ln 22(01)G k k k k k =+-+<<，因为213()10e e G =->，2414()0e eG =-<，故存在0(0,1)k ∈，使得()00G k =，即存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点．……………………16分20．解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由410S =，1391S =，得11434102131213912a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩，所以21(1)22n n n n nS na d -+=+=……………………………………………4分（2）①因为111M S ==，若22,t =221312M S S =-=-=，()33332132t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分若23,t =231615M S S =-=-=，()33333162t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分若24,t =2411019M S S =-=-=，()333341102t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()33110812t t +-=，()331182t t +=，解得313t =，所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分②由①知11t =，213t =+，23133t =++，则11M =，223M =，239M =，一般的取213113332n n n t --=++++= ， ………………………13分此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，则n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，所以n M 为一整数平方．因此存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分。

2019年江苏省盐城市南京市高考数学一模试卷

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B=．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；=a n对任意（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B={1} ．【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）•z为纯虚数，则a的值为1．【解答】解：∵z=a+i，∴（1+i）•z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，又（1+i）•z为为纯虚数，∴a﹣1=0即a=1．故答案为：1．3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200．【解答】解：由频率分布直方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200．故答案为：1200．4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1．【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，当x=0时，y=e0=1．故答案为：1．5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n==6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=．故答案为：．6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为6．【解答】解：∵双曲线的方程，∴a2=4，b2=5，可得c==3，因此双曲线的右焦点为F（3，0），∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合，∴=3，解之得p=6．故答案为：6．7．（5分）设函数y=e x﹣a的值域为A，若A⊆[0，+∞），则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：函数y=e x﹣a的值域为A∵e x=2，∴值域为A=[2﹣a，+∞）．又∵A⊆[0，+∞），∴2﹣a≥0，即a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为．【解答】解：∵（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ，∴tan（α+β）=═﹣1，∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π），∴α+β=．故答案为：．9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是（0，] ．【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，可得ω＞0在区间[0，2π]上单调递增，∴，即．故答案为：（0，]10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为4034．【解答】解：因为S n为等差数列{a n}的前n项和，且{a n}的前2017项中的奇数项和为2018，=a1+a3+a5+…+a2017=1009×（a1+a2017）×=1009×a1009=2018，得a1009=2．所以S奇=a2+a4+a6+…+a2016=1008×（a2+a2016）×=1008×a1009=1008×2=2016则S偶则S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034．故答案为：4034．11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=，若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是[1，）．【解答】解：由0≤x≤3可得f（x）∈[0，]，x＞3时，f（x）∈（0，1）．画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）﹣m有四个不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有4个交点，由图象可得m的取值范围为[1，），故答案为：[1，）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3）上存在一点P，圆x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为﹣．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则y1=k（x1﹣3）①，+（y2﹣1）2=1②；由=3，得，即，代入②得+=9；此方程表示的圆心（0，3）到直线kx﹣y﹣3k=0的距离为d≤r；即≤3，解得﹣≤k≤0．∴实数k的最小值为﹣．故答案为：﹣．13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为24．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（﹣，），D2（﹣，0），D3（﹣，），此时=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），=（﹣，﹣5），=（﹣，﹣），则•=21，•=24，•=22.5，则的最大值为24，故答案为：24．14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为100．【解答】解：∵ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac＞19bc，∴k＞，只需k大于右侧表达式的最大值即可，显然c＞b时，表达式才能取得最大值，又∵c﹣b＜a＜b+c，∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c，∴＜19+（）=20﹣（）2=100﹣（﹣10）2，当=10时，20﹣（）2取得最大值20×10﹣102=100．∴k≥100，即实数k的最小值为100．故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=．（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值．【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB．…（2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB．…（4分）又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=．…（6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c．…（10分）从而cosB==，…（12分）又0＜B＜π，所以sinB==．从而cos（B+）=cosBcos﹣sinBsin=．…（14分）17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N．（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R，在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°，所以OT=，则MT=0M﹣OT=．从而BE=MT=，即R=2BE=2．故所得柱体的底面积S=S扇形OEF ﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=﹣，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=﹣4．答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为﹣4立方分米．（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（﹣）x2，又所得柱体的高EG=6﹣2x，所以V=S×EG=（﹣2）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0，解得x=2．列表如下：所以当x=2时，f（x）取得最大值．答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（）处时，点Q 的坐标为（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程．【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x﹣，令x=0，得点B的坐标为（0，﹣）．所以椭圆的方程为+=1．将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4．所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣．在y=kx﹣中，令y=0，得x P=，而点Q是线段OP的中点，所以x Q=．所以直线BN的斜率k BN=k BQ==2k．联立，消去y，得（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=．用2k代k，得x N=．又=2，所以x N=2（x M﹣x N），得2x M=3x N，故2×==3×，又k＞0，解得k=．所以直线BM的方程为y=x﹣19．（16分）设数列{a n}满足a=a n+1a n﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n=a n对任意+T的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．【解答】解：（1）由题意，可得a=（a n+d）（a n﹣d）+λd2，化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1．（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，a n﹣1，所以数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，所以a=a n+1所以a n=2n﹣1．欲存在r∈[3，7]，使得m•2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m•2n﹣1对任意n∈N*都成立，则7≥n﹣m•2n﹣1，所以m≥对任意n∈N*都成立．令b n=，则b n+1﹣b n=﹣=，＜b n；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，b n+1＞b n．所以当n＞8时，b n+1所以b n的最大值为b9=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列{a n}不是常数列，所以T≥2，①若T=2，则a n=a n恒成立，从而a3=a1，a4=a2，+2所以，所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{a n}是常数列，矛盾．所以T=2不合题意．②若T=3，取a n=（*），满足a n+3=a n恒成立．由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7．则条件式变为a n2=a n+1a n﹣1+7．由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2；由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2；由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2﹣a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，c∈R）．（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b 的值；（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1，当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣，所以g′（1）=a﹣b，因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=﹣；（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0），则题意可转化为方程ax+﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．所以，得，所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．因为0＜a＜3，所以2≥2•=3（当且仅当a=时取等号），又﹣t＜0，所以2﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．故c的最小值为3．（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，所以，两式相减，得b=x1x2（1﹣），要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1，即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣）＜x1x2﹣x1，即证＜＜，即证1﹣＜ln＜﹣1令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣=＞0，所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立；再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=＜0，所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立．综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．[选做题]（在，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，①在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分）由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE，又∠ADE=∠AFE，AE=AE，所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程．【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点，则=1，设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），则=，即，解得，…（5分）代入=1，得=1，∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．【解答】解：直线ρcos（θ+）=1，转化为：，曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2，由于直线和圆相切，则：圆心到直线的距离d=．所以r=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（）2][12+（）2]≥（x•1+）2，即≥（x+y）2．而x2+3y2=1，所以（x+y）2，所以﹣，…（5分）由，得，所以当且仅当x=，y=时，（x+y）max=．所以当x+y取最大值时x值为．…（10分）25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4．（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）．=（﹣2，0，4），=（01，﹣1，2），cos＜，＞===．故直线AP与BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）=（﹣2，1，0），=（﹣1，﹣1，2）．设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=2，得=（2，4，3）．又平面PAC的一个法向量为=（0，1，0），∴cos＜＞===．故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为．…（10分）26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=C n0C n1+2C n1C n2+…+nC n n﹣1C n n．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C C C C①，在①中令n=1，得f（1）=1．在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3．在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10．（2）猜想f（n）=．要证猜想成立，只要证等式n=•+2•+…+n•成立．由（1+x）n=+x+x2+…+x n①，两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=+2x+3x2+n x n﹣1②，把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（+x+x2+…+x n）•（+2x+3x2+n x n﹣1）③．等式左边x n的系数为n，等式右边x n的系数为•+•2+•3+…+n•n=•+2•+3•+…+n•=C C C C，根据等式③恒成立，可得n=C C C C．故f（n）=成立．。

2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)

2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。

2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。

2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。

已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。

6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。

设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。

e)。

11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。

现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。

高三数学专题--2019届南京市、盐城市高三一模数学试卷

江苏省南京市盐城市2019届高三数学第一次模拟考试1月试题附加题

P (1) 求异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值；
(2) 求二面角 B EC D 的余弦值 .
E
A
D
B
第 22 题 C
23．（本小题满分 10 分）已知数列 an 满足 a1
1 ， a2
3，且对任意 n
*
N ，都有
a1Cn0 a C2 n 1 a Cn3 2
an Cnn 1 ( an
数学附加题部分
（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）
21． [ 选做题 ] （在 A、 B、C 三小题中只能选做 2 题 , 每小题 10 分, 计 20 分 . 请把答案写在答题纸的指定区域内）
A. （选修 4—2：矩阵与变换）
直线 l : 2x y 3 0 经矩阵 M
a 0 变换后还是直线 l ，求矩阵 M 的特征值 . 1d
1
新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事，莫慌乱！不管是大型考试还是平时的检测，或多或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎么办？为防患于未然，老师家长们应该在考前给孩子讲清楚应急措施，告诉孩子遇事不慌乱，沉重冷静，必要时可以向监考老师寻求帮助。
南京市、盐城市 2019 届高三年级第一次模拟考试
12 ) Байду номын сангаас 2成立 .
（ 1）求 a3 的值；
（ 2）证明：数列 an 是等差数列 .
3
B. （选修 4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中 , 圆 C 的极坐标方程为
2cos ，以极点 O 为原点，极轴 Ox 所在的直线
为 x 轴建立平面直角坐标系，直线圆 C 截得的弦长 .
l 的参数方程为
3 x2 t

江苏南京、盐城2019高三第一次重点考试试题--数学

江苏南京、盐城2019高三第一次重点考试试题--数学数学(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑, 其中11n i i x x n ==∑. 【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.集合{}2,1,0,1-=U , {}1,1-=A , 那么U A ð= .2.复数2(12)i -的共轭复数是 .3.某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8, 9, 10, 10, 8, 那么该组数据的方差为 .4.袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 那么摸出的两球颜色不同的概率为 .5.在等差数列{}n a 中, 假设9753=++a a a , 那么其前9项和9S 的值为 .6.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 那么目标函数23z x y =+的最大值为 .7.如下图是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 .8.将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 那么ϕ的最小值为 .②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③假如两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行；④假如两个平面相互垂直,那么通过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.那么所有真命题的序号是.10.在ABC ∆中,假设9cos 24cos 25A B -=,那么BC AC的值为. 11.如图,在等腰三角形ABC 中,底边2=BC ,=,12AE EB =,假设12BD AC ⋅=-,那么⋅=. 12.1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点,点P 是椭圆的上任意一点,那么121||PF PF PF -的取值范围是. 13.假设x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+,那么cos 4y x 的值为.14.函数02,()(2),2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩,假设关于x 的方程()f x kx =(0)k >有且仅有四个根,其最大根为,那么函数225()6724g t t t =-+的值域为. 【二】解答题：本大题共6小题，计90分.解承诺写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(本小题总分值14分)在直三棱柱111C B A ABC -中,AB BC ⊥,D 为棱1CC 上任一点.(1)求证：直线11A B ∥平面ABD ；(2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .16、(本小题总分值14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C 、(1)假设cos(A ＋)＝sinA ，求A 的值；(2)假设cosA ＝，4b ＝c ，求sinB 的值、17、(本小题总分值14分)近年来，某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采纳太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C 〔单位：万元〕与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100k C x x k x =≥+为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1)试解释(0)C 的实际意义,并建立F 关于x 的函数关系式；(2)当x 为多少平方米时,F 取得最小值？最小值是多少万元？18.(本小题总分值16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>通过点M ,椭圆的离心率e =1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A 、B .①假设直线MA 过坐标原点O ,试求2MAF ∆外接圆的方程；②假设AMB ∠的平分线与y 轴平行,试探究直线AB 的斜率是否为定值？假设是,请给予证明；假设不是,请说明理由.19、(本小题总分值16分)关于定义在区间D 上的函数()f x ,假设任给0x D ∈,均有0()f x D ∈,那么称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭,并说明理由；假设函数3()1x a g x x +=+在区间[3,10]上封闭,求实数a 的取值范围；假设函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭,求,a b 的值.20、(本小题总分值16分)假设数列{}n a 是首项为612t -,公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)假设数列{}n b 是等比数列,试证明:关于任意的(,1)n n N n ∈≥,均存在正整数n c ,使得1nn c b a +=,并求数列{}n c 的前n 项和n T ； (3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅,且{}n d 中不存在如此的项k d ,使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立〔其中2≥k ,*∈N k 〕,试求实数的取值范围、附加题部分〔本部分总分值40分，考试时间30分钟〕21、[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.〔选修4—1：几何证明选讲〕如图，圆O 的直径8=AB ,C 为圆周上一点,4=BC ,过C 作圆的切线,过A 作直线的垂线AD ,D 为垂足,AD 与圆O 交于点E ,求线段AE 的长、B.〔选修4—2：矩阵与变换〕矩阵 1 22 x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为3,求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量.C 、〔选修4—4：坐标系与参数方程〕在极坐标系中,A 为曲线22cos 30ρρθ+-=上的动点,B 为直线cos sin 70ρθρθ+-=上的动点,求AB 的最小值.D 、(选修4-5：不等式选讲〕设12,,,n a a a ⋅⋅⋅基本上正数,且12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1,求证：12(1)(1)(1)2n n a a a ++⋅⋅⋅+≥.[必做题]第22、23题,每题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22、〔本小题总分值10分〕某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为1P 32=,乙的命中率为2P ,在射击比武活动中每人射击两发子弹那么完成一次检测,在一次检测中,假设两人命中次数相等且都许多于一发,那么称该射击小组为“先进和谐组”.假设2P 21=,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2018年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ,假如5≥ξE ,求2P 的取值范围.23、〔本小题总分值10分〕n x x f )2()(+=,其中*N n ∈、(1)假设展开式中含3x 项的系数为14,求n 的值；(2)当3=x 时,求证：)(x f *)s N +∈的形式.参考答案【一】填空题1.{}0,22.34i -+3.454.235.276.267.38.6π9.①③④10.2311.012.[0,2]+13.－114.41[,1)25-- 【二】解答题15.(1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11//A B AB …………4分而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,因此直线EF ∥平面ABD …………7分(2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,因此1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B =,因此AB ⊥面11BCC B ……………11分又AB ABD ⊂面,因此平面ABD ⊥平面11BCC B …………………14分17、解:(1)(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费………………………………2分由(0)24100k C ==,得2400k =………………3分因此24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++……………………………7分(2)因为18000.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥=+………………10分当且仅当18000.5(5)5x x =++,即55x =时取等号…………………………13分因此当x 为55平方米时,F 取得最小值为59.75万元………………………14分(说明:第(2)题用导数可最值的,类似给分)18.解:(1)由e =，2222289c a b a a -==，得229a b =，故椭圆方程为222219x y b b +=……3分又椭圆过点M ，那么2218219b b+=，解得24b =，因此椭圆的方程为221364x y += …………………5分(2)①记12MF F ∆的外接圆的圆心为T .因为13OM k =,因此MA 的中垂线方程为3y x =-,又由M ,2F (),得1MF的中点为，而21MF k =-，因此2MF 的中垂线方程为y x =-，由3y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，得T …………8分因此圆T=，故2MAF ∆的外接圆的方程为221254x y ⎛⎛++= ⎝⎝………………10分(说明:该圆的一般式方程为22200x x y y +-=) (3)设直线MA 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，由题直线MA 与MB 的斜率互为相反数，直线MB 的斜率为k -.联立直线MA与椭圆方程：221364y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()2229113162108180k x k x k k ++-+--=，得1x =，因此2x =-，整理得21x x -=，21x x +=-………13分又()()212221y y kx kx k x x -=-++-+-=-++=3210891k k -+=+，因此212113AB y y k x x -===-为定值………………16分19、解:(1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,因此()f x 的值域为[-3,0]………2分而[-1,0][2,1]⊄-,因此()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的………………4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a ++, 由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………7分③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意…………8分综上所述,实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,因此2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-,因此()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,因此()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,如今无解………………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………………11分③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩, 又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b a h a b≥⎧⎨≤⎩(*), 而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分 ⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,因此()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩,如今无解…………………………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分20、解:(1)因为{}n a 是等差数列,因此(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,因此当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,因此13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,因此113232t --=⨯=,即1t =,因此612n a n =-………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n n c N -=+∈,那么116(23)12n n c n a b -+=+-=,因此命题成立…7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+--…………………9分 (3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,因此 ①假设3222t -<,即74t <,那么1n n d d +>,因此当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得74t ≤<…………13分 ②假设32232t ≤-<,即7944t ≤<,那么当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分 ③假设321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥, 那么当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列,当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 那么由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=……………15分综上所述,的取值范围是t ≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥………16分附加题答案21.A.解：连结AC BE OC ,,，那么AE BE ⊥、 ∵4=BC ,∴4===BC OC OB ,即OBC ∆为正三角形,∴ 60=∠=∠COB CBO ……………………………………………4分又直线切⊙O 与C ，∴60DCA CBO ??， ∵AD l ^，∴906030DAC ?-=………………………6分而3021=∠=∠=∠COB ACO OAC ,∴60=∠EAB ………8分在Rt △BAE 中，∠EBA=30°，∴421==AB AE ……………10分 B 、解：矩阵M 的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ……………1分因为31=λ方程)(=λf 的一根，因此1=x ……………………………………3分由04)1)(1(=---λλ,得12-=λ…………………………………………5分设12-=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x α,那么⎩⎨⎧=--=--022022y x y x ,得y x -=……………8分令1,1-==y x 则,因此矩阵M 的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α…………10分C 、解:圆的方程可化为()2214x y ++=,因此圆心为()1,0-,半径为2…………………3分又直线方程可化为70x y +-=……………………………………………5分因此圆心到直线的距离d ，故min ()AB=2 (10)分D 、解:因为1a 是正数，因此11a +≥………………………………………5分同理1(2,3,)j a j n +=≥，将上述不等式两边相乘，得1212(1)(1)(1)n n na a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥2,因为121n a a a ⋅⋅⋅=,因此12(1)(1)(1)n n a a a +++≥2……………………………10分 22.解:(1)可得=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=)2121)(3232()2121)(3132(1212C C P 31……………………4分(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为222222212129498)3232()]1()[3132(P P P P P C C P -=⋅+-⋅⋅⋅⋅=,而ξ～),12(P B ,因此P E 12=ξ,由5≥ξE ,知512)9498(222≥⋅-P P ,解得1432≤≤P (10)分23.解:(1)因为28812rrr r x C T -+=,因此6=r ，故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ，解得7=n ………5分 (2)由二项式定理可知,01201122(22222nn nn n n n n n n C C C C --=++++,设(2n x +==+，而假设有(2n +=+,a b N *∈，那么(2n -=,,a b N *∈ (7)分∵(2(21n n ⋅=⋅=，∴令,a s s N *=∈，那么必有1b s =-……………………………………9分∴(2n +必可表示成的形式，其中s N *∈ (10)分注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数、。

江苏省南京市2019届高三上学期综合模拟数学试题(解析版)

南京市2019届高三第一学期综合模拟试题（一）一．填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。

1.已知集合，，则＝________.【答案】【解析】【分析】化简集合A，由交集运算即可求解.【详解】因为，所以＝，故填.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于中档题.2.复数为虚数单位）的共轭复数为________.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为，所以，故填【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.3.某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有______个网箱产量不低于50 kg．【答案】82【解析】【分析】根据频率分布直方图，可求出不低于50kg的频率，然后再根据频率即可求出结果.【详解】由频率分布直方图，可知不低于50kg的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）×5＝0.82，所以网箱个数：0.082×100＝82.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的，以及频率的基本概念，考生熟练掌握相关概念是解决本题的关键.4.已知四边形为梯形, ,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的________条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).【答案】充分不必要【解析】因四边形为梯形,，则两腰必相交，由线面垂直的判定定理和性质定理可得“垂直于两腰”一定有“垂直于两底”，但反之，则不一定成立，故选“充分不必要”。

5.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"考点：算法的流程图的计算视频6.甲、乙、丙、三本书按任意次序放置在书架的同一排上，则甲在乙前面，丙不在甲前面的概率为______.【答案】【解析】【分析】三本书任意放共有种不同放法，由甲在乙前面，丙不在甲前面知甲的位置固定，乙丙排序即可，共有2种不同的放法，即可求出其概率.【详解】三本书任意放共有种不同放法,由甲在乙前面，丙不在甲前面知甲的位置固定，乙丙排序即可，共有2种不同的放法故甲在乙前面，丙不在甲前面的概率为，填.【点睛】本题主要考查了排列的应用，古典概型，属于中档题.7.已知等差数列的前项和为，，，则的值为____．【答案】24【解析】【分析】首先根据等差数列的前项和公式和等差中项，即可求出的值，再根据等差数列的通项公式和，即可求出，进而求出的值.【详解】因为，所以，＝132，即11＝132，所以，＝12又，所以，＝18，因为，所以，可求得：＝24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前项的公式是解决本题的关键.8.将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则＝_______．【答案】【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【详解】将函数的图象向左平移φ（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2φ+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2•+2φ+=kπ+，求得φ=﹣，k∈Z，令k=1，可得φ=，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.9.在矩形中，已知，点E是BC的中点，点F在CD上，则的值是_______.【答案】【解析】试题分析：建立如下图所示的平面直角坐标系，由得：，解得：所以，所以答案应填：．考点：平面向量的数量积．视频10.已知棱长为1的正方体，是棱的中点，是线段上的动点，则△与△的面积和的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】由题意，就是求到与距离和的最小值，由于在平面上的射影为，故问题转化为正方形中上的点到距离和的最小值【详解】由题意，就是求到与距离和的最小值，由于在平面上的射影为，故问题转化为正方形中上的点到距离和的最小值，设关于的对称点，则由余弦定理，所以△与△的面积和的最小值是，故填.【点睛】本题主要考查了正方体的性质，余弦定理，学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.11.设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是_________．【答案】【解析】试题分析：在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，．考点：圆的切线，椭圆离心率12.已知正实数满足，则的最小值为____【答案】【解析】【分析】构造与已知条件有关的等式关系．x+y=，利用基本不等式的性质即可解决．【详解】∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，2x+3y＞0，x+y＞0，+=1，x+y=，那么：x+y=（x+y）×1=×（+）=（1+）=∵=1，当且仅当2x=y=时取等号．所以：x+y≥．故x+y的最小值为．故答案为：【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．13.已知定义在R上的函数满足：，，则方程在区间上的所有实根之和为_____．【答案】【解析】试题分析：由可知函数周期为2，作出两函数图象如下：观察图像可知两函数有5个交点，其中一个为，另外4个关于点对称，所以所有交点横坐标之和为考点：函数图像及性质点评：求解本题主要利用的是数形结合法，即首先作出函数图象，借助于图像观察其特点得到结论，这种方法能使一些较复杂的题目求解非常方便，须加以重视14.设函数（）．若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】存在, 使，等价于，化简的解析式，判断的单调性，讨论的单调区间与区间的关系，求出在上的最小值，令最小值小于或等于零解出即可.【详解】存在, 使，，当时,,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1) 若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，，（1）求的值；（2）若点D在边上，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦公式即可求出（2）在中由正弦定理可得.【详解】（1）设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得，所以.又由正弦定理得.由题设知，所以.（2）在中，由正弦定理得.【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角和正弦公式，属于中档题.16.如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理进行论证，即从线线平行出发，而线线平行的证明一般从平面几何条件寻求，本题利用中位线性质得．（2）面面垂直的证明，一般利用线面垂直给予证明，即需证明平面．而线面垂直的证明，需多次利用线面垂直的判定及性质定理进行转化论证．试题解析：（1）连接与相交于点，连结．因为四边形为矩形，所以为中点．因为为棱中点，所以．因为平面，平面，所以直线平面．（2）因为平面，平面，所以．因为四边形为矩形，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．17.某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形作为绿化区域，其余作为市民活动区域.其中区域种植花木后出售，区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若km ，km（1）若km ，求绿化区域的面积；（2）设，当取何值时，园林公司的总销售金额最大.【答案】（1）绿化区域的面积为；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元.【解析】【分析】（1）若km，可得，进而求出,即可求绿化区域的面积（2）设，求出园林公司的总销售金额，利用导数可得结论.【详解】（1）在中，，，，由余弦定理得，因为，所以，又因为、、、共圆，所以.在中，由余弦定理得，将，代入化简得，解得（舍去）.所以即绿化空间的面积为（2）在、中分别利用余弦定理得①②联立①②消去得，得，解得（舍去）.因为，所以，即.因为草皮每平方米售价为元，则花木每平方米售价为元，设销售金额为百万元.令，解得，又，不妨设，则函数在上为增函数；令，解得，则函数在上为减函数，所以当时，.答：（1）绿化区域的面积为；（2）当时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元.【点睛】本题主要考查了利用数学知识解决实际问题，利用导数求最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.18.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

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江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题一、填空题 1. 已知集合，，则____．【答案】【解析】，所以 2. 设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为____．【答案】1 【解析】因为为纯虚数，所以 3. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．

【答案】1200 【解析】 4. 执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为________．

【答案】1 【解析】因为，所以时 5. 口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．【答案】【解析】从袋中一次随机摸出2个球,共有 6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4的事件为，四种基本事件数，因此概率为 .............................. 6. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为____．【答案】6 【解析】因为双曲线的右焦点为，所以 7. 设函数的值域为，若，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为a,所以 8. 已知锐角满足，则的值为________．【答案】【解析】因为，所以因此因为 9. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】由题意得，所以 10. 设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为________．【答案】4034 【解析】因为的前2017项中的奇数项和为2018，所以因此点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

11. 设函数是偶函数，当x≥0时，=，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】作图，由图可得实数m的取值范围是

点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 12. 在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为________．【答案】【解析】设

因此，即实数的最小值为点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 13. 如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为________．

【答案】24 【解析】先建立直角坐标系，由向量投影知取最大值时 ,即

点睛：平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 14. 若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．【答案】100 【解析】由正弦定理得因此，即的最小值为100 点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

二、解答题 15. 如图所示，在直三棱柱中，，点分别是的中点. （1）求证：∥平面；（2）若，求证：.

【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据平面几何知识证明四边形是平行四边形，得．再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据直三棱柱性质得，再根据等腰三角形性质得，由线面垂直判定定理得侧面．即得．再由已知，证得平面，即得结论试题解析：证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，又点分别是的中点，所以，且．所以四边形是平行四边形，从而．又平面，平面，所以∥面．（2）因为是直三棱柱，所以底面，而侧面，所以侧面底面．又，且是的中点，所以．则由侧面底面，侧面底面，，且底面，得侧面．又侧面，所以．又，平面，且，所以平面．又平面，所以． 16. 在中，角的对边分别为已知. （1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理得．利用二倍角公式化简得．（2）化简向量得．再根据余弦定理得，最后根据同角三角函数关系以及两角和余弦公式得的值．试题解析：解：（1）因为，则由正弦定理，得．又，所以，即．又是的内角，所以，故．（2）因为，所以，则由余弦定理，得，得．

从而，又，所以．从而． 17. 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形

的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点,．（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

【答案】（1）当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.（2）当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大【解析】试题分析：（1）先根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积，即为柱体底面积，再根据柱体体积公式求体积（2）同（1）先计算底面积，再表示高，代入柱体体积公式得容积函数关系式，最后利用导数求最值试题解析：解：（1）在图甲中，连接交于点．设，在中，因为，所以，则．从而，即. 故所得柱体的底面积 . 又所得柱体的高，所以 . 答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米. （2）设，则，所以所得柱体的底面积 . 又所得柱体的高，所以，其中. 令，则由，解得. 列表如下：

＋ 0 －增极大值减

所以当时，取得最大值. 答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.

18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．

【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求直线的方程，即得B坐标，有；再将N坐标代入椭圆方程解得a（2）设直线的斜率为，解得P点坐标，根据中点坐标公式得Q，利用直线方程与椭圆方程联立方程组解得M,N，根据横坐标之间比例关系求k,即得直线的方程．试题解析：解：（1）由，得直线的方程为．令，得点的坐标为．

所以椭圆的方程为．

将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．

所以直线的斜率．

联立，消去，得，解得．用代，得．又，所以，得．故，又，解得．所以直线的方程为．方法二：设点的坐标分别为．

由，得直线的方程为，令，得．

同理，得．而点是线段的中点，所以，故．又，所以，得，从而，解得．将代入到椭圆C的方程中，得．

又，所以，即，解得（舍）或．又，所以点的坐标为．故直线的方程为． 19. 设数列满足，其中，且，为常数. （1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值. 【答案】（1）（2）（3）3 【解析】试题分析：（1）利用等差数列定义将条件转化为公差关系，解方程可得的值；（2）先求的值；即得数列为等比数列，分离变量将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：,即，最大值，再根据数列单调性确定最大值，即得的最小值；（3）本题由于求周期最小值，可以从小逐个验证即可：为常数列，舍去；时，可推得，舍去；时，可取一个数列满足条件. 试题解析：解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以. （2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.