2018年人教A版必修四 三角恒等变换 单元测试10
数学人教A版必修4单元检测：三角恒等变换附答案 含解
数学人教A 版必修4第三章三角恒等变换单元检测(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 105°＝( )A ．2B ．－2C ．－3D ．－22．已知sin2α＝45，cos 2α＝35-，则sin α等于( ) A ．1225- B ．725- C ．2425-D ．6253．函数y ＝3sin x －x 的最大值是( )A ．3＋B ．C ．6D ．34．若函数f (x )＝cos 22x －sin 22x ＋sin 4x (x ∈R )，则f (x )的( )A ．最小正周期为π2，最大值为1 B ．最小正周期为πC ．最小正周期为π2，最小值为D ．最小正周期为π，最小值为－15．函数f (x )＝1－2π2sin 4x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝( )A ．B ．12-C ．12D 6．若cos α＝45-，α是第三象限角，则πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．10-B ．10C ．10-D ．107．已知x ∈π,02⎛⎫-⎪⎝⎭，cos(π－x )＝45-，则tan 2x 等于( )A ．724B ．724-C ．247D ．247-8．函数f (x )＝(1x )cos x 的最小正周期为( ) A ．2πB ．3π2C ．πD ．π29．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan 2θ的值为( ) A ．2B ．12C ．12或不存在 D ．2或不存在10．已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为__________． 12．已知tan α＝12，tan(β－α)＝25，那么tan(β－2α)＝__________. 13．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α＝__________. 14．sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，则cos 2β＝__________. 15．在△ABC 中，sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝__________. 三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)(2011·广东惠州一模)已知函数f (x )＝2＋sin 2x ＋cos 2x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合； (2)求函数f (x )的单调增区间．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)． 求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．17．(15分)已知tan α＝13-，cos β＝5，α，β∈(0，π)． 求：(1)tan(α＋β)的值；ππcos 66αβ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．。
高中数学必修4第三章三角恒等变换综合检测题(人教A版)
第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。
第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。
人教版高中数学必修四三角恒等变换单元检测
三角恒等变换单元验收(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 215°－1的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－322．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．23．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－24254.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1 D.125．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.536．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－77．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( ) A.32B ．－32C ．±32D ．±128．已知sin α－cos α＝－52，则tan α－1tan α的值为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7D ．－89．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A.－43－310B.43－310C.12D.3210．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形11．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的最大值为( )A.12B.14 C ．1D.2212．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知2cos2x ＋sin 2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．14．已知向量a ＝(4，3)，b ＝(sin α，cos α)，且a ⊥b ，那么tan 2α＝________．15．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________．16.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4的值． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.(1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限，且cos α＝35，求f (α)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．22．(2014·福建卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．参考答案：DADAB BBDBB AC13. 2 1 14. －247 15. 3 16. 72517.解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35.所以sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α＝sin2α＋2sin αcos α3cos2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17.18.解：(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠0，得x ＋π2≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π2，k ∈Z .(2)由已知条件得sin α＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145. 19.解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20.解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1，1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.21.解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .22.解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝ －2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. 法二：f (x )＝2si n x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。
高中数学 三角恒等变换单元测评 新人教A版必修4
高中数学 三角恒等变换单元测评 新人教A 版必修4(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35.∴cos β2＝±1＋cos β2＝± 15＝±55. 答案：A2．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 答案：D3．函数y ＝cos2x ＋sin2x cos2x －sin2x 的最小正周期为A ．2πB ．π C.π2D.π4解析：y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴T ＝π2. 答案：C4．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：a ＝2sin59°，b ＝2sin61°，c ＝2sin60°， ∴a ＜c ＜b . 答案：D5．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心是 A.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3解析：y ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－3＝12sin2x ＋32·cos2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x＋π3＝k π，x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32. 答案：B6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是 A. 2 B ．2 C ．4D.22解析：PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则 |PQ →|＝cos β－cos α2＋sin β－sin α2＝2－2cos α－β， 故|PQ →|的最大值为2. 答案：B7．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为 A.14 B.12C ．4D ．12 解析：由已知得：4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4，所以tan(α－β)＝4. 答案：C8．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．答案：B9．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x 的一个单调递增区间是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，1312πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其增区间是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的减区间，即π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：B10．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)的值为A ．－2B ．－1C ．－211D.211解析：由sin2α＝35，且π2＜2α＜π，可得cos2α＝－45，所以tan2α＝－34，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan α－β1＋tan2αtan α－β＝－2.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若π4<α<β<π2，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则a ，b 的大小关系是__________．解析：sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，sin β＋cos β＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，因为π4<α<β<π2，所以π2<α＋π4<β＋π4<3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，所以a >b .答案：a >b12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值为__________． 解析：由已知条件可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin2θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可知θ＋π4＋2θ＝3π，即θ＝11π12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 13π6＝12. 答案：1213．已知cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限角，则tan2β＝__________.解析：由已知可得，cos β＝－35，可求tan β＝－43，∴tan2β＝247.答案：24714．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，下列命题：①存在x 1，x 2，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形；④将函数f (x )的图像向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin2x 的图像重合．其中正确命题的序号是__________(注：把你认为正确的序号都填上)． 解析：∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，故①正确；∵π2≤2x ＋5π6≤3π2，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π2－5π12(k ∈Z )，当k ＝1时，得③正确；应该是向右平移，故④不正确． 答案：①③三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos2A 的值．解：∵A ＜B ＜C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0＜B ＜π2，A ＋C ＞π2，0＜2A ＋C ＜π.∵sin B ＝45，∴cos B ＝35.∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35.(4分)∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35.(8分)∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45 ＝725. ∴cos2A ＝1－2sin 2A ＝527625.(12分)16．(12分)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．(4分)f (x )的最小正周期为π2.(6分)(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.(10分)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.(12分)17．(13分)设f (x )＝6cos 2x －3sin2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫45α的值．解：(1)f (x )＝6×1＋cos2x2－3sin2x＝3＋3cos2x －3sin2x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos2x －12sin2x ＋3＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，(4分) 故f (x )的最大值为23＋3.最小正周期T ＝2π2＝π.(6分)(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－1.(8分) 又由0＜α＜π2，得π6＜2α＋π6＜7π6，故2α＋π6＝π， 解得α＝512π.(10分)从而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫45α＝tan π3＝ 3.(13分) 18．(13分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x .(1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解：f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )，∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )．(4分)(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }．(8分)(3)f (x )＝65即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.(13分)。
新课标高中数学人教版A必修4章节素质测试题——第三章 三角恒等变换
新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.以下给出的四个备选答案中,只有一个正确） 1.（11新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．452.（09陕西理5）若3sin cos 0αα+=，则21cos sin 2αα+的值为（）A.103B.53C.23D.2- 3.（12重庆理5）设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ） Ａ．3-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．34.（12辽宁理7）已知sin cos αα-=，α∈（0，π），则tan α=（）A.-1B.2-C.2D.1 5.（11福建文9）若)2,0(πα∈，且412cos sin 2=+αα，则αtan 的值等于（）A ．2B CD6.（10新课标理9）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-（） A.12-B.12C.2D.-27.（08宁夏理7）0203sin 702cos 10--=（）A.12B.2C.28.（12全国Ⅰ理7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（ ）A.3-B.9-939.（08宁夏文11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A.－3，1B.－2，2C.－3，32D.－2，3210.（11辽宁理7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（） A ．79- B ．19- C ．19 D ．7911.（08山东文10）已知354sin )6cos(=+-απα，则)67sin(πα+的值是（ ）A.5-B.5C.45-D.4512.（11浙江理6）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则cos()2βα+=（） A．3B．3-C．9D．9-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13.（07江苏）若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，则tan tan αβ=___________. 14.（10全国Ⅰ理14）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-，则tan(2)4πα+=___________.15.（11重庆理14）已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________. 16.（12江苏11）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分，08江西文17）已知1tan 3α=-，cos ,5β=,(0,)αβπ∈ （Ⅰ）求tan()αβ+的值；（Ⅱ）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．18.（本题满分12分，07四川理18）已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<. （Ⅰ）求α2tan 的值；（Ⅱ）求β.19.（本题满分12分，11广东理16）已知函数1()2sin(),.36f x x x R π=-∈（Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）设，，，，、56)23(1310)23(20=+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πβπαπβαf f 求cos()αβ+的值.20.（本题满分12分，08江苏15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B的横坐标分别为10． （Ⅰ）求)tan(βα+的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．21.（本题满分12分，11四川文18）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．22.（本小题满分12分，12湖北文18）设函数)(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωω的图像关于直线π=x 对称，其中λω，为常数，且).1,21(∈ω （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）若)(x f y =的图像经过点(,0)4p ，求函数)(x f 的值域.新课标高中数学人教版A 必修4章节素质测试题——第三章三角恒等变换（参考答案）一、选择题答题卡：二、填空题13. 2 ．14.71-,15．214-.16.50.三、解答题17.解：（Ⅰ）.2cos sin tan ,552cos 1sin ),,0(,55cos 2===-=∴∈=βββββπββΘ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+∴.12311231=⨯++-=（Ⅱ）.101tan cos sin ,103tan 11cos ),,0(,31tan 2==-=+-=∴∈-=αααααπααΘ从而())cos()f x x x αβ=-++.sin 5sin 52cos 51cos 51sin 53sin sin cos cos )sin cos cos (sin 2x xx x x x x x x -=-+--=-+-=ββαα 1sin -=∴x 时，.5)(max =x f18.解：（Ⅰ）由1cos 7α=，π02α<<，得sin α===∴sin 7tan cos 71ααα==⨯=于是22tan tan 21tan 47ααα===--． （Ⅱ）由π02βα<<<，得02παβ<-<． 又∵13cos()14αβ-=，∴sin()14αβ-===． 由()βααβ=--，得 cos cos[()]βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317142=⨯+=∴π3β=． 19.解：（Ⅰ）55()2sin()2sin 41264f ππππ=-==.（Ⅱ）1310sin 2]6)23(31sin[2)23(==-+=+αππαπαf ，5sin 13α∴=， 又[0,]2πα∈，12cos 13α∴=. 56cos 2)2sin(2]6)23(31sin[2)23(==+=-+=+βπβππβπβf ，3cos 5β∴=，又[0,]2πβ∈，4sin 5β∴=， 所以16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=. 20.解：由已知条件及三角函数的定义可知，cos αβ==. 因为α,β为锐角，所以.55cos 1sin ,1027cos 1in 22=-==-=ββααs 因此.21cos sin tan ,7cos sin tan ====βββααα （Ⅰ）.32171217tan tan 1tan tan )(tan -=⨯-+=-+=+βαβαβα （Ⅱ）解法一：ββαββαβαtan )tan(1tan )tan()2(tan +-++=+.121)3(1213-=⨯--+-=.432πβα=+∴解法二：因为22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==--..432πβα=+∴21.解：（Ⅰ）7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++x x2sin()4x π=-，∴()f x 的最小正周期2T π=，最小值min ()2f x =-．（Ⅱ）证明：由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=-两式相加得2cos cos 0αβ=.∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．22.解：（Ⅰ）)(cos cos sin 32sin )(22R x x x x x x f ∈+-+=λωωωωλπωλπωπωλωωλωωλωωωω+-=+-=+-=+-=+--⋅=)62sin(2)6sin 2cos 6cos2(sin 2)2cos 212sin 23(22cos 2sin 3)sin (cos cos sin 2322x x x x x x x x x x x.)62sin(2)(λπω+-=∴x x f根据题意得，1)62sin(1)62sin(-=-=-πωππωπ，或， .262Z k k ∈+=-∴，πππωπ即.231Z k k∈+=，ω.65)1,21(=∴∈ωω，Θ这时.)635sin(2)(λπ+-=x x f故函数)(x f 的最小正周期为.56352ππ=÷=T（Ⅱ）由0)4(=πf 得.24sin 20)6435sin(2-=-=∴=+-⨯πλλππ，.2)635sin(2)(--=∴πx x f当1)635sin(-=-πx 时，22)(min --=x f ；当1)635sin(=-πx 时，22)(max -=x f ； 故函数)(x f 的值域为[].2222---，。
人教A版数学必修四单元测评(三) 三角恒等变换
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作单元测评(三) 三角恒等变换(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β是第三象限角，则cos β2的值等于A ．±55 B ．±255 C ．－55D ．－255解析：由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45， 得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35. ∴cos β2＝± 1＋cos β2＝±15＝±55.答案：A2．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．6解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 答案：D3．函数y ＝cos2x ＋sin2xcos2x －sin2x 的最小正周期为A ．2πB ．π C.π2D.π4解析：y ＝1＋tan2x 1－tan2x ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴T ＝π2.答案：C4．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：a ＝2sin59°，b ＝2sin61°，c ＝2sin60°， ∴a ＜c ＜b . 答案：D5．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3 解析：y ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )－3＝12sin2x ＋32·cos2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π，x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，－32.答案：B6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是 A. 2 B ．2 C ．4D.22解析：PQ→＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则 |PQ→|＝(cos β－cos α)2＋(sin β－sin α)2 ＝2－2cos (α－β)， 故|PQ →|的最大值为2. 答案：B7．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为 A.14 B.12 C ．4 D ．12解析：由已知得：4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4，所以tan(α－β)＝4. 答案：C8．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析：因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B9．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x 的一个单调递增区间是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，712π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，1312π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其增区间是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的减区间，即π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，∴π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12.答案：B10．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜2α＜π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)的值为 A ．－2 B ．－1 C ．－211D.211解析：由sin2α＝35，且π2＜2α＜π，可得cos2α＝－45，所以tan2α＝－34，所以tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan (α－β)1＋tan2αtan (α－β)＝－2.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若π4<α<β<π2，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则a ，b 的大小关系是__________．解析：sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，sin β＋cos β＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，因为π4<α<β<π2，所以π2<α＋π4<β＋π4<3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，所以a >b . 答案：a >b12．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值为__________． 解析：由已知条件可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin2θ， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 可知θ＋π4＋2θ＝3π，即θ＝11π12，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 13π6＝12.答案：1213．已知cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限角，则tan2β＝__________.解析：由已知可得，cos β＝－35，可求tan β＝－43， ∴tan2β＝247. 答案：24714．关于函数f (x )＝cos2x －23sin x cos x ，下列命题：①存在x 1，x 2，当x 1－x 2＝π时，f (x 1)＝f (x 2)成立；②f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增；③函数f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形；④将函数f (x )的图像向左平移5π12个单位长度后将与y ＝2sin2x 的图像重合．其中正确命题的序号是__________(注：把你认为正确的序号都填上)．解析：∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 ＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，∴周期T ＝π，故①正确；∵π2≤2x ＋5π6≤3π2，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是其递减区间，故②错误；∵对称中心的横坐标满足2x ＋5π6＝k π(k ∈Z )⇒x ＝k π2－5π12(k ∈Z )，当k ＝1时，得③正确；应该是向右平移，故④不正确．答案：①③三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A ＜B ＜C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos2A 的值．解：∵A ＜B ＜C ，A ＋B ＋C ＝π， ∴0＜B ＜π2，A ＋C ＞π2，0＜2A ＋C ＜π.∵sin B ＝45， ∴cos B ＝35.∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45， cos(A ＋C )＝－35.(4分) ∵cos(2A ＋C )＝－45， ∴sin(2A ＋C )＝35.(8分) ∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )] ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝725.∴cos2A ＝1－2sin 2A ＝527625.(12分)16．(12分)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得 x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．(4分) f (x )的最小正周期为π2.(6分)(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos2α， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．(8分)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.(10分)由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.(12分) 17．(13分)设f (x )＝6cos 2x －3sin2x . (1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫45α的值．解：(1)f (x )＝6×1＋cos2x2－3sin2x ＝3＋3cos2x －3sin2x＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos2x －12sin2x ＋3 ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，(4分)故f (x )的最大值为23＋3.最小正周期T ＝2π2＝π.(6分)(2)由f (α)＝3－23，得23cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋3＝3－23，故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝－1.(8分)又由0＜α＜π2，得π6＜2α＋π6＜7π6，故2α＋π6＝π， 解得α＝512π.(10分)从而tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫45α＝tan π3＝ 3.(13分) 18．(13分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x . (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值．解：f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.(1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )， ∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )，∴单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )．(4分)(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋2π3，k ∈Z }．(8分)(3)f (x )＝65即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝35.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.(13分)。
数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案
第三章 三角恒等变换一、选择题.1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.23-B.21 -C.21D.232. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )．A.43B.83 C.81D.413. 函数y =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πsin 4πsin x x 的周期为( )．A.4π B.2π C. π D. 2π4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+B.12-C.2D. 25. 化简2cot 2tan2cos 1ααα-+，其结果是( )．A.21-sin 2α B.21sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α6. 若sin (α + β)=21，sin (α - β)=31，则βαtan tan 为( )．A. 5B. - 1C. 6D.617. 设tan θ和tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ4π是方程x 2+ px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )．A. p + q + 1 = 0B. p - q + 1 = 0C. p + q - 1 = 0D. p - q - 1 = 08. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )．A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5B. -4≤a ≤4C. -3≤a ≤3D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤49. 若α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π3 ,π，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2tan αB. 2sin αC. 2cot αD. 2cos α二、填空题.1.︒+︒-15tan 3115tan 3 = ___________．2. y = 3sin (x + 20°) + 5sin (x + 80°)的最大值为___________，最小值为__________．3. 若tan (α + β)= 7，tan α tan β =32，则 cos (α - β)= ___________．4. 若θ为第二象限角，且sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+23π2θ＞21，则2sin2cos sin 1θθθ--= __________． 5. 若α，β，γ都是锐角，tan α=21，tan β=51，tan γ=81，则α + β + γ = __________． 6. 若 A + B + C =(2n - 1)π，n ∈Z ，且A ，B ，C 均不为 0，则 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan A C C B B A ++ = __________．三、解答题．1. 已知α，β为锐角，cos α =54，tan (α - β)= -31，求cos β的值．2. 已知α，β均为锐角，且sin α - sin β =-21，cos α + cos β =27，求cos (α + β)， sin (α - β)的值．3. 已知tan A 与tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π是x 2 + px + q = 0的两个解，3tan A = 2tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π，求p 和q 的值．4. 证明：cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = -41sin 4α sin 2α．参考答案一、选择题．1. B 【解析】sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos 83°cos 37° - sin 83°sin 37° = cos (83° + 37°)= cos 120°= -21． 2. C 【解析】sin 15° sin 30° sin 75° = cos 75°sin 75°sin 30° =21sin 150°sin 30°=81． 3. C 【解析】y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x cos 22sin 22 cos 22sin 224πsin 4πsin =21sin 2 x -21cos 2 x = -21cos 2x . ∴ T =π22π=． 4. A 【解析】y = 2sin x (sin x + cos x )= 2sin 2 x + 2sin x cos x = 1 - cos 2x + sin 2x= 1 +⎪⎭⎫⎝⎛-4π2sin 2x ．∴ y max = 1 +2． 5. A 【解析】αααααααααααα2sin 21cos sin cos 2sin2cos2cos 2sin cos 22cot 2tan 2cos 122-=-=-=-+6. A 【解析】sin αcos β + cos αsin β =21，sin αcos β - cos αsin β =31． ∴ 2sin αcos β =65， 2cos αsin β =61．∴ βαtan tan = 5． 7. B【解析】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-+qp θθθθ4πtan tan 4πtan tanθθθπtan 1tan 14tan +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-． ∴ θθθθθp tan 1tan 1tan tan 1tan 12+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=，θθθq tan 1tan tan 2+-=．∴ q - p = 1， ∴ p - q + 1 = 0．8. D 【解析】设 f (x ) = 3sin 2x - cos 2x + 4cos x + a 2，4≤3 - 4cos 2 x + 4cos x + a 2≤20， 4≤- 4cos 2 x + 4cos x + a 2 + 3≤20. ∴ 当 cos x =21时，f (x )max =214414⨯+⨯-+ a 2 + 3≤20⇒-4≤a ≤4；当 cos x = - 1时，f (x )min = - 4 - 4 + a 2 + 3≥4⇒a ≥3，或a ≤-3.∴ -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4． 9. C【解析】ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22222222αααααααααααααααα-++++-+-++=2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sinαααααααα-++--+=．∵ α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23π π，，∴ 2α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡43π 2π，． ∴ 原式 =2cot 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 2cos 2sinααααααααα=-+++-+．三、解答题．1. 【解】∵ cos α =54，∴ sin α =53．∵ α，β 为锐角， ∴ -2π＜α - β＜2π． ∵ tan (α - β)=31-，∴ cos (α - β)=10103，sin (α - β)=1010-cos β = cos [α -(α - β)]= cos α cos (α - β)+ sin αsin (α - β)=10509．2. 【解】② 27cos cos ①21sin sin =+-=-βαβα①2 + ②2，得 sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α + 2cos α cos β + cos 2 β = 2.∴ cos (α + β)= 0． 又 α，β 均为锐角， ∴ α + β =2π， ∴ sin α – sin β = sin α- cos α= -21． sin 2α + cos 2α - 2 sin α cos α = 1- 2 sin α cos α =41． 又sin 2α + cos 2α = 1，且sin α＜cos α，α，β 均为锐角，∴ sin α =417-． ∴ sin (α - β)= sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-αα2π= - cos 2α = 2sin 2α -1 = 47-． 3. 【解】∵ tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=A A tan 1tan 1+-，∴ 3tan A =AA tan 1tan 22+-，∴ tan A =31，或 tan A = - 2．当tan A =31时，tan ⎪⎭⎫⎝⎛-A 4π=21，p = -⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121 = -65，q =21×31=61．当tan A = - 2时，tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 4π= -3，p = -(-2 - 3) = 5，q = (-2)×(-3) = 6．4. 【证明】cos 8 α - sin 8 α - cos 2α = (cos 4 α + sin 4 α)(cos 2 α + sin 2 α)(cos 2 α - sin 2 α)- cos 2α= (cos 4 α + sin 4 α)cos 2α - cos 2α =(cos 4 α + sin 4 α - 1)cos 2α= [cos 4 α +(sin 2 α - 1)(sin 2 α + 1)] cos 2α = [cos 4 α - cos 2 α(sin 2 α + 1)]cos 2α = - 2cos 2 αsin 2 αcos 2α = -41sin 4αsin 2α．。
人教新课标A版高中数学必修4：第三章三角恒等变换单元同步测试(含解析).doc
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】第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14 C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14. 答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B ．－32 C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34. 又π4<α<π2，∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32.答案 B3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，则tan α2＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22 C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A )＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( ) A ．－65 B ．－45 C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65. 答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2.答案 D7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则()A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，c＝32＝cos30°，∵y＝cos x在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.答案 A8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tan A·tan B与1的大小关系为()A．tan A·tan B>1 B. tan A·tan B<1C．tan A·tan B＝1 D．不能确定解析在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．则有tan A>0，tan B>0，tan C<0.又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x ＋22cos2x＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22.∴值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12 B.32 C. 3D. 2解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70° ＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0， ∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513. ∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0， ∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45. ∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β. ∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1. 答案 114．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解析 ∵cos2α＝13， ∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59. 答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________. 解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12. 答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n为共线向量，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量，∴⎝⎛⎭⎪⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0，即sin α＋cos α＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29， ∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0.∴sin α－cos α＝－43. ∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值．解 (1)解法1：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22 ＝45.解法2：由题设得 22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15. 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425. cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，c ＝(3，－1)，其中x ∈R .(1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 解 (1)由a ⊥b 得a ·b ＝0， 即cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝0， 则cos2x ＝0，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，∴x 值的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z .(2)|a －c |2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2－32＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2＋12＝cos 23x 2－23cos 3x 2＋3＋sin 23x 2＋2sin 3x 2＋1＝5＋2sin 3x 2－23cos 3x2＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－π3，则|a －c |2的最大值为9. ∴|a －c |的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 cm ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1.∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12 ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4－12. 当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，S max ＝2－12(m 2)． ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12 m 2.22．(12分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx . 所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2 ＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16，π4≤4x ＋π4≤π2. 所以22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1. 高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
人教a版高一必修4_第三章_三角恒等变换_单元测试_word版含解析
人教a 版高一必修4_第三章_三角恒等变换_单元测试_word 版含解析(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．cos 230°－sin 230°的值是( )A.12B ．－12 C.32 D ．－32解析：选A.cos 230°－sin 230°＝cos 60°＝12. 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.1925B.1625C.1425D.725解析：选D.sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. 3．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选B.f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故T ＝2π2＝π. 4．cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°－2cos 75°cos 15°的值等于( )A ．0 B.32C ．1D ．－12解析：选A.因为cos 76°cos 16°＋cos 14°cos 74°＝cos 76°·cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝12，2cos 75°·cos 15°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，所以原式＝12－12＝0，故选A. 5．若2sin 2x ＝cos 2x ＋1，且cos x ≠0，则tan 2x ＝( )A.43 B ．－43C ．2 D.817解析：选A.由已知得4sin x cos x ＝2cos 2x ，∴tan x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43，故选A. 6．已知锐角α的终边上一点P (sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝( )A ．80°B ．70°C ．20°D ．10°解析：选B.易知点P 到坐标原点的距离为 sin 240°＋（1＋cos 40°）2＝2＋2cos 40° ＝ 2＋2×（2cos 220°－1）＝2cos 20°，由三角函数的定义可知cos α＝sin 40°2cos 20°＝2sin 20°cos 20°2cos 20°＝sin 20°， ∵点P 在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°. 7．如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( ) A.225 B ．－25C.25 D ．－225解析：选B.sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35. ∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 8.sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：选C.原式＝sin （30°－20°）＋sin （30°＋20°）sin 35°·cos 35°＝2sin 30°·cos 20°12sin 70°＝cos 20°12sin 70°＝2. 9．在△ABC 中，若cos A cos B ＝－cos 2C 2＋1，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C.由已知得2cos A cos B ＝－2cos 2C 2＋2＝－(cos C ＋1)＋2＝cos(A ＋B )＋1＝cos A cos B －sin A sin B ＋1，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，即A ＝B ，故选C.10．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心是( )A ．(2π3，－32)B ．(5π6，－32) C ．(－2π3，32) D ．(π3，－3) 解析：选B.y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2－ 3 ＝12sin 2x ＋32cos 2x －32＝sin(2x ＋π3)－32， h (x )＝sin(2x ＋π3)的对称中心为(－π6＋k π2，0)，k ∈Z ，∴y ＝sin(2x ＋π3)－32的对称中心为(－π6＋k π2，－32)，k ∈Z ，经验证知B 正确． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________． 解析：由已知得cos α＝－45，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos α＋22sin α＝－210. 答案：－21012．已知α，β为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β.∴cos α(sin β＋cos β)＝sin α(sin β＋cos β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，∴cos α＝sin α，∴tan α＝1.答案：113．已知A ，B 为锐角，且满足tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )＝________．解析：由A ，B 为锐角，且tan A ＋tan B ＝tan A tan B －1，得tan(A ＋B )＝－1，A ＋B ＝3π4，故cos(A ＋B )＝－22. 答案：－2214．已知3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝A sin(2x ＋φ)，其中A >0，0<φ<2π，则A ＝________，φ＝________． 解析：3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴A ＝3，φ＝π3. 答案：3 π315．若函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6与函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象的对称轴相同，则实数a 的值为________． 解析：y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32，这个函数图象的对称轴方程是2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，取k ＝0，得其中一条对称轴方程是x ＝－π6.如果x ＝－π6是函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的对称轴，则当x ＝－π6时，这个函数取得最值，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝±1＋a 2，即－32＋12a ＝±1＋a 2，解得a ＝－33.当a ＝－33时，函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x ＝sin 2x －33cos 2x ＝233⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x ＝－233cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，显然符合要求． 答案：－33三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. 求：(1)tan(α－β)的值；(2)α＋β的值．解：(1)∵tan α＝2，tan β＝－13，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2＋131－23＝7. (2)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1， 且0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2. ∴α＋β＝5π4. 17．已知函数f (x )＝2a sin x 2cos x 2＋sin 2x 2－cos 2x 2(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小正周期及图象的对称轴；(2)当a ＝2时，在f (x )＝0的条件下，求cos 2x 1＋sin 2x的值． 解：f (x )＝a sin x －cos x .(1)当a ＝1时，f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)， 则函数f (x )的最小正周期为2π.令x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋3π4(k ∈Z )． 则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝k π＋3π4(k ∈Z )． (2)当a ＝2，f (x )＝0时，有0＝2sin x －cos x ，则tan x ＝12， 则原式＝cos 2x －sin 2x（cos x ＋sin x ）2＝cos x －sin x cos x ＋sin x＝1－tan x 1＋tan x ＝13. 18．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)cos α＋β2；(2)tan(α＋β)． 解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4<α＋β2<3π4， ∴sin α＋β2＝1－cos 2α＋β2＝5714. ∴tan α＋β2＝sin α＋β2cos α＋β2＝－533. ∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 19．已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β. 证明：因为tan(α－β)＝sin 2β，tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β， sin 2β＝2sin βcos β＝2sin βcos βsin 2β＋cos 2β＝2tan β1＋tan 2β， 所以tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋tan 2β， 整理得：tan α＝3tan β＋tan 3β1－tan 2β. 所以tan α＋tan β＝3tan β＋tan 3β＋tan β－tan 3β1－tan 2β＝2×2tan β1－tan 2β＝2tan 2β. 20．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x . (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )的最大值并求f (x )取得最大值时的x 的取值集合； (3)若f (x )＝65，求cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的值． 解：f (x )＝2cos x cos π3＋2sin x sin π3－2cos x ＝cos x ＋3sin x －2cos x ＝3sin x －cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. (1)令2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z )， ∴2k π＋2π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )．(2)f (x )取最大值2时，x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴f (x )的最大值是2，取得最大值时的x 的取值集合是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . (3)f (x )＝65，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝65，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＝35.∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.。
人教A版数学必修4第三章《三角恒等变换》单元测试题.docx
必修4第三章《三角恒等变换》单元测试题命题人：余德勇 审题人： 总分： 考试时间：第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.) 1.下列命题中不正确．．．的是（ ）. A ．存在这样的α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ B ．不存在无穷多个α和β的值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ C ．对于任意的α和β，都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ D ．不存在这样的α和β值，使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(-≠+ 2.在△ABC 中，若B A B A cos cos sin sin <⋅，则△ABC 一定为（ ）. A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形3.44cossin 88ππ-等于（ ） A ．0B ．22C ．1D ．－22 4.︒⋅︒+︒+︒19tan 11tan 19tan 311tan 3的值是（ ）. A ．3B ．33 C ．0 D ．15.若)sin(32cos 3sin 3ϕ+=-x x x ，(,)ϕ∈-ππ，则ϕ等于（ ）.A ．－6π B ．6π C ．56π D ．56π-6.在△ABC 中，已知A tan ，B tan 是方程01832=-+x x 的两个根，则C tan 等于（ ）. A.4- B.2-C.2D.47.要得到函数2sin 2y x =的图象，只需要将函数3sin 2cos 2y x x =-的图象（ ）.DA.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向左平移12π个单位8.48cos 78sin 24cos 6sin ⋅⋅⋅的值为（ ）.A ．161 B ．161-C ．321 D ．81 9.4cos 2sin 22+-的值等于（ ）.A ．2sinB ．2cos -C ．2cos 3D ．2cos 3-10.已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos2θ的值为（ ）.A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±11.设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ，则xxx tan 12sin cos 22++的值为（ ）.A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 12.已知不等式()2632sincos 6cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的 566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A.3m ≥B.3m ≤C.3m ≤-D.33m -≤≤第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.) 13.=︒-︒10cos 310sin 1 .14.已知βα,3(,)4π∈π，53)sin(-=+βα，12sin()413βπ-=，则cos()4απ+= . 15.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是 . 16.已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的值为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.（本小题满分10分）已知91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，0α<<π，02βπ<<，求)co s(βα+的值.18.（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且415sin =α，求sin()4sin 2cos21αααπ+++的值.19．（本小题满分12分）（1）求值：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋； （2）已知0cos 2sin =+θθ，求θθθ2cos 12sin 2cos +-的值.20.（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点π132M ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值． 21．（本小题满分13分）已知函数2()sin()sin()cos 2f x x x x π=π--+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当3[,]88x ππ∈-时，求函数()f x 的单调区间.22.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为102，552.（1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值.第三章《三角恒等变换》测试题参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.B 由两角差的余弦公式易知C ，D 正确，当0==βα时，A 成立，故选B.2.D 由B A B A cos cos sin sin <⋅得0)cos(>+B A ，即0)cos()](cos[cos <+-=+-=B A B A C π，故角C 为钝角. 3.B 4422222cossin (cos sin )(cos sin )cos 88888842πππππππ-=-+==. 4.D 原式3(tan11tan19)tan11tan19=︒+︒+︒⋅︒3tan 30(1tan11tan19)tan11tan19=︒-︒⋅︒+︒⋅︒119tan 11tan 19tan 11tan 1=︒⋅︒+︒⋅︒-=.5.A 313sin 3cos 23(sin cos )23sin()226x x x x x π-=-=-，故6ϕπ=-.6.C ∵38tan tan -=+B A ，31tan tan -=B A ，∴231138tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan =+--=-+-=+-=+-=BA BA B A B A C π. 7.D 313sin 2cos22(sin 2cos2)2sin(2)2sin 2()22612y x x x x x x ππ=-=-=-=-. 8.A ︒︒︒︒=⋅⋅⋅48cos 24cos 12cos 6sin 48cos 78sin 24cos 6sin1616cos 1696sin 6cos 248cos 24cos 12cos 6sin 6cos 244=︒︒=︒︒︒︒︒︒=. 9.D22222sin 2cos4(1sin 2)(cos41)cos 22cos 2-+=-++=+3|cos2|3cos2==-.10.B 由225sin sin 240θθ+-=得2524sin =θ或1sin -=θ（∵θ为第二象限角，故舍去），∴257cos -=θ，且2θ为第一或者第三象限角，∴25712cos22-=-θ， 故3cos 25θ=±. 11.C 由0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x 得x x cos 2sin =，0cos ≠x ，故2tan =x ，5231t a n t a n 2221c o s s i n c o s s i n 2c o s 2t a n 12s i n c o s 222222=++=+++=++x xx x x x x x x x . 12.A ()2632632sin cos 6cos sin cos 44422222x x x x xf x m m =+--=+-， 6sin()026x m π=+-≤， ∴6sin()26x m π≥+，∵566x ππ-≤≤， ∴4264x πππ-≤+≤， ∴36sin()326x π-≤+≤， ∴3m ≥.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.)13.4 132(cos10sin10)13cos103sin10221sin10cos10sin10cos10sin 202︒-︒︒-︒-==︒︒︒︒︒4sin(3010)4sin 20︒-︒=︒.14.6556- 由已知可得54)cos(=+βα，5cos()413βπ-=-，故cos()cos[()()]44ααββππ+=+--56cos()cos()sin()sin()4465αββαββππ=+-++-=-.15.0 原式)60sin(2)]60(180cos[3)60sin(︒-+︒+-︒-︒+=x x x )60sin(2)60cos(3)60sin(︒-+︒++︒+=x x x )60sin(2)6060sin(2︒-+︒+︒+=x x0)60sin(2)60sin(2)60sin(2)18060sin(2=︒-+︒--=︒-+︒+︒-=x x x x . 16.724 易知22βαβαα-++=，22βαβαβ--+=， 由41sin sin =+βα，得412cos 2sin 2=-+βαβα， 由31cos cos =+βα，得312cos 2cos 2=-+βαβα， 两式相除，得432tan =+βα，724)43(1432)tan(2=-⨯=+βα. 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17．解：由已知145,cos()sin()422929βββαααπ<-<π-=--=又故， 同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故， 故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα． 18．解：22sin()(sin cos )42sin 2cos212sin cos 2cos ααααααααπ++=+++)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++=， 当α为第二象限角，且415sin =α时，0cos sin ≠+αα，41cos -=α，所以sin()4sin 2cos21αααπ+++2cos 42-==α. 19．解：（1）原式=00000000000000sin(8015)sin15sin10sin80cos15cos1523sin(1510)cos15cos80sin15cos10sin15-+===++-. （2）由0cos 2sin =+θθ，得θθcos 2sin -=，又0cos ≠θ，则2tan -=θ，所以θθθθθθθθθ22222cos 2sin cos sin 2sin cos cos 12sin 2cos +--=+-612)2()2(2)2(12tan tan 2tan 12222=+-----=+--=θθθ. 20．解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32ϕπ+=，而0ϕ<<π，536ϕπ∴+=π，2ϕπ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2αβπ∈，2234125sin 1(),sin 1()551313αβ∴=-==-=，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=. 21．解：（1）11()sin cos cos 222f x x x x =⋅++111sin 2cos 2222x x =++21sin(2)242x π=++ ∴函数()f x 的最小正周期22T π==π. （2）当3[,]88x ππ∈-时，2[0,]4x π+∈π， ∴当2[0,]42x ππ+∈即[,]88x ππ∈-时，函数()f x 单调递增；当2[,]42x ππ+∈π即3[,]88x ππ∈时，函数()f x 单调递减.22.解：由条件得102cos =α，552cos =β，∵α，β为锐角， ∴1027cos 1sin 2=-=αα，55cos 1sin 2=-=ββ，因此7cos sin tan ==ααα，21cos sin tan ==βββ. （1）32171217tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα. （2）∵34)21(1212tan 1tan 22tan 22=-⨯=-=βββ， ∴134713472tan tan 12tan tan )2tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα， ∵α，β为锐角， ∴3022αβπ<+<， ∴324αβπ+=.。
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三角恒等变换单元测试满分120分时间100分钟一、选择题(共10小题，每小题4.0分,共40分)1.错误！未找到引用源。
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等于()A．－2cos 5° B． 2cos 5° C．－2sin 5° D． 2sin 5°2.若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于()A．错误！未找到引用源。
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3.化简：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于()A．－错误！未找到引用源。
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4.已知cos(α－错误！未找到引用源。
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的值为()A． 3 B．－3 C．－2 D．－错误！未找到引用源。
6.已知α为第二象限角，sinα＝错误！未找到引用源。
，则sin 2α等于()A．－错误！未找到引用源。
B．－错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
7.满足cosαcosβ＝错误！未找到引用源。
＋sinαsinβ的一组α、β的值是()A．α＝错误！未找到引用源。
，β＝错误！未找到引用源。
B．α＝错误！未找到引用源。
，β＝错误！未找到引用源。
C．α＝错误！未找到引用源。
，β＝错误！未找到引用源。
D．α＝错误！未找到引用源。
，β＝错误！未找到引用源。
8.已知△ABC中，tan A＝错误！未找到引用源。
成立，则△ABC为()A．等腰三角形 B．A＝60°的三角形C．等腰三角形或A＝60°的三角形 D．不能确定9.已知tan(α＋β)＝错误！未找到引用源。
，tan错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
，则tan错误！未找到引用源。
等于()A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
10.已知sin 2α＝错误！未找到引用源。
，则cos2错误！未找到引用源。
等于() A．错误！未找到引用源。
B．－错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．－错误！未找到引用源。
卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)11.已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝错误！未找到引用源。
，则cos(2θ－15°)＝________.12.函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________．13.错误！未找到引用源。
＝________.14.已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tan 2α＝________.三、解答题(共5小题,每小题12.0分,共60分)15.化简错误！未找到引用源。
－错误！未找到引用源。
(θ∈(0，π))．16.已知sinα＝－错误！未找到引用源。
且α是第三象限角，求tan(α－错误！未找到引用源。
)的值．17.设π＜θ＜2π，cos错误！未找到引用源。
＝a.求(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2错误！未找到引用源。
的值．18.已知sin(2α＋β)＝5sinβ，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.19.已知cosα＝错误！未找到引用源。
，cos(α－β)＝错误！未找到引用源。
，且0＜β＜α＜错误！未找到引用源。
，求β.答案解析1.【答案】C【解析】原式＝错误！未找到引用源。
－错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
(cos 50°－sin 50°)＝2(错误！未找到引用源。
cos 50°－错误！未找到引用源。
sin 50°)＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.2.【答案】A【解析】a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝错误！未找到引用源。
.3.【答案】D【解析】原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝错误！未找到引用源。
，故选D.4.【答案】C【解析】sin 2α＝cos(错误！未找到引用源。
－2α)＝cos[2(错误！未找到引用源。
－α)]＝2cos2(错误！未找到引用源。
－α)－1＝2cos2(α－错误！未找到引用源。
)－1＝2×(错误！未找到引用源。
)2－1＝－错误！未找到引用源。
.5.【答案】A【解析】∵错误！未找到引用源。
＝1，∴tanθ＝－错误！未找到引用源。
.∴错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝3.6.【答案】A【解析】∵sinα＝错误！未找到引用源。
，α∈(错误！未找到引用源。
，π)，∴cosα＝－错误！未找到引用源。
＝－错误！未找到引用源。
，∴sin 2α＝2sinαcosα＝2×错误！未找到引用源。
×(－错误！未找到引用源。
)＝－错误！未找到引用源。
.7.【答案】A【解析】由已知可得cos(α＋β)＝错误！未找到引用源。
，代入检验知A满足．8.【答案】B【解析】∵tan A＝错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
，即sin A(sin C－sin B)＝cos A(cos B－cos C)，sin A sin C－sin A sin B＝cos A cos B－cos A cos C.∴cos A cos B＋sin A sin B＝cos A cos C＋sin A sin C.∴cos(A－B)＝cos(A－C)．(*)∵在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，∴－π＜A－B＜π，－π＜A－C＜π.则(*)式为A－B＝A－C或A－B＝－(A－C)，则B＝C或2A＝B＋C.∵A＋B＋C＝π，∴A＝错误！未找到引用源。
.若B＝C，则已知等式右边分母为0，不合题意，故选B.9.【答案】B【解析】tan错误！未找到引用源。
＝tan错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
.10.【答案】C【解析】∵sin 2α＝错误！未找到引用源。
，∴cos2错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
.11.【答案】错误！未找到引用源。
【解析】∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝错误！未找到引用源。
，∴sin(θ＋15°)＝错误！未找到引用源。
，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝错误！未找到引用源。
，cos(2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×错误！未找到引用源。
－1＝－错误！未找到引用源。
.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos 45°＋sin(2θ＋30°)sin 45°＝－错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
＋错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
.12.【答案】错误！未找到引用源。
【解析】y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1，设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2(t－错误！未找到引用源。
)2＋错误！未找到引用源。
，∴当t＝错误！未找到引用源。
时，函数取得最大值错误！未找到引用源。
.13.【答案】错误！未找到引用源。
【解析】原式＝错误！未找到引用源。
×错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
tan(2×错误！未找到引用源。
)＝错误！未找到引用源。
tan错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
.14.【答案】错误！未找到引用源。
【解析】∵a∥b，∴错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝tanα，∴tan 2α＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
.15.【答案】原式＝错误！未找到引用源。
－错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
－错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
－错误！未找到引用源。
.∵θ∈(0，π)，∴错误！未找到引用源。
∈(0，错误！未找到引用源。
)．(1)当错误！未找到引用源。
∈(0,错误！未找到引用源。
]时，cos错误！未找到引用源。
≥sin错误！未找到引用源。
，此时原式＝sin错误！未找到引用源。
＋cos错误！未找到引用源。
－cos错误！未找到引用源。
＋sin错误！未找到引用源。
＝2sin错误！未找到引用源。
.(2)当错误！未找到引用源。
∈(错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
)时，cos错误！未找到引用源。
＜sin错误！未找到引用源。
，此时原式＝sin错误！未找到引用源。
＋cos错误！未找到引用源。
－sin错误！未找到引用源。
＋cos错误！未找到引用源。
＝2cos错误！未找到引用源。
.【解析】16.【答案】∵sinα＝－错误！未找到引用源。
且α是第三象限角，∴cosα＝－错误！未找到引用源。
＝－错误！未找到引用源。
＝－错误！未找到引用源。
.∴tanα＝错误！未找到引用源。
＝3.∴tan(α－错误！未找到引用源。
)＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
.【解析】17.【答案】(1)∵π＜θ＜2π，∴错误！未找到引用源。
＜错误！未找到引用源。
＜π，又cos错误！未找到引用源。
＝a，∴sin错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
，∴sinθ＝2sin错误！未找到引用源。
cos错误！未找到引用源。
＝2a错误！未找到引用源。
.(2)cosθ＝2cos2错误！未找到引用源。
－1＝2a2－1.(3)sin2错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
＝错误！未找到引用源。
.【解析】18.【答案】∵2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，∴sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，而5sinβ＝5sin[(α＋β)－α]＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.由已知得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.∴2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα，等式两边都除以cos(α＋β)cosα，得2tan(α＋β)＝3tanα.【解析】19.【答案】方法一由0＜β＜α＜错误！未找到引用源。