数列和不等式的综合复习题新版
数列综合--单调性、不等式
数列综合----单调性、不等式1.在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .2、已知等比数列{}n a 的首项114a =，公比14q =，设，数列{}n c 满足n n n c a b =． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和n S ；（Ⅲ）对任意21,2--≤∈*m m c N n n 恒成立，求m 的取值范围．3、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．4、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．5、数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1<c n ≤13.6、已知点⎝⎛⎭⎪⎫1，13是函数f(x)＝a x (a>0，且a≠1)的图像上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项c n ＝b n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，求数列{c n }的前n 项和R n ；(3)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问T n >1 0002 009的最小正整数n是多少？7、已知等比数列{a n}和等差数列{b n}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求使ab n<0.001成立的正整数n的最小值．8.满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是 ( )．A．9 B．10 C．11 D．12解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.答案 C9．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<32.10．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前三项．(1)分别求数列{a n}，{b n}的前n项和S n，T n；(2)记数列{a n b n}的前n项和为K n，设c n＝S n T nK n，求证：c n＋1>c n(n∈N*)．答案：1、(1)解：由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上， ∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，② ①－②得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴数列{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明：由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n ＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0， ∴c n ＋1<c n .3、解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013， 则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，解得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．4、解析：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝32.又数列{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)由题意知b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②∴①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2 1－2n1－2－n ·2n＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，∵S n ＋n ·2n ＋1>50，∴2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，又当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.故使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.5．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1①， 得a n ＝2S n －1＋1(n≥2，n ∈N *)②， ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n≥2，n ∈N *)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1. ∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ， ∴c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1<0，∴c n ＋1<c n <…<c 1＝13，即c n ＋1<c n ≤13.6．解：(1)∵f(1)＝a ＝13，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，a 1＝f(1)－c ＝13－c ，a 2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a 3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{a n }成等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n≥2)，b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1，∴数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又b 1＝c ＝1满足b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，∴R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①13R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1. ②由①－②得，23R n ＝13＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，化简得，23R n ＝13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－(2n －1)×13n ＋1＝23－2 n＋1 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n， ∴R n ＝1－n ＋13n .(3)由(1)知T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1 2n－1 × 2n＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009得n>1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数n 为112.第Ⅱ卷：提能增分卷7．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝4×2q，2＋2d ·2q＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝12，，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－5，q ＝－38.(舍)∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，b n ＝2n.(2)由(1)得ab n ＝a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2，∵ab n <0.001，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2<0.001，∴22n －2>1 000，∴2n －2≥10，即n≥6， ∴满足题意的正整数n 的最小值为6.9、(1)解 当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ①当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③由①②③解得a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1， 即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n .(3)证明 由(2)得1a n ＝13n －2n . 当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n>2，即3n －2n >2n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32.10、(1)解 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1 a 1＋6d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋32.又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4.所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2b 1＝2，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明 因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，∴K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝ n ＋3 2n－1 2n ＋1.c n ＋1－c n ＝ n ＋4 2n ＋1－1 2n ＋2－ n ＋3 2n －12n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n＋1>c n(n∈N*)．。
数列与不等式复习题
数列与不等式复习题（一）1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a nn D ．()43)1(1--=-n a n n2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．523、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01312>+-x x 的解集是 （ ）A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C. 3D. 2 6．数列 ,1614,813,412,211前n 项的和为（ ） A ．2212nn n ++B ．12212+++-nn nC ．2212nn n ++-D ． 22121nn n -+-+7．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a8．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -9．已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a .10．若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是__________________．11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 （用数字作答）． 12.已知实数a ，b ，c 成等差数列，和为15，且a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，求a ，b ，c ．13．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15，求S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式.14. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++ 的值.数列与不等式复习题（一）答案9．12n - 10．11,0,122⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．-1 12．解：由题意，得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ⎧++=⎪+=⎨⎪++=+⎩………………由(1)(2)两式，解得5b =将10c a =-代入(3),整理得213220a a -+=，解得 2a =或11a =故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算，上述两组数符合题意。
数列与不等式30大题(有答案)
S1 S2
Sn
第 1页（共 23页）
10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0，a3 = b3 > 0，a1 ≠ a3，试比较 a5 和 b5 的大 小．
11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ ∗ ．
(1) 求数列 an 的通项公式；
∗ 成立，
18. 已知常数 p 满足 0 < p < 1，数列 xn 满足 x1 = p + 1p，xn+1 = xn2 − 2．
(1) 求 x2，x3，x4；
(2) 猜想 xn 的通项公式(不用给出证明)； (3) 求证：xn+1 > xn 对 n ∈ ∗ 成立．
19. 设 b > 0 ，数列
an
大值．
7. 已知 an 是正整数组成的数列，a1 = 1 ,且点( an,an+1 )( n ∈ ∗ )在函数 y = x2 + 1 的图象上；
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列 bn 满足 b1 = 1，bn+1 = bn + 2an ,求证：bn ⋅ bn+2 < bn2+1
8. x,y ∈
∈
+ 都成立
的最大正整数 k 的值．
6. 已知数列 an 是等比数列，首项 a1 = 1，公比 q > 0，其前 n 项和为 Sn，且 S1 + a1，S3 + a3，
S2 + a2 成等差数列．
(1) 求数列 an 的通项公式；
(2) 若数列
bn
满足 an+1 =
数列不等式综合训练假期版
高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）1. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n nb a n >⋅.2.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<3.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈4.设.2)(,ln )(),(2)(--==--=epqe e g x x f x f x q px x g 且其中（e 为自然对数的底数） （I ）求p 与q 的关系；（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （III ）证明： ①)1()1(->≤+x xx f ；②)1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n nn （n ∈N ，n ≥2）.5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}a 的通项公式；（Ⅱ）设021nnS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求证：123n T n >-．6.已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设3(3)n n n n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *∈恒成立，求m 的取值范7.已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
数列与不等式(有答案)
数列与不等式1. 不等式的解集是B. C. D.2. 已知实数，满足，则的最大值为．3. 已知，，，则的最小值为．4. 若，，且，则的最小值为．5. 记等差数列的前项和为．若，，，则正整数．6. 设是等差数列的前项和，，，则．7. 已知在各项都为正数的等比数列中，若首项，，则的值为．8. 设等比数列的前项和为，若，则．9. 若正实数，满足，则的最小值是．10. 设两个等差数列和的前项和分别为和，且，则．11. 已知为锐角，且．（1）求的值；（2）求的值．12. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知．（1）求的值；（2）若，，求的面积．13. 为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．14. 设数列的前项和为．已知．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．答案第一部分1. D 【解析】由，得，即．所以原不等式等价于即所以所以原不等式的解集是．第二部分4.5.【解析】因为，，所以公差．又因为，所以，所以．6.【解析】由题意得整理得解得所以7.【解析】由，，得由，解得，从而8.【解析】设等比数列的首项为，公比为，由，得，即，所以．9.【解析】根据题意，，满足，则即的最小值是．10.【解析】由题意，可设，，则，，所以．第三部分11. （1）已知为锐角，所以，由得，解得或，由为锐角，得．（2）且为锐角，，．故12. （1）由正弦定理得，，，所以，即，即有，即，所以．（2）由知：，即，又因为，所以由余弦定理得：，即，解得，所以，又因为，所以，故的面积为．13. （1）由题意得，所以．两式相减整理得．又，所以．又由得（负值舍去）．所以是首项为，公差为的等差数列，故．（2）由（1）知．于是数列的前项和14. （1）因为，所以，故．当时，，此时，即，所以（2）因为，所以．当时，．所以；当时，，所以，两式相减，得所以．经检验，时也适合．综上可得．。
数列不等式综合练习题
数列不等式综合练习题一、等差数列与不等式1. 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=3，求满足不等式a_n > 0的最小正整数n。
2. 设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若S4=8，S8=24，求满足不等式b_n < 5的最小正整数n。
3. 已知等差数列{cn}的公差为2，首项为1，求满足不等式c_n > 7的所有正整数n的个数。
二、等比数列与不等式1. 已知等比数列{dn}中，d1=2，d3=8，求满足不等式d_n < 64的所有正整数n。
2. 设等比数列{en}的前n项和为Tn，若T3=13，T6=121，求满足不等式e_n > 1的所有正整数n。
3. 已知等比数列{fn}的公比为1/2，首项为16，求满足不等式f_n < 1的所有正整数n的个数。
三、数列与不等式综合1. 已知数列{gn}的通项公式为gn = n^2 n + 1，求满足不等式gn > 10的所有正整数n。
2. 设数列{hn}的通项公式为hn = 3^n 2^n，求满足不等式hn < 100的所有正整数n。
3. 已知数列{kn}的通项公式为kn = 2n + 1，求满足不等式kn > 30的所有正整数n的个数。
四、数列不等式证明1. 证明：对于等差数列{an}，若a1 > 0，公差d > 0，则数列中存在正整数n，使得an > 0。
2. 证明：对于等比数列{bn}，若b1 > 1，公比q > 1，则数列中存在正整数n，使得bn > 1。
3. 证明：对于数列{cn}，若cn = n^2 + n + 1，则数列中存在正整数n，使得cn > 100。
四、数列不等式证明（续）4. 证明：对于数列{dn}，若dn = 2^n n^2，则存在正整数N，使得对于所有n > N，不等式dn > 0恒成立。
5. 证明：对于数列{en}，若en = n! / 2^n，则存在正整数M，使得对于所有n > M，不等式en < 1恒成立。
高三复习经典专题14：数列不等式综合训练经典30题
高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）1. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.2.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+.⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<3.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足nn b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈ 4.设.2)(,ln )(),(2)(--==--=ep qe e g x x f x f xq px x g 且其中（e 为自然对数的底数）（I ）求p 与q 的关系；（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （III ）证明： ①)1()1(->≤+x xx f ；②)1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n nn （n ∈N ，n ≥2）.5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n a S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设021n nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n nn c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n ，求证：123n T n >-．6.已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥．（1）求证：{}12n n a a ++是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设3(3)n nn n b n a =-，且12n b b b m +++<对于n N *∈恒成立，求m 的取值范7.已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
数列与不等式30大题(有答案)
n∈
∗
．
13. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a1 = 1，Sn = an+1 − 3，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，点 an ,bn (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 求 Tn ；
5 2 n2
在函数 y = nx−1 图象上．
恒成立，求 λ 的取值范围．
⋅ an ，记其前 n 项和为 Tn ，若不等式 2n−1 λ < 2n−1 Tn + n 对一切 n ∈
− tbn (t 为非零整数，n ∈
+ ，求证：数列 bn 是等比数列；
+ )，试确定
t 的值，使得对任意 n ∈
+ ，都有 cn+1
> cn
4. 已知数列 an 满足 a1 = ，2an+1 − an = 1． (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 证明：
a1 +a2 +⋯+an n
(2) 记 Tn = x2 x2 ⋯x2 ，证明：Tn ≥ 1 3 2n−1
数列与不等式综合问题 30 道
1. 已知数列 an 是等差数列，bn =
2. 已 知 曲 线 C:xy = 1 ， 过 C 上 的 点 An xn,yn 作 斜 率 为 kn =− An+1 xn+1 ,yn+1 ，点列 An 的横坐标构成数列 xn ，其中 x1 = (1) 求 xn 与 xn+1 的关系式； (2) 令 bn = 3. 设 n ∈ (3) 若 cn = 成立．
Sn 1
an +1 2
．
< 2．
第 1页（共 23页）
10. 在等比数列 an 和等差数列 bn 中，a1 = b1 > 0 ，a3 = b3 > 0 ，a1 ≠ a3 ，试比较 a5 和 b5 的大 小． 11. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1，an+1 = 1 + Sn n ∈ (1) 求数列 an 的通项公式； ⋯ + bn 的大小．
(新课改地区)2021版高考数学第七章数列7.5.2数列与函数、不等式的综合问题练习新人教B版
7.5.2 数列与函数、不等式的综合问题核心考点·精准研析考点一数列与函数的综合1.设{a n}是等比数列,函数y=x2-x-2 021的两个零点是a2,a3,则a1a4等于( )A.2 021B.1C.-1D.-2 0212.在各项都为正数的数列{a n}中,首项a1=2,且点(,)在直线x-9y=0上,则数列{a n}的前n项和S n等于( )A.3n-1B.C. D.3.已知f(x)=2sin x,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{a n},n∈N*.数列{a n}的通项公式为________.4.已知函数f(x)=log2x,若数列{a n}的各项使得2,f(a1),f(a2),…,f(a n),2n+4成等差数列,则数列{a n}的前n项和S n=________.【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2 021=0的两根.由根与系数的关系得a2a3=-2 021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2 021.2.选A.由点(,)在直线x-9y=0上,得-9=0,即(a n+3a n-1)(a n-3a n-1)=0,又数列{a n}各项均为正数,且a1=2,所以a n+3a n-1>0,所以a n-3a n-1=0,即=3,所以数列{a n}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和S n==3n-1.3.因为|f(x)|=2,所以x=kπ+,k∈Z,x=2k+1,k∈Z.又因为x>0,所以a n=2n-1(n∈N*).答案:a n=2n-1(n∈N*)4.设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…,从而a1=24,a2=26,a3=28,….易知数列{a n}是等比数列,其公比q==4,所以S n==(4n-1).答案:(4n-1)1.将题2改为已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2),令a n=,n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2 021等于( )A.-1B.-1C.-1D.2+1【解析】选C.由f(4)=2可得4α=2,解得α=,则f(x)=.所以a n===-,S2 021=a1+a2+a3+…+a2 021=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1.2.数列{a n}的通项a n=n cos2-sin2,其前n项和为S n,则S40为( )A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,a n =n cos 2-sin 2=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)+40=20.=-2+4-…(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.【秒杀绝招】特例法解T2:由题意(, )在直线x-9y=0上,所以—9=0,因为a1=2,易得a2=6,所以S2=8.验证四个选项可排除BCD.考点二数列与不等式的综合【典例】已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=,a n=-2·S n·S n-1(n≥2).(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)求证:++…+≤-.【解题导思】序号题目拆解①a n=-2S n·S n-1(n≥2) 利用a n=S n-S n-1将a n=-2S n·S n-1转化为S n,S n-1的关系(1)②求数列{a n}的通项公式a n先求出,利用an=-2S n·S n-1进而求得a n.(2)求证:++…+≤-. 由(1)得S n =,由=<,放缩后利用裂项相消法求和是解题的关键【解析】(1)因为a n=-2S n·S n-1(n≥2),所以S n-S n-1=-2S n·S n-1.两边同除以S n·S n-1,得-=2(n≥2),所以数列是以==2为首项,以d=2为公差的等差数列, 所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以S n =.将S n =代入a n=-2S n·S n-1,得a n =(2)因为=<=(n≥2),=,所以当n≥2时,++…+=++…+<++…+=-;当n=1时,==-.综上,++…+≤-.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.(2)以数列为载体,考查不等式恒成立的问题,此类问题可转化为函数的最值.(3)考查与数列有关的不等式证明问题,此类问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1.(1)证明：是等比数列，并求{a n}的通项公式.(2)证明：++…+<.【解析】(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3.又a1+=，所以是首项为，公比为3的等比数列.所以a n +=，因此{a n}的通项公式为a n =.(2)由(1)知=.因为当n≥1时，3n-1≥2×3n-1，所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<.考点三数列与函数、不等式的综合应用命题精解读考什么:(1)考查求最值、比较大小、求取值范围等问题.(2)考查数学运算、逻辑推理的核心素养及函数与方程、转化与化归等思想方法.怎么考:以数列为载体,考查利用函数的性质、图象或不等式的性质进行放缩、比较大小、求范围或最值、证明结论等.新趋势:与函数、不等式综合问题的考查学霸1.求最值(或取值范围)问题的解题思路先构造数列对应的函数y=f(x),x∈(0,+∞).再由以下方法求最值:好方法(1)利用函数的单调性(2)利用均值不等式(3)利用导数注意是在正整数内讨论的.2.交汇问题与函数、不等式交汇时,依据函数或不等式的性质求解.求最值问题【典例】1.在等差数列{a n }中,若a1<0,S n为其前n项和且S7=S17,则S n最小时的n的值为( )A.12或13B.11或12C.11D.122.在正项等比数列{a n}中,为a6与a14的等比中项,则a3+3a17的最小值为( )A.2B.89C.6D.3【解析】1.选D.由S7=S17,依据二次函数对称性知当n=12时,S n 最小.2.选C.因为{a n}是正项等比数列,且为a6与a14的等比中项,所以a6a14=3=a3a17,则a3+3a17=a3+3·≥2=6,当且仅当a3=3时,等号成立,所以a3+3a17的最小值为6.求等差数列前n项和的最值常用的方法有哪些?提示:(1)利用等差数列的单调性,求出最值;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n项和S n=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.比较大小【典例】数列{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a6=b7,则有( )A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10的大小不确定【解析】选B.因为a3+a9≥2=2=2a6=2b7=b4+b10,当且仅当a3=a9时取等号.本题利用均值不等式比较两个式子的大小,恰到好处.利用均值不等式≥时一定要满足其成立的三个条件分别是什么?提示:(1)a,b均为正数.(2)a,b的和或积必须有一个为定值.(3)a=b时等号成立.求取值范围问题【典例】设数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,则实数a的取值范围为________.【解析】因为a n=2n-1,所以==,所以T n==<,又4T n<a2-a,所以2≤a2-a,解得a≤-1或a≥2,即实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)1.已知正项等比数列{a n}满足2a5+a4=a3,若存在两项a m,a n,使得8=a1,则+的最小值为________.【解析】因为正项等比数列{a n}满足2a5+a4=a3,所以2a1q4+a1q3=a1q2,整理,得2q2+q-1=0,又q>0,解得,q=,因为存在两项a m,a n使得8=a1,所以64q m+n-2=,整理,得m+n=8,所以+=(m+n)=≥=2,当且仅当=时取等号,此时m,n∈N*,又m+n=8,所以只有当m=6,n=2时,+取得最小值是2.答案:22.已知数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S n+3)(n∈N*)在函数y=3×2x的图象上,等比数列{b n}满足b n+b n+1=a n(n∈N*),其前n项和为T n,则下列结论正确的是( )A.S n=2T nB.T n=2b n+1C.T n>a nD.T n<b n+1【解析】选D.因为点(n,S n+3)在函数y=3×2x的图象上,所以S n+3=3×2n,即S n=3×2n-3.当n≥2时,a n=S n-S n-1=3×2n-3-(3×2n-1-3)=3×2n-1,又当n=1时,a1=S1=3,所以a n=3×2n-1.设b n=b1q n-1,则b1q n-1+b1q n=3×2n-1,可得b1=1,q=2,所以数列{b n}的通项公式为b n=2n-1.由等比数列前n项和公式可得T n=2n-1.结合选项可知,只有D正确.若定义在R上的函数y=f(x)是奇函数且满足f=f(x),f(-2)=-3,数列{a n}满足a1=-1,且=2×+1(其中S n为{a n}的前n项和),则f(a5)+f(a6)=( )A.-3B.-2C.3D.2【解析】选C.由f=f(x)可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=.又函数y=f(x)是奇函数,所以有f=f(x)=-f,所以f=-f(x),即f(x-3)=f(x),所以函数y=f(x)的周期为3.由=2×+1得S n=2a n+n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n+n-(2a n-1+n-1)=2a n-2a n-1+1,即a n=2a n-1-1,所以a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63,则f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=f(-1)+f(0)=-f(1)+f(0).由函数y=f(x)是奇函数可得f(0)=0,由f(-2)=-3可得f(-2)=f(1)=-3,所以f(a5)+f(a6)=3.。
数列与不等式的综合问题学生版
数列与不等式的综合问题测试时间：120分钟 满分：150分解答题(本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2016·银川一模](本小题满分15分)在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q (q ≠1)，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <23.2．[2017·黄冈质检](本小题满分15分)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列； (2)记S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，若S n <100，求最大正整数n .3．[2016·新乡许昌二调](本小题满分15分)已知{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝2，b 1＝3，a 3＋b 5＝56，a 5＋b 3＝26.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若－x 2＋3x ≤2b n 2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，求实数x 的取值范围．4．[2016·江苏联考](本小题满分15分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，b n >0(n ∈N *)，且b 1，a 2，b 2成等差数列，a 2，b 2，a 3＋2成等比数列．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设c n ＝abn ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＋4n S n ＋2n>a n ＋t 对所有正整数n 恒成立，求常数t 的取值范围．5．[2016·天津高考](本小题满分15分)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑n k ＝11T k <12d 2.6．[2016·德州一模](本小题满分15分)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ·2 1a n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，写出T n 关于n 的表达式，并求满足T n >52时n 的取值范围．7．[2016·吉林二模](本小题满分20分)已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n ＋a n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋11＋a n 1＋a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14.8．[2016·浙江高考](本小题满分20分)设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；9．[2016·金丽衢十二校联考](本小题满分20分)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝ca n ＋1a n(c 为正实数，n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n . (1)证明：当c ＝2时，2n ＋1－2≤S n ≤3n －1(n ∈N *)； (2)求实数c 的取值范围，使得数列{a n }是单调递减数列．又当c <34时，a 2－a 1<0成立，所以对任意的自然数n ，a n ＋1－a n <0都成立． 综上所述，实数c 的取值范围为12<c <34.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列和不等式的综合复习I♦知识回顾1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列. —(2) 符号语言：a n +1 — a n = d(n € N). 2. 等差数列的通项公式若等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d,则其通项公式为 a n = a i + (n — 1)d . 推广：a n = a m + (n — m)d.3. 等差中项a + b如果三个数a, A, b 成等差数列，贝U A 叫a 和b 的等差中项，且有 A= =+^ . 4. 等差数列的前n 项和公式5. 等差数列的性质(1) 等差数列｛a n ｝中，对任意的 m n, p, q € N,若m+ n = p+ q,贝Ua m + a n = a + a q .特殊的，若 m+n= 2p ，贝U a m + a n = 2a p .(2) 等差数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和仍成等差数列，即 S m , Sm — S m , S 3m — S 2m ,…仍成等差数列.S 禺 a n +1 S (禺6. 当项数为2n(n € N+),则S 偶一 S 奇=nd , = ------ ;当项数为2n — 1(n € N+),则S 奇一 S 偶=an,'=S t a n S 奇n — 1 n♦ 基础练习：1. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1= 2, S= 12，贝U a 6= _____________________________ .2. 在等差数列｛a n ｝中，(1) 已知 a 4 + a 14= 2,贝U S 17=___________ ;(2) 已知 Sn = 55,贝U a 6 = _____________________ ;(3) 已知 S= 100, Si 6= 392，贝U S 24= ___________ .3、 已知｛a n ｝是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a ?a 3= a 4a 5, S= 1,则3的值是 ________________4、 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2= 7, S 7=— 7,则a ?的值为 _____________ .♦ 判断或证明一个数列是否是等差数列已知数列｛a n ｝的各项均为正数，前 n 项和为S ，且满足2S = a 2+ n — 4. (1) 求证：｛a n ｝为等差数列； (2) 求｛a n ｝的通项公式.♦等差数列的性质1、 已知｛a n ｝是等差数列，｛S n ｝是其前n 项和.若a 1+ a 2=— 3, S 5= 10,则a g 的值是 _____________2、 在等差数列｛a n ｝中，若 a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a ?= 25,贝U a 2+ a 8= ____________ ;3、 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，且So= 10, So= 30,则So= _______________ .♦等差数列中的最值问题)(1)若等差数列｛a n ｝满足a ?+ a 8 + a g >0, a ? + ae<0，当n 取何值时，｛a n ｝的前n 项和最大？数列部分(一)、等差数列(1) Sn= na 1 + n ( n —1)d . (2) Sn (a + a n )⑵已知数列｛a n｝为等差数列.若田<—1，且｛a n｝的前n项和S n有最大值，求使 S>0时n的最大值. a6(二)、等比数列♦知识回顾1. 等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数 列叫做等比数列. — —a “+1 *⑵ 符号语言： 一=q(n € N, q 是等比数列的公比). a n 2. 等比数列的通项公式设｛a n ｝是首项为a i ，公比为q 的等比数列，则第 n 项a n = a i q n _1 推广：a n = amf m. 3. 等比中项若a, G, b 成等比数列，则 G 为a 和b 的等比中项且 G=± ab. 4.等比数列的前n 项和公式 ’(1)当 q= 1 时，S= na 1., , a 1 (1 — q n) ⑵当q z 1时，S== = 1 — q 5. 等比数列的性质(1) 等比数列｛a n ｝中，对任意的 m, n, p, q € N*，若m+ n = p + q,贝Ua m a n =a p a .特殊的，若 m+ n= 2p,贝y a m a n = a p .(2) 等比数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和(非零)仍成等比数列，即 S m , S 2m — Sn, S m — $m,…仍成等比数列，其公比为 q m(q — 1).(其中S m z 0)♦基础练习:1. 设S 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1= 1, a §= 32，则0= ____________ .2. 若一1, x, y, z ，— 3成等比数列，则y 的值为 ___________ .3. 等比数列｛a n ｝中，a 1>0, 8284+ 2a 3a 5+ a 4a 6= 36,贝U a 3+ a 5= ___________ .4. 在各项均为正数的等比数列 __________________________ ｛a n ｝中，若a 2= 1, a 8= a 6+ 2a 4，贝U a 6的值是5. _____________________________________________________________________ 设等比数列｛a n ｝满足a 1+ a 3 = 10, a 2+ a 4= 5，贝U aa 2a 3…a n 的最大值为 _____________________________________ .♦等比数列的判定与证明已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S, 3S n = a n — 1(n € N *).(1) 求 a 1, a 2；(2) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； (3)求 a n 和 S.♦等比数列的性质已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且满足 af 9 = 4,则数列｛log 2a n ｝的前9项之和为 __________♦等比数列的应用设数列｛a n ｝的前n 项和为S,已知a 1= 1, S+1 = 4a n + 2. (1) 设b n = a n + 1— 2a n ,求证：数列｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.a 1 — a n q1 — q♦知识回顾1. 已知数列｛a n ｝，满足a n +i — a n = f(n)，且f ⑴ + f(2) +…+ f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 a n ・ a n +1 ..2. 已知数列｛a n ｝，满足 =f(n)，且f(1) f (2)…f (n)可求，则可用累乘法求数列的通项a n .a n 3. 数列求和的常见方法(1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再 求和； (3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4) 倒序相加：如等差数列前 n 项和公式的推导方法. 4.常见的拆项公式♦基础练习:1. ____________________________________________________ 在数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55 中，x= ________________________________________________________… 1 1 12. 求和：1X 2 + 2x 3+ …+ ( n — 1) n =------------ ' 3. 等比数列1 , 2, 4, 8,…中从第5项到第10项的和为♦分组转化法求和1 1 1 求数列1+1, a +4,孑+7尹10,♦错位相减法求和设等差数列｛a n ｝的公差为d,前n 项和为S,等比数列｛b n ｝的公比为q.已知b = a 1, b 2= 2, q= d, S 10 =100.(1) 求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；a n(2) 当d>1时，记C n =「，求数列｛c n ｝的前n 项和T n .b n♦裂项相消法求和在数列｛a n ｝中，a = 1,当n 》2时，其前n 项和S 满足&= an?—* (1) 求S 的表达式；S n(2) 设b n = 2n+1 求｛b n ｝的前n 项和T n .(三)、数列求和(1) 1n (n + 1) 1 1 n — n+7； (2) 1 (2n — 1)_( 2n + 1) 1( 1 — 1 、 2 2n — 1 2n + 1 ；_______ 11(n+1) (n +2)4. 已知数列｛a n ｝的通项公式a n =5. 数列｛a n ｝中，a n = (2n — 1)3n —1则该数列的前 项之和等于9.，则数列｛a n ｝的前n 项和S= 1e + (3n — 2)的前n 项和.(四)、数列的综合应用a 21. 若等差数列｛a n ｝和等比数列蚀满足十“ 一 1,十b 4= 8,则百2. )记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和.若a 4+ a 5= 24, 48,则｛a n ｝的公差为 _________ .3. 北京市决定从2016年到2020年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年45递增10%则2016年底更新的车辆数约为现有总车辆数的 _______________ .(参考数据：1.1〜1.46 , 1.1〜1.61)4. (设数列｛a n ｝满足 a 1+ 3a 2 + …+ (2n — 1)a n = 2n. (1) 求｛a n ｝的通项公式；(2) 求数列%： [ f 的前n 项和.5. (2017 苏锡常镇一模)已知n 为正整数，数列｛a n ｝满足a n >0, 4(n + 1)a 2— na 2+1 = 0,设数列｛b n ｝满 2a n^足 b n = j~n.a n 、求证：数列*不『等比数列；若数列｛b n ｝是等差数列，求实数t 的值；若数列｛b n ｝是等差数列，前 n 项和为S,对任意的n € N ,均存在m € N *,使得8a 2S n — a 1n 2= 16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1的值.6、已知数列｛a n ｝是首项为1,公差为d 的等差数列，数列｛b n ｝是首项为1,公比为q(q > 1)的等比数列. (1)若a 5= b 5, q= 3,求数列｛a n • b n ｝的前n 项和；⑵ 若存在正整数k(k >2)，使得a k = b k ,试比较a n 与b n 的大小，并说明理由.不等式部分(一)一元二次不等式♦一元二次不等式及其解法1. 不等式3x 2— x — 4 < 0的解集是 ________ . 2. 不等式2x 2— x — 1>0的解集是 ______ .3. ____________________________________ 不等式—x 2— 2x+ 3>0的解集为2.. r x — 2x + 2 —冃 t ..2、 若—4 v x v 1,求的最大值.2x — 2(1) ⑵ ⑶♦含参的一元二次不等式的解法1 解关于x的不等式：ax2 + (a — 2)x — 2>0.♦2 一元二次不等式的恒成立问题1、设函数 f(x) = mx— mx- 1.(1) 若对于一切实数 x, f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2) 若对于x € [1 , 3] , f(x)< — m+ 5恒成立，求 m的取值范围.♦3三个二次之间的关系已知函数f(x) = x2+ ax + b(a , b € R)的值域为[0 , + ^),若关于x的不等式f(x)<c 的解集为｛x|m<x<m + 6｝，则实数c的值为___________ ;♦课后作业1. 函数y=羞的定义域为 ________________ .22. 已知集合 U= {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7} , W {x|x — 6x+ 5< 0, x € Z}，则？鳩___________ .—x2— 2x, x>0, “3. 已知函数f(x) =* 2若f(3 — a2) v f(2a)，则实数a的取值范围是________x —2x , x v 0,(二)基本不等式♦基础练习1. 若实数a, b满足a + b= 2，贝U 3a+ 3b的最小值是_________ .12. 若 f(x) = x + -—2(x v 0)，贝U f(x)的最大值为 ___ .x2 1 m3. 已知a>0, b>0,若不等式- +丄恒成立，则 m的最大值为 a b 2a + b♦通过配凑法利用基本不等式求最值5 11、已知XU，贝U f(x) = 4x— 2+ —的最大值为；44x — 5 --------♦通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值8 21、已知x>0, y>0且x+ y = 1,^卜+ -的最小值为x y2、 已知 x>0 , y>0, x+ 3y + xy = 9,贝U x + 3y 的最小值为 _______♦基本不等式与函数的综合应用♦课后作业1、 3 1o< x v ,则x+y^3的最小值是 ___________ •4 12.已知正数x, y 满足x + y= 1,则x^2 + R 的最小值为 _______________ •y 43. __________________________________________________ 若正实数x, y 满足x + y= 1,则j + y 的最小值是 __________________________________________________ . a 22 14. 已知a, b 均为正数，且 ab — a — 2b = 0,则-+ b 2—；-的最小值为4 a b--------1 25. ______________________________________________________ 已知x>0, y>0,且+ y = 1,贝U x + y 的最小值是 ___________________________________________________ ;3函数y = 1 — 2x — -(x < 0)的最小值为 _____ .x 19 —6. 已知正数a, b 满足-+厂=3面一5，贝U ab 的最小值为a b * 1 |ai7. 已知a + b = 2, b>0,当亍厂+丫一取最小值时，实数a 的值是2|a| b--------Q Q QQa QK8. 已知a, b, c 为正实数，且 a + 2b< 8c, - + r<-，则 --------- 的取值范围是a b c cac c c\[5，亠9. 已知 a>0, b>0, c>2，且 a+ b = 2,则的最小值为b ab 2c — 2(三)不等式的综合应用4 1.函数y = x + _(x 丰0)的值域是 ________ .—，若不等式f(x) + f(2x) < k 对于任意的(已知函数f(x)2 —x + ax + 11 x + 1(a € R),若对于任意 x € N , f(x) > 3恒成立，则a 的取值范围是x € R 恒成立，贝U 实数k 的取值范围?2 8 3. 已知x>0, y>0且满足- + -= 1，则x+ y 的最小值是.x y4. 若正数a, b 满足ab= a+ b+ 3，贝U ab 的取值范围是 __________2. 设 x € R,f(x)。