向量最值有关的问题以及向量运算讲义

向量最值有关的问题以及向量运算高考要求1、运用向量的坐标形式，以及向量运算的定义，把问题转化为三角问题来解决；2、运用向量的坐标形式，联系解析几何的知识，研究解析几何问题；3、向量的综合应用，常与三角，解几等联系在一起 ,研究最值等综合问题重难点归纳一：学生情况及其分析：上海高三学生，已复习完平面向量的应用，对于基本题型掌握的很好，那我就横向拓展乐，学生易于沟通（这种性格好的学生人品好啊，因为碰到了我，嘿嘿），成绩在好一点的市重点偏上，思维不是很活跃，但是易于接受。

二：教学目的：本节课的目的在于分析不同平面向量的运算，如何求向量最值的问题，如何识别并避免问题的陷阱？学习如何建立坐标系用解析几何的方法研究向量中的最值和定值问题，以此提升学生的数形能力。

（能力好重要额）三：教学设计：1，教学回顾：我们学过哪些平面向量运算的类型？分别适合那些题型？ 如何求平面向量的最值问题？（忘了就嘿嘿嘿嘿） 2，教学过程： 易错点的讲解：1.错误诊断【例题1】1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅＝_____________ 【答案】27-【错因剖析】p 点是一个动点，可以证明结论与p 点位置无关，但不可以直接取BC 中点。

【正确解答】27)(21)()()()(-=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅AC AB AB AC AQ AB AC QP AQ AB AC AP BC 2.误区警示1：求取值范围时方法选择尤为重要，首先应注意建立坐标系的方法的选择。

2：求出最值后，检查区间的端点能否取到。

分析：求最值问题有哪些常用的方法？本题结合这个特殊的形似能否帮助理解向量数量积中投影的含义？ 吐槽：果然，数学中有捷径，哈哈，开心课前热身：已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________3:2:1法一：延长OB,OC 至B’,C’，使得OB OB 2'=,OC OC 3'=，则O 为''C AB ∆重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，⎩⎨⎧=-=-+0620632y b x c a 3:1:3=⇒=⇒∆∆ABC AOC S S y b.已知 A.B.C 是△ABC 的三个顶点，为ABC CA BC CB AB AC AB AB ∆⋅+⋅+⋅=则,2ABCPQ_________________三角形. 直角三角形解：注意到2AB CB AB AC AB =⋅+⋅,故0=⋅CA BC平面上的向量PB PA ,满足422=+PB PA ，且0=⋅PB PA ,若向量PB PA PC 3231+= ，则PC 的最大值为___________ 解析：两边平方后知34916)34(9122≤⇒≤+=PC PB PC，即A P ,重合时.与向量最值有关问题的方法总结2. 已知0,3,1=⋅==OB OA OB OA ，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于【答案】3[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈得⎩⎨⎧==⇒+=ny m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m x y 330tan 0== 法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈两边同乘OA 或OB 得BOC⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⇒=⋅=⇒=⋅n OC n OB OC mOC m OA OC 3321323两式相除得3=n m3. 在△ABC 中，若4=•=•CB AB AC AB ，则边AB 的长等于 22解析：4=•=•CB AB AC AB 88)(2=⇒=+⇒AB CB AC AB4. 已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是___________)1,32(解析：=+=+=''32GP AG GP AG AP λ )()(31GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+<<n m t ) =)](31)(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +⋅++⋅++ =AC nt AB mt )1(31)1(31+++，则)1,32(3132∈+=+t μλ5. 已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC+=22OB CA +=22OC AB +，则点O 是ABC ∆的 心 垂心ABCGP G’P’解析：22OA BC+=22OB CA+=))(())((=-++-+⇒CABCCABCOBOAOBOA2=⋅⇒OCBA，可知ABOC⊥，其余同理6. 设点O是△ABC的外心，AB＝c，AC＝b，()1122=+-cb则→BC·→AO的取值范围⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,41-解析：()1122=+-cb222bbc-=⇒20<<⇒>b)(2122coscos)(22cbRccRRbbRcRbRAOABACAOBC-=⋅-⋅=-=⋅-=⋅βα∈--=-=41)21(22bbb⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,41-7.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，33=CA，若2=⋅+⋅AFACAEAB，则EF与BC的夹角的余弦值等于_____32解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AFACAEAB，所以2)()(=+⋅++⋅BFABACBEABAB，即22=⋅+⋅+⋅+BFACABACBEABAB。

因为12=AB，1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅ABAC，BFBE-=，所以AB CO21)(1=--⋅+AB AC BF ，即2=⋅BC BF 。

设EF 与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θBC BF ，即3cos θ=2，所以32cos =θ8. 已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为,则对任意,的最小值是 21解析：数形结合.α=AB ,β=AC ,βα-=BC ,,γ=ADBD CD BD CD ⊥⇒-=-=αγβγ,，点D 在以BC 为直径的圆上运动，就是BC ，而21121,≥⇒≥⇒==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同.9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的最小值为_________ ．23解析：本题和8完全相同。

数形结合，具体参见810. 设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e ON e OM ==，ON y OM x OP +=，若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1}解析：画图解即可αβγ||1α=||||αββ-=()()0αγβγ-⋅-=β||γ,m n βm n -m n -ABCDABC11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则OC OB ⋅的最大值为________2解析：12sin ))((+=++θDC OD AB OA12. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120。

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其中R y x ∈,，则y x +的最大值是___2解析：13)(2222222=-+=-+=⋅++=xy y x xy y x OB OA xy y x OC 22)2(3131)(y x xy y x +⋅+≤+=+ 【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)23,21(),0,1(-==OB OA 则 )23,21(y y x OC -=，则满足11)23()21(222=-+⇒=+-2xy y x y y x ，且0,2121≥-≥-y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==OB OAOAB CD xy),(y x OC =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x13. 在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则DM AP •的取值范围是 ]1,21[-解析：分两种情形，结合图形分析。

（1）当P 在BC 上时，BP AB AP +=，则]1,21[211∈-=⋅+⋅=⋅BP DM BP DM AB DM AP ；同理，当P 在CD 上时，]21,21[2121-∈+-=⋅DM DM AP14. 在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是 [)716，解析：PM PN ⋅ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+⋅==322362cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2(2=+≤b a ab ，PM PN ⋅732≥-=ab ，或者用消元的方法 25)5()10(2+--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ⋅732≥-=ab ；同时86106<⇒+-=+<a a b a ，当8=a 时16=ab ，故16>ab ， PM PN ⋅1632<-=ab另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决15. 已知且，是钝角，若的最小值为，则的最小值是611137解析：',,'B A C OB y OA x OC ⇒+=共线，用几何图形解）的最小值为根据几何意义即为A 到OB 的距离，易得0120=∠AOB ，要使最小，则'AB OC ⊥，利用面积法可求得||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+21x y +=AOB ∠()||f t OA tOB =-23||OC ()||f t OA tOB =-23||OC OBB’AC16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为 12解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,21(),1,1(θθ=-==AP DE AC 由AC DE APλμ=+得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 21， 1sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++⋅=++-=+θθθθθθθμλ，令]2,0[,sin cos 2sin 1)(πθθθθθ∈++=f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+=θθθθθf ，故)(θf 最小值为21)0(=f ，μλ+最小值为2117. 已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足CA CB CP 2+=，则PB PA ⋅=________3解析：如图CA CB CP 2+=CA BP 2=⇒，PB PA ⋅=3120cos 214)(02=⨯⨯+=⋅+=⋅+PB BA PB PB BA PB18. 已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ⋂N=________{})62,46(PABC解析：15'5242'4231=⇒⎩⎨⎧+=++-=+λλλλλ19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AB =，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=-时，AMMB =______3解析：))((AN PA AM PA PN PM ++=⋅20. 如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1, 则()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是 227解析：()()CA CD CA CE ⋅⋅272cos sin 21cos sin 21cos 2142232≤==⋅=A A A A CA A CA CD【创新应用】平面内两个非零向量βα,，满足1=β，且α与αβ-的夹角为0135，则α的取值范围是_________]2,0(CADE B解析：数形结合。