高中数学必修4三角函数的图像与性质
高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像平移及解析式的求法
【知识点梳理及分析】
一、有关正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)基础知识
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：
x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω
ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：
定义域 R
值域 __________
周期性 T＝____________
奇偶性 φ＝______________时是奇函数；φ＝____________________________时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是__________函数
单调性 单调增区间可由__________________________________________得到，单调减区间可由______________________________得到
4．图象的对称性
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．
二、图像的平移转换
图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)图像变换
（1）左右平移：由y＝sinx的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象.
必修四第一章第3节 三角函数的图象和性质(一)周期性与图象
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年 级 高一 学 科 数学 版 本 苏教版
课程标题 必修四 第一章 第3节 三角函数的图象和性质（一）周期性与图象
编稿老师 王东 一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲
一、考点突破
1. 掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象。通过三角函数的图象研究其性质。
2. 注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用。
3. 掌握正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题。
高考命题趋势 考查内容 1. 对三角函数图象的考查多以选择题、填空题为主。对数形结合思想的考查主要通过三角函数图象和单位圆中的三角函数线等来体现。
2. 三角函数的性质是考查的重点，这类题目概念性强，具有一定的综合性与难度。
能力要求 熟练掌握基本技能与基本方法。
难度与赋分 高考中以三基为主，多为基础题目，每年分值约为8分。
二、重难点提示
重点：正弦、余弦、正切函数的周期性、图象及性质；函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及参数对函数图象变化的影响。
难点：周期函数的概念；画三角函数的图象；函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系。
一、知识脉络图
第2页 版权所有 不得复制 正弦函数y=sinx
三角函数的图象 余弦函数y=cosx
正切函数y=tanx
y=Asin（ωx+φ） 作图象 描点法（五点作图法）
几何作图法
性质 定义域、值域
单调性、奇偶性、周期性
对称性
最值
二、知识点拨
1. 正弦、余弦、正切函数的主要性质
函数
性质 y＝sin x y＝cos x
y＝tan x
定义域 R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}
图象
值域 [－1，1] [－1，1] R
对称性 对称轴：x＝kπ＋π2（k∈Z）
对称中心：
必修四 三角函数复习(图像和性质)讲义
三角函数的图象及性质复习
考纲要求
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用
重难点归纳
1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用
2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强
3 三角函数与实际问题的综合应用
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用
性 质 xSiny xCosy
定义域 R R
值 域 1,1 1,1
周期性 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性
减函数增函数,,232,22,,22,22zkkkzkkk 减函数增函数,,2,2,,2,2zkkkzkkk
对称中心 zkk,0, zkk,0,2
对称轴 zkkx,2 zkkx,
图
像
性 质 xy tan xy cot 定义域
zxx,2 zxx,
值 域 R R
周期性
奇偶性 奇函数 奇函数
单调性 增函数,,2,2zkkk 增函数,,,zkkk
对称中心 zkk,0, zkk,0,2
对称轴 无 无
图
像
kxASinySinxy变化为怎样由 ？
振幅变化：Sinxy ASinxy 左右伸缩变化：
xASiny 左右平移变化 )(xASiny
高中数学必修4三角函数知识点归纳总结【经典】
《三角函数》
【知识网络】
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为360kkZ
x轴上角：180kkZ
y轴上角：90180kkZ 弧长公式
角度制同角三角诱导 计算与化任意角三角函数已知三角3、第一象限角：036090360kkkZ
第二象限角：90360180360kkkZ
第三象限角：180360270360kkkZ
第四象限角：270360360360kkkZ
4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角
第一象限角：036090360kkkZ
锐角：090 小于90的角：90
5、若为第二象限角，那么2为第几象限角
kk222 kk224
,24,0k ,2345,1k
所以2在第一、三象限
6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.
7、角度与弧度的转化：01745.01801 815730.571801
8、角度与弧度对应表： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360
弧度 0
6 4 3 2 23 34
56
2
9、弧长与面积计算公式
弧长：lR；面积：21122SlRR，注意：这里的均为弧度制.
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数
一、随意角、弧度制及随意角的三角函数
1．随意角
(1)角的观点的推行
①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．
正角 : 按逆时针方向旋转形成的角
随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角
零角 : 不作任何旋转形成的角
②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．
角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．
第一象限角的会合为 k 360o k 360o 90o, k
第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o, k
第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o, k
第四象限角的会合为 k 360o 270o k 360o 360o, k
终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o, k
终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o, k
终边在座标轴上的角的会合为 k 90o ,k
(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k·360 °(k∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为 k 360o , k
(3)弧度制
① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．
③ 半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l
r
④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ，C 2r l ，
S 1 lr 1 r 2 ．
2 2
2 ．随意角的三角函数定义
设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点 P(x， y)，它与原点的距离为 r r x2 y2 ，那么角 α的正弦、余弦、
第13讲 必修4第一章三角函数的图像与性质(教师版)
1
1 课
题 第13讲必修4第一章三角函数的图像与性质
教学目标 1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（ 2-， 2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；
3．结合具体实例，了解y=Asin（wx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出
y=Asin（wx+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响
1．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝( )
A.45 B.35 C．－45 D．－35
解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin2 α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.
2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝( )
A．0 B.95 C.43 D.53
解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.
3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )
A.32 B．－32 C.12 D．－12
解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin2αcos α＝3，
即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，
解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，
故sin α＝－32.
4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )
A.12 B．2 C．－12 D．－2
解析：选B ∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∵sin α＝－255，cos α＝－55，
三角函数的图像与性质集体备课
三角函数的图像与性质集体备课
一、教材分析
《三角函数的图像与性质》是高中《数学》必修④（人民教育出版社）第一章第四节的内容，其主要内容是正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质。过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，为以后要学习的函数yAin(w某)的图象的研究打好基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。
二、知识网络
三、教学目标
根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：
1、知识与技能目标（1）会用单位圆中的三角函数线画出三角函数图象；（2）掌握正弦函数、余弦函数图象的“五点作图法”；
（3）利用图像掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质2、过程与方法
通过问题探究，经历知识产生发展的过程，体验数学发展和创造历程。培养学生观察、
分析、表达能力及数形结合思想，提高学生数学素养。
3、情感态度与价值观 通过探究体验知识的发生过程，使学生从中体味成功喜悦。激发学生积极主动的学习精神和探索勇气。通过画图及多媒体展示，使学生体验数学之美、体会数学学习的兴趣。
四、教学重点、难点
重点：1、用单位圆三角函数线做出三角函数图象
2、会用“五点法”作图画出三角函数图象
3、利用图像掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的性质难点：用单位圆三角函数线画出三角函数的图象
五、学情分析
高一学生对函数概念的理解本身就是难点，再加上三角的知识，就要求学生有较高的理解和综合的能力。关于作图方面，在前面函数的章节中，学生已经学习了画函数图像的一些方法，如幂函数、指数函数、对数函数等可以用列表描点法、图像平移翻折等方法作出其图像。基于上述情况，预测学生对于本节课的内容，会有以下的一些困难：
1．概念的引出，把三角与函数两个概念结合起来，正确理解三角函数。2．利用单位圆的三角函数线作出三角函数在0,2上的图像。3．正确掌握五点法的作图步骤与要求。
人教版高中数学必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版)
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人教版高中数学 三角函数的图像与性质
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
一、三角函数的图像：
1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有MPrysin，向线段MP叫做角α的正弦线，
2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：
把y=sinx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R叫做正弦曲线
-11yx-6-565-4-3-2-0432fx = sinx
3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：
为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． 2
2、余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1)
现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx，x∈R的图象，
-11yx-6-565-4-3-2-0432fx = cosx
3、正切函数xytan的图象：
我们可选择2,2的区间作出它的图象
5一轮高三必修四——三角函数的图像与性质1
课题 三角函数的图像与性质（1） 课型 一轮复习 课时 1
考纲要求 能画出三角函数的图像；
掌握三角函数的性质：单调性、奇偶性、对称性、周期性.
教学过程 知识点串联
一、自主学习
1.阅读必修四课本P30-45页.自主课后练习
2. 请用五点作图法画出三个三角函数在一个周期内的图像
3. 函数sinyx是 函数，函数cosyx是 函数，函数tanyx是 函数.（填奇偶性）
4.)4sin(xy的图象的一个对称中心是( )．
A．(－π，0) B．)0,43( C．)0,23( D．)0,2(
5.. 函数)3π2sin(3)(xxf的单调递增区间是
6.函数f(x)＝cos)62(x的最小正周期为 ．
二、典例探究
探究点一 三角函数的周期
例1. 求下列函数的周期：
(1))23sin(xy；
(2))63tan(xy
探究点二 三角函数的单调性
例2． 求下列函数的单调递增区间．
(1))23cos(xy，(2))324sin(21xy，(3))33tan(xy
小结：三角函数的周期：
小结：三角函数的单调性：
探究点三 三角函数的对称性
例3. (1)函数y＝cos)32(x图象的对称轴方程可能是( )．
A．x＝－π6 B．x＝－π12 C．x＝π6 D．x＝π12
(2)若0＜α＜π2，)42sin()(xxg是偶函数，则α的值为________三、跟踪练习
1、函数f(x)＝sin)32(x的单调减区间为 ．
2、设函数)0)(2sin()(xxf的图象的一条对称轴是直
线8x，则______．
3、若函数cos()3yx(0)的图象相邻两条对称轴间距离为2，则等于 ．
人教版数学必修四：1.3.2三角函数的图象与性质(三)(教师版)
课题：§1.3.2三角函数的图象与性质（三） 总第____课时
班级_______________ 姓名_______________
【学习目标】
1．能借助正切线画出正切函数的图象；
2．借助图象理解正切函数的性质；
3．利用正切函数的性质解题．
【重点难点】
学习重点：正切函数的图像和性质；
学习难点：正切函数的单调性.
【学习过程】
一、问题情境
问题1 如何由用正弦线和余弦线得到正弦、余弦函数图象？利用正余弦函数图象得到它们有哪些性质？
问题2 如何在单位圆中画出正切线？如何利用正切线研究正切函数的图象？
二、学生活动
问题3 正切函数是周期函数吗？
问题4 正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？
问题5 当角无限接近2π 时，正切值如何变化？当角无限接近2π时，正切值又如何变化？直线的作用是什么？
问题6 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？
三、建构数学
1．课件演示：正切函数的图象在区间（－2 ，2 ）的图象．
问题7 根据图象的特征得到正切函数的性质（定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、对称性），注意平行直线2ππxk（kZ）与图象的关系．
观察函数xytan的图象得到其性质：
（1）定义域：__________________________；（2）值域：____________________________；
（3）周期性：__________________________；（4）奇偶性：__________________________；
（5）单调性：__________________________；（6）对称中心为：______________________.
四、例题
例1 求函数)42tan(xy的定义域和单调增区间.
例2 比较下列各题中两个三角函数的值的大小. O
(1)tan()5与3tan()7 (2) 7tan8与tan16