上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题(word版含答案)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2016-2017年上海市华师大二附中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。
2016-2017学年上海市华东师范大学第二附属中学高二10月月考数学试题 Word版
2016-2017学年上海市华东师范大学第二附属中学高二10月月考数学试题2016.10一. 填空题1. 在平面凸四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则该四边形的面积为2. 已知O 为坐标原点，点(4,2)A ，(6,4)B --，(,1)C x -共线，且OC mOA nOB =+，则mn =3. 若实数,,,a b c d 满足矩阵等式11240202a b c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则行列式a b c d = 4.已知||a = ||3b = ，a 与b 的夹角为45︒，若向量a b λ+ 与a b λ+的夹角为锐角时，则λ的取值范围为5. 执行右图程序框图，则输出的结果是6. 平面直角坐标xOy 上的定点(1,2)A ，(2,3)B ，(2,1)C ，矩阵211k ⎛⎫⎪-⎝⎭将向量OA 、OB 、OC分别变换成向量1OA 、1OB 、1OC，如果联结它们的终点1A 、1B 、1C 构成直角三角形，且斜边 为11B C ，则k 的值为7. 已知△ABC 中，O 为外心，且3AB =，2BC =，4CA =，则OA BC ⋅=8. 若|2|3a b -≤，则a b ⋅ 的最小值为9. 设n 阶方阵21352121232541414345612(1)12(1)32(1)521n n n n n n A n n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅-⎛⎫ ⎪+++⋅⋅⋅- ⎪⎪=+++⋅⋅⋅- ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪-+-+-+⋅⋅⋅-⎝⎭，任取n A 中 的一个元素，记为1x ，划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1n -阶方阵1n A -，任取1n A -中的一个元素，记为2x ，划去2x 所在的行和列，将剩下的元素按原来 的位置关系组成2n -阶方阵2n A -，……，将最后剩下的一个元素记为n x ，令12n S x x =++n x ⋅⋅⋅+，则3lim1nn S n →∞=+10. 设I 为△ABC 的内心，三边长7AB =，6BC =，5AC =，点P 在边AB 上，且2AP =，若直线IP 交直线BC 于点Q ，则线段QC 的长为二. 选择题11. 已知12,e e 为不共线的非零向量，且12||||e e =，则以下四个向量中模最大的是（ ）A. 121122e e +B. 121233e e +C. 122355e e +D. 121344e e +12. 已知非零向量,a b 不平行，c 满足c xa yb =+(,)x y R ∈，且0a c ⋅> ，0b c ⋅> ，则下列正确的是（ ）A. 若0a b ⋅< ，则0x >，0y >B. 若0a b ⋅<，则0x <，0y <C. 若0a b ⋅> ，则0x >，0y >D. 若0a b ⋅>，则0x <，0y <13. 已知111(,)P a b ，222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上的两个不同的点，则下列关于,x y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况判断正确的是（ ）A. 无论12,,k P P 如何，总是无解B. 无论12,,k P P 如何，总是唯一解C. 存在12,,k P P ，使之恰有两解D. 存在12,,k P P ，使之有无穷多解14. 已知在△ABC 中，0P 是边AB 上的一个定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任 意一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（ ）A. 2B π= B. 2A π=C. AB AC =D. AC BC =三. 解答题15. 在△ABC 中，10AB =，7AC =，O 为边BC 的中点，点,M N 满足32AM MB =，43AN NC =，又90MON ︒∠=，求角A 的大小；16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A 、(2,3)B 、(3,2)C ，点P 在△ABC 三边围 成的区域（含边界）上；（1）若0PA PB PC ++= ，求||OP；（2）设OP mAB nAC =+，求动点(,)Q m n 所构成的图形的面积；17. 在平行四边形OABC 中，过点C 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM xOA = ，ON yOB = ；（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）定义函数1()1()F x f x =-(01)x <≤，点列(,())i i i P x F x (1,2,,,2)i n n =⋅⋅⋅≥在函 数()y F x =的图像上，且数列{}n x 是以1为首项，0.5为公比的等比数列，O 为原点，令 12n OP OP OP OP =++⋅⋅⋅+ ，是否存在点(1,)Q m ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出Q 点 的坐标，若不存在，说明理由；（3）设函数()G x 为R 上的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()G x f x =，又函数()G x 的图像关 于直线1x =对称，当方程1()2G x ax =+在[2,22)x k k ∈+()k N ∈上有两个不同的实数 解时，求实数a 的取值范围；18. 已知△AOB 中，边OA =OB =OA a = ，OB b = ，1a b ⋅=，过AB 边上一点1P （异于端点）引边OB 的垂线11PQ ，垂足为1Q ，再由1Q 引边OA 的垂线11Q R ，垂 足为1R ，又由1R 引边AB 的垂线12R P ，垂足为2P ，同样的操作连续进行，得到点列{}n P 、{}n Q 、{}n R ，设()n n AP t b a =-(01)n t <<；（1）求||AB；（2）结论“112(1)3BQ t b =-- ”是否正确？请说明理由；（3）若对于任意*n N ∈，不等式121||42n n t t t ++⋅⋅⋅+-<恒成立，求1t 的取值范围；参考答案一. 填空题1. 52.14 3. 8 4. ((1,)-∞+∞ 5. 11 6. 2 7. 72- 8. 98- 9. 1 10. 138二. 选择题11. D 12. A 13. B 14. D三. 解答题15. 3arccos8； 16.（1）（2）12； 17.（1）1x y x =+；（2）11(1,)2n Q --；（3）1[,0)4(1)k -+；18.（1（2）正确；（3）100.75t <<；。
上海市华东师范大学第二附属中学2016_2017学年高二数学10月月考试题
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上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题(原卷版)
当点A、B、C在平面 的异侧时，平面 与平面 相交，如下图：
故选: C
【点睛】此题为基础题，判断平面与平面的位置关系.
13.从集合 中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个
【详解】若此平面与平面 平行，这样的平面有2个到三顶点距离为 ；
若此平面与平面 相交，
则一定过三角形其中两边的中点，
由于三角形边长为 ，
因此如过 的中点 和 的中点 的平面，
到三顶点距离为 的有两个，这样共有6个，
所以所求平面个数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查点到平面的距离，由于是三角形的三个顶点到平面的距离相等，因此要分类讨论，即三角形所在平面与所求平面平行和相交两种情形，相交时为保证距离相等，平面必定过三角形两边中点．属于较易题.
①当直线 与a成60°角时， 与b成30°角；
②当直线 与a成60°角时， 与b成45°角；
⑤直线 与a所成角的最大值为60°；
④直线 与a所成角的最小值为30°；
其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）
二、选择题（16分）
11.已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，则这组数据的中位数是（）
【解析】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ【分析】
利用插空法求解.
【详解】现将 名男生全排列，然后再将 名女生插入 名男生之间，则共有 种排列方法.
故答案为： .
【点睛】本题考查排列与组合，考查插空法的运用，属于基础题.
6.已知正三角形 的边长 ，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个；
【答案】8
【解析】
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二(下)期末数学试卷(a卷)(解析版)
2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有种．9．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．【解答】解：∵直径为2，∴半径为1，∴＝3，故答案为：3：1．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是[]【解答】解：∵一条直线P A与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4【解答】解：二项式（x3+）n的展开式的通项为＝．令3n﹣5r＝7，可得n＝，当r＝1时，n有最小值为4．故答案为：4．4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝（2，5）或（﹣2，5）【解答】解：若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则（1+|a|）n＝243，∴a＝±2，n＝5，故a，n的可能值是（a，n）＝（2，5），或（﹣2，5），故答案为：（2，5）或（﹣2，5）．5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝±【解答】解：设＝＝（x，y，z），∵＝0，则＝•＝0，∴x+y+z＝0，x+y＝0，令x＝1，则y＝﹣，z＝0．∴＝（1，，0）．∴＝±＝±．故答案为：．±．6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是a＜b＜c．【解答】解：计算这组数据的平均数为a＝×（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）＝14.7，求出中位数为b＝15，众数为c＝17，则有a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．【解答】解：掷三个般子，基本事件总数n＝63＝216，出现的三个点数的乘积为偶数，包含的基本事件个数＝m＝63﹣33＝189，∴出现的三个点数的乘积为偶数的概率是p＝＝＝．故答案为：．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有20种．【解答】解：根据题意，最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有C63＝20种排法，第二步：将另外三人按从高到低的顺序排列，有1种情况，则不同的排法有20×1＝20种，故答案为：209．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．【解答】解：由于4条体对角线都经过正方体的中心，所选的两条对角线必定包含一条画对角线①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面，考虑重复选取，∴＝30（种）；②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12x2＝24 （种）∴这两条对角线所在的直线为异面直线的概率p＝＝．故答案为：．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素12！后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．【解答】解：1！×2！×3！…×23!×24!＝（1×1×2）（3×3×4）×…×（23×23×24）＝（1×2×...×23）2×（2×4×6 (24)＝（1×2×…×23）2×212×12＝（1×2×…×23×26）2×12，所以删除元素为12！．故答案为：12！．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”，则A＝B，反之A＝B，则A∩B⊇A∪B成立，即“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的充要条件，故选：C．12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半【解答】解：在A中，数据3，3，4，5，4，6的众数是3和4，故A错误；在B中，一组数据的标准差是这组数据的方差的开方，故B错误；在C中，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故C错误；在D中，数据1，2，3，4的平均数为：＝，方差为：[（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2+（4﹣）2]＝，标准差为，是数据2，4，6，8的平均数为：＝5，方差为：[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]＝5，标准差为：，∴数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半，故D正确．故选：D．13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【解答】解：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）由排列与组合数的计算公式可知：＝（0≤k≤n），正确．（2）由组合数的性质可得：＝（0≤k≤n），正确．（3）左边＝＝＝（1≤k≤n）正确．（4）由组合数的性质可得：＝+（1≤k≤n），正确．因此正确公式的个数是4．故选：A．14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：设SO1＝h1，内接圆柱O1O的半径为r，（0＜r＜1），由题意得h1＝rh，OO1＝h﹣rh，∴＝πr2（h﹣rh）＝πhr2（1﹣r），∵≤•[]3＝，∴＝πhr2（1﹣r）≤，解得h＝1．＝πr2（1﹣r）＝，∴8r3﹣8r2﹣1＝0，∵0＜r＜1，∴方程有两个解符合题意．故选：B．三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．【解答】解：（1）①当a＝1时，不等式不成立当a＝﹣1时，解当﹣1＜a＜1时集为空集；②当a＝﹣1时，不等式恒成立，解集为R；③当﹣1＜a＜1时，x＜，不等式解集为（﹣∞，）；④当a＜﹣1或a＞1时，x＞，不等式的解集为（，+∞）（2）根据组合数公式得：＞，化简得：1≤k＜n+≤n，故不等式的解集为{k|1≤k≤n，n∈N*，k∈N*}16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结SO，∵SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0，四边形是平面四边形，∴四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，且O是BD的中点，∴SO⊥AC，SO⊥BD，∴SO⊥平面ABCD，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD，∴棱锥的底面四边形ABCD是矩形．解：（2）此棱锥的全面积：S＝2S △SAB+2S△SBC+S＝+2×+2a×a＝a2，此棱锥的体积V＝＝×2a2＝a3．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa ≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．【解答】解：（1）∵A＝{1，3，9}，39∉A，且93∉A，∴A是“坏集”，∵B＝{1，，，}，∈B，（）∈B，∴B是“好集”．证明：（2）∵a是S中小于1的元素中的最小元素，b是S中大于1的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性得：a b＜a1＝a，1＜b a＜b1＝b，∴a b∉S，且b a∉S，∴集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【解答】解：（1）由题意得：，．（2）①p1＞p3且p1＞p4，∴0＜p ＜；②p3＞p1且p3＞p4，；③p4＞p1且p4＞p3，无解．综上，0＜p ＜时，恰做一道及格概率最大；p ＝时，p1＝p3；时，恰做三道及格概率最大．第11页（共11页）。
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
【解析】
由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
答案：5.
7．
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设 是平面 外两条直线，且 ，那么 是 的________条件.
2．已知直线 及平面 ，下列命题中：
④ 可以得到直线 与平面 垂直，所以正确.
【点睛】
本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题.
3．
【解析】
【分析】
由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．
【详解】
地球表面上从 地（北纬 ，东经 ）到 地（北纬 ，西经 ）
两地都在北纬 上，对应的的纬圆半径是 ,经度差是
D．
14．由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）
A．5B．6C．7D．8
三、解答题
15．在正方体 中， 分别是 的中点.
求证：空间四边形 是菱形.
16．在棱长为2的正方体 中，（如图） 是棱 的中点， 是侧面 的中心.
（1）求三棱锥 的体积；
5．
【解析】
如图，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
因为 平面 ，
华师大二附中数学高二下期中经典题(培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13608]已知台风中心位于城市A 北偏东α︒的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2小时后到达距城市A 北偏西β︒的200千米处.若3sin sin 4αβ=，则v =（ ）A ．60B ．80C ．100D ．1252．(0分)[ID ：13605]O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心3．(0分)[ID ：13604]将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．y =2sin(2x +π4) B ．y =2sin(2x +π3) C ．y =2sin(2x −π4) D ．y =2sin(2x −π3) 4．(0分)[ID ：13559]已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A ．23-B ．23C ．43D ．635．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 36．(0分)[ID ：13625]若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ） A ．725B ．15C ．−15D ．−7257．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=8．(0分)[ID ：13619]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a bcosC <，则ABC 为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形9．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43D ．3210．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．511．(0分)[ID ：13549]将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π 12．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 13．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=14．(0分)[ID ：13544]若函数3的部分图像如右图所示，则()y f x =的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)6y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-+C ．2sin(2)6y x π=--D ．2sin(2)6y x π=-15．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则ωφ=__________．17．(0分)[ID ：13716]如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ．18．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2，则ω＝________.19．(0分)[ID ：13689]已知平面内两点P 、Q 的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则PQ 的单位向量0a =_____20．(0分)[ID ：13679]已知平面向量,a b 满足()3b a b ⋅+=，且1a =，||2b =，则a b +=________．21．(0分)[ID ：13670]已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在的平面内有两点P ,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.22．(0分)[ID ：13651]已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点 则GA GB GC +-=____________23．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．24．(0分)[ID ：13643]如图，在OAB 中,OA a OB b ==，若点M 分AB 所成的比为2:1，若点N 分OA 所成的比为3:1，OM 和BN 交于点P ，则OP 可用,a b 表示为______．25．(0分)[ID ：13642]已知向量||3,||2==a b ，且(2)()5a b a b -⋅+=，则a 在a b+投影为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13773]已知函数2()3sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间; （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域．27．(0分)[ID ：13765]已知(2,3),(6,4),(5,5)A B C ，点P 满足,()AP AB k AC k R =+∈ （1）若2AP =k 的值；（2）当k 为何值时，点P 在直线1y x =+上？28．(0分)[ID ：13729]设向量(4cos ,sin )a x x =，(sin ,4sin )b x x =，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最大值及最小正周期；（2）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向左平移4π个单位长度得到，求()y g x =的单调递增区间.29．(0分)[ID ：13780]设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 30．(0分)[ID ：13775]已知函数()sin ()4f x A x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且()01f =.（1）求A的值；（2）若1()5fα=-，α是第二象限角，求cosα.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B 3．D4．B 5．D 6．D 7．D8．A 9．C 10．B 11．B 12．C 13．D 14．A 15．A二、填空题16．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0 <2πω<2∴ω=π所以ωφ=217．【解析】【分析】根据条件确定PQ位置再分别确定△ABP的面积△ABQ的面积与△ABC 面积之比即得结果【详解】因为所以取AB中点M则P点在线段CM上且CP=4PM因此;因为所以取点N满足中则Q点在线段18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为19．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式20．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题21．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以22．4【解析】【分析】由是的中点G是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题23．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题24．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM三点共线所以……①又BPN三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向25．【解析】【分析】由向量的数量积的运算公式求得进而求得再利用投影的公式即可求解得到答案【详解】由题意根据向量的数量积的运算公式可得可得所以又由即在上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数三、解答题26．27．28．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】如图所示，分别在Rt ADB ，Rt ADC ，求出AD ，建立,αβ关系，结合已知，求出sin α，sin β，进而得出,BD CD ，即可求解.【详解】如图所示，150AB =，200AC =，BAD ∠=α，CAD β∠=. 在Rt ADB 中，cos 150cos AD AB αα==，sin 150sin BD AB αα==.在Rt ADC 中，cos 200cos AD AC ββ==，sin 200sin CD AC ββ==，所以150cos 200cos αβ=，即3cos 4cos αβ=①， 又3sin sin 4αβ=②， 由①②解得4sin 5β=，3cos 5β=，3sin 5α=，4cos 5α=. 所以3sin 150905BD AB α==⨯=， 4sin 2001605CD AC β==⨯=，所以90160250BC BD CD =+=+=， 所以2501252v ==. 故选:D.【点睛】本题考查解直角三角形、同角间的三角函数关系、三角方程的求解，考查计算能力，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】AP OP OA =-=λ（AB AC AB cosBAC cosC+⋅⋅），∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】函数y =2sin(2x +π6)的周期为π，将函数y =2sin(2x +π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得图象对应的函数为y =2sin[2(x −π4)+π6)]=2sin(2x −π3)，故选D.4．B解析：B 【解析】∵向量()2,a x =-，()1,3b =， ∴(3,3)a b x -=-- ∵()a b b -⊥∴()0a b b -⋅=，即310x -⨯+-=∴x =故选B5．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．6．D解析：D 【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．7．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理，将a bcosC <，转化为sin sin A BcosC <，再利用两角和与差的三角函数得到cos sin 0B C <判断. 【详解】 因为a bcosC <， 所以sin sin A BcosC <， 所以()sin sin B C BcosC +<，所以sin cos cos sin sin B C B C BcosC +<， 所以cos sin 0B C <， 所以,2B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以ABC 为钝角三角形. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+，∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴ 23ωπππ+≤， 403ω∴<≤， 综上可知403ω<≤. 故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3yx x x，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=， 即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性14．A解析：A 【解析】 【分析】代入特殊值法，分别代入304x x π==或，排除各个选项，即可． 【详解】由()01f =可排除B 、D ，由34f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ，故选A. 【点睛】本道题考查了三角函数的解析式的计算，难度中等．15．A解析：A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形. 【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题16．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2解析：2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=217．【解析】【分析】根据条件确定PQ 位置再分别确定△ABP 的面积△ABQ 的面积与△ABC 面积之比即得结果【详解】因为所以取AB 中点M 则P 点在线段CM 上且CP=4PM 因此;因为所以取点N 满足中则Q 点在线段 解析：45【解析】 【分析】根据条件确定P 、Q 位置，再分别确定△ABP 的面积、△ABQ 的面积与△ABC 面积之比，即得结果. 【详解】 因为2155AP AB AC =+，所以41525AB AP AC =+，取AB 中点M ，则P 点在线段CM 上，且CP=4PM ，因此11122215525ACM ABCABP APMABC ABCABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⨯⨯⨯====;因为2134AQ AB AC =+，所以381494AQ AB AC =⋅+，取点N 满足89AN AB =中，则Q 点在线段CN 上，且CQ=3QN ，因此99191818848494AQN ACN ABCABQ ABCABC ABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⨯⨯⨯====;因此△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为45【点睛】本题考查平面向量表示，考查综合分析求解能力，属中档题.18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 19．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式解析：43(,)55±-【解析】 【分析】利用向量PQ 的单位向量的计算公式0PQ a PQ=±，即可求解.【详解】由题意，两点,P Q 的坐标分别为(2,4),(2,1)-，可得向量(4,3)PQ =-， 所以向量PQ 的单位向量043(,)55PQ a PQ=±=±=±-.故答案为：43(,)55±-. 【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题解析：3【解析】 【分析】利用()3b a b ⋅+=化简求得1a b ⋅=-，然后利用22||2a b a a b b +=+⋅+计算出||a b +.【详解】∵()3b a b ⋅+=，∴23b a b ⋅+=，又∵||1a =，||2b =， ∴1a b ⋅=-，22||21243a b a a b b +=+⋅+=-+=．故填：3. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查平面向量模的求解策略，属于基础题.21．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ 的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以 解析：23【解析】 【分析】根据0,PA PC QA QB QC BC +=++=可判断出,P Q 的位置并作出图形，然后根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =可求解出APQS ，即可求解出四边形BCPQ 的面积.【详解】因为0PA PC +=，所以P 是线段AC 的中点， 又因为QA QB QCBC ++=，所以QA QB QC BQ QC ++=+，所以2QA BQ =，所以Q 是AB 上靠近B 的一个三等分点，作出图示如下图：因为121111sin sin 232323APQSAB AC A AB AC A ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以12133BCPQ S =-=四边形. 故答案为：23. 【点睛】本题考查根据向量的线性运算求图形面积，难度一般.对于线段AB ，若存在点P 满足：()*AP PB N λλ=∈，则P 是AB 的一个()1λ+等分点.22．4【解析】【分析】由是的中点G 是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G 是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题解析：4GD 【解析】 【分析】由D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，1()2GD GA GB =+，再联立求解即可. 【详解】解：因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD . 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属基础题.23．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题 解析：2136AB AC - 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的运算，将DP 用AB ，AC 表示出来. 【详解】依题意()12122323DP DC CP AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-. 故答案为：2136AB AC -.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量基本定理，属于基础题. 24．【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线分别求得即可求得的值得到答案【详解】根据题意得OPM三点共线所以……①又BPN三点共线所以则……②由①②得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向解析：33 105a b+【解析】【分析】运用平面向量基本定理和三点共线，分别求得OP，即可求得,λμ的值，得到答案．【详解】根据题意得，O，P，M三点共线，所以112()333OP OM OB BM OB BA OA OB λλλλλ⎛⎫==+=+=+⎪⎝⎭……①又B，P，N三点共线，所以33()44BP BN ON OB OA OB OA OB μμμμμ⎛⎫==-=-=-⎪⎝⎭则3(1)4OP OA OBμμ=+-……..②由①②得132,1343λμλμ==-，所以29,510μλ==，所以33105 OP a b=+．故答案为：33 105a b+【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及三点共线的应用，其中解答中熟记平面向量的基本定理，合理求得向量OP 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．25．【解析】【分析】由向量的数量积的运算公式求得进而求得再利用投影的公式即可求解得到答案【详解】由题意根据向量的数量积的运算公式可得可得所以又由即在上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数解析：.5 【解析】 【分析】由向量的数量积的运算公式，求得4a b ⋅=-，进而求得||5a b +=，再利用投影的公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得22(2)()25a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=， 可得4a b ⋅=-，所以222||()25a b a b a a b b +=+=+⋅+=，又由()945||5a ab a b ⋅+-==+，即a 在a b +上的投影为5．故答案为：5 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量的投影的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）最小正周期为T π=，单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）值域是30,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．【解析】 【分析】 【详解】 （1）3sin(2)32x π=-+， ∴函数的最小正周期为T π=，∵222232k x k πππππ-+≤-≤+，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，，∴函数的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-++，k ∈Z ； （2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin(2)3x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ∴3()0,12f x ⎡∈+⎢⎣⎦． 27．（1）1513k =-或1k =-；（2）3k =- 【解析】【分析】（1）先求出()4,1AB =,()3,2AC =,可得()43,12AP AB k AC k k =+=++,则()()22243121328172AP k k k k =+++=++=求解即可； （2）由（1）解得()63,42OP OA AP k k =+=++,将坐标代入1y x =+中即可求得k 的值【详解】（1）由题,()()62,434,1AB =--=,()()52,533,2AC =--=,因为()43,12AP AB k AC k k =+=++, 所以()()22243121328172AP k k k k =+++=++=即21328150k k ++=,解得1513k =-或1k =- （2）由（1）可知()43,12k k AP +=+因为()2,3OA =,所以()()243,31263,42OP OA AP k k k k =+=++++=++ 因为点P 在直线1y x =+上,则()42631k k +=++,即3k =-【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查向量的线性运算,考查向量的模的应用,考查运算能力 28．(1)()max 222f x =，T π=；(2)5.【解析】试题分析：（1）由向量点积的坐标运算得到()24cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+，再由二倍角和化一公式得到224x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；由周期的定义求周期即可（2）根据左加右减得到()224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的单调性得到222242k x k πππππ-≤+≤+，进而求得单调区间．()24cos sin 4sin f x a b x x x =⋅=+ ()2sin221cos2x x =+-224x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最大值()max 2f x =，最小正周期22T ππ==. （2）依题意得：()244g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2224x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 由()222Z 242k x k k πππππ-≤+≤+∈， 解得()3Z 88k x k k ππππ-≤≤+∈， 故()y g x =的单调增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 29． (1)3π;(2)a b == 【解析】 试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线，得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a b A B =,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.30．（1）A =2）45- 【解析】【分析】(1)由题意利用()01f =结合函数的解析式即可确定A 的值；(2)由题意结合同角三角函数基本关系和两角和差正余弦公式可得cos α的值.【详解】（1）依题意得：()0142f Asin A π⎛⎫===⎪⎝⎭，A ∴=（2）由（1）得()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由()15f α=-可得：()145f παα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，410sin πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭， α是第二象限角，222k k ππαππ∴+<<+，3522444k k ππππαπ∴+<+<+，又0410sin πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭， 4πα∴+是第三象限角，4cos πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭10=- 44cos cos ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 44cos cos ππα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 44sin sin ππα⎛⎫+ ⎪⎝⎭10210=-⨯- 425=-. 【点睛】 本题主要考查三角函数的运算，两角和差正余弦公式的应用，同角三角函数基本关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共5套)
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.2.复数()()()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________条.7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合{}23,n A z z i i i i n N *==++++∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z -=--满足，则有（ ）（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）（A ）ABC O -是正三棱锥（B ）直线ACD OB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D --为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于、M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，18AA =；（1）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 13 6. 4π 7. 直角三角形 8. 5arccos8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ， 二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）10；（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x 的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线a与平面α相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R，且△AO1B为等边三角形，即AB=R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据=，=，=，=，=，代入计算即可得出．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故答案选B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1，从而有∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值，根据三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三随着DE增大而增大可得结论．棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC﹣﹣﹣﹣即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得PA ⊥AB 、PA ⊥AD ．再由线面垂直的判定得PA ⊥平面ABCD ；（2）直接利用反证法证明在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥；（3）作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，可得∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，然后求解直角三角形得EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．【解答】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=AD=AC=a ．在△PAB 中，由PA=AB=a ，知PA 2+AB 2=2a 2=PB 2，则PA ⊥AB ． 同理PA ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）解：在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 事实上，假设在棱PB 上存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 过F 作底面ABC 的垂线，垂直为O ，则O 为△ABC 的中心， 在平面PAB 内，过F 作FM ∥PA ，交AB 于M ，则FM ⊥平面PAB ，这样，过平面ABC 外一点F ，有两条直线FO ，FM 与平面ABC 垂直，错误． 故假设不成立，即在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥．（3）解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∴∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，大小为θ． ∵PE ：ED=2：1，∴a ，AG=a ，a ．从而，即．。
上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017学年高二数
华东师范大学第二附属中2018届高二寒假作业（高二数学备课组编）班级____________ 姓名_______________一、向量1．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥，则a b + =2.已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）ABC．D． 3.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b = 4.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=____5.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅ =________. 6.已知两个单位向量,a b 的夹角为60°, (1)c ta t b =+-,若b c =0,则t =7.在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC= 1则___BC =.8.在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD =，则⋅的取值范围是9.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PB PC+=10.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若(,)c a b R λμλμ=+∈,则λμ=________.11.设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,的最大值等于________.12.若平面向量,a b满足：25a b -≤ ，则a b 的最小值是_____13.如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF AE BF的值是14.设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B PC ≥.则（ ） A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =15、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．16.在平面上,12AB AB ⊥ ,121OB OB == ,12AP AB AB =+.若12OP < ,则OA 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝17、已知,a b是单位向量,0a b = .若向量c 满足1,c a b c --= 则||的取值范围是（ ）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦18、已知向量AB 与AC 的夹角为120°,且3AB = ,2AC = ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ的值为_ _.19、对任意两个非零的平面向量,αβ ，定义αβαβββ=．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，,a b 的夹角)4,0(πθ∈，且b a 和 都在集合}|2{Z n n∈中，则b a =20、在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ）()A (- ()B (- ()C (2)--O BA ()D (-21、已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若23-=∙CP BQ ，则λ= 22、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。
华师大二附中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下)期中数学试卷一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为．2．复数z=（m2﹣m﹣4)+（m2﹣5m﹣6）i(m∈R），如果z是纯虚数，那么m= ．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．5．若复数|z﹣3i｜=5,求｜z+2｜的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．8．已知集合A={z｜z=i+i2+i3+…+i n,n∈N＊}，B={z|z=z1•z2,z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为．二、选择题（4&＃215；4=16）11．下列命题中,错误的是（）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是( )A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1,z2满足｜z1﹣|=|1﹣z1z2｜｜，则有（) A．|z1|＜0且|z2|＜1 B．｜z1|＜1或｜z2|＜1 C．|z1|=1且｜z2｜=1 D．｜z1｜=1或｜z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( ）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜｜z1｜,求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2,E为PD的中点．(1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小;(2)求二面角E﹣AC﹣D的大小，(结果用反三角函数值表示）17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中,AB=,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小;（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若（b，c)在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1)2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c)是线段s上一点（非端点）,则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由;(3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12016-2017学年上海市华师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为3﹣2i ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3,2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2)，则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i2．复数z=（m2﹣m﹣4）+(m2﹣5m﹣6）i（m∈R）,如果z是纯虚数，那么m= ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=,故答案为：3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解:∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α,β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= 2 ．【考点】MI:直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β,AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．5．若复数｜z﹣3i|=5，求｜z+2|的最大值和最小值．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解:如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0,3）为圆心,5为半径的圆．｜z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0)的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴｜AC｜==．∴|z+2|max=5+，|z+2｜min=5﹣．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有 2 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a,b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P,此时∠APB=50°,过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°,过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是30．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=,∴AB==30．故答案为：30．8．已知集合A=｛z|z=i+i2+i3+…+i n，n∈N＊}，B=｛z｜z=z1•z2，z1∈A，z2∈A｝，则集合B中的元素共有7 个．【考点】15:集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得:集合A=｛1，1+i，i，0｝,进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0｝．【解答】解:由题意可得：集合A=｛z｜z=1+i+i2+…+i n，n∈N＊}=｛1,1+i，i,0｝，所以B=｛z｜z=z1•z2，z1、z2∈A｝=｛1，1+i，i,2i,﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2．利用是实数,可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数,∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0,取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32 =0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．10．（理科)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解:由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为二、选择题（4×；4=16）11．下列命题中，错误的是（)A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线,则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确;D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．12．下列命题中，错误的是（)A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦,∴当另一半为底面直径时截面最大,故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ,则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角,则当θ=时,过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分,截面为圆，故D正确．故选C．13．已知复数z1，z2满足｜z1﹣｜=｜1﹣z1z2|｜，则有（) A．｜z1｜＜0且|z2｜＜1 B．|z1｜＜1或|z2|＜1 C．｜z1|=1且｜z2｜=1 D．|z1|=1或|z2｜=1【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1,z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣｜=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1｜=1或｜z2|=1．故选：D．14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（)A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形,逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM,∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥,故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示,显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角,即为AD和AE成的角,即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角,故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．三、解答题(8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i,其中i为虚数单位，a∈R,若＜｜z1｜，求a的取值范围．【考点】A2:复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1,然后代入＜|z1｜，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i,于是=|4﹣a+2i｜=，|z1｜=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．16．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1,BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．(2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解:（1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1,2，0），D(0，2，0），P(0，0，1），E（0，1，）,=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=(0，0,1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=(0，1，），=（1，2,0)，设平面AEC的法向量=（x，y,z）,则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2）,平面ACD的法向量=（0,0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=｜|==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．17．如图,在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．(1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM:异面直线及其所成的角．【分析】(1)作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；(2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：(1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB,则OB==2,设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角,∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若(b，c）在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1）2+y2=1上;（2）给定圆C:（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0）,则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点(非端点)，则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表(表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b,c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1:(x﹣1）2+y2=1上;（2）①求出虚根，虚根在定圆C:(x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R,r＞0）,推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②(b,c)是线段s上一点（非端点）,实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．(3）由（2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：(1）由题意可得2b+c=0,解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立,∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上(2）当△＜0，即b2＜c时，解得,∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2,∵△=4(b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2,∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2,b∈［﹣m﹣r，﹣m+r]若(b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0,b∈(﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上(3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=52017年6月18日。