输液滴速自动控制数学模型
数学建模最优给药方案问题
2.问题的分析
本文主要研究 治疗支原体肺炎用药最优化方案的问题：现有一医药集团有限公司 新研制抗生素药，可以有效治疗肺炎支原体肺炎。通过药理试验，此抗生素新药对胃酸 稳定，口服生物利用度为 75％，以成人（60 kg ）为例，每日用药 0.5g，口服生物利 用度为 75％，以成人（60 kg ）为例，每日用药 0.5g，单剂口服后，达峰时间为 2 h ， 血药峰浓度 ( max C ) 为 0.43 g/ml 。平 均 血 浆 最 小 中 毒 浓 度 为 3.81± 1.7g / ml，平 均 血 浆 最 小 有 效 浓 度 为 0.19 ±0.13 g/ml ，清除率（Clt） 为 9.98min/ml/kg ， 表观分布体积 （V ） 为 32.1 / L kg ，血半衰期（ 2 1t ）为 39 50 : h 。需要从用药到产生药效的主要经历过程（即药剂学过程 、 药代动力学过程及药效 动力学过程）出发，通过机理分析方法建立数学模型，就下述几种情况，分别对成人选 择最优化的治疗方案，即疗程内合理安排用药次数，使药物在人体内达到有效的血药浓 度保持最长的疗效，确保治疗的效果。
2.2 问题 2 的分析
对于该问题，采用室分析方法, 将机体近似看成单个同质单元体，采用恒速静脉滴注用 药方式，假定治疗支原体肺炎的疗程为 2 周，同时每日用药 0.5g 的情况下，滴注时间 是 2 小时，一个疗程静脉滴注抗生素新药为 3.5g，同时平均血浆最小中毒浓度为 3.81 μg / ml，建立一室药物动力学模型。求解出第一次单剂静脉滴注给要量后一天内的 血药浓度，从而推导出第 n 次恒速静脉滴注用药后一天内体内的血药浓度的大小，利用 图表直观的反映出该治疗方案。在确保不超过平均血浆最小中毒浓度（不中毒）的情况 下， 合理安排用药次数, 使药物在人体内达到有效的血药浓度, 保持最长的疗效, 确保 治疗的效果。
输液组间冲管竟有这么多讲究!习以为常的护理操作也许是错的
输液组间冲管竟有这么多讲究！习以为常的护理操作也许是错的一天，一名患者的脂肪乳滴完了，需要输一瓶冲管液，然后继续输其它的液体，我像往常一样给患者换了一瓶0.9%的生理盐水，并交代家属冲10min即可。
从病房出来的路上，我带的实习护生问我：老师，为什么要冲10min而不是5min啊？能冲干净吗？我楞了一下然后回答道：嗯，咱们科一般情况下就是冲10min，差不多能冲干净。
这名学生显然对我的回答不满意，接着问：老师，如果是老年和小儿，滴速慢，冲10min能冲干净吗？我：特殊情况那就多冲一会儿，比如说这瓶脂肪乳，如果10min后输液管里面还有白色残留，那就再多冲一会儿……回到护士站，我仔细想了想，学生问的这个问题确实没有想过，从我工作开始就是这样做的，没觉得不妥，可问题是依据在哪里？我决定回去查查资料再给她一个确切答案，同时鼓励她自己也查资料寻找答案。
组间冲管5min还是10min确实是值得思考的，我们每天都在给患者输液，输液过程中遇到有配伍禁忌的药物时，在两组液体之间就要使用一瓶冲管液，临床上很多情况都是医生开出医嘱，多数都是0.9%生理盐水20ml冲管或者50ml冲管，但是能否冲干净这个事情好像也没有深究过，甚至有些医生需要护士提醒才知道要开冲管。
那么冲管真的那么随意吗？你有没有思考过，到底冲多久，冲多少才能冲干净呢？静脉输液是临床上最常用的给药方式，如果是两种或两种以上联合用药的情况，药液在莫菲氏滴管或输液器中混合，可能会出现配伍变化，临床上一般用0.9%的生理盐水或5％的葡萄糖溶液在不同液体组间冲洗输液管，目的是为了将上组的药液冲洗干净，以免与下组的药物相混而发生输液管内反应。
有学者调查过在经过冲管后输入临组药物时，输液管的末端仍出现了不同程度的浑浊现象，分析其原因可能是冲管液量不够，导致有配伍禁忌的药物相混。
但是，究竟多少液量能够将输液管内的药液冲洗干净，在临床中并无明确的规定。
有学者曾调查研究过为患者换药过程中常规利用生理盐水冲洗莫菲氏滴管，记录输液过程中不良药物反应，其不良反应比率远低于常规输液组。
5-6几种重要的微分方程应用模型
dx = k0 − kx dt x(0) = 0
k0 −kt x(t) = (1− e ) k
高等数学
05-06-24
C
k0 −kt (1− e ) C(t) = Vk
平衡浓度
k0 Vk
k0 Vk
O
t
高等数学
05-06-25
例 由物理学Newton冷却定律知， 由物理学Newton冷却定律知 冷却定律知， 保持不变的前提下， 在环境温度 T0 保持不变的前提下， 物体温度 T 的变化率与当时物体温 之差成正比。 度 T 和所处环境温度 T0 之差成正比。 外界温度为20℃ 恒温） 在外界温度为20℃（恒温）时，一 物体在20分钟之内由 分钟之内由100℃降到60℃ 物体在20分钟之内由100℃降到60℃， 冷却规律； 40分钟时 求（1）冷却规律；（2）40分钟时 物体的温度； 物体的温度；（3）多长时间物体降 30℃ 至30℃？
高等数学
05-06-12
例 在中东巴勒斯坦地区一个山洞里 发现的古人骨中， 发现的古人骨中，同位素14C与12C之 比仅为活组织的6 24% 比仅为活组织的 6.24% ， 已知 14C 每 年衰减1 8000， 年衰减1/8000，试问此人活在多少年 前？
高等数学
05-06-13
室模型 是将整个机体设想成若干个房 认为药物在体内的吸收、分布、 室，认为药物在体内的吸收、分布、 代谢、消除的过程在房室之间进行， 代谢、消除的过程在房室之间进行， 并假设药物在房室中的分布是均匀 的。
(x + y) ×30 = 750 (x − y) ×50 = 750
x = 20 y = 5
答：船速每小时20千米。 船速每小时20千米 千米。
静脉麻醉TCI临床应用(学习班)
力学并非典型的三室模型，不主张应用TCI，以肌松监 测反馈调控输注模式最佳
05.02.2021
39
（五）静脉麻醉相关问题 的思考与实践
05.02.2021
40
效应室的概念
效应室浓度为计算值。通过了解药物作用的时间过程而描述药 物进入与排出效应室的规律
• 但并非所有的药物均适用于静脉靶控输注技术，要达 到满意的临床效果，根据药理学特性选择适宜的药物 和合理应用至关重要
05.02.2021
3
常用静脉麻醉药物的 药理学特性
05.02.2021
4
（一）异丙酚
一种起效快、短效、副作用少、苏醒迅速而完全 的静脉麻醉药；
与硫喷妥钠相比较起效时间相差不多但苏醒迅速 而完全； 50%意识消失的血浆浓度（EC50）是 2.3μg/ml；
1
2
3
4
分次给药的血药浓度-时间曲线
t（天）
25
（二）静脉恒速滴注
静脉恒速滴注需4～5个半衰期才接近血药浓度的稳态， 如芬太尼需15 h以上才达稳态浓度
给药后一段时间麻醉深度不够，随输注时间延长，清除 速率减慢，血药浓度逐渐升高产生蓄积作用，引起麻醉 深度过深，不能满足临床麻醉诱导和维持
仅适用于半衰期短的药物，以免药物蓄积
血药浓度≠麻醉深度，但存在相关性，可通过调整血药浓度以控 制麻醉深度。→个体化给药
05.02.2021
43
静脉麻醉TCI的应用
麻醉的诱导与维持：可以采用阶梯浓度诱导，诱导时间延长 但血流动力学平稳。维持麻醉可以方便地根据手术刺激强度 加深或减浅麻醉，扭转了静脉给药凭经验和感觉的局面
液滴振动与表面张力的动力学模拟
液滴振动与表面张力的动力学模拟液滴是我们日常生活中常见的现象，无论是从水龙头滴下的水珠，还是在实验室中进行的科学研究中的液滴实验，都离不开对液滴的振动和表面张力进行动力学模拟的研究。
本文将探讨液滴振动与表面张力的动力学模拟，并提供一些不同的方法和技术。
1. 液滴振动的原理液滴振动涉及到液滴的内部和外部力学特性。
一方面，液滴表面张力使得液滴在自身重力的作用下保持形状稳定。
另一方面，液滴的振动受到外界激励力的影响，例如声波、电场等。
2. 表面张力的动力学模拟表面张力可以通过分子动力学模拟和有限元分析等方法进行研究。
分子动力学模拟是一种基于牛顿运动定律的计算方法，通过模拟大量分子之间的相互作用力来模拟液滴的表面张力。
有限元分析则利用数学模型将液滴分割成多个离散的小单元，通过计算每个单元之间的力的平衡来模拟表面张力。
3. 液滴振动的动力学模拟方法液滴的振动和变形可以通过数值模拟的方法进行研究。
其中，有限差分法和有限元法是比较常用的两种方法。
有限差分法将液滴划分成有限差分网格，通过计算每个网格点的位移和速度来模拟液滴的振动。
有限元法则将液滴分割成多个离散的单元，通过计算每个单元的位移和速度来模拟液滴的振动。
4. 液滴振动的应用液滴振动的研究不仅具有基础科学意义，还有许多实际应用。
例如，在微流体领域，液滴振动可以用于分离和混合样品，以及控制微流体系统的流速和流量。
此外，在涂层和涂装工艺中，液滴振动可以改善涂层均匀性和附着性能。
5. 液滴振动的挑战与展望液滴振动的研究仍然面临着许多挑战。
首先，液滴的振动是一个复杂的非线性问题，需要进一步优化模型和算法。
其次，实验测量液滴振动的精度和可重复性也需要提高。
未来的发展方向包括改进模型和算法，探索新的实验方法，并将实验结果与模拟结果进行验证和比较。
总结液滴振动与表面张力的动力学模拟是一个复杂而有趣的研究领域。
通过分子动力学模拟、有限元分析和数值模拟等方法，我们可以更深入地了解和预测液滴的行为。
数学建模_淋雨模型
数学建模_淋雨模型
淋雨模型是一种经典的数学建模方法，它被广泛应用于城市防汛预警、水利工程设计
以及自然灾害预测等领域。
本文将介绍淋雨模型的原理、应用及其局限性。
1.原理
淋雨模型基于雨滴的落点和间隔时间服从泊松分布的假设，描述雨水的分布情况。
泊
松分布是一种用于描述事件随机分布的概率分布。
在淋雨模型中，每一滴雨都是一个事件，落在地面上所需的时间间隔服从泊松分布，且每个点落雨的概率是相等的。
2.应用
淋雨模型在城市防汛预警中的应用是比较典型的。
城市防汛工程需要根据历史降雨数
据和城市地形结合使用淋雨模型进行预测，以确定发生洪灾的可能性和预警级别，提高城
市的抗洪能力。
此外，淋雨模型还可以应用于水利工程的设计和规划中。
例如，对于大型水电站工程，需要根据周边降雨情况预测水位变化，选择合适的水位高度和水流量，以确保安全运行。
3.局限性
淋雨模型基于一些简化的假设，例如，假设雨点的大小、形状、速度和方向都是相同的，且雨滴的散布范围是均匀的。
这些假设在某些情况下可能是不合理的，导致模型的精
度有所降低。
此外，淋雨模型并不能准确地预测特殊的天气变化，如大风暴、暴雪等极端天气。
因此，在应用淋雨模型时需要注意其局限性，并将其结合其他的模型方法以提高预测精度。
总之，淋雨模型是一种简单、实用的数学模型，在城市防汛预警、水利工程设计和规
划等领域有着广泛的应用，但其局限性也需要被充分考虑。
在实际应用中，我们需要结合
具体的情况选择合适的模型，提高预测精度和决策效果。
传递过程导论-20198
1
hh A kA hc A
第二章 有限控制体分析—守恒原理
确定对象及范围：控制面 控制体
特 征 量 特 征 量 特 征 量 特 征 量 变 化 速 输率 入 速 输率 出 速 生率 成 速 率
2.1 质量守恒
流体在管道内流动 进：W1=ρ1 U1 A1 出：W2=ρ2 U2 A2
累积： d M dt
课后思考
7.缓释化肥和缓释农药有何优点。如何控制其缓释 速率。
1.3 类似现象
费克分子扩散定律
jAy
DAB
dA
dy
dT 傅立叶导热定律 q x k dx
牛顿粘性定律
yx
dux dy
jAy
DAB
dA
dy
kg m 2 s
m 2 /s
kg m 3
质量通量 扩散系数 质量浓度
m
q J2 y s k d d T y C k Pdd C y P T ma 2 /sd d C y P T m J
3
热量通量
导温系数 热量浓度
y x d d u y x d d y u x d d y u x
流体层相对运动产生了内摩擦力τ ，宏观表现 为流体的“粘性”。
牛顿粘性定律
yx
dux dy
τ y x ：剪切应力 [ N/m2 ]
μ ：粘度 [ N·s / m 2 ]
du x dy
：ux 在 y 方向上的梯度
m s m
问题探讨 剪切应力（τ ）与动量（mu）之间有何联系？
dux C1 dy
医学研究中的数学建模(医学论文)
医学研究中的数学建模【摘要】罗列医学研究中经典的5种数学模型，阐述数学建模在医学研究中的重要意义，总结在临床实践过程中可能运用数学建模解决的实际问题。
【关键词】医学研究数学建模临床实践Mathematical Modeling in Medical ResearchAbstract Explain the mathematical modeling’s meaning on five kinds of classics medical model,summarize the experience and promote the using of mathematical modeling of clinical practice.Key words medical research; mathematical modeling; clinical practice医学研究主要使用的是实验方法,但数学的方法也渗透其中。
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性,它在农、林、医、经济、交通、能源等各领域的研究中越来越重要,在这些实际问题中常常需要建立数学模型来选优、预测。
数学建模在医学中的应用,如药物性能的比较、传染病的预测和控制、病情的诊断等等,有着十分重要的地位和显著的效果。
医学上治疗方法的效果、新药的疗效等,都要通过临床试验,产生大量的数据,然后通过统计分析,得出相应的结果加以评判。
大量的医学研究,从头至尾都用到统计方法,包括实验设计(正交设计、均匀设计等)、数据采集与整理、数据分析(参数估计、假设检验、回归分析、统计描述等)等方法。
总的来讲常用的有两大类数学方法:统计分析方法和数学模型方法。
统计分析方法是医学中用得最多、最深入也很有效的数学方法，但另一方面,在对某些医学问题进行机理分析时,数学模型的方法用得较多,而且十分有效。
1 医学研究中的数学模型方法这里所指的数学模型方法主要指用于描述医学中某些机理而用的数学方法，我们从5个经典的医学数学模型谈起。
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静脉输液过程中滴速自动控制系统的建模
姓名：*** 02111186
柴磊 02111100
丑静远 02111106
季朝亚 02111122
摘要：
为对静脉输液过程的滴速自动控制系统进行设计和分析，本文对
此类型系统进行建模。本系统采用一阶惯性环节对执行机构的动态特
性进行描述；采用定积分对基于红外光电对管的滴速检测环节进行建
模。
引言
静脉输液器是常用的医疗设备，一般由输液瓶、静脉针、护帽、
输液软管、药液过滤器、流速调节器、滴壶、瓶塞穿刺器、进气管空
气过滤器连接组成。其流量调节需要通过人手操作塑料夹持器收紧或
放松输液软管来实现。如今，不少 特殊药物需要严格控制输液速度，
而输液速度往往受液体静压、穿刺点与调节液面的相对高度、病人体
位变化、所用药物性状、病人身体状况等诸多因素影响，需要在输液
过程中进行动态调节。医护人员要经常巡视并调整滴速，监视药液余
量等。因此，开发自动化的输液过程控制器，对于减轻医护人员繁重
的工作压力有重要意义。
一、 控制系统设计
本文所述被控对象是一个过程，所以设计了一个典型的过程控
制系统，主要由控制器、执行器、控制对象、反馈环节组成，如图 1
所示。实施过程中系统的示意图如图 2 所示。滴速是过程的被控变
量，采用夹持器调节软管开度，即夹持开度作为过程的控制变量，电
机及传动装置为执行机构（内嵌在夹持器内，图中未专门画出），采
用单片机作为控制器，采用光电传感器作为检测装置。
图1控制系统方块图
图二控制系统实施示意图
二、 控制系统建模
2.1被控对象建模
2.1.1静态模型
静态模型即夹持器开度和滴速的静态关系，可通过实验测定。
实验中，液瓶底部与注射针头的距离为 1.25 米，注射针头与大气相
通，单向调节夹持器开度（包括从全闭到全开和从全开到全闭），每
隔 10%记录一次滴速数据，多次试验取平均值后数据曲线如图 3 所
示，图中空心圆点是实验测量数据。采用如式（1）所示 Sigmoid 函
数拟合，
𝑄0=
𝑎
0
1+𝑒
−𝑎1(𝑠0−𝑎2)
(1)
式中：Q0为滴速；S0为夹持器开度；a0、a1、a2为模型参数a0118 、
a
1 0.25 、a2
40 ，取可得拟合曲线图中实线所示。可见夹持器开
度和滴速之间有很强的非线性，对式（1）求导，求得各点的斜率如
式（2）所示，斜率曲线如图 4 所示。
𝑑𝑄0𝑑𝑆0=𝑎0𝑎
1
(1+e−a1(s0−a2))
2
𝑒
𝑒
−𝑎1(𝑠0−𝑎2)
(2)
图三静态模型曲线
2.1.2动态模型
静态模型仅反映当夹持器开度稳定时滴速的稳定值，而控制
系统的设计和分析中更关心的是当夹持器开度发生变化时滴速相应
的变化情况，即更注重被控对象的动态模型。本文采用实验法，人为
地给夹持器开度一个阶跃变化，然后观察滴速的变化情况。根据观察
结果，本文认为该过程可用一个一阶惯性环节串联一个纯滞后环节来
表示，如式（3）所示，
𝑄(𝑠)𝑆(𝑠)=𝐾1𝑒
−𝜏
𝑠
1+𝑇1𝑠
式中：Q( s) 、 S ( s ) 分别为滴速的变化量 Q(t ) 和夹持器开度的变
化量 S (t ) 的拉氏变换；T1 、1分别为惯性时间常数和纯滞后时间
常数； K1 为静态模型曲线中静态工作点处对应的斜率。实际中观
察得知，该过程的响应时间很快，故可取 T 1.5s,1 0.5s 。由于
静态模型非线性严重，故 K1 的变化范围较大，可考虑基于增量法
的近似线性化动态模型,即在静态工作点附近小范围区域内，取 K1
为恒定值，其值等于静态工作点处的K1 值。
2.2执行机构建模
执行器是步进电机及其驱动电路，它接收控制器的控制信号，将
其转化为被控对象的输入信号或动作。本文中执行机构由电机和传动
机构组成。电机（包括其驱动电路）根据控制器输出的信号转动相应
的角度，传动机构将旋转运动转化为直线运动，直接推动夹持器的阀
杆。本文中所用电机为步进电机，一般步进电机的动态模型为二阶模
型，考虑到本系统中电机功率小，负载轻，故用一阶模型来近似描述。
则执行机构的传递函数如式（4）所示，
𝑆(𝑠)𝐶(𝑠)=𝐾
2
1+𝑇2𝑠
(4)
式中： C(t)为控制器输出的变化量 C(t) 的拉氏变换。 T2 为惯性时
间常数，可选较小数值，本文取 T2 1s .K 2 为放大系数，表示执
行机构输出的直线运动位移量与输入的步进电机转动角度的比值，与
步进电机和传动机构的结构和参数有关。本文所选步进电机最小步长
为18°，通过实验测定得知每转动一圈，夹持器开度变化 2%，故选 K2
2 。
2.3检测装置建模
滴速检测装置是整个系统的关键环节，它需要对输液速度进行
检测，对控制精度的影响最大。输液器滴速的检测方法有接触式和非
接触式两种，由于接触式的检测方法中检测装置（如探针）需与药液
接触容易污染药液，所以更常用的是非接触式的检测方法。本文采用
基于红外光电对管的非接触式滴速检测方法。发射管和接收管相对，
轴向对齐，分别放置在滴壶外两侧，并使轴线经过液滴下落的轨迹；
若无液滴经过，发射管发射的红外光大部分能到达接收管；若有液滴
经过，由于光线发生了折射，故到达接收管的红外辐射能量将发生变
化；设计信号调理电路捕捉这种信号变化，然后输出到单片机系统，
则可计算出两滴药液之间的时间间隔，从而可知滴速。
设滴速为 d （drop/min），两滴之间的时间间隔为 td （s），
则两者关系如式（5）所示
∫60𝑑𝑑𝑡=1 (5)
𝑡
𝑑
0
易知，td 即为检测装置的采样周期，在控制系统运行期间，其将随 d
的变化而变化，d 越小，td 越大。也就是说，每隔 td 时间，滴速的
测量值才能更新一次，而在 td 时间内，滴速的测量值由采样保持器
保持为上一个周期的测量值。因此在 td 时间内，测量值可能含有误
差。假设d 从 0 开始，按 1drop/(mins)的速率增加，见图 5（a），
则 d 的测量值和相应的测量误差如图 5（b）、（c）所示。可见，
滴速越小，产生测量误差的概率越大。
2.4控制器建模
2.4.1小范围改变给定值时的控制策略
设系统原工作在某静态工作点，当需要小范围改变给定值时，
可将式（3）中的 K1 值视为原静态工作点处的值，设计 PID 控制
器，如式（6）所示。
𝐶(𝑠)𝐸(𝑠)=𝐾𝑝+𝐾1𝐾𝑝1
𝑠
+𝐾𝑝𝐾𝐷𝑠 (6)
式中：E(t)为误差 E(t)的拉氏变换； K P 、 K I 、 K D 分别为比
例增益、积分增益和微分增益。
2.4.2大范围改变给定值时的控制策略
当需要大范围改变给定值时，考虑到过程较强的非线性特性，
采用先开环控制，后闭环控制的策略。具体而言，当设定一个新的滴
速给定值时，根据式（1）的静态模型计算出夹持器开度，控制器输
出控制信号，并一直保持，待滴速和夹持器开度稳定后，开环控制阶
段结束；此时再转入闭环控制，把此时的工作点作为静态工作点，采
用上述小范围改变给定值时的控制策略来进行控制，给定值为此时输
出值和期望值的误差。其中滴速或夹持器开度是否稳定可根据其变化
率的值和持续时间来判断，具体而言，若滴速和夹持器开度变化率小
于某阈值𝜆𝑑和𝜆𝑗，并且持续 𝑡𝐿，则认为其稳定。