2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷(含答案解析)
第1页，共13页 2020年上海市杨浦区高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 不等式的解集为 A. B. C. D. 2. 设z是复数，则“z是虚数”是“是虚数”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 设，是椭圆的两焦点，A与B分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P是该椭圆上
的一个动点，O是坐标原点，记，在动点的第一象限内从A沿椭圆向左上方运动到B的过程中，s的大小的变化情况为 A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
4. 设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项，，，的乘积是定值2，3，，命题： 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1； 的真假情况为 A. 和都是真命题 B. 是真命题是假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 都是假命题
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 设集合2，3，，3，5，，则 ______ ．
6. 行列式的值为______． 7. 函数的最小正周期为______． 8. 设i是虚数单位，复数z满足，则______．
9. 若是无穷等比数列，首项，公比，则各项的和______． 10. 在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为______结果用最简分数表示
11. 实数x，y满足约束条件，目标函数的最大值为______．
12. 已知曲线的参数方程为是参数，曲线的参数方程为是参数，则和的两个交点之间的距离为______． 第2页，共13页
13. 数列满足，且对任意均成立，则______． 14. 设，若的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则______．
15. 设是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若：：：1：2，则的值为______．
16. 已知抛物线与的焦点均为点，准线方程分别与，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 如图，线段OA和OB是以P为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M是母线BP的中点，已知． 求该圆锥的体积； 求异面直线OM与AP所成角的大小．
18. 已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且，． 若，求c； 设点M是边AB的中点，若，求三角形ABC的面积 第3页，共13页
19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一； 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足； 策略B：杀灭害虫，“虫害指数“数列满足； 设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ 设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？
20. 已知双曲线H：，经过点的直线l与该双曲线交于M、N两点． 若l与x轴垂直，且，求b的值； ，且M、N的横坐标之和为，证明：； 设直线l与y轴交于点E，，求证：为定值
21. ，其中m是实常数． 若，求m的取值范围； 若，求证：函数的零点有且仅有一个； 若，设函数的反函数为，若，，，是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证： 第4页，共13页
-------- 答案与解析 -------- 1.答案：B
解析：解：由题可以转化为，解得， 故选：B． 由题将分式不等式转化成不等式组，进行求解即可得出结果． 本题主要考查的是分式不等式，注意端点，是道基础题． 2.答案：B
解析：解：由题知z是虚数不一定能推出是虚数，比如，则， 而反过来是虚数一定能推出z是虚数，假如z不是虚数，则一定不是虚数，产生矛盾，所以z一定是虚数，所以是必要非充分条件， 故选：B． 由题分析知z是虚数不一定是虚数，而反过来一定成立，即可得出结论． 本题主要是以复数为载体考查充分，必要条件，是道基础题． 3.答案：B
解析：解：设，， ，， 记
，， 所以s的大小的变化情况为逐渐变小． 故选：B． 设出P的坐标，利用已知条件，化简s的表达式，利用三角函数的性质，推出结果即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的性质，是中档题． 4.答案：D
解析：解：依题意，， ，则数列的周期为11， ， 项中包含了183个完整周期，不到184个周期， 若每个周期有2个1，则至少有个1，若每个周期1个1，则至多有184个1， 不可能恰有365个1，故错误； 若每个周期有3个1，则至少有个1，至多有个1， 可能存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1，故错误； 故选：D． 依题意，分析可知，数列的周期为11，而2020项中包含了183个完整周期，不到184个周期，由此第5页，共13页
分别判断，的真假即可． 本题以数列为载体，考查命题的真假判断，考查创新意识及逻辑推理能力，属于中档题． 5.答案：
解析：解：集合2，3，，3，5，， 所以． 故答案为：． 根据交集的定义进行计算即可． 本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目． 6.答案：10
解析：解：由题意，可知： ． 故答案为：10． 本题根据行列式的特点可对第三列进行展开，将三阶行列式转化为二阶行列式进行计算即可得到结果． 本题主要考查行列式的按列展开进行计算，考查了转化思想，定义法，以及数学运算能力．本题属基础题． 7.答案：
解析：解：由题意知： ，
故． 故答案为：． 先对函数降幂化简，然后套周期公式即可． 本题考查三角函数式的化简及周期的计算，属于基础题． 8.答案：
解析：解：是虚数单位，复数z满足， ． 故答案为：． 利用复数的代数形式的乘除法则直接求解． 本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除法则等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．
9.答案： 第6页，共13页
解析：解：是无穷等比数列，首项，公比， ， 各项的和． 故答案为：．
由等比数列前n项和公式得，各项的和，由此能求出结果． 本题考查等比数列的各项和的求法，考查等比数列的性质、极限等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．
10.答案：
解析：解：在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动， 基本事件事件总数， 选出的学生恰为1男1女包含的基本事件总数，
则选出的学生恰为1男1女的概率为．
故答案为：． 基本事件事件总数，选出的学生恰为1男1女包含的基本事件总数，由此能求出选出的学生恰为1男1女的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于基础题．
11.答案： 第7页，共13页
解析：解：作出约束条件对应的平面区域如图阴影部分， 由得，平移直线， 由图象可知当直线经过点A时，直线的纵截距最大，
此时f最大．由，解得
代入目标函数得． 即目标函数的最大值为． 故答案为：． 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求f的最大值． 本题主要考查了线性规划的应用问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．
12.答案：
解析：解：由曲线的参数方程是参数，得其普通方程为， 由曲线的参数方程是参数，得其普通方程为， 则曲线是以为圆心，半径的圆， 圆心到直线的距离，
和的两个交点之间的距离为． 故答案为：． 先将曲线和化为普通方程，然后求出圆心到直线的距离d，进一步求出和的两个交点之间的距离． 第8页，共13页
本题考查了参数方程转化为普通方程和点到直线的距离公式，考查了转化思想，属基础题． 13.答案：3031
解析：解：对任意均成立， 时可得：， 相减可得：， 令时，可得：，可得， 数列是等差数列，首项为4，公差为3． ． 故答案为：3031． 对任意均成立，时可得：，相减可得：，令时，可得：，可得，可得数列是等差数列，利用通项公式即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14.答案：10
解析：解：由题意可知，的展开式中的有理项即为展开式中的所有奇数项， 并且它的展开式各项的系数与展开式中各项的系数对应相等． 令式中，展开式的奇数项系数和为A，偶数项系数之和为B． 对于式： 令，可得，由已知得，， 令，所以． 所以． 故答案为：10． 经分析可知，有理项即为展开式中的奇数项，因为的系数为1，所以可以将用x替换，然后令，，得到展开式中奇数项系数之和与偶数项系数之和的方程组，求出各项系数之和，即可求出n的值． 本题考查二项展开式的项的性质，以及赋值法在研究展开式中系数时的应用，要注意转化思想的应用．属于中档题．
15.答案：
解析：解：因为是同一平面上的三个两两不同的单位向量，由：：1，所以，与，夹角相等， 设为，则，夹角为或，又：：2，
：：2，即， ，则，舍． 则，
2022-2023上海市杨浦区高三数学二模试卷及答案
2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】 1、集合2230Axxx=−−=，24,BxxxR=，则AB=____________. 2、复数3434ii+−的虚部是____________. 3、已知等差数列na中，37a=，73a=，则通项公式为na=____________. 4、设554354310(21)xaxaxaxaxa+=+++++，则3a=____________.5、函数ln(23)yx=−的导数是y=____________.6、若圆锥的侧面积为15，高为4，则圆锥的体积为____________. 7、由函数的观点，不等式3lg3xx+的解集是____________. 8、某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计：学生的平均成绩为____________分.
9、ABC内角A、B、C的对边是a、b、c，若3a=，6b=，3A=，则B=____________.
10、1F、2F分别是双曲线22221xyab−=的左右焦点，过1F的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点.若2ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为____________.11、若存在实数，使函数1()cos()2fxx=+−（0）在,3x上有且仅有2个零点，则的取值范围为____________. 12、已知非零向量a、b、c，满足5a=，2bc=，且()()0baca−−=，则b的最小值是____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】
2022届上海市杨浦区高三数学二模试卷(含答案)
2022届上海市杨浦区高三数学二模试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1.若集合(),1A =-∞，()0,B =+∞，则A B = ___________.2.复数2z i =-，则z =___________.3.直线l 的参数方程为2,12,x t t y t =+⎧∈⎨=+⎩R ，则直线l 的斜率为___________.4.()1012x +的二项展开式中,2x 项的系数为___________.5.若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为___________.6.函数()1lg f x x =+的反函数是1()f x -=___________.7.设,,,a b c d ∈R ，若行列式12903ab cd =，则行列式a bc d的值为___________.8.已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，从集合A 中任取一个元素a ，使函数ay x =是奇函数且在()0,+∞上递增的概率为___________.9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57S S =，且238a a +=，则2limnn S n →∞=__________.10.已知点P 为正ABC ∆边上或内部的一点，且实数,x y 满足2AP xAB y AC =+，则x y -的取值范围是___________.11.设点P是曲线y =(0,F，)A满足4PF PA +=，则点P 的坐标为___________.12.函数()()cos 0,Z f x x x ωω=>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.“0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.下列不等式恒成立的是（）A.x y x y +≥-B.x +>C.12x x+≥ D.x y x y x y++-≤+15.上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22C ︒.立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（）A.总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒B.总体均值为25C ︒，总体方差大于20C ︒C.总体中位数为23C ︒，众数为25C︒ D.总体均值为25C ︒，总体方差为21C︒16.记函数()11,y f x x D =∈，函数()22,y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有()()21f x f x ≤成立，则称函数()1f x 包裹函数()2f x .判断如下两个命题真假①函数()1f x kx =包裹函数()2cos f x x x =的充要条件是1k ≥；②若对于任意0p >，()()12f x f x p -<对任意x D ∈都成立，则函数()1f x 包裹函数()2f x ；则下列选项正确的是（）A.①真②假B.①假②真C.①②全假D.①②全真FED 1C 1B 1A 1DCBA 三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F .（1）求证：平面BDE ∥平面11B D F ；（2）连结1B D ，求直线1B D 与平面BDE 所成的角的大小.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin cos f x t x x =+，其中常数t R ∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，b =，()2f A =，求当t =ABC ∆的面积.北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin5方向，且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记AMB ∠为观测角.（1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角AMB ∠的大小；（精确到0.1︒）.（2）为了确保观测质量，要求观测角AMB ∠不小于45︒，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.（精确到0.1公里）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8.椭圆Γ上有两点,P Q ，连结,OP OQ ，记它们的斜率为 , OP OQ k k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；（3）设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ分别与直线x =交于点,M N ，若PQR ∆和PMN ∆的面积相等，求点P 的横坐标.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+，对一切*n ∈N 都成立.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若存在一个非零常数*T ∈N ，对于任意*n ∈N ，n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，T 是一个周期.（1）求2a 、3a 所有可能的值，并写出2022a 的最小可能值；（不需要说明理由）（2）若0n a >，且存在正整数(),p q p q ≠，使得p a q与q a p均为整数，求p q a +的值；（3）记集合*{0,}n S n S n ==∈N ，求证：数列{}n a 为周期数列的必要非充分条件为“集合S 为无穷集合”.y参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分1.()0,12.3.24.1805.12π6.110x -7.38.389.12-10.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.,44⎫⎪⎪⎝⎭12.29π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13.A 14.B 15.D 16.D三、解答题17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,2,1,0,4,0,1,4,1,1,2B D E B D F （2分）()10,1,2DE FB ==-∴DE∥1FB 同理BD ∥11B D （2分）平面BDE 与平面11B D F 不重合，∴平面BDE 与平面11B D F 平行.（2分）（2）同（1）建系设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2x y z ==不妨取1z =，则()2,2,1n =（4分）又()11,1,4DB =-设直线1B D与平面BDE所成的角为θ故11sin9n DBn DB⋅θ===（2分）直线1B D与平面BDE所成的角为arcsin9.（2分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）()sin cosf x t x x=+，x∈RⅠ0t=时，()cosf x x=()()()cos cosf x x x f x-=-==∴偶函数（2分）Ⅱ0t≠时， ()010f=≠∴不是奇函数（2分）1 , 122f t f tππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22f fππ⎛⎫⎛⎫≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不是偶函数（2分）∴函数()f x非奇非偶函数；（2）由t=，()2f A=cos2A A+=，因为2a b=<=，所以0,2Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin16Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，3Aπ=（4分）由2222cosa b c bc A=+-，解得12c±=（2分）1sin28ABCS bc A∆==.（2分）北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则()()()0,2,4,3,1,0A B M ，则()1,2MA =- ,()3,3MB =（2分）10cos 10MA MBAMB MA MB⋅∠==（2分）故观测角71.610AMB ∠=≈︒（2分）（2）设()(),0 0M x x >①4x =时，tan 2AM B ∠=，arctan 245AMB ∠=>︒（2分）②4x ≠时，2MAk x =-，34MB k x=-2460MA MB x x ⋅=-+>，AMB ∴∠为锐角,设tan y AMB=∠()2238464614x x x y x x x x --+-∴==-+--（2分）当4x =时，2y =符合上式，综上28, 046x y x x x +=>-+45A M B ∠≥︒ ，1y ∴≥整理得2520x x --≤（2分）502x +<≤所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里.（2分）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由已知条件，设椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，则 4c a ===（2分）椭圆Γ：221164x y +=（2分）（2）设()()1122,,,P x y Q x y 则121214OP OQy yk k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=，由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()22222222121212384OP OQ x x y y x x ∴+=+++=++（2分）222222121212444416x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得221216x x +=（2分）代入()22221238204OP OQ x x +=++=，为定值.（2分）（3）由椭圆的对称性可知，()22,R x y --()211121:PQ y y l y y x x x x --=--，()211121:RP y yl y y x x x x +-=-+，故()211121Ny y y y x x x -=+--，()211121M y yy y x x x +=+-+，于是()2122111222112PMN M N x y x y S x y y x x x ∆-=-⋅-=-（2分）又1122122112101PQR OPQ x y S S x y x y x y ∆∆===-（2分）代入PQR PMN S S ∆∆=，再将222116x x =-代入得()2211162x x -=-.若()2211162x x -=-，化简得2113320x-+=，方程无解；若()2211216x x -=-，化简得211640x +-=解得：14x =（4-+舍去）∴点P横坐标为4.（2分）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）2 1 , 3a =-；3 3 , 1 , 5a =-（2分）()()()20222021min max 1202024041a a =-=-+⨯=-；（2分）（2）首先证明：pa q 和q a p 中至少一个等于1.（2分）反证法：设pa q 和qa p 都大于等于2，则212212p q q p-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即212212p q q p -≥⎧⎨-≥⎩，相加得20-≥，矛盾！（2分）所以pa q 和qa p 中至少一个等于1.不妨设1qa p=，则211q p -=，即21p q =-那么214334pa p q q q q q--===-，所以83,5,15p q q p a a +====.（2分）（3）非充分：取数列{}n a 如下：11a =，23a =，33a =-，1(1)(4)n n a n -=-≥.数列{}n a 满足条件，且对一切*N ,2n n ∈≥，均有20n S =，但不为周期数列；（3分）必要性：已知数列{}n a 为周期数列，设正整数T 为其一个周期.分如下三步证明1下证：若01n a =-，则00n S =；若数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+由22112()n n n n a a a a ++-=+可得：221144(1)(1)n n n n S S a a ++-=+-+所以2n ≥时：22212111444444(1)(1)4(1)n n n n n S S S S S S a a a -=-++-+=+-++=+ 1n =时，21144(1)S a ==+，即对一切*n N ∈，24(1)n n S a =+（2分）利用上式可知：0021(1)04n n S a =+=.（1分）2下证：若1(3)n a n =≥，则11n a -=-；由条件：1n n a a -=-，或12n n a a -=-可得：11n a -=-.1分3由11a =，21a =-或23a =，可知，周期2T ≥.由11kT a +=，且13(*)kT k N +≥∈，由②可知1kT a =-，由①可知0kT S =，所以，对一切*k N ∈，kT S ∈，即集合S 为无穷集合.1分。
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷一.选择题（共6小题）3 .若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中N1与N2的数量关系是（4 .已知两圆的半径分别为2和5,如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范闱是（） A. 0<d<3 B. 0<d<7 C. 3Vd<7 D. 0WdV3 5 .如果正十边形的边长为n,那么它的半径是（ ）A. ——B. ——C. -------------------------------- ^-―D. ----------- ^-―sin36 cos36 2sinl8 2cosl86 .已知在四边形ABC 。
中，AB//CD,对角线AC 与BO 相交于点O,那么下列条件中能判 定这个四边形是矩形的是（ ）A. AD=BC, AC=BDB. AC=BD, NBAD=NBCDc. AO =CO 9 AB =BC D . AO =OB , AC =BD二.填空题（共12小题）7.分解因式：-6my=.9.从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,这七个数中,任意抽取一个数,那么抽到素数的概率是 10 . 一组数据：2, 2, 5, 5, 6,那么这组数据的方差是.f-2v+l<011 .不等式组! /的解集是 .底-24112 .方程丁丁历=%的根是. 1 . 2020的相反数是（ ）A. 2020B. - 2020 2 .下列计算中，正确的是（ ）A.屋・屋=”8 B . （J ）4 = / C ——2020C. (ab) 4=ab 4D. a 6-ra 3=a 3A. Z1=2Z2 C. Zl+Z2=180°B. Z1=3Z2D. Zl+2Z2=180°8. 函数 Vx-1中自变量x 的取值范围是13.已知关于x的一元二次方程〃?『-2K+1=0有两个不相等的实数根，那么〃？的取值范围是.14.在△ABC中，。
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷-解析版
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分） 1. 2020的相反数是( )A. 2020B. −2020C. 12020 D. −12020 2. 下列计算中，正确的是( )A. a 2⋅a 4=a 8B. (a 3)4=a 7C. (ab)4=ab 4D. a 6÷a 3=a 33. 若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是( )A. ∠1=2∠2B. ∠1=3∠2C. ∠1+∠2=180°D. ∠1+2∠2=180°4. 已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是( )A. 0<d <3B. 0<d <7C. 3<d <7D. 0≤d <3 5. 如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是( )A. asin36∘B. acos36∘C. a2sin18∘D. a2cos18∘6. 已知在四边形ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是( )A. AD =BC ，AC =BDB. AC =BD ，∠BAD =∠BCDC. AO =CO ，AB =BCD. AO =OB ，AC =BD二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 7. 分解因式：2mx −6my = ______ ．8. 函数y =√x−1中自变量x 的取值范围是______．9. 从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是______．10. 一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是______． 11. 不等式组{−2x +1<0x −2≤1的解集是______．12. 方程√x +2=x 的根是______．13. 已知关于x 的一元二次方程mx 2−2x +1=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是______．14. 在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE//BC ，DE 经过△ABC 的重心，如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 表示) 15. 如图，已知在5×5的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C 到线段AB 所在直线的距离是______．16. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，反比例函数y =kx 的图象经过△OAB 的顶点B 和边AB 的中点C ，如果△OAB 的面积为6，那么k17. 定义：对于函数y =f(x)，如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n −m =k(b −a)(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”.如：正比例函数y =−3x ，当1≤x ≤3时，−9≤y ≤−3，则−3−(−9)=k(3−1)，求得k =3，所以函数y =−3x 为“3级函数”.如果一次函数y =2x −1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，那么k 的值是______． 18. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AB =10，BC =15，tan∠A =43，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 先化简，再求值：(1a+2+2a−2)÷3a+2a 2+2a ，其中a =√5+1．20. 解方程组：{x +2y =12 x 2−3xy +2y 2=0 ．21. 如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB(弧所对的弦的长)为8米，拱高CD(弧的中点到弦的距离)为2米．(1)求桥拱所在圆的半径长；(2)如果水面AB 上升到EF 时，从点E 测得桥顶D 的仰角为α，且cotα=3，求水面上升的高度．22.某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试(全国卷)》试卷(满分100分)，社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩(单位：分)进行整理、分析，过程如下：收集数据85659510090958565758510090709010080801009575801008095651009095858010075整理数据(每组数据可含最低值，不含最高值)分组(分)频数频率60～7040.170～80a b80～90100.2590～100c d100～11080.2分析数据(1)填空：a=______，b=______，c=______，d=______；(2)补全频率分布直方图；(3)由此估计该社区居民在线答卷成绩在______(分)范围内的人数最多；(4)如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为______人．23.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON=OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．(1)如果EN//BD，求证：四边形DMNE是菱形；(2)如果EN⊥DC，求证：AN2=NC⋅AC．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−3,0)和点B(3,2)，与y轴相交于点C．(1)求这条抛物线的表达式；(2)点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；(3)在(2)小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．25.如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，点P是射线AC上一点(不与点A、C重合)，过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M 与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ=2CP，联结NQ．(1)如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；(2)如果点P在线段AC上，设线段AP=x，线段NQ=y，求y关于x的函数解析式及定义域；(3)如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：2020的相反数是：−2020．故选：B．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：A、a2⋅a4=a6≠a8，本选项错误；B、(a3)4=a12≠a7，本选项错误；C、(ab)4=a4b4≠ab4，本选项错误；D、a6÷a3=a3，本选项正确．故选：D．结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法的概念和运算法则进行求解即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．3.【答案】A【解析】解：如图，由折叠可得，∠2=∠ABC，∵AB//CD，∴∠1=∠ABD=2∠2，故选：A．由折叠可得，∠2=∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ABD=2∠2．本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：由题意知，两圆内含，则0≤d<5−2，即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d<3，故选：D．本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d>R+r；②外切，则d=R+r；③相交，则R−r<d<R+r；④内切，则d=R−r；⑤内含，则d<R−r．5.【答案】C【解析】解：设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，=36°，则∠AOB=360°10∴OA=ACsin∠AOC =a2sin18∘，故选：C．设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论．本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：A、AB//DC，AD=BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB//CD，∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO=CO，AB=BC，∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD，∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=CD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO=OB，AC=BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．7.【答案】2m(x−3y)【解析】【分析】此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式即可得到结果．【解答】解：原式=2m(x−3y)．故答案为2m(x−3y)．8.【答案】x>1【解析】解：根据题意得：x−1>0，解得：x>1．故答案为：x>1．本题考查了函数自变量的取值范围．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9.【答案】47【解析】解：∵1，2，3，4，5，6，7这7个数有4个素数是2，3，5，7； ∴抽到素数的概率是47． 故答案为：47．根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．本题考查的是概率公式．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=mn ；找到素数的个数为易错点．10.【答案】145【解析】解：∵x −=15(2+2+5+5+6)=4，∴S 2=15[(4−2)2+(4−2)2+(4−5)2+(4−5)2+(4−6)2]=145，故答案为：145．先求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算得出答案． 本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．11.【答案】12<x ≤3【解析】解：{−2x +1<0 ①x −2≤1 ②，解不等式①，得x >12； 解不等式②，得x ≤3；所以原不等式组的解集为：12<x ≤3， 故答案为：12<x ≤3．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 12.【答案】x =2【解析】解：方程两边平方得，x +2=x 2， 解方程x 2−x −2=0得x 1=2，x 2=−1， 经检验x 2=−1是原方程的增根，先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x +2=x 2，解此一元二次方程得到x 1=2，x 2=−1，把它们分别代入原方程得到x 2=−1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x =2．本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号． 13.【答案】m <1且m ≠0【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△>0，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程mx 2−2x +1=0有两个不相等的实数根， ∴{m ≠0△=(−2)2−4m >0， 解得：m <1且m ≠0． 故答案为：m <1且m ≠0． 14.【答案】23n⃗ −23m ⃗⃗⃗【解析】解：如图设G 是重心，作中线AF ．∵DE//BC ，∴AD ：AB =AG ：AF =DE ：BC =2：3， ∴DE =23BC ，∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ −m ⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(n ⃗ −m ⃗⃗⃗ )=23n ⃗ −23m ⃗⃗⃗故答案为：23n ⃗ −23m ⃗⃗⃗ ． 由DE//BC 推出AD ：AB =AG ：AF =DE ：BC =2：3，推出DE =23BC ，求出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题．本题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】35√5∴AD =√42+22=2√5，AC =√32+32=3√2，CD =√12+12=√2， ∵(2√5)2=(3√2)2+(√2)2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD =90°， ∴AC⋅CD 2=AD⋅CE 2，即3√2×√22=2√5×CE2， 解得，CE =3√55， 即点C 到线段AB 所在直线的距离是3√55， 故答案为：3√55． 根据题意，作出合适的辅助线，然后根据每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC 、CD 、AD 的长，然后即可得到△ACD 的形状，再利用等积法，即可求得CE 的长．本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16.【答案】4【解析】解：过B 作BD ⊥OA 于D ， ∵点B 在反比例函数y =kx 的图象上， ∴设B(m,n)，∵△OAB 的面积为6， ∴OA =12n，∴A(12n ,0)，∵点C 是AB 的中点， ∴C(mn+122n,n 2)， ∵点C 在反比例函数y =kx 的图象上， ∴mn+122n⋅n 2=mn ，∴mn =4， ∴k =4，故答案为：4．过B 作BD ⊥OA 于D ，设B(m,n)，根据三角形的面积公式得到OA =12n，求得A(12n ,0)，求得C(mn+122n,n 2)，列方程即可得到结论．本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键． 17.【答案】2故答案为：2．根据一次函数y=2x−1(1≤x≤5)为“k级函数”解答即可．本题考查一次函数的性质；理解题意得出k的值是解题的关键．18.【答案】6或10【解析】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F.设PE=x．在Rt△AEB中，∵tanA=BEAE =43，AB=10，∴BE=8，AE=6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ=90°，∴∠EBP+∠BPE=∠BPE+∠FPQ=90°，∴∠EBP=∠FPQ，∵PB=PQ，∠PEB=∠PFQ=90°，∴△PBE≌△QPF(AAS)，∴PE=QF=x，EB=PF=8，∴DF=AE+PE+PF−AD=x−1，∵CD//AB，∴∠FDQ=∠A，∴tan∠FDQ=tanA=43=FQDF，∴xx−1=43，∴x=4，∴PE=4，∴ap=6+4=10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ=90°，∴∠APB=∠BPQ=90°，在Rt△APB中，∵tanA=APBP =43，AB=10，∴AP=6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F.则四边形BEPF 是矩形．在Rt△AEB中，∵tanA=BEAE =43，AB=10，∴BE=8，AE=6，∴PF=BE=8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF=BF=FQ=8，∴PB=PQ=8√2，BQ=√2PB=16>15(不合题意舍去)，综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．PF ⊥BC 于F.则四边形BEPF 是矩形，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质、锐角三角函数、勾股定理、解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．19.【答案】解：原式=a−2+2(a+2)(a+2)(a−2)⋅a(a+2)3a+2 =aa−2．当a =√5+1 时，原式=√5+1√5+1−2 =3+√52．【解析】先化简分式，然后将中a =√5+1代入求值．本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式、化简二次根式是解题的关键． 20.【答案】解：由(2)得(x −y)(x −2y)=0．∴x −y =0或x −2y =0．原方程组可化为{x +2y =12 x −y =0 {x +2y =12 x −2y =0 解这两个方程组，得原方程组的解为{x 1=4 y 1=4 {x 2=6 y 2=3 另解：由(1)得x =12−2y(3)把(3)代入(2)，得(12−2y)2−3(12−2y)y +2y 2=0．整理，得y 2−7y +12=0．解得y 1=4，y 2=3．分别代入(3)，得x 1=4，x 2=6．∴原方程组的解为{x 1=4 y 1=4 {x 2=6 y 2=3 【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程，即可组成方程组，即可求解．本题主要考查了高次方程组的解法，解决的基本思想是降次．21.【答案】解：(1)∵点D 是AB⏜的中点，DC ⊥AB ， ∴AC =BC ，DC 经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB 所在圆的圆心为O ，∵AB =8，∴AC =BC =4，联结OA ，设半径OA =OD =R ，OC =OD −DC =R −2，∵OD ⊥AB ，∴∠ACO =90°，在Rt △ACO 中，∵OA 2=AC 2+OC 2，∴R 2=(R −2)2+42，解之得R =5．答：桥拱所在圆的半径长为5米．(2)设OD 与EF 相交于点G ，联结OE ，∵EF//AB ，OD ⊥AB ，∴OD⊥EF，∴∠EGD=∠EGO=90°，=3，在Rt△EGD中，cotα=EGDG∴EG=3DG，设水面上升的高度为x米，即CG=x，则DG=2−x，∴EG=6−3x，在Rt△EGO中，∵EG2+OG2=OE2，∴(6−3x)2+(3+x)2=52，化简得x2−3x+2=0，解得x1=2(舍去)，x2=1，答：水面上升的高度为1米．【解析】(1)联结OA，设半径OA=OD=R，OC=OD−DC=R−2，在Rt△ACO中，利用勾股定理构建方程求解即可．(2)设水面上升的高度为x米，即CG=x，则DG=2−x，EG=6−3x，在Rt△EGO中，根据EG2+OG2=OE2，构建方程求解即可．本题考查解直角三角形，垂径定理，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】6 0.1512 0.390～100400【解析】解：(1)由题意可知：第二组的频数a=6，第四组的频数c=12，∴第二组的频率为：6÷40=0.15，第四组的频率为：12÷40=0.3．故答案为：6，0.15，12，0.3；(2)如下图即为补全的频率分布直方图；(3)由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100(分)范围内的人数最多．故答案为：90～100；(4)800×(0.3+0.2)=400(人)．答：如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．故答案为：400．(1)根据题中数据即可求得a、c的值，再根据频率=频数÷数据总数列式计算，即可求得b、d的值；(2)根据(1)中计算结果即可补全频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图可知第四组人数最多，利用样本估总体求解即可；(4)利用样本估总体，用800乘以样本中成绩在90分及以上的频率即可．本题考查了频数(率)分布直方图、统计表、用样本估计总体，解决本题的关键是利用统计图表获取信息．23.【答案】证明：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，∵ON=OM，∴ONOC =OMOD，∴MN//CD，又∵EN//BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM=∠DON=90°，OA=OD，OM=ON，∴△AOM≌△DON(SAS)，∴∠OMA=∠OND，∵∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OAM+∠OND=90°∴∠AHN=90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；(2)如图2，∵MN//CD，∴ANNC =AMME，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//DC，AB=DC，∠ADC=90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN//AD，∴ACAN =DCDE，∵AB//DC，∴AMME =ABDE，∴ANNC =ACAN，∴AN2=NC⋅AC．【解析】(1)由四边形ABCD是正方形，推出ONOC =OMOD，所以MN//CD，再根据EN//BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；(2)由MN//CD，推出ANNC =AMME，由四边形ABCD是正方形，推出AB//DC，AB=DC，∠ADC =90°，即AD ⊥DC ，根据EN ⊥DC ，得出EN//AD ，所以AC AN =DC DE ，根据AB//DC ，推出AM ME =AB DE ，所以AN NC =AC AN ，最后得出结论．本题考查了正方形与菱形，熟练运用正方形和菱形的性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4过点A(−3,0)和点B(3,2)，∴{9a −3b +4=09a +3b +4=2， 解得{a =−13b =13， ∴y =−13x 2+13x +4； (2)如图1，连接AC ，DH ，∵点C 关于直线AP 的对称点D ，∴AD =AC ，∵y =−13x 2+13x +4与y 轴交于点C(0,4)，与x 轴交于点A(−3,0)， ∴AC =5，∴AD =5，∴点D(2,0)，设直线AP 与y 轴交于点H ，则HC =HD ，设OH =a ，则HC =HD =4−a ，在Rt △HOD 中，HD 2=OH 2+OD 2，∴(4−a)2=a 2+22，∴a =32， ∴直线AP 的截距为32；(3)∵点E 是y 轴正半轴上一点，∴△AOE 是直角三角形，且∠AOE =90°当△EAO 与△EAF 全等时，存在两种情况：①如图2，当∠EFA =∠AOE =90°，△EFA≌△AOE ，∴EF =OA ，∵∠AHO =∠EHF ，∠AOH =∠EFH =90°，∴△AOH≌△EFH(AAS)，∴AH =EH ，由(2)知：OH =32， ∴EH =AH =OE −32，Rt △AHO 中，AH 2=AO 2+OH 2，∴(OE −32)2=32+(32)2，解得：OE =3+3√52或3−3√52(舍)， ∴点E 的纵坐标是3+3√52； ②如图3，当∠EFA =∠AOE =90°，△EFA≌△EOA ，∴AF =AO =3，EF =OE ，Rt △AHO 中，AH =√32+(32)2=3√52， ∴FH =3√52−3，EH =32−OE ， Rt △EFH 中，由勾股定理得：EH 2=FH 2+EF 2，∴(32−OE)2=(3√52−3)2+OE 2，解得：OE =3√5−6，∴点E 的纵坐标是3√5−6；综上，点E的纵坐标是3+3√52或3√5−6．【解析】(1)把A(−3,0)和点B(3,2)代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；(2)如图1，根据对称的性质得AD=AC=5，可得OD=2，设OH=a，则HC=HD= 4−a，在Rt△HOD中，根据勾股定理得HD2=OH2+OD2，列方程可得结论；(3)分两种情况：先说明△AOE是直角三角形，所以△EAF也是直角三角形，根据∠EFA= 90°，画图，由勾股定理列方程可解答．本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，对称的性质：对称轴是对称点连接的垂直平分线，三角形全等的性质和判定，当三角形全等不确定边的对应关系时，先确定三角形的特殊性，如直角三角形或等腰三角形等条件，再进一步分情况讨论．25.【答案】(1)解：如图1，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=8，∴AB=√42+82=4√5，设⊙M的半径长为R，则BM=4√5−R，过M作MH⊥BC，垂足为点H，∴MH//AC，∵MH//AC，∴△BHM∽△BCA，∴MBAB =MHAC，∵⊙M与直线BC相切，∴MA=MH，∴√5−R4√5=R4，∴R=5−√5，即⊙M的半径长为5−√5．(2)如图2，∵AP=x，∴CP=4−x，∵CQ=2CP，∴CQ=8−2x，∴BQ=BC−CQ=8−(8−2x)=2x，过Q作QG⊥AB，垂足为点G，∵cosB=BGBQ =BCAB，∴BG2x =4√5，∴BG=4√55x，同理：QG=2√55x，∵PM⊥AB，∴∠AMP=90°，∴cosA=AMAP =ACAB=√55，∵AP =x ，∴MA =√55x ，AN =2√55x ∴NG =4√5−6√55x ， 在Rt △QNG 中，根据勾股定理得，QN 2=NG 2+QG 2，∴y 2=(4√5−65√5x)2+(25√5x)2， ∴y =2√2x 2−12x +20(0<x <4)；(3)当点P 在线段AC 上，如图3，设以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的另一个交点为点E ，连接EN ，MO ，则MO ⊥EN ，∴∠NMO +∠ANE =90°，∵以NQ 为直径的⊙O 与⊙M 的公共弦所在直线恰好经过点P ，即P 、E 、N 在同一直线上，又∵PM ⊥AB ，MA =MN ，∴PN =PA ，∴∠PAN =∠ANE ，∵∠ACB =90°，∴∠PAN +∠B =90°，∴∠NMO =∠B ，连接AQ ，∵M 、O 分别是线段AN 、NQ 的中点，∴MO//AQ∴∠NMO =∠BAQ ，∴∠BAQ =∠B ，∴QA =QB ，在Rt △QAC 中，根据勾股定理得，QA 2=AC 2+QC 2，∴(2x)2=42+(8−2x)2，∴x =52，同理：当点P 在线段AC 的延长线上，x =112，即线段AP 的长为52或112．【解析】(1)先利用勾股定理求出AB ，进而表示出BM ，再判断出△BHM∽△BCA ，即可得出结论；(2)先表示出BQ =2x ，过Q 作QG ⊥AB ，垂足为点G ，再用三角函数表示出BG =4√55x ，QG =2√55x ，再用三角函数表示出MA =√55x ，AN =2√55x ，进而得出NG =4√5−6√55x ，最后用勾股定理建立方程，即可得出结论；(3)先判断出P 、E 、N 在同一直线上，再要判断出∠PAN =∠ANE 和∠NMO =∠B ，进而判断出QA=QB，最后用勾股定理即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，利用勾股定理建立方程是解本题的关键．。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷1.已知，则______.2.函数的反函数为______.3.若直线：与：垂直，则实数______.4.已知是虚数单位是实系数一元二次方程的根，则______.5.已知，，则行列式的值等于______.6.已知，，则__________.7.在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于______.8.已知实数x，y满足则的最大值为______.9.若的二项展开式中各项系数的和等于64，则其中的系数是______.10.三阶矩阵中有9个不同的数；，2，，从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是______结果用分数表示11.已知抛物线，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x 轴的对称点为，点P关于直线的对称点为，且满足，则直线l的方程为______. 12.若函数在区间内既没有取到最大值1，也没有取到最小值，则m的取值范围为______13.设，，则“且”是“且”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.数列为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为( )A. B. C. D.15.椭圆C：的左、右顶点分别为、，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是( )A. B. C. D.16.定义域为的函数图象的两个端点为，，是图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点点M与点N可以重合，我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为上的函数中，曲径最小的是( )A. B. C. D.17.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且，取劣弧BC上一点E，使，连结已知，求该圆锥的体积；求异面直线PE、BD所成角的大小．18.已知函数，其中若不等式的解集是，求m的值；若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围．19.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？20.已知椭圆C：，过定点的直线交椭圆于P，Q两点，其中若椭圆短轴长为且经过点，求椭圆方程；对中的椭圆，若，求面积的最大值；在x轴上是否存在点使得恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由．21.已知a为实数，数列满足：①；②若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列．当时，求的值；求证：存在正整数n，使得；设是数列的前n项和，是否存在实数a满足：①数列为周期数列；②存在正奇数k，使得若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】【解析】解：，则，故答案为：利用向量的模长公式求解．本题主要考查了向量的模长公式，属于基础题．2.【答案】【解析】解：由解得，即，把x与y互换可得：的反函数为故答案为：由解得，把x与y互换即可得出．本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】6【解析】解：直线：与：垂直，即为，解得，故答案为：根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，解方程求得m的值．本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于0，属于基础题．4.【答案】1【解析】解：是虚数单位是实系数一元二次方程的根，也是实系数一元二次方程的根，，解得，，故答案为：根据已知条件，结合实系数一元二次方程两根互为共轭复数，即可求解．本题主要考查实系数一元二次方程两根互为共轭复数，属于基础题．5.【答案】【解析】解：，，，，故答案为：由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而可求的值，再计算行列式的值即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了行列式的计算，属于基础题．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：集合A中不等式，当时，解得：，此时；当时，解得：，无解，，集合B中不等式变形得：，即，解得：，即，则，故答案为7.【答案】38【解析】解：位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，，解得：，，则他们成绩的方差等于38，故答案为：根据披平均成绩求出a的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．本题考查了平均数和方差的定义，是一道基础题．8.【答案】7【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，令，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：由约束条件作出可行域，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得的最大值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．9.【答案】15【解析】解：令，则展开式中各项系数的和为：，解得的展开式的通项公式，令，解得展开式中的系数为：故答案为：令，展开式中各项系数的和，解得再利用二项式定理的通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：从9个数中任取3个数共有种取法，取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有种方法，则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有种方法，第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，共有种方法三个数分别位于三行或三列的情况有6种；所求的概率为，故答案为：利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．11.【答案】【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，设直线l的方程为：，设交点，，则由题意可得，，所以，又因为，可得，联立，整理可得：，，且，，可得，解得：满足，则直线l的方程：，故答案为：设P，Q的坐标，由题意可得，的坐标，设直线l的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和，求出直线的斜率，将两根之和代入，由题意可得k的方程，求出k的值．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．12.【答案】【解析】解：函数在区间内既没有取到最大值1，也没有取到最小值，可得：或，解得故答案为：利用函数的周期与余弦函数的单调性，列出不等式组，求解即可．本题考查三角函数的最值以及函数的周期的综合应用，是难题．13.【答案】B【解析】解：令，，满足且，但，故充分性不成立，当且时，根据不等式的性质可得，且，故必要性成立，故“且”是“且”的必要不充分条件．故选：根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：由题意得，所以，即，整理得，所以，，则故选：由已知结合等差数列的性质及对数的运算性质可求．本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于基础题．15.【答案】B【解析】【分析】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．由椭圆C：可知其左顶点，右顶点设，代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点，右顶点设，则，得，，，，，解得故选：16.【答案】C【解析】【分析】本题以新定义--函数的曲径为载体，考查了函数的图象，函数的最值，属于中档题．根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．【解答】解：当时，端点，，直线AB的方程为，故，当时，的最大值为，即该函数的“曲径”为，当时，端点，，直线AB的方程为，故，当时，的最大值为，即该函数的“曲径”为，当时，端点，，直线AB的方程为，故，当时，的最大值为，即该函数的“曲径”为，当时，端点，，直线AB的方程为，故，当时，的最大值为，即该函数的“曲径”为，故函数的曲径最小，故选：17.【答案】解：由勾股定理可知：，所以圆锥的体积为：；过E做，所以是异面直线PE、BD所成的角或其补角，因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：由余弦定理可知：，所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为【解析】利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可；根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可．本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：的解集是，得到的解集是，所以，所以令，因为，所以当时，，即有，因为函数在区间0，上有且仅有一个零点，令根据对勾函数的性质，可得因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为：【解析】根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可，，可得，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围．本题考查函数的零点及不等式的解法，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，，，，，，设，则，，，，，，即时，，此时A在弧MN的四等分点处．【解析】作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；设，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，比较基础．20.【答案】解：由题意得，得，椭圆方程为，点在椭圆上，，得，椭圆方程为；由题意设直线PQ为，设，，由，得，，，，，当且仅当，即时取等号，面积的最大值为；由题意设直线PQ 为，设，，由，得，，，，若，则，，，，即，，，即，得，轴上是存在点使得恒成立，此时【解析】由题意可得，求出，再将点的坐标代入椭圆方程中可求出，从而可求得椭圆方程；由题意设直线PQ 为，设，，将代入椭圆方程中消去x ，利用根与系数的关系，表示出的面积，化简可求得其最大值；由题意设直线PQ 为，设，，将直线方程代入椭圆方程中消去x ，利用根与系数的关系，由，得，，化简即可得结果．本题考查了椭圆的方程与性质，直线与椭圆的综合，属于难题．21.【答案】解：当时，，，，，所以；证明：当时，，所以在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以a为首项，为公差的递减的等差数列，即，所以当n足够大时，总可以找到n，使，当时，则存在，使得，当时，则存在，使得，综上所述存在正整数n，使得解：当时，，，，，故此时数列是以2为周期的周期数列，当时，则，由得，存在正整数n，使得，因此此时不存在，所以此时数列不是周期数列，所以当时，数列是以2为周期的周期数列，，，所以，又因为，所以，所以，所以存在，使得【解析】根据题意分别求出，，，，即可得解；当时，可知在数列中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列是以a为首项，为公差的递减的等差数列，写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使，当，易证得；分和两种情况讨论，结合可得当时，不合题意，再根据当时，数列的周期性，即可得出结论．本题考查等差数列、数列的周期性、数列的递推关系式，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．。
2020年上海市杨浦区中考数学二模测试试卷 (解析版)
2020年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．2．下列计算中，正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a3）4＝a7C．（ab）4＝ab4D．a6÷a3＝a33．若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7D．0≤d＜35．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．分解因式：2mx﹣6my＝．8．函数中自变量x的取值范围是．9．从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是．10．一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是．11．不等式组的解集是．12．方程＝x的根是．13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．14．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC的重心，如果＝，＝，那么＝．（用、表示）15．如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是．17．定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是．18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．20．解方程组：．21．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．22．某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 9585 80 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分组（分）频数频率60～7040.170～80a b80～90100.2590～100c d100～11080.2分析数据（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在（分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为人．23．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE 交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M 与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；（2）如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．2．下列计算中，正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a3）4＝a7C．（ab）4＝ab4D．a6÷a3＝a3【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法的概念和运算法则进行求解即可．解：A、a2•a4＝a6≠a8，本选项错误；B、（a3）4＝a12≠a7，本选项错误；C、（ab）4＝a4b4≠ab4，本选项错误；D、a6÷a3＝a3，本选项正确．故选：D．3．若将一个长方形纸条折成如图的形状，则图中∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1＝2∠2B．∠1＝3∠2C．∠1+∠2＝180°D．∠1+2∠2＝180°【分析】由折叠可得，∠2＝∠ABC，再根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ABD＝2∠2．解：如图，由折叠可得，∠2＝∠ABC，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ABD＝2∠2，故选：A．4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是（）A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7D．0≤d＜3【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．解：由题意知，两圆内含，则0≤d＜5﹣2，即如果这两圆内含，那么圆心距d的取值范围是0≤d＜3，故选：D．5．如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A．B．C．D．【分析】设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论．解：设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，则∠AOB＝＝36°，∴＝18°，AC＝AB＝，∴OA＝＝，故选：C．6．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．分解因式：2mx﹣6my＝2m（x﹣3y）．【分析】原式提取公因式即可得到结果．解：原式＝2m（x﹣3y）．故答案为：2m（x﹣3y）．8．函数中自变量x的取值范围是x＞1．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解：根据题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．9．从1，2，3，4，5，6，7，这七个数中，任意抽取一个数，那么抽到素数的概率是．【分析】根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．解：∵1，2，3，4，5，6，7这7个数有4个素数是2，3，5，7；∴抽到素数的概率是．故答案为：．10．一组数据：2，2，5，5，6，那么这组数据的方差是．【分析】先求出这组数据的平均数，然后根据方差公式计算得出答案．解：∵＝（2+2+5+5+6）＝4，∴S2＝[（4﹣2）2+（4﹣2）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣6）2]＝，故答案为：．11．不等式组的解集是．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：，解不等式①，得x；解不等式②，得x≤3；所以原不等式组的解集为：，故答案为：．12．方程＝x的根是x＝2．【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．解：方程两边平方得，x+2＝x2，解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，经检验x2＝﹣1是原方程的增根，所以原方程的根为x＝2．故答案为：x＝2．13．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m＜1且m≠0．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：m＜1且m≠0．故答案为：m＜1且m≠0．14．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC的重心，如果＝，＝，那么＝．（用、表示）【分析】由DE∥BC推出AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，推出DE＝BC，求出即可解决问题．解：如图设G是重心，作中线AF．∵DE∥BC，∴AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，∴DE＝BC，∵＝+，∴＝﹣，∴＝（﹣）＝﹣故答案为：﹣．15．如图，已知在5×5的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，如果小正方形的边长都为1，那么点C到线段AB所在直线的距离是．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据每个小正方形的边长为1，利用勾股定理，可以得到AC、CD、AD的长，然后即可得到△ACD的形状，再利用等积法，即可求得CE的长．解：连接AD、AC，作CE⊥AD于点E，∵小正方形的边长都为1，∴AD＝＝2，AC＝＝3，CD＝＝，∵（2）2＝（3）2+（）2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴，即，解得，CE＝，即点C到线段AB所在直线的距离是，故答案为：．16．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是4．【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（m，n），根据三角形的面积公式得到OA＝，求得A（，0），求得C（，），列方程即可得到结论．解：过B作BD⊥OA于D，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴设B（m，n），∵△OAB的面积为6，∴OA＝，∴A（，0），∵点C是AB的中点，∴C（，），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴•＝mn，∴mn＝4，∴k＝4，故答案为：4．17．定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，那么k的值是2．【分析】根据一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”解答即可．解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．18．如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是6或10．【分析】如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．如图2，当点Q落在AD上时，如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论．解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴ap＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF 是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．三.解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．【分析】先化简分式，然后将中a＝+1代入求值．解：原式＝＝．当时，原式＝＝．20．解方程组：．【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程，即可组成方程组，即可求解．解：由（2）得（x﹣y）（x﹣2y）＝0．∴x﹣y＝0或x﹣2y＝0．原方程组可化为解这两个方程组，得原方程组的解为另解：由（1）得x＝12﹣2y．（3）把（3）代入（2），得（12﹣2y）2﹣3（12﹣2y）y+2y2＝0．整理，得y2﹣7y+12＝0．解得y1＝4，y2＝3．分别代入（3），得x1＝4，x2＝6．（1分）∴原方程组的解为（1分）21．如图，有一拱桥的桥拱是圆弧形，已知桥拱的水面跨度AB（弧所对的弦的长）为8米，拱高CD（弧的中点到弦的距离）为2米．（1）求桥拱所在圆的半径长；（2）如果水面AB上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为α，且cotα＝3，求水面上升的高度．【分析】（1）联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，在Rt△ACO中，利用勾股定理构建方程求解即可．（2）设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，EG＝6﹣3x，在Rt△EGO 中，根据EG2+OG2＝OE2，构建方程求解即可．解：（1）∵，DC⊥AB，∴AC＝BC，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，∵AB＝8，∴AC＝BC＝4，联结OA，设半径OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣2，∵OD⊥AB，∴∠ACO＝90°，在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，∴R2＝（R﹣2）2+42，解之得R＝5．答：桥拱所在圆的半径长为5米．（2）设OD与EF相交于点G，联结OE，∵EF∥AB，OD⊥AB，∴OD⊥EF，∴∠EGD＝∠EGO＝90°，在Rt△EGD中，，∴EG＝3DG，设水面上升的高度为x米，即CG＝x，则DG＝2﹣x，∴EG＝6﹣3x，在Rt△EGO中，∵EG2+OG2＝OE2，∴（6﹣3x）2+（3+x）2＝52，化简得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝2（舍去），x2＝1，答：水面上升的高度为1米．22．某社区为了加强居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒肺炎的防护全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从该社区抽取40名居民的答卷，并对他们的成绩（单位：分）进行整理、分析，过程如下：收集数据85 65 95 100 90 95 85 65 75 85 100 90 70 90 100 80 80 100 95 75 80 100 80 95 65 100 90 95 85 80 100 75 60 90 70 80 95 75 100 90整理数据（每组数据可含最低值，不含最高值）分组（分）频数频率60～7040.170～80a b80～90100.2590～100c d100～11080.2分析数据（1）填空：a＝6，b＝0.15，c＝12，d＝0.3；（2）补全频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100（分）范围内的人数最多；（4）如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．【分析】（1）根据题中数据即可求得a、c的值，再根据频率＝频数÷数据总数列式计算，即可求得b、d的值；（2）根据（1）中计算结果即可补全频率分布直方图；（3）根据频率分布直方图可知第四组人数最多，利用样本估总体求解即可；（4）利用样本估总体，用800乘以样本中成绩在90分及以上的频率即可．解：（1）由题意可知：第二组的频数a＝6，第四组的频数c＝12，∴第二组的频率为：6÷40＝0.15，第四组的频率为：12÷40＝0.3．故答案为：6，0.15，12，0.3；（2）如下图即为补全的频率分布直方图；（3）由此估计该社区居民在线答卷成绩在90～100（分）范围内的人数最多．故答案为：90～100；（4）800×（0.3+0.2）＝400（人）．答：如果该社区共有800人参与答卷，那么可估计该社区成绩在90分及以上约为400人．故答案为：400．23．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE 交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA＝∠OND，由∠OAM+∠OMA＝90°，∠OAM+∠OND＝90°得出∠AHN＝90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴，∵AB∥DC，∴，∴，∴AN2＝NC•AC．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0）和点B （3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当△EAO与△EAF全等时，求点E的纵坐标．【分析】（1）把A（﹣3，0）和点B（3，2）代入抛物线的解析式，列方程组，可得结论；（2）如图1，根据对称的性质得AD＝AC＝5，可得OD＝2，设OH＝a，则HC＝HD＝4﹣a，在Rt△HOD中，根据勾股定理得HD2＝OH2+OD2，列方程可得结论；（3）分两种情况：先说明△AOE是直角三角形，所以△EAF也是直角三角形，根据∠EFA＝90°，画图，由勾股定理列方程可解答．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4过点A（﹣3，0）和点B（3，2），∴，解得，∴；（2）如图1，连接AC，DH，∵点C关于直线AP的对称点D，∴AD＝AC，∵与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣3，0），∴AC＝5，∴AD＝5，∴点D（2，0），设直线AP与y轴交于点H，则HC＝HD，设OH＝a，则HC＝HD＝4﹣a，在Rt△HOD中，HD2＝OH2+OD2，∴（4﹣a）2＝a2+22，∴，∴直线AP的截距为；（3）∵点E是y轴正半轴上一点，∴△AOE是直角三角形，且∠AOE＝90°当△EAO与△EAF全等时，存在两种情况：①如图2，当∠EFA＝∠AOE＝90°，△EFA≌△AOE，∴EF＝OA，∵∠AHO＝∠EHF，∠AOH＝∠EFH＝90°，∴△AOH≌△EFH（AAS），∴AH＝EH，由（2）知：OH＝，∴EH＝AH＝OE﹣，Rt△AHO中，AH2＝AO2+OH2，∴（OE﹣）2＝32+，解得：OE＝或（舍），∴点E的纵坐标是；②如图3，当∠EFA＝∠AOE＝90°，△EFA≌△EOA，∴AF＝AO＝3，EF＝OE，Rt△AHO中，AH＝＝，∴FH＝﹣3，EH＝﹣OE，Rt△EFH中，由勾股定理得：EH2＝FH2+EF2，∴（﹣OE）2＝（﹣3）2+OE2，解得：OE＝3﹣6，∴点E的纵坐标是3﹣6；综上，点E的纵坐标是或3﹣6．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PM⊥AB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M 与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ＝2CP，联结NQ．（1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长；（2）如果点P在线段AC上，设线段AP＝x，线段NQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长．【分析】（1）先利用勾股定理求出AB，进而表示出BM，再判断出△BHM∽△BCA，即可得出结论；（2）先表示出BQ＝2x，过Q作QG⊥AB，垂足为点G，再用三角函数表示出，，再用三角函数表示出，，进而得出，最后用勾股定理建立方程，即可得出结论；（3）先判断出P、E、N在同一直线上，再要判断出∠PAN＝∠ANE和∠NMO＝∠B，进而判断出QA＝QB，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，∴，设⊙M的半径长为R，则，过M作MH⊥BC，垂足为点H，∴MH∥AC，∵MH∥AC，∴△BHM∽△BCA，∴，∵⊙M与直线BC相切，∴MA＝MH，∴，∴，即．（2）如图2，∵AP＝x，∴CP＝4﹣x，∵CQ＝2CP，∴CQ＝8﹣2x，∴BQ＝BC﹣CQ＝8﹣（8﹣2x）＝2x，过Q作QG⊥AB，垂足为点G，∵，∴，∴，同理：，∵PM⊥AB，∴∠AMP＝90°，∴，∵AP＝x，∴，∴，在Rt△QNG中，根据勾股定理得，QN2＝NG2+QG2，∴，∴（0＜x＜4）；（3）当点P在线段AC上，如图3，设以NQ为直径的⊙O与⊙M的另一个交点为点E，连接EN，MO，则MO⊥EN，∴∠NMO+∠ANE＝90°，∵以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，即P、E、N在同一直线上，又∵PM⊥AB，MA＝MN，∴PN＝PA，∴∠PAN＝∠ANE，∵∠ACB＝90°，∴∠PAN+∠B＝90°，∴∠NMO＝∠B，连接AQ，∵M、O分别是线段AN、NQ的中点，∴MO∥AQ∴∠NMO＝∠BAQ，∴∠BAQ＝∠B，∴QA＝QB，在Rt△QAC中，根据勾股定理得，QA2＝AC2+QC2，∴（2x）2＝42+（8﹣2x）2，∴，同理：当点P在线段AC的延长线上，，即线段AP的长为或．。
上海市杨浦区2020届高三下学期第二次模拟数学试题及答案
②不存在满足条件的数列，使得其中恰有 550 个 1；
的真假情况为（ ）
A. ①和②都是真命题
B. ①是真命题 ②是假命题
C. ②是真命题，①是假命题
D. ①②都是假命题
三、解答题
17. 如图，线段 OA 和 OB 是以 P 为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点 M 是母线 BP 的中点， 已知 OA=OM=2.
18.（1）8
（2） 6 6
19.（1）当
I1
1, 133
时，使用策略
B
更小；当
I1
=
13 3
时，两种策略一样；当
I1
13 3
, 8
时，使用策略
A
更小 （2）9
20.（1） 3
21.（1） 0 m 2 − 3 或 m 2 + 3
第5页
( ) ( ) ( ) 11. 设 a,b,c 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若 a b : b c : c a = 1:1: 2 ，则 a b 的值为
____________
12. 已知抛物线 1 与 2 的焦点均为点 F(2,1)，准线方程分别为 x = 0 与 5x +12y = 0 ，设两抛物线交于 A、
B 两点，则直线 AB 的方程为____________
二、选择题 13. 不等式 x −1 0 的解集为（ ）
x−2
A. 1, 2
B. 1, 2)
C. (−,12, +)
第1页
D. (−,1) (2, +)
14. 设 z 是复数，则“z 是虚数”是“ z3 是虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件
高中数学数列与不等式(解析版)
数列与不等式在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以数列极限和等差等比数列为主，大题考察位置21题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。
由于三角函数与数列属于解答题第二题或第五题的位置，三角函数考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分。
数列大题属于压轴题难度较高。
对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。
对于不等式主要考察不等式性质和基本不等式和线性规划。
基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。
专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。
请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。
【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。
【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：120分钟）1.（2020•上海卷）已知2230x yyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x=-的最大值为【答案】－12.（2020•上海卷）下列不等式恒成立的是（）A 、222a b ab +≤B 、22-2a b ab +≥C 、2a b ab +≥-D 、2a b ab +≤【答案】B3.（2020•上海卷）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【答案】2784．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O 是正三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 5．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．6．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假． 【详解】充分性：取132z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 7．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ） A ．1 B 5C ．5D ．5【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果 【详解】|z |=5||2i -=5|2i|-5 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题8．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z >B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z ==【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误. 故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 9．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =，解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 10．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知x ∈R ，条件p ：2x x <，条件q ：11x>，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项. 【详解】201x x x <⇔<<，则{}01A x x =<<，1101x x>⇔<<，则{}01B x x =<<，因为A B =， 所以p 是q 的充分必要条件. 故选：C11．（2020·上海市建平中学高三月考）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线22322():16C x y x y =+为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）（1）方程22322()16x y x y +=（0xy <），表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线C 上任一点到坐标原点O 的距离都不超过2； （3）曲线C 构成的四叶玫瑰线面积大于4π；（4）曲线C 上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）； A ．（1）（2） B ．（1）（2）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（1）（3）（4）【答案】A【分析】因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，从而判断（1）．利用基本不等式222x y xy +即可判断（2）；将以O 为圆心、2为半径的圆的面积与曲线C 围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线C 经过点，再将x <y <(1,1)，(1,2)和(2,1)逐一代入曲线C 的方程进行检验即可判断（4）；【详解】对于（1），因为0xy <，所以x 与y 异号，仅限与第二和四象限，即（1）正确．对于（2），因为222(0,0)x yxy x y +>>，所以222x y xy +，所以22222322222()()16164()4x y x y x y x y ++=⨯=+， 所以224x y +，即（2）正确；对于（3），以O 为圆点，2为半径的圆O 的面积为4π，显然曲线C 围成的区域的面积小于圆O 的面积，即（3）错误；对于（4），只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C 的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C 在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C 只经过整点(0,0)，即（4）错误； 故选：A.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题．12．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个【答案】A【分析】首先判断出F 为ABC 的重心，根据重心坐标公式可得2312313,x x x y y y +=-+=-，结合基本不等式可得出()2221232y y y ≤+，结合抛物线的定义化简得出12x ≤，同理得出232,2x x ≤≤，进而得出结果.【详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，先证12x ≤，由0FA FB FC ++=知，F 为ABC 的重心， 又131132(1,0),1,033x x x y y yF ++++∴==，2312313,x x x y y y ∴+=-+=-， ()()222222323232322y y y y y y y y ∴+=++≤+，()2221232y y y ∴≤+， 2223122444y y y ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，()1232x x x ∴≤+，()1123x x ∴≤-12x ∴≤， 同理232,2x x ≤≤， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出F 点为三角形的重心，属于中档题.13．（2020·上海杨浦区·高三二模）不等式102x x -≤-的解集为（ ） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0． 14．（2020·上海市南洋模范中学高三期中）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-D ．a b +≤【答案】B【分析】根据基本不等式即可判断选项A 是否正确，对选项B 化简可得()20a b +≥，由此即可判断B 是否正确；对选项C 、D 通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B. 2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.15．（2020·上海崇明区·高三一模）设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.16．（2020·上海高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()1n n a a n *+<∈N ”是“()11n n S S n n n *+<∈+N ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先证明充分性，由条件1n n a a +<，可得121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，通过变形得到11n n S S n n +<+，再由条件11n n S S n n +<+，列举特殊数列，说明是否成立. 【详解】充分性：若1n n a a +<，则有121n n a a a na +++⋅⋅⋅+<，即()1n n n S n S S +<-，得()11n n n S nS ++<，于是有()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，故充分性成立. 必要性：若()11n n S S n n n *+<∈+N 成立，取数列{}n a 为0,1,1,1,⋅⋅⋅，但推不出()1n n a a n *+<∈N ，故必要性不成立. 故选:A【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前n 项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.17．（2020·上海交大附中高三其他模拟）已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．13B ．12C ．16D ．1【答案】A【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的最小值. 【详解】解：因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a > 知， 10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++，所以13k ≥.则k 的最小值是13. 故选:A【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等.18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知0a b >>，若12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，则（ ）A ．25a =-B ．5a =-C ．25b =-D ．5b =-【答案】D【分析】由0a b >>，可得01ab<<，将原式变形，利用数列极限的性质求解即可 【详解】因为0a b >>，且12lim 25n n n nn a b a b ++→∞-=-，所以01ab<<， 可得12limn n n nn a b a b ++→∞-=-2220lim 25011nn n a a b b b b a b →∞⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5b ∴=-，故选：D.【点睛】本题主要考查数列极限的性质与应用，属于基础题.19．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N∈满足点()1,n n n P a a +()*n N ∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A ．（1）是真命题，（2）是假命题B ．两个都是真命题C ．（1）是假命题，（2）是真命题D ．两个都是假命题【答案】B【分析】根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.【详解】()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B.【点睛】本题考查数列单调性的判断以及数列极限的求解，考查推理能力，属于难题. 二、填空题20．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.21．（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．22．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.23．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.24．（2020·上海高三一模）已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，31,22AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅， 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．25．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案.【详解】()22211sin ,1cos,2ABCS AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()22212AB AC AB AC=⋅-⋅=2113sin cos sin 22624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意.故答案为：34.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．27．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________ 【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.28．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 29．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．30．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.31．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1- 故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.32．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时1x =-1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以144z =-±综上满足条件的所以复数的和为113144442⎛⎛-+-++--=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：32-【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.33．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．34．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i a c i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210bac a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.35．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-.【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.36．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知函数()f x ax b =+(其中,a b ∈R )满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤，则()()2121a b ++的最小值为_________．【答案】9-【分析】根据题意()0f b =，()1f a b =+，可得()0b f =，()()10a f f =-，且()101f -≤≤，()111f -≤≤，所以将()()2121a b ++用()0f 和()1f 表示，即可求最值. 【详解】因为()f x ax b =+，对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤， 所以()0f b =，()1f a b =+，即()0b f =，()()10a f f =-，所以()()()()()()()21214214100211a b ab a b f f f f ++=+++=-⨯++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2224040111211f f f f f f =-+-+++()()()()()22212011120f f f f f =--++≥--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，当()11f =-，()01f =时()()2120f f -⎡⎤⎣⎦最大为9， 此时()()2120f f --⎡⎤⎣⎦最小为9-， 所以()()2121a b ++的最小值为9-， 故答案为：9-【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据[]0,1x ∈，有()1f x ≤，可知()101f -≤≤，()111f -≤≤，由()0f b =，()1f a b =+可得()0b f =，()()10a f f =-，所以()()2121a b ++可以用()0f 和()1f 表示，再配方，根据平方数的性质求最值. 37．（2020·上海高三其他模拟）设全集U ＝R ，若A ＝{x |21x x-＞1}，则∁U A ＝_____． 【答案】{x |0≤x ≤1}【分析】先解得不等式,再根据补集的定义求解即可 【详解】全集U ＝R ,若A ＝{x |21x x-＞1}, 所以211x x -＞,整理得10x x-＞,解得x ＞1或x ＜0, 所以∁U A ＝{x |0≤x ≤1} 故答案为：{x |0≤x ≤1}【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义38．（2020·上海市建平中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|(|||2|4)(|2|||4)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为________【答案】323【分析】利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．【详解】解：(||2||4)(2||||4)0x y x y +-+-对应的区域关于原点对称，x 轴对称，y 轴对称，∴只要作出在第一象限的区域即可．当0x ，0y 时，不等式等价为(24)(24)0x y x y +-+-，即240240x y x y +-⎧⎨+-⎩或240240x y x y +-⎧⎨+-⎩，在第一象限内对应的图象为， 则(2,0)A ，(4,0)B ，由240240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得4343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即44(,)33C ，则三角形ABC 的面积1442233S =⨯⨯=，则在第一象限的面积48233S =⨯=，则点集K 对应的区域总面积832433S =⨯=．故答案为：323．【点睛】本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，属于中档题．39．（2020·上海高三其他模拟）已知()22log 2log a b ab +=4a b +的最小值是______．【答案】9【分析】根据对数相等得到111b a +=，利用基本不等式求解()114a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值得到所求结果. 【详解】因为22222log log log ab abab ==，所以()22l og og l a b ab +=，所以a b ab +=，所以111a b+=， ()1144414a ba b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭，由题意知0ab >，则0a b >，40b a >，则441459a b a b b a +=+++≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时取等号，故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到111b a+=的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题.40．（2020·上海高三二模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值为________．【答案】3+【分析】先把11x y+转化为11112(2)()3y x x y x y x y x y +=++=++，然后利用基本不等式可求出最小值 【详解】解：∵21x y +=，0,0x y >>，∴11112(2)()33y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=，即x =时，取“=”)． 又∵21x y +=，∴11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴当1x =，12y =-时，11x y +有最小值，为3+．故答案为：3+【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，利用1的代换，属于基础题.41．（2020·上海高三月考）已知实数x 、y 满足条件01x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______. 【答案】2【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.42．（2020·上海高三其他模拟）若()211,1nn N n x *⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭的展开式中的系数为n a ，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=____________． 【答案】2试题分析：由二项式定理知4x -的系数是2(1)2n n n n a C -==，12112()(1)1n a n n n n ==---，所以 231111lim()lim[2(1)]2n n n a a a n→∞→∞+++=-=.考点：二项式定理，裂项相消求和，数列极限.43．（2020·上海高三其他模拟）设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项之积为n T ，且1n n S T +=，则lim n n S →∞=______． 【答案】1【分析】令1n =可得11112a S T ===，利用n T 的定义，1(2)n n n T S n T -=≥，可得n T 的递推关系，从而得1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出n T 后可得n S ，从而可得lim n n S →∞．【详解】111T a S ==，∴121a =，112a =，即1112S T ==，1(2)n n n T S n T -=≥，∴11n n n T T T -+=，∴1111n n T T --=，即{}n T 是以2为首项，1为公差的等差数列， 故1211n n n T =+-=+，11n T n =+，1n n S n =+，112S =也符合此式，所以1n n S n =+， 所以lim limlim lim +1111111n n n n n n n S n n n →∞→∞→∞→∞-⎛⎫==-= ⎪++⎝⎭=，故答案为：1.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题中注意数列的和、数列的积与项的关系，进行相应的转化． 如对积n T 有1(2)nn n T S n T -=≥，对和n S 有1(2)n n n a S S n -=-≥，另外这种关系中常常不包括1n =的情形，需讨论以确定是否一致，属于较难题．三、解答题44．（2020·上海徐汇区·高三一模）设()x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-． （1）解方程(1)3x μ-=；（2）设()(())f x x x μμ=⋅，*n N ∈，试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域；若()f x 在区间(0,]n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数； （3）设实数0a >，()()2x g x x a xμ=+⋅-，2sin 2()57x h x x x π+=-+，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，求实数a 的取值范围．【答案】（1）34x <≤；（2）当(]0,1x ∈时，值域为{}1；当(]1,2x ∈时，值域为{}3,4；当(]2,3x ∈时，值域为{}7,8,9；(1)2n n +个；（3）(3,)+∞． 【分析】（1）根据()x μ的定义，列式解不等式；（2）根据定义分别列举()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域，和(1,]x n n ∈-时函数的值域，最后利用等差数列求和；（3）分别求两个函数的值域，并转化为()()max g x f x >，利用参变分离求实数a 的取值范围. 【详解】【解】（1）由题意得：213x <-≤，解得：34x <≤． （2）当(]0,1x ∈时，(]()1,()0,1x x x x μμ=⋅=∈，于是(())1x x μμ⋅=，值域为{}1当(]1,2x ∈时，(]()2,()22,4x x x x μμ=⋅=∈，于是(())3x x μμ⋅=或4，值域为{}3,4 当(]2,3x ∈时，(]()3,()36,9x x x x μμ=⋅=∈，于是(())7x x μμ⋅=或8或9，值域为{}7,8,9设*n N ∈，当(1,]x n n ∈-时，()x n μ=，所以()x x nx μ⋅=的取值范围为22(,]n n n -，-所以()f x 在(1,]x n n ∈-上的函数值的个数为n ，-由于区间22(,]n n n -与22((1)(1),(1)]n n n +-++的交集为空集， 故n M 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=．- （3）由于2140573x x <≤-+，1sin 23x π≤+≤，因此()4h x ≤，当52x =时取等号，即即(2,4]x ∈时，()h x 的最大值为4，由题意得(2,4]x ∈时，()4g x >恒成立，当(2,3]x ∈时，223x a x >-恒成立，因为2max (2)33x x -=，所以3a >当(3,4]x ∈时，2324x a x >-恒成立，因为239244x x -<，所以94a ≥综合得，实数a 的取值范围是(3,)+∞．【点睛】关键点点睛：1.首先理解()x μ的定义，2.第三问，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，转化为()()max g x f x >，再利用参变分离求a 的取值范围.45．（2020·上海市建平中学高三月考）已知数列{}n a 满足：10a =，221n n a a =+，2121n n a a n +=++，*n ∈N .（1）求4a 、5a 、6a 、7a 的值； （2）设212n n na b -=，212333nn n S b b b =++⋅⋅⋅+，试求2020S ；（3）比较2017a 、2018a 、2019a 、2020a 的大小关系. 【答案】（1）3、5、5、8；（2）202120204037398S ⋅+=；（3）2017201820202019a a a a ==<. 【分析】。
2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷1. 若集合，，则______.2. 复数，则______.3. 直线l的参数方程为，，则直线l的斜率为______.4. 的二项展开式中，项的系数为______.5. 若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为______.6. 函数的反函数是______.7. 设a，b，c，，若行列式，则行列式的值为______.8. 已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为______.9.等差数列的前n项和为，若，且，则______. 10. 已知点P为正边上或内部的一点，且实数x，y满足，则的取值范围是__________.11. 设点P是曲线上的动点，点，满足，则点P的坐标为______.12. 函数的值域中仅有5个不同的值，则的最小值为______.13. “”是“为第一象限角”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 下列不等式恒成立的是( )A. B.C. D.15. 上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是( )A. 总体均值为，中位数为B. 总体均值为，总体方差大于C. 总体中位数为，众数为D. 总体均值为，总体方差为16. 记函数，，函数，，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数判断如下两个命题真假．①函数包裹函数的充要条件是；②若对于任意，对任意都成立，则函数包裹函数则下列选项正确的是( )A. ①真②假B. ①假②真C. ①②全假D. ①②全真17. 如图所示，正四棱柱的底面边长1，侧棱长4，中点为E，中点为求证：平面平面；连结，求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18. 已知函数，其中常数讨论函数的奇偶性，并说明理由；中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求当时，的面积．19. 如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车记为点沿着公路向正东方向行驶进行观测，记为观测角．当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角的大小；精确到为了确保观测质量，要求观测角不小于，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．精确到公里20. 如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为，长轴长为椭圆上有两点P ，Q ，连结OP ，OQ ，记它们的斜率为，，且满足求椭圆的标准方程；求证：为一定值，并求出这个定值；设直线OQ 与椭圆的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线交于点M ，N ，若和的面积相等，求点P 的横坐标．21. 已知数列满足：，或，对一切都成立．记为数列的前n 项和．若存在一个非零常数，对于任意，成立，则称数列为周期数列，T 是一个周期．求、所有可能的值，并写出的最小可能值；不需要说明理由若，且存在正整数p ，，使得与均为整数，求的值；记集合，求证：数列为周期数列的必要非充分条件为“集合S为无穷集合”．答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：直接利用交集运算的概念得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】2【解析】解：直线l的参数方程为，消去参数t可得，，即，直线l的斜率为故答案为：消去参数t可得，，即，再结合斜率的定义，即可求解．本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．4.【答案】180【解析】解：的二项展开式的通项为，取，可得项的系数为故答案为：写出二项展开式的通项，取x的指数为2，求得r值，进一步得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．5.【答案】【解析】解：圆锥的母线长为5，底面半径为3，圆锥的高，该圆锥的体积故答案为：由圆锥的母线长为5，底面半径为3，求出圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查直圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，，故答案为：根据反函数的定义求出的反函数的解析式即可．本题考查了反函数的定义，是基础题．7.【答案】3【解析】解：，，解得故答案为：根据已知条件，结合行列式公式，即可求解．本题主要考查行列式的公式，属于基础题．8.【答案】【解析】解：从集合中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增，则，1，3，所以，其概率为故答案为：利用古典概型公式计算即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．9.【答案】【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由，且，得，解得，则故答案为：设等差数列的首项为，公差为d，由已知列方程组求得首项与公差，再求数列的极限得答案．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了数列极限的求法，是基础题．10.【答案】【解析】解：是三角形ABC内含边界的一点，且向量足，当P点在BC上时，，特别地，当点P与点B重合时有，，即，；当点P与点C重合时有，，即，；又点P在三角形ABC内含边界，，，；，即的取值范围是故答案为：根据题意，利用平面向量基本定理，结合特殊点的位置P与点B重合以及P与点C重合时对应的x、y值，即可求出的取值范围．本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的几何意义的应用问题，属中档题．11.【答案】【解析】解：因曲线在双曲线在x轴上方的部分，故是双曲线的下焦点，则双曲线的上焦点为，由，又，，又，故P，A，共线，又的直线方程为，联立，解得，，故点P的坐标为故答案为：设双曲线的上焦点为，由已知可得，又，可示点P的坐标．本题考查双曲线的几何性质，属中档题．12.【答案】【解析】解：的图象，只是将的图象变成原来的倍，结合的对称性，当，，……，时，即最小正周期为9时，满足题意的最小正周期最大，此时故答案为：先求得余弦函数的周期最大值，进而求得的最小值，易知，则在一个周期内，结合对称性，只要，此时恰好有，，，，恰好满足题意，此时周期最大，则的最小值可求．本题考查三角函数的图像和性质，属于中档题．13.【答案】A【解析】解：，则一定为第一象限角；若为第一象限角，设，在第一象限，所以“”是“为第一象限角”的充分不必要条件．故选：利用第一象限角的定义，结合充分条件、必要条件的定义进行分析即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.【答案】B【解析】解：当，时，不成立，故选项A错误；当时，不成立，故选项C错误；当，时，不成立，故选项D错误；，故，故选项B正确；故选：举反例判断选项A、C、D，再通过不等式的性质判断选项B即可．本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．15.【答案】D【解析】解：对于A，总体均值为，中位数为，可能出现低于的情况，故A不正确；对于B，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；对于C，中位数和众数也不能确定，故C不正确：对于D，当总体均值为，总体方差为，平均气温会大概会不低于，故D正确．故选：根据总体均值，中位数，众数，总体方差的定义判断即可．本题考查总体均值，中位数，众数，总体方差，属于基础题．16.【答案】D【解析】解：①因数函数包裹函数，所以，又因为，所以，所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确；②由，又因为，当且仅当时，等号成立，又因为，故对于任意，，可得，即函数包裹函数，所以②正确．故选：①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确；②根据包裹函数的定义可以得到，可得函数包裹函数，即②正确．本题属于新概念题，考查了学生的推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．17.【答案】解：以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则，，，，，，，，DE不在平面内，在平面内，可得DE与平面平行同理平面，又BD与DE为平面BDE内两条相交直线，可得平面BDE与平面平行．同建系，设平面BDE的一个法向量为，则，得，不妨取，则，又，设直线与平面BDE所成的角为，故，直线与平面BDE所成的角的正弦值为【解析】本题考查面面平行的证明，考查线面角的大小的求法，属中档题．以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证，同理平面，可证平面平面；利用向量法可求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18.【答案】解：，，①时，，偶函数．②时，，不是奇函数，，不是偶函数．函数非奇非偶函数；由，，得，因为，所以，则，，由，解得，【解析】利用函数的奇偶性的定义，通过t是否为0，判断函数的奇偶性即可．利用已知条件求解A的大小，然后求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，函数奇偶性的判断，余弦定理的应用，是中档题．19.【答案】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，则，，所以，所以观测角设，①时，，所以，②时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，因为，，所以，所以为锐角，设，则函数，当时，符合上式，又，且，所以，整理得，解得，且，所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为公里．【解析】根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小；设点M，利用坐标表示向量和直线的斜率，求出的正切值，从而求出对应的结果．本题考查了平面向量的坐标表示和直线方程的应用问题，是中档题．20.【答案】解：由已知条件，设椭圆：，则，椭圆：证明：设，，则，整理得，由，，，解得，代入，为定值．法一：设直线OQ与椭圆的另一个交点为R，直线RP和PQ分别与直线交于点M，N，设，，由椭圆的对称性可知，，，，故，，于是，又，若和的面积相等，代入，再将代入，得若，化简得，方程无解；若，化简得解得：舍去，点P横坐标为法二：设，，由椭圆的对称性可知，，，，，，或者，，或者，，或者舍，解得：，点P横坐标为【解析】利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解a，c，然后求解b，得到椭圆方程．设，，通过结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．法一：推出，转化求解M、N的纵坐标，通过，转化求解点P 横坐标．法二通过，推出，转化求解点P横坐标即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：，3；，1，5，；首先证明：和中至少一个等于反证法：设和都大于等于2，则，即，相加得，矛盾！所以和中至少一个等于不妨设，则，即那么，所以，，证明：非充分：取数列如下：，，，数列满足条件，且对一切，，均有，但不为周期数列；必要性：已知数列为周期数列，设正整数T为其一个周期．分如下三步证明：①下证：若，则；若数列满足：，或由可得：所以时：时，，即对一切，，利用上式可知：②下证：若，则；由条件：，或可得：③由，或，可知，周期由，且，由②可知，由①可知，所以，对一切，，即集合S为无穷集合．【解析】由题意，直接写出、所有可能的值，写出的值即可，利用反证法，设和都大于等于2，得出矛盾，在求值，从充分性与必要性分别进行证明即可．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．。