广东省汕头市金山中学2020届高三上学期期中考试文科数学试题
广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试卷 文(含解析)
广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点4．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞05．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f（x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9 C．﹣5或9 D．以上不对二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，则N∩∁U M为（）A．{c，e} B．{a，c} C．{d，e} D．{a，e}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集U及M求出M的补集，找出N与M补集的交集即可．解答：解：∵全集U={a，b，c，d，e}，M={a，d}，N={a，c，e}，∴∁U M={b，c，e}，则N∩∁U M={c，e}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）设函数f（x）=xlnx，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=为f（x）的极大值点D．x=为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴x=时，函数取得极小值﹣，故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极小值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．解答：解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．点评：本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．5．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．考点：函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．解答：解：∵函数是R上的单调减函数，∴∴故选B点评：本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．6．（5分）已知b＞0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．解答：解：由5d=10，可得，∴cd=lgb=log5b=a．故选：B．点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：构建函数F（x）=f（x）﹣（2x+4），由f（﹣1）=2得出F（﹣1）的值，求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．解答：解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：A点评：本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．8．（5分）在函数①y=cos丨2x丨，②y=丨cosx丨，③y=cos（2x+）④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．解答：解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为=π，②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，④y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故选：A．点评：本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象；函数奇偶性的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．解答：解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．10．（5分）设函数f（x）=x a+1（a∈Q）的定义域为[﹣b，﹣a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f（x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和是（）A．﹣5 B．9 C．﹣5或9 D．以上不对考点：函数的最值及其几何意义．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先根据函数f（x）=xα+1得f（x）﹣1=xα，由题意知函数y=xα，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=xα在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．解答：解：令g（x）=xα，定义域为[﹣b，﹣a]∪[a，b]，则∵函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，∴g（x）=xα在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，若g（x）=xα是偶函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为5，最小值为2，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；若g（x）=xα是奇函数，则g（x）=xα在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣2，最小值为﹣5，∴函数f（x）=xα+1（α∈Q）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值为﹣1，最小值为﹣4，最大值与最小值的和﹣5；∴f（x）在区间[﹣b，﹣a]上的最大值与最小值的和为﹣5或9．故选：C．点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分．）（一）必做题（11-13题）11．（5分）函数f（x）=的定义域是（0，3）∪（3，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，建立条件关系即可得到结论．解答：解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x＞0且x≠3，故函数的定义域为（0，3）∪（3，+∞）故答案为：（0，3）∪（3，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．12．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．解答：解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．点评：本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．13．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解不等式可得正实数a的取值范围．解答：解：由已知可得：a＞0，且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则，解得a＜，故正实数a的取值范围为：（0，），故答案为：（0，）点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．解答：解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，即y=2x2．由ρcosθ=1，得x=1．联立，解得：．∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：证明△CDF∽△AEF，可求．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，∴AB∥CD，CD=3AE，∴△CDF∽△AEF，∴==3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．三.解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足x2﹣x ﹣6≤0，且¬p是¬q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＞0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（a，3a），故命题p成立有x∈（a，3a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，故命题q成立有x∈[﹣2，3]，若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（a，3a）⊊[﹣2，3]，解得，﹣2≤a≤1又a＞0，所以0＜a≤1，故a的取值范围为：0＜a≤1．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．解答：解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，∴f（）=Asin（+）=Asin=，∴．（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）=3[（）﹣（）]=3•2sinθcos=3sinθ=，∴sinθ=，∴cosθ=，∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．18．（14分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE 共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．点评：本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又A到平面PBC的距离．点评：本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（14分）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）（n∈N*）在函数f（x）=2x的图象上．（1）证明：数列{b n}为等比数列；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{a n b n}2（n∈N*）的前n项和S n．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）先由（Ⅰ）求得a n，b n，再利用错位相减求数列{a n b n2}的前n项和S n．解答：（1）证明：由已知得，b n=2an＞0，当n≥1时，==2an+1﹣an=2d，∴数列{b n}为首项是2a1，公比为2d的等比数列；（2）解：f′（x）=2x ln2∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣2a2=2a2ln2（x﹣a2），∵在x轴上的截距为2﹣，∴a2﹣=2﹣，∴a2=2，∴d=a2﹣a1=1，a n=n，b n=2n，a n b n2=n4n，∴T n=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，4T n=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，∴T n﹣4T n=4+42+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1=，∴T n=．点评：本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题．21．（14分）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数．（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x02+3x0）成立．试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．考点：函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．解答：（1）证明：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x），∴f（x）是R上的偶函数；（2）解：若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，∴m≤；（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，故e+﹣2a＜0，即a＞（e+），令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，则h′（x）=1﹣，由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，①当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，②当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），注意到h（1）=h（e）=0，∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而a e﹣1＞e a﹣1，②当a=e时，a e﹣1=e a﹣1，③当a∈（e，+∞），e）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而a e﹣1＜e a﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的判断、最值以及恒成立问题的处理方法，关键是借助于导数解答本题．。
广东省汕头市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷C卷
广东省汕头市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·合肥期末) 已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，B={x|﹣3＜x＜0}，则A∩B=（）A . （﹣∞，﹣2）B . （﹣2，0）C . （0，1）D . （1，+∞）2. （2分）已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①，②，③，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A . ①②B . ③④C . ①②④D . ②③④3. （2分） (2019高二上·邵阳期中) 若，则下列各式一定成立的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·平罗期中) 已知向量 =（4，2）， =（x，3）向量，且，则x=（）A . 1B . 5C . 6D . 95. （2分） (2019高一上·平罗期中) 设函数则（）.A .B . 1C .D .6. （2分） (2018高二下·重庆期中) 已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）圆和的位置关系是（）A . 相离B . 外切C . 相交D . 内切8. （2分） (2016高一下·宜昌期中) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若acosA=bsinB，则，sinAcosA+cos2B=（）A .B .C . ﹣1D . 19. （2分）有以下四种变换方式：向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；向右平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的；每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度；每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动个单位长度．其中能将函数y=sinx的图象变为函数的图象的是（）A . ①和④B . ①和③C . ②和④D . ②和③10. （2分）一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东300处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750 ，且与它相距8海里，则此船的航速是（）A . 24海里／小时B . 30海里／小时C . 32海里／小时D . 40海里／小时11. （2分） (2018高二上·西安月考) 设等差数列{an}的公差为d ，若数列{2a1an}为递减数列，则（）A . d<0B . d>0C . a1d<0D . a1d>012. （2分） (2016高二上·临川期中) 设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·丽水期末) 已知 , ( 是虚数单位)，则________, ________．14. （1分） (2020高三上·潮州期末) 函数在处取得最大值，则 ________15. （1分） (2018高二下·长春期末) 函数的极值点为________．16. （1分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件________，使平面MBD⊥平面PCD．①DM⊥PC ②DM⊥BM③BM⊥PC ④PM=MC（填写你认为是正确的条件对应的序号）．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2017高二上·南阳月考) 已知公差不为零的等差数列的前项和为，若 ,且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ ）设数列满足，求数列的前项和18. （5分） (2018高二下·临汾期末) 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活费定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图的数据，求直方图中的值并估计该市每户居民平均用电量的值；（2）用频率估计概率，利用（1）的结果，假设该市每户居民月平均用电量服从正态分布（i）估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；（ii）利用（i）的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于度之间的户数为，求的分布列及数学期望 .19. （10分）(2017·山东) 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（12分）（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．20. （5分） (2016高一下·衡阳期中) 已知，，当k为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？21. （10分） (2019高三上·中山月考) 已知函数（且）.（1）讨论函数的单调性；（2）若，讨论函数在区间上的最值.22. （10分）(2020·攀枝花模拟) 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，（1）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
广东省汕头市金山中学2020届高考数学三模试卷2 (含答案解析)
广东省汕头市金山中学2020届高考数学三模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U={1,2，3，4，5，6}，A={1,3，5}，B={3,4，5}，则(∁U A)∩(∁U B)=()A. {2,6}B. {3,6}C. {1,3，4，5}D. {1,2，4，6}2.已知复数2+ai为纯虚数，则实数a=()1−iA. 4B. 3C. 2D. 13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a1=4，则公差d等于()C. −2D. 3A. 1B. 534.一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为()A. √2−1B. 2−√2C. 1D. 25.函数f(x)=x2的图象大致是()2x+2−xA. B.C. D.6.执行如图所示的程序框图，如果输入的m=15，n=12，则输出的n是()A. 15B. 12C. 3D. 1807. 设a =log 35，b =log 2√5，c =(14)0.2，则( )A. c >b >aB. b >c >aC. b >a >cD. a >b >c8. 某公司新招聘了5名员工，现有A 、B 、C 、D 四个岗位需要人员，其中A 、B 、C 三个岗位各安排一人，D 岗位安排2个人，则不同的安排方法共有( )A. 240种B. 150种C. 120种D. 60种9. 若双曲线M:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|=15，|PF 2|=7，|F 1F 2|=10，则双曲线M 的离心率为 ( )A. 3B. 2C. 53D. 5410. 设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则S △APDS△ABC=( )A. 35B. 25C. 15D. 31011. 已知函数f(x)=√3sin2x −cos2x ，有下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间[−π3,π6]上是增函数；③f(x)的图象关于点(π12,0)对称；④x =π3是f(x)的一条对称轴．其中正确结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 12. 若函数f(x)=alnx −e x 有极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−e,+∞)B. (1,e)C. (1,+∞)D. (0,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线f(x)=sinx +2x −1在点x =0处切线方程是______．14. 设(x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则a 1+a 2+⋯+a 10=______．15.如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为______ ．16.设S n是数列{a n}的前n项和，若S n=(−1)n a n+1，则S1+S2+2n⋯+S11=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）a.17.在△ABC中，已知A=60°，c=37(1)求sin C的值；(2)若a=7，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E，F为PC，PA的中点．(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD；(2)二面角E—BD—F的大小；(3)设点M在PB(端点除外)上，试判断CM与平面BDF是否平行，并说明理由．19. 总体(x,y)的一组样本数据为：(2)当x =6时，估计y 的值．附：回归直线方程y =bx +a ，其中a =y −bx ，b =∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2．20. 已知函数f(x)=ax −lnx x−a ，a ∈R ．(1)若x =1是f(x)的极值点，求a 并讨论f(x)的单调性； (2)若1<x <e 时，f(x)≤0，求a 的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)直线my =x −1与椭圆交于不同的两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求△ABO 面积的最大值．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−√3=0，C的极坐标方程为ρ=4sin(θ−π6).(I)求直线l和C的普通方程；(II)直线l与C有两个公共点A、B，定点P(2,−√3)，求||PA|−|PB|23.已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=3．(Ⅰ)求证a+b+c≤3；(Ⅱ)求证1a2+1b2+1c2≥3．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∁U A={2,4，6}，∁U B={1,2，6}；∴(∁U A)∩(∁U B)={2,6}．故选：A．进行补集、交集的运算即可．考查列举法表示集合的概念，以及补集、交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数的基本概念，考查复数的除法运算，复数是一个纯虚数，要求实部为零，而虚部不为0，本题是一个基础题．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成最简形式，根据复数是一个纯虚数，利用复数的实部等于0，而虚部不为0，得到结果．解：2+ai1−i =(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a+i(2+a)2，∵复数2+ai1−i是一个纯虚数，∴2−a=0且2+a≠0，∴a=2．故选C．3.答案：C解析：本题考查了等差数列前n项和公式的应用，属于基础题，直接利用公式即可解决．解：∵S3=6，a1=4∴S3=3a1+3×22d=3×4+3×22d=6，解得d=−2．故选C．4.答案：A解析：解：满足条件的四面体的容器如图，四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BD⊥BC，满足各面均为直角三角形，此时，AD=BD=BC=2，则AB=CD=2√2，AC=2√3，要满足题意，则当球与四面体各面均相切时半径最大，此时设球心为O，则原四面体可看成是以O为顶点，其余各面为底面的四个四面体组合而成，且这4个四面体的高均为内切球半径，由等体积法有：1 3×12×2×2×2=13×r×(2+2+2√2+2√2)，解得r=√2−1．故选：A．要使球半径最大，则当球与四面体各面均相切时半径最大，先根据题意作出图形，求得四面体的表面积，再利用等体积法，求出该球的半径最大值．本题考查球半径的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用，比较基础．根据函数的奇偶性及特值法判断即可．解：函数f(x)=x22x+2−x为偶函数，图象关于y轴对称，故排除B，D，当x>0时，y>0，故排除C，故选A．6.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得m=15，n=12r=3不满足条件r=0，执行循环体，m=12，n=3，r=0满足条件r=0，退出循环，输出n的值为3．故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．7.答案：D解析：本题考查对数函数的性质，利用对数函数的单调性即可得出．解：a=log35=1log53>1log54=b>1，c=(14)0.2<1，∴a>b>c．故选D．8.答案：D解析：本题考查排列组合的综合运用，是容易题．解：根据题意，分2步分析：：①先在5人中任选2人，安排到D区域，有C52=10种选法，②将剩下的3人全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，则有10×6=60种不同的安排方法．故应选D.9.答案：D解析：利用勾股定理以及双曲线的定义，求出a，c即可求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．解：因为P为双曲线M上一点，且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10，则双曲线的离心率为：e=ca =54．故选D．10.答案：C解析：本题的考点是向量在几何中的应用，主要考查向量的加法运算，考查三角形的面积之比，关键是由向量条件得出对应三角形的高之比．利用平面向量基本定理将AP⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，从而可以得到四边形DPEB为平行四边形，再利用三角形面积公式，从而可求三角形的面积之比．。
广东省汕头市金山中学2020届高三上学期期末考试 数学(理) Word版含答案
汕头市金山中学2019级高三上学期期末理科数学试题一、选择题：(每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的) 1. 若i z 21+=,则=-⋅14z z i( )A. 1B. C. i D.2. 如图所示,向量A ,B ,C 在一条直线上,且BC AC 4=，则( )A.OB OA OC 3221+= B.OB OA OC 2123-=C.OB OA OC 2+-=D. OB OA OC 3431+-=3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”请问此人第5天走的路程为( ) A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里4. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )A.π32 B.π C. π34 D. π355. 已知命题],0[:0π∈∃x p ,使得a x <0sin ,命题:q 对，]3,21[∈∀x a x>+11若q p ∧为真命题,则a 的取值范围是( )A. )340(， B.)30(， C.)341(， D. )31(，6. 已知直线,354)3(:1m y x m l -=++ 8)5(2:2=++y m x l 平行,则实数m 的值为( ) A. 7-B.1-C. 7-或1-D.313 7. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,22=a ,且对于任意1>n ,N n ∈,满足)1(211+=+-+n n n S S S ,则=10S ( )A. 91B. 90C. 55D. 548. 已知函数x x x f sin )(=,)('x f 为)(x f 的导函数,则函数)('x f 的部分图象大致为( )A. B. C. D.9. 如图,正四棱锥ABCD P -的侧面PAB 为正三角形,E 为PC 中点,则异面直线BE 和PA 所成角的余弦值为 ．A.33 B. 23 C. 22 D. 2110. 函数)2)(2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向左平移6π个单位后所得图象对应的函数是偶函数,且存在]2,0[π∈x ,使得不等式m x f ≤)(成立,则m 的最小值是( )A. 1-B.21-C.21 D. 111. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为53，,第三行为，，，1197第四行为，，，，19171513如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为j i a ,,比如，92,3=a ，152,4=a ，234,5=a 若，0172,=j i a ,则=+j i ( ) A. 64 B.65 C.71 D. 7212. 已知菱形ABCD 的边长为32,O BAD 60=∠，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起,使得二面角C BD A --的余弦值为31-,则该四面体ABCD 外接球的体积为( ) A.π3728 B. π68 C.π3520 D.π36二、填空题：（本大题共4小题，共20分）13. 设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥x y y x x 222,则22y x z +=的最大值是 ．14. 函数)0(1)6sin(2)(>--=ωπωx x f 最小正周期是π,则函数)(x f 的单调递增区间是 ．15. 已知函数21111)(++++=x x x x f , 由11111)1(+++-=-x x x x f 是奇函数, 可得函数)(x f 的图象关于点)0,1(-对称, 类比这一结论得函数++++++=2312)(x x x x x g …67+++x x 的图象关于点______对称． 16. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=1,11,)(32x x x x x x f ，若函数)1()(--=x a x f y 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：（本大题共7题，22、23题选其中一道作答，共70分）17. (12分）在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为,,,c b a CA Bc b c a sin sin sin +=--.Ⅰ求角A 的大小；．Ⅱ若2=a ,求c b +的取值范围．18. (12分）已知}{n a 为等差数列, 前n 项和为)(*N n S n ∈,}{n b 是首项为2的等比数列且公比大于0,1232=+b b ,1432a a b -=,41111b S =．Ⅰ求}{n a 和}{n b 的通项公式；Ⅱ求数列}{2n n b a 的前n 项和.n T19. (12分）如图, 在四棱锥ABCD P -中, 平面⊥ABCD 平面PAD , BC AD //，AD AP BC AB 21=== ，O ADP 30=∠,O BAD 90=∠, E 是PD 的中点．证明：PB PD ⊥；设2=AD ,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为510,求二面角P AB M --的余弦值．20. (12分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21, 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为34．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为B A ,, 当动点M 在定直线4=x 上运动时, 直线AM 、BM分别交椭圆于P 、Q 两点, 求四边形APBQ 面积的最大值．21. (12分）已知函数.,21ln )(2R a x ax x x f ∈+-=．当0=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；令)1()()(--=ax x f x g , 求函数)(x g 的极值；若2-=a , 正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f , 证明：.21521-≥+x x ．(22题、23题选择一道作答)22、(10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为,sin cos 3⎩⎨⎧==θθy x (θ为参数,直线l 的参数方程为,14⎩⎨⎧-=+=t y ta x (t 为参数．若1-=a ,求C 与l 的交点坐标；若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a ．23、(10分）已知函数.22)(-+=x x x f解不等式;4)(≤x f设函数)(x f 最小值为m ,若实数a 、b 满足222m b a =+, 求11422++b a 最小值．汕头市金山中学2019级高三上学期期末理科数学参考答案1-12 CDDDA AAAAB DB 13. 8 14. ,15.16. ]3,()43,1[--∞⋃--17. 解：由,利用正弦定理可得：,化为：．由余弦定理可得：,．．Ⅱ在中有正弦定理得,又,所以,,故,因为,故,所以,,故b+c 的取值范围是（2，4]． 18.解：Ⅰ设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q ． 由已知,得,而,所以, 又因为,解得,所以． 由,可得, 由,可得,联立,解得,,由此可得．所以的通项公式为,的通项公式为；Ⅱ设数列的前n 项和为,由,有,,上述两式相减,得,得．所以数列的前n 项和为．19. 证明：(1)︒=∠90BAD , ,平面平面PAD,交线为AD,平面PAD,, 在中,,,︒=∠90APD ,,,平面PAB,平面PAB,．解：如图,以P为坐标原点,过点P垂直于平面PAD的射线为z轴,射线PD为x轴, 射线PA为y轴,建立空间直角坐标系,,,,0,,1,,1,,,0,,设,则,,,又,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,,整理,得,解得或舍,,设平面MAB的法向量y,,则,取,得,由知平面PAB,平面PAD的一个法向量为0,,．二面角的余弦值为．20. 解：Ⅰ根据题意,椭圆C：的离心率为,则有,以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为,则有,又,解得,,,故椭圆C的方程为；Ⅱ由对称性,可令点,其中．将直线AM的方程代入椭圆方程,得,由,得,则．再将直线BM的方程代入椭圆方程得,由,得,则．故四边形APBQ的面积为．由于,且在上单调递增,故,从而,有．当且仅当,即,也就是点M的坐标为时,四边形APBQ的面积取最大值6．21. 解：当时,,则,所以切点为,又,则切线斜率,故切线方程为：,即；,所以,当时,因为,所以．所以在上是递增函数,无极值；当时,,令,得或,由于,所以．所以当时,；当时,,因此函数在是增函数,在是减函数,当时,函数的递增区间是,递减区间是,时,有极大值,综上,当时,函数无极值；当时,函数有极大值,无极小值；由,,即．,所以,令,且令,则由,得,,,可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增．所以,所以,解得或,又因为,,因此成立．22. 解：曲线C的参数方程为为参数,化为标准方程是：；时,直线l的参数方程化为一般方程是：；联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为和的参数方程为参数化为一般方程是：,椭圆C上的任一点P可以表示成,,所以点P到直线l的距离d为：,满足,且的d的最大值为．当时,即时,解得和,符合题意．当时,即时,解得和18,符合题意．23. 解：当时,则,解得：,当时,则,解得：,当时,则,此时无解,综上,不等式的解集是；由知,当时,,当时,则,当时,则,故函数的最小值是2,故,即,则,当且仅当且,即,取“”,故的最小值是．11。
2020届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试 数学理
2020届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试数学理一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ={0,1,2,3,4},B ={x|x =2n +1,n ∈A}，则A ∩B 等于（ ） A.{1,3,5} B.{3} C.{5,7,9}D.{1,3}2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i - D ．413i +3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 8．已知函数f(x)=cos(sinx)，g(x)=sin(cosx)，则下列说法正确的是（ ） A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1,1] B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C.f(x)的值域为[cos1,1]，g(x)的值域为[−sin1,sin1] D.f(x)与g(x)都不是周期函数9．设向量a r 与b r 的夹角为θ，定义a r 与b r 的“向量积”：a b ⨯r r是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅r r r r ，若()()3,1,1,3a b =--=r r ，则a b ⨯=r r（ ）A ．2B ．3C ．23D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足f(−x)=4−f(x)，若函数y =2x+1x 与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑ （ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x < （3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<-其中正确结论的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r =__________cm 时，面积最大.14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=o ，AD BC ⊥，垂足为D ，则 AB AD ⋅u u u v u u u v的值为_____ 15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________． 16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=u u u v u u u v u u u v ，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。
广东省汕头市金山中学高三数学上学期期中试题 理 新人教A版
高三理科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．o660sin 等于（ ）A ．23 B ．21 C ．21- D ．23-2．设R x ∈, 那么“0<x ”是“3≠x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 夹角为（ ）A ．4π B ．6πC ．3π D ．23π 4．已知函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><≤ ⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，则点(),ωϕ的坐标是（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,2π⎛⎫⎪⎝⎭5．函数1ln --=x e y x的图象大致是（ ）6．已知,x y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，若(,2)x =-a ，(1,)y =b ，则z =⋅a b 的最大值是（ ）A. 1-B. 5C. 52- D. 77．若函数()f x 的零点与函数()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A. ()1x f x e =-B. ()1ln 2f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()41f x x =-D. ()2(1)f x x =-8．对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2sin2A B =，则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6A π=，则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos3b π=，2012tan 3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象。
广东省汕头市金山中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含解析
2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知全集U =R ，集合A ={x |−2≤x ≤3}，B ={x |x 2−3x −4>0}，那么A ∩(∁∪B )= A ．{x |−2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |−2≤x <−1} D ．{x |−1≤x ≤3} 2．设复数z 满足z =i (1−z )−1，则|z |= A ．1 B ．√2 C ．√3 D ．23．已知命题p:∃x ∈R ，x −2>lgx ，命题q:∀x ∈R ，e x >1，则 A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q )是真命题 D ．命题p ∨(¬q )是假命题4．若f (x )是奇函数，且x 0是y =f (x )+e x的一个零点，则−x 0一定是下列哪个函数的零点 A ．y =f (−x )e x−1 B ．y =f (−x )e−x +1C ．y =e x f (x )−1D ．y =e x f (x )+1 5．函数f (x )=sin (x +ϕ)在区间(π3,2π3)上单调递增，常数ϕ的值可能是A ．0B ．π2C ．πD ．3π26．某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a ，2017年的增长率为b ，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为A ．√abB ．a+b 2C ．(a+1)(b+1)−12D ．√(a +1)(b +1)−17．（2017新课标全国II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏8．设函数f (x )=|lnx |与g (x )=−x 2+10x +1在区间(a,a +2)上均为增函数，则a 的取值范围为A ．(1,3)B ．[1,3]C ．(1,4)D ．[1,4]9．已知函数f (x )=e x −mx +1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y =ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．(−∞,1e ) B ．(1e ,+∞)） C ．(1e ,e) D ．(e,+∞)10．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为12√6海里，灯塔C 在A 的北偏西30°，距离为12√3海里，该游轮由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60°方向，则此时灯塔C 位于游轮的A ．正西方向B ．南偏西75°方向C ．南偏西60°方向D ．南偏西45°方向11．已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1)，(√2,0)，(0,−2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，则|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值是 A ．4−2√3 B ．√3−1 C ．√3+1 D ．√312．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件： ①f (x )为奇函数，g (x )为偶函数； ②f (1)=0，g (x )≠0；③当x >0时，总有f (x )⋅g ′(x )<f ′(x )⋅g (x ). 则f (x−2)g (x−2)>0的解集为A ．(1,2)∪(3,+∞)B ．(−1,0)∪(1,+∞)C ．(−3,−2)∪(−1,+∞)D ．(−1,0)∪(3,+∞)二、解答题13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A+C 2=√33. （1）求cosB 的值；（2）若a =3，b =2√2，求c 的值.此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号14．已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()*n S n N ∈，且6123112,63S a a a -==.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*,n n N b ∈是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.15．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB =2AD =2，PD =BD =√3AD ，且PD ⊥底面ABCD .（1）证明：BC ⊥平面PBD ；（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥A −PBQ 的体积.16．光农业科学研究所对冬季昼夜温差大小与反季节土豆发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： b ̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)ni=1∑(x i−x̅)2n i=1=∑x i y i −n⋅x̅⋅y ̅ni=1∑x i 2−n⋅x̅2n i=1，a ̂=y ̂−b ̂⋅x̅） 17．设函数f (x )=13x 3−ax （a >0），g (x )=bx 2+2b −1.（1）若曲线y =f (x )与y =g (x )在它们的交点(1,c )处有相同的切线，求实数a ，b 的值； （2）当b =1−a 2时，若函数ℎ(x )=f (x )+g (x )在区间(−2,0)内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）当a =1，b =0时，求函数ℎ(x )=f (x )+g |x |在区间[t,t +3]上的最小值. [选修4-4：坐标系与参数方程]18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3+rcosϕy =1+rsinϕ（r >0，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin (θ−π3)=1，若直线l 与曲线C 相切；（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成ΔMON ，且满足∠MON =π6，求面积ΔMON 的最大值.19．已知函数f(x)=|2x −2|+|2x +3|． (1)求不等式f(x)<15的解集；(2)若f(x)≥a −x 2+x 对于x∈R 恒成立，求a 的取值范围．三、填空题20．已知向量a =(1,x )，b ⃑ =(1,x −1)，若(a −2b ⃑ )⊥a ，则|a +2b⃑ |=______. 21．已知{a n }等差数列的前n 项和为S n ，若S 17>0，S 18<0，则S n 取最大值时，n =_____． 22．若集合A ={x |(k +2)x 2+2kx +1=0}有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.23．关于x 的不等式−x 2+bx −3>0在区间(0,+∞)上的解集含有唯一整数，则实数b 的取值范围是_____2019届广东省汕头市金山中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学答案参考答案1．D【解析】试题分析：∵U=R，B={x|x2−3x−4>0}={x|x<−1或x>4}，，={x|−1≤x≤3}，故选D.考点：1.集合的基本运算；2.一元二次不等式的解法2．A【解析】【分析】由已知可得(1+i)z=−1+i，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由z=i(1−z)−1，得(1+i)z=−1+i，∴z=−1+i1+i =(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i2=i，则|z|=1.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.3．D【解析】试题分析：因为命题p:∃x∈R，x−2>lgx是真命题，而命题q:∀x∈R，e x>1为假命题，由复合命题的真值表可知命题p∧(¬q)是真命题．考点：命题的真假、逻辑连结词．4．C【解析】【分析】根据f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，因为x0是y=f(x)+e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断；【详解】f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)且x0是y=f(x)+e x的一个零点，∴f(x0)+e x0=0，∴f(x0)=−e x0，把−x0分别代入下面四个选项，A、y=f(x0)e−x0−1=−e x0e−x0−1=−1−1=−2，故A错误；B、y=f(x0)e x0+1=−(e x0)2+1≠0，故B错误；C、y=e−x0f(−x0)−1=−e−x0f(x0)−1=e−x0e x0−1=1−1=0，故C正确；D、y=e−x0f(−x0)+1=1+1=2，故D错误；故选：C.【点睛】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证.5．D【解析】【分析】根据三角函数的单调性进行求解即可.【详解】由2kπ−π2≤x+ϕ≤2kπ+π2，k∈Z，则2kπ−ϕ−π2≤x≤2kπ+π2−ϕ，k∈Z，若在区间(π3,2π3)上单调递增，则{2kπ+π2−ϕ≥2π32kπ−π2−ϕ≤π3，即{ϕ≤2kπ−π6ϕ≥2kπ−5π6，即2kπ−5π6≤ϕ≤2kπ−π6，k∈Z，若k=1，则7π6≤ϕ≤11π6，此时ϕ=3π2满足条件，故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据条件先求出函数的单调递增区间，结合k的取值进行求解即可.6．D【解析】【分析】根据增长率的定义列方程解得结果.【详解】设该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为x ，则(1+a)(1+b)=(1+x)2∴x =√(1+a)(1+b)−1 ，选D.【点睛】本题考查增长率的概率，考查基本求解能力. 7．B 【解析】 【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=a 1(1−27)1−2=381，解得a 1=3． 故选：B ． 8．B 【解析】函数f (x )=ln |x |={lnx,x ≥1−lnx,0<x <1，则函数的单调递增区间为(1,+∞)，函数g (x )=−x 2+10x +1的单调递增区间为(−∞,5)， 据此可得，满足题意时有：{a ≥1a +2≤5，求解关于实数a 的不等式组可得a 的取值范围为[1,3]. 本题选择B 选项. 9．B 【解析】 函数f （x ）=e x -mx+1的导数为f′（x ）=e x -m ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，即有e x−m =−1e有解，即m =e x+1e由e x ＞0，则m ＞1e则实数m 的范围为(1e,+∞)故选B 10．C 【解析】 【分析】根据题设中的方位角画出ΔABD,ΔACD ，在ΔABD 中利用正弦定理可求出AD 的长，在ΔACD 中利用余弦定理求出CD 的长，利用正弦定理求∠CDA 的大小（即灯塔C 的方位角）.【详解】 如图，在ΔABD 中，B =45°，由正弦定理有ADsin45°=AB sin60°=√6√32=24√2，AD =24.在ΔACD 中，余弦定理有CD 2=AC 2+AD 2−2AC ×AD ×cos30°， 因AC =12√3，AD =24，CD =12， 由正弦定理有CDsin30°=ACsin∠CDA ，sin∠CDA =√32，故∠CDA =60°或者∠CDA =120°.因AD >CD ，故∠CDA 为锐角，所以∠CDA =60°，故选C. 【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.11．B 【解析】试题分析：设P(x,y)，由|CP⃑⃑⃑⃑⃑ |=1，可知x 2+(y +2)2=1，所以点P 的轨迹是以C(0,−2)为圆心，1为半径的圆上的点，又|OA⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x +√2)2+(1+y)2的最小值，表示点P 与点(−√2,−1)之间的距离的最小值，由点和圆的位置关系可知，|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最小值为√(0+√2)2+(−2+1)2−1=√3−1.考点：1.向量模的几何意义；2.点和圆的位置关系. 12．A 【解析】 【分析】当x >0时，总有f (x )⋅g ′(x )<f ′(x )⋅g (x ),即[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)−f(x)g ′(x)g(x)2>0，所以f(x)g(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(x)g(x)在R 上是奇函数，又f(1)g(1)=0，所以当x >1或−1<x <0时f(x)g(x)>0，因此可求解f (x−2)g (x−2)>0.【详解】令ℎ(x)=f(x)g(x) x ∈R ，因为[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)−f(x)g ′(x)g(x)2>0，所以ℎ(x)在（0，+∞）上是增函数，又ℎ(−x)=−ℎ(x)，故ℎ(x)在R 上是奇函数，且ℎ(1)=ℎ(−1)=0，所以当x >1或−1<x <0时ℎ(x)=f(x)g(x)>0，因为f(x−2)g(x−2)>0，所以x −2>0或−1<x −2<0，解得x >3或1<x <2，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，增减性，函数导数在判定单调性上的应用，解不等式，属于难题.解决此类问题的核心是，根据所给含导数的不等式，构造恰当的函数，并根据所给式子确定所构造函数导数的正负，从而确定构造函数的增减性.13．（1）（2）1【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理，诱导公式可求sin B2=√33.利用倍角公式可求cosB ，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinB ，可求tanB 的值.（2）由余弦定理得c 2−2c +1=0，解得c =1.利用三角形面积公式即可计算得解.【详解】（1）在ΔABC 中，A +B +C =π， 所以cosA+C 2=cosπ−B 2=sin B2=√33. 可得：cosB =1−2sin 2B2=13， 所以sinB =√1−cos 2B =2√23所以tanB =sinBcosB =2√2.（2）因为a =3，b =2√2，cosB =13，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得：8=9+c 2−2×3×c ×13， 得：c 2−2c +1=0.解得c =1.所以ΔABC 的面积S =12acsinB =12×3×1×2√23=√2.【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.14．（Ⅰ）（Ⅱ）22n【解析】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入()6161631a q S q-==-，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得2,1q q ==-或.又由6611631q S a q-=⋅=-，知，所以61126312a -⋅=-，得，所以.（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则.【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式 【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和． （2）通项公式为,{,n n n b n a c n =为奇数，为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．15．（1）见解析;（2）V A−PBQ =14. 【解析】试题分析：（1）先证明AD ⊥BD ，再说明BC ⊥BD ，根据PD ⊥底面ABCD ，可得PD ⊥BC ，即可证出；（2）因为三棱锥A −PBQ 的体积V A−PBQ 与三棱锥A −QBC 的体积相等，可转化为求三棱锥A −QBC 的体积，再换顶点为Q ，并利用Q 是中点转化为14V P−ABCD 求解即可.试题解析：（1）证明：∵AD 2+BD 2=AB 2，∴AD ⊥BD ， ∵AD//BC ，∴BC ⊥BD .又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC . ∵PD ∩BD =D ，∴BC ⊥平面PBD .（2）三棱锥A −PBQ 的体积V A−PBQ 与三棱锥A −QBC 的体积相等， 而V A−QBC =V Q−ABC =12V P−ABC =14V P−ABCD =14×13×1×√3×√3=14. 所以三棱锥A −PBQ 的体积V A−PBQ =14.点睛：涉及几何体，特别是棱锥的体积计算问题，一般要进行转化，变换顶点后，有时还需要利用等底等高转换，还可以利用直线上的点为中点或三等分点再进行顶点变换，从而求出几何体的体积.16．（1）35 （2）y =3x −8 （3）见解析【解析】 【分析】（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种.根据等可能事件的概率做出结果.（2）根据所给的数据，先做出x ，y 的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程.（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.【详解】（1）恰好是不相邻的2天数据的概率p =1−4C 52=35.（2）由数据得：∑x i y i =11×26+13×32+12×26=1013i=1；x =13(11+13+12)=12，y =13(26+32+26)=28，3x ⋅y =3×12×28=1008；∴∑x i y i −nx ⋅y n i=1=∑x i y i −3x ⋅y =1014−1008=283i=1，∑x i 2=112+132+122=3i=1434，3x −2=3×122=432；∴∑x i 2−n ⋅x 2=∑x i 2−3⋅x 23i=1ni=1=434−432=2，∴b ̂=∑x i y i −nx⋅y ni=1∑x i2−n⋅x 2n i=1=∑x i y i −3x⋅y 3i=1∑x i2−3⋅x 23i=1=62=3；a ̂=y −b ̂x =28−3×12=−8. 故y 关于x 的线性回归方程y =3x −8.（3）当x =10时，y ̂=3x −8=3×10−8=22，|22−23|≤1；当x =8时，y ̂=3x −8=3×8−8=16，|16−16|≤1，故得到的线性回归方程是可靠的. 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，在解题过程中注意对于预报值的估计，属于基础题. 17．（1）a =b =13；（2）(0,13)；（3）[ℎ(x)]min ={13t 3−t −1, t ∈(−∞,−2)∪[1,+∞)−53, t ∈[−2,1).【解析】试题分析：（1）从条件“曲线y =f(x)与y =g(x)在它们的交点(1,c)处有相同的切线”得到f(1)=g(1)以及f ′(1)=g ′(1)，从而列有关a 、b 的二元方程组，从而求出a 与b 的值；（2）将b =1−a 2代入函数ℎ(x)的解析式，利用导数分析函数ℎ(x)在区间(−2,0)上的单调性，确定函数ℎ(x)在区间(−2,0)上是单峰函数后，然后对函数ℎ(x)的端点值与峰值进行限制，列不等式组解出a 的取值范围；（3）将a =1，b =0代入函数ℎ(x)的解析式，并求出函数ℎ(x)的单调区间，对函数ℎ(x)的极值点是否在区间[t,t +3]内进行分类讨论，结合函数的单调性确定函数ℎ(x)在区间[t,t +3]上的最小值.试题解析：（1）因为f(x)=13x 3−ax ，g(x)=bx 2+2b −1，所以，g ′(x)=2bx .因为曲线与在它们的交点处有相同切线，所以，且，即,且，解得a =13，b =13；（2）当时，ℎ(x)=13x 3+1−a 2x 2−ax −a (a >0)，所以ℎ′(x)=x 2+(1−a)x −a =(x +1)(x −a)， 令ℎ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=a >0， 当变化时，ℎ′(x)、ℎ(x)的变化情况如下表：所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞,−1)、(a,+∞)，单调递减区间为.故ℎ(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减.从而函数ℎ(x)在区间内恰有两个零点，当且仅当{ℎ(−2)<0ℎ(−1)>0ℎ(0)<0，即{−83+2(1−a)+2a −a <0−13+1−a 2+a −a >0−a <0，解得.所以实数a 的取值范围是.（3）当a =1，b =0时，ℎ(x)=13x 3−x −1．所以函数ℎ(x)的单调递增区间为(−∞,−1)、(1,+∞)，单调递减区间为．由于ℎ(−2)=−53，ℎ(1)=−53，所以ℎ(−2)=ℎ(1)．①当t +3<1，即t <−2时，[ℎ(x)]min =ℎ(t)=13t 3−t −1； ②当−2≤t <1时，[ℎ(x)]min =ℎ(1)=−53； ③当时，ℎ(x)在区间上单调递增，[ℎ(x)]min =ℎ(t)=13t 3−t −1；综上可知，函数ℎ(x)在区间[t,t +3]上的最小值为 [ℎ(x)]min ={13t 3−t −1, t ∈(−∞,−2)∪[1,+∞)−53, t ∈[−2,1).考点：1.导数的几何意义；2.函数的零点；3.函数的最值；4.分类讨论 18．（1）ρ=4sin(θ+π3)；（2）2+√3 【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程为y =√3x +2， ，消去参数φ可知曲线C 是圆心为(√3,1)，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切，可得：r =2；则曲线C 的方程为(x −√3)2+(y −1)2=4， 再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得可得曲线C 的极坐标方程.(2)由（1）不妨设M （ρ1,θ），，（ρ1>0,ρ2>0），由此可求ΔMON 面积的最大值.试题解析：（1）由题意可知直线l 的直角坐标方程为y =√3x +2， 曲线C 是圆心为(√3,1)，半径为r 的圆，直线l 与曲线C 相切，可得：r =|√3⋅√3−1+2|2=2；可知曲线C 的方程为(x −√3)2+(y −1)2=4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2−2√3ρcosθ−2ρsinθ=0， 即ρ=4sin(θ+π3).(2)由（1）不妨设M （ρ1,θ），，（ρ1>0,ρ2>0），S ΔMON =12|OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |sin π6，，当θ=π12时， S ΔMON ≤2+√3，所以△MON 面积的最大值为2+√3.19．（1）(−4,72)（2）a ≤194【解析】分析：（1）根据零点分段法去掉函数f(x)的绝对值符号，分段化简不等式求解即可. （2）将恒成立问题转化为a ≤f(x)+x 2−x 恒成立，即a ≤min{f(x)+x 2−x }，再根据三角不等式和二次函数的最值求解.详解：（1）∵f (x )=|2x −2|+|2x +3|={−4x −1,x ≤−325,−32<x <14x +1,x ≥1 ，当x ≤−32时，有−4x −1<15，解得x >−4，即−4<x ≤−32； 当−32<x <1时，5<15恒成立，即−32<x <1； 当x ≥1时，有4x +1<15，解得x <72，即1≤x <72.综上，解集为(−4,72).（2）由f(x)≥a−x2+x恒成立得a≤|2x−2|+|2x+3|+x2−x恒成立，∵|2x−2|+|2x+3|≥|(2x−2)−(2x+3)|=5，当且仅当(2x−2)⋅(2x+3)≤0，即−32≤x≤1是等号成立；又因为x2−x≥−14，当且仅当x=12时等号成立，又因为12∈(−32,1)，所以|2x−2|+|2x+3|+x2−x≥5−14=194，所以a≤194.点睛：含有绝对值不等式的解法：（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如|f(x)|<|g(x)|）；（4）图象法或数形结合法；20．√10【解析】【分析】可得到a−2b⃑=(−1,2−x)，根据(a−2b⃑)⊥a即可得出(a−2b⃑)⋅a=0，可解出x=1，这样即可求出向量a+2b⃑的坐标，进而得出|a+2b⃑|的值.【详解】a−2b⃑=(−1,2−x)；∵(a−2b⃑)⊥a；∴(a−2b⃑)⋅a=−1+(2−x)⋅x=0；解得x=1；∴a=(1,1)，b⃑=(1,0)；∴a+2b⃑=(3,1)；∴|a+2b⃑|=√10.故答案为：√10.【点睛】本题考查向量坐标的概念，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，根据向量坐标可求向量长度.21．9【解析】【分析】由S17=17a9>0，S18=18(a18+a19)<0，可得a18>0，a19<0，即可得出S n取最大值时，n的值.【详解】∵S17=172(a1+a17)=17a9>0，S18=182(a1+a18)=9(a10+a9)<0，∴a9>0，a10<0，∴前n项和S n取最大值时n的值为9.故答案为：9.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.22．-2【解析】【分析】根据题意可知，集合A只有一个元素，从而k=−2时，满足条件，而k≠−2时，可得到Δ=4k2−4(k+2)=0，求出k，找到最小的k即可.【详解】∵A只有2个子集；∴A只有一个元素；∴①k=−2时，A={14}，满足条件；②k≠−2时，Δ=4k2−4(k+2)=0；解得k=−1或2；综上，满足条件的实数k的最小值为﹣2.故答案为：﹣2.【点睛】考查子集的概念，描述法和列举法表示集合的定义，以及一元二次方程实根个数和判别式Δ的关系.23．72<b≤4【解析】【分析】求出不等式−x2+bx−3>0转化为b>x+3，可得b>2√3.在区间(0,+∞)上的解集含有唯一x整数，可得y=b与y=x+3只有一个交点，即可求解实数b的取值范围.x【详解】，可得b>2√3.不等式−x2+bx−3>0转化为b>x+3x，只有一个交点，由题意，在区间(0,+∞)上的解集含有唯一整数，可得y=b与f(x)=x+3x 当x=1时，可得f(1)=4.，当x=2时，可得f(2)=72可知含有唯一整数为1<b≤4.故得实数b的取值范围：72<b≤4.故答案为：72【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题.。
广东省汕头市金山中学2022-2023学年高三上学期摸底考试数学试题含答案
汕头市金山中学2023届高三第一学期摸底考试数 学一、单选题（1～8题）1．已知集合}4,3,2,1{=A ，}N log {2∈=x x B ，则B A =( ) A ．}2,1{B ．}4,2{C ．}4,2,1{D ．}3{2．设复数z 满足i z i +=-2)1(，则||z =( )A ．210 B ．25 C ．10 D ．5 3．已知平面向量e b a ,,满足1||=e ，1=⋅e a ，2=⋅e b ，则||b a +的最小值为( )A ．1B ．23C ．2D ．34．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=S ，216=S ，则9S =( )A ．27B ．45C ．18D ．365．若圆122=+y x 上总存在两个点到点)1,(a 的距离为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．)22,0()0,22(⋃- B ．)22,22(- C ．)1,0()0,1( -D ．)1,1(-6．已知3cos 1sin =-θθ，则θtan =( )A ．33B ．33- C ．3 D ．3-7．已知三棱锥ABC D -的顶点都在球O 的球面上，底面ABC ∆为等边三角形，且其所在圆1O 的面积为.6π 若三棱锥ABC D -的体积的最大值为39，则球O 的体积为( )A ．π3256B ．π6343C ．π256D ．π23438．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+>=0),4sin(0,ln )(x x x xxx f ππω有4个不同零点，则正实数ω的范围为( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡413,49B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛413,49C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛413,49 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡413,49（9-12多选题）9．已知不等式02<++c bx ax 的解集为1{-<x x 或}3>x ，则下列结论正确的是( ) A ．0<a B ．0>++c b aC ．0>cD ．02<+-a bx cx 的解集为31|{-<x x 或}1>x10．函数)0(cos sin )(=/+=a x a x x f 在一个周期内的图象可以是( )11．下列判断，正确的选项有( )A ．若)(x f 的图象关于点)0,(a 对称)(kx a f -是奇函数)0(=/kB ．曲线)21()22(x f x f y -+-=的图象关于直线21=x 对称；C ．函数)(x f 定义在R 上的可导函数，其导函数)('x f 为奇函数，则)(x f 为偶函数．D ．函数)(x f 定义在R 上的可导函数，导函数)('x f ，且)23('+x f 是偶函数，则)(x f 的图象关于点))2(,2(f 对称．12．如图，正方形ABCD 中，a CD =，EC DE 3=，将ADE ∆沿AE翻折到AEP ∆位置，点∉P 平面ABCD 内，记二面角C AB P --大 小为θ，在折叠过程中，满足下列什么关系( )A ．四棱锥ABCE P V -最大值为83aB ．角θ可能为61°C ．1615tan ≤θD ．773tan ≤θ二、填空题13．已知向量)3,1(=a ，),6(m b -=，且()b a a +//，则m = . 14．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米， 水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为220米，则该双曲线的离心率为 ____．15．已知b a x a x x f ++-+=3)2()(2，若存在常数a ，使0)(≥x f 恒成立，则b 的取值范围是 .16．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点)0,1(F 且与抛物线交于B A 、两点，则||2||BF AF -的最小值为 .三、解答题（17题10分，其余每题各12分）17．记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知n n na S n n +-=21)证明：}{n a 是等差数列；2)若641,,a a a 成等比数列，求nS n 9+的最小值．18．设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且ABC S B ac c ∆+⋅=2cos 332. 1)求角A 的大小；2)若2=a ，求c b +的取值范围．19．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；20．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 正方形，平面⊥PAB 底面ABCD ，平面⊥PAD 底面ABCD ，AD PA 2=，H F E ,,分别是AB PD PA ,,的中点，G 为DF 的中点．1)证明：//GH 平面BEF ；2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．21．已知1F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线b y 22=与C 交于B A ,两点，且1ABF ∆的周长和面积分别是244+和2． 1)求椭圆C 的方程；2)如图，若)1,2(P 关于原点的对称点为Q ，不经过P 且斜率为21的直线l 与C 交于点,,E D 直线PD 与QE 交于点M ，证明点M 在定直线上．22．已知函数2)(--=x ae x f x，和2)]2(ln[)(++-=x a x x g ,1)若)(x f 与)(x g 有相同的最小值，求a 的值；2)设2ln 2)()()(-++=a x g x f x F 有两个零点，求a 的取值范围．数学参考答案单选1～8题 C A D B A C B A（9～12多选题）9．ABC 10．AC 11．ACD 12．AD -18，5， 15-≥b 222-17．1)由已知n n na S n n +-=2① )2(1)1()1(211≥-+---=∴--n n n a n S n n ② 由①-②，得)1(2)1(1----=-n a n na a n n n 即)1(2)1()1(1-=----n a n a n n n21=-∴-n n a a ，2≥n 且*N n ∈ {}n a ∴是以2为公差的等差数列． ………………5分(2)由(1)可得614+=a a ，1016+=a a 641,,a a a 成等比数列，6124a a a =∴即)10()6(1121+=+a a a ，解得181-=an n n n n S n 1922)1(182-=⨯-+-=∴ 13199219991992-=-⋅≥-+=+-=+∴nn n n n n n n S n当且仅当n n 9=，即3=n 时，nS n 9+的最小值为-13 ……………………………10分18．解：1）在ABC ∆中，A bc S ABC sin 21=∆. ……………………………1分 A bc B ac S B ac c ABCsin cos 32cos 332+⋅=+⋅=∴∆，0=/c ，A b B a c sin cos 33+=∴ ……………………………2分由正弦定理A B B A C sin sin cos sin 3sin 3+=∴ ……………………………3分 )sin(sin B A C += A B B A sin sin sin cos 3=∴0sin =/B ，A A sin cos 3=∴ 3tan =∴A ，…………………………4分π<<A 0 ，3π=∴A ……………………………5分2）342322sin sin sin =====R C c B b A a ，…………………………7分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+∴)32sin(sin 34)sin (sin 34B B C B c b π )6sin(4π+=B ……………………………10分320π<<B 6566πππ<+<∴B ， ………………………11分 4)6sin(42≤+<∴πB ，当3π=B 取得最大值∴所求的.42≤+<c b ………………………12分19．1)由频率分布直方图的性质可得，110)004.0028.003.0022.0004.0(=⨯+++++m ， 设中位数为a ，5.03.0)60(10022.010004.0=⨯-+⨯+⨯∴a 解得68=a ．………4分 2)]100,90[),90,80[),80,70[ 的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1∴从]100,90[),90,80[),80,70[中分别抽取7人，3人，1人，………………………6分ξ所有可能取值为0，1，2，3，……………………7分16556)0(31138===C C P ξ，5528)1(3111328===C C C P ξ，558)2(3112318===C C C P ξ，1651)3(31133===C C P ξ 故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P16556 5528 558 1651 ……………………10分故.11916513558255281165560)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分20．1)如图，取AE 中点M ，连接F E MH MG ,,, 分别是PD PA ,的中点，AD EF //∴，又M G ,分别是AE DF ,的中点，AD EF MG ////∴，⊂/MG 平面⊂EF BEF ,平面BEF ，//MG ∴平面BEF ，同理，H M ,分别是AB AE ,的中点，⊂/∴MH EB MH ,//平面BEF ，⊂EB 平面//,MH BEF ∴平面BEF ，又M MH MG =⋂ ，⊂MG 平面⊂MH MHG ,平面∴,MHG 平面//MHG 平面⊂GH BEF ,平面MHG ，//GH ∴平面BEF ，……………………………………6分2）先证⊥PA 平面ABCD ………………………………7分如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,的方向分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -，设2=AB ，则)2,1,0(),2,0,0(),4,0,0(),0,2,2(),0,0,2(F E P C B ，可得)2,0,2(-=BE ，)2,1,2(-=BF ，)4,2,2(-=PC …………………………8分设平面BEF 的法向量为),,(z y x m =，可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BF m BE m ，即⎩⎨⎧=++-=+-022022z y x z x ，令1=x ，得)1,0,1(=m ，………………………………10分 故636222||||,cos -=⨯-=⋅⋅>=<PC m PC m PC m ，即PC 与平面BEF 所成角的正弦值为63．……………………12分21．(1)解：将b y 22=代入)0(1:2222>>=+b a by a x C 中，解得a x 22±=，则a AB 2||=，……………………1分所以1ABF ∆的面积为2222221==⨯⨯ab b a ，所以4=ab . ① ……………………2分设C 的右焦点为1F ，连接2AF ，由椭圆的对称性可知||||21AF BF =，所以1ABF ∆的周长为a AF AF AB BF AF AB )22(||||||||||||2111+=++=++，所以244)22(+=+a ，② 由①②解得2,22==b a ，……………………4分所以C 的标准方程为12822=+y x . …………………………5分 (2)解：设),(),,(2211y x E y x D ，直线l 的方程为m x y +=21，0=/m ，联立直线l 与椭圆C的方程，并消去y 得042222=-++m mx x ，则0)42(4422>--=∆m m ，得22<<-m 且0≠m ，且m x x 221-=+，…………7分22121212111111-+=--+=--=x m x m x x y k PD ，22121212122222++=+++=++=x m x m x x y k QE ，所以直线PD 的方程为)2(22111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x x m y ，即2222111--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x mx x m y ， 直线QE 的方程为)2(22112+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+x x m y ，即2222122++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x m x x m y ，……9分 联立直线PD 与直线QE 的方程，得2222222121++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x mx m x x m x m ， 得4)(22121--+-=x x x x x M ，2222111--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x m x x m y M M ，所以)(2422221212111x x x x x m x m x y M M +--⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= ))(2(4221))(2()4()(2121112112121x x x x m x x x x x x x m +--⋅+=+---+++=.2122121-=++=x x m 所以M M x y 21-=，即点M 在定直线02=+y x 上. ……………………12分22．解：1）2)(--=x ae x f x ，01)('=-=xae x f当0≤a 时，)(,0)('x f x f <单调递减，无最值，0>∴a ，得ae x1=说单调…1ln )ln ()(min -=-=a a f x f …………………………………2分 说单调…a g x g ln 1)1()(min -=-= …………………………3分 依题a a ln 11ln -=- e a =∴ ……………………………4分2）)2(2ln )2ln()(->-++-=x a x ae x F x21)('+-=x ae x F x ，令0)('=x F ，2100+=x ae x，……………………………6分),2ln(2)2(212ln )2ln()()(00000min 0+-+-+=-++-==x x x a x ae x F x F x12,0)(00>+∴<x x F …………………………8分又1)2ln(22ln 00>+++=+-x x a 1ln <∴a ，得.0e a << ………………………9分0)(0<x F ，0)2(,0)10(ln2>->eaF a F)(x F ∴在),2(0x x -∈与),(0∞+∈x x 各有一个零点．……………………………11分 ∴所以所求的.0e a << ……………………………12分。
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题 文(含解析)
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ）A. {}|24x x -≤<B. {}|34x x x ≤≥或 C. {}|13x x -≤≤ D. {}|21x x -≤<-【答案】C 【解析】本试题主要是考查了集合的交集和补集的求解运算，是一道基础试题． 已知全集,{|23},,{41}U R A x x B x x x ==-≤≤=<-∴或根据补集的定义结合数轴法可知，{|14}{|13}U U C B x x A C B x x =-≤≤∴⋂=-≤≤故选C.解决该试题的关键是对于数轴法的准确表示和运用． 2.命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为 A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.【详解】由全称命题否定的定义可知，“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为“2,240x x x ∃∈-+>R ”，故选B ．【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定． 3.“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. 23m ≤<B.1522m ≤≤ C. 13m ≤< D.522m ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】首先求区间[]1,3上不单调的充要条件，然后根据集合的包含关系，判断命题的必要不充分条件.【详解】函数的对称轴是x m =， 由已知可知13m <<，由选项判断，命题成立的必要不充分条件是13m ≤<. 故选：C【点睛】本题考查命题成立的必要不充分条件，属于基础题型，当命题以集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件.4.已知2(0)()2(0)xx f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则[()]1f f x ≥的解集是（ ）A. (,-∞B. )+∞C. (,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】分0x ≥和0x < 先求()f x ，根据()f x 的值域，再解不等式()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦. 【详解】当0x ≥时，()02xf x =≥()124x xf f x f ⎛⎫==≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ， 解得：4x ≥，当0x <时，()20f x x =>，()()2212x f f x f x ==≥⎡⎤⎣⎦，解得：x ≥（舍）或x ≤，综上可知：4x ≥或x ≤故选：D【点睛】本题考查分段函数不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的关键是需根据x 的范围，求()f x 的范围. 5.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减 B. 在区间7[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233y x x πππ=-+=-，∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212ππ上为增函数． 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．6.函数3()2xy x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，故选B.考点：函数的图象. 7.若cos2sin5,αα+=-则tan()πα-=（）A. 2- B. 12- C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】【分析】首先用辅助角公式化简()cos2sin55αααϕ+=-=-tan2ϕ=，然后求两个角的关系，求()tanπα-. 【详解】()cos2sin55αααϕ+=-=-且25sinϕ=5cosϕ=，tan2ϕ=()cos1αϕ∴-=-，2,k k Zαϕππ-=+∈2kαϕππ∴=++，tan tan 2αϕ∴==，()tan tan 2παα∴-=-=- .故选：A【点睛】本题考查诱导公式，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.8.若实数,x y 满足不等式330{23010x y x y x my +-≥--≥-+≥，且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】考点：简单线性规划的应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A 时，从而得到m 值即可．解：作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9， 显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．联立方程组9230x y x y +=⎧⎨--=⎩解得45x y =⎧⎨=⎩即点A （4，5）直线x-my+1=0上，∴4-5m+1=0，得m=1． 故答案为1．9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A. AC BE ⊥B. 三棱锥E ABF -的体积为定值C. //EF 平面ABCDD. 异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】根据点，线，面的位置关系，逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】A.因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BDDD D =，所以AC ⊥平面11BDD B ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，正确； B.1111233212E ABF A BEF BEF V V S AB EF BB AB --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以三棱锥E ABF -的体积为定值，正确；C.因为//EF BD ,且EF ⊄平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，正确；D.如上图，当点E 在11B D 的中点时，点F 与1B 重合，O 是BD 的中点，1//OE BB ，AO EO ⊥，此时AE 与BF 所成的角是AEO ∠，6cos 362OE AEO AE ∠===.如上图，当点E 和1D 重合时，点F 是11B D 的中点，O 是BD 的中点，如图1AD O ∠是AE 与BF 所成的角，12AD =2AO =，116122OD =+=，1612342cos 26222AD O +-∴∠==⨯⨯,这两种情况下异面直线,AE BF 所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正确. 故选：D【点睛】本题考查点，线，面的位置关系的判断，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型.10.如图，树顶A 离地面4.8m ，树上另一点B 离地面2.4m ，在离地面1.6m 的C 处看此树，离此树多少m 时看,A B 的视角最大（ ）A. 2.2B. 2C. 1.8D. 1.6【答案】D 【解析】【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD x =，则5tan AD ACD CD x ∠==，2tan BD BCD CD x∠==， ()23.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACD BCD x x x x-∴∠=∠-∠==≤+⨯+， 当且仅当21.6x x=，即 1.6x =时等号成立.11.已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A. 38B. 1C.98D.158【答案】D 【解析】 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ，化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得3304a a -+-=，解得158a =.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4πx =-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是 ( )A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈，根据2T πω=，可推出()21k k N ω*=+∈，再根据()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，可推出24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，从而可得ω的取值范围，再通过检验ω的这个值满足条件．【详解】∵()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标 ∴4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈. 又∵2T πω=，0ω>∴()21k k N ω*=+∈又∵()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调 ∴24122Tππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭ 又∵2T πω=∴8ω≤当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=-，此时，()f x 在,1228x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-递减，,2824x ππ⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=，此时()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=. 故选B ．【点睛】对于函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(,)a b 上单调，那么基本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(,)a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等式组有解确定整数k 的取值即可. 二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13.已知直线20ax by --=与曲线2y x 在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为________ 【答案】12-; 【解析】 【分析】 先求2yx 在1x =处的导数，根据已知条件可知()11a f b '⨯=-，解得ab的值. 【详解】直线20ax by --=的斜率ak b=， 2yx ，2y x '=，当1x =，2y '=，由题意可知，21ab⨯=-， 12a b ∴=-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，意在考查计算能力，属于基础题型. 14.函数()sin cos ,[0,]f x x x x π=+∈的值域为___________【答案】[-; 【解析】 【分析】首先化简函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数的定义域求值域.【详解】()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 4x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的值域是2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()f x ∴的值域是1,2⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：1,2⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算能力，属于基础题型. 15.设函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示， 若6()(0)52f παα=<<，则()6f πα+=_______433+; 【解析】 【分析】首先根据函数图象特征求函数的解析式()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后再利用两角和的正弦公式求6f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】由图象可知，2A =，2233T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2T π=,22ππω∴= ，1ω∴=，当23x π=时，函数取得最大值， 22,32k k Z ππφπ∴+=+∈， 26k πφπ=-+ ，2πφ<6πφ∴=-，()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()62sin 65f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ ，02πα<<，663πππα∴-<-<，4cos 65πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭那么2sin 6f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2sin 2sin cos 2cos sin 666666ππππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，34122552=⨯+⨯⨯==故答案为：45+ 【点睛】本题考查根据图象求三角函数的解析式，以及两角和的正弦公式的应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型. 16.已知 01x ≤≤，若3112x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[13,]22-. 【解析】 【分析】首先不等式等价于31112x ax -≤-≤，参变分离转化为2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数的最值.【详解】由题意可知31112x ax -≤-≤， 当(]0,1x ∈时，32222x a x x x-≥=-，且2112a x x ≤+ 即2max 22a x x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭设()22g x x x=-，函数在(]0,1上是单调递增函数， ()g x ∴的最大值是()11g =-，1212a a ∴≥-⇒≥-，设()2112h x x x=+ ，(]0,1x ∈()322110x h x x x x-'=-=< ，()h x ∴单调递减，()h x 的最小值是()312h =，32a ∴≤，当0x =时恒成立， 综上：a 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与变形，和计算能力，一般不等式在给定区间恒成立，可以参变分离转化为求函数的最值，而导数，基本不等式，判断函数单调性求最值，函数图象，都是求最值的常有方法. 三、解答题17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，3cos 5B =. （1）求cos cos sin sin A CA C+的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长． 【答案】(1)54【解析】 【分析】（1）首先根据题意可知2b ac =，根据正弦定理转化为2sin sin sin B A C =，再变形cos cos sin sin sin sin sin A C BA C A C+=，代入求值； （2）首先根据面积求b ，再根据余弦定理求a c +.【详解】解：(1)△ABC 中，∵cosB=35＞045由a ，b ，c 成等比数列，得b 2=ac ，根据正弦定理得：sin 2B=sinAsinC ，∴cos cos +sin sin A CA C=cos sin sin cos sin()=sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++sin()sin sin sin sin sin B B A C A C π-== =2sin sin B B =15=sin 4B ； (2)△ABC 的面积为S △ABC =12acsinB=12b 2•45=2由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+c 2﹣2×5×35，∴a 2+c 2=b 2+6=5+5=11，∴（a+c ）2=a 2+2ac+c 2=11+2×5=21，的周长为【点睛】本题考查根据正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归，和计算能力，属于基础题型.18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.【答案】(1) 40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩(2) 3350 【解析】 【分析】（1）根据题意分10n <和10n ≥两段，求分段函数；（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在[]500,650时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.【详解】解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+； 当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB =2CD ，∠BAD =90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离． 【答案】(1)证明见解析；457【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，根据题中所给的条件证明PA CE ⊥，即证明PA ⊥平面CDE ；（2）利用等体积P ADE E PAD V V --=，根据所给的条件，易求PAD S ∆，点E 到平面PAD 的距离就是CD ，并且根据点，线，面的关系和边长求ADE ∆的面积. 【详解】证明：（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵E 是PB 中点，∴EF∥AB，EF=12AB ， 又CD∥AB，CD=12AB ， ∴CD∥EF，CD=EF ∴四边形CDEF 为平行四边形， ∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形， ∴PA⊥DF，从而PA⊥CE， 又PA⊥CD，CD∩CE=C， ∴PA⊥平面CDE ， 又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB⊥平面CDE ．⑵∵AB∥CD，AB⊥AD， ∴CD⊥AD，又PA⊥CD，PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD ，又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD ， ∴EF 为三棱锥的E ﹣PAD 的高，且EF=CD=2， 易得△PAD 的面积S △PAD =3×22=3， Rt△PAB 中，PB=2，AE=125 在矩形CDEF 中，CD=2，37 在△ADE 中，57，AD=2，222cos 235AE ED AD AED AE ED +-∠==⋅219sin 1cos 35AED AED ∴∠=-∠=∴△ADE 的面积119sin 2ADE S AE ED AED ∆=⋅⋅∠=设点P 到平面ADE 的距离为d ，由V P ﹣ADE =V E ﹣PAD 得13313×192d ， 解得457 ∴点P 到平面ADE 457【点睛】本题考查面面垂直的判断定理和点到平面的距离，意在考查推理证明和转化与化归，计算能力，属于中档题型，本题的难点是第一问分析线线，和线面关系，并且第二问求解边长时，需要用到点，线，面的位置关系.20.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且PA QA ⊥,求证：直线l 过定点.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意建立,,a b c 的方程组求解；（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， 由已知可知0AP AQ ⋅=，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到12k m =-或56k m =-，再验证是否成立，证明直线过定点.【详解】解：（1）由已知，3c a =，22221c b a a =-，可得224a b =，又因1AOB S ∆=，即112ab =，所以222()4b b=，即21b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ①因为PA QA ⊥ , ∴0AP AQ ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-= 即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-，所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去）， 综上所述直线l 过定点6(,0)5.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数()[2(1)]2,xxf x e e a ax =-++（e 为自然对数的底数，且1a ≤）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 1(,0).2- 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并化简()()()21xxf x e e a '=--，然后再分情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围. 【详解】解：(1)/()[2(1)]2xxxxf x e e a e e a =-++⋅+222(1)2x x e a e a =-++2(1)()x x e e a =--①当0a ≤时，0x e a ->，则当0x <时，/()0f x <，故()f x 在(,0)-∞单调递减；当0x >时，/()0f x >，故()f x 在(0,)+∞单调递增.②当0a >时，由/()0f x =得12ln ,0.x a x ==若1a =，则/()0f x ≥，故()f x 在R 上单调递增.若01a <<，则：当ln x a <或0x >时，/()0f x >，故()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增.当ln 0a x <<时，/()0f x <，故()f x 在(ln ,0)a 单调递减.(2)①当1a =时， ()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.②当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增，(ln ,0)a 单调递减故当ln x a =时，()f x 取得极大值，极大值为(ln )(2)2ln 0f a a a a a =-++<此时，()f x 不可能有两个零点.③当0a =时，()(2)x x f x e e =-，由()0f x =得ln 2x =此时，()f x 仅有一个零点.④当0a <时，()f x 在(,0)-∞单调递减； 在(0,)+∞单调递增.min ()(0)12f x f a ∴==--()f x 有两个零点， (0)0f ∴<解得12a >- ∴102a -<<而则(1)[2(1)]20f e e a a =-++> 取2(1)2a b a +<，则222()[(1)](1)2[(1)]0bb f b e a a ab e a =-+-++>-+≥故()f x 在(,0)-∞、 (0,)+∞各有一个零点综上，a 的取值范围是1(,0).2-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合，讨论法.请考生从第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知平面直角坐标系xOy ，直线l过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N两点，若||||PM PN -=l 的倾斜角α的值． 【答案】(1) 直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)；圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+= (2) 4πα=或34π 【解析】【分析】（1）根据直线的参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆C 的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用t 的几何意义表示1212PM PN t t t t -=-=+，代入根与系数的关系求解.【详解】解：（1）因为直线l过点P ，且倾斜角为α所以直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 因为圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=所以22cos sin 10ρρθθ---=所以圆C的普通方程为：22210x y x +---=，圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+-=（2）直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，代入圆C 的标准方程 得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=整理得22cos 40t t α--=设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则122cos t t α+=所以||||PM PN -=12|||2cos |t t α+=，cos 2α=± 因为0απ≤<，所以4πα=或34π 【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.23.已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -.（1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213a b c ++≥. 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得f （x ）＜8⇔2228x x ≤-⎧⎨-⎩＜或2268x -⎧⎨⎩＜＜＜或2228x x ≥⎧⎨+⎩＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1，得a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++， 所以()28228x f x x ≤-⎧<⇔⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩. 所以不等式的解集为{|33}x x -<<.（2）因为0a >，0b >，0c >，所以()f x a x x b c a x x b c =-+++≥-+++ a b c a b c =++=++，当且仅当()() 0a x xb -+≥等号成立； 因为()f x 的最小值为1，所以1a bc ++=，所以()22222221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，因为222ab a b ≤+，222bc b c ≤+，222ac a c ≤+，当且仅当a=b=c 等号成立 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c=+++++≤++， 所以22213a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．。
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汕头市金山中学2017级高三第一学期期中考试
文科数学
命题人：郭荣斌 审核人：高三文科数学备课组
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
⒈已知全集，集合，，那么集合
等于（ ）
A. ]3,1[ B. C. )1,2[ D. )4,2[
⒉已知命题，则为 （ ）
A. B.
C. D.
⒊“函数f（x）＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是( )
A. 32m B. 2521m C. 31m D. 252m
4. 已知)0()0(2)(2xxxxxf，则[()]1ffx的解集是( )
A.(,2] B. [42,) C.(,1][42,) D.(,2][4,)
⒌将函数3sin(2)3yx的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间7[,]1212上单调递减 B.在区间7[,]1212上单调递增
C．在区间[,]63上单调递减 D．在区间[,]63上单调递增
⒍函数xxx2)(y3图象大致是（ ）
A． B． C． D．
⒎若,5sin2cosaa则)tan(a=（ ）
A．2 B. 21 C．21 D． 2
UR
|23Axx
≤≤
|14Bxxx
或
)(BCA
U
|34xxx
或
≤≥
2
:,240PxRxx
P
2
,240xRxx
2
000
,240xRxx
2
,240xRxx
2
000
,240xRxx
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⒏若实数x，y满足不等式组330,230,10,xyxyxmy且yxz的最大值为9，则实数m（ ）
A.2 B. 1 C. 1 D.2
9．如图，正方体的棱线长为1，线段上有
两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. 三棱锥ABFE的体积为定值
C. D.异面直线所成的角为定值
10. 如右图,树顶A离地面m8.4,树上另一点B离地面m4.2，在离地面
的m6.1C处看此树,则离此树多少m时看A,B的视角最大( )
A. B. 2 C. D.
11. 已知曲线,x(:3aaxxfC）若过点A(1.1)引曲线C的两条切线，它
们的倾斜角互补，则a的值为（ ）
A. 83 B. 1 C. 89 D. 815
12. 已知函数sin(0),24fxxx，4x和分别是函数)(xf取得
零点和最小值点横坐标，且fx在)24,12(单调，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
13. 已知直线02byax与曲线2xy在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为
14. 函数],0[,cossin)(xxxxf的值域为
15. 设函数)2,0,0)(sin()(AxAxf的部分图象如
图所示， 若)20(56)(f，则)6(f
16. 已知 10x，若1213axx恒成立，则实数a的取值范围
是 .
1111
ABCDABCD
11
BD
2
2
EF
ACBE
//EFABCD平面
,AEBF
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E
B
A
D
C
P
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，
5
3
cosB
.
（1）求CCAAsincossincos的值； （2）若△ABC的面积为2，求△ABC的周长．
18. （本小题满分12分）
某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，
剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商
品可获利40元.
（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：
件，nN）的函数解析式；
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n（单位：件，nN），整理得下表：
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求
当天的利润在区间[500,650]内的概率.
19
．
（本小题满分12分）
如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，
AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点
（1）求证：平面PAB⊥平面CDE；
（2）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．
20. （本小题满分12分）
如图，椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，设A，B分别为椭圆C的右
顶点，下顶点，OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知不经过点A的直线l：(0,)ykxmkmR交椭圆于P，Q两点，且
QAPA
,
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求证：直线l过定点.
21. （本小题满分12分）
已知函数,2)]1(2[)(axaeexfxx（e为自然对数的底数，且1a）.
⑴讨论)(xf的单调性； ⑵)若)(xf有两个零点，求a的取值范围.
请考生从第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按
所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知平面直角坐标系xOy，直线l过点(0,3)P，且倾斜角为，以O为极点，x轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为24cos()103．
（1）求直线l的参数方程和圆C的标准方程；
（2）设直线l与圆C交于M、N两点，若||||2PMPN，求直线l的倾斜角的值．
23．选修54：不等式选讲（本小题满分10分）
已知0,0,0abc，函数()||||fxaxxbc．
（1）当2abc时，求不等式()8fx的解集；
（2）若函数()fx的最小值为1，证明：22213abc．