哈工大第十四章动能定理

的路径有关。
一般情况下，滑动摩擦力与物体的相对位移反向，摩擦力作负功，不是理 想约束，应用动能定理时要计入摩擦力的功。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力FN ，摩擦力 FS 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
(3) 滚动摩擦阻力偶 M 的功 若M = 常量
当刚体绕定轴转动时，
力F 的元功为
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶 M , 且力偶的作用面垂直转轴
若 M = 常量, 则
注意：功的符号的确定。
4．平面运动刚体上力系的功 取刚体的质心C为基点， 当刚体有无限
小位移时，任一力 Fi 作用点 Mi 的位移为
力 Fi 在点 Mi 的位移上所作元功为
约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1．光滑固定面约束
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
4．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
5．刚性二力杆 在理想约束条件，质点系动能的改变只 与主动力作功有关
② 摩擦力的功 (1) 动滑动摩擦力的功
第十四章 动能定理
引言 §14—1 力的功 §14—2 质点和质点系的动能 §14—3 动能定理 §14—4 功率·功率方程·机械效率 §14—5 势力场·势能·机械能守恒定律 §14—6 普遍定理的综合应用举例
引言
动量定理和动量矩定理 动能定理
矢量 标量
与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量 传递的规律。
计算质点系的动能不必考虑速度的方向。
三．刚体的动能 (1)平动刚体的动能
(2)定轴转动刚体的动能
绕定轴转动的刚体的动能．等于刚体对于转轴的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
(3)平面运动刚体的动能 设图形中的点P是某瞬时的瞬心，刚体质心C。平面 运动的刚体的动能为
作平面运动的刚体的动能，等于随质心平动的 动能与绕质心转动的动能的和。
则 不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束。
③ 质点系内力的功
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。 刚体的内力功之和等于零。 不可伸长的绳索内力功之和等于零。
[例1] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用 矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计， 绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)
F与ro的反向 F与ro的同向
点A由Al到A2时，弹性力作功为 计算弹性力作功的普遍公式
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的 变形量δ有关，与力作用点A的轨迹形状无关。
δ1 ＞ δ2 δ1 < δ2
正功 负功
弹性力功的大小可由图所示的阴影面积表示
两段相同位移内，弹性力作功也是不相等的。
3．定轴转动刚体上作用力的功 设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 F
解：取系统为研究对象
上式求导得：
[例2]图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常 数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至 少应为多大？
解：研究OA杆 由
[例3]行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的 函数表示) 和角加速度。
力的方向总是指向自然位置(即弹簧未变形时端点的位置A0)。 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力
单位为N/m , N/mm
以点O为原点，设点A的矢径为r，其长度为r。令沿矢径方向的单位矢量为ro，弹 簧的自然长度为l0 ，则弹性力
当弹簧伸长时 当弹簧压缩时
r＞ l0 r < l0
能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形 式运动的桥梁。
§14—1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。 一．常力的功
力的功是代数量。 时,正功；
单位：焦耳（Ｊ）；
时,功为零；
时,负功。
二．变力的功 元功：在一无限小位移中力作的功。
力 F 在曲线路程
中作功为
（自然形式表达式）
∵ 转动位移 大小 方向
力系全部力所作元功之和为
其中F R’ 为力系主矢，Mc为力系对质心的主矩。 刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由 1转到 2 角度时，力系作功
平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化 所得的力和力偶作功之和。 基点也可以是刚体上任意一点。
§14—2 质点和质点系的动能
车轮在地面只滚不滑，质量分布在轮缘，轮辐的质 量不计。
§14—3 动能定理
1．质点的动能定理
∴质点动能定理的微分形式 质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。
力作正功 力作负功
W>0 W<0
质点动能增加； 质点动能减小。
一．质点的动能
1、瞬时量,与速度方向无关的正标量。 2、动能具有与功相同的量纲 dim F =ML2 T –2
单位也是J。
3、动能和动量都是表征机械运动的量。 动能与质点速度的平方成正比，是一个标量； 动量与质点速度的一次方成正比，是一个矢量。
二．质点系的动能 m1 = 2 m2 = 4 m3 绳的质量和变形忽略不计
（矢量式） （直角坐标表达式）
三．合力的功 质点M 受n个力
作用合力为
，则合力 FR 的功
即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
四．常见力的功 1．重力的功 质点：重力在三轴上的投影：
质点系： 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，
而与各质点的路径无关。
2．弹性力的功 在弹性极限内，弹性力的大小与其变形量δ成正比，即
2．质点系的动能定理 对质点系中的一质点 mi ：
对整个质点系，有
质点系动能定理的微分形式 质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和。 质点系动能定理的积分形式 质点系在某段运动过程中，起点和终点的动能的改变量．等于作用于质点系的全部 力在这段过程中所作功的和。
3. 理想约束 ① 理想约束反力的功