第二讲 多项式理论1资料
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《多项式》PPT课件
1 2
a
b
πr2
单项式 ＋ 单项式
3x+5y+2z ， x2+2x+18
单项式 ＋ 单项式 ＋ 单项式
上面这些式子都是由几个单项式相加而成的. 像这样，几个单项式的和叫做多项式.
判断下列代数式哪些是多项式?
① a ② 1 x2y ③ 2x2 xy y2
④
xy 2
3
1
⑤ x2 1
多项式有： ③，④
—多项式
一、复习旧知，温故知新
问题1.什么叫单项式？单项式的系数和 次数？
由数与字母的乘积组成的代数式叫 做单项式.
单项式中的数字因数，叫作单项式的系数. 一个单项式中，所有字母的指数的和，
叫做这个单项式的次数．
问题2：指出下列哪些是单项式？
(1)abc
(2) x 3
(3) 4 R3
3
(4)0
(5) m2 m (6) 5x2 yz3
多项式 1+6y2+ 8x2
项
最高次项及 次数
常数项
几次 几项式
1,6y2,8x2 6y2 , 8x2
2 1
二次三项式
8-0.5y +3x3
8,-0.5y, 3x３ 3x３
3 8
三次三项式
恭喜你，运气很好哦，不用作答， 加10分！
2.若多项式
m 3 x3y3 3x2y 5xy m3x 5
是关于 x、y 的三次三项式，则 m等 于多少？
一 探究二
3x2 2x 5
不含 字母
的项
每个单项式叫 做多项式的项.
叫常 数项.
例： 多项式6x²+4x-10有_三__项，它们分别是 _6_x_²，__4_x_，_-_1_0 ，其中_-1_0_是常数项. 所以它是___三__项式．
高等代数第1章多项式
三、整除的性质
• 1、若f(x)g(x)且g(x)f(x),则 存在常数 c0，使 f(x)=cg(x),. • 2、若f(x)g(x)且g(x)h(x), 则 f(x)h(x) (传递性) • 3、若f(x)g1(x)且f(x)g2(x),则 f(x)g1(x)g2(x). • 4、若f(x)g1(x)且f(x)g2(x),则u(x),v(x), f(x)u(x)g1(x)+v(x)g2(x).
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
一些性质
• 1、数域P上的两个多项式经过加、减、乘运 算后,所得的结果仍然是数域P上的多项式 • 2、deg(f(x)g(x))max(deg f(x),deg g(x)) deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x) • 3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的 首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x) 的首项系数之积.
正交多项式
k −1 k ϕ k ( x ) = x + ∑ ckjϕ j ( x ),
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
第二章多项式
第二章多项式2.1.1 单项式[学习目标]1. 会用含字母的式子表示简单的数量关系。
2. 理解单项式的概念，会指出一个单项式的系数和次数。
[学习过程]一、板书课题，揭示目标（一）讲述：同学们，今天我们来学习单项式（师板书）二、出示目标（二）过渡语：要达到什么学习目标呢？请看投影：（三）屏幕显示学习目标1. 会用含字母的式子表示简单的数量关系。
2. 理解单项式的概念，会指出一个单项式的系数和次数。
三、自学指导（一）过渡语：这样才能当堂达到学习目标呢？请看自学指导。
（二）出示自学指导自学指导认真看课本（P54-55）（1）注意P54页黄色书签提示，填“思考”中的空白;（2）结合例子理解单项式、单项式的系数、次数的概念，回答“云图”中的问题；（3）注意例1的解题格式和步骤。
如有疑问，可以小声问同桌或举手问老师，6分钟后比谁能正确指出单项式的系数、次数。
四、先学（一）学生看书，教师巡视，教师督促每一位学生认真、紧张的自学。
（二）检测1. 过渡语：同学们，看完的请举手，理解单项式、单项式的系数、次数概念的同学青举手。
好，下面就比一比，看谁能正确运用。
2. 检测题：P56 1、2 （1题两人，2题一人）分别让三位同学版演，其他同学做在自己的练习本上。
3.学生练习，教师巡视。
（收集错误进行第二次备课）五、后教（一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的版演，单项式的系数和次数求的对吗，单项式列的对吗？能发现错误并会更正的请举手。
（三） 讨论：评：第1题（5）这些式子是单项式吗？为什么呢？引导学生说出；它们都是数或字母的积（师板书）2a 2是单项式吗？为什么呢？引导学生回答：2a 2可以看成2与a 2的积；32vt -是单项式吗？为什么？引导学生解释32vt -可以写成vt 32-表示—2/3与vt 的积； 再问a 是单项式吗、5是单项式吗、为什么、引导学生说出：单独的一个数字或一个字母也是单项式（师板书）（6）系数填的正确吗？为什么？引导学生说出：单项式的系数：单项式中的数字因式（师板书）归纳：单项式的系数是1或—1时，1可以省略不写。
多项式课件教程文件
3
多项式的概念在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。
多项式的定义
01
一个多项式可以表示成如下形式：a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n，其中 a_i是常数，x是一个变量。
02
按照这个定义，多项式中的每一项都可以表示成单项式，而所有项的和构成了 这个多项式。
03
2023
多项式课件教程文件
contents
目录
• 多项式的定义与概念 • 多项式的运算规则 • 多项式的应用场景 • 多项式在数学中的发展历程 • 学习多项式的意义与价值 • 如何学好多项式
01
多项式的定义与概念
多项式的简介
1
多项式是数学中的一种基本函数，可以表示为 多个单项式的和。
2
在多项式中，每个单项式称为多项式的项，而 系数则是表示每一项中包含的因子。
03
多项式的应用场景
数学领域的应用
多项式在数学领域有着广泛的 应用。
线性代数中的矩阵和向量运算 涉及多项式的概念。
解决微分方程时，多项式是重 要的近似方法之一。
在数论中，多项式是研究整数 的性质和构造的重要工具。
物理领域的应用
力学中的振动和波动问题可以用多项式来描 述。
热力学中的热传导和扩散问题也涉及到多项 式的求解和应用。
学习不同的解题方法
多项式是一种基本的数学工具，它可以用来解决各种类型的数学问题，学习多项式可以帮 助我们学习不同的解题方法。
拓展思维视野
学习多项式可以拓展我们的思维视野，让我们了解到更多的数学知识和应用，从而更好地 解决各种问题。
06
如何学好多项式
掌握多项式的运算规则
多项式
3.3.2 多项式 3.3.3 升幂排列与降幂排列
【问题】
(1)观察式子
a+b+c x+21 2ar－πr2
3x 5 y 2z 1 ab πr2
2
x2 2x 18
它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？
归纳：它们都是由几个单项式的和组成的代数
式。
知识点1：多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式. 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项 叫做常数项． 一个多项式有几项，就叫做几项式.
把一个多项式按某一字母的指数从小到大的顺序 排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
如：按y的升幂排列： - 7 - x2y + 2xy2 - x3y3
说明：(1)在排列时，应把每一项性质符号一起 移动．
(2)排列时要注意两点： 一是先确定按照哪个字母的指数来排列； 二是确定按这个字母的降幂排列还是升幂排 列． 没有这个字母的项，按降幂排列时，则排在最 后面；按升幂排列时，则排在最前面．
如多项式y－2.5中次数最高项是一次项y，这个 多项式的次数是1，叫一次二项式．
多项式x2+2x+18中次数最高项是二次项x2，这 个多项式的次数是2，叫二次三项式．
知识点3：升幂排列与降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺 序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．
如：按x的降幂排列： - x3y3 - x2y + 2xy2 - 7
【课堂小结】
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）请你举例说明多项式的概念、多项式的
项和次数的概念. （3）请你举例说明整式的概念.
如：按x的降幂排列： - x3y3 - x2y + 2xy2 - 7
【问题】
(1)观察式子
a+b+c x+21 2ar－πr2
3x 5 y 2z 1 ab πr2
2
x2 2x 18
它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？
归纳：它们都是由几个单项式的和组成的代数
式。
知识点1：多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式. 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项 叫做常数项． 一个多项式有几项，就叫做几项式.
把一个多项式按某一字母的指数从小到大的顺序 排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
如：按y的升幂排列： - 7 - x2y + 2xy2 - x3y3
说明：(1)在排列时，应把每一项性质符号一起 移动．
(2)排列时要注意两点： 一是先确定按照哪个字母的指数来排列； 二是确定按这个字母的降幂排列还是升幂排 列． 没有这个字母的项，按降幂排列时，则排在最 后面；按升幂排列时，则排在最前面．
如多项式y－2.5中次数最高项是一次项y，这个 多项式的次数是1，叫一次二项式．
多项式x2+2x+18中次数最高项是二次项x2，这 个多项式的次数是2，叫二次三项式．
知识点3：升幂排列与降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺 序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．
如：按x的降幂排列： - x3y3 - x2y + 2xy2 - 7
【课堂小结】
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）请你举例说明多项式的概念、多项式的
项和次数的概念. （3）请你举例说明整式的概念.
如：按x的降幂排列： - x3y3 - x2y + 2xy2 - 7
多项式理论与基本性质
多项式理论与基本性质多项式是数学中的重要概念之一，它在代数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式的理论基础以及其基本性质。
一、多项式的定义和表示方法多项式由一系列有限项组成，每一项由系数和指数部分构成。
在最简单的情况下，一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0表示系数，x^n,x^{n-1}, ..., x^1, x^0表示指数，n表示多项式的次数。
二、多项式的运算法则1. 加法和减法：多项式的加法和减法运算都是对应项相加或相减。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的和为：P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)它们的差为：P(x) - Q(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 - b_1)x + (a_0 - b_0)2. 乘法：多项式的乘法通过每一项相乘并按指数相加的方式进行。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (a_n * b_0)x^{n+m} + (a_n * b_1 + a_{n-1} *b_0)x^{n+m-1} + ... + (a_1 * b_1)x^2 + (a_1 * b_0 + a_0 * b_1)x + a_0 * b_0其中，n和m分别为P(x)和Q(x)的次数。
3. 乘法的分配律：对于任意多项式P(x)、Q(x)和R(x)，满足以下分配律：P(x) * (Q(x) + R(x)) = P(x) * Q(x) + P(x) * R(x)三、多项式的因式分解和根的性质1. 因式分解：多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因子的乘积的过程。
多项式PPT授课课件
____B_点___时__的__速__度__不__为__0_；__小__车__通__过__A_C__段__的__时__间__与__A_B__段__的__ _时__间__之__差__才__是__下__半__程__B_C_段__的__时__间__)___。
1．[中考 ·四川宜宾]如图所示，小球在水平面上做直线运 动，每隔0.2 s记录一次小球的运动位置，则小球从D 点运动到F点的路程为________cm，该过程的平均速 度为________m/s。
基础巩固练
2．在“测量物体运动的平均速度”实验中，当小车自斜面 顶端滑下时开始计时，滑至斜面底端时停止计时。如 图所示，此过程中小车的平均速度是( B ) A．10 cm/s B．9 cm/s C．8 cm/s D．7 cm/s
9．写出一个整式，具备以下两个条件： 它是一个关于字母 x 的二次三项式； 各项系数的和等于 10. 这个整式可以是_2_x_2_＋__3_x_＋__5__． (答案不唯一)
10．【易错题】若 m，n 为正整数，且 m＞n，则关于 x，y 的多
项式 xm＋yn－2m＋n 的次数为( B )
A．m＋n
21．观察多项式 x－3x2＋5x3－7x4＋…的构成规律，并回答下列 问题：
(1)它的第 100 项是什么？ 解：第 100 项是－199x100.
(2)它的第 n(n 为正整数)项是什么？
第 n 项是(－1)n＋1(2n－1)xn.
HK版 八年级上
第二章 运动的世界
第4节 科学探究：速度的变化
【答案】8.00；0.2
能力提升练
10．[中考·江苏泰州]如图是“研究气泡的运动规律”实验 装置。
(1)实验时所用的测量工具是刻度尺和___秒__表___。 (2)要正确判断气泡是否做匀速直线运动，需要对气泡
1．[中考 ·四川宜宾]如图所示，小球在水平面上做直线运 动，每隔0.2 s记录一次小球的运动位置，则小球从D 点运动到F点的路程为________cm，该过程的平均速 度为________m/s。
基础巩固练
2．在“测量物体运动的平均速度”实验中，当小车自斜面 顶端滑下时开始计时，滑至斜面底端时停止计时。如 图所示，此过程中小车的平均速度是( B ) A．10 cm/s B．9 cm/s C．8 cm/s D．7 cm/s
9．写出一个整式，具备以下两个条件： 它是一个关于字母 x 的二次三项式； 各项系数的和等于 10. 这个整式可以是_2_x_2_＋__3_x_＋__5__． (答案不唯一)
10．【易错题】若 m，n 为正整数，且 m＞n，则关于 x，y 的多
项式 xm＋yn－2m＋n 的次数为( B )
A．m＋n
21．观察多项式 x－3x2＋5x3－7x4＋…的构成规律，并回答下列 问题：
(1)它的第 100 项是什么？ 解：第 100 项是－199x100.
(2)它的第 n(n 为正整数)项是什么？
第 n 项是(－1)n＋1(2n－1)xn.
HK版 八年级上
第二章 运动的世界
第4节 科学探究：速度的变化
【答案】8.00；0.2
能力提升练
10．[中考·江苏泰州]如图是“研究气泡的运动规律”实验 装置。
(1)实验时所用的测量工具是刻度尺和___秒__表___。 (2)要正确判断气泡是否做匀速直线运动，需要对气泡
多项式
即
g(x)-g(a)|f(g(x))-f(g(a))
(2) 解:令b 3 a ，注意用到上一问的结论，将 上一问中的a换成这里的b，将上一问的g(x)换成这 里的x3，可得x3-a|f(x3)-f(a) □ 例1.1.3（哈工大，2006年）已知f (x)，g(x)是数域P 上两个次数大于零的多项式，且存在u1(x),v1(x) ∈P[x]，使得u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1，问是否存在， u(x),v(x) ∈P[x]，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1， (u( x)) ( g ( x)) (v( x)) ( f ( x)) ，如果存在，这样 的u(x),v(x)是唯一的吗？说明理由。 解：由u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1 ，若有u1(x)的次数大 于g(x)的次数，由带余除法有：u1(x)=g(x)q(x)+u(x), (u ( x)) ( g ( x)) 带入上一式得：
1 , 2 ,, n
是f(x)的根,则 ak (1) k i1 i2 ik
i1 ,i2 ,,ik
其中（i1,i2, … ,ik）是1,2, … ,n取k个数的任一组合。
(4)设f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x +a0是整系数多 项式，r/s是f(x)的有理根且r与s互素，则必有s|an， r|a0。特别地，若an=1,则f(x)的有理根都是整数，且 一定是a0的约数（因子）。 (5)f(x)的各项系数同号，则f(x)无正根。 (6) 若多项式f(x)的奇次项和偶次项符号相反，则f(x) 无负根。 (7)实系数多项式f(x)的正根个数等于它的系数的变 号数，或较系数的变号数多一个偶数。 (8) 奇次实系数多项式至少有一个实根。
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对称多项式与轮换多项式的关系：对称多 项式是轮换多项式，反之不然。
性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、 幂仍是轮换多项式。
（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）
轮换多项式因式分解的一般步骤：
1）确定要分解的多项式是轮换多项式； 2）利用因式定理确定出部分因式； 3）据多项式的对称性，写出其他有关多项 式的形式（待定系数法） 4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。
（一）解析式的定义和恒等
1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连 接而成的式子叫做解析式。
说明： 1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他
们在什么范围内讨论。（公共定义域） 2、解析式的恒等变形，可能引1、一元多项式的标准形式
多项式理论是方程理论、函数理论、不等 式理论的基础。
2、指数式与对数式的关系
注明： 1、理解指数式与对数式相互转化的过程； 2、明确各字母的含义。
问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）
3、指数式与对数式的恒等变形
一、有理分式的恒等
二、根式的定义和意义
三、复合根式的计算
四、根式的恒等变形的化简
类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式
类型2 一元代数式型根式 基本思想：转化为一元代数方程式
类型3 一元代数式型 基本思想：降低次数法
类型4 方程型无理根式
定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。
定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。
定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。
3、多项式的整除
因式分解的理论基础是因式定理
基本思想：构造对偶式、函数等方法， 利用相关性质求解
5、代数代换法
6、函数型根式——构造几何模型法
7、三角形代换法
指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话， 那么对数的发现将人类的 寿命延长了两倍。
——拉普拉斯
主要内容
1、对数的起源和发展； 2、指数式与对数式的相互关系； 3、指数式与对数式的恒等变形。
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能 再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”
关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
1、制造各种表格
2、对数研究的起源和发展：
1544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通 算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质” 写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做 原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代 表人物）
17世纪最重要的数学方法
恩格斯在《自然辨证法》中高度评价 了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解 析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为 “17世纪最重要的数学方法”。
第二讲 多项式理论
一、一元多项式理论与轮换、对称多项式 二、根式、指数式、对数式理论 三、三角式理论
一、一元多项式理论与轮换多项式
多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。
定义分析： 1、一个置换实际上是指一个排列； 2、置换的总数共有n!种。
判断下列多项式是否是对称多项式
（2）基本对称函数（基本对称多项式）
广义韦达定理：
结论1：任何对称多项式都可以表示成基本 对称函数的形式。
结论2：两个对称多项式的和、差、积、 商、乘方（幂）也是对称多项式。
定义分析： 1、轮换：轮流替换； 2、轮换的总数共有 种。
2、多项式的恒等
定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。
特别地：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。
用基本对称函数表示对称多项式
题记： 赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在
赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。
（5）用基本对称函数表示对称多项式
多元多项式的因式分解
分式与根式
分式与根式研究的主要内容： 1、分式的恒等 2、根式的定义与意义 3、复合根式的计算 4、根式的恒等变形和化简
历史背景
16世纪的欧洲，资本主义迅速发展， 科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、 造船等行业不断向数学提出新的课题。令 人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只 的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结 构设计等一系列课题中，人们遇到的数据 越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗 费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何 方？
第二讲 多项式理论
题记: 克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会
得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界 想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃 然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界 想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是 那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元 素。”
初等代数研究
对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中， 情况比较复杂，具体问题具体讨论 。
分解因式中的两个有用的结论：
对称、轮换多项式
主要内容： 1、对称多项式的定义； 2、对称多项式的形式； 3、基本对称函数与根与系数的关系； 4、轮换多项式的定义与因式分解； 5、用基本对称函数表示对称多项式。